Ministerul Educației și Politicii pentru Tineret al Republicii Ciuvaș

BOU DP (PK) S „Institutul Ciuvaș de Educație” Ministerul Educației din Ciuvasia

Lucrări de curs

curs opțional « Tehnici și metode de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare "

Realizat de profesorul de matematică

MBOU „Școala Gimnazială Nr.49 cu aprofundare

studiul subiectelor individuale"

Ceboksary

Rumyantseva Julia Izosimovna

Orașul Ceboksary

Tema lecției: Rădăcinile polinomiale. Schema lui Horner

Scopul lecției:

învață cum să găsești valoarea unui polinom, rădăcinile sale, folosind teorema lui Bezout, schema lui Horner;

să formeze abilități și abilități în găsirea rădăcinilor polinoamelor;

să învețe să generalizeze și să sistematizeze materialul;

dezvoltarea abilităților de calcul, concentrare, funcții de autocontrol;

educați auto-obligatoriu, diligență.

Planul lecției:

eu. Organizarea timpului

VI. Muncă independentă

VIII. Teme pentru acasă

ÎN CURILE CLASURILOR

I. Moment organizatoric

Informați subiectul lecției, formulați obiectivele lecției.

II. Actualizarea cunoștințelor elevilor

1. Verificarea temelor.

a) Găsiți GCD ((x 6 - 1); (x 8 - 1)) folosind algoritmul euclidian (elevul gătește pe tablă).

Soluţie:

GCD ((x 6 - 1); (x 8 - 1)) = x 2 - 1.

Răspuns: X 2 – 1 .

b) Aflați dacă polinomul este divizibil f(x) = x 5 - 5 x 4 + 8 x 3 - 5 x 2 + x + 2 pe (x - 1), (x + 1), (x - 2) (verificat din față).

Soluţie. După teorema lui Bezout, dacă f(1) = 0, apoi f(x) impartit de (x - 1). Hai să verificăm.

f(1) = 1 - 5 + 8 - 5 + 1 + 2 > 0, f(x) nu este divizibil cu (x - 1);
f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не делится на (x + 1);
f(2) = 32 - 80 + 64 - 20 + 4 = 0, f(x) este divizibil cu (x - 2).

Răspuns: divizibil cu (x - 2).

c) Polinomul P(x) când este împărțit la (x - 1) dă un rest de 3 și când este împărțit la (x - 2) dă rest 5. Aflați restul după împărțirea polinomului P(x) la (x 2 - 3 x + 2).

(Soluția este proiectată pe ecran sau scrisă în prealabil pe tablă).

Soluţie.

P(x) \u003d (x - 1) Q 1 (x) + 3 (1)
P(x) \u003d (x - 2) Q 2 (x) + 5 (2)
Din (1) și (2) rezultă că P(1) = 3, P(2) = 5.
Fie P(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + b sau
P(x) = (x - 1) (x - 2) Q (x) + a x + b (3)

Înlocuind în (3) succesiv x = 1 și x = 2, obținem un sistem de ecuații din care a = 2, b = 1.

Răspuns: 2 x + 1.

d) Pentru ce m şi n polinom x 3 + m x + n pentru oricare X este divizibil cu x 2 + 3 x + 10 fără rest.

Soluţie. Când împărțim la un „colț”, obținem x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x - 3) + ((m - 1) x + (n + 30)).

pentru că împărțirea se face fără rest, atunci (m - 1) x + (n + 30) = 0, iar acest lucru este posibil (pentru orice x) numai când m = 1, n = -30.

Răspuns: m = 1, n = –30.

2. Studiu teoretic

a) Cum se citește teorema

b) Dați un exemplu în care se folosește teorema lui Bezout?

c) Din regula înmulțirii a două polinoame, cum se află coeficientul de conducere al produsului?

d) Gradul are polinom zero?

III. Pregătirea pentru a învăța material nou

Într-un polinom, ca în orice expresie literală, puteți înlocui numere în loc de o variabilă și, ca rezultat, se transformă într-o expresie numerică, adică, în cele din urmă, într-un număr. Să facem două observații importante pentru rezolvarea problemelor:

Sensf(0)este egal cu termenul liber al polinomului.

Sensf(1)este egală cu suma coeficienților polinomului.

Găsirea valorilor polinomului nu prezintă dificultăți fundamentale, cu toate acestea, calculele în acest caz se pot dovedi a fi destul de greoaie. Pentru a simplifica calculele, există o tehnică numită schema Horner - numită după matematicianul englez din secolul al XVI-lea. Această schemă constă în completarea unui tabel cu două rânduri.

De exemplu, pentru a calcula valoarea unui polinom f (x) \u003d 2 x 4 - 9 x 3 - 32 x 2 - 57 pentru x \u003d 7 (adică pentru a afla dacă este divizibil cu (x - 7) conform teoremei lui Bezout), trebuie să înlocuiți numărul cu x 7 . Dacă f(7) = 0, atunci f(x) împărțit fără rest. Dacă f(7 ) nu este egal 0, atunci f(x) este divizibil cu (x – 7) cu rest. Pentru a facilita găsirea valorii lui f(7), aplicăm schema lui Horner. Să completăm tabelul cu două rânduri conform următorului algoritm:

1. Linia coeficienților se scrie mai întâi.
2. Cel mai mare coeficient este dublat în a doua linie, iar înaintea acestuia i se pune valoarea variabilei (în cazul nostru, numărul 7), la care se calculează valoarea polinomului.

Rezultă un tabel, ale cărui celule goale trebuie umplute.

tabelul 1

3. Acest lucru se face după o singură regulă: pentru o celulă goală din dreapta, numărul 2 se înmulțește cu 7 și se adaugă la numărul de deasupra celulei goale. Răspunsul este scris în prima celulă goală. Acest lucru se face pentru a umple celulele goale rămase. Prin urmare, numărul 2 7 - 9 = 5 este pus în prima celulă goală, numărul 5 7 - 32 = 3 este pus în a doua celulă goală, numărul 3 7 + 0 = 21 este pus în a treia, iar numărul În ultimul se pune numărul 21 7 - 57 = 90. acest tabel arată astfel:

masa 2

Ultimul număr din a doua linie este răspunsul.

Cometariu: un program pentru calcularea valorilor unui polinom într-un computer este compilat conform schemei lui Horner.

IV. Consolidarea materialului studiat

Luați în considerare soluția temei nr. 1 (b) conform schemei lui Horner. Deci, folosind schema lui Horner, aflați dacă polinomul (x) = x 5 - 5 x 4 + 8 x 3 - 5 x 2 + x + 2 este divizibil cu (x - 1), (x + 1), (x - 2). Dacă doriți să verificați mai multe valori, atunci pentru a salva calculele, este construit un circuit combinat.

Tabelul 3

În ultima coloană din rândurile a treia, a patra și a cincea - restul diviziunii. Atunci f(x) este divizibil fără rest cu (x – 2), deoarece r = 0.

V. Aflarea rădăcinilor unui polinom

Teorema lui Bezout face posibilă, după ce a găsit o rădăcină a unui polinom, să se caute în continuare rădăcinile unui polinom al cărui grad este cu unul mai puțin. Uneori, cu acest truc - se numește „scăderea gradului” - poți găsi toate rădăcinile unui polinom.

În special, alegerea unei rădăcini ecuația cubică, scăzând astfel gradul, se poate rezolva complet prin rezolvarea rezultatului ecuație pătratică.

La rezolvarea unor astfel de probleme, aceeași schemă Horner este de mare folos. Cu toate acestea, de fapt, schema lui Horner dă mult mai mult: numerele din a doua linie (fără a număra ultima) sunt coeficienții separării parțiale pe (x - a).

Tabelul 3:

Exemplul 1 Aflați rădăcinile polinomului f (x) \u003d (x 4 - x 3 - 6 x 2 - x + 3).

Soluţie. Divizorii termenului liber: – 1, 1, – 3, 3 pot fi rădăcinile polinomului. Pentru x = 1, suma coeficienților este evident egală cu zero. Deci x 1 = 1 este o rădăcină. Să verificăm conform schemei lui Horner pentru numărul rădăcină - 1 și alți divizori ai termenului liber.

Tabelul 4

x = -1 - rădăcină
a doua oară x = -1 - nu o rădăcină
verificați x = 3
x = 3 este rădăcina.
f (x) \u003d (x + 1) (x - 3) (x 2 + x - 1), x 2 + x - 1 \u003d 0,

cometariu. Când găsiți rădăcinile unui polinom, nu trebuie să efectuați calcule exacte inutile în cazurile în care estimările brute evidente duc la rezultatul dorit.
De exemplu, schema lui Horner pentru testarea valorilor 31 și - 31 ca „rădăcini candidate” ale polinomului x 5 - 41 x 4 + 32 x 2 - 4 x + 31 ar putea arăta astfel:

Tabelul 5

31 și - 31 nu sunt rădăcini ale polinomului x 5 - 41 x 4 + 32 x 2 - 4 x + 31.

Exemplul 2 Aflați rădăcinile polinomului f (x) \u003d x 4 + 2 x 3 - 6 x 2 - 22 x + 55.

Soluţie. Divizorii lui 55 sunt: ​​– 1, 1, – 5, 5, – 11, 11, – 55, 55. Rețineți că – 1 și 1 nu sunt rădăcini ale polinomului. Ar trebui să verificați restul divizoarelor.

cometariu. Este foarte important ca elevii să stăpânească schema „lungă” a lui Horner. În acest exemplu, schema „lungă” este doar convenabilă.

Tabelul 6

x 2 + 57 x + 3 129 = 0, fără rădăcini.

Răspuns: nu există rădăcini.

VI. Muncă independentă

La bord, trei persoane decid pentru verificarea ulterioară.

Găsiți rădăcinile unui polinom conform schemei lui Horner:

a) f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 - 5 x - 6;

Răspuns: – 1; 2; – 3.

b) f (x) \u003d x 5 - 5 x 4 + 6 x 3 - x 2 + 5 x - 6;

Răspuns: 1; 2; 3.

c) f (x) \u003d x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 - 8 x - 4.

Răspuns:

(Verificarea se face în perechi, se acordă note).

VII. Cercetare elevi

– Băieți, nu ați observat ce polinoame am analizat cel mai mult în lecții?

(Răspunde elevul).

– Da, acestea sunt polinoame cu coeficienți întregi și cu termenul principal k = 1.

– Care au fost răspunsurile?

(Răspunde elevul).

– Așa este, rădăcinile unui polinom cu coeficienți întregi și cu cel mai mare termen k = 1 sunt fie întregi, fie iraționale, fie întregi și iraționale, fie nu au rădăcini. Înregistrați concluzia în caiete.

VIII. Teme pentru acasă

1. Nr. 129 (1, 3, 5, 6) - N. Ya. Vilenkin - 10, p. 78.
2. Învață teoria acestei lecții.

IX. Rezumarea lecției și notarea

Literatură

M.L. Galitsky. Un studiu aprofundat al algebrei și calculului. // Iluminismul, 1997

G.V. Dorofeev. Polinoame cu o variabilă. // St.Petersburg. Literatură specială, 1997

N.Da. Vilenkin. Algebră și analiză matematică. Nota a 10-a // Iluminareae

Notă explicativă.

Cursul este destinat elevilor clasei a X-a a profilului fizic și matematic, care au nivel bun pregătire matematică și este menită să-i ajute să se pregătească pentru diverse competiții și olimpiade de matematică, pentru a contribui la continuarea unei educații matematice serioase. Extinde cursul de bază de matematică, este orientat pe subiecte și oferă studenților posibilitatea de a se familiariza cu întrebări interesante, nestandardizate de matematică și cu metode de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare. Cursul include posibilitatea învățării diferențiate.

Orientând școlarii către căutarea unor soluții frumoase, elegante pentru rezolvarea ecuațiilor de grade superioare, profesorul contribuie astfel la educația estetică a elevilor și la îmbunătățirea culturii lor matematice. Cursul este o continuare a manualului, care prevede predarea studenților cum să facă muncă independentă, tehnici de rezolvare a ecuaţiilor de grade superioare. Învățând în mod intenționat elevii să rezolve ecuații de grade superioare, aceștia ar trebui să fie învățați să observe, să folosească analogia, inducția, comparațiile și să tragă concluzii adecvate. Este necesar, prin ecuații de grade superioare, să se insufle studenților nu numai abilități de raționament logic, ci și abilități puternice de gândire euristică.

Scopurile si obiectivele cursului.

Dezvoltarea interesului pentru matematică, gândire euristică.

Contribuie la continuarea unei educații matematice serioase.

Să învețe cum să aleagă o metodă rațională de rezolvare a problemelor și să justifice alegerea făcută.

Contribuie la formarea unui stil științific de gândire.

Pregătiți-vă pentru examen.

Acest curs opțional constă din 34 de lecții tematice.

Elevii sunt informați despre scopul și scopul curs opțional. Clasele includ părți teoretice și practice - prelegeri, consultații, ateliere, lucrări independente și de cercetare.

Studiul principalelor prevederi ale teoriei polinoamelor ne permite să generalizăm termenul lui Vieta pentru ecuații de orice grad. Capacitatea de a efectua acțiunile de împărțire a polinoamelor va facilita în viitor rezolvarea problemelor din analiza matematică.

Studiul schemei lui Horner și al teoremei rădăcinilor raționale ale unui polinom oferă o metodă generală de factorizare a oricărei expresii algebrice. La rândul său, capacitatea de a rezolva ecuații de grade superioare va extinde semnificativ gama de ecuații și inecuații exponențiale, logaritmice, trigonometrice și iraționale.

Literatură

1. Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I. Culegere de probleme de algebră pentru clasele 8-9.

2 Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Sarcini în matematică. Algebră.

3 Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Metode nestandardizate pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

4 ..Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Ecuații și inegalități.

5. Sharygin I.F. Curs optional de matematica.

Scopurile si obiectivele cursului 1

Literatura 4

Anexa 6

Obiectivele lecției:

• învață elevii să rezolve ecuații de grade superioare folosind schema lui Horner;
• dezvoltarea capacității de a lucra în perechi;
• să creeze, împreună cu secțiunile principale ale cursului, o bază pentru dezvoltarea abilităților studenților;
• ajuta elevul să-și evalueze potențialul, să-și dezvolte interesul pentru matematică, capacitatea de a gândi, de a vorbi pe subiect.

Echipament: cartonașe pentru lucru în grup, un afiș cu schema lui Horner.

Metoda de predare: prelegere, poveste, explicație, efectuarea exercițiilor de antrenament.

Forma de control: verificarea problemelor de rezolvare independentă, muncă independentă.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric

2. Actualizarea cunoștințelor elevilor

Care teoremă vă permite să determinați dacă un număr este o rădăcină ecuația dată(formula o teoremă)?

teorema lui Bezout. Restul împărțirii polinomului P(x) la binom x-c este egal P(c), numărul c se numește rădăcina polinomului P(x) dacă P(c)=0. Teorema permite, fără a efectua operația de împărțire, să se determine dacă un număr dat este o rădăcină a unui polinom.

Care afirmații fac mai ușor să găsiți rădăcini?

a) Dacă coeficientul conducător al polinomului este egal cu unu, atunci rădăcinile polinomului trebuie căutate printre divizorii termenului liber.

b) Dacă suma coeficienților unui polinom este 0, atunci una dintre rădăcini este 1.

c) Dacă suma coeficienților din locurile pare este egală cu suma coeficienților din locurile impare, atunci una dintre rădăcini este egală cu -1.

d) Dacă toți coeficienții sunt pozitivi, atunci rădăcinile polinomului sunt numere negative.

e) Un polinom de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.

3. Învățarea de noi materiale

La rezolvarea întregului ecuații algebrice trebuie să găsiți valorile rădăcinilor polinoamelor. Această operație poate fi mult simplificată dacă calculele sunt efectuate conform unui algoritm special numit schema lui Horner. Această schemă poartă numele savantului englez William George Horner. Schema lui Horner este un algoritm pentru calcularea coeficientului și a restului împărțirii unui polinom P(x) la x-c. Pe scurt, cum funcționează.

Fie dat un polinom arbitrar P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n. Împărțirea acestui polinom la x-c este reprezentarea lui în forma P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Privat g (x) \u003d la 0 x n-1 + la nx n-2 + ... + la n-2 x + la n-1, unde la 0 \u003d a 0, la n \u003d sv n- 1 + an , n=1,2,3,…n-1. Restul r (x) \u003d St n-1 + a n. Această metodă de calcul se numește schema Horner. Cuvântul „schemă” din denumirea algoritmului se datorează faptului că, de obicei, execuția acestuia este formalizată după cum urmează. Mai întâi extrageți tabelul 2 (n+2). Numărul c este scris în celula din stânga jos, iar coeficienții polinomului P (x) sunt scrieți în linia de sus. În acest caz, celula din stânga sus este lăsată goală.

	la 0 = a 0	în 1 \u003d sv 1 + a 1	în 2 \u003d sv 1 + dar 2		în n-1 \u003d sv n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=sv n-1 +a n

Numărul, care după executarea algoritmului se dovedește a fi scris în celula din dreapta jos, este restul împărțirii polinomului P(x) la x-c. Celelalte numere de la 0 , la 1 , la 2 ,... din rândul de jos sunt coeficienții câtului.

De exemplu: Împărțiți polinomul P (x) \u003d x 3 -2x + 3 la x-2.

Obținem că x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. Consolidarea materialului studiat

Exemplul 1: Factorizați polinomul P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 cu coeficienți întregi.

Căutăm rădăcini întregi printre divizorii termenului liber -1: 1; -unu. Să facem un tabel:

X \u003d -1 - rădăcină

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

Să verificăm 1/2.

					X=1/2 - rădăcină

Prin urmare, polinomul P(x) poate fi reprezentat ca

P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Exemplul 2: Rezolvați ecuația 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Deoarece suma coeficienților polinomului scris în partea stângă a ecuației este zero, atunci una dintre rădăcini este 1. Să folosim schema lui Horner:

						X=1 - rădăcină

Obținem P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2). Vom căuta rădăcini printre divizorii termenului liber 2.

Am aflat că nu mai există rădăcini întregi. Să verificăm 1/2; -1/2.

					X \u003d -1/2 - rădăcină

Raspunsul 1; -1/2.

Exemplul 3: Rezolvați ecuația 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0.

Vom căuta rădăcinile acestei ecuații printre divizorii termenului liber 5: 1; -1; 5; -5. x=1 este rădăcina ecuației, deoarece suma coeficienților este zero. Să folosim schema lui Horner:

reprezentăm ecuația ca un produs al trei factori: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. Rezolvând ecuația pătratică 5x 2 -7x+5=0, obținem D=49-100=-51, nu există rădăcini.

Cardul 1

1. Factorizați polinomul: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Rezolvați ecuația: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Cardul 2

1. Factorizați polinomul: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. Rezolvați ecuația: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Cardul 3

1. Factorizare: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. Rezolvați ecuația: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Cardul 4

1. Factorizare: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. Rezolvați ecuația: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Rezumând

Testarea cunoștințelor la rezolvarea în perechi se realizează în lecție prin recunoașterea metodei de acțiune și a numelui răspunsului.

Teme pentru acasă:

Rezolvați ecuațiile:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

d) x 4 + 2x 3 -x-2 \u003d 0

Literatură

1. N.Da. Vilenkin et al., Algebra și începuturile analizei Clasa 10 (studiu aprofundat al matematicii): Enlightenment, 2005.
2. U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Rezolvarea ecuațiilor de grade superioare: Volgograd, 2007.
3. S.B. Gashkov Sisteme numerice și aplicarea lor.

1. Împărțiți 5X 4 + 5 X 3 + X 2 − 11 pe x − 1 folosind schema lui Horner.

Soluţie:

Să facem un tabel din două linii: în prima linie scriem coeficienții polinomului 5 X 4 +5X 3 +X 2 −11, dispuse în ordinea descrescătoare a puterilor variabilei X. Rețineți că acest polinom nu conține Xîn gradul I, adică coeficient înainte X la prima putere este 0. Deoarece împărțim la X−1, atunci scriem unitatea pe a doua linie:

Să începem să completăm celulele goale din al doilea rând. În a doua celulă a celui de-al doilea rând, scrieți numărul 5 , prin simpla mutare din celula corespunzătoare din primul rând:

Completați celula următoare după cum urmează: 1⋅ 5 + 5 = 10 :

În mod similar, completați a patra celulă din al doilea rând: 1⋅ 10 + 1 = 11 :

Pentru a cincea celulă obținem: 1⋅ 11 + 0 = 11 :

Și, în sfârșit, pentru ultima, a șasea celulă, avem: 1⋅ 11 + (−11)= 0 :

Problema este rezolvată, rămâne doar să scrieți răspunsul:

După cum puteți vedea, numerele situate pe a doua linie (între unu și zero) sunt coeficienții polinomului obținuți după împărțirea a 5 X 4 +5X 3 +X 2 −11 pe X-1. Desigur, deoarece gradul polinomului original este 5 X 4 +5X 3 +X 2 −11 a fost egal cu patru, apoi gradul polinomului rezultat 5 X 3 +10X 2 +11X+11 unul mai puțin, adică este egal cu trei. Ultimul număr din a doua linie (zero) înseamnă restul împărțirii polinomului 5 X 4 +5X 3 +X 2 −11 pe X−1.
În cazul nostru, restul este zero, adică. polinoamele sunt divizibile. Acest rezultat mai poate fi caracterizat astfel: valoarea polinomului 5 X 4 +5X 3 +X 2 −11 la X=1 este zero.
Concluzia poate fi formulată și sub următoarea formă: întrucât valoarea polinomului 5 X 4 +5X 3 +X 2 −11 la X=1 este egal cu zero, atunci unitatea este rădăcina polinomului 5 X 4 +5X 3 +X 2 −11.

2. Aflați câtul incomplet, restul împărțirii unui polinom

DAR(X) = X 3 – 2X 2 + 2X– 1 pe binom X – 1.

Soluţie:

		– 2		– 1
α = 1		– 1

Răspuns: Q(X) = X 2 – X + 1 , R(X) = 0.

3. Calculați valoarea polinomului DAR(X) la X = – 1 dacă DAR(X) = X 3 – 2 X – 1.

Soluţie:

			– 2	– 1
α = – 1		– 1	– 1

Răspuns: DAR(– 1) = 0.

4. Calculați valoarea polinomuluiDAR(X) la X= 3, coeficient incomplet și restul, unde

DAR(X)= 4 X 5 – 7X 4 + 5X 3 – 2 X + 1.

Soluţie:

		– 7			– 2
α = 3					178	535

Răspuns: R(X) = A(3) = 535, Q(X) = 4 X 4 + 5X 3 + 20X 2 + 60X +178.

5. Găsiți rădăcinile ecuațieiX 3 + 4 X 2 + X – 6 = 0.

Soluţie:

Găsim divizorii termenului liber ±1; ±2; ± 3; ±6

Aici, a \u003d 1 (x - 1 \u003d x - a) și, respectiv, coeficienții polinomului divizibil sunt egali
1, 4, 1, - 6. Construim un tabel pentru aplicarea schemei Horner:

Să existe un binom simplu de forma ax + b = 0. Nu este greu de rezolvat. Trebuie doar să mutați necunoscutul într-o parte, iar coeficienții în cealaltă. Ca rezultat x = - b/a. Ecuația considerată poate fi complicată prin adăugarea pătratului ax2 + bx + c = 0. Se rezolvă prin găsirea discriminantului. Dacă este mai mare decât zero, atunci vor exista două soluții, dacă este egal cu zero, există o singură rădăcină, iar când este mai mică, atunci nu există soluții deloc.

Fie că următorul tip de ecuație conține a treia putere ax3 + bx2 + c + d = 0. Această egalitate provoacă dificultăți pentru mulți. Deși există diferite căi, permițând rezolvarea unei astfel de ecuații, de exemplu, formula Kordan, dar nu mai pot fi folosite pentru grade de ordinul al cincilea și superior. Prin urmare, matematicienii s-au gândit la o metodă universală prin care ar fi posibil să se calculeze ecuații de orice complexitate.

De obicei, școala sugerează utilizarea metodei grupării și analizei, în care polinomul poate fi descompus în cel puțin doi factori. Pentru o ecuație cubică, puteți scrie: (x - x0) (ax2 + bx + c) = 0. Apoi folosesc faptul că produsul va fi egal cu zero doar dacă binomul liniar sau ecuația pătratică este egală cu acesta. Apoi executați soluția standard. Problema calculării acestui tip de egalități reduse apare în timpul căutării x0. Aici va ajuta schema lui Horner.

Algoritmul propus de Horner a fost de fapt descoperit mai devreme de matematicianul italian și doctorul Paolo Ruffini. El a fost primul care a dovedit imposibilitatea de a găsi un radical în expresiile de gradul cinci. Dar opera sa conținea multe contradicții care nu permiteau să fie acceptată de lumea matematică a oamenilor de știință. Pe baza lucrării sale, în 1819 britanicul William George Horner a publicat o metodă pentru găsirea rădăcinilor aproximative ale unui polinom. Această lucrare a fost publicată de Royal Society și a fost numită metoda Ruffini-Horner.

După ce scoțianul Augustus de Morgan a extins posibilitățile de utilizare a metodei. Metoda și-a găsit aplicație în relațiile teoretice de mulțimi și teoria probabilității. De fapt, schema este un algoritm pentru calcularea coeficientului și a restului relației de scriere a P (x) pe x-c.

Principiul metodei

Pentru prima dată, elevii sunt introduși în metoda de găsire a rădăcinilor folosind schema Horner în clasele superioare. liceu la clasa de algebră. Se explică prin exemplul de rezolvare a unei ecuații de gradul trei: x3 + 6x - x - 30 = 0. Mai mult, în condiția problemei se dă că rădăcina acestei ecuații este numărul doi. Provocarea este de a identifica alte rădăcini.

Acest lucru se face de obicei în felul următor. Dacă polinomul p (x) are o rădăcină x0, atunci p (x) poate fi reprezentat ca produsul dintre diferența x minus x zero și alt polinom q (x), al cărui grad va fi cu unul mai mic. Polinomul dorit se distinge de obicei prin metoda împărțirii. Pentru acest exemplu, ecuația va arăta astfel: (x3 + 6x - x - 30) / (x - x2). Diviziunea se face cel mai bine cu un „colț”. Rezultatul este expresia: x 2 + 8x + 15.

Astfel, expresia dorită poate fi rescrisă ca (x - 2) * (x 2 + 8x + 15) = 0. În continuare, pentru a găsi o soluție, trebuie să faceți următoarele:

• Găsiți rădăcinile din primul termen al egalității, echivalându-l cu zero: x - 2 = 0. Prin urmare, x = 2, care rezultă și din condiție.
• Rezolvați ecuația pătratică echivalând al doilea termen al polinomului cu zero: x 2 + 8x + 15 = 0. Puteți găsi rădăcinile prin discriminant sau folosind formulele Vieta. Deci, puteți scrie că (x + 3) * (x + 5) \u003d 0, adică x unu este egal cu trei și x doi - minus cinci.

Toate cele trei rădăcini sunt găsite. Dar aici apare o întrebare rezonabilă, unde este folosită schema Horner în exemplu? Deci, toate aceste calcule greoaie pot fi înlocuite cu un algoritm de soluție de mare viteză. Constă din pași simpli. Mai întâi trebuie să desenați un tabel care să conțină mai multe coloane și rânduri. Pornind de la a doua coloană a liniei inițiale, notați coeficienții din ecuația polinomului original. În prima coloană puneți numărul cu care se va efectua împărțirea, adică membrii potențiali ai soluției (x0).

După ce x0 selectat a fost scris în tabel, completarea are loc conform următorului principiu:

• în prima coloană, pur și simplu, ceea ce este în elementul superior al celei de-a doua coloane este demolat;
• pentru a găsi următorul număr, trebuie să înmulțiți numărul transportat cu x0 selectat și să adăugați număr demnîn coloana umplută deasupra;
• se efectuează operații similare până la umplerea finală a tuturor celulelor;
• rândurile din ultima coloană sunt egale cu zero și vor fi soluția dorită.

Pentru exemplul luat în considerare, la înlocuirea unui doi, linia va consta dintr-o serie: 2, 1, 8, 15, 0. Astfel, se găsesc toți membrii. În acest caz, schema funcționează pentru orice ordine a ecuației puterii.

Exemplu de utilizare

Pentru a înțelege cum să folosiți schema lui Horner, trebuie să luăm în considerare în detaliu un exemplu tipic. Să fie necesar să se determine multiplicitatea rădăcinii x0 a polinomului p (x) \u003d x 5 - 5x 4 + 7x 3 - 2x 2 + 4x - 8. Adesea, în probleme, este necesar să se selecteze rădăcinile prin enumerare, dar pentru a economisi timp, vom presupune că acestea sunt deja cunoscute și trebuie doar verificate. Aici ar trebui să se înțeleagă că folosind schema, calculul va fi în continuare mai rapid decât folosind alte teoreme sau metoda reducerii.

Conform algoritmului de soluție, în primul rând, trebuie să desenați un tabel. Prima linie indică coeficienții principali. Pentru ecuație, va fi necesar să desenați opt coloane. Apoi aflați de câte ori se va potrivi x0 = 2 în polinomul studiat.În a doua linie a coloanei a doua, coeficientul este pur și simplu demolat. Pentru cazul în cauză, acesta va fi egal cu unu. În celula alăturată, valoarea este calculată ca 2 *1 -5 = -3. În următoarea: 2 *(-3) + 7 = 1. Completați celulele rămase în același mod.

După cum puteți vedea, cel puțin o dată un doi este plasat într-un polinom. Acum trebuie să verificăm dacă cele două este rădăcina celei mai mici expresii obținute. După efectuarea unor acțiuni similare în tabel, ar trebui să se obțină următorul rând: 1, -1, -1. -2, 0. De fapt, aceasta este o ecuație pătratică, care trebuie, de asemenea, verificată. Ca rezultat, seria calculată va fi formată din 1, 1, 1, 0.

În ultima expresie, doi nu pot fi o soluție rațională. Adică, în polinomul original, numărul doi este folosit de trei ori, ceea ce înseamnă că puteți scrie: (x - 2) 3 * (x 2 + x + 1). Acela doi nu este o rădăcină expresie pătrată poate fi înțeles din următoarele fapte:

• coeficientul liber nu este divizibil cu doi;
• toți cei trei coeficienți sunt pozitivi, ceea ce înseamnă că graficul inegalității va crește începând de la doi.

Astfel, utilizarea sistemului vă permite să scăpați de utilizarea numărătorilor și divizorilor complexe. Toate acțiunile sunt reduse la o simplă înmulțire a numerelor întregi și selectarea zerourilor.

Explicarea metodei

Confirmarea validității existenței schemei lui Horner se explică printr-o serie de factori. Imaginează-ți că există un polinom de gradul al treilea: x3 + 5x - 3x + 8. Din această expresie, x poate fi scos din paranteză: x * (x2 + 5x - 3) + 8. Din formula rezultată, avem poate scoate din nou x: x * (x * (x + 5) - 3) + 8 = x * (x* ((x * 1) + 5) - 3) + 8.

De fapt, pentru a calcula expresia rezultată, puteți înlocui valoarea x așteptată în prima paranteză interioară și puteți efectua operații algebrice, în funcție de precedență. De fapt, acestea sunt toate acțiunile care sunt efectuate în metoda Horner. În acest caz, numerele 8, -3, 5, 1 sunt coeficienții polinomului original.

Să existe un polinom P (x) = an * xn + an -1 * x n-1 + 1x1 + a0 = 0. Dacă această expresie are o anumită rădăcină x = x0, atunci aceasta înseamnă că expresia luată în considerare poate fi rescris ca: P (x) = (x-x0) * Q(x). Aceasta este o consecință a teoremei lui Bezout. Lucrul important aici este că gradul polinomului Q(x) va fi cu unul mai mic decât îl are P(x). Prin urmare, se poate scrie într-o formă mai mică: P (x) = (x-x0) * (bn-1 * x n-1 + bn-2 * x n-2 + b0) = 0. Cele două construcții sunt identic egale între ele .

Și aceasta înseamnă că toți coeficienții polinoamelor considerate sunt egali, în special, (x0)b) = a0. Folosind aceasta, se poate argumenta că oricare ar fi numerele a0 și b0, x este întotdeauna un divizor, adică a0 poate fi întotdeauna împărțit la rădăcinile polinomului. Cu alte cuvinte, găsiți soluții raționale.

Cazul general care explică metoda ar fi: an * xn + an-1 * x n-1 + ... + a1x + a0 = x * (an * x n-1 + an-1 * x n-2 + . .. + a1) + a0 = x * (x * (... (an * x + an -1)+ an-2...an-m) + a0). Adică, schema funcționează indiferent de gradul polinomului. Ea este universală. În același timp, este potrivit atât pentru ecuații incomplete, cât și pentru cele complete. Acesta este un instrument care vă permite să verificați x0 pentru rădăcină. Dacă nu este o soluție, atunci numărul rămas la sfârșit va fi restul împărțirii polinomului considerat.

În matematică, notația corectă pentru metodă este: Pn(x) = ∑i = 0naixn−i = a0xn + a1xn ​​​​− 1 + a2xn − 2 +…+ an − 1x + an. În ea, valoarea lui i se schimbă de la zero la en, iar polinomul însuși este împărțit la binomul x - a. După efectuarea acestei acțiuni se obține o expresie al cărei grad este cu unul mai mic decât cel inițial. Cu alte cuvinte, este definit ca n - 1.

Calcul pe calculatorul online

Utilizarea resurselor care oferă acces la calcularea rădăcinilor de grade superioare de polinoame este destul de convenabilă. Pentru a folosi astfel de site-uri, nu este nevoie să aveți cunoștințe speciale în matematică sau programare. Tot ce are nevoie utilizatorul este accesul la Internet și un browser care acceptă scripturi Java.

Există zeci de astfel de site-uri. În același timp, unii dintre aceștia pot cere o recompensă bănească pentru soluția oferită. Deși majoritatea resurselor sunt gratuite și nu doar calculează rădăcinile în ecuații de putere, dar și oferi soluție detaliată cu comentarii. În plus, pe paginile calculatoarelor, oricine se poate familiariza cu un scurt material teoretic și poate lua în considerare rezolvarea unor exemple de complexitate diferită. Deci întrebările cu conceptul de unde a venit răspunsul nu ar trebui să apară.

Din întregul set de calculatoare online de numărare conform schemei Horner, se pot distinge următoarele trei:

• Munca de control. Serviciul se adresează elevilor de liceu, dar în ceea ce privește capacitățile sale este destul de funcțional. Cu el, puteți verifica foarte rapid rădăcinile pentru conformitate.
• Ştiinţă. Aplicația vă permite să determinați rădăcinile folosind metoda Horner în doar două sau trei secunde. Pe site găsiți toată teoria necesară. Pentru a efectua calculul, trebuie să vă familiarizați cu regulile de introducere a unei formule matematice, indicate chiar acolo pe site.
• Calc. Folosind acest site, utilizatorul va putea obține o descriere detaliată a soluției cu o imagine de tabel. Pentru a face acest lucru, introduceți ecuația într-o formă specială și faceți clic pe butonul „soluție”.

Programele folosite pentru calcule au o interfață intuitivă și nu conțin adware sau cod rău intenționat. După efectuarea mai multor calcule pe aceste resurse, utilizatorul va putea învăța în mod independent cum să determine rădăcinile folosind metoda Horner.

În același timp, calculatoarele online sunt utile nu numai studenților, ci și inginerilor care conduc calcule complexe. La urma urmei, calculul independent necesită atenție și concentrare. Orice greșeală minoră va duce în cele din urmă la un răspuns incorect. În același timp, apariția unei erori în calculele folosind calculatoare online este imposibilă.

4x3 - 19x2 + 19x + 6 = 0

Mai întâi trebuie să utilizați metoda de selecție pentru a găsi o rădăcină. De obicei este divizorul termenului liber. În acest caz, divizorii numărului 6 sunteți ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ număr 1

-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ număr -1 nu este o rădăcină a unui polinom

2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ număr 2 este rădăcina polinomului

Am găsit una dintre rădăcinile polinomului. Rădăcina polinomului este 2, ceea ce înseamnă că polinomul original trebuie să fie divizibil cu x - 2. Pentru a efectua împărțirea polinoamelor, folosim schema lui Horner:

	4	-19	19	6
2

Linia de sus conține coeficienții polinomului original. În prima celulă a celui de-al doilea rând, punem rădăcina pe care am găsit-o 2. A doua linie conține coeficienții polinomului, care se vor obține ca urmare a împărțirii. Ei contează astfel:

4 -19 19 6 2 4	În a doua celulă a celui de-al doilea rând, scrieți numărul 1, pur și simplu deplasându-l din celula corespunzătoare din primul rând.
4 -19 19 6 2 4 -11	2 ∙ 4 - 19 = -11
4 -19 19 6 2 4 -11 -3	2 ∙ (-11) + 19 = -3
4 -19 19 6 2 4 -11 -3 0	2 ∙ (-3) + 6 = 0

Ultimul număr este restul împărțirii. Dacă este egal cu 0, atunci am numărat totul corect.

Astfel, am factorizat polinomul original:

4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = (x - 2)(4x 2 - 11x - 3)

Și acum, tot ce rămâne este să găsim rădăcinile ecuației pătratice

4x2 - 11x - 3 = 0
D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-11) 2 - 4 ∙ 4 ∙ (-3) \u003d 169
D > 0 ⇒ ecuația are 2 rădăcini

Am găsit toate rădăcinile ecuației.