6.1. Informatii generale

Centrul Forțelor Paralele
Luați în considerare două forțe paralele îndreptate în aceeași direcție , și , aplicate corpului în puncte DAR 1 și DAR 2 (fig.6.1). Acest sistem de forțe are o rezultantă, a cărei linie de acțiune trece printr-un anumit punct DIN. Poziția punctului DIN poate fi găsit folosind teorema lui Varignon:

Dacă întoarceți forța și aproape de puncte DAR 1 și DAR 2 într-o direcție și în același unghi, obținem sistem nou grăsimi paralele având aceleași module. În acest caz, rezultanta lor va trece și prin punct DIN. Un astfel de punct se numește centrul forțelor paralele.
Luați în considerare un sistem de forțe paralele și egal direcționate aplicate unui corp rigid în puncte. Acest sistem are o rezultantă.
Dacă fiecare forță a sistemului este rotită în apropierea punctelor de aplicare a lor în aceeași direcție și la același unghi, atunci se vor obține noi sisteme de forțe paralele egal direcționate cu aceleași module și puncte de aplicare. Rezultanta unor astfel de sisteme va avea același modul R, dar de fiecare dată într-o direcție diferită. Așezat puterea F 1 și F 2 constată că rezultanta lor R 1 , care va trece întotdeauna prin punct DIN 1 , a cărui poziţie este determinată de egalitate . Adăugând mai departe R 1 și F 3, găsiți rezultanta lor, care va trece întotdeauna prin punct DIN 2 întins pe linie DAR 3 DIN 2. După ce a finalizat procesul de adăugare a forțelor, vom ajunge la concluzia că rezultanta tuturor forțelor va trece într-adevăr întotdeauna prin același punct. DIN, a cărui poziție față de puncte va rămâne neschimbată.
Punct DIN, prin care trece linia de acțiune a sistemului rezultant de forțe paralele pentru orice rotație a acestor forțe în apropierea punctelor de aplicare a acestora în aceeași direcție și la același unghi se numește centru de forțe paralele (fig. 6.2).

Fig.6.2

Să determinăm coordonatele centrului de forțe paralele. De la poziţia punctului DIN cu privire la corp este neschimbată, atunci coordonatele sale nu depind de alegerea sistemului de coordonate. Rotiți toate forțele în apropierea aplicării lor, astfel încât acestea să devină paralele cu axa OUși aplicați teorema lui Varignon forțelor rotite. pentru că R" este rezultanta acestor forțe, atunci, conform teoremei Varignon, avem , deoarece , , primim

De aici găsim coordonatele centrului forțelor paralele zc:

Pentru a determina coordonatele xc alcătuiți o expresie pentru momentul forțelor în jurul axei Oz.

Pentru a determina coordonatele Y c rotiți toate forțele astfel încât acestea să devină paralele cu axa Oz.

Poziția centrului forțelor paralele față de origine (Fig. 6.2) poate fi determinată de vectorul său rază:

6.2. Centrul de greutate al unui corp rigid

centrul de greutate a unui corp rigid este un punct asociat invariabil cu acest corp DIN prin care trece linia de acţiune a forţei rezultante a gravitaţiei corp dat, pentru orice poziție a corpului în spațiu.
Centrul de greutate este utilizat în studiul stabilității pozițiilor de echilibru ale corpurilor și mediilor continue sub acțiunea gravitației și în alte cazuri, și anume: în rezistența materialelor și în mecanica structurala- când se folosește regula Vereshchagin.
Există două moduri de a determina centrul de greutate al unui corp: analitic și experimental. Metoda analitică de determinare a centrului de greutate decurge direct din conceptul de centru de forțe paralele.
Coordonatele centrului de greutate, ca centru al forțelor paralele, sunt determinate de formulele:

Unde R- greutatea întregului corp; pk- greutatea particulelor corporale; xk, yk, zk- coordonatele particulelor corporale.
Pentru un corp omogen, greutatea întregului corp și a oricărei părți a acestuia este proporțională cu volumul P=Vy, pk =vk γ, Unde γ - greutate pe unitate de volum, V- volumul corpului. Înlocuirea expresiilor P, pkîn formulele de determinare a coordonatelor centrului de greutate și, reducând printr-un factor comun γ , primim:

Punct DIN, ale cărui coordonate sunt determinate de formulele obținute, se numește centrul de greutate al volumului.
Dacă corpul este subțire placă omogenă, atunci centrul de greutate este determinat de formulele:

Unde S- suprafața întregii plăci; sk- aria părții sale; xk, da- coordonatele centrului de greutate al pieselor de placă.
Punct DIN in acest caz se numeste zona centrului de greutate.
Număratorii expresiilor care determină coordonatele centrului de greutate al figurilor plane se numesc cu momentele statice ale zonei despre topoare laȘi X:

Apoi, centrul de greutate al zonei poate fi determinat prin formulele:

Pentru corpurile a căror lungime este de multe ori mai mare decât dimensiunile secțiunii transversale, se determină centrul de greutate al liniei. Coordonatele centrului de greutate al liniei sunt determinate de formulele:

Unde L- lungimea liniei; lk- lungimea pieselor sale; xk, yk, zk- coordonata centrului de greutate al pieselor liniei.

6.3. Metode de determinare a coordonatelor centrelor de greutate ale corpurilor

Pe baza formulelor obținute se pot propune metode practice de determinare a centrelor de greutate a corpurilor.
1. Simetrie. Dacă corpul are un centru de simetrie, atunci centrul de greutate se află în centrul de simetrie.
Dacă corpul are un plan de simetrie. De exemplu, planul XOU, apoi centrul de greutate se află în acest plan.
2. despicare. Pentru corpurile formate din corpuri simple se folosește metoda divizării. Corpul este împărțit în părți, al căror centru de greutate este găsit prin metoda simetriei. Centrul de greutate al întregului corp este determinat de formulele pentru centrul de greutate al volumului (ariei).

Exemplu. Determinați centrul de greutate al plăcii prezentate în figura de mai jos (Fig. 6.3). Placa poate fi împărțită în dreptunghiuri într-un mod diferitși determinați coordonatele centrului de greutate al fiecărui dreptunghi și aria acestora.

Fig.6.3

Răspuns: Xc=17,0 cm; yc= 18,0 cm.

3. Plus. Această metodă este un caz special al metodei de partiționare. Se folosește când corpul are crestături, tăieturi etc., dacă se cunosc coordonatele centrului de greutate al corpului fără crestătură.

Exemplu. Determinați centrul de greutate al unei plăci rotunde având o decupare cu o rază r = 0,6 R(Fig. 6.4).

Fig.6.4

Placa rotundă are un centru de simetrie. Să plasăm originea coordonatelor în centrul plăcii. Zona plăcii fără crestătură, zonă cu crestătură. Zona plăcii crestate; .
Placa cu crestături are o axă de simetrie O1 x, Prin urmare, Y c=0.

4. Integrare. Dacă corpul nu poate fi împărțit într-un număr finit de părți, ale căror poziții ale centrelor de greutate sunt cunoscute, corpul este împărțit în volume mici arbitrare, pentru care formula folosind metoda de împărțire ia forma: .
În plus, ele trec la limită, tinzând volumele elementare la zero, adică. contractarea volumelor în puncte. Sumele sunt înlocuite cu integrale extinse pe întregul volum al corpului, apoi formulele de determinare a coordonatelor centrului de greutate al volumului iau forma:

Formule pentru determinarea coordonatelor centrului de greutate al zonei:

Coordonatele centrului de greutate al zonei trebuie determinate atunci când se studiază echilibrul plăcilor, când se calculează integrala Mohr în mecanica structurală.

Exemplu. Determinați centroidul unui arc de cerc de rază R cu unghi central AOB= 2α (Fig. 6.5).

Orez. 6.5

Arcul de cerc este simetric cu axa Oh, prin urmare, centrul de greutate al arcului se află pe axă Oh, Y c = 0.
Conform formulei pentru centrul de greutate al unei linii:

6.Mod experimental. Centrele de greutate ale corpurilor neomogene de configurație complexă pot fi determinate experimental: prin agățare și cântărire. Prima modalitate este ca corpul să fie suspendat pe un cablu în diferite puncte. Direcția frânghiei de care este suspendat corpul va da direcția gravitației. Punctul de intersecție al acestor direcții determină centrul de greutate al corpului.
Metoda de cântărire constă în determinarea mai întâi a greutății unei caroserii, precum o mașină. Apoi, pe cântare, se determină presiunea punții din spate a mașinii pe suport. Compilând o ecuație de echilibru în raport cu un punct, de exemplu, axa roților din față, puteți calcula distanța de la această axă la centrul de greutate al mașinii (Fig. 6.6).

Fig.6.6

Uneori, la rezolvarea problemelor, este necesar să se aplice simultan diferite metode pentru determinarea coordonatelor centrului de greutate.

6.4. Centrele de greutate ale unor protozoare forme geometrice

Pentru a determina centrele de greutate ale corpurilor de formă comună (triunghi, arc de cerc, sector, segment), este convenabil să folosiți date de referință (Tabelul 6.1).

Tabelul 6.1

Coordonatele centrului de greutate al unor corpuri omogene

№	Numele figurii	Imagine
	arc de cerc: centrul de greutate al unui arc de cerc omogen este pe axa de simetrie (coordonata Y c=0). R este raza cercului.
	Sector circular omogen Y c=0). unde α este jumătate din unghiul central; R este raza cercului.
	Segment: centrul de greutate este situat pe axa de simetrie (coordonată Y c=0). unde α este jumătate din unghiul central; R este raza cercului.
	Semicerc:
	Triunghi: centrul de greutate al unui triunghi omogen se află în punctul de intersecție al medianelor sale. Unde x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3- coordonatele vârfurilor triunghiului
	Con: centrul de greutate al unui con circular omogen se află la înălțimea lui și se află la o distanță de 1/4 din înălțime de baza conului.

Pe baza formulelor generale obținute mai sus, se pot indica metode specifice de determinare a coordonatelor centrelor de greutate ale corpurilor.

1. Simetrie. Dacă un corp omogen are un plan, axă sau centru de simetrie (Fig. 7), atunci centrul său de greutate se află respectiv în planul de simetrie, axa de simetrie sau în centrul de simetrie.

Fig.7

2. Despicare. Corpul este împărțit într-un număr finit de părți (Fig. 8), pentru fiecare dintre acestea fiind cunoscută poziția centrului de greutate și aria.

Fig.8

3.Metoda zonelor negative. Un caz special al metodei de partiționare (Fig. 9). Se aplică corpurilor cu decupaje dacă se cunosc centrele de greutate ale corpului fără decupaj și decupaj. Un corp sub forma unei plăci decupate este reprezentat de o combinație a unei plăci solide (fără decupaje) cu o zonă S 1 și zona părții decupate S 2 .

Fig.9

4.metoda de grupare. Este un bun plus la ultimele două metode. După ruperea figurii în elementele sale constitutive, este convenabil să combinați din nou unele dintre ele, pentru a simplifica apoi soluția ținând cont de simetria acestui grup.

Centrele de greutate ale unor corpuri omogene.

1) Centrul de greutate al unui arc de cerc. Luați în considerare arcul AB rază R cu unghi central. Datorită simetriei, centrul de greutate al acestui arc se află pe axă Bou(Fig. 10).

Fig.10

Să găsim coordonatele folosind formula. Pentru a face acest lucru, selectați pe arc AB element MM' lungime , a cărei poziţie este determinată de unghi . Coordona X element MM' voi . Înlocuind aceste valori Xși d lși ținând cont că integrala trebuie extinsă pe toată lungimea arcului, obținem:

Unde L- lungimea arcului AB, egal cu .

De aici aflăm în sfârșit că centrul de greutate al arcului de cerc se află pe axa sa de simetrie la o distanță de centru. DESPRE egal cu

unde unghiul se măsoară în radiani.

2) Centrul de greutate al ariei unui triunghi. Luați în considerare un triunghi situat în plan Oxy, ale cărui coordonate de vârf sunt cunoscute: Ai(x i,y eu), (i= 1,2,3). Ruperea triunghiului în benzi înguste paralele cu latura DAR 1 DAR 2 , ajungem la concluzia că centrul de greutate al triunghiului trebuie să aparțină medianei DAR 3 M 3 (fig.11) .

Fig.11

Ruperea triunghiului în benzi paralele cu latura DAR 2 DAR 3, vă puteți asigura că trebuie să se afle pe mediană DAR 1 M unu . În acest fel, centrul de greutate al unui triunghi se află în punctul de intersecție al medianelor sale, care, după cum știți, separă a treia parte de fiecare mediană, numărând din partea corespunzătoare.

În special, pentru mediană DAR 1 M 1 obținem, având în vedere că coordonatele punctului M 1 este media aritmetică a coordonatelor vârfurilor DAR 2 și DAR 3:

x c = X 1 + (2/3)∙(x M 1 - X 1) = X 1 + (2/3)∙[(X 2 + X 3)/2-X 1 ] = (X 1 +X 2 +X 3)/3.

Astfel, coordonatele centrului de greutate al triunghiului sunt media aritmetică a coordonatelor vârfurilor sale:

X c =(1/3)Σ x i ; y c =(1/3)Σ y eu.

3) Centrul de greutate al zonei sectorului circular. Să considerăm un sector al unui cerc de rază R cu un unghi central de 2α, situat simetric fata de axa Bou(Fig. 12) .

Este evident că y c = 0, iar distanța de la centrul cercului din care este tăiat acest sector până la centrul său de greutate poate fi determinată prin formula:

Fig.12

Cel mai simplu mod de a calcula această integrală este împărțirea domeniului de integrare în sectoare elementare cu un unghi dφ. Până la infinitezimale de ordinul întâi, un astfel de sector poate fi înlocuit cu un triunghi cu o bază egală cu R× dφ și înălțimea R. Aria unui astfel de triunghi dF=(1/2)R 2 ∙dφ, iar centrul său de greutate se află la o distanță de 2/3 R de sus, deci în (5) punem X = (2/3)R∙cosφ. Înlocuirea în (5) F= α R 2, obținem:

Folosind ultima formulă, calculăm, în special, distanța până la centrul de greutate semicerc.

Înlocuind în (2) α = π/2, obținem: X c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Exemplul 1 Să determinăm centrul de greutate al corpului omogen prezentat în fig. 13.

Fig.13

Corpul este omogen, format din două părți având o formă simetrică. Coordonatele centrelor lor de greutate:

Volumele lor:

Prin urmare, coordonatele centrului de greutate al corpului

Exemplul 2 Aflați centrul de greutate al unei plăci îndoite în unghi drept. Dimensiuni - pe desen (Fig. 14).

Fig.14

Coordonatele centrelor de greutate:

Pătrate:

Orez. 6.5.

Exemplul 3 O gaură pătrată cm este tăiată dintr-o foaie pătrată cm (Fig. 15). Găsiți centrul de greutate al foii.

Fig.15

În această problemă, este mai convenabil să împărțiți corpul în două părți: un pătrat mare și o gaură pătrată. Doar zona găurii ar trebui considerată negativă. Apoi coordonatele centrului de greutate al foii cu gaura:

coordonată deoarece corpul are o axă de simetrie (diagonală).

Exemplul 4 Suportul de sârmă (Fig. 16) este format din trei secțiuni de aceeași lungime l.

Fig.16

Coordonatele centrelor de greutate ale secțiunilor:

Prin urmare, coordonatele centrului de greutate al întregului suport:

Exemplul 5 Determinați poziția centrului de greutate al fermei, ale cărui toate tijele au aceeași densitate liniară (Fig. 17).

Reamintim că în fizică, densitatea unui corp ρ și greutatea sa specifică g sunt legate prin relația: γ= ρ g, Unde g- accelerare cădere liberă. Pentru a găsi masa unui astfel de corp omogen, trebuie să înmulțiți densitatea cu volumul său.

Fig.17

Termenul de densitate „liniară” sau „liniară” înseamnă că pentru a determina masa barei, densitatea liniară trebuie înmulțită cu lungimea acestei tije.

Pentru a rezolva problema, puteți utiliza metoda de partiționare. Reprezentând o ferme dată ca o sumă de 6 tije individuale, obținem:

Unde L i lungime i-a lanseta a fermei, și x i, y eu sunt coordonatele centrului său de greutate.

Soluția la această problemă poate fi simplificată prin gruparea ultimelor 5 truss rod. Este ușor de observat că formează o figură cu un centru de simetrie situat în mijlocul celei de-a patra tije, unde se află centrul de greutate al acestui grup de tije.

Astfel, o fermă dată poate fi reprezentată printr-o combinație de doar două grupuri de tije.

Primul grup este format din prima tijă, pentru aceasta L 1 = 4 m, X 1 = 0 m, y 1 = 2 m. Al doilea grup de tije este format din cinci tije, pentru care L 2 = 20 m, X 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

Coordonatele centrului de greutate al fermei se găsesc prin formula:

X c = (L 1 ∙X 1 +L 2 ∙X 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Rețineți că centrul DIN se află pe linia de legătură DIN 1 și DIN 2 și împarte segmentul DIN 1 DIN 2 privind: DIN 1 DIN/SS 2 = (X c - X 1)/(X 2 - X c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Întrebări pentru autoexaminare

Care este centrul forțelor paralele?

Cum se determină coordonatele centrului forțelor paralele?

Cum se determină centrul forțelor paralele, a căror rezultată este zero?

Care este proprietatea centrului forțelor paralele?

Ce formule se folosesc pentru a calcula coordonatele centrului de forțe paralele?

Care este centrul de greutate al unui corp?

De ce forțele de atracție ale Pământului, care acționează asupra unui punct al corpului, pot fi luate ca un sistem de forțe paralele?

Scrieți formula pentru determinarea poziției centrului de greutate al corpurilor neomogene și omogene, formula pentru determinarea poziției centrului de greutate secțiuni plate?

Scrieți formula pentru determinarea poziției centrului de greutate al formelor geometrice simple: un dreptunghi, un triunghi, un trapez și o jumătate de cerc?

Ce se numește momentul static al zonei?

Dați un exemplu de corp al cărui centru de greutate este situat în afara corpului.

Cum sunt utilizate proprietățile de simetrie pentru a determina centrele de greutate ale corpurilor?

Care este esența metodei ponderilor negative?

Unde este situat centrul de greutate al arcului de cerc?

Cum construcție grafică poți găsi centrul de greutate al triunghiului?

Notați formula care determină centrul de greutate al unui sector circular.

Folosind formule care determină centrele de greutate ale unui triunghi și ale unui sector circular, obțineți o formulă similară pentru un segment circular.

Ce formule se folosesc pentru a calcula coordonatele centrelor de greutate ale corpurilor omogene, figurilor plane și liniilor?

Ce se numește momentul static al ariei unei figuri plate în raport cu axa, cum se calculează și ce dimensiune are?

Cum se determină poziția centrului de greutate al zonei, dacă poziția centrelor de greutate ale părților sale individuale este cunoscută?

Ce teoreme auxiliare sunt folosite pentru a determina poziția centrului de greutate?

Centrele de greutate ale unor forme geometrice simple

Pentru a determina centrele de greutate ale corpurilor de formă frecvent întâlnită (triunghi, arc de cerc, sector, segment), este convenabil să folosiți date de referință (vezi tabel).

Coordonatele centrului de greutate al unor corpuri omogene

№	Numele figurii	Imagine
	arc de cerc: centrul de greutate al unui arc de cerc omogen este pe axa de simetrie (coordonata c R este raza cercului.
	Sector circular omogen c= 0). unde α este jumătate din unghiul central; R este raza cercului.
	Segment: centrul de greutate este situat pe axa de simetrie (coordonată c= 0). unde α este jumătate din unghiul central; R este raza cercului.
	Semicerc:
	Triunghi: centrul de greutate al unui triunghi omogen se află în punctul de intersecție al medianelor sale. Unde x1, y1, x2, y2, x3, y3 sunt coordonatele vârfurilor triunghiului
	Con: centrul de greutate al unui con circular omogen se află la înălțimea lui și se află la o distanță de 1/4 din înălțime de baza conului.
	emisferă: centrul de greutate se află pe axa de simetrie.
	Trapez: este aria figurii.
	- aria figurii;

Sub centrul de greutate al mașinii, se presupune un punct condiționat, în care se concentrează toată greutatea sa. Locația centrului de greutate are un impact semnificativ asupra manevrabilitatii și stabilității vehiculului, iar șoferul trebuie să țină cont întotdeauna de acest lucru. Locația centrului de greutate în înălțime depinde de greutatea și natura încărcăturii. De exemplu, dacă o mașină de pasageri transportă marfă situată numai în caroserie, atunci centrul său de greutate va fi mult mai jos decât atunci când transportă mărfuri pe un portbagaj situat deasupra acoperișului. Totuși, indiferent de natura încărcăturii și de amplasarea acesteia, centrul de greutate al unei mașini încărcate va fi întotdeauna mai mare decât cel al uneia neîncărcate. Având în vedere acest lucru, opinia existentă a multor șoferi cu privire la stabilitatea bună a unui vehicul încărcat (și cu atât mai mult reducerea probabilității de răsturnare) nu este corectă.

Înălțimea centrului de greutate al mașinii afectează redistribuirea reacțiilor normale pe roți în timpul accelerației și frânării, precum și la înclinarea mașinii, care se va reflecta în masa de tracțiune și, în consecință, în forța maximă de tracțiune.

Locația centrului de greutate al vehiculului este mare importanță. Caracterizează stabilitatea mașinii împotriva răsturnării. Acest lucru este afișat clar în autobuzele cu pasageri în picioare și este, de asemenea, mai relevant pentru mașini (trenuri rutiere) care transportă mărfuri supradimensionate, dube și vehicule de transport(turnuri auto, macarale etc.).

În practica ingineriei, se întâmplă că devine necesar să se calculeze coordonatele centrului de greutate al unei figuri plane complexe constând din elemente simple pentru care este cunoscută locația centrului de greutate. Această sarcină face parte din sarcina de a determina...

Caracteristicile geometrice ale secțiunilor transversale compozite ale grinzilor și tijelor. Adesea, astfel de întrebări se confruntă de către inginerii proiectanți ai matrițelor de perforare atunci când determină coordonatele centrului de presiune, dezvoltatorii de scheme de încărcare pentru diferite vehicule atunci când plasează mărfuri, proiectanții de construcții de structuri metalice la selectarea secțiunilor de elemente și, desigur, studenții când studiază. discipline" Mecanica teoretică” și „Rezistența materialelor”.

Biblioteca figurilor elementare.

Pentru figurile plane simetrice, centrul de greutate coincide cu centrul de simetrie. Grupul simetric de obiecte elementare include: un cerc, un dreptunghi (inclusiv un pătrat), un paralelogram (inclusiv un romb), un poligon regulat.

Din cele zece cifre prezentate în figura de mai sus, doar două sunt de bază. Adică, folosind triunghiuri și sectoare de cercuri, puteți combina aproape orice figură de interes practic. Orice curbă arbitrară poate fi împărțită în secțiuni și înlocuită cu arce de cerc.

Restul de opt figuri sunt cele mai comune, motiv pentru care au fost incluse în acest gen de bibliotecă. În clasificarea noastră, aceste elemente nu sunt de bază. Un dreptunghi, un paralelogram și un trapez pot fi formați din două triunghiuri. Un hexagon este suma a patru triunghiuri. Segmentul cercului este diferența dintre sectorul cercului și triunghi. Sectorul inelar al cercului este diferența dintre cele două sectoare. Un cerc este un sector al unui cerc cu un unghi α=2*π=360˚. Un semicerc este, respectiv, un sector al unui cerc cu un unghi α=π=180˚.

Calculul în Excel al coordonatelor centrului de greutate al unei figuri compuse.

Este întotdeauna mai ușor să transmiteți și să percepeți informații luând în considerare un exemplu decât să studiați problema pe calcule pur teoretice. Luați în considerare soluția la problema „Cum să găsiți centrul de greutate?” pe exemplul unei figuri compuse prezentate în figura de sub acest text.

O secțiune compusă este un dreptunghi (cu dimensiuni A1 =80 mm, b1 \u003d 40 mm), la care a fost adăugat un triunghi isoscel în stânga sus (cu dimensiunea bazei A2 =24 mm și înălțime h2 \u003d 42 mm) și din care a fost tăiat un semicerc din dreapta sus (centrat în punctul cu coordonatele X03 =50 mm și y03 =40 mm, raza r3 =26 mm).

Pentru a vă ajuta să efectuați calculul, vom implica programul MS Excel sau program Oo Calc . Oricare dintre ei va face față cu ușurință sarcinii noastre!

În celule cu galben umplerea este posibilă preliminar auxiliar calcule .

În celulele cu umplere galben deschis, numărăm rezultatele.

Albastru fontul este date inițiale .

Negrul fontul este intermediar rezultatele calculelor .

roșu fontul este final rezultatele calculelor .

Începem să rezolvăm problema - începem să căutăm coordonatele centrului de greutate al secțiunii.

Date inițiale:

1. Numele figurilor elementare care formează secțiunea compusă vor fi introduse în mod corespunzător

la celula D3: Dreptunghi

la celula E3: Triunghi

la celula F3: Semicerc

2. Folosind „Biblioteca de figuri elementare” prezentată în acest articol, determinăm coordonatele centrelor de greutate ale elementelor secțiunii compozite. xciȘi yciîn mm raportat la axele 0x și 0y alese în mod arbitrar și scrieți

la celula D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = A 1 /2

la celula D5: =40/2 =20,000

Y c 1 = b 1 /2

la celula E4: =24/2 =12,000

xc 2 = A 2 /2

la celula E5: =40+42/3 =54,000

Y c 2 = b 1 + h 2 /3

la celula F4: =50 =50,000

xc 3 = X03

la celula F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

Y c 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Calculați aria elementelor F 1 , F 2 , F3 în mm2, folosind din nou formulele din secțiunea „Biblioteca de figuri elementare”

în celula D6: =40*80 =3200

F1 = A 1 * b1

în celula E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

în celula F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Zona celui de-al treilea element - semicercul - este negativă, deoarece acest decupaj este un spațiu gol!

Calculul coordonatelor centrului de greutate:

4. Determinați aria totală a figurii finale F0 în mm2

în celula îmbinată D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Calculați momentele statice ale figurii compuse S xȘi Syîn mm3 raportat la axele selectate 0x și 0y

în celula îmbinată D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

S x = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

în celula îmbinată D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Și, în final, calculăm coordonatele centrului de greutate al secțiunii compozite XcȘi Y cîn mm în sistemul de coordonate selectat 0x - 0y

în celula îmbinată D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

în celula îmbinată D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc=Sx/F0

Sarcina este rezolvată, calculul în Excel este finalizat - se găsesc coordonatele centrului de greutate al secțiunii, compilate folosind trei elemente simple!

Concluzie.

Exemplul din articol a fost ales pentru a fi foarte simplu pentru a facilita înțelegerea metodologiei de calcul al centrului de greutate al unei secțiuni complexe. Metoda constă în faptul că orice figură complexă ar trebui să fie împărțită în elemente simple cu locații cunoscute ale centrelor de greutate și trebuie făcute calcule finale pentru întreaga secțiune.

Dacă secțiunea este alcătuită din profile laminate - colțuri și canale, atunci nu este nevoie să le spargeți în dreptunghiuri și pătrate cu sectoare circulare "π / 2" decupate. Coordonatele centrelor de greutate ale acestor profile sunt date în tabelele GOST, adică atât colțul, cât și canalul vor fi elemente elementare de bază în calculele tale ale secțiunilor compozite (nu are sens să vorbim despre grinzi în I, țevi). , bare și hexagoane - acestea sunt secțiuni simetrice central).

Locația axelor de coordonate pe poziția centrului de greutate al figurii, desigur, nu afectează! Prin urmare, alegeți un sistem de coordonate care vă simplifică calculele. Dacă, de exemplu, aș roti sistemul de coordonate cu 45˚ în sensul acelor de ceasornic în exemplul nostru, atunci calcularea coordonatelor centrelor de greutate ale unui dreptunghi, triunghi și semicerc s-ar transforma într-un alt pas de calcul separat și greoi pe care nu îl puteți face „ in mintea ta".

Fișierul de calcul Excel prezentat mai jos nu este un program în acest caz. Mai degrabă, este o schiță a unui calculator, un algoritm, un șablon care urmează în fiecare caz. creați-vă propria secvență de formule pentru celule cu umplere galben strălucitor.

Deci, acum știi cum să găsești centrul de greutate al oricărei secțiuni! Un calcul complet al tuturor caracteristicilor geometrice ale secțiunilor compozite complexe arbitrare va fi luat în considerare într-unul dintre articolele următoare sub titlul „”. Urmăriți știrile pe blog.

Pentru primind informații despre lansarea de noi articole si pentru descărcarea fișierelor programului de lucru Vă rog să vă abonați la anunțuri în fereastra situată la sfârșitul articolului sau în fereastra din partea de sus a paginii.

După ce ați introdus adresa dvs. de e-mail și ați dat clic pe butonul „Primește anunțuri despre articole”. NU UITA CONFIRMĂ ABONAREA făcând clic pe link într-o scrisoare care vă va veni imediat la e-mailul specificat (uneori - în dosar « Spam » )!

Câteva cuvinte despre un pahar, o monedă și două furculițe, care sunt descrise în „ilustrația pictogramei” de la începutul articolului. Mulți dintre voi sunteți cu siguranță familiarizați cu acest „truc” care evocă priviri admirative ale copiilor și adulților neinițiați. Subiectul acestui articol este centrul de greutate. El este și punctul de sprijin, jucându-se cu conștiința și experiența noastră, pur și simplu ne păcălește mintea!

Centrul de greutate al sistemului „furci + monedă” este întotdeauna poziționat fix distanţă vertical în jos de la marginea monedei, care la rândul ei este punctul de sprijin. Aceasta este o poziție de echilibru stabil! Dacă scuturați furcile, devine imediat evident că sistemul se străduiește să-și ia fosta poziție stabilă! Imaginați-vă un pendul - punctul de ancorare (= punctul de sprijin al monedei pe marginea paharului), axa tijei pendulului (= în cazul nostru, axa este virtuală, deoarece masa celor două furci este separate în diferite direcții ale spațiului) și greutatea din partea de jos a axei (= centrul de greutate al întregului sistem „furcă” + monedă”). Dacă începeți să deviați pendulul de la verticală în orice direcție (înainte, înapoi, stânga, dreapta), atunci acesta va reveni inevitabil la poziția inițială sub influența gravitației. stare stabilă de echilibru(la fel se intampla si cu furculitele si moneda noastra)!

Cine nu a înțeles, dar vrea să înțeleagă - dă-ți seama singur. Este foarte interesant să „ajungi” la tine! Voi adăuga că același principiu de utilizare a unui echilibru stabil este implementat și în jucăria Roly-Get Up. Doar centrul de greutate al acestei jucării este situat deasupra punctului de sprijin, dar sub centrul emisferei suprafeței de sprijin.

Comentariile dumneavoastră sunt întotdeauna binevenite, dragi cititori!

Cere, RESPECTAREA lucrarea autorului, descărcați fișierul DUPĂ ABONARE pentru anunţuri de articole.

Tehnica matematică de calcul a centrului de masă aparține domeniului cursurilor de matematică; acolo astfel de probleme servesc drept exemple bune în calculul integral. Dar chiar dacă știi să integrezi, este util să cunoști câteva trucuri pentru calcularea poziției centrului de masă. Unul dintre aceste trucuri se bazează pe utilizarea așa-numitei teoreme Pappus, care funcționează după cum urmează. Dacă luăm o figură și o formă închisă solid, rotind această figură în spațiu, astfel încât fiecare punct să se miște perpendicular pe planul figurii, apoi volumul corpului format în acest caz este egal cu produsul dintre aria figurii și distanța parcursă de centrul lui de greutate! Desigur, această teoremă este adevărată și în cazul în care o figură plată se mișcă de-a lungul unei linii drepte perpendiculare pe aria sa, dar dacă o deplasăm de-a lungul unui cerc sau a altuia

curbă, apoi se dovedește mult mai mult corp interesant. Când conduceți pe o potecă strâmbă partea interioară figura avansează mai puțin decât cea exterioară și aceste efecte se anulează reciproc. Deci dacă vrem să definim; centrul de masă al unei figuri plate cu o densitate uniformă, atunci trebuie amintit că volumul format prin rotația sa în jurul axei este egal cu distanța pe care o parcurge centrul de masă, înmulțită cu aria \u200b\ u200bcifra.
De exemplu, dacă trebuie să găsim centrul de masă triunghi dreptunghic cu baza D și înălțimea H (Fig. 19.2), aceasta se face astfel. Imaginați-vă o axă de-a lungul H și rotiți triunghiul la 360° în jurul acelei axe. Acest lucru ne oferă un con. Distanța pe care o parcurge coordonata x a centrului de masă este 2πx, iar aria regiunii care s-a deplasat, adică aria triunghiului, este egală cu l/2 HD. Produsul distanței parcurse de centrul de masă și aria triunghiului este egal cu volumul conului, adică 1/3 πD 2 H. Astfel, (2πх) (1/2HD) = 1/3D 2 H sau x= D/З. În mod similar, prin rotirea în jurul celui de-al doilea picior, sau pur și simplu din motive de simetrie, aflăm că y \u003d H / 3. În general, centrul de masă al oricărui triunghi omogen este situat în punctul de intersecție al celor trei mediane ale sale (linii care leagă vârful triunghiului cu punctul de mijloc al laturii opuse), care se află la o distanță de bază egală cu 1/ 3 din lungimea fiecărei mediane.
Cum să-l vezi? Tăiați triunghiul cu linii paralele cu baza în mai multe dungi. Observați acum că mediana traversează fiecare dungă, astfel încât centrul de masă trebuie să se afle pe mediană.
Să luăm acum o figură mai complexă. Să presupunem că este necesar să găsim poziția centrului de masă al unui semicerc omogen, adică un cerc tăiat în jumătate. Unde va fi situat centrul de masă în acest caz? Pentru un cerc complet, centrul de masă este situat în centrul geometric, dar pentru un semicerc, găsirea poziției sale este mai dificilă. Fie r raza cercului și x distanța centrului de masă față de limita rectilinie a semicercului. Rotind-o în jurul acestei margini ca în jurul unei axe, obținem o minge. În acest caz, centrul de masă parcurge o distanță de 2πx, iar aria semicercului este 1/2πr 2 (jumătate din aria cercului). Deoarece volumul sferei este, desigur, 4πg 3 /3, de aici găsim

sau

Există o altă teoremă a lui Pappus, care este de fapt un caz special al teoremei formulate mai sus și, prin urmare, este și valabilă. Să presupunem că în loc de un semicerc solid am luat un semicerc, de exemplu, o bucată de sârmă sub forma unui semicerc cu o densitate uniformă și dorim să-i găsim centrul de masă. Rezultă că aria care este „măturată” de o curbă plană atunci când se mișcă, similar celei descrise mai sus, este egală cu distanța parcursă de centrul de masă, înmulțită cu lungimea acestei curbe. (Curba poate fi considerată ca o bandă foarte îngustă și teorema anterioară aplicată acesteia.)