Disputa

Formula Cardano

Disputele din Evul Mediu au fost întotdeauna un spectacol interesant, atrăgând orășeni inactivi, tineri și bătrâni. Subiectele dezbaterilor au fost variate, dar neapărat științifice. În același timp, știința însemna că ceea ce era inclus în lista așa-numitelor șapte arte libere era, desigur, teologia. Disputele teologice au fost cele mai frecvente. S-au certat despre toate. De exemplu, despre dacă să atașeze un șoarece la Duhul Sfânt dacă mănâncă sacramentul, ar putea Sibila cumă să prezică nașterea lui Iisus Hristos, de ce frații și surorile Mântuitorului nu au fost canonizați etc.
Despre disputa care avea să aibă loc între celebrul matematician și nu mai puțin celebrul doctor, s-au exprimat doar presupunerile cele mai generale, întrucât nimeni nu știa cu adevărat nimic. Se spunea că unul dintre ei l-a înșelat pe celălalt (cine exact și cine exact este necunoscut). Aproape toți cei care s-au adunat în piață aveau cele mai vagi idei despre matematică, dar toată lumea aștepta cu nerăbdare începerea disputei. A fost mereu interesant, puteai să râzi de învins, indiferent dacă are dreptate sau greșit.
Când ceasul de la primărie a bătut cinci, porțile s-au deschis larg, iar mulțimea s-a repezit în interiorul catedralei. Pe ambele părți ale liniei centrale care leagă intrarea în altar, au fost ridicate două coloane laterale scaune înalte destinate dezbaterilor. Cei prezenți au făcut zgomot puternic, nefiind atenți la faptul că se aflau în biserică. În cele din urmă, în fața grătarului de fier care despărțea catapeteasma de restul navei centrale, a apărut strigătorul orașului într-o mantie neagră și violetă și a proclamat: „Venerabili cetățeni ai orașului Milano! Acum va vorbi în fața dumneavoastră celebrul matematician Niccolò Tartaglia din Brenia. Adversarul său urma să fie matematicianul și medicul Geronimo Cardano. Niccolo Tartaglia îl acuză pe Cardano că a fost ultimul care a publicat în cartea sa „Ars magna” o metodă de rezolvare a unei ecuații de gradul 3, care îi aparține lui, Tartaglia. Cu toate acestea, Cardano însuși nu a putut veni la dispută și, prin urmare, și-a trimis studentul Luige Ferrari. Deci, dezbaterea este declarată deschisă, participanții acesteia sunt invitați la scaune. Un bărbat stingher, cu nasul cocoșat și cu barbă creț, s-a urcat pe amvonul din stânga intrării, iar un tânăr de vreo douăzeci de ani, cu un chip frumos și încrezător în sine, s-a urcat pe amvonul opus. Întreaga lui atitudine a arătat deplină încredere că fiecare gest și fiecare cuvânt al lui va fi primit cu încântare.
a început Tartaglia.

Stimati domni! Știți că acum 13 ani am reușit să găsesc o modalitate de a rezolva o ecuație de gradul 3, iar apoi, folosind această metodă, am câștigat o dispută cu Fiori. Metoda mea a atras atenția concetățeanului tău Cardano și el și-a folosit toată arta vicleană pentru a extrage secretul de la mine. Nu s-a oprit la înșelăciune sau la fals de-a dreptul. Mai știți că acum 3 ani a fost publicată la Nürnberg cartea lui Cardano despre regulile algebrei, unde metoda mea, furată atât de nerușinat, a fost pusă la dispoziția tuturor. I-am provocat pe Cardano și pe elevul lui la un meci. M-am oferit să rezolv 31 de probleme, același număr mi-a fost oferit de adversarii mei. Termenul de rezolvare a problemelor a fost de 15 zile. Am reușit în 7 zile să rezolv majoritatea problemelor care au fost compilate de Cardano și Ferrari. Le-am tipărit și le-am trimis prin curier la Milano. Cu toate acestea, a trebuit să aștept cinci luni întregi până am primit răspunsuri la problemele mele. Nu erau corecte. Acest lucru mi-a dat motive să îi provoc pe amândoi la o dezbatere publică.

Tartaglia a tăcut. Tânărul, privind la nefericitul Tartaglia, spuse:

Stimati domni! Demnul meu adversar și-a permis chiar din primele cuvinte ale discursului său să exprime atâtea calomnii împotriva mea și a profesorului meu, argumentul său era atât de neîntemeiat încât nu mi-ar fi luat nicio problemă să-l infirm pe primul și să-ți arăt inconsecvența celui de-al doilea. În primul rând, despre ce fel de înșelăciune putem vorbi dacă Niccolo Tartaglia ne-ar împărtăși cu totul voluntar metoda sa cu amândoi? Și iată cum scrie Geronimo Cardano despre rolul adversarului meu în descoperirea regulii algebrice. El spune că nu lui, Cardano, „ci prietenului meu Tartaglia îi aparține onoarea de a descoperi o inteligență umană atât de frumoasă și uimitoare, depășitoare și toate talentele spiritului uman. Această descoperire este cu adevărat un dar ceresc, o dovadă atât de excelentă a forței minții care a înțeles-o, încât nimic nu poate fi considerat de neatins pentru ea.”
Adversarul meu ne-a acuzat pe mine și pe profesorul meu că am dat o soluție greșită problemelor sale. Dar cum poate rădăcina ecuației să fie greșită, dacă substituind-o în ecuație și efectuând toate acțiunile prescrise în această ecuație, ajungem la o identitate? Și deja dacă domnul Tartaglia vrea să fie consecvent, atunci a trebuit să răspundă la remarcă de ce noi, cei care am furat, dar în cuvintele lui, invenția sa și folosind-o pentru a rezolva problemele propuse, am găsit o soluție greșită. Noi – eu și profesorul meu – nu considerăm totuși că invenția signorului Tartaglia este lipsită de importanță. Această invenție este minunată. Mai mult, bazându-mă foarte mult pe el, am găsit o modalitate de a rezolva ecuația gradului al IV-lea, iar în „Ars magna” profesorul meu vorbește despre asta. Ce vrea domnul Tartaglia de la noi? Ce încearcă să obțină disputând?
Domnilor, domnilor, - strigă Tartaglia, - Vă rog să mă ascultați! Nu neg că tânărul meu adversar este foarte puternic în logică și elocvență. Dar aceasta nu poate înlocui o adevărată demonstrație matematică. Sarcinile pe care le-am dat lui Cardano și Ferrari nu sunt rezolvate corect, dar o voi dovedi. Într-adevăr, să luăm, de exemplu, o ecuație între cei care au rezolvat-o. Este cunoscut...

Un zgomot de neînchipuit s-a iscat în biserică, înghițind complet finalul frazei începute de ghinionicul matematician. Nu avea voie să continue. Mulțimea i-a cerut să tacă și să i se dea rândul lui Ferrari. Tartaglia, văzând că continuarea disputei este cu totul inutilă, se coborî în grabă de pe amvon și ieși prin pridvorul de nord în piață. Mulțimea l-a aplaudat pe „câștigătorul” dezbaterii, Luigi Ferrari.
Astfel s-a încheiat această dispută, care continuă să provoace tot mai multe dispute până în zilele noastre. Cine deține de fapt modalitatea de a rezolva ecuația de gradul 3? Vorbim acum - Niccolo Tartaglia. El a descoperit, iar Cardano a ademenit această descoperire din el. Și dacă acum numim formula care reprezintă rădăcinile unei ecuații de gradul 3 prin coeficienții ei formula Cardano, atunci aceasta este o nedreptate istorică. Totuși, este nedrept? Cum se calculează măsura participării la descoperirea fiecăruia dintre matematicieni? Poate că, în timp, cineva va putea răspunde cu siguranță la această întrebare sau poate rămâne un mister...

Formula Cardano

Dacă folosim limbajul matematic modern și simbolismul modern, atunci derivarea formulei Cardano poate fi găsită folosind următoarele în cel mai înalt grad consideratii elementare:
Să ni se dea ecuație generală gradul 3:

Dacă punem , atunci reducem ecuația (1) la forma

, (2)

Unde , .
Introducem o nouă necunoscută folosind egalitatea .
Introducând această expresie în (2), obținem

. (3)

De aici
,

Prin urmare,
.

Dacă numărătorul și numitorul celui de-al doilea termen se înmulțesc cu expresia și luați în considerare că expresia rezultată pentru se dovedește a fi simetrică în raport cu semnele "" și "", apoi obținem în sfârșit

(Produsul radicalilor cubi din ultima egalitate trebuie să fie egal cu ).
Aceasta este celebra formulă Cardano. Dacă trecem din nou la , atunci obținem o formulă care determină rădăcina ecuației generale de gradul 3.
Tânărul care o tratase cu atât de fără milă pe Tartaglia înțelegea matematica la fel de ușor precum înțelegea drepturile unui mister fără pretenții. Ferrari găsește o modalitate de a rezolva o ecuație de gradul 4. Cardano a inclus această metodă în cartea sa. Ce este această metodă?
Lasa
- (1)

Ecuația generală a gradului 4.
Dacă punem , atunci ecuația (1) poate fi redusă la forma

, (2)

unde , , sunt niște coeficienți în funcție de , , , , . Este ușor de observat că această ecuație poate fi scrisă în următoarea formă:

. (3)

Într-adevăr, este suficient să deschidem parantezele, apoi toți termenii care conțin , se anulează reciproc și vom reveni la ecuația (2).
Alegem parametrul astfel încât partea dreaptă a ecuației (3) să fie un pătrat perfect în raport cu . După cum se știe, necesar condiție suficientă aceasta este dispariția discriminantului din coeficienții trinomului (în raport cu ) din dreapta:
. (4)

Am obținut ecuația cubică completă, pe care o putem rezolva deja. Să găsim o parte din rădăcina sa și să o adăugăm la ecuația (3), acum va lua forma

De aici
.

Aceasta este o ecuație pătratică. Rezolvând-o, se poate găsi rădăcina ecuației (2) și, în consecință, (1).
Cu 4 luni înainte de moartea lui Cardano, acesta și-a finalizat autobiografia, cu care a scris intens întreaga Anul trecutşi care trebuia să-i rezumă viata grea. A simțit apropierea morții. Potrivit unor rapoarte, propriul său horoscop a legat moartea sa cu împlinirea a 75 de ani. A murit la 21 septembrie 1576, cu 2 zile înainte de aniversare. Există o versiune conform căreia s-a sinucis în așteptarea morții iminente sau chiar pentru a confirma horoscopul. În orice caz, Cardano, un astrolog, a luat horoscopul în serios.

O notă despre formula lui Cardano

Să analizăm formula de rezolvare a ecuației în zona reală. Asa de,
.

Simonyan Albina

Lucrarea are în vedere tehnici și metode de rezolvare a ecuațiilor cubice. Aplicarea formulei Cardano pentru rezolvarea problemelor în pregătirea examenului de matematică.

Descarca:

Previzualizare:

MOU DOD Palatul Creativității pentru Copii și Tineret

Academia de Științe Don pentru Tineri Cercetători

Sectiunea: matematica - algebra si teoria numerelor

Cercetare

„Să ne uităm în lumea formulelor”

pe această temă „Rezolvarea ecuațiilor de gradul 3”

Conducător: profesor de matematică Babina Natalya Alekseevna

G.Salsk 2010

Introducere ………………………………………………………………………………….3
Partea principală………………………………………………………………….4
Partea practică…………………………………………………………………10-13
Concluzie…………………………………………………………………………………….14
Literatură………………………………………………………………………..15
Aplicații

1. Introducere

Învățământul de matematică primit în școlile de învățământ general este componenta esentiala educatie generala si cultura generala omul modern. Aproape tot ceea ce înconjoară o persoană este legat într-un fel sau altul de matematică. Iar ultimele realizări în fizică, tehnologie, tehnologia informației nu lasă nicio îndoială că în viitor starea de lucruri rămâne aceeași. Prin urmare, rezolvarea multor probleme practice se reduce la rezolvarea diferitelor tipuri de ecuații care trebuie învățate să le rezolve. Ecuatii lineare gradul I, am fost învățați să rezolvăm în clasa I și nu ne-am manifestat prea mult interes față de ele. Mai interesante sunt ecuațiile neliniare - ecuații de grade mari. Matematica dezvăluie ordinea, simetria și certitudinea, iar acestea sunt cele mai înalte forme de frumusețe.

Scopul proiectului meu „Să ne uităm în lumea formulelor” pe tema „Rezolvarea ecuațiilor cubice de gradul trei” este de a sistematiza cunoștințele despre cum să rezolvăm ecuațiile cubice, de a stabili existența unei formule de găsire. rădăcinile unei ecuații de gradul al treilea, precum și relația dintre rădăcini și coeficienți dintr-o ecuație cubică. În clasă, am rezolvat ecuații, atât cubice, cât și grade mai mari decât 3. Rezolvând ecuații cu diferite metode, am adunat, scăzut, înmulțit, împărțit coeficienți, i-am ridicat la putere și am extras rădăcini din ei, pe scurt, am efectuat operații algebrice. Există o formulă pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice. Există o formulă pentru rezolvarea ecuației de gradul al treilea, adică? indicaţii în ce ordine şi ce operaţii algebrice trebuie efectuate cu coeficienţii pentru a obţine rădăcinile. A devenit interesant pentru mine să știu dacă matematicieni celebri au încercat să găsească o formulă generală potrivită pentru rezolvarea ecuațiilor cubice? Și dacă au încercat, au reușit să obțină expresia rădăcinilor în termeni de coeficienți ai ecuației?

2. Corpul principal:

În acele vremuri îndepărtate, când înțelepții au început să se gândească la egalități care conțineau cantități necunoscute, probabil că nu existau încă monede sau portofele. In antichitate probleme matematice Mesopotamia, India, China, Grecia, cantități necunoscute exprimau numărul de păuni din grădină, numărul de tauri din turmă, totalitatea lucrurilor luate în considerare la împărțirea proprietății. Surse care au ajuns la noi indică faptul că oamenii de știință antici posedau câteva metode generale de rezolvare a problemelor cu cantități necunoscute. Cu toate acestea, nici un papirus, nici o tabletă de lut nu oferă o descriere a acestor tehnici. Excepție este „Aritmetica” a matematicianului grec Diophantus din Alexandria (secolul al III-lea) - o colecție de probleme pentru compilarea ecuațiilor cu o prezentare sistematică a soluțiilor acestora. Cu toate acestea, lucrarea savantului de la Bagdad din secolul al IX-lea a devenit primul manual de rezolvare a problemelor care a devenit cunoscut pe scară largă. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi.

Așa mi-a venit ideea de a crea proiectul „Hai să ne uităm în lumea formulelor...”, întrebările fundamentale ale acestui proiect au fost:

stabilirea dacă există o formulă pentru rezolvarea ecuațiilor cubice;
în cazul unui răspuns pozitiv, căutarea unei formule care exprimă rădăcinile unei ecuații cubice în termenii unui număr finit de operații algebrice asupra coeficienților ei.

Deoarece în manuale și în alte cărți de matematică, majoritatea raționamentelor și dovezilor sunt efectuate nu pe exemple specifice, ci în vedere generala, apoi am decis să caut exemple particulare care să confirme sau să infirme ideea mea. În căutarea unei formule pentru rezolvarea ecuațiilor cubice, am decis să urmez algoritmii familiari pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice. De exemplu, rezolvarea ecuației x 3 + 2x 2 - 5x -6=0 selectați cubul complet aplicând formula (x + a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . Pentru a selecta un cub plin din partea stângă a ecuației pe care am luat-o, l-am transformat de 2 ori în el 2 în 3x 2 si acelea. Am căutat așa ceva, astfel încât egalitatea să fie adevărată 2x 2 \u003d 3x 2 a . A fost ușor de calculat că a = . S-a transformat partea stângă a acestei ecuațiidupă cum urmează: x 3 + 2x 2 -5x-6=0

(x 3 + 3x 2 a + 3x. +) - 3x. - - 5x - 6= (x+) 3 - 6x - 6 Am făcut o înlocuire y \u003d x +, adică. x = y - y 3 - 6(y -) - 6=0; la 3 - 6y + 4- 6=0; Ecuația inițială a luat forma: 3 - 6y - 2=0; S-a dovedit o ecuație nu foarte frumoasă, pentru că în loc de coeficienți întregi am acum unii fracționari, deși termenul ecuației care conține pătratul necunoscutului a dispărut! Sunt mai aproape de obiectivul meu? Până la urmă, termenul care conținea prima putere a necunoscutului a rămas. Poate a fost necesar să selectați un cub plin, astfel încât termenul - 5x să dispară? (x+a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . Am găsit așa ceva 3a 2 x \u003d -5x; acestea. la un 2 = - Dar apoi sa dovedit destul de prost - în această egalitate, în stânga este număr pozitiv iar în dreapta este negativ. Nu poate exista o asemenea egalitate. Până acum nu am reușit să rezolv ecuația, am putut doar să o aduc la formă 3 - 6y - 2=0.

Deci, rezultatul muncii depuse de mine la stadiul inițial: am reușit să scot din ecuația cubică termenul care conține gradul doi, adică. dacă este dat ecuație canonică Oh 3 + în 2 + cx + d, atunci poate fi redusă la o ecuație cubică incompletă x 3 +px+q=0. În plus, lucrând cu diferite literaturi de referință, am putut afla că o ecuație a formei x 3 + px \u003d q a reușit să rezolve matematicianul italian Dal Ferro (1465-1526). De ce pentru genul acesta și nu pentru genul acesta x 3 + px + q \u003d 0? Acest deoarece la acea vreme nu fuseseră încă introduse numerele negative iar ecuaţiile erau considerate doar cu coeficienţi pozitivi. Și numerele negative au fost recunoscute puțin mai târziu.Referință istorică:Dal Ferro a selectat numeroase opțiuni prin analogie cu formula rădăcinilor reduse ecuație pătratică. El a raționat astfel: rădăcina ecuației pătratice este - ± i.e. are forma: x=t ± . Aceasta înseamnă că rădăcina ecuației cubice ar trebui să fie și suma sau diferența unor numere și, probabil, printre ele ar trebui să existe rădăcini de gradul trei. Care anume? Dintre numeroasele opțiuni, una s-a dovedit a fi de succes: a găsit răspunsul sub forma unei diferențe - Era și mai dificil de ghicit că t și u ar trebui alese astfel încât =. Înlocuind în loc de x diferența - și în loc de p produsul primit: (-) 3 +3 (-)=q. Paranteze deschise: t - 3 +3- u+3- 3=q. După ce am adus termeni similari, am obținut: t-u=q.

Sistemul de ecuații rezultat este:

t u = () 3 t-u=q. Să ridicăm dreapta și stângapătrați părțile primei ecuații și înmulțiți a doua ecuație cu 4 și adăugați prima și a doua ecuație. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 Din sistem nou t+u=2; t -u=q avem: t= + ; u= - . Înlocuind expresia în loc de x, am obținutÎn timpul lucrului la proiect, am învățat cele mai interesante materiale. Se dovedește că Dal Ferro nu a publicat metoda pe care a găsit-o, dar unii dintre studenții săi știau despre această descoperire, iar în curând unul dintre ei, Antonio Fior, a decis să o folosească.În acei ani, dezbaterile publice pe probleme științifice erau obișnuite. Câștigătorii unor astfel de dispute primeau de obicei o recompensă bună, erau adesea invitați în poziții înalte.

În același timp, în orașul italian Verona locuia un sărac profesor de matematică Nicolo (1499-1557), poreclit Tartaglia (adică bâlbâitul). Era foarte talentat și a reușit să redescopere tehnica lui Dal Ferro (Anexa 1).A avut loc un duel între Fiore și Tartaglia. Conform condiției, rivalii au făcut schimb de treizeci de probleme, a căror soluție i s-a dat 50 de zile. Dar de atunci Fior cunoștea în esență o singură problemă și era sigură că vreun profesor nu o poate rezolva, apoi toate cele 30 de probleme s-au dovedit a fi de același tip. Tartaglia s-a ocupat de ei în 2 ore. Fiore, în schimb, nu a putut rezolva nicio sarcină propusă de inamic. Victoria a glorificat Tartaglia în toată Italia, dar problema nu a fost pe deplin rezolvată. .

Toate acestea au fost făcute de Gerolamo Cardano. Însuși formula care a fost descoperită de Dal Ferro și redescoperită de Tartaglia se numește formula Cardano (Anexa 2).

Cardano Girolamo (24 septembrie 1501 – 21 septembrie 1576) a fost un matematician, mecanic și medic italian. Născut în Pavia. A studiat la universitățile din Pavia și Padova. În tinerețe, a practicat medicina. În 1534 a devenit profesor de matematică la Milano și Bologna. În matematică, numele Cardano este asociat de obicei cu o formulă de rezolvare a unei ecuații cubice, pe care a împrumutat-o de la N. Tartaglia. Această formulă a fost publicată în Cardano's Great Art, or On the Rules of Algebra (1545). De atunci, Tartaglia și Cardano au devenit dușmani de moarte. Această carte conturează sistematic metodele moderne ale lui Cardano pentru rezolvarea ecuațiilor, în principal a celor cubice. Cardano finalizat transformare liniară, care face posibilă reducerea ecuației cubice la o formă liberă de un termen de gradul 2 și a subliniat dependența dintre rădăcinile și coeficienții ecuației, divizibilitatea polinomului prin diferența x – a, dacă a este rădăcina sa. Cardano a fost unul dintre primii din Europa care a admis existența rădăcinilor negative ale ecuațiilor. În opera sa, cantitățile imaginare apar pentru prima dată. În mecanică, Cardano a studiat teoria pârghiilor și greutăților. Una dintre mișcările segmentului de-a lungul laturilor unghi drept mecanicii o numesc pe Karda o nouă mișcare. Deci, conform formulei Cardano, se pot rezolva ecuații de formă x 3 + px + q \u003d 0 (Anexa 3)

Se pare că problema a fost rezolvată. Există o formulă pentru rezolvarea ecuațiilor cubice.

Iat-o!

Expresia de sub rădăcină - discriminant. D = () 2 + () 3 Am decis să mă întorc la ecuația mea și să încerc să o rezolv folosind formula lui Cardano: Ecuația mea este: 3 - 6y - 2=0, unde p= - 6=-; q = - 2 = - . Este ușor de calculat că () 3 ==- și () 2 ==, () 2 + () 3 = = - = - . Asa de? De la numărătorul acestei fracții, am extras ușor rădăcina, a rezultat 15. Și ce să faci cu numitorul? Nu numai că rădăcina nu este extrasă complet, ci și pentru a o extrage - atunci trebuie să fie dintr-un număr negativ! Ce s-a întâmplat? Se poate presupune că această ecuație nu are rădăcini, deoarece pentru D Așa că, în timpul lucrului la proiect, m-am confruntat cu o altă problemă.Ce s-a întâmplat? Am început să scriu ecuații care au rădăcini, dar care nu conțin un termen al pătratului necunoscutului:

a făcut o ecuație care are o rădăcină x \u003d - 4.

x 3 + 15x + 124 = 0 Și într-adevăr, verificând m-am convins că -4 este rădăcina ecuației. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Am verificat dacă această rădăcină poate fi obținută folosind formula Cardano x=+=+= =1- 5 =- 4

Primit, x = -4.

a făcut o a doua ecuație care are o rădăcină reală x \u003d 1: x 3 + 3x - 4 = 0 și a verificat formula.

Și în acest caz, formula a funcționat impecabil.

a preluat ecuația x 3 +6x+2=0, care are o rădăcină irațională.

Hotărând ecuația dată, am obținut această rădăcină x = - Și apoi am avut o presupunere: formula a funcționat dacă ecuația avea o singură rădăcină. Și ecuația mea, a cărei soluție m-a condus într-o fundătură, avea trei rădăcini! Acolo trebuie să cauți cauza!Acum am luat o ecuație care are trei rădăcini: 1; 2; -3. x 3 – 7x +6=0 p= -7; q = 6. S-a verificat discriminantul: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

După cum bănuiam, rădăcina pătrată s-a dovedit din nou a fi un număr negativ. am ajuns la concluzia:calea către cele trei rădăcini ale ecuației x 3 +px+q=0 conduce prin operația imposibilă de luare a rădăcinii pătrate a unui număr negativ.

Acum rămâne să aflu cu ce mă voi confrunta în cazul în care ecuația are două rădăcini. Am ales o ecuație care are două rădăcini: x 3 - 12 x + 16 \u003d 0. p \u003d -12, q \u003d 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 \u003d 64-64 \u003d 0 D \u003d 64 - 64 \u003d 0. Acum s-ar putea concluziona că numărul de rădăcini ale unei ecuații cubice de forma x 3 + px + q \u003d 0 depinde de semnul discriminantului D=() 2 +() 3 in felul urmator:

Dacă D>0, atunci ecuația are 1 soluție.

Daca D

Dacă D=0, atunci ecuația are 2 soluții.

Am găsit confirmarea concluziei mele într-o carte de referință despre matematică, autorul N.I. Bronshtein. Deci concluzia mea: Formula lui Cardano poate fi folosită atunci când suntem siguri că rădăcina este unică. mie a reușit să stabilească că există o formulă pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații cubice, dar pentru forma x 3 + px + q \u003d 0.

3. Partea practică.

Lucrul la proiect „... m-a ajutat foarte mult la rezolvarea unor probleme cu parametrii. De exemplu:1. Pentru care este cea mai mică valoare naturală a ecuației x 3 -3x+4=a are 1 soluție? Ecuația a fost rescrisă sub formă x 3 -3x+4-a=0; p= -3; q=4-a. După condiție, trebuie să aibă 1 soluție, adică D>0 Aflați D. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == a 2 -8a+12>0

A (-∞;2) (6;∞)

Cea mai mică valoare naturală a lui a în acest interval este 1.

Răspuns. unu

2. La ce cea mai mare valoare naturală a parametrului a ecuației x 3 + x 2 -8x+2-a=0 are trei rădăcini?

Ecuația x 3 +3x 2 -24x + 6-3a = 0 aducem la forma y 3 + ru + q=0, unde a=1; at=3; c=-24; d=6-3а unde q= - + și 3 p = q=32-3a; p=-27. Pentru acest tip de ecuație D=() 2 + () 3 =() 2 +(-9) 3 = -729 =; D 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 și 1 = ==28 și 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

A (-7; 28)

Cea mai mare valoare naturală a lui a din acest interval: 28.

Raspunde.28

3. În funcție de valorile parametrului a, găsiți numărul de rădăcini ale ecuației x 3 - 3x - a \u003d 0

Soluţie. În ecuație, p = -3; q = -a. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

Pentru a (-∞;-2) (2;∞) ecuația are 1 soluție;

Când a (-2; 2) ecuația are 3 rădăcini;

Când un \u003d -2; Ecuația 2 are 2 soluții.

Teste:

1. Câte rădăcini au ecuațiile:

1) x 3 -12x+8=0?

a) 1; b) 2; în 3; d)4

2) x 3 -9x+14=0

a) 1; b) 2; în 3; d)4

2. La ce valori ale p ecuației x 3 +px+8=0 are două rădăcini?

a) 3; b) 5; în 3; d)5

Răspuns: 1.d) 4

2.c) 3.

3.c)-3

Matematicianul francez Francois Viet (1540-1603) cu 400 de ani înaintea noastră (Anexa 4) a reușit să stabilească o legătură între rădăcinile unei ecuații de gradul doi și coeficienții acestora.

X 1 + x 2 \u003d -p;

X 1 ∙x 2 \u003d q.

A devenit interesant pentru mine să aflu: este posibil să se stabilească o legătură între rădăcinile unei ecuații de gradul trei și coeficienții acestora? Dacă da, care este această legătură? Așa a apărut mini-proiectul meu. Am decis să-mi folosesc abilitățile patratice existente pentru a-mi rezolva problema. acţionat prin analogie. Am luat ecuația x 3 +px 2 +qх+r =0. Dacă notăm rădăcinile ecuației x 1, x 2, x 3 , atunci ecuația poate fi scrisă sub forma (x-x 1) (x-x 2) (x-x 3 )=0 Extindend parantezele, obținem: x 3 - (x 1 + x 2 + x 3) x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3) x - x 1 x 2 x 3 \u003d 0. Am urmatorul sistem:

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Astfel, se pot lega rădăcinile ecuațiilor de grad arbitrar la coeficienții lor.Ce se poate extrage, în întrebarea care mă interesează, din teorema lui Vieta?

1. Produsul tuturor rădăcinilor ecuației este egal cu modulul termenului liber. Dacă rădăcinile ecuației sunt numere întregi, atunci ele trebuie să fie divizori ai termenului liber.

Să revenim la ecuația x. 3 + 2x 2 -5x-6=0. Numerele întregi trebuie să aparțină mulțimii: ±1; ±2; ±3; ±6. Substituind succesiv numerele în ecuație, obținem rădăcinile: -3; -unu; 2.

2. Dacă rezolvați această ecuație prin factorizare, teorema lui Vieta oferă un „indiciu”:este necesar ca la alcătuirea grupurilor pentru extindere să apară numere - divizori ai termenului liber. Este clar că s-ar putea să nu înveți imediat, deoarece nu toți divizorii sunt rădăcinile ecuației. Și, din păcate, s-ar putea să nu funcționeze deloc - la urma urmei, rădăcinile ecuației pot să nu fie numere întregi.

Rezolvați ecuația x 3 +2x 2 -5x-6=0 factorizarea. X 3 + 2x 2 -5x-6 \u003d x 3 + (3x 2 - x 2) -3x-2x-6 \u003d x 2 (x + 3) - x (x + 3) - 2 (x + 3) \u003d (x + 3) (x 2 -x-2) \u003d \u003d (x + 3) (x 2 + x -2x -2) \u003d (x + 3) (x (x + 1) -2 (x + 1)) \u003d (x + 2) (x + 1) (x-2) Ecuația inițială este echivalent cu aceasta: ( x+2)(x+1)(x-2)=0. Și această ecuație are trei rădăcini: -3; -1; 2. Folosind „hint” al teoremei lui Vieta, am rezolvat următoarea ecuație: x 3 -12x+16=0 x 1 x 2 x 3 = -16. Divizori ai termenului liber: ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. X 3 -12x + 16 \u003d x 3 -4x-8x + 16 \u003d (x 3 -4x) - (8x-16) \u003d x (x 2 -4)-8(x-2)=x(x-2)(x+2)-8(x-2)=

\u003d (x-2) (x (x + 2) -8) \u003d (x-2) (x 2 + 2x-8) (x-2) (x 2 + 2x-8) \u003d 0 x- 2 \u003d 0 sau x 2 +2x-8=0 x=2 x 1 =-4; x 2 \u003d 2. Răspuns. -4; 2.

3. Cunoscând sistemul de egalități rezultat, puteți găsi coeficienții necunoscuți ai ecuației din rădăcinile ecuației.

Teste:

1. Ecuația x 3 + px 2 + 19x - 12=0 are rădăcinile 1, 3, 4. Aflați coeficientul p; Răspuns. a) 12; b) 19; la 12; d) -8 2. Ecuația x 3 - 10 x 2 + 41x + r=0 are rădăcinile 2, 3, 5. Aflați coeficientul r; Răspuns. a) 19; b) -10; c) 30; d) -30.

Sarcinile de aplicare a rezultatelor acestui proiect în cantități suficiente pot fi găsite în manualul pentru solicitanții universitari editat de M.I.Skanavi. Cunoașterea teoremei lui Vieta poate fi de un ajutor neprețuit în rezolvarea unor astfel de probleme.

№6.354

4. Concluzie

1. Există o formulă care exprimă rădăcinile ecuație algebrică prin coeficienții ecuației: unde D==() 2 + () 3 D>0, 1 soluție. Formula Cardano.

2. Proprietatea rădăcinilor unei ecuații cubice

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1 . x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Ca urmare, am ajuns la concluzia că există o formulă care exprimă rădăcinile ecuațiilor cubice în termeni de coeficienți ai acesteia și există și o legătură între rădăcinile și coeficienții ecuației.

5. Literatură:

1. Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician. A.P. Savin. –M.: Pedagogie, 1989.

2. Examen unificat de stat la matematică - 2004. Sarcini și soluții. V.G.Agakov, N.D.Polyakov, M.P.Urukova și alții.Ceboksary. Editura Chuvash. un-ta, 2004.

3. Ecuații și inegalități cu parametri. V.V.Mochalov, Silvestrov V.V. Ecuații și inegalități cu parametri: Proc. indemnizatie. -Cheboksary: Editura Chuvash. Universitatea, 2004.

4. Probleme de matematică. Algebră. Manual de referință. Vavilov V.V., Olehnik S.N.-M.: Nauka, 1987.

5.Reshebnik a tuturor problemelor competitive de matematică a colecției editate de M.I.Skanavi. Editura „Enciclopedia ucraineană” numită după M.P. Bazhov, 1993.

6. În spatele paginilor unui manual de algebră. L.F. Pichurin.-M.: Iluminismul, 1990.

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Să ne uităm în lumea formulelor

Educația matematică primită în școlile de învățământ general este cea mai importantă componentă a educației generale și a culturii generale a omului modern. Aproape tot ceea ce înconjoară o persoană este legat într-un fel sau altul de matematică. Iar ultimele realizări în fizică, tehnologie, tehnologia informației nu lasă nicio îndoială că în viitor starea de lucruri rămâne aceeași. Prin urmare, rezolvarea multor probleme practice se reduce la rezolvarea diferitelor tipuri de ecuații care trebuie învățate să le rezolve. Ecuații liniare de gradul I, am fost învățați să rezolvăm în clasa I și nu ne-am manifestat prea mult interes față de ele. Mai interesante sunt ecuațiile neliniare - ecuații de grade mari. Matematica dezvăluie ordinea, simetria și certitudinea, iar acestea sunt cele mai înalte forme de frumusețe. Introducere:

ecuația are forma (1) transformăm ecuația în așa fel încât să selectăm un cub exact: înmulțim (1) ecuațiile cu 3 (2) transformăm (2) ecuațiile obținem următoarea ecuație ridicăm laturile dreapta și stânga (3) ale ecuației la a treia putere găsim rădăcinile ecuației Exemple de soluții ecuații cubice

Ecuații cuadratice de forma în care discriminantul Printre numere reale fara radacini

Ecuația de gradul trei

Notă istorică: În acele vremuri îndepărtate, când înțelepții au început să se gândească la egalități care conțineau cantități necunoscute, probabil că nu existau încă monede sau portofele. În vechile probleme de matematică din Mesopotamia, India, China, Grecia, cantitățile necunoscute exprimau numărul de păuni din grădină, numărul de tauri din turmă, totalitatea lucrurilor luate în considerare la împărțirea proprietății. Surse care au ajuns la noi indică faptul că oamenii de știință antici posedau câteva metode generale de rezolvare a problemelor cu cantități necunoscute. Cu toate acestea, nici un papirus, nici o tabletă de lut nu oferă o descriere a acestor tehnici. Excepție este „Aritmetica” a matematicianului grec Diophantus din Alexandria (secolul al III-lea) - o colecție de probleme pentru compilarea ecuațiilor cu o prezentare sistematică a soluțiilor acestora. Cu toate acestea, lucrarea savantului de la Bagdad din secolul al IX-lea a devenit primul manual de rezolvare a problemelor care a devenit cunoscut pe scară largă. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi.

ecuația are forma (1) aplicăm formula 1) selectând pentru a găsi și astfel încât să fie îndeplinită următoarea egalitate, transformăm partea stângă a (1) ecuația astfel: selectați cubul complet ca y, obținem ecuația pentru y (2) simplificați (2) ecuația (3) În (3), termenul care conține pătratul necunoscutului a dispărut, dar termenul care conține prima putere a necunoscutului a rămas 2) prin selecție, găsiți o astfel de ca urmatoarea egalitate este indeplinita.Aceasta egalitate este imposibila deoarece exista un numar pozitiv in stanga si un numar negativ in stanga.Daca urmam aceasta cale, atunci ne blocam.... Pe calea aleasa vom esua. Încă nu am reușit să rezolvăm ecuația.

Ecuații cubice ale ecuației de forma în care (1) 1. Să simplificăm ecuațiile împărțite la a, apoi coeficientul de la „x” va deveni egal cu 1, prin urmare soluția oricărei ecuații cubice se bazează pe formula cubului sumei: (2) dacă luăm atunci ecuația (1) diferă de ecuația (2) doar coeficientul de la x și termenul liber. Adăugăm ecuațiile (1) și (2) și dăm altele asemănătoare: dacă facem o schimbare aici, obținem o ecuație cubică față de y fără termen:

Cardano Girolamo

Cardano Girolamo (24 septembrie 1501 – 21 septembrie 1576) a fost un matematician, mecanic și medic italian. Născut în Pavia. A studiat la universitățile din Pavia și Padova. În tinerețe, a practicat medicina. În 1534 a devenit profesor de matematică la Milano și Bologna. În matematică, numele Cardano este asociat de obicei cu o formulă de rezolvare a unei ecuații cubice, pe care a împrumutat-o de la N. Tartaglia. Această formulă a fost publicată în Cardano's Great Art, or On the Rules of Algebra (1545). De atunci, Tartaglia și Cardano au devenit dușmani de moarte. Această carte conturează sistematic metodele moderne ale lui Cardano pentru rezolvarea ecuațiilor, în principal a celor cubice. Cardano a efectuat o transformare liniară, care a făcut posibilă aducerea ecuației cubice într-o formă liberă de un termen de gradul 2; el a subliniat relația dintre rădăcinile și coeficienții ecuației, divizibilitatea polinomului prin diferența x – a, dacă a este rădăcina sa. Cardano a fost unul dintre primii din Europa care a admis existența rădăcinilor negative ale ecuațiilor. În opera sa, cantitățile imaginare apar pentru prima dată. În mecanică, Cardano a studiat teoria pârghiilor și greutăților. Una dintre mișcările unui segment de-a lungul laturilor unui unghi drept se numește mișcare cardan în mecanică. Biografia lui Cardano Girolamo

În același timp, în orașul italian Verona locuia un sărac profesor de matematică Nicolo (1499-1557), poreclit Tartaglia (adică bâlbâitul). Era foarte talentat și a reușit să redescopere tehnica lui Dal Ferro. A avut loc un duel între Fiore și Tartaglia. Conform condiției, rivalii au schimbat 30 de probleme, a căror soluție i s-a dat 50 de zile. Dar din moment ce Fior cunoștea în esență o singură problemă și era sigur că vreun profesor nu o poate rezolva, atunci toate cele 30 de probleme s-au dovedit a fi de același tip. Tartaglia s-a ocupat de ei în două ore. Fiore, în schimb, nu a putut rezolva niciuna dintre sarcinile propuse de inamic. Victoria a glorificat Tartaglia în toată Italia, dar problema nu a fost complet rezolvată. Acel truc simplu cu care am putut să ne ocupăm de un membru al ecuației care conținea pătratul unei valori necunoscute (selectarea unui cub plin) nu a fost încă descoperit și rezolvarea ecuatiilor tipuri diferite nu a fost introdus în sistem. Fiora se duelează cu Tartaglia

o ecuație de forma din această ecuație a se calculează discriminantul ecuației Nu numai că rădăcina acestei ecuații nu este complet extrasă, dar trebuie totuși extrasă dintr-un număr negativ. Ce s-a întâmplat? Se poate presupune că această ecuație nu are rădăcini, deoarece D

Rădăcinile unei ecuații cubice depind de discriminant ecuația are 1 soluție ecuația are 3 soluții ecuația are 2 soluții Concluzie

ecuația are forma găsiți rădăcinile ecuației folosind formula Cardano Exemple de rezolvare a ecuațiilor cubice folosind formula Cardano

o ecuație de forma (1) din această ecuație și întrucât, prin condiție, această ecuație ar trebui să aibă 1 soluție, atunci calculăm discriminantul (1) al ecuației + - + 2 6 Răspuns: cea mai mică valoare naturală a din acest interval este 1 La care este cea mai mică valoare naturală o ecuație are 1 soluție?

Rezolvarea ecuaţiilor cubice prin metoda Vieta Ecuaţiile au forma

Rezolvați ecuația dacă se știe că produsul celor două rădăcini ale sale este egal cu 1 conform teoremei Vieta și avem condiția, sau substituim valoarea în prima ecuație sau substituim valoarea din a treia ecuație în prima , vom găsi rădăcinile ecuației sau Răspuns:

Literatura folosită: „Matematică. Manual educațional și metodic » Yu.A. Gusman, A.O. Smirnov. Enciclopedie „Cunosc lumea. Matematică" - Moscova, AST, 1996. " Matematica. Suport didactic » V.T. Lisichkin. Un ghid pentru solicitanții la universități, editat de M.I.Skanavi. Singur Examen de stat la matematică - 2004

Multumesc pentru atentie

Disputa

FormulăCardano

Pod

Odesa

Disputa

Despre disputa care avea să aibă loc între celebrul matematician și nu mai puțin celebrul doctor, s-au exprimat doar presupunerile cele mai generale, întrucât nimeni nu știa cu adevărat nimic. Se spunea că unul dintre ei l-a înșelat pe celălalt (cine exact și cine exact este necunoscut). Aproape toți cei care s-au adunat în piață aveau cele mai vagi idei despre matematică, dar toată lumea aștepta cu nerăbdare începerea disputei. A fost mereu interesant, puteai să râzi de învins, indiferent dacă are dreptate sau greșit.

Când ceasul de la primărie a bătut cinci, porțile s-au deschis larg, iar mulțimea s-a repezit în interiorul catedralei. Pe ambele părți ale liniei centrale care leagă intrarea în altar, la cele două coloane laterale au fost ridicate două amvonuri înalte, destinate dezbaterilor. Cei prezenți au făcut zgomot puternic, nefiind atenți la faptul că se aflau în biserică. În cele din urmă, în fața grătarului de fier care despărțea catapeteasma de restul navei centrale, a apărut strigătorul orașului într-o mantie neagră și violetă și a proclamat: „Venerabili cetățeni ai orașului Milano! Acum va vorbi în fața dumneavoastră celebrul matematician Niccolò Tartaglia din Brenia. Adversarul său urma să fie matematicianul și medicul Geronimo Cardano. Niccolo Tartaglia îl acuză pe Cardano că a fost ultimul care a publicat în cartea sa „Ars magna” o metodă de rezolvare a unei ecuații de gradul 3, care îi aparține lui, Tartaglia. Cu toate acestea, Cardano însuși nu a putut veni la dispută și, prin urmare, și-a trimis studentul Luige Ferrari. Deci, dezbaterea este declarată deschisă, participanții acesteia sunt invitați la scaune. Un bărbat stingher, cu nasul cocoșat și cu barbă creț, s-a urcat pe amvonul din stânga intrării, iar un tânăr de vreo douăzeci de ani, cu un chip frumos și încrezător în sine, s-a urcat pe amvonul opus. Întreaga lui atitudine a arătat deplină încredere că fiecare gest și fiecare cuvânt al lui va fi primit cu încântare.

a început Tartaglia.

Stimati domni! Știți că acum 13 ani am reușit să găsesc o modalitate de a rezolva o ecuație de gradul 3, iar apoi, folosind această metodă, am câștigat o dispută cu Fiori. Metoda mea a atras atenția concetățeanului tău Cardano și el și-a folosit toată arta vicleană pentru a extrage secretul de la mine. Nu s-a oprit la înșelăciune sau la fals de-a dreptul. Mai știți că acum 3 ani a fost publicată la Nürnberg cartea lui Cardano despre regulile algebrei, unde metoda mea, furată atât de nerușinat, a fost pusă la dispoziția tuturor. I-am provocat pe Cardano și pe elevul lui la un meci. M-am oferit să rezolv 31 de probleme, același număr mi-a fost oferit de adversarii mei. Termenul de rezolvare a problemelor a fost de 15 zile. Am reușit în 7 zile să rezolv majoritatea problemelor care au fost compilate de Cardano și Ferrari. Le-am tipărit și le-am trimis prin curier la Milano. Cu toate acestea, a trebuit să aștept cinci luni întregi până am primit răspunsuri la problemele mele. Nu erau corecte. Acest lucru mi-a dat motive să îi provoc pe amândoi la o dezbatere publică.

Tartaglia a tăcut. Tânărul, privind la nefericitul Tartaglia, spuse:

Stimati domni! Demnul meu adversar și-a permis chiar din primele cuvinte ale discursului său să exprime atâtea calomnii împotriva mea și a profesorului meu, argumentul său era atât de neîntemeiat încât nu mi-ar fi luat nicio problemă să-l infirm pe primul și să-ți arăt inconsecvența celui de-al doilea. În primul rând, despre ce fel de înșelăciune putem vorbi dacă Niccolo Tartaglia ne-ar împărtăși cu totul voluntar metoda sa cu amândoi? Și iată cum scrie Geronimo Cardano despre rolul adversarului meu în descoperirea regulii algebrice. El spune că nu lui, Cardano, „ci prietenului meu Tartaglia îi aparține onoarea de a descoperi o inteligență umană atât de frumoasă și uimitoare, depășitoare și toate talentele spiritului uman. Această descoperire este cu adevărat un dar ceresc, o dovadă atât de excelentă a puterii minții care a înțeles-o, încât nimic nu poate fi considerat de neatins pentru ea.”

Adversarul meu ne-a acuzat pe mine și pe profesorul meu că am dat o soluție greșită problemelor sale. Dar cum poate rădăcina ecuației să fie greșită, dacă substituind-o în ecuație și efectuând toate acțiunile prescrise în această ecuație, ajungem la o identitate? Și deja dacă domnul Tartaglia vrea să fie consecvent, atunci a trebuit să răspundă la remarcă de ce noi, cei care am furat, dar în cuvintele lui, invenția sa și folosind-o pentru a rezolva problemele propuse, am găsit o soluție greșită. Noi – eu și profesorul meu – nu considerăm totuși că invenția signorului Tartaglia este lipsită de importanță. Această invenție este minunată. Mai mult, bazându-mă foarte mult pe el, am găsit o modalitate de a rezolva ecuația gradului al IV-lea, iar în „Ars magna” profesorul meu vorbește despre asta. Ce vrea domnul Tartaglia de la noi? Ce încearcă să obțină disputând?

Domnilor, domnilor, - strigă Tartaglia, - Vă rog să mă ascultați! Nu neg că tânărul meu adversar este foarte puternic în logică și elocvență. Dar aceasta nu poate înlocui o adevărată demonstrație matematică. Sarcinile pe care le-am dat lui Cardano și Ferrari nu sunt rezolvate corect, dar o voi dovedi. Într-adevăr, să luăm, de exemplu, o ecuație între cei care au rezolvat-o. Este cunoscut...

... Așa s-a încheiat această dispută, care continuă să provoace tot mai multe dispute și acum. Cine deține de fapt modalitatea de a rezolva ecuația de gradul 3? Vorbim acum - Niccolo Tartaglia. El a descoperit, iar Cardano a ademenit această descoperire din el. Și dacă acum numim formula care reprezintă rădăcinile unei ecuații de gradul 3 prin coeficienții ei formula Cardano, atunci aceasta este o nedreptate istorică. Totuși, este nedrept? Cum se calculează măsura participării la descoperirea fiecăruia dintre matematicieni? Poate că, în timp, cineva va putea răspunde cu siguranță la această întrebare sau poate rămâne un mister...

Formula Cardano

Dacă folosim limbajul matematic modern și simbolismul modern, atunci derivarea formulei Cardano poate fi găsită folosind următoarele considerații extrem de elementare:

Să ni se dea o ecuație generală de gradul 3:

ax 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Dacă punem

, apoi dăm ecuația (1) la minte

Să introducem o nouă necunoscută U folosind egalitatea

Prin introducerea acestei expresii în (2) , primim

prin urmare

Dacă numărătorul și numitorul celui de-al doilea termen se înmulțesc cu expresia și se iau în considerare, expresia rezultată pentru u se dovedește a fi simetric în raport cu semnele „+” și „-”, apoi obținem în sfârșit

(Produsul radicalilor cubi din ultima egalitate trebuie să fie egal p).

Aceasta este celebra formulă Cardano. Daca pleci de la yînapoi la X, apoi obținem o formulă care determină rădăcina ecuației generale de gradul 3.

Tânărul care o tratase cu atât de fără milă pe Tartaglia înțelegea matematica la fel de ușor precum înțelegea drepturile unui mister fără pretenții. Ferrari găsește o modalitate de a rezolva o ecuație de gradul 4. Cardano a inclus această metodă în cartea sa. Ce este această metodă?

Lasa (1)

- ecuația generală de gradul 4.

Daca punem,

apoi ecuația (1) poate fi adus în minte

Unde p,q,r sunt nişte coeficienţi în funcţie de a,b,c,d,e. Este ușor de observat că această ecuație poate fi scrisă în următoarea formă:

Într-adevăr, este suficient să deschidem parantezele, apoi toți membrii care conțin t, se anulează reciproc și revenim la ecuație (2) .

Să alegem parametrul t astfel încât partea dreaptă a ecuației (3) a fost un pătrat perfect cu privire la y. După cum se știe, o condiție necesară și suficientă pentru aceasta este dispariția discriminantului din coeficienții trinomului (în raport cu y) pe dreapta:

Am obținut ecuația cubică completă, pe care o putem rezolva deja. Să găsim o parte din rădăcina sa și să o punem în ecuație (3) , va lua acum forma

Aceasta este o ecuație pătratică. Rezolvând-o, puteți găsi rădăcina ecuației (2) , și, prin urmare (1) .

Cu 4 luni înainte de moartea sa, Cardano și-a încheiat autobiografia, pe care o scria intens în ultimul an și care trebuia să-și rezumă viața dificilă. A simțit apropierea morții. Potrivit unor rapoarte, propriul său horoscop a legat moartea sa cu împlinirea a 75 de ani. A murit la 21 septembrie 1576. cu 2 zile înainte de aniversare. Există o versiune conform căreia s-a sinucis în așteptarea morții iminente sau chiar pentru a confirma horoscopul. În orice caz, Cardano, un astrolog, a luat horoscopul în serios.

O notă despre formula lui Cardano

Să analizăm formula de rezolvare a ecuației în domeniul real. Asa de,

La calcul X trebuie să luăm mai întâi rădăcina pătrată și apoi rădăcina cubă. Putem extrage rădăcina pătrată în timp ce rămânem în domeniul real dacă . Două valori ale rădăcinii pătrate, care diferă ca semn, apar în termeni diferiți pentru X. Valori rădăcină cubăîn domeniul real este unic și se obține o rădăcină reală unică X la . Examinând graficul trinomului cubic, este ușor de verificat că are de fapt o singură rădăcină reală la . Când există trei rădăcini reale. Pentru , există o rădăcină reală dublă și o singură, iar pentru - o rădăcină triplă x=0.

Să continuăm studiul formulei pentru . Se dovedește. Ce se întâmplă dacă, în acest caz, o ecuație cu coeficienți întregi are o rădăcină întreagă, atunci când se calculează conform formulei, pot apărea iraționalități intermediare. De exemplu, ecuația are o singură rădăcină (reala) - x=1. Formula lui Cardano dă expresiei acestei rădăcini reale unice

Dar, de fapt, orice demonstrație implică utilizarea faptului că această expresie este rădăcina ecuației. Dacă nu ghiciți, radicalii cubici indestructibili vor apărea în timpul transformării.

Problema Cardano-Tartaglia a fost uitată curând. Formula pentru rezolvarea ecuației cubice a fost asociată cu „Marea Artă” și a început treptat să fie numită formulă Cardano.

Mulți aveau dorința de a restabili imaginea adevărată a evenimentelor într-o situație în care participanții lor nu spuneau cu siguranță întregul adevăr. Pentru mulți, a fost important să stabilească amploarea vinovăției lui Cardano. Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, o parte din discuții au început să capete caracterul unei cercetări istorice și matematice serioase. Matematicienii și-au dat seama ce rol important a jucat opera lui Cardano la sfârșitul secolului al XVI-lea. Ceea ce a notat Leibniz chiar mai devreme a devenit clar: „Cardano a fost un om grozav pentru toate neajunsurile sale; fără ei ar fi perfect.”

MUNICIPAL VII CONFERINȚA ȘTIINȚIFICĂ ȘI PRACTICĂ A STUDENTILOR „TINERET: CREATIVITATE, CĂUTARE, SUCCES”

Anninsky raza municipala

Regiunea Voronej

Secțiune:MATEMATICA

Subiect:„Formula Cardano: istorie și aplicații”

Școala secundară MKOU Anninskaya nr. 3, clasa 9 „B”.

Niccolò Fontana Tartaglia (1499-1557) a fost un matematician italian.

În general, istoria spune că formula a fost inițial descoperită de Tartaglia și predată lui Cardano deja în formă terminată, dar Cardano însuși a negat acest fapt, deși nu a negat implicarea lui Tartaglia în crearea formulei.

În spatele formulei, denumirea „formula lui Cardano” este ferm înrădăcinată, în onoarea omului de știință care chiar a explicat-o și a prezentat-o publicului.

Când ceasul de la primărie a bătut cinci, porțile s-au deschis larg, iar mulțimea s-a repezit în interiorul catedralei. Pe ambele părți ale liniei centrale care leagă intrarea în altar, la cele două coloane laterale au fost ridicate două amvonuri înalte, destinate dezbaterilor. Cei prezenți au făcut zgomot puternic, nefiind atenți la faptul că se aflau în biserică. În cele din urmă, în fața grătarului de fier care despărțea catapeteasma de restul navei centrale, a apărut strigătorul orașului într-o mantie neagră și violetă și a proclamat: „Venerabili cetățeni ai orașului Milano! Acum va vorbi în fața dumneavoastră celebrul matematician Niccolò Tartaglia din Brenia. Adversarul său urma să fie matematicianul și medicul Geronimo Cardano. Niccolo Tartaglia îl acuză pe Cardano că a publicat în cartea sa „Arsmagna” o metodă de rezolvare a unei ecuații de gradul 3, care îi aparține lui, Tartaglia. Cu toate acestea, Cardano însuși nu a putut veni la dispută și, prin urmare, și-a trimis studentul Luige Ferrari. Deci, dezbaterea este declarată deschisă, participanții acesteia sunt invitați la scaune. Un bărbat stingher, cu nasul cocoșat și cu barbă creț, s-a urcat pe amvonul din stânga intrării, iar un tânăr de vreo douăzeci de ani, cu un chip frumos și încrezător în sine, s-a urcat pe amvonul opus. Întreaga lui atitudine a arătat deplină încredere că fiecare gest și fiecare cuvânt al lui va fi primit cu încântare.

a început Tartaglia.

Tartaglia a tăcut. Tânărul, privind la nefericitul Tartaglia, spuse:

Adversarul meu ne-a acuzat pe mine și pe profesorul meu că am dat o soluție greșită problemelor sale. Dar cum poate rădăcina ecuației să fie greșită, dacă substituind-o în ecuație și efectuând toate acțiunile prescrise în această ecuație, ajungem la o identitate? Și deja dacă domnul Tartaglia vrea să fie consecvent, atunci a trebuit să răspundă la remarcă de ce noi, care, în cuvintele lui, i-am furat invenția și am folosit-o pentru a rezolva problemele propuse, am primit soluția greșită. Noi – eu și profesorul meu – nu considerăm totuși că invenția signorului Tartaglia este lipsită de importanță. Această invenție este minunată. Mai mult, bazându-mă mult pe el, am găsit o modalitate de a rezolva ecuația gradului al IV-lea, iar în „Arsmagna” profesorul meu vorbește despre asta. Ce vrea domnul Tartaglia de la noi? Ce încearcă să obțină disputând?

Domnilor, domnilor, - strigă Tartaglia, - Vă rog să mă ascultați! Nu neg că tânărul meu adversar este foarte puternic în logică și elocvență. Dar aceasta nu poate înlocui o adevărată demonstrație matematică. Sarcinile pe care le-am dat lui Cardano și Ferrari sunt rezolvate greșit, dar o voi dovedi. Într-adevăr, să luăm, de exemplu, o ecuație între cei care au rezolvat-o. Este cunoscut...

Astfel s-a încheiat această dispută, care continuă să provoace tot mai multe dispute până în zilele noastre. Cine deține de fapt modalitatea de a rezolva ecuația de gradul 3? Vorbim acum - Niccolo Tartaglia. El a descoperit, iar Cardano a ademenit această descoperire din el. Și dacă acum numim formula care reprezintă rădăcinile unei ecuații de gradul 3 prin coeficienții ei formula Cardano, atunci aceasta este o nedreptate istorică. Totuși, este nedrept? Cum se calculează măsura participării la descoperirea fiecăruia dintre matematicieni? Poate că, în timp, cineva va putea răspunde cu siguranță la această întrebare sau poate rămâne un mister...

Dacă folosim limbajul matematic modern și simbolismul modern, atunci derivarea formulei Cardano poate fi găsită folosind următoarele considerații extrem de elementare:

Să ni se dea o ecuație generală de gradul 3:

X 3 + topor 2 + bx + c = 0,

(1)

Undea, b, c – numere reale arbitrare.

Să înlocuim în ecuația (1) variabilaX la o nouă variabilă ydupa formula:

X 3 +ax 2 +bx+c = (y ) 3 + a(y ) 2 + b(y ) + c = y 3 3 ani 2 + 3 ani+ a(y 2 2 ani+de către =y 3 y 3 + (b

atunci ecuația (1) ia formay 3 + ( b

Dacă introducem notaţiap = b, q = ,

atunci ecuația va lua formay 3 + py + q = 0.

Aceasta este celebra formulă Cardano.

Rădăcinile ecuației cubicey 3 + py + q = 0 depind de discriminant

DacăD> 0, atunciun polinom cubic are trei rădăcini reale distincte.

DacăD< 0, то un polinom cubic are o rădăcină reală și două rădăcini complexe (care sunt conjugate complexe).

DacăD = 0, are o rădăcină multiplă (fie o rădăcină a multiplicității 2 și o rădăcină a multiplicității 1, ambele reale; fie o singură rădăcină reală a multiplicității 3).

2.4. Exemple de moduri universale de rezolvare a ecuațiilor cubice

Să încercăm să aplicăm formula Cardan la soluția unor ecuații specifice.

Exemplul 1: X 3 +15 X+124 = 0

Aicip = 15; q = 124.

Răspuns:X

O ecuație cubică care conține coeficienți cu rădăcină reală, celelalte două sunt considerate o pereche conjugată complexă. Se vor lua în considerare ecuațiile cu binoame și ecuații reciproce, precum și cu căutare rădăcini raționale. Toate informațiile vor fi susținute de exemple.

Rezolvarea unei ecuații cubice cu doi termeni de forma A x 3 + B = 0

O ecuație cubică care conține un binom are forma A x 3 + B = 0 . Trebuie redus la x 3 + B A \u003d 0 prin împărțirea la A, care este diferită de zero. După aceea, puteți aplica formula pentru înmulțirea prescurtată a sumei cuburilor. Înțelegem asta

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 - B A 3 x + B A 2 3 = 0

Rezultatul primei paranteze va lua forma x \u003d - B A 3 și trinomul pătrat - x 2 - B A 3 x + B A 2 3 și numai cu rădăcini complexe.

Exemplul 1

Aflați rădăcinile ecuației cubice 2 x 3 - 3 = 0.

Soluţie

Trebuie să găsiți x din ecuație. Hai să scriem:

2 x 3 - 3 = 0 x 3 - 3 2 = 0

Este necesar să se aplice formula de înmulțire prescurtată. Atunci obținem asta

x 3 - 3 2 = 0 x - 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Extindeți prima paranteză și obțineți x = 3 3 2 6 . A doua paranteză nu are rădăcini reale deoarece discriminantul este mai mic decât zero.

Răspuns: x = 3 3 2 6 .

Rezolvarea ecuației cubice reciproce de forma A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Forma ecuației pătratice este A x 3 + B x 2 + B x + A \u003d 0, unde valorile A și B sunt coeficienți. Este necesară gruparea. Înțelegem asta

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 - x + 1 + B xx + 1 = x + 1 A x 2 + x B-A+A

Rădăcina ecuației este x \u003d - 1, apoi pentru a obține rădăcinile trinom pătrat A x 2 + x B - A + A trebuie folosit prin găsirea discriminantului.

Exemplul 2

Rezolvați o ecuație ca 5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 0 .

Soluţie

Ecuația este reversibilă. Este necesară gruparea. Înțelegem asta

5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 - 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 - x + 1 - 8 xx + 1 = x + 1 5 x 2 - 5 x + 5 - 8 x = = x + 1 5 x 2 - 13 x + 5 = 0

Dacă x \u003d - 1 este rădăcina ecuației, atunci trebuie să găsiți rădăcinile trinomului dat 5 x 2 - 13 x + 5:

5 x 2 - 13 x + 5 = 0 D = (- 13) 2 - 4 5 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 - 69 2 5 = 13 10 - 69 10

Răspuns:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 - 69 10 x 3 = - 1

Rezolvarea ecuațiilor cubice cu rădăcini raționale

Dacă x \u003d 0, atunci este rădăcina ecuației de forma A x 3 + B x 2 + C x + D \u003d 0. Cu un termen liber D \u003d 0, ecuația ia forma A x 3 + B x 2 + C x \u003d 0. Când x este scos din paranteze, obținem că ecuația se schimbă. La rezolvarea prin discriminant sau Vieta, acesta va lua forma x A x 2 + B x + C = 0 .

Exemplul 3

Aflați rădăcinile ecuației date 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Soluţie

Să simplificăm expresia.

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

X = 0 este rădăcina ecuației. Ar trebui să găsiți rădăcinile unui trinom pătrat de forma 3 x 2 + 4 x + 2. Pentru a face acest lucru, este necesar să echivalăm cu zero și să continuați soluția folosind discriminantul. Înțelegem asta

D \u003d 4 2 - 4 3 2 \u003d - 8. Deoarece valoarea sa este negativă, nu există rădăcini trinomiale.

Răspuns: x = 0.

Când coeficienții ecuației A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 sunt numere întregi, atunci în răspuns puteți obține rădăcini iraționale. Dacă A ≠ 1, atunci când înmulțim cu A 2 ambele părți ale ecuației, se efectuează o schimbare a variabilelor, adică y \u003d A x:

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 x 3 + B A 2 x 2 + C A A x + D A 2 = 0 y = A x ⇒ y 3 + B y 2 + C A y + D A 2

Ajungem la forma unei ecuații cubice. Rădăcinile pot fi întregi sau raționale. Pentru a obține o egalitate identică, este necesar să înlocuiți divizori în ecuația rezultată. Apoi y 1 rezultat va fi rădăcina. Aceasta înseamnă că rădăcina ecuației inițiale de forma x 1 = y 1 A . Este necesar să se împartă polinomul A x 3 + B x 2 + C x + D la x - x 1 . Apoi putem găsi rădăcinile trinomului pătrat.

Exemplul 4

Soluţie

Este necesar să se efectueze o transformare prin înmulțirea ambelor părți cu 2 2 și cu schimbarea unei variabile de tip y \u003d 2 x. Înțelegem asta

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 - 11 2 2 x 2 + 24 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Termenul liber este 36, atunci trebuie să-i remediați toți divizorii:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Este necesar să se facă o substituție y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 pentru a obține o identitate de formă

1 3 - 11 1 2 + 24 1 + 36 = 50 ≠ 0 (- 1) 3 - 11 (- 1) 2 + 24 (- 1) + 36 = 0

De aici vedem că y \u003d - 1 este rădăcina. Deci x = y 2 = - 1 2 .

Avem asta

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 - 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 - 6 x + 9

După aceea, trebuie să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice de forma x 2 - 6 x + 9. Avem că ecuația ar trebui redusă la forma x 2 - 6 x + 9 \u003d x - 3 2, unde x \u003d 3 va fi rădăcina sa.

Răspuns: x 1 \u003d - 1 2, x 2, 3 \u003d 3.

cometariu

Algoritmul poate fi aplicat ecuațiilor reciproce. Se poate observa că - 1 este rădăcina sa, ceea ce înseamnă că partea stângă poate fi împărțită la x + 1. Abia atunci va fi posibil să găsim rădăcinile trinomului pătrat. În absența rădăcinilor raționale, se folosesc alte metode de rezolvare pentru factorizarea polinomului.

Rezolvarea ecuațiilor cubice folosind formula Cardano

Găsirea rădăcinilor cubice este posibilă folosind formula Cardano. Pentru A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0, trebuie să găsiți B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

Atunci p = - B 1 2 3 + B 2 și q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 .

P și q rezultate în formula lui Cardano. Înțelegem asta

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - q 2 4 + p 3 27 3

Selectarea rădăcinilor cubice trebuie să satisfacă valoarea de ieșire - p 3 . Atunci rădăcinile ecuației inițiale x = y - B 1 3 . Luați în considerare rezolvarea exemplului anterior folosind formula lui Cardano.

Exemplul 5

Aflați rădăcinile ecuației date 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Soluţie

Se poate observa că A 0 \u003d 2, A 1 \u003d - 11, A 2 \u003d 12, A 3 \u003d 9.

Este necesar să găsim B 1 = A 1 A 0 = - 11 2, B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6, B 3 = A 3 A 0 = 9 2.

De aici rezultă că

p = - B 1 2 3 + B 2 = - - 11 2 2 3 + 6 = - 121 12 + 6 = - 49 12 q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 = 2 - 11 2 3 27 - - 11 2 6 3 + 9 2 = 343 108

Facem o înlocuire în formula Cordano și obținem

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - - q 2 4 + p 3 27 3 = = - 343 216 + 343 2 4 108 2 - 49 3 27 12 3 3 + - 343 216 - 343 2 4 108 2 - 49 3 27 12 3 3 = = - 343 216 3 + - 343 216 3

343 216 3 are trei sensuri. Să le luăm în considerare mai jos.

343 216 3 \u003d 7 6 cos π + 2 π k 3 + i sin π + 2 π k 3, k \u003d 0, 1, 2

Dacă k \u003d 0, atunci - 343 216 3 \u003d 7 6 cos π 3 + i sin π 3 \u003d 7 6 1 2 + i 3 2

Dacă k = 1 atunci - 343 216 3 = 7 6 cosπ + i sinπ = - 7 6

Dacă k \u003d 2, atunci - 343 216 3 \u003d 7 6 cos 5 π 3 + i sin 5 π 3 \u003d 7 6 1 2 - i 3 2

Este necesar să ne împărțim în perechi, apoi obținem - p 3 = 49 36 .

Apoi obținem perechi: 7 6 1 2 + i 3 2 și 7 6 1 2 - i 3 2 , - 7 6 și - 7 6 , 7 6 1 2 - i 3 2 și 7 6 1 2 + i 3 2.

Să transformăm folosind formula Cordano:

y 1 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i 3 2 + 7 6 1 2 - i 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = - 7 6 + - 7 6 = - 14 6 y 3 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 - i 3 2 + 7 6 1 2 + i 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 - B 1 3 = - 14 6 + 11 6 = - 1 2 x 3 = y 3 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Răspuns: x 1 \u003d - 1 2, x 2, 3 \u003d 3

La rezolvarea ecuațiilor cubice, se poate întâlni reducerea la soluția ecuațiilor de gradul 4 prin metoda Ferrari.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter