Instruire

Unghiurile opuse catetelor a și b vor fi notate cu A și, respectiv, B. Ipotenuza, prin definiție, este latura triunghi dreptunghic, care este opus unghiului drept (în același timp, ipotenuza formează unghiuri ascuțite cu celelalte laturi ale triunghiului). Să notăm lungimea ipotenuzei cu s.

Vei avea nevoie:
Calculator.

Folosiți următoarea expresie pentru catetul: a=sqrt(c^2-b^2), dacă cunoașteți valorile ipotenuzei și ale celuilalt catet. Această expresie este derivată din teorema lui Pitagora, care afirmă că pătratul ipotenuzei unui triunghi este egal cu suma pătratelor catetelor. Operatorul sqrt reprezintă extracție rădăcină pătrată. Semnul „^2” înseamnă ridicarea la a doua putere.

Utilizați formula a=c*sinA dacă cunoașteți ipotenuza (c) și unghiul opus catetei dorite (am desemnat acest unghi ca A).
Folosiți expresia a=c*cosB pentru a găsi catetul dacă cunoașteți ipotenuza (c) și unghiul adiacent catetei dorite (am desemnat acest unghi drept B).
Calculați piciorul folosind formula a = b * tgA în cazul în care sunt date cateta b și unghiul opus catetului dorit (am convenit să notăm acest unghi ca A).

Notă:
Dacă în sarcina dvs. piciorul nu este găsit prin niciuna dintre metodele descrise, cel mai probabil poate fi redus la una dintre ele.

Sfaturi utile:
Toate aceste expresii sunt obținute din binecunoscutele definiții ale funcțiilor trigonometrice, așa că, chiar dacă ați uitat una dintre ele, o puteți deriva oricând rapid cu operații simple. De asemenea, este util să cunoașteți valorile funcțiilor trigonometrice pentru cele mai tipice unghiuri 30, 45, 60, 90, 180 de grade.

Înainte de a găsi ipotenuza unui triunghi, trebuie să vă dați seama ce caracteristici are această figură. Să le luăm în considerare pe cele principale:

1. Într-un triunghi dreptunghic, ambele unghiuri ascuțite se adună până la 90º.
2. Un picior situat opus unui unghi de 30º va fi egal cu jumătate din ipotenuză.
3. Dacă catetul este egal cu ½ din valoarea ipotenuzei, atunci al doilea unghi va avea aceeași valoare - 30º.

Există mai multe moduri de a găsi ipotenuza într-un triunghi dreptunghic. Cea mai simplă soluție este calculul prin picioare. Să presupunem că cunoașteți valorile catetelor laturilor A și B. Atunci teorema lui Pitagora vine în ajutor, spunându-ne că dacă pătram valoarea fiecărui catete și însumăm datele obținute, vom afla care este ipotenuza este. Astfel, trebuie doar să extragem valoarea rădăcinii pătrate:

De exemplu, dacă piciorul A = 3 cm și piciorul B = 4 cm, atunci calculul ar arăta astfel:

Cum se găsește ipotenuza printr-un unghi?

O altă modalitate de a ajuta să aflați cu ce este egală ipotenuza dintr-un triunghi dreptunghic este să calculați printr-un unghi dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să derivăm valoarea prin formula sinusului. Să presupunem că știm valoarea catetei (A) și valoarea unghiului opus (α). Atunci întreaga soluție este într-o singură formulă: С=А/sin(α).

De exemplu, dacă lungimea catetei este de 40 cm și unghiul este de 45°, atunci lungimea ipotenuzei poate fi derivată după cum urmează:

De asemenea, puteți determina valoarea dorită prin cosinusul unui unghi dat. Să presupunem că cunoaștem valoarea unui picior (B) și a unui unghi ascuțit inclus (α). Atunci este nevoie de o formulă pentru a rezolva problema: С=В/ cos(α).

De exemplu, dacă lungimea catetei este de 50 cm și unghiul este de 45°, atunci ipotenuza poate fi calculată după cum urmează:

Astfel, am examinat principalele modalități de a afla ipotenuza într-un triunghi. În cursul rezolvării sarcinii, este important să se concentreze asupra datelor disponibile, apoi găsirea valorii necunoscute va fi destul de simplă. Trebuie să știi doar câteva formule și procesul de rezolvare a problemelor va deveni simplu și plăcut.

Cunoscând unul dintre catetele dintr-un triunghi dreptunghic, puteți găsi al doilea catete și ipotenuza folosind relații trigonometrice - sinusul și tangenta unui unghi cunoscut. Deoarece raportul catetului opus unghiului față de ipotenuză este egal cu sinusul acestui unghi, prin urmare, pentru a găsi ipotenuza, catetul trebuie împărțit la sinusul unghiului. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Al doilea catet poate fi găsit din tangenta unghiului cunoscut, ca raport dintre catetul cunoscut și tangenta. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Pentru a calcula unghiul necunoscut într-un triunghi dreptunghic, trebuie să scădeți unghiul α de la 90 de grade. β=90°-α

Perimetrul și aria unui triunghi dreptunghic prin catete și unghiul opus acestuia pot fi exprimate prin înlocuirea expresiilor obținute anterior pentru al doilea catet și ipotenuză în formule. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Înălțimea se poate calcula și prin relații trigonometrice, dar deja în triunghiul dreptunghic intern cu latura a, pe care îl formează. Pentru a face acest lucru, aveți nevoie de latura a, ca ipotenuză a unui astfel de triunghi, înmulțită cu sinusul unghiului β sau cosinusul lui α, deoarece în funcție de identitățile trigonometrice acestea sunt echivalente. (fig. 79.2) h=a cos⁡α

Mediana ipotenuzei este egală cu jumătate din ipotenuză sau catetul cunoscut a împărțit la două sinusuri α. Pentru a găsi medianele catetelor, aducem formulele la forma corespunzătoare pentru latura și unghiurile cunoscute. (fig.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

De când bisectoare unghi dreptîntr-un triunghi este produsul a două laturi și rădăcina a două, împărțit la suma acestor laturi, apoi înlocuind unul dintre catete cu raportul catetului cunoscut la tangentă, obținem următoarea expresie. În mod similar, prin înlocuirea raportului în a doua și a treia formulă, se pot calcula bisectoarele unghiurilor α și β. (fig.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Linia de mijloc este paralelă cu una dintre laturile triunghiului, formând în același timp un alt triunghi dreptunghic similar cu aceleași unghiuri, în care toate laturile au jumătate din dimensiunea celui original. Pe baza acestui lucru, liniile de mijloc pot fi găsite de următoarele formule, cunoscând doar piciorul și unghiul opus acestuia. (fig.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Raza cercului înscris este egală cu diferența dintre catete și ipotenuza împărțită la doi, iar pentru a găsi raza cercului circumscris, trebuie să împărțiți ipotenuza la două. Inlocuim al doilea catet si ipotenuza cu rapoartele catetului a la sinus si, respectiv, tangenta. (Fig. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Primele sunt segmente care sunt adiacente unghiului drept, iar ipotenuza este cea mai lungă parte a figurii și este opusă unghiului de 90 de grade. Un triunghi pitagoreic este unul ale cărui laturi sunt egale numere naturale; lungimile lor în acest caz se numesc „triploul pitagoreic”.

triunghi egiptean

Pentru ca generația actuală să învețe geometria în forma în care se predă acum la școală, aceasta a fost dezvoltată de câteva secole. Punctul fundamental este teorema lui Pitagora. Laturile unui dreptunghi sunt cunoscute lumii întregi) sunt 3, 4, 5.

Puțini oameni nu sunt familiarizați cu expresia „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”. Cu toate acestea, de fapt, teorema sună astfel: c 2 (pătratul ipotenuzei) \u003d a 2 + b 2 (suma pătratelor catetelor).

Dintre matematicieni, un triunghi cu laturile 3, 4, 5 (cm, m etc.) se numește „egiptean”. Este interesant că ceea ce este înscris în figură este egal cu unu. Numele a apărut în jurul secolului al V-lea î.Hr., când filozofii greci au călătorit în Egipt.

La construirea piramidelor, arhitecții și topografii au folosit raportul 3:4:5. Astfel de structuri s-au dovedit a fi proporționale, plăcute la vedere și spațioase și, de asemenea, s-au prăbușit rar.

Pentru a construi un unghi drept, constructorii au folosit o frânghie de care se legau 12 noduri. În acest caz, probabilitatea de a construi un triunghi dreptunghic a crescut la 95%.

Semne de egalitate a cifrelor

• Un unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic și o latură mare, care sunt egale cu aceleași elemente din al doilea triunghi, sunt un semn incontestabil al egalității figurilor. Ținând cont de suma unghiurilor, este ușor de demonstrat că și al doilea unghi ascuțit este egal. Astfel, triunghiurile sunt identice la al doilea criteriu.
• Când două figuri sunt suprapuse una peste alta, le rotim în așa fel încât, atunci când sunt combinate, ele devin un triunghi isoscel. După proprietatea sa, laturile, sau mai bine zis, ipotenuzele, sunt egale, precum și unghiurile de la bază, ceea ce înseamnă că aceste cifre sunt aceleași.

Prin primul semn, este foarte ușor să demonstrezi că triunghiurile sunt cu adevărat egale, principalul lucru este că cele două laturi mai mici (adică picioarele) sunt egale între ele.

Triunghiurile vor fi aceleași conform semnului II, a cărui esență este egalitatea piciorului și unghiul ascuțit.

Proprietățile triunghiului dreptunghic

Înălțimea, care a fost coborâtă dintr-un unghi drept, împarte figura în două părți egale.

Laturile unui triunghi dreptunghic și mediana acestuia sunt ușor de recunoscut după regulă: mediana, care este coborâtă la ipotenuză, este egală cu jumătate din aceasta. poate fi găsită atât prin formula lui Heron cât și prin afirmația că este egală cu jumătate din produsul picioarelor.

Într-un triunghi dreptunghic se aplică proprietățile unghiurilor de 30 o, 45 o și 60 o.

• La un unghi de 30 °, trebuie amintit că piciorul opus va fi egal cu 1/2 din latura cea mai mare.
• Dacă unghiul este de 45o, atunci și al doilea unghi ascuțit este de 45o. Acest lucru sugerează că triunghiul este isoscel, iar picioarele sale sunt aceleași.
• Proprietatea unui unghi de 60 de grade este că al treilea unghi are o măsură de 30 de grade.

Zona este ușor de găsit cu una dintre cele trei formule:

1. prin înălțimea și latura pe care coboară;
2. după formula lui Heron;
3. de-a lungul laturilor și unghiul dintre ele.

Laturile unui triunghi dreptunghic, sau mai degrabă catetele, converg cu două înălțimi. Pentru a găsi al treilea, este necesar să se ia în considerare triunghiul rezultat și apoi, folosind teorema lui Pitagora, să se calculeze lungimea necesară. Pe lângă această formulă, există și raportul dintre dublul ariei și lungimea ipotenuzei. Cea mai comună expresie în rândul studenților este prima, deoarece necesită mai puține calcule.

Teoreme care se aplică unui triunghi dreptunghic

Geometria unui triunghi dreptunghic include utilizarea unor teoreme precum:

Un triunghi dreptunghic conține un număr mare de dependențe. Acest lucru îl face o țintă atractivă pentru tot felul de probleme geometrice. Una dintre cele mai frecvente probleme este găsirea ipotenuzei.

Triunghi dreptunghic

Un triunghi dreptunghic este un triunghi care conține un unghi drept, adică. unghi de 90 de grade. Numai într-un triunghi dreptunghic se poate exprima funcții trigonometrice prin dimensiunile laturilor. Într-un triunghi arbitrar, vor trebui făcute construcții suplimentare.
Într-un triunghi dreptunghic, două din cele trei înălțimi coincid cu laturile se numesc catete. A treia latură se numește ipotenuză. Înălțimea trasată la ipotenuză este singura din acest tip de triunghi care necesită construcții suplimentare.

Orez. 1. Tipuri de triunghiuri.

Un triunghi dreptunghic nu poate avea unghiuri obtuze. Așa cum existența unui al doilea unghi drept este imposibilă. În acest caz, identitatea sumei unghiurilor unui triunghi, care este întotdeauna egală cu 180 de grade, este încălcată.

Ipotenuză

Să trecem direct la ipotenuza triunghiului. Ipotenuza este cea mai lungă latură a unui triunghi. Ipotenuza este întotdeauna mai mare decât oricare dintre catete, dar este întotdeauna mai mică decât suma catetelor. Aceasta este o consecință a teoremei inegalității triunghiului.

Teorema spune că într-un triunghi, niciuna dintre laturi nu poate fi mai mare decât suma celorlalte două. Există și o a doua formulare sau a doua parte a teoremei: într-un triunghi, opus laturii mai mari, există un unghi mai mare și invers.

Orez. 2. Triunghi dreptunghic.

Într-un triunghi dreptunghic, un unghi drept este un unghi mare, deoarece nu poate exista un al doilea unghi drept sau un unghi obtuz din motivele deja menționate. Aceasta înseamnă că cea mai lungă latură se află întotdeauna opusă unghiului drept.

Pare de neînțeles de ce exact un triunghi dreptunghic merită un nume separat pentru fiecare dintre laturi. De fapt, în triunghi isoscel laturile au si denumiri proprii: laturi si baza. Dar pentru picioare și ipotenuze profesorilor le place mai ales să pună doi. De ce? Pe de o parte, acesta este un tribut adus memoriei grecilor antici, inventatorii matematicii. Ei au fost cei care au studiat triunghiurile dreptunghiulare și, împreună cu aceste cunoștințe, au lăsat un întreg strat de informații pe care să construiască stiinta moderna. Pe de altă parte, existența acestor nume simplifică foarte mult formularea teoremelor și a identităților trigonometrice.

teorema lui Pitagora

Dacă un profesor întreabă despre formula ipotenuzei unui triunghi dreptunghic, atunci cu o probabilitate de 90%, el înseamnă teorema lui Pitagora. Teorema spune: într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Orez. 3. Hipotenuza unui triunghi dreptunghic.

Fiți atenți la cât de clar și succint este formulată teorema. O astfel de simplitate nu poate fi obținută fără utilizarea conceptelor de ipotenuză și catete.

Teorema are următoarea formulă:

$c^2=b^2+a^2$ – unde c este ipotenuza, a și b sunt catetele unui triunghi dreptunghic.

Ce am învățat?

Am vorbit despre ce este un triunghi dreptunghic. Am aflat de ce au venit cu numele catetelor și ale ipotenuzei. Am aflat câteva proprietăți ale ipotenuzei și am dat formula pentru lungimea ipotenuzei unui triunghi prin teorema lui Pitagora.

Test cu subiecte

Evaluarea articolului

Rata medie: 4.6. Evaluări totale primite: 213.