Transformarea integrală dublă a coordonatelor dreptunghiulare, la coordonate polare
, raportat la coordonatele dreptunghiulare prin relații
,
, se efectuează conform formulei

Dacă zona de integrare
limitat la două fascicule
,
(
) care iese din pol și două curbe
și
, apoi integrală dublă calculate după formula

.

Exemplul 1.3. Calculați aria figurii delimitată de aceste drepte:
,
,
,
.

Soluţie. Pentru a calcula aria unei zone
hai sa folosim formula:
.

Desenați o zonă (Fig. 1.5). Pentru a face acest lucru, transformăm curbele: , , , . Să trecem la coordonatele polare: , . . În sistemul de coordonate polare, zona este descris de ecuațiile:

.

1.2. Integrale triple

Principalele proprietăți ale integralelor triple sunt similare cu cele ale integralelor duble.

În coordonatele carteziene, integrala triplă este de obicei scrisă astfel:

.

În cazul în care un
, apoi integrala triplă peste zonă egal numeric cu volumul corpului :

.

Calcularea integralei triple

Lasă zona de integrare delimitat de sus și respectiv de jos de suprafețe continue cu o singură valoare
,
, și proiecția zonei la planul de coordonate
există o zonă plată
(Fig. 1.6).

Apoi pentru valori fixe aplicații corespunzătoare puncte de zonă schimbare în interior. Atunci obținem: . Dacă, în plus, proiecţia este determinată de inegalități , , Unde - fără ambiguitate funcții continue pe , apoi

.

Exemplul 1.4. calculati
, Unde - un corp delimitat de planuri:

	, , , ( , , ). Soluţie. Zona de integrare este piramida (Fig. 1.7). Proiecția zonei există un triunghi , delimitat de linii drepte , , (Fig. 1.8). La aplicații punctiforme satisface inegalitatea , de aceea .
	Stabilirea limitelor de integrare pentru un triunghi , primim

Integrală triplă în coordonate cilindrice

La trecerea de la coordonatele carteziene
la coordonatele cilindrice
(Fig. 1.9) asociat cu
rapoarte
,
,
, și

	, ,, transformarea integrală triplă: Exemplul 1.5. Calculați volumul unui corp delimitat de suprafețe: , , . Soluţie. Volumul corporal dorit egală .
	Regiunea de integrare este partea cilindrului delimitată de jos de plan , și deasupra avionului (Fig. 1.10). Proiecția zonei există un cerc centrat la origine și cu raza unitară. Să trecem la coordonatele cilindrice. , , . La aplicații punctiforme , satisface inegalitatea sau în coordonate cilindrice:

Regiune
, delimitat de o curbă
, ia forma sau
, în timp ce unghiul polar
. Ca urmare, avem

.

2. Elemente de teoria câmpului

Să ne amintim mai întâi metodele de calcul a integralelor curbilinii și de suprafață.

Calculul unei integrale curbilinii peste coordonatele funcțiilor definite pe o curbă , se reduce la calculul unei integrale definite a formei

dacă curba parametrice
corespunde punct de start strâmb , A
- punctul său final.

Calculul integralei de suprafață a unei funcții
definite pe o suprafață cu două fețe , se reduce la calculul unei integrale duble, de exemplu, a formei

,

dacă suprafaţa , dat de ecuație
, este proiectat în mod unic pe plan
spre regiune
. Aici - unghiul dintre vectorul normal al unității la suprafata si axa
:

.

Partea suprafeței cerută de condițiile problemei se determină prin alegerea semnului corespunzător în formula (2.3).

Definiție 2.1. Câmp vectorial
se numește funcție vectorială a punctului
împreună cu domeniul său de aplicare:

câmp vectorial
caracterizat printr-o valoare scalară - divergenţă:

Definiție 2.2. curgere câmp vectorial
prin suprafata se numeste integrala de suprafata:

,

Unde - vector unitar normale la partea selectată a suprafeței , A
- produs scalar vectori și .

Definiția 2.3. circulaţie câmp vectorial

pe curbă închisă se numeste integrala curbilinie

,

Unde
.

Formula Ostrogradsky-Gauss stabilește o legătură între un fir câmp vectorial printr-o suprafață închisă și divergența câmpului:

Unde - o suprafata delimitata de un contur inchis , A este vectorul normal unitar la această suprafață. Direcția normalului trebuie să se potrivească cu direcția conturului .

Exemplul 2.1. Calculați integrala de suprafață

,

Unde - partea exterioară a conului
(
) tăiat de avion
(Figura 2.1).

Soluţie. Suprafaţă proiectat unic în zonă
avion
, iar integrala se calculează prin formula (2.2).

Vectorul normal al suprafeței unității găsim prin formula (2.3): . Aici, în expresia pentru normal, se alege semnul plus, din moment ce unghiul între axe si normal este prost și prin urmare trebuie să fie negativ. Dat fiind , pe o suprafață primim

Regiune
există un cerc
. Prin urmare, în ultima integrală trecem la coordonatele polare, în timp ce
,
:

Exemplul 2.2. Găsiți divergența și curba unui câmp vectorial
.

Soluţie. Prin formula (2.4) obținem

Rotorul acestui câmp vectorial se găsește prin formula (2.5)

Exemplul 2.3. Găsiți fluxul unui câmp vectorial
peste o parte a avionului :
situat în primul octant (normalul formează un unghi ascuțit cu axa
).

	Soluţie. Prin formula (2.6) . Desenați o parte a avionului : situat în primul octant. Ecuația acestui plan în segmente are forma (Fig. 2.3). Vectorul normal al planului are coordonatele: , vector normal unitar
	. . , , Unde , Prin urmare,

Unde
- proiecția avionului pe
(Fig. 2.4).

Exemplul 2.4. Calculați fluxul unui câmp vectorial printr-o suprafață închisă format din avion
și o parte a conului
(
) (Fig. 2.2).

Soluţie. Folosim formula Ostrogradsky-Gauss (2.8)

.

Aflați divergența câmpului vectorial prin formula (2.4):

Unde
este volumul conului peste care se realizează integrarea. Folosim formula binecunoscută pentru calcularea volumului unui con
(este raza bazei conului, - susul lui). În cazul nostru, obținem
. În sfârșit, obținem

.

Exemplul 2.5. Calculați circulația câmpului vectorial
de-a lungul conturului formate prin intersectia suprafetelor
și
(
). Verificați rezultatul folosind formula Stokes.

Soluţie. Intersecția acestor suprafețe este un cerc
,
(Fig. 2.1). Direcția ocolirii este de obicei aleasă astfel încât zona delimitată de aceasta să rămână la stânga. Scriem ecuațiile parametrice ale conturului :

Unde

unde parametrul modificări de la inainte de
. Prin formula (2.7), ținând cont de (2.1) și (2.10), obținem

.

Acum aplicăm formula Stokes (2.9). Ca suprafață , cuprinse de contur , poți lua parte din avion
. Direcția normală
la această suprafață este în concordanță cu direcția de traversare a conturului . Curl acestui câmp vectorial este calculat în exemplul 2.2:
. Prin urmare, circulația dorită

Unde
- zona regiunii
.
- cerc cu raza
, Unde

1. Coordonatele cilindrice reprezintă legătura coordonatelor polare în planul xy cu aplicatul cartezian uzual z (Fig. 3).

Fie M(x, y, z) un punct arbitrar în spațiul xyz, P fie proiecția punctului M pe planul xy. Punctul M este determinat unic de un triplu de numere - coordonatele polare ale punctului P, z - aplicatul punctului M. Formulele care le unesc cu cele carteziene au forma

Display Jacobian (8)

Exemplul 2.

Calculați integrala

unde T este aria delimitată de suprafețe

Soluţie. Să trecem integrala la coordonatele sferice după formulele (9). Atunci regiunea de integrare poate fi specificată prin inegalități

Si asta inseamnă

Exemplul 3 Aflați volumul unui corp delimitat de:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Avem: x 2 +y 2 +z 2 =8 - sfera de raza R= v8 centrata in punctul O(000),

Partea superioară a conului z 2 \u003d x 2 + y 2 cu o axă de simetrie Oz și un vârf în punctul O (Fig. 2.20).

Să găsim linia de intersecție a sferei și a conului:

Și întrucât prin condiția z? 0, atunci

Cercul R=2 situat în planul z=2.

Prin urmare, conform (2.28)

unde domeniul U este mărginit de sus

(parte a sferei),

(parte a unui con);

regiunea U este proiectată pe planul Oxy în regiunea D - un cerc cu raza 2.

Prin urmare, este oportun să treceți integrala triplă la coordonatele cilindrice folosind formulele (2.36):

Limitele de schimbare a lui q, r se găsesc în aria D v cerc complet R=2 centrat în punctul O, astfel: 0?c?2p, 0?r?2. Astfel, regiunea U în coordonate cilindrice este dată de următoarele inegalități:

observa asta

Descărcați din Depositfiles

Tripla integrală.

Întrebări de testare.

Integrală triplă, proprietățile sale.

Modificarea variabilelor în integrala triplă. calcul integrală triplăîn coordonate cilindrice.

Calculul integralei triple în coordonate sferice.

Lasă funcția u= f(X y,z) este definită într-un domeniu închis mărginit V spaţiu R 3 . Să împărțim zona V la întâmplare n elementar zone închise V 1 , … ,V n având volume  V 1 , …,  V n respectiv. Denota d este cel mai mare dintre diametrele regiunii V 1 , … ,V n. În fiecare zonă V k alege un punct arbitrar P k (X k ,y k ,z k) și compune suma integrală funcții f(X, y,z)

S =

Definiție.integrală triplă din functie f(X, y,z) după zonă V se numește limita sumei integrale
dacă există.

În acest fel,

(1)

Cometariu. Suma integrală S depinde de modul în care este împărțită regiunea V și selectarea punctelor P k (k=1, …, n). Cu toate acestea, dacă există o limită, atunci aceasta nu depinde de modul în care este împărțită regiunea Vși selectarea punctelor P k. Dacă comparăm definițiile integralelor duble și triple, atunci este ușor să vedem o analogie completă în ele.

O condiție suficientă pentru existența unei integrale triple. Integrala triplă (13) există dacă funcția f(X, y,z) este limitat în V si continuu in V, cu excepția unui număr finit de suprafețe netede pe bucăți situate în V.

Câteva proprietăți ale integralei triple.

1) Dacă DIN este o constantă numerică, atunci

3) Aditivitate asupra zonei. Dacă zona V împărțit în zone V 1 și V 2, atunci

4) Volumul corpului V egală

(2 )

Calculul integralei triple în coordonate carteziene.

Lăsa D proiecția corpului V spre avion xOy, suprafete z=φ 1 (X,y),z=φ 2 (X, y) limitează corpul V dedesubt, respectiv deasupra. Înseamnă că

V = {(X, y, z): (X, y)D , φ 1 (X,y)≤ z ≤ φ 2 (X,y)}.

Vom numi un astfel de corp z- cilindric. Integrală triplă (1) peste z- corp cilindric V se calculează mergând la integrală repetată, constând din integrale duble și definite:

(3 )

În această integrală iterată, interiorul integrala definita după variabilă z, în care X, y sunt considerate permanente. Apoi se calculează integrala dublă a funcției rezultate pe suprafață D.

În cazul în care un V X- cilindric sau y- corp cilindric, atunci formulele sunt corecte, respectiv

În prima formulă D  proiecția corpului V la planul de coordonate yOz, iar în al doilea - în avion xOz

Exemple. 1) Calculați volumul corpului V delimitate de suprafete z = 0, X 2 + y 2 = 4, z = X 2 + y 2 .

Soluţie. Calculați volumul folosind integrala triplă conform formulei (2)

Să trecem la integrala iterată prin formula (3).

Lăsa D cerc X 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (X , y ) = 0, φ 2 (X , y )= X 2 +y 2. Apoi prin formula (3) obținem

Pentru a calcula această integrală, trecem la coordonatele polare. În același timp, cercul D convertit într-un set

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Corpul V limitat la suprafete z=y , z= -y , x= 0 , x= 2, y= 1. Calculați

avioane z=y , z = -y limitează corpul, respectiv, de jos și de sus, planuri x= 0 , x= 2 limitează corpul, respectiv, în spate și în față, și în plan y= 1 limite în dreapta. V-z- corp cilindric, proiecția sa D spre avion hoy este un dreptunghi OABC. Sa punem φ 1 (X , y ) = -y

Exemple de soluții la integrale triple arbitrare.
Aplicații fizice ale integralei triple

În partea a 2-a a lecției, vom elabora tehnica de rezolvare a integralelor triple arbitrare , al cărui integrand funcţia a trei variabile în cazul general, este diferit de o constantă și continuă în regiune; și, de asemenea, să se familiarizeze cu aplicațiile fizice ale integralei triple

Recomand vizitatorilor nou sosiți să înceapă cu partea 1, unde am trecut în revistă conceptele de bază și problema găsirii volumului unui corp folosind o integrală triplă . În rest, vă sugerez să repetați puțin funcţii derivate a trei variabile , deoarece în exemplele acestui articol vom folosi operare inversă – integrare parțială funcții .

În plus, există un alt punct important: dacă nu te simți bine, atunci este mai bine să amâni citirea acestei pagini dacă este posibil. Și ideea nu este doar că complexitatea calculelor va crește acum - majoritatea integralelor triple nu au metode fiabile pentru verificarea manuală, prin urmare, este extrem de nedorit să începeți să le rezolvați într-o stare obosită. Potrivit pentru tonuri joase rezolva ceva mai devreme sau doar ia o pauza (am rabdare, astept =)), ca alta data cu cap proaspat sa continui masacrul integralelor triple:

Exemplul 13

Calculați integrala triplă

În practică, corpul este de asemenea notat cu litera , dar aceasta nu este o opțiune foarte bună, deoarece „ve” este „rezervat” pentru desemnarea volumului.

Lasă-mă să-ți spun ce să NU faci. Nu este nevoie să utilizați proprietăți de liniaritate și reprezintă integrala ca . Deși dacă vrei cu adevărat, poți. În cele din urmă, există un mic plus - înregistrarea va fi lungă, dar mai puțin aglomerată. Dar această abordare încă nu este standard.

În algoritm solutii va fi puțină noutate. Mai întâi trebuie să vă ocupați de zona de integrare. Proiecția corpului pe un plan este un triunghi dureros de familiar:

Corp limitat de sus avion , care trece prin origine. În avans, apropo, ai nevoie asigurați-vă că verificați(mental sau pe ciornă) dacă acest plan „taie” o parte a triunghiului. Pentru a face acest lucru, găsim linia sa de intersecție cu planul de coordonate, adică. rezolva cel mai simplu sistem: - nu, dat Drept (nu pe desen)„trece”, iar proiecția corpului pe plan este într-adevăr un triunghi.

Nici desenul spațial nu este complicat aici:

De fapt, s-ar putea limita doar la ele, deoarece proiecția este foarte simplă. …Ei bine, sau doar un desen de proiecție, pentru că și corpul este simplu =) Totuși, să nu desenezi deloc, vă reamintesc, este o alegere proastă.

Și, desigur, nu pot să nu vă mulțumesc cu sarcina finală:

Exemplul 19

Aflați centrul de greutate al unui corp omogen delimitat de suprafețe, . Executați planuri corp datși proiecția acestuia pe un plan.

Soluţie: corpul dorit este limitat planuri de coordonateși avion , care, în scopul construcției ulterioare, este convenabil prezent pe segmente : . Să alegem „a” ca unitate de scară și să facem un desen tridimensional:

Desenul a stabilit deja punctul final al centrului de greutate, însă până acum nu îl știm.

Proiecția corpului pe plan este evidentă, dar, totuși, permiteți-mi să vă reamintesc cum să o găsiți analitic - la urma urmei, așa cazuri simple nu sunt întotdeauna găsite. Pentru a găsi linia de-a lungul căreia se intersectează planurile, trebuie să rezolvați sistemul:

Inlocuim valoarea din prima ecuatie: si obtinem ecuatia drept „plat”. :

Calculați coordonatele centrului de greutate al corpului prin formule
, unde este volumul corpului.