Proprietățile integralelor duble.

Unele dintre proprietățile integralelor duble decurg direct din definiția acestui concept și proprietățile sumelor integrale și anume:

1. Dacă funcţia f(x, y) integrabil în D, apoi kf(x, y) este de asemenea integrabil în această regiune și (24.4)

2. Dacă se află în zonă D funcții integrabile f(x, y)și g(x, y), apoi funcțiile f(x, y) ± g(x, y), și în care

3. Dacă pentru integrabil în domeniu D funcții f(x, y)și g(x, y) inegalitatea f(x, y)≤g(x, y), apoi

(24.6)

Să mai demonstrăm câteva proprietăți integrală dublă :

4. Daca zona Dîmpărțit în două zone D 1 și D 2 fără puncte interne comune și funcție f(x, y) continuu in regiune D, apoi

(24.7) Dovada . Sumă integrală asupra zonei D poate fi reprezentat ca:

unde este împărțirea zonei D trasat astfel încât granița dintre D 1 și D 2 constă din limitele unor părți ale partiției. Trecând apoi la limita de la , obținem egalitatea (24.7).

5. În cazul integrabilităţii pe D funcții f(x, y)în această regiune, funcția este de asemenea integrabilă | f(x, y) |, și inegalitatea

(24.8)

Dovada.

de unde, trecând la limita ca , obținem inegalitatea (24.8)

6. unde S D– zona regiunii D. Dovada acestei afirmații se obține prin substituirea în suma integrală f(x, y)≡ 0.

7. Dacă este integrabil în regiune D funcţie f(x, y) satisface inegalitatea

m ≤ f(x, y) ≤ M,

apoi (24.9)

Dovada.

Demonstrarea se realizează prin trecerea la limita de la inegalitatea evidentă

Consecinţă.

Dacă împărțim toate părțile inegalității (24.9) la D, putem obține așa-numita teoremă a valorii medii:

În special, sub condiția continuității funcției fîn D există un astfel de punct în această regiune ( x 0, y 0), în care f(x 0, y 0) = μ , acesta este

-

O altă formulare a teoremei valorii medii.

Sensul geometric al integralei duble.

Luați în considerare un corp V, mărginită de o parte a suprafeței dată de ecuație z = f(x, y), proiecție D această suprafață față de planul O huși o suprafață cilindrică laterală obținută din generatoare verticale care leagă punctele limitei suprafeței cu proiecțiile lor.

z=f(x,y)

V

y P i D Fig.2.

Vom căuta volumul acestui corp ca limită a sumei volumelor cilindrilor ale căror baze sunt părțile Δ Si zone D, iar înălțimile sunt segmente cu lungimi f(Pi), unde punctele Pi aparțin lui Δ Si. Trecând la limita la , obținem asta

(24.11)

adică integrala dublă este volumul așa-numitului cilindric delimitat de sus de suprafață z = f(x, y), iar dedesubt - zona D.

Calcularea unei integrale duble prin reducerea acesteia la una iterată.

Luați în considerare zona D delimitate de linii x=a, x=b(A< b ), unde φ 1 ( X) și φ 2 ( X) sunt continue pe [ a, b]. Apoi orice linie paralelă cu axa de coordonate O la si trecand prin punctul interior al regiunii D, traversează limita regiunii în două puncte: N 1 și N 2 (Fig. 1). Să numim această zonă corect in pe-

la regula axei O la. În mod similar, cel

y=φ 2 (X) există o zonă corectă în direcție

N 2 axe O X. Zona corectă în direcția

Ambii axele de coordonate, vom

D spune-i bine. De exemplu,

zona corectă este prezentată în Fig.1.

y=φ 1 (X) N 1

O a b x

Lasă funcția f(x, y) continuu in regiune D. Luați în considerare expresia

, (24.12)

numit integrală dublă din functie f(x, y) pe regiune D. Să calculăm mai întâi integrala internă (în paranteze) peste variabilă la socoteală X permanent. Rezultatul va fi functie continua din X:

Integram functia rezultata peste X variind de la A inainte de b. Drept urmare, obținem numărul

Să demonstrăm o proprietate importantă a integralei duble.

Teorema 1. Dacă zona D, corectați în direcția O la, împărțit în două regiuni D 1 și D 2 drepte, axa paralela O la sau axa O X, apoi integrala dublă peste regiune D va fi egală cu suma acelorași integrale peste regiuni D 1 și D 2:

Dovada.

a) Lasă linia x = c pauze D pe D 1 și D 2, corectează în direcția O la. Apoi

+

+

b) Lasă linia y=h pauze D pe cele din dreapta in directia O la zone D 1 și D 2 (Fig. 2). Notează prin M 1 (A 1 , h) și M 2 (b 1 , h) punctele de intersecție ale dreptei y=h cu bordura L zone D.

y Regiune D 1 limitat de linii continue

y=φ 2 (X) 1) y=φ 1 (X);

D 2 2) curba DAR 1 M 1 M 2 LA, a cărui ecuație o scriem

hM 1 M 2 y=φ 1 *(X), Unde φ 1 *(X) = φ 2 (X) la a ≤ x ≤ a 1 și

A 1 D 1 Bb 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(X) = h la A 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) drept x = a, x = b.

Regiune D 2 limitat de linii y=φ 1 *(X),

Ay= φ 2 (X),A 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (X) Să aplicăm integralei interioare teorema pe

împărțirea intervalului de integrare:

O a a 1 b 1 b

+

Reprezentăm a doua dintre integralele obținute ca sumă:

+ + .

Pentru că φ 1 *(X) = φ 2 (X) la a ≤ x ≤ a 1 și b 1 ≤ x ≤ b, prima și a treia integrală obținute sunt identic egale cu zero. Prin urmare,

I D = , acesta este .

Integrale duble. Definiția integralei duble și proprietățile acesteia. Integrale iterate. Reducerea integralelor duble la cele repetate. Aranjarea limitelor de integrare. Calculul integralelor duble în Sistemul cartezian coordonate.

1. INTEGRALE DUBLE

1.1. Definiția integralei duble

Integrala dublă este o generalizare a conceptului de integrală definită în cazul unei funcții a două variabile. În acest caz, în loc de un segment de integrare, va exista un fel de cifră plată.

Lăsa D este un domeniu mărginit închis și f(X, y) este o funcție arbitrară definită și mărginită în acest domeniu. Vom presupune că limitele regiunii D consta dintr-un număr finit de curbe, dat de ecuaţii drăguț y=f(X) sau X=g( y), Unde f(X) și g(y) sunt funcții continue.

R

Orez. 1.1

Regiunea Azobem D la întâmplare n părți. Pătrat i-a secțiunea va fi notată cu simbolul  s i. Pe fiecare secțiune, alegem în mod arbitrar un punct P i , și lăsați-l să aibă coordonate într-un sistem cartezian fix ( X i , y i). Hai să compunem suma integrală pentru functie f(X, y) după zonă D, pentru a face acest lucru, găsim valorile funcției în toate punctele P i, înmulțiți-le cu ariile secțiunilor s corespunzătoare iși rezumă toate rezultatele:

. (1.1)

Hai sa sunăm diametru diam(G) zonă G cea mai mare distanță dintre punctele de limită ale acestei zone.

integrală dublă funcții f(X, y) pe regiune D se numeste limita spre care tinde sirul integralelor sume (1.1) cu o creștere nelimitată a numărului de partiții n (în care
). Aceasta este scrisă după cum urmează

. (1.2)

Rețineți că, în general, suma integrală pentru funcţie dată iar zona de integrare dată depinde de metoda de împărțire a zonei Dși selectarea punctelor P i. Totuși, dacă integrala dublă există, atunci aceasta înseamnă că limita sumelor integrale corespunzătoare nu mai depinde de acești factori. Pentru ca integrala dublă să existe(sau, cum se spune, la funcţie f(X, y) a fost integrabil în zonăD), este suficient ca integrandu-ul să fiecontinuu în domeniul dat de integrare.

P

Orez. 1.2

funcția st f(X, y) este integrabil în domeniu D. Deoarece limita sumelor integrale corespunzătoare pentru astfel de funcții nu depinde de metoda de partiționare a domeniului de integrare, partiționarea se poate face folosind linii verticale și orizontale. Apoi majoritatea părților din regiune D va avea o formă dreptunghiulară, aria care este egală cu  s i =X i y i. Prin urmare, diferența de suprafață poate fi scrisă ca ds= dxdy. Prin urmare, în sistemul de coordonate carteziene integrale duble poate fi scris sub forma

. (1.3)

cometariu . Dacă integrand f(X, y)1, atunci integrala dublă va fi egală cu aria regiunii de integrare:

. (1.4)

Rețineți că integralele duble au aceleași proprietăți ca și integralele definite. Să notăm câteva dintre ele.

Proprietățile integralelor duble.

1 0 . Proprietate liniară. Integrala sumei funcțiilor este egală cu suma integralelor:

iar factorul constant poate fi scos din semnul integral:

.

2 0 . Proprietate aditivă. Dacă zona de integrareDîmpărțit în două părți, atunci integrala dublă va fi egală cu suma integralelor din fiecare parte:

.

3 0 . Teorema valorii medii. Dacă funcţia f( X, y)continuu in regiuneD, atunci în această zonă există un astfel de punct() , ce:

.

Atunci apare întrebarea: cum se calculează integralele duble? Poate fi calculat aproximativ; în acest scop, au fost dezvoltate metode eficiente de compilare a sumelor integrale corespunzătoare, care sunt apoi calculate numeric folosind un calculator. În calculul analitic al integralelor duble, acestea sunt reduse la două integrale definite.

1.2. Integrale iterate

Integrale iterate sunt integrale ale formei

. (1.5)

În această expresie, integrala internă este mai întâi calculată, adică. integrarea peste variabilă se realizează mai întâi y(în timp ce variabila X presupus a fi constant). Ca urmare a integrării peste y obține o funcție X:

.

Funcția rezultată este apoi integrată X:

.

Exemplul 1.1. Calculați integralele:

A)
, b)
.

Soluţie . a) Să ne integrăm peste y, presupunând că variabila X= const. După aceea, calculăm integrala peste X:

.

b) Întrucât în ​​integrala interioară integrarea se realizează peste variabilă X, apoi y 3 poate fi scos în integrala exterioară ca factor constant. Pentru că y 2 în integrala internă este considerată o valoare constantă, atunci această integrală va fi tabelară. Prin integrarea succesivă peste yși X, primim

Există o relație între integralele duble și integralele iterate, dar mai întâi să ne uităm la zonele simple și complexe. Zona se numește simpluîn orice direcție dacă orice linie trasată în acea direcție intersectează limita regiunii în cel mult două puncte. În sistemul de coordonate carteziene, se iau în considerare de obicei direcțiile de-a lungul axelor O Xși O y. Dacă zona este simplă în ambele direcții, atunci se spune pe scurt - o zonă simplă, fără a evidenția direcția. Dacă domeniul nu este simplu, atunci se spune că este complex.

L

a b

Orez. 1.4

Orice domeniu complex poate fi reprezentat ca o sumă de domenii simple. În consecință, orice integrală dublă poate fi reprezentată ca o sumă de integrale duble pe domenii simple. Prin urmare, în cele ce urmează, vom lua în considerare în principal numai integralele pe domenii simple.

Teorema . Dacă zona de integrareD– simplu în direcția axeiOi(vezi Fig. 1.4a), atunci integrala dublă poate fi scrisă ca una iterată după cum urmează:

; (1.6)

dacă zona de integrareD– simplu în direcția axeiBou(vezi Fig. 1.4b), atunci integrala dublă poate fi scrisă ca una repetată după cum urmează:

. (1.7)

E

Orez. 1.3

Dacă zona de integrare este corectă în ambele direcții, atunci se poate alege în mod arbitrar forma integralei iterate, în funcție de ușurința integrării.

1.3. STABILIREA LIMITELOR INTEGRĂRII

1.3.1. Regiunea dreptunghiulară de integrare

P

Orez. 1.5

La reducerea integralelor duble la integrale iterate, principala dificultate apare în stabilirea limitelor în integralele interioare. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este pentru zonele dreptunghiulare (vezi Figura 1.5).

Exemplul 1.2. Calculați integrala dublă

.

Soluţie . Scriem integrala dubla sub forma celei iterate:

.

1.3.2. Regiunea arbitrară de integrare

Pentru a trece de la o integrală dublă la una iterată, urmează:

construirea domeniului de integrare;

stabiliți limite în integrale, reținând totodată că limitele integralei exterioare trebuie să fie valori constante (adică numere), indiferent de variabila pentru care este calculată integrala exterioară.

Exemplul 1.3. Setați limitele integrării în integralele iterate corespunzătoare pentru integrala dublă

în cazul în care un)
b)

R

Orez. 1.6

soluţie . A) Desenați zona de integrare D(vezi fig. 1.6). Fie ca integrarea în integrala exterioară să fie efectuată peste variabilă X, iar în interior y. Stabilirea limitelor ar trebui să înceapă întotdeauna cu integrala exterioară, în acest caz cu o variabilă X. Din figură se poate observa că X se modifică de la 0 la 1, în timp ce valorile variabilei y se va schimba de la valorile de pe linia dreaptă y= X până la valori pe linie dreaptă y=2X. Astfel, primim

.

Să se realizeze acum integrarea în integrala exterioară conform y, iar în interior X. În acest caz, valorile y se va schimba de la 0 la 2. Cu toate acestea, atunci limita superioară a modificărilor valorilor variabilei X va consta din două secțiuni X= y/2 și X=1. Aceasta înseamnă că zona de integrare trebuie împărțită în două părți ale liniei drepte y=1. Apoi, în prima regiune y se schimbă de la 0 la 1 și X din dreapta X= y/2 la drept X= y. În a doua regiune, y se schimbă de la 1 la 2 și X- din dreapta X= y/2 la drept X=1. Drept urmare, obținem

.

b

Orez. 1.7

) Să construim zona de integrare D(vezi fig. 1.7). Să se efectueze integrarea în integrala exterioară X, iar în interior y. În acest caz, la schimbare X-1 la 1 modificare a variabilei y de sus va fi limitat de două linii: un cerc și o linie dreaptă. Pe segmentul [–1; 0] y modificări de la y=0 la
; pe variabila segment y modificări de la y=0 la y=1–X. În acest fel,

.

Să se efectueze acum integrarea în integrala exterioară y, iar în interior X. În acest caz y se va schimba de la 0 la 1, iar variabila X- din arcul de cerc
spre drept X=1–y. Drept urmare, obținem

.

Aceste exemple arată cât de important este să alegeți ordinea corectă de integrare.

Exemplul 1.4. Schimbați ordinea integrării

A)
; b)
.

R

Orez. 1.8

soluţie . A) Să construim zona de integrare. Pe segmentul pt X variabil y se schimbă de la drept y=0 la drept y= X. Ca rezultat, se obține următoarea zonă de integrare (vezi Fig. 1.8). Pe baza figurii construite, stabilim limitele integrării

.

b) Să construim zona de integrare. Pe segmentul pt y variabil X se schimbă de la drept X=y la parabolă
; pe un segment - dintr-o linie dreaptă X=y spre drept X= 3/4. Rezultatul este următoarea zonă de integrare (vezi Fig. 1.9). Pe baza figurii construite, stabilim limitele integrării,

.

Integrale duble pentru manechine

Această lecție prezintă subiectul extins al integralelor multiple pe care elevii le întâlnesc de obicei în al doilea an. dublu și integrale triple nu-l poți intimida pe profan mai rău decât ecuatii diferentiale, așa că ne vom ocupa imediat de întrebarea: este greu sau nu? Desigur, pentru unii va fi dificil și, să fiu sincer, am fost puțin viclean cu titlul articolului - pentru a învăța cum să rezolvi integralele duble, trebuie să ai niște abilități. În primul rând, dacă vorbim de integrale, atunci, evident, trebuie să integrăm. Logic. Prin urmare, pentru a stăpâni exemple, trebuie să puteți găsi integrale nedefinite si calculeaza integrale definite cel putin la un nivel mediu. Vestea bună este că integralele în sine sunt destul de simple în majoritatea cazurilor.

Cine trebuie să fie dur? E de înțeles. Cei care au băut multă bere în primele semestre. Totuși, voi liniști și studenții normali - site-ul are toate materialele pentru a completa golurile sau neînțelegerile. Trebuie doar să petreci mai mult timp. Link-uri către subiecte care ar trebui studiate sau repetate vor fi atașate pe parcursul articolului.

Pe lecție introductivă Următoarele puncte de bază vor fi analizate pas cu pas și în detaliu:

– Conceptul de integrală dublă

– Zona de integrare. Ordinea de ocolire a regiunii de integrare. Cum se schimbă ordinea traversării?

După ce înțelegeți BINE toate elementele de bază, puteți continua la articol Cum se calculează integrala dublă? Exemple de soluții. În plus, există o problemă comună despre calculul integralei duble în coordonate polareși o aplicație tipică despre găsirea centrului de greutate al unei figuri mărginite plate.

Să începem cu o întrebare vitală - ce este?

Conceptul de integrală dublă

Integrală dublă în vedere generala se scrie astfel:

Înțelegem termenii și notația:
– pictograma integrală dublă;
– zona de integrare (figura plată);
- integrantul a două variabile, adesea este destul de simplu;
- pictograme diferențiale.

Ce înseamnă să calculezi o integrală dublă?

Calcularea mediei integrale duble găsiți NUMĂR. Cel mai frecvent număr:

Și este foarte de dorit să-l găsiți corect =)

Rezultatul (numărul) poate fi negativ. Și zero, de asemenea, poate apărea cu ușurință. M-am oprit în mod special în acest moment, deoarece mulți studenți experimentează anxietate atunci când răspunsul se dovedește a fi „ceva cam ciudat”.

Mulți oameni își amintesc că „obișnuit” integrala definita este, de asemenea, un număr. La fel este și aici. Integrala dublă are și un excelent sens geometric, dar mai multe despre asta mai târziu, totul are timpul lui.

Cum se calculează integrala dublă?

Pentru a calcula integrala dublă, aceasta trebuie redusă la așa-numita integrale iterate. Poate fi realizat doua feluri. Cea mai comună modalitate este:

În locul semnelor de întrebare, este necesar să se pună limitele integrării. Mai mult decât atât, semnele unice de întrebare ale integralei exterioare sunt numere, iar semnele duble de întrebare ale integralei interioare sunt funcții o variabilă dependentă de „x”.

De unde să obții limitele integrării? Ele depind de ce zonă este dată în starea problemei. Zona este o figură plată obișnuită pe care ați întâlnit-o de multe ori, de exemplu, când calcularea ariei unei figuri plane sau calcularea volumului unui corp de revoluție. Foarte curând veți învăța cum să setați corect limitele integrării.

După efectuarea tranziției la integrale iterate, calculele urmează direct: mai întâi se ia integrala interioară și apoi cea exterioară. Unul dupa altul. De aici și numele - integrale iterate.

În linii mari, problema se reduce la calculul a două integrale definite. După cum puteți vedea, totul nu este atât de dificil și de înfricoșător, iar dacă ați stăpânit integrala definită „obișnuită”, ce vă împiedică să vă ocupați de două integrale?!

A doua modalitate de trecere la integrale iterate este oarecum mai puțin comună:

Ce s-a schimbat? Ordinea integrării s-a schimbat: acum integrala internă este preluată de „x”, iar cea externă – peste „y”. Limitele integrării, indicate prin asteriscuri - va fi diferit! Stelele unice ale integralei exterioare sunt numere, iar stelele duble ale integralei interioare sunt funcții inverseîn funcție de „y”.

Indiferent de modul în care alegem să trecem la integrale iterate, răspunsul final este sigur să fie același:

Vă rog, amintiți-vă această proprietate importantă, care poate fi folosit, printre altele, pentru a verifica soluția.

Algoritm pentru rezolvarea integralei duble:

Sistematizăm informațiile: în ce ordine ar trebui rezolvată problema luată în considerare?

1) Este necesar să completați desenul. Fără desen, problema nu poate fi rezolvată. Mai exact, ea decide să decidă, dar va fi ca și cum ar fi jucat șah orb. Desenul ar trebui să ilustreze zona, care este o figură plată. Cel mai adesea, figura este necomplicată și limitată la unele linii drepte, parabole, hiperbole etc. O tehnică competentă și rapidă de construire a desenelor poate fi stăpânită în lecții Grafice și proprietăți de bază ale funcțiilor elementare, Transformări de diagrame geometrice . Deci, primul pas este finalizarea desenului.

2) Setați limitele integrării și mergeți la integrale iterate.

3) Luați integrala interioară

4) Luați integrala exterioară și obțineți răspunsul (numărul).

Regiunea de integrare. Ordinea de ocolire a regiunii de integrare.
Cum se schimbă ordinea traversării?

În această secțiune, vom lua în considerare cea mai importantă întrebare - cum să trecem la integrale iterate și să stabilim corect limitele integrării. După cum am menționat mai sus, puteți proceda astfel:

Asa de:

În practică, această sarcină aparent simplă provoacă cele mai mari dificultăți, iar elevii devin adesea confuzi în stabilirea limitelor integrării. Luați în considerare un exemplu specific:

Exemplul 1

Soluţie: Să descriem zona de integrare în desen:

Siluetă plată obișnuită și nimic special.

Acum voi oferi fiecăruia dintre voi câte o unealtă - un băț de săpat, un indicator laser. Sarcina este de a scana fiecare punct al zonei umbrite cu un fascicul laser:

Raza laser trece prin regiunea de integrare strict de jos în sus, adică păstrezi ÎNTOTDEAUNA un pointer de mai jos figură plată. Fasciculul intră în regiune prin axa x, care este dată de ecuație, și iese din regiune printr-o parabolă (săgeată roșie). Pentru a ilumina întreaga zonă, aveți nevoie strict de la stânga la dreapta trageți indicatorul de-a lungul axei de la 0 la 1 (săgeata verde).

Deci ce s-a întâmplat:
„y” se schimbă de la 0 la ;
„x” se schimbă de la 0 la 1.

În sarcini, cele de mai sus sunt scrise sub formă de inegalități:

Aceste inegalități se numesc ocolirea domeniului de integrare sau pur și simplu ordinea integrării

După ce ne-am dat seama de ordinea traversării, putem trece de la integrală dublă la integrale iterate:

Jumătate din problemă este rezolvată. Acum trebuie să trecem la integrale iterate în al doilea mod. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți funcții inverse. Cine a citit al doilea paragraf al lecției Volumul unui corp de revoluție, va fi mai usor. Ne uităm la funcțiile care stabilesc zona . Dacă este destul de simplu, atunci mergeți la funcții inverse, ceea ce înseamnă să exprimați „x” prin „y”. Singura funcție unde există și „x” și „y”, este .

Dacă , atunci , și:
funcția inversă definește ramura dreaptă a parabolei;
funcția inversă definește ramura stângă a parabolei.

Adeseori apar îndoieli, de exemplu, funcția determină ramura stângă sau dreaptă a parabolei? Este foarte ușor să risipiți îndoielile: luați un punct al parabolei, de exemplu, (din ramura dreaptă) și înlocuiți coordonatele acesteia în orice ecuație, de exemplu, în aceeași ecuație:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că funcția determină exact ramura dreaptă a parabolei, și nu stânga.

În plus, acest control(mental sau în schiță) este de dorit să se efectueze întotdeauna, după ce ați trecut la funcțiile inverse. Nu va dura nimic, dar cu siguranță te va scuti de greșeli!

Ocolim regiunea de integrare în al doilea mod:

Acum ține indicatorul laser stânga din zona de integrare. Raza laser trece prin zonă strict de la stânga la dreapta. În acest caz, intră în regiune printr-o ramură a parabolei și iese din regiune prin linia dreaptă dată de ecuație (săgeata roșie). Pentru a scana întreaga zonă cu un laser, trebuie să desenați un indicator de-a lungul axei strict de jos în sus de la 0 la 1 (săgeată verde).

În acest fel:
„x” se schimbă de la 1;
„y” se schimbă de la 0 la 1.

Ordinea de ocolire a zonei trebuie scrisă sub formă de inegalități:

Și, prin urmare, tranziția la integrale iterate este după cum urmează:

Răspuns se poate scrie astfel:

Încă o dată, vă reamintesc că rezultatul final al calculelor nu depinde de ordinea de parcurgere a zonei pe care am ales-o (de aceea punem semnul egal). Dar înainte rezultat finalîncă departe, acum sarcina noastră este doar să stabilim limitele integrării corect.

Exemplul 2

Dată o integrală dublă cu domeniul integrării . Accesați integralele iterate și setați limitele integrării în două moduri.

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Construiește corect un desen și urmați cu strictețe instrucțiunile(de unde și unde să străluciți cu un indicator laser). O mostră aproximativă de finisare la sfârșitul lecției.

Cel mai adesea sarcină tipică apare într-o formă ușor diferită:

Exemplul 3

Construiți regiunea de integrare și

Soluţie: După condiție, se oferă prima modalitate de a ocoli regiunea. Soluția începe din nou cu un desen. Aici zona nu se întinde pe un platou de argint, dar nu este greu să o construiești. În primul rând, „eliminăm” funcțiile din limitele de integrare: , . Funcția, desigur, definește o linie dreaptă, dar ce definește funcția? Să o transformăm puțin:
– un cerc centrat la originea coordonatelor razei 2. Funcția definește semicercul superior (nu uitați că, dacă aveți îndoieli, puteți înlocui oricând un punct situat pe semicercul superior sau inferior).

Ne uităm la limitele integralei exterioare: „x” se schimbă de la -2 la 0.

Să executăm desenul:

Pentru claritate, am indicat cu săgeți prima modalitate de a ocoli regiunea, care corespunde integralelor iterate ale condiției: .

Acum trebuie să schimbăm ordinea de ocolire a zonei, pentru aceasta vom trece la funcții inverse (să exprimăm „x” prin „y”):

Am convertit recent funcția în ecuația unui cerc, apoi exprimăm „x”:
Ca rezultat, obținem două funcții inverse:
- defineşte semicercul drept;
- definește semicercul stâng.
Din nou, dacă aveți îndoieli, luați orice punct de pe cerc și aflați care este stânga și care este dreapta.

Să schimbăm ordinea de parcurgere a zonei:

Conform celei de-a doua metode de bypass, fasciculul laser inclus spre regiune stânga prin semicercul stâng şi iese pe dreapta peste linie (săgeată roșie). În același timp, indicatorul laser este desenat de-a lungul axei y în sus de la 0 la 2 (săgeată verde).

Astfel, ordinea de parcurgere a zonei este:

În general, se poate scrie Răspuns:

Exemplul 4

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Exemplul nu este foarte complicat, dar rețineți că ordinea traversării este stabilită inițial în al doilea mod! Ce să faci în astfel de cazuri? În primul rând, există o dificultate cu desenul, deoarece desenarea unui grafic al funcției inverse este neobișnuită chiar și pentru mine. Recomand următoarea procedură: în primul rând, obținem o funcție „normală” de la (exprimăm „y” prin „x”). Apoi, construim un grafic al acestei funcții „obișnuite” (puteți construi întotdeauna cel puțin punctual). Facem același lucru cu cele mai simple funcție liniară: din exprimăm „y” și trasăm o linie dreaptă.

Analizăm limitele inițiale ale integrării: intrăm în regiune din stânga prin și ieșim prin . În acest caz, toate lucrurile au loc în banda „joc” de la -1 la 0. După ce ați determinat zona de integrare pe desen, nu va fi dificil să schimbați ordinea bypass-ului. Un exemplu de soluție la sfârșitul lecției.

Un exemplu similar va fi discutat mai detaliat puțin mai târziu.

Chiar dacă înțelegi totul perfect, te rog nu te grăbi să treci direct la calculul integralei duble. Ordinea parcurgerii este un lucru complicat și este foarte important să pun puțină mână pe această sarcină, mai ales că încă nu am acoperit totul!

În cele patru exemple precedente, zona de integrare se afla în întregime în sferturile de coordonate 1, 2, 3 și 4. Este întotdeauna așa? Nu, firesc.

Exemplul 5

Schimbați ordinea integrării

Soluţie: Să executăm desenul, în timp ce graficul funcției este de fapt o parabolă cubică, doar „se află pe o parte”:

Ordinea de traversare a regiunii care corespunde integralelor iterate , indicat prin săgeți. Vă rugăm să rețineți că în timpul execuției desenului a fost desenată o altă figură limitată (în stânga axei y). Prin urmare, ar trebui să fiți atenți atunci când determinați zona de integrare - cifra greșită poate fi confundată cu zona.

Să trecem la funcțiile inverse:
- ramura dreaptă a parabolei de care avem nevoie;

Să schimbăm ordinea de parcurgere a zonei. După cum vă amintiți, în a doua metodă de bypass, zona trebuie scanată cu un fascicul laser de la stânga la dreapta. Dar iată un lucru interesant:

Cum să acționezi în astfel de cazuri? În astfel de cazuri, ar trebui să împărțiți zona de integrare în două părți și pentru fiecare dintre părți alcătuiți propriile integrale iterate:

1) Dacă „y” se schimbă de la –1 la 0 (săgeată verde), atunci raza intră în regiune printr-o parabolă cubică și iese printr-o linie dreaptă (săgeată roșie). Prin urmare, ordinea de parcurgere a zonei va fi următoarea:

2) Dacă „y” se schimbă de la 0 la 1 (săgeată maro), atunci raza intră în regiune printr-o ramură a parabolei și iese prin aceeași linie dreaptă (săgeată purpurie). Prin urmare, ordinea de parcurgere a zonei va fi următoarea:

Și integralele iterate corespunzătoare:

Integrale definite și multiple au o proprietate foarte convenabilă aditivitatea, adică se pot adăuga, ceea ce în acest caz ar trebui făcut:
- și aici este ocolirea noastră a regiunii în a doua cale sub forma sumei a două integrale.

Răspuns scrie asa:

Care este cea mai bună comandă de bypass? Desigur, cel care a fost dat în starea problemei - calculele vor fi la jumătate!

Exemplul 6

Schimbați ordinea integrării

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Conține semicercuri, care au fost tratate în detaliu în Exemplul 3. O probă de soluție la sfârșitul lecției.

Și acum sarcina promisă, când a doua modalitate de a ocoli zona este inițial setată:

Exemplul 7

Schimbați ordinea integrării

Soluţie: Când ordinea de ocolire este setată în al doilea mod, este recomandabil să comutați la funcțiile „normale” înainte de a desena desenul. În acest exemplu, există doi pacienți de convertit: și .
Cu o funcție liniară, totul este simplu:

Graficul funcției este o parabolă cu pretenție de canonicitate.

Să exprimăm „Y” prin „X”:

Obținem două ramuri ale parabolei: și . Pe care să o aleg? Cel mai simplu mod este să executați imediat desenul. Și chiar dacă ai uitat materialul geometrie analitică despre o parabolă, atunci ambele ramuri pot fi încă construite punctual:

Încă o dată, aș dori să vă atrag atenția asupra faptului că acest desen Am primit mai multe figuri plate și este foarte important să alegi forma potrivită! La alegerea figurii dorite, limitele de integrare ale integralelor originale vor ajuta doar:
, și nu uitați că funcția inversă se stabilește toate parabolă.

Săgețile care indică ocolirea figurii corespund exact limitelor de integrare a integralelor .

Destul de curând veți învăța să efectuați o astfel de analiză mental și să găsiți zona dorită de integrare.

Când se găsește forma, partea finală a soluției este, în general, foarte simplă, schimbați ordinea de parcurgere a zonei:

Funcții inverse găsit deja și ordinea necesară de parcurgere a zonei:

Răspuns:

Exemplu final de paragraf pentru auto-rezolvare:

Exemplul 8

Schimbați ordinea integrării

Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.

Începem să luăm în considerare procesul real de calcul al integralei duble și să ne familiarizăm cu semnificația ei geometrică.

Integrala dublă este numeric egală cu aria unei figuri plate (regiunea de integrare). aceasta cea mai simpla forma integrală dublă când funcția a două variabile este egală cu una: .

Să luăm mai întâi în considerare problema în termeni generali. Acum vei fi surprins cât de simplu este cu adevărat! Calculați aria unei figuri plate, delimitate de linii. Pentru certitudine, presupunem că pe intervalul . Aria acestei figuri este numeric egală cu:

Să reprezentăm zona din desen:

Să alegem prima modalitate de a ocoli zona:

În acest fel:

Și imediat un truc tehnic important: integralele iterate pot fi considerate separat. Mai întâi integrala interioară, apoi integrala exterioară. Aceasta metoda Recomand cu incredere pentru incepatorii in tema ceainicelor.

1) Calculați integrala internă, în timp ce integrarea se realizează peste variabila „y”:

Integrală nedefinită aici este cea mai simplă, iar apoi se folosește banala formulă Newton-Leibniz, cu singura diferență că limitele integrării nu sunt numerele, ci funcțiile. În primul rând, am înlocuit limita superioară în „y” (funcția antiderivată), apoi limita inferioară

2) Rezultatul obţinut la primul paragraf trebuie înlocuit în integrala externă:

O notație mai compactă pentru întreaga soluție arată astfel:

Formula rezultată - aceasta este exact formula de lucru pentru calcularea ariei unei figuri plate folosind integrala definită „obișnuită”! Vezi lecția Calcularea ariei folosind o integrală definită, acolo este ea la fiecare pas!

Acesta este, problema calculării ariei folosind o integrală dublă putin diferit din problema găsirii zonei folosind o integrală definită ! De fapt, sunt una și aceeași!

În consecință, nu ar trebui să apară dificultăți! Nu voi lua în considerare foarte multe exemple, deoarece, de fapt, ați întâmpinat această problemă în mod repetat.

Exemplul 9

Folosind integrala dublă, calculați aria unei figuri plane delimitate de linii.

Soluţie: Să reprezentăm zona din desen:

Aria figurii este calculată folosind integrala dublă conform formulei:

Să alegem următoarea ordine de parcurgere a regiunii:

Aici și mai jos, nu voi intra în modul de a traversa o zonă pentru că primul paragraf a fost foarte detaliat.

În acest fel:

După cum am menționat deja, este mai bine pentru începători să calculeze integrale iterate separat, voi adera la aceeași metodă:

1) În primul rând, folosind formula Newton-Leibniz, ne ocupăm de integrala internă:

2) Rezultatul obținut la prima etapă este înlocuit în integrala exterioară:

Punctul 2 este de fapt găsirea aria unei figuri plate folosind o integrală definită.

Răspuns:

Iată o sarcină atât de stupidă și naivă.

Un exemplu curios pentru o soluție independentă:

Exemplul 10

Folosind integrala dublă, calculați aria unei figuri plane delimitată de liniile , ,

Un exemplu de soluție finală la sfârșitul lecției.

În exemplele 9-10, este mult mai profitabil să folosiți prima modalitate de a ocoli zona, cititorii curioși, apropo, pot schimba ordinea ocolirii și pot calcula zonele în al doilea mod. Dacă nu faceți o greșeală, atunci, firesc, se obțin aceleași valori de suprafață.

INTEGRALE DUBLE

PRELEZA 1

Integrale duble.Definiția integralei duble și proprietățile acesteia. Integrale iterate. Reducerea integralelor duble la cele repetate. Aranjarea limitelor de integrare. Calculul integralelor duble în sistemul de coordonate carteziene.

Integrala dublă este o generalizare a conceptului de integrală definită în cazul unei funcții a două variabile. În acest caz, în loc de un segment de integrare, va exista un fel de cifră plată.

Lăsa D este un domeniu mărginit închis și f(X y) este o funcție arbitrară definită și mărginită în acest domeniu. Vom presupune că limitele regiunii D constau dintr-un număr finit de curbe date de ecuații de forma y=f(X) sau X=g( y), Unde f(X) și g(y) sunt funcții continue.

Să împărțim zona D la întâmplare n părți. Pătrat i al-lea segment este notat cu simbolul D s i. Pe fiecare secțiune, alegem în mod arbitrar un punct Pi,și lăsați-l să aibă coordonate într-un sistem cartezian fix ( x i ,y i). Hai să compunem suma integrală pentru functie f(X y) după zonă D, pentru a face acest lucru, găsim valorile funcției în toate punctele Pi, le înmulțim cu ariile segmentelor corespunzătoare Ds iși rezumă toate rezultatele:

Hai sa sunăm diam(G) zonă G cea mai mare distanță dintre punctele de limită ale acestei zone.

integrală dublă funcții f(X y) peste domeniul D este limita spre care tinde succesiunea sumelor integrale (1.1) cu o creștere nelimitată a numărului de partiții n (în care). Aceasta este scrisă după cum urmează

Rețineți că, în general, suma integrală pentru o funcție dată și un domeniu de integrare dat depinde de modul în care domeniul este partiționat Dși selectarea punctelor Pi. Totuși, dacă integrala dublă există, atunci aceasta înseamnă că limita sumelor integrale corespunzătoare nu mai depinde de acești factori. Pentru ca integrala dublă să existe(sau, cum se spune, astfel încât funcția f(X y) este integrabil în domeniul D), este suficient ca integrandul să fie continuuîn domeniul dat de integrare.

Lasă funcția f(X y) este integrabil în domeniu D. Deoarece limita sumelor integrale corespunzătoare pentru astfel de funcții nu depinde de metoda de partiționare a domeniului de integrare, partiționarea se poate face folosind linii verticale și orizontale. Apoi majoritatea părților din regiune D va avea o formă dreptunghiulară, aria care este egală cu D s i=D x i D y eu. Prin urmare, diferența de suprafață poate fi scrisă ca ds=dxdy. Prin urmare, în coordonate carteziene, integrale duble poate fi scris sub forma

cometariu. Dacă integrandul f(X y)º1, atunci integrala dublă va fi egală cu aria regiunii de integrare:

Rețineți că integralele duble au aceleași proprietăți ca integrale definite. Să notăm câteva dintre ele.

Proprietățile integralelor duble.

1 0 .Proprietate liniară. Integrala sumei funcțiilor este egală cu suma integralelor:

iar factorul constant poate fi scos din semnul integral:

2 0 .Proprietate aditivă. Dacă domeniul de integrare D este împărțit în două părți, atunci integrala dublă va fi egală cu suma integralelor din fiecare parte.:

3 0 .Teorema valorii medii. Dacă funcţia f( X y)este continuă în domeniul D, atunci în acest domeniu există un astfel de punct(x,h) , ce:

Atunci apare întrebarea: cum se calculează integralele duble? Se poate calcula aproximativ, în acest scop este dezvoltat metode eficiente compilarea sumelor integrale corespunzătoare, care apoi sunt calculate numeric folosind un calculator. În calculul analitic al integralelor duble, acestea sunt reduse la două integrale definite.

Proprietățile de bază ale integralei duble

Proprietățile integralei duble (și derivarea lor) sunt similare cu proprietățile corespunzătoare ale integralei unice definite.

1°. Aditivitate. Dacă funcţia f(X, y) este integrabil în domeniu D iar dacă zona D folosind o curbă G zona zero este împărțită în două regiuni conectate fără puncte interioare comune D 1 și D 2, apoi funcția f(X, y) este integrabil în fiecare dintre domenii D 1 și D 2, și

2°. Proprietate liniară. Dacă funcţiile f(X, y) și g(X, y) sunt integrabile în domeniu D, A α și β - orice numere reale, apoi funcția [ α · f(X, y) + β · g(X, y)] este de asemenea integrabil în domeniu D, și

3°. Dacă funcţiile f(X, y) și g(X, y) sunt integrabile în domeniu D, atunci produsul acestor funcții este și el integrabil în D.

4°. Dacă funcţiile f(X, y) și g(X, y) ambele sunt integrabile în domeniu Dși peste tot în această zonă f(X, y) ≤ g(X, y), apoi

5°. Dacă funcţia f(X, y) este integrabil în domeniu D, apoi funcția | f(X, y)| integrabil în zonă D, și

(Desigur, din integrabilitate | f(X, y)| în D integrabilitatea nu urmează f(X, y) în D.)

6°. Teorema valorii medii. Dacă ambele funcţii f(X, y) și g(X, y) sunt integrabile în domeniu D, funcție g(X, y) este nenegativ (nepozitiv) peste tot în această regiune, Mși m- limitele superioare și inferioare exacte ale funcției f(X, y) în zona D, apoi există un număr μ , satisfacerea inegalitatii m ≤ μ ≤ Mși astfel încât formula