3 Aplicații ale integralelor duble

3.1 Introducere teoretică

Luați în considerare aplicații integrală dublă la un număr de probleme geometriceși sarcini de mecanică.

3.1.1 Calcularea ariei și masei unei plăci plate

Luați în considerare o placă de material subțire D situat în avion Ohu. Zonă S această placă poate fi găsită folosind formula integrală dublă:

3.1.2 Momente statice. Centrul de masă al unei plăci plate

moment static M X despre axa Bou punct material P(X;y) culcat în avion Oxyși având o masă m, se numește produsul dintre masa unui punct și ordonata acestuia, adică. M X = al meu. Momentul static este definit în mod similar M y despre axa Oi: ­ ­ ­ M y = mx. Momente statice placă plană cu densitate de suprafață γ = γ (X y) se calculează prin formulele:

După cum se știe din mecanică, coordonatele X c ,y c centrul de masă al unui sistem de material plat sunt determinate de egalitățile:

Unde m este masa sistemului și M XȘi M y sunt momentele statice ale sistemului. Greutate plată m se determină prin formula (1), momentele statice ale unei plăci plate pot fi calculate prin formulele (3) și (4). Apoi, conform formulelor (5), obținem o expresie pentru coordonatele centrului de masă al unei plăci plate:

Un calcul tipic conține două sarcini. În fiecare problemă, se dă o farfurie plată D, mărginită de liniile specificate în starea problemei. G(X y) este densitatea de suprafață a plăcii D. Pentru această placă găsiți: 1. S- zona; 2. m- masa; 3. M y , M X– momente statice despre axe OiȘi Oh respectiv; 4. , sunt coordonatele centrului de masă.

3.3 Cum se efectuează un calcul tipic

Când rezolvați fiecare problemă, trebuie să: 1. Realizați un desen al unei zone date. Selectați sistemul de coordonate în care vor fi calculate integralele duble. 2. Înregistrați aria ca un sistem de inegalități în sistemul de coordonate selectat. 3. Calculați suprafața S si masa m plăci conform formulelor (1) și (2). 4. Calculați momentele statice M y , M X conform formulelor (3) și (4). 5. Calculați coordonatele centrului de masă , conform formulelor (6). Puneți centrul de masă pe desen. În acest caz, există un control vizual (calitativ) al rezultatelor obținute. Răspunsurile numerice trebuie primite cu trei cifre semnificative.

3.4 Exemple de exemple de calcul

Sarcina 1. farfurie D limitat de linii: y = 4 – X 2 ; X = 0; y = 0 (X ≥ 0; y≥ 0) Densitatea areală γ 0 = 3. Soluţie. Zona specificată în problemă este limitată de o parabolă y = 4 – X 2, axele de coordonate și se află în primul sfert (Fig. 1). Problema va fi rezolvată în sistemul de coordonate carteziene. Această zonă poate fi descrisă printr-un sistem de inegalități:

Orez. unu

Zonă S placa este egală cu (1): Deoarece placa este omogenă, masa sa m = γ 0 S= 3 = 16. Folosind formulele (3), (4), găsim momentele statice ale plăcii: Coordonatele centrului de masă se găsesc prin formula (6): Răspuns: S ≈ 5,33; m = 16; M X = 25,6; M y = 12; = 0,75; = 1,6.

Sarcina 2. farfurie D limitat de linii: X 2 + la 2 = 4; X = 0, la = X (X ≥ 0, la≥ 0). Densitatea suprafeței γ (X y) = la. Soluţie. Placa este delimitată de un cerc și linii drepte care trec prin origine (Fig. 2). Prin urmare, pentru a rezolva problema, este convenabil să utilizați sistemul de coordonate polare. unghi polar φ variază de la π/4 la π/2. O grindă trasă din stâlp prin placă „intră” în ea la ρ = 0 și „părăsește” cercul, a cărui ecuație este: X 2 + la 2 = 4 <=>p = 2.

Orez. 2

Prin urmare, aria dată poate fi scrisă ca un sistem de inegalități: Aria plăcii se găsește prin formula (1): Găsim masa plăcii prin formula (2), înlocuind γ (X y) = y = ρ păcat φ :
Pentru a calcula momentele statice ale plăcii, folosim formulele (3) și (4):
Obținem coordonatele centrului de masă folosind formulele (6): Răspuns: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; M X = 2,57; M y = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 Raportare

Raportul trebuie să conțină toate calculele efectuate, desene bine executate. Răspunsurile numerice trebuie primite cu trei cifre semnificative.

– calcularea centrului de greutate al unei figuri mărginite plate. Mulți cititori înțeleg intuitiv care este centrul de greutate, dar, cu toate acestea, recomand să repetați materialul din una dintre lecții geometrie analitică, unde am demontat problema centrului de greutate al unui triunghiși într-o formă accesibilă descifrată sens fizic acest termen.

În sarcini independente și de control, de regulă, se propune rezolvarea cel mai simplu caz– plat limitat omogen o figură, adică o figură de densitate fizică constantă - sticlă, lemn, jucării din fontă de tablă, copilărie dificilă etc. În plus, în mod implicit, vom vorbi doar despre astfel de cifre =)

Prima regulă și cel mai simplu exemplu: dacă o figură plată are centru de simetrie, atunci este centrul de greutate al acestei figuri. De exemplu, centrul unei plăci rotunde omogene. Este logic și lumesc clar - masa unei astfel de figuri este „distribuită corect în toate direcțiile” în raport cu centru. Crede - nu vreau.

Cu toate acestea, în realitățile dure, este puțin probabil să vi se arunce un dulce baton eliptic de ciocolată, așa că trebuie să te înarmezi cu un instrument serios de bucătărie:

Coordonatele centrului de greutate al unei figuri limitate plate omogene se calculează prin următoarele formule:

, sau:

, unde este aria regiunii (figura); sau foarte scurt:

, Unde

Vom numi condiționat integrala integrală „X”, iar integrala integrală „Y”.

Notă-ajutor : pentru plat limitat eterogen figură, a cărei densitate este dată de funcție, formulele sunt mai complexe:
, Unde - masa figurii;în cazul densității uniforme, acestea sunt simplificate la formulele de mai sus.

Pe formule, de fapt, toată noutatea se termină, restul este abilitatea ta rezolva integrale duble Apropo, acum este o oportunitate grozavă de a-ți exersa și de a-ți îmbunătăți tehnica. Și perfecțiunea, după cum știți, nu există limită =)

Să introducem o porțiune revigorantă de parabole:

Exemplul 1

Aflați coordonatele centrului de greutate al unei figuri plate omogene delimitate de linii.

Soluţie: liniile de aici sunt elementare: stabilește axa absciselor, iar ecuația - o parabolă, care se construiește ușor și rapid folosind transformări geometrice ale graficelor:

– parabolă, a mutat 2 unități la stânga și 1 unitate în jos.

Voi completa întregul desen dintr-o dată cu punctul final al centrului de greutate al figurii:

Regula a doua: dacă figura are axa de simetrie, atunci centrul de greutate al acestei figuri se află în mod necesar pe această axă.

În cazul nostru, figura este simetrică Drept, adică, de fapt, știm deja coordonata „x” a punctului „em”.

De asemenea, rețineți că pe verticală centrul de greutate este deplasat mai aproape de axa x, deoarece figura este mai masivă acolo.

Da, poate că nu toată lumea a înțeles încă pe deplin care este centrul de greutate: vă rugăm să ridicați degetul arătător și să plasați mental „talpa” umbrită pe el cu un punct. Teoretic, cifra nu ar trebui să cadă.

Găsim coordonatele centrului de greutate al figurii prin formule , Unde .

Ordinea de parcurgere a zonei (forma) este evidentă aici:

Atenţie! Determinarea celei mai profitabile ordine de traversare o singura data- și folosește-l pentru toți integrale!

1) Mai întâi, calculați aria figurii. Având în vedere simplitatea relativă a integralei, soluția poate fi formulată compact, principalul lucru este să nu vă confundați în calcule:

Ne uităm la desen și estimăm aria pe celule. S-a dovedit despre caz.

2) Coordonata x a centrului de greutate a fost deja găsită prin „metoda grafică”, astfel încât să vă puteți referi la simetrie și să treceți la următorul punct. Cu toate acestea, încă nu sfătuiesc să faceți acest lucru - este probabil ca soluția să fie respinsă cu formularea „utilizați formula”.

Rețineți că aici vă puteți descurca cu calcule exclusiv orale - uneori nu este deloc necesar să aduceți fracțiile la un numitor comun sau să chinuiți calculatorul.

În acest fel:
care este ceea ce s-a cerut.

3) Aflați ordonata centrului de greutate. Să calculăm integrala „joc”:

Și aici ar fi greu fără un calculator. Pentru orice eventualitate, voi comenta că în urma înmulțirii polinoamelor se obțin 9 termeni, iar unii dintre ei sunt similari. Am dat termeni similari verbal (cum se face de obicei în cazuri similare)și a notat imediat suma finală.

Ca rezultat:
care este foarte, foarte aproape de adevăr.

În etapa finală, notăm un punct pe desen. Conform condiției, nu era obligatoriu să desenăm nimic, dar în majoritatea problemelor suntem obligați să desenăm o figură. Dar există un plus absolut - o verificare vizuală și destul de eficientă a rezultatului.

Răspuns:

Următoarele două exemple sunt pentru soluții independente.

Exemplul 2

Aflați coordonatele centrului de greutate al unei figuri plane omogene delimitate de drepte

Apropo, dacă vă imaginați cum este amplasată parabola și ați văzut punctele în care intersectează axa, atunci aici puteți face de fapt fără un desen.

Si mai greu:

Exemplul 3

Aflați centrul de greutate al unei figuri plane omogene delimitate de drepte

Dacă întâmpinați dificultăți în complot, studiați (recenziați) lecție despre paraboleși/sau Exemplul nr. 11 al articolului Integrale duble pentru manechine.

Exemple de soluții la sfârșitul lecției.

În plus, o duzină sau două exemple similare pot fi găsite în arhiva corespunzătoare de pe pagină Soluții gata făcute pentru matematică superioară.

Ei bine, nu pot să nu le mulțumesc îndrăgostiților matematica superioara care îmi cer adesea să rezolv problemele dificile:

Exemplul 4

Aflați centrul de greutate al unei figuri plate omogene delimitate de linii. Desenați figura și centrul ei de greutate pe desen.

Soluţie: starea acestei sarcini impune deja categoric executarea unui desen. Dar cerința nu este atât de formală! - chiar și o persoană cu un nivel mediu de pregătire își poate imagina această cifră în minte:

O linie dreaptă taie cercul în 2 părți și o clauză suplimentară (cm. inegalități liniare) indică faptul că vorbim despre o mică bucată umbrită.

Figura este simetrică față de o linie dreaptă (reprezentată printr-o linie punctată), astfel încât centrul de greutate trebuie să se afle pe această linie. Și, evident, coordonatele sale sunt modulo. Un ghid excelent care exclude practic un răspuns eronat!

Acum vestea proastă =) O integrală neplăcută din rădăcină se profilează la orizont, pe care am analizat-o în detaliu în Exemplul nr. 4 al lecției Metode eficiente de rezolvare a integralelor. Și cine știe ce altceva va fi desenat acolo. S-ar părea că datorită prezenţei cercuri profitabil, dar nu totul este atât de simplu. Ecuația dreptei este convertită în formă și integralele, de asemenea, nu vor fi zahăr (deși fanii integrale trigonometrice a aprecia). În acest sens, este mai prudent să ne oprim asupra coordonatelor carteziene.

Ordinea de traversare a formei:

1) Calculați aria figurii:

Este mai rațional să luăm prima integrală subsumându-se sub semnul diferenţialului:

Și în a doua integrală vom efectua înlocuirea standard:

Să calculăm noile limite de integrare:

2) Să găsim.

Aici a fost folosită din nou integrala a 2-a metoda de a aduce o functie sub semn diferential. Practicați și adoptați aceste optime (in opinia mea) metode de rezolvare a integralelor tipice.

După calcule dificile și lungi, ne îndreptăm din nou atenția asupra desenului (amintiți-vă că punctele inca nu stim! ) și obținem o satisfacție morală profundă din valoarea găsită.

3) Pe baza analizei efectuate mai devreme, rămâne să ne asigurăm că .

Amenda:

Să tragem un punct pe desen. În conformitate cu formularea condiției, o scriem ca finală Răspuns:

O sarcină similară pentru o soluție independentă:

Exemplul 5

Aflați centrul de greutate al unei figuri plate omogene delimitate de linii. Executați desenul.

Această sarcină este interesantă deoarece conține o figură de dimensiuni suficient de mici, iar dacă greșiți undeva, atunci există o mare probabilitate de a nu intra deloc în zonă. Ceea ce, desigur, este bun în ceea ce privește controlul deciziilor.

Exemplu de design la sfârșitul lecției.

Uneori util trecerea la coordonatele polare în integrale duble. Depinde de forma. Am căutat și am căutat un exemplu bun, dar nu l-am găsit, așa că voi demonstra soluția la prima sarcină demonstrativă a lecției de mai sus:


Amintiți-vă că în acel exemplu, am trecut la coordonate polare, a aflat procedura de ocolire a zonei și calculează-i aria

Să găsim centrul de greutate al acestei figuri. Schema este aceeași: . Valoarea este vizibilă direct din desen, iar coordonata „x” ar trebui să fie deplasată puțin mai aproape de axa y, deoarece partea mai masivă a semicercului se află acolo.

În integrale folosim formule standard tranziție:

Probabil că nu au greșit.

Să dăm un exemplu de determinare a centrului de masă al unui corp prin împărțirea acestuia în corpuri separate, ale căror centre de masă sunt cunoscute.

Exemplul 1. Determinați coordonatele centrului de masă al unei plăci omogene (Fig. 9). Dimensiunile sunt date în milimetri în Figura 9.

Soluţie: Afișați axele de coordonate și . Împărțim farfuria în părți, care sunt formate din trei dreptunghiuri. Pentru fiecare dreptunghi desenăm diagonale ale căror puncte de intersecție determină pozițiile centrelor de masă ale fiecărui dreptunghi. În sistemul de coordonate acceptat, este ușor să găsiți valorile coordonatelor acestor puncte. Și anume:

(-1; 1), (1; 5), (5; 9). Suprafețele fiecărui corp sunt, respectiv, egale cu:

; ; .

Suprafața întregii plăci este:

Pentru a determina coordonatele centrului de masă al unei plăci date, folosim expresiile (21). Înlocuiți valorile tuturor cantităților cunoscute din această ecuație, obținem

În funcție de valorile obținute ale coordonatelor centrului de masă al plăcii, indicăm punctul C din figură. După cum puteți vedea, centrul de masă (punctul geometric) al plăcii este în afara acesteia.

Metoda de adunare. Această metodă este un caz parțial al metodei de separare. Poate fi aplicat corpurilor care au crestături (goluri). În plus, fără partea decupată, poziția centrului de masă al corpului este cunoscută. Luați în considerare, de exemplu, aplicarea unei astfel de metode.

Exemplul 2 Determinați poziția centrului de masă al greutății unei plăci rotunde cu raza R, în care există o decupare cu raza r (Fig. 10). Distanța .

Soluţie: După cum puteți vedea, din Fig. 10, centrul de masă al plăcii se află pe axa de simetrie a plăcii, adică pe linia dreaptă, deoarece această linie este axa de simetrie. Astfel, pentru a determina poziția centrului de masă al acestei plăci, este necesar să se determine o singură coordonată, deoarece a doua coordonată va fi situată pe axa de simetrie și se va echilibra pe cele zero. Să arătăm axele de coordonate , . Să presupunem că placa este alcătuită din două corpuri - dintr-un cerc complet (parcă fără decupaj) și un corp care pare a fi făcut cu un decupaj. În sistemul de coordonate adoptat, coordonatele pentru corpurile indicate vor fi: .Zonele corpurilor sunt: ​​; . Suprafața totală a întregului corp va fi egală cu diferența dintre suprafețele primului și celui de-al doilea corp, și anume

Pentru a calcula cantitățile m, iar formulele (4), (5) și (7) trebuie utilizate. Drept urmare, obținem formule pentru coordonatele centrului de masă al unei plăci subțiri :

Exemplul 4 (calcularea coordonatelor centrului de masă placă omogenă)

Aflați coordonatele centrului de masă al unei figuri omogene mărginite de drepte și .

După ce a construit figura, observăm că este simetrică geometric față de o linie dreaptă.Deoarece figura este realizată dintr-un material omogen, are nu numai simetrie geometrică, ci și fizică, adică masa piesei sale, care este situată în stânga axei de simetrie, este egală cu masa piesei care este situată în dreapta. Apoi conform cunoscutului proprietăți fizice centru de masă, tragem concluzia că se află pe axa de simetrie, adică

Pentru a calcula , compunem momentul static și folosim formulele (4) și (5):

;

Raspuns: C.

Aplicații ale integralelor triple

Aplicațiile integralelor triple sunt similare cu aplicațiile integralelor duble, dar numai pentru corpuri tridimensionale.

Dacă folosim una dintre proprietățile integralei triple (despre valoarea acesteia dintr-o funcție care este identic egală cu unu), atunci obținem formula de calcul al volumului oricărui corp spațial :

Scriem formula pentru volum prin integrală triplăși calculați integrala triplă în coordonate cilindrice:

Răspuns: (unități de volum).

Formula pentru calcularea masei unui obiect tridimensional care ocupă un volum V, se pare ca:

(13)

Aici este densitatea în vrac a distribuției de masă.

Exemplul 6 (calcularea masei unui corp tridimensional)

Aflați masa unei bile cu rază R, dacă densitatea este proporțională cu cubul distanței de la centru și pe unitate de distanță este egală cu k.

V: volum elementar şi .

Rețineți că aici, la calcularea integralei triple, s-a obținut un produs al integralelor, deoarece integralele interioare s-au dovedit a fi independente de variabilele integralelor exterioare.

Răspuns: (unități de masă).

Caracteristici mecanice pentru volum V(momente statice, momente de inerție, coordonatele centrului de masă) se calculează folosind formule care

sunt compilate prin analogie cu formulele pentru corpuri bidimensionale.

Momente statice elementare și momente de inerție relativ la axele de coordonate:

momente elementare inerţia relativă la planuri de coordonateși punctele de origine:

Apoi, pentru a calcula caracteristica mecanică a întregului volum V, trebuie să însumați termenii elementari ai acestei caracteristici peste toate părțile partiției (deoarece caracteristica calculată are proprietatea de aditivitate) și apoi să mergeți la limita din suma rezultată, cu condiția ca toate părțile elementare ale partiției să scadă fără limită. (contract în puncte). Aceste acțiuni sunt descrise ca integrarea termenului elementar al caracteristicii mecanice calculate în termeni de volum V.

Rezultatul este următorul formule de calcul a momentelor statice M și a momentelor de inerție I ale corpurilor tridimensionale :

În practică, este util nu numai să folosiți aceste formule ca gata făcute, ci și să le derivați în problema care se rezolvă.

Exemplele 7 (calculul caracteristicilor mecanice ale corpurilor tridimensionale)

Aflați momentul de inerție al unui cilindru omogen a cărui înălțime este hși raza bazei R, raportat la axa care coincide cu diametrul bazei.

Să găsim distanța d pentru un punct arbitrar al cilindrului:

distanta de la punctul cu coordonate la axa – este lungimea perpendicularei trasate din acest punct spre axă . Să construim un plan perpendicular pe axă, astfel încât punctul să aparțină acestui plan. Atunci orice linie care intersectează axa și aparținând acestui plan va fi perpendiculară . În special, linia dreaptă care leagă punctul și punctul va fi perpendiculară pe axă, iar distanța dintre aceste puncte va fi distanța dorită. d. O calculăm folosind formula binecunoscută pentru distanța dintre două puncte.