Unde cu p, J/(kg×K) – capacitate termică izobară; r, kg/m 3 - densitate; l, W/(m×K) – coeficient de conductivitate termică; w x, w y, w z sunt proiecțiile vectorului viteza fluidului; qv, W / m 3 - densitatea volumetrică a degajării interne de căldură a lichidului.
Ecuația (1.12) este scrisă pentru acest caz l=const.
Diferenţial pentru solide se numește ecuația diferențială a conducției căldurii și poate fi obținută din (1.12) în condiția w x = w y = w z = 0, cu p=cu v=din:
,
unde - difuzivitate termică, caracterizează viteza de schimbare a temperaturii în organism. Valori a = f(t) pentru diverse organisme sunt date în cărți de referință.
Ecuație diferențială conductivitate termică
 | (1.13) |
descrie câmpul de temperatură nestaționar al solidelor cu degajare internă de căldură (cu surse interne de căldură). Astfel de surse de căldură pot fi: Căldura Joule degajată în timpul trecerii curentului electric prin conductori; căldura degajată de elementele combustibile ale reactoarelor nucleare etc.
Ecuația diferențială a căldurii (1.13), scrisă în coordonate carteziene, poate fi reprezentat cilindric (r,z, φ) si sferica (r, φ , ψ).
În special, în cilindric coordonate ( r- rază; φ este unghiul polar; z- aplicate), ecuaţia diferenţială a conducţiei căldurii are forma
 | (1.14) |
Condiții de unicitate
Ecuația diferențială descrie multe procese de conducere a căldurii. Pentru a evidenția un anumit proces din acest set, este necesar să se formuleze caracteristicile acestui proces, care sunt numite conditii de unicitate și includ:
· conditii geometrice caracterizarea formei și dimensiunii corpului;
· conditii fizice caracterizarea proprietăților corpurilor care participă la schimbul de căldură;
· condiţiile de frontieră caracterizarea condițiilor procesului la limita corpului;
· condiții inițiale caracterizarea stării iniţiale a sistemului la procese nestaţionare.
Atunci când se rezolvă problemele de conducere a căldurii, există:
· condiții la limită de primul fel când este dată distribuția temperaturii pe suprafața corpului:
t c = f (x, y, z, τ) sau t c = const;
· condiţii la limită de al doilea fel când densitatea fluxului de căldură pe suprafața corpului este dată:
q c = f (x, y, z, τ) sau q c = const;
· condiții la limită de al treilea fel când temperatura medie este setată tși coeficientul de transfer de căldură între suprafață și mediu.
În conformitate cu legea Newton-Richmann, fluxul de căldură transferat de la 1 m 2 de suprafață într-un mediu cu o temperatură t,
În același timp, acest flux de căldură este furnizat la 1m 2 din suprafață din straturile adânci ale corpului prin conductivitate termică.
Apoi, ecuația de echilibru termic pentru suprafața corpului poate fi scrisă sub formă
 | (1.15) |
Ecuația (1.15) este o formulare matematică a condițiilor la limită de al treilea fel.
Sistemul de ecuații diferențiale, împreună cu condițiile de unicitate, este o formulare matematică a problemei. Soluțiile ecuațiilor diferențiale conțin constante de integrare, care sunt determinate folosind condiții de unicitate.
Controlați întrebările și sarcinile
1. Analizați modul în care este transferată căldura apa fierbinte la aer prin peretele caloriferului: de la apă la suprafața interioară, prin perete, de la suprafața exterioară la aer.
2. De ce există un minus în partea dreaptă a ecuației (1.3)?
3. Analizați cu ajutorul literaturii de referință dependența λ(t) pentru metale, aliaje, materiale termoizolante, gaze, lichide și răspunde la întrebarea: cum se modifică coeficientul de conductivitate termică cu temperatura pentru aceste materiale?
4. Cum se determină fluxul de căldură? (Q, W ) cu transfer de căldură convectiv, conductivitate termică, radiație termică?
5. Notați ecuația diferențială a conductibilității termice în coordonate carteziene, care descrie un câmp de temperatură staționar tridimensional fără surse interne de căldură.
6. Notați ecuația diferențială pentru câmpul de temperatură al unui fir care este alimentat mult timp la o sarcină electrică constantă.
2. CONDUCTIVITATE TERMICA SI TRANSFER DE CALDURA
ÎN MOD STATIONAR
2.1. Conductibilitatea termică a unui perete plat
Dat: grosimea peretelui plat uniform δ (Fig. 2.1) cu coeficient constant conductivitate termică λ si temperaturi constante t1Și t2 pe suprafete.
Defini:
ecuația câmpului temperaturii t=f(x)și densitatea fluxului de căldură q, W/m2.
Câmpul de temperatură al peretelui este descris de ecuația de conducere diferențială a căldurii (1.3) în următoarele condiții:
Deoarece modul este staționar;
· deoarece nu există surse interne de căldură;
· 
deoarece temperatura t1Și t2 pe suprafetele peretelui sunt constante.
Temperatura peretelui este în funcție de o singură coordonată X iar ecuația (1.13) ia forma
Expresiile (2.1), (2.2), (2.3) sunt formularea matematică a problemei, a cărei soluție ne va permite să obținem ecuația de câmp de temperatură necesară t=f(x).
Integrarea ecuației (2.1) dă
La integrarea repetată, obținem soluția ecuației diferențiale în forma
Dependenta t=f(x), conform (2.5) este o linie dreaptă (Fig. 2.1), ceea ce este adevărat pentru λ=const.
Pentru a determina densitatea fluxului de căldură care trece prin perete, folosim legea Fourier
Tinand cont 
obținem formula de calcul pentru densitatea fluxului de căldură transmis printr-un perete plat,
Formula (2.6) poate fi scrisă ca
Unde 
Valoarea este numită conductivitate termică rezistență termică perete plat.
Pe baza ecuației
qR=t 1 – t 2
se poate concluziona că rezistența termică a peretelui este direct proporțională cu diferența de temperatură pe grosimea peretelui.
Luați în considerare dependența coeficientului de conductivitate termică de temperatură, λ(t), este posibil dacă substituim în ecuațiile (2.6) și (2.7) valorile λav pentru intervalul de temperatură t1-t2.
Luați în considerare conductivitatea termică perete plat multistrat, constând, de exemplu, din trei straturi
(Fig. 2.2).
Dat:δ1, δ2, δ3, λ1, λ2, λ 3, t 1 = const, t4=const.
Defini: q, W/m2; t2, t3.
În modul staționar și temperaturi constante ale suprafețelor pereților, fluxul de căldură transmis prin peretele cu trei straturi poate fi reprezentat prin sistemul de ecuații:
Temperaturi la limitele stratului t2Și t3 poate fi calculat folosind ecuațiile (2.8) - (2.10) după densitatea fluxului de căldură ( q) prin (2.12).
Forma generală a ecuației (2.12) pentru un perete plat multistrat constând din P straturi omogene cu temperaturi constante pe suprafețele exterioare și , are forma
2.2. Conductibilitatea termică a unui perete cilindric
în condiţii la limită de primul fel
Dat:
Perete cilindric omogen (perete conductă) cu rază interioară r1, extern - r2, lungime , cu conductivitate termică constantă λ
, cu temperaturi de suprafață constante t1Și t2.
(Fig. 2.3).
Defini: ecuația câmpului temperaturii
t=f(r), fluxul de căldură transmis prin perete
Q, W.
Ecuația diferențială a conducției căldurii în coordonate cilindrice(1.14) pentru condițiile acestei probleme:
ia forma
Procedura de rezolvare a sistemului de ecuații (2.15) - (2.17) este aceeași ca și în cazul unui perete plat: se găsește integrala generală a ecuației diferențiale de ordinul doi (2.15), care conține două constante de integrare.
de la 1Și din 2. Acestea din urmă sunt determinate folosind condițiile la limită (2.16) și (2.17), iar după înlocuirea valorilor lor în soluția ecuației diferențiale (integrala generală), obținem ecuația câmpului de temperatură a unui perete cilindric t = f (r) la fel de
Dacă luăm derivata părții drepte a ecuației (2.18) și o înlocuim în (2.19), obținem formula de calcul pentru fluxul de căldură al peretelui cilindric
 | (2.20) |
În calculele tehnice, fluxul de căldură este adesea calculat pentru 1 m lungime de conductă:
și a sunat densitatea fluxului termic liniar.
Scriem ecuația (2.20) ca
Unde 
– rezistența termică a conductibilității termice a unui perete cilindric.
Pentru un perete cilindric cu trei straturi(conducta acoperita cu doua straturi de termoizolatie) cu temperaturi de suprafata constante cunoscute ( t1Și t4), cu dimensiuni geometrice cunoscute ( r1, r2, r3, r4, ) și coeficienții de conductivitate termică a straturilor ( λ1, λ2, λ 3) (Fig. 2.4), putem scrie următoarele ecuații pentru fluxul de căldură Q:
Temperaturile la limitele straturilor (t 2,t3) poate fi calculat din ecuațiile (2.21).
Pentru perete cilindric multistrat, constând din P straturi, formula (2.22) poate fi scrisă vedere generala
 | (2.23) |
Conductivitate termică eficientă pentru un perete cilindric multistrat, precum și pentru un perete plat multistrat, se determină din egalitatea sumei rezistențelor termice ale unui perete multistrat cu rezistența termică a unui perete omogen de aceeași grosime cu cel multistrat. Deci, pentru o izolație termică în două straturi a unei țevi
(Fig. 2.4) conductivitate termică efectivă (λeff) se determină din egalitate
2.3. Conductibilitatea termică a pereților plani și cilindrici
în condiții limită de al treilea fel (transfer de căldură)
Condiții limită de al treilea fel consta in setarea temperaturii lichidului (t w)și coeficientul de transfer termic () între suprafața peretelui și lichid.
Transferul de căldură de la un fluid la altul printr-un perete care le desparte se numește transfer de căldură.
Exemple de transfer de căldură sunt transferul de căldură de la gazele de ardere la apă prin peretele unei conducte de cazan de abur, transferul de căldură de la apă caldă la aerul ambiant prin peretele unei baterii de încălzire etc.
Schimbul de căldură între suprafață și mediu (lichid de răcire) poate fi convective dacă lichidul de răcire este lichid (apă, ulei etc.) sau radiativ-convectiv când căldura este transferată prin transfer de căldură convectiv și prin radiație, dacă lichidul de răcire este un gaz (gaze de ardere, aer etc.).
Să luăm în considerare transferul de căldură prin pereți plani și cilindrici în condiția unui transfer de căldură numai convectiv pe suprafețe. Transferul de căldură cu transfer de căldură radiativ-convectiv (transfer complex de căldură) pe suprafețe va fi luat în considerare mai târziu Transferul de căldură W/m 2 (Q
dacă a 1Și a 2 comparabil.
Transfer de căldură printr-un perete cilindric multistrat calculate prin formula
| (2.35) |
Unde F1Și F2 sunt zonele suprafețelor interioare și exterioare ale peretelui cilindric multistrat.
zX
PRELEZA 4
Probleme de conducere a căldurii în diferite sisteme de coordonate.
Sistemul cartezian coordonate
T
T
T
q
i
j
k
T T x, y, z, t
y
X
X
y
T
T T T
c
qV
t x x y y z z
c
T T
qV
t x x
(1)
(2)
(3)
În practică, există adesea astfel de condiții care duc la necesitatea scrierii ecuației
conductivitate termică într-o formă diferită, mai convenabilă pentru reprezentarea soluției și a fizicii acesteia
interpretări.
Dependența tipului de ecuație
din sistemul utilizat
coordonatele pot fi excluse,
folosind notația operatorului
1T
q
T V
un t
2
X
2
2
y
2
2
z2
a c
T
c
div gradT qV
t
sau
c
T
T qV
t
(4)
Termenii care exprimă eliberarea căldurii și stocarea energiei sunt invarianți în raport cu
sisteme de coordonate (adică neschimbate); dar termenii care exprimă conductivul rezultat
fluxul de căldură depinde de geometrie și, în consecință, de sistemul de coordonate. Sistem de coordonate cilindric
z
c
dr
r
dz
r, z
z
X
T
divq q
t
q T
x r cos
y
r, z
(5)
y r păcat
(6)
1 1 2
2
r 2 2 2
r r r
z
d
y
dr
d
dy
dx
z
qr
(7)
1 T 1 T 1 2T 2T qV
r 2 2 2
a t r r r
z
X
1 T 1 T
r
qV
a t r r
T
1T
T
; q
; qz
r
r
z
A
(9)
T Ts
c
(8)r,
Sistem sferic coordonate
z
dr
r,
r
d
X
1T
divq q
un t
q T
y
1 2
1
1
2
2r
2
păcat
2
r păcat 2
r r r r păcat
T
1T
1T
; q
; q
r
r
r păcat
(10)
1 T 1 2 T
1
T
1
2T qV
2r
2
păcatul 2
2
a t r r r r sin
r păcat
(11)
d
qr
1 T 1 2 T qV
2r
a t r r
x r sin cos
y r sin păcat
z
(12)
z r cos
y
X Ecuații de conducere a căldurii pentru corpuri de formă canonică
Scrierea ecuațiilor în diferite sisteme de coordonate este deosebit de convenabilă,
când trebuie să găsiți distribuția temperaturii în corpurile canonicei
forme – într-un cilindru sau o minge. În aceste cazuri, ecuațiile sunt în esență
sunt simplificate când se specifică condiții speciale, când câmpul de temperatură
depinde doar de o coordonata.
paralelipiped
farfurie
cilindru
sferă
c
T T T T
qV
t x x y y z z
1 T 2T qV
2
a t x
qe
1 T 1 T qV
r
a t r r
1 T 1 2 T qV
r
2
a t r r
T Ts
z
y
X 1 T 1 n T qV
r
n
a t r r
Ultimele trei
ecuații împreună:
n 0
n 2
n 1 cilindru
avion
T T0
T* T0
t
t*
(13)
sferă
r
r*
1 1n
qV
n
Fo
Pe birou
numărul Fourier
la*
Pentru 2
r*
qV1:
la*
la
1: 2
2
r*
r*
(14)
qV r*2
qV
T* T0
q
T* T0 V r*2
1n
1
n
Fo Probleme staționare ale conducerii căldurii în diferite sisteme de coordonate
Perete cilindric: proces staționar de conducere a căldurii în
perete cilindric (conducta) cu raza interioara r1;
d1 2r1
r1
1 T 1 T 1 2T 2T qV
r
a t r r r r 2 2 z 2
r2
Te1
2
1
T1
d1
T2
Te 2
dT
u
dr
du 1
tu 0
Dr-r
T C1 log r C2
q
d2
(17)
dT
C
1 (18)
dr
r
d 2T
1dT
0
2 dr
dr
(15)
ln u ln r ln C1
(16)
Fluxul de căldură specific nu este
constantă în grosime și scăzând în
spre suprafața exterioară
În condiții staționare, fluxul total de căldură care trece
o secțiune a unei țevi cilindrice cu lungimea l și egală cu
Q q F q 2 rl
Fluxul termic specific
descrescand cu raza
!!!
(19)
Suprafață
crește cu raza
Temperatura de-a lungul grosimii țevii variază neliniar chiar și la o constantă
conductivitate termică
Constantele de integrare pot fi găsite din condițiile la limită.
r r1: T T1; r r2: T T2
T1 C1 log r1 C2 ,
Sistem liniar
ecuații
T2 C1 log r2 C2 ,
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
log r2 r1
q
Q
Flux liniar de căldură
qp
(20)
dT
C
1
dr
r
dT
T
l 2 r
2 l,
dr
log r2 r1
mar
Q
2
T, T T1 T2
l ln r2 r1
(21)
(22)
(temperaturile peretelui sunt necunoscute)
T C1 log r C2
Putem face la fel:
r r1:
Să o facem altfel:
(23)
T
T
1e T Te1 ; r r2:
2e Te2 T
r
r
Flux de căldură convectiv pe unitate de lungime
conductele trebuie să fie egale cu fluxul de căldură liniar
datorita conductibilitatii termice:
qp 1e Te1 T1 2 r1
2
T1 T2
qp
log r2 r1
qp Kc Te1 Te2
1
Kc
, W/(M K)
1
1r
1
ln 2
2 1e r1 2 r1 2 2e r2
qp 2e T2 Te2 2 r2
Coeficient de transfer termic pt
perete cilindric
Rc
1
1
1r
1
ln 2
Kc 2 1er1 2 r1 2 2er2
perete plat
R
1 L 1
1 2
1 L 1
K
1
2
1
W/(M2 K)
Din sistemul de ecuații (23) putem găsi
și temperatura peretelui și înlocuiți în (20)
Termică completă
rezistenta conductei
(24)
(25)
(26)
Dimensiune
difera de
dimensiunea K pentru
perete plat!
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
log r2 r1
Poate sa
Pe birou În variabile adimensionale
r1
d2
d
r2
2
1d
0
d
(27)
d
Bi
d
(28)
r1 r2:
Te1
2
1
d1
d2
Sarcina
pe casa:
1:
T Te 2
r
; r* r2
Te1 Te2
r2
d
Bi 1
d
(29)
2er2 1e
Bi
2e
C1 log C2
Te 2
C1
Bi C1 ln C2
C1 Bi C2 1
(30)
A) Treceți cu atenție la variabilele adimensionale
B) Găsiți constante de integrare din sistem (30)
B) construi pentru valori diferite parametrii
10.
Principiiconsistent
Și
paralel
conexiuni ale rezistențelor termice într-un circuit,
valabil pentru un perete plat într-un dreptunghiular
sistem de coordonate, poate fi aplicat și la problema de
conducerea căldurii într-un cilindru gol.
Analogie electrică
2
Q
1
Q
T0
r3
r2
r1
T1
T2
Ts
RT
log r2 r1
2l
Lichidul curge într-o conductă, R 1 1
0
F 2 r1l
acoperit cu izolator
material
dT
T
l 2 r
2l,
dr
log r2 r1
T
Q
,
log r2 r1 2 l
In forma
Legea lui Ohm
Rezistenta termica
cilindru gol
termică convectivă
rezistență la fluide
Avem o legătură în serie a rezistenței convective a lichidului cu două
rezistențe termice conductoare. Dacă este dată temperatura lichidului și temperatura
suprafata exterioara:
T0 Ts
T
Q
DAR)
R
deplin
r
r
1
1
1
ln 2
ln 3
2 1r1l 2 l 1 r1 2 l 2 r2
(31)
Rezistenţă
izolare
Dacă sunt date temperaturile suprafeţelor interioare şi exterioare
B)
T
Q
Rfull
T1 Ts
r
r
1
1
ln 2
ln 3
2 l 1 r1 2 l 2 r2
(32)
11.
Exemplu1 185
Într-o țeavă de aluminiu cu conductivitate termică
W/(m K), vapori de apă care curg
◦
la o temperatură de 110 C. Diametrul interior al țevii este de 10 cm, diametrul exterior este de 12
Te
vezi Conducta este situată într-o cameră cu o temperatură
30◦С; coeficient
e
transferul convectiv de căldură din conductă
spre aer
egal cu 15 W/(m2K). 1) Obligatoriu
găsiți fluxul de căldură pe unitatea de lungime a conductei dacă conducta nu este izolată termic.
2) Pentru a reduce pierderile de căldură din conductă, aceasta a fost acoperită cu un strat de izolație termică
(2 0,2 W / (m K)) 5 cm grosime Aflați fluxul de căldură pe unitatea de lungime de la
conducta izolata termic. Să presupunem că termica convectivă
rezistența la vapori este neglijabilă.
Soluţie. Pentru o conductă fără izolație termică, cele mai semnificative sunt
rezistența termică conductivă a conductei în sine și termică convectivă
rezistența aerului din încăpere. Deoarece termică convectivă
rezistența la vapori poate fi neglijată, temperatura suprafeței interioare
conductelor este egală cu temperatura aburului. Fluxul de căldură pe unitatea de lungime a conductei rezultă din
relații T T
110 30
80
q
0
e
log r2 r1
1
2 1
2 r2 e
ln 6 5
1
2 185 2 0 ,06 15
1,57 10
4
0 ,177
452 W/m.
Pentru o țeavă cu izolație termică, trebuie să adăugați rezistență termică
izolarea termică, iar raportul pentru fluxul de căldură ia forma
q
T0 Te
80
138
ln r3 r2 1,57 10 4 0,096 0,482
log r2 r1
1
2 1
2 r3 e
2 2
W/m
12.
Perete cilindric multistratqc
Tn T1 1
n
d
1
log i 1
2 i
di
, d i 2r1
qc
eu 1
Conceptul rămâne valabil.
coeficient echivalent
conductivitate termică
eq
log d n 1 d1
n
eu 1
T1
T2
1
(33)
T3
2
(34)
1 d i 1
ln
eu di
r1 d1 2
... ...
Tn 1
n 1
Tn
n
Tn 1
r2 d2 2
Temperatura Ti 1
Ti 1 Ti
2 echiv T1 Tn 1
log d n 1 d1
la limita dintre straturile i-lea și i+1
qc 1 d 2 1 d3
1d
ln ln ... ln i 1
2 1 d1 2 d 2
i
di
(35)
Coeficient de transfer termic:
Kc
1
1
1d1
n
eu 1
1 di 1
1
ln
2 i di 2 d 2
(36)
13.
r1
Fluxul radial de căldură în conductă este invers proporțional cu logaritmul
raza exterioară (rezistența conducției radiale crește);
r2
Disiparea căldurii de pe suprafața exterioară este direct proporțională cu aceasta
raza (aria suprafeței de răcire crește)
qc K c Te1 Te 2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
Prin urmare, există o anumită rază, la
unde pierderea de căldură este cea mai mare.
Dacă, pentru o rază interioară fixă (mică), crește
grosimea peretelui țevii (adică, creșterea razei exterioare r2), apoi acțiunea
logaritmul în formula pentru rezistența termică va fi mai mare
mai puternic decât cu o rază interioară mai mare
14.
Diametrul critic al izolației termiceqc Kc Te1 Te2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
dqc
0
dr2
Stare extrema:
dă
r2*1
2
Raza critică
Caz special de rezistență internă zero, 1 1 0
y
q
2 Te1 Te 2
1
r
,x2,
ln x x
r1
2r1
(38)
0 Rezistența externă este, de asemenea, zero
r1 r2
Grosimea peretelui este 0
1:x2r2
Pentru o rază interioară dată, valoarea criticului
raza exterioară crește dacă crește
conductivitatea termică a conductei sau dacă coeficientul scade
transfer de căldură pe suprafața exterioară
(37)
Bi 1
15.
izolatieExistența unei raze exterioare critice duce la faptul că la
unele condiții reale, contrar ideilor obișnuite,
pierderea de căldură a conductei izolate poate fi efectiv redusă
prin reducerea grosimii izolatiei
d1
d2
Rezistența termică totală pentru o țeavă cu două straturi, a cărei secțiune transversală
prezentat în figură, este determinat de formulă
d3
Rc
1 2
teava
Condiție
extremum:
d2 d3*
d3 d2
(39)
- grosimea izolației
Rezistența termică a conductibilității termice a izolației (I) crește odată cu creșterea
grosimea stratului izolator; rezistența termică a izolației cu transfer de căldură
(II) - cade (deoarece suprafața de transfer de căldură crește)
RDC
1
1
0
dd3 2 2 d3 2 d 32
Rc
d2 d3*
1
1
1d2
1d3
1
ln
ln
K c 1d1 2 1 d1 2 2 d 2 2 d3
II
(eu)
d3*
22
8 32
0
d3 * 2 2
2
nu depinde de
d2
(40)
(adică nu depinde de diametrul conductei în sine)
În punctul critic, totalul termic
rezistenta este minima!
creșterea grosimii izolației reduce transferul de căldură
aplicarea stratului selectat va avea ca rezultat inițial o creștere
transferul de căldură și numai când se atinge diametrul critic, fluxul de căldură va fi
scădea; atunci va ajunge la valoarea care era fără izolație, și abia atunci
va duce la efectul dorit.
16.
Problemă pentru o minge goală(peretele mingii)
d 2T
dr
2
2dT
0
r dr
(41)
Considerăm un staționar spațial unidimensional
problema conducerii căldurii într-un perete sferic cu dat
razele suprafețelor interioare și exterioare. Unidimensionalitate
problema înseamnă că distribuția temperaturii în perete
depinde doar de raza
Prin înlocuire
variabile
r1
dT
u
dr
du
2u
Decizie comună
dr
r
C
C
dT C1
ln u 2 ln r ln C1; u 21 ; Tr1C2;
2
r
Dr-r
r
r2
Condiții limită de primul fel
r r1: T T1
C1
C2
r1
T 1 r 1 r2 T2 1 r1 1 r
Tr 1
1 r1 1 r2
r r2: T T2
(42)
Densitatea fluxului de căldură
Debitul total de căldură
Q
T1
T2
C1
C2
r2
(43)
(44)
dT
r2
T1 T2
q
2C1
dr
1 r1 1 r2
r
(45)
dT
4
T1 T2
4 r 2 4 C1
dr
1 r1 1 r2
(46)
17.
Condiții limită de al treilea felT r
Decizie comună
nu se schimba
C1
C2
r
T
r r1: -
1TTe1
r
T
r r2: -
2 Te2 T
r
(47)
2r2 C1 2r22C2 2r22Te2
C1
1r1
1r12
2 r22
2r2
r1
r2
1r1 C1 1r12C2 1r12Te1
1r12 Te 2 Te1
dT C1
2
Dr-r
C2
(48)
Fluxul total de căldură Q nu este
depinde de raza curentului
1r1 T 1r12 T
2 r2 e 2 2 r22 e1
1r1 1r12
2 r2 2 r22
(49)
În limita transferului de căldură ideal al mediilor cu temperaturi date și
perete sferic (adică la coeficienți de transfer de căldură infiniti) soluția problemei cu
condiţiile la limită de al treilea fel trece în soluţionarea unei probleme cu condiţii la limită
conditii de primul fel.
4
Q
T T
1 1 1 2
r1 r2
=
flux de caldura,
4 r1 2 1 Te1 T
vin la
perete interior
=
flux de caldura,
4 r 2 2 2 T Te 2
plecând
zidul exterior
18.
Distribuția temperaturii într-un perete sfericpentru condiţiile limită de al treilea fel
Case:
reda toate
soluţie
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
T r
1 1
r1 r2
Temperaturile peretelui:
T1
r12 1Te1 s Te 2
2Te1
r2 2
r12 1
s 1 2 r12 1
r
2 2
r12 1
r12 1
s Te 2 2 Te1
r2 2
2
r1 1 2
s 1 2 r1 1
r
2 2
r12 1Te 2
T2
Conductivitate peretelui bilei:
s
1 1
r1 r2
r1r2
r 2 r1
19.
Rezolvarea celor mai simple probleme în formă adimensionalăSă colectăm soluții de probleme staționare pentru corpuri de formă canonică cu
condiţii la limită de primul fel împreună
T p T1 T1 T2
r
r2
Acasă: Joacă!
Tc
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
Ts
1 1
r1 r2
T1 log r 2 r T 2 log r r1
l n r 2 r1
T T2
T1 T2
r
r2
0,8
p1
ln
ln
1 1
1
1
1 1
c
p
0 1
0,6
r2
1
r1
2
0,2
0,0
0,0
Într-un perete plat, distribuția calitativă
temperatura (liniară) nu depinde de ea
grosime. Dar în cilindric și sferic -
variază neliniar cu raza;
caracter
distribuţia (curbura curbei) depinde de
raportul dintre razele exterioare și interioare.
1
3
0,4
0,2
0,4
0,6
0,8
Distribuția temperaturii în plat
(1), cilindric (2) și bilă (3)
perete. linii continue
;
10
linii punctate - . cinci
20.
În cazul condițiilor la limită de al treilea fel, soluții la cele mai simple problemedepind de parametrii care caracterizează transferul de căldură.
Pentru aceiași coeficienți de transfer de căldură.
T Te 2
Te1 Te2
r
r2
1 2
0,8
pentru farfurie
1
p 1 1 2
1 1
2 Bi
2
1
2 Bi
pentru cilindru:
0,6
3
0,4
3
1
2
0,2
1 2 log 2 log
ln
1 1
2
1 biln
1 biln
c
pentru sfera:
s
1
1 1 1 2
1
1 Bi 1
1 1 Bi
2
Bi
r1
1
1 1 Bi
0,0
0,2
0,4
0,6
1
0,8
2
Distribuția temperaturii
de-a lungul coordonatei în plan (1),
cilindric (2) şi sferic
(3) pereți în condiții
transfer de căldură convectiv.
Linii continue - Bi 2 ;
punctat - Bi 1 0
21.
Exemple: sticla DewarO particulă de metal acoperită cu o peliculă de oxid
Teme pentru acasă:
1. Formulați problema distribuției temperaturii în două straturi
înveliș sferic în timpul răcirii sale convective, folosind materialul
prelegeri. Se presupune că contactul termic dintre straturi este ideal. Conduce
problemă la o formă adimensională. Construiți o soluție analitică exactă
aceasta sarcina.
2.*Calculați temperatura suprafețelor interioare și exterioare ale mingii
cochilii din problema 1, precum și temperatura la contact; determina complet
fluxul de căldură care părăsește suprafața mingii, presupunând că temperaturile
mediu în interiorul cochiliei - 175 C, temperatură mediu inconjurator- 25 C;
coeficienții de transfer de căldură sunt aceiași și egali - 28,8 kcal / (m2 oră grade);
raze interioare și exterioare ale carcasei - 3 cm și 5 cm, grosime
carcasă interioară - 25 mm. Carcasa interioară este realizată din
material cu o conductivitate termică de 1,45 kcal/(m oră grade); exterior de
material cu un coeficient de conductivitate termică de 0,137 kcal/(m h deg). Cum
fluxul de căldură se va modifica odată cu modificarea grosimii exteriorului
cochilii variind de la 25 mm la 300 mm?
22.
d 2T
Te 2
2
T1
Te1
T2
1
xmax
qV
0;
2
dx
G.u. primul fel: r r1:
qV const
T T1;
(1)
r r2:
T T2 (2)
G.u. al treilea fel:
r r1:
-
T
1 T Te1 ;
r
r r2:
-
T
2 Te2 T
r
Primul „mod” al soluției:
Problema este rezolvată prin integrare elementară:
qV x 2
T x
C1xC2
2
dT
q
V x C1;
dx
(4)
Înlocuind soluția generală în CG, găsim constantele integrării.
Maximul este la o oarecare distanță de suprafețe.
Poziția maximă poate fi găsită din condiție (condiție extremă)
dT
q x
V C1 0
dx
(5)
dT
0
dx
(3)
23.
Sarcini cu surse interne de căldurăPERETE PLAT CONDUCTOR DE CĂLDURĂ CU VOLUM DE DEMISIE DE CĂLDURĂ
Te 2
2
T1
Te1
1
2
1
Hai să o facem puțin diferit. (A doua cale
solutii)
qV x 2
T x
C1xC2
general
soluţie
2
(4)
Punem originea coordonatelor în punctul în care
temperatura este maxima
T2
1; 2
- distanta de la maxim pana la marginile placii
0
C10
Rescriem condiția la limită din dreapta după cum urmează:
x2:
dT
dx
2
2 T Te 2
2
2
q
V
2
2 C2
Te 2 qV 2
2
(6)
Deoarece planul x=0 poate fi considerat izolat termic, toată căldura eliberată în
placa din dreapta pe unitatea de timp trebuie redirecționată către mediu
prin transfer de căldură din peretele drept. În caz contrar, condiția va fi încălcată
staționaritate
qV 2 - cantitatea de căldură eliberată în volumul plăcii cu grosime \u003d 1 pe unitate de timp
În stânga - expresia fluxului de transfer de căldură pe unitate de suprafață a suprafeței plăcii
24.
Raționament similar pentru stratul stâng al plăcii cu grosime1 2
duce la expresie
2
q
V
2
1 C2
Te1 qV 2
2
(7)
Folosind egalitățile (6), (7), găsim poziția
maxim
2
2 1 2 Te1 Te 2 qV 2 1 2
2qV 1 2 1 2
(8)
Determinând constanta C2, (oricare dintre egalități este potrivită), găsim soluția generală.
Ia cea mai simplă formă dacă
1 2 ;Te1 Te2 Te
1 2 2
apoi
qV qV 2
C2
Te
2
8
Și
2
q
qV
2
T x
x V Te
2 2
2
(9)
(10)
qV 2 qV
Cu cât este mai mică, cu atât conductivitatea termică a plăcii este mai mare
Tmax T x 0
Te
8
2
q
Temperatura peretelui Ts T1 T2 V Te crește odată cu deteriorarea transferului de căldură
2
25.
Condiții limită de primul felT1
2
1
T2
0
qv 22
C2 T2
2
dT
dx
2 T1 T2
2 1
2
qV 2
(11)
qV 2 2
C2 T1
2
2
qV 2 T1 T2
2
T x T2
X
1
2
2 2
qV
Pentru valori foarte mari
x2:
qV x 2
T x
C1x C , C1 0 (4)
2
2
Condițiile la limită de al treilea fel sunt transformate în condiții la limită
conditii de primul fel. Prin urmare, avem aceeași soluție
folosiți soluția anterioară
2 T Te 2
2
(12)
T x T2 T2e
2
(13)
În consecință, dintr-o problemă simetrică cu condiții la limită de al treilea fel (10) găsim
2
qV
2
T x
x Ts
2 2
Tmax T x 0
q
V Ts
8
2
Temperatura
ziduri
(14)
Aceeași egalitate rezultă din soluția anterioară cu condiția ca temperaturile pereților să fie egale
26.
Luați în considerare un cilindru solid infinit încălzit uniform (sau
răcit) de pe suprafaţa laterală. Sursa de căldură este situată în volumul cilindrului
intensitate constantă. Este necesar să se găsească distribuția temperaturii pt
modul stabilit.
d 2T 1 dT q
dr
u dT dr
2
r dr
q r
du
r
u V 0
dr
V
sau
0
(1)
d ru qV r
0
dr
qV r 2
ro
C1
2
q r C
dT
V 1
dr
2
r
Decizie comună
Primul
integrală
(3)
qV r 2
T
C1 log r C2
4
Stare in centru pt
cilindru solid
dTdr0; r0
(2)
(4)
C10
27.
Cilindru cu disipare volumetrică a călduriidT
T Te
r R
dr
qV 2
qV R
2
qV R qV R 2
T
R
r
Te
C2
Te
4
2
2
4
q
qR
qR
Tmax V R 2 V Te
Ts V Te
4
2
2
Stare exterioara:
densitatea fluxului de căldură pe suprafața cilindrului:
fluxul total de căldură de la suprafața cilindrului:
q Ts Te
QqF
(5)
(6)
(7)
qV R
2
qV R
2 Rl qV R 2l
2
Problema răcirii unui cilindru cu degajare volumetrică de căldură este, în
în special, de interes pentru găsirea distribuției temperaturii în catozi,
utilizate în torțele cu plasmă pentru a genera fluxuri de ioni. In practica
aplicație, această problemă poate fi reformulată astfel: găsiți puterea
sursă suficientă pentru a pulveriza catodul, cu condiția ca acest lucru să necesite
ajunge la punctul de topire al materialului catodic
Folosind soluția generală (4), se poate găsi distribuția temperaturii pe grosime
pereții unui cilindru gol sau în funcție de grosimea unui cilindru acoperit cu un strat protector
(vom lua în considerare în continuare). În primul caz, trebuie să setați condițiile pe suprafața interioară
cilindru. În al doilea caz, este necesară o condiție suplimentară la interfață
două materiale cu proprietăți diferite, de ex. condiție limită de al patrulea fel.
28.
Sferă cu disipare volumetrică a călduriiqV r 2 C1
Acasă: spectacol
T
C2(2)
(1)
care este solutia generala
6
r1
dr2
(1) are forma (2)
dT
Termeni:
dTdr0; r 0 şi dr T Te ; r R
q
q
da C1 0 și
C2 Te V R V R 2
3
6
2
qV
qV 2 r (3)
T Te
R
R1
3
6
R
q
q
Tmax Te V R V R 2 (4)
Temperatura maxima
3
6
q
q
Temperatura suprafeței
Ts Te V R V R 2 (5)
3
6
R2dT
1
Fluxul total de căldură prin suprafață
Q
R 3qV
4 dr r R 3
minge
qV R
qV 2 qV R
T
Te
Tmax
R
Te
cilindru
s
2
4
2
Comparaţie
d 2T
2 dT qV
0
r dr
Strat plat Tmax
qV qV 2
Te
2
8
q
T s V Te
2
cu (4), (5)
29.
Exemplul 1. Aflați curentul maxim prin care poate fi trecutsârmă de aluminiu (λ = 204 W / (m K)) cu diametrul de 1 mm, astfel încât
temperatura nu a depăşit 200 C. Firul este suspendat în aer cu
temperatura 25 C. Coeficientul de transfer de căldură convectiv de la fir către
aerul este de 10 W/(m2 K). Rezistență electrică Re/l pe unitate
lungimea firului este de 0,037 ohm/m.
Soluţie. Să folosim formula (66), din care urmează
qV
Re I 2
R2l
Tmax
qV R R
I 2 Re
Te
1
Te
2
2
2Rl
R
1 2
Înlocuim valorile date ale mărimilor fizice:
200 25
eu
2
2 1 0 3
De aici găsim puterea actuală:
1 0 3 2 1 0
0,0 3 7 1
2 204
2 10
I 12.2A
30.
Sârmă cu izolațieFormularea matematică strictă a problemei:
d 2T1
dr
2
d 2T2
Prima condiție este condiția de simetrie;
al doilea spune că termicul
contactul dintre fir și izolație
perfect, iar al treilea corespunde
fire de schimb de căldură convectiv cu
izolare de mediu.
dr
2
1dT2
0
r dr
r0: dT dr0
r R: 1
r R
(1)
R r R
(2)
(3)
dT1
dT
2 2 ; T1 T2
dr
dr
r R: 2
Solutia generala a problemei:
1 dT1 qV
0
r dr
1
dT2
T2 Te
dr
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
T2 C3 l n r C 4
(4)
(5)
Acasă: spectacol
Justiţie
31.
Sârmă cu izolațieqV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
Solutia generala a problemei:
T2 C3 l n r C 4
Din condiția (3) avem:
C10
qR
C
1 V 2 3
R
2 1
Condițiile (4) dau:
qV R 2
C3
2 2
qV R 2
qV R 2
C2
l nR C 4
4 1
2 2
Condiția (5) implică:
qV R 2
C3 2 qV R 2
2
ln R C 4 Te
R
R22
2 2
Găsim:
qV R 2
qR
C 4 Te
l n R V
2 2
2
qV R 2 2 1 qV R 2 R
C 2 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R
32.
Prin urmare, distribuția temperaturii în fir cu izolațieeste descris prin formule
qV R 2 2 1 qV R 2 R qV r 2
T1 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R41
Și
qV R 2 2 qV R 2 R
T 2 Te
ln
2 2 R
2 2
r
Prezentăm soluția finală sub forma:
T Te
eu i
T Te
qV R 2
T Te
1
r
R
1
Bi K
2
1 1 2
jurnalul 1
4
K2
4
2
K K 1
ln
2Bi
2
Determinați fluxul de căldură de la suprafață
conductor
q T2 R Te
Q R2l T2 R2 Te
K Bi 1
K Bi 1
Du-te acasă la
variabile adimensionale
0 1
Bi
1 1
K
Q
R2 2 l T* Te
1
2
R
2
K
Bi
- izolația nu elimină căldura din conductorul purtător de curent
- posibila racire a conductorului datorita pierderilor de caldura in
mediu inconjurator
R
33.
Exemplul 2. Lăsați un fir lung de aluminiu cu diametrul de 1 cmcurgere electricitate puterea curentului 1000 A. Firul este acoperit cu un strat
izolație din cauciuc de 3 mm grosime (λ2=0,15 W/(m K)). Temperatura
suprafața exterioară a izolației 30 C. Aflați temperatura interiorului
suprafata de izolare. Rezistența ohmică a firului pe unitate
lungime 3,7 10-4 Ohm/m.
Soluţie. Pentru a rezolva această problemă, folosim a doua formulă pentru Т2
considerată problemă adjunctă. Având în vedere că temperatura este setată
2
suprafața exterioară a izolației, adică
Re I 2
Re I 2
R
T2 r R Te
ln
qV
2
l
2
R
Rl
2
2
1000
0 . 005 0 . 003
273 30 3 . 7 10 4
ln
477 . 6
2 3 . 14 0 . 15
0 . 005
Folosind valoarea conductibilității termice a firului de aluminiu
1 232 W / (m K) și formula pentru T, putem calcula temperatura din centru
1
fire. În condițiile luate în considerare, avem
2
Re I 2
Re I 2
R Re I
T1 r R Te
ln
T2 r R
l 2 2 R l 4 1
l 4 1
3 . 7 10 4 1000
477 . 6
477 . 7
4 3 . 14 232
2
34.
Temă pentru acasă.1. Curentul cu o putere de I \u003d 200A este trecut printr-un fir de oțel inoxidabil
cu diametrul de 2 mm şi lungimea de 1 m. Rezistenţa electrică a firului este
0,125 Ohm, conductivitate termică 17W/(m K). Temperatura
suprafața firului 150 C. Este necesar să se calculeze temperatura pe axă
sârmă.
2. Presupunem în aceeași problemă că firul este acoperit cu un strat de izolație
(coeficientul de conductivitate termică a izolației 0,15 W/(m K)), iar coeficientul
transferul de căldură pe suprafața de izolație este de 60 W/(m2K). După cum este necesar
modifica puterea curentului (creștere sau scădere) astfel încât temperatura
suprafața firului a rămas egală cu 150 C.
35.
Proprietăți termofizice eficiente (echivalente).Folosit cu adevărat în inginerie mecanică și materiale din jurul nostru
sunt multicomponente și multifazate. Acest lucru se aplică oțelului
aliaje, compozite intermetalice, materiale sinterizate,
compozite din fibre, compozite pe bază de polimeri, amestecuri,
solutii etc.
Dacă pentru componentele inițiale (din care se sintetizează compozitele în
tehnologii diferite) sau date fiind materialele folosite cu proprietăţile tuturor
mai mult sau mai puțin clar, apoi pentru materialele nou dezvoltate
definirea proprietăților este o problemă majoră.
Este posibil ca metodele experimentale standard să nu funcționeze sau să devină
costisitoare sau intensivă în muncă
Pentru calcul, este necesar să se cunoască proprietățile componentelor, structura și reciproca
influența fenomenelor fizice unul asupra celuilalt.
Nu există date despre proprietăți fizice ah nu este posibil nici o stiinta
sau calcul ingineresc
Dulnev G.N., Zarinchak Yu.P. Conductibilitatea termică a amestecurilor și compozitelor
materiale
36.
Modele pentru calcularea proprietăților:corpuscular (molecular), continuu și combinat
În modelele corpusculare, proprietățile sunt studiate pe baza cunoașterii naturii,
structura și natura interacțiunii particulelor. Calculul proprietăților fizice în
În acest caz, este posibil numai cu utilizarea datelor despre alte proprietăți.
Clasificarea structurilor eterogene:
Dulnev, pp.10-52 (deschis)
Compozite: pp.106-130
37.
Există numeroase moduri de a calcula coeficienții efectiviconductivitatea termică a materialelor eterogene și poroase
În cea mai simplă aproximare pentru procesul de conducere a căldurii în mod separat
microdomeniu (care este considerat un volum reprezentativ)
ecuațiile fizice sunt valabile
JT ,k k grad Tk , div JT ,k 0
Condiții de limită pe interfețele regiunilor cu ideal
contactul termic are forma:
T
T
k k k 1 k 1 ; Tk Tk 1
n
n
Pentru a determina conductivitatea termică efectivă a unui material (constând din
diferite faze), este necesar să se determine distribuţiile câmpurilor fizice în timpul
toate microdomeniile, iar apoi trece la un mediu cvasi-omogen, pt
care relaţiile
JT*T
1
J k dV ;
V
1
Tk d
T
V
V
Stabilirea tipului acesteia
Coeficient efectiv: f k , k ;
dependențe și este
sarcina principala
- fracţiuni de fază
diverse teorii.
JT
T
38.
Sistem bifazat1
J
J1dV1 J 2dV2 1 1 T1 2 2 T2
V
V2
V1
1 V1 V, 2 V2 V
(1)
1 1 1 2 2 2 ;
k
T1 T1
2T2
Tk T
T
2
1 1 2 2 1
Urmează din
anterior
, k 1,2
- gradient mediu de volum
Sistemul a două ecuații (1) conține trei necunoscute. Pentru e închidere
sunt necesare informații suplimentare, cum ar fi detaliile structurii
sistem eterogen, datele unui experiment special conceput.
Rezolvarea problemei închiderii unor astfel de sisteme a dus la apariția tuturor
varietate de metode pentru determinarea coeficienților de transfer (nu numai
coeficient de conductivitate termică), care este cunoscut în literatură
39.
1. În cazul celei mai simple structuri, care este un sistemplăci nelimitate paralele cu fluxul J
1 2 1
Și
1 1 2 2
2. Dacă straturile sunt perpendiculare pe flux
1 T1 2 T2 ;
1 2 2 1
1 2
1 2
1
Tipurile de structuri ale mediilor neomogene sunt foarte diverse. Deci, în caz că
medii în două faze, la care faze (microregiuni care conțin diferite faze)
poate fi distribuit în spațiu atât aleatoriu, cât și ordonat,
se pot distinge structuri care conțin una dintre faze sub formă de izolat
incluziuni izomerice (1) sau orientate anizotrop (2) în
continuă altă fază, sisteme granulare cu un cadru continuu (3) și
pori (4), sisteme fibroase de fibre (5) și pori (6), statistic
sisteme neomogene (microomogene) de dimensiuni similare
componente (7), sisteme stratificate de paralele (8) și perpendiculare
(9) straturi de curgere. Ne putem imagina sisteme formate din indivizi
subsisteme cu diverse structuri de tipul descris. În plus
fiecare dintre fazele incluse în structuri poate fi atât multicomponentă cât şi
și o singură componentă. În orice caz, este necesar să se calculeze proprietățile fiecăreia dintre faze
sau definirea lor experimentală.
40.
Ecuația lui Kondorsky3 1 1 3 2 1 2
3 1 1 3 2 1
Odelevsky (metoda
1
mediu eficient)
4
16
2
2 1
1 V1 V, 2 V2 V
13
2 1
1 2
metoda integrală
Estimări bilaterale (estime
Hashin-Shtrikhman)
Shermergaard:
1 2
1
2
1
1
2 1
1
1
1 3
1 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1
1 1 2
Indicele 1 se referă la matrice și „2” se referă la incluziuni
În ciuda modelelor media simplificate, unele dintre formulele binecunoscute
fac posibilă efectuarea unor estimări destul de fiabile, deși numărul de formule pentru
diverse cazuri speciale de media crește rapid cu creșterea numărului de faze.
41.
Case:Există un compozit. Matricea este un aliaj pe bază de wolfram (o considerăm
conductivitate termică egală cu conductivitatea termică a wolframului).
Particule (incluziuni) carbură de titan.
Folosind formulele de mai sus, calculați dependențele
coeficienții efectivi de conductivitate termică a compozitului pe fracție
incluziuni (ξ= de la 0 la 0,75). Trasează pe o singură diagramă.
Ce concluzie se poate trage?
42.
Proprietățile materialelor granulare și poroaseDespre conductivitatea termică efectivă a materialelor poroase, celelalte lucruri fiind egale
condiţiile este influenţată de conductivitatea termică a fazei solide. În același timp, pentru
pentru unele materiale poroase (pe baza A12O3, BeO, MgO etc.) coeficient
conductivitatea termică scade odată cu creșterea temperaturii, în timp ce pt
altele, realizate pe baza de SiO2, ZrO2, - crește. Decisiv
porozitatea are un efect asupra conductivității termice efective, deoarece
porii înșiși, datorită conductivității scăzute a gazului, sunt eficienți
barieră în calea răspândirii căldurii. Cu toate acestea, există și altele
mecanisme de transfer de căldură (convecție, radiație).
Cele mai simple modele se bazează pe reprezentarea unui poros sau
material dispersat sub formă de straturi alternative plate, compuse și
cadru solid (miez) și aer.
1
1
2
2
1
1 1 2
- proportia porilor; porozitate
- conductivitatea termică a aerului sau a umplerii cu alte substanțe
spațiu poros
43.
Modelele prezentate în figura din centru sunt asociate cu numeMaxwell–Eucken (Maxwell-Aiken). Rezultatul arata ca
1
2
2 1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 1
2 2 1 2 2 1 1
1 1
2
0
1 2
2 2
cadrul solid este continuu
continuu este poros
spaţiu
modelul teoriei medii eficiente
Propagarea căldurii prin conducție termică în pereți plani și cilindrici în modul staționar (condiții limită de primul tip)
Perete plat omogen cu un singur strat. Să luăm în considerare propagarea căldurii prin conducție termică într-un perete plat omogen monostrat de grosime 8, cu lățimea și lungimea sa nelimitată.
Axă X direcționați-l perpendicular pe perete (Fig. 7.4). Pe ambele suprafețe ale peretelui ca și în direcția axei y, cât şi în direcţia axei G datorită furnizării și eliminării uniforme a căldurii, temperaturile sunt distribuite uniform.
Deoarece peretele în direcția acestor axe are dimensiuni infinit de mari, gradienții de temperatură corespunzători W / yu \u003d (k / (k= = 0 și, prin urmare, nu există nicio influență asupra procesului de conductivitate termică a suprafețelor de capăt ale peretelui. În aceste condiții de simplificare, câmpul staționar de temperatură este o funcție doar a coordonatei X, acestea. se consideră o problemă unidimensională. După cum se aplică în acest caz, ecuația diferențială a conducției căldurii va lua forma (at d^dh = 0)
Condițiile limită de primul fel sunt date: 
Orez. 7.4.
Să găsim ecuația câmpului de temperatură și să determinăm fluxul de căldură Ф care trece prin secțiunea peretelui cu arie DAR(pe fig. 1L peretele nu este indicat, deoarece este situat într-un plan perpendicular pe planul figurii). Prima integrare dă
acestea. gradientul de temperatură este constant pe toată grosimea peretelui.
După a doua integrare, obținem ecuația de câmp de temperatură dorită
Unde darȘi b - constante de integrare.
Astfel, modificarea temperaturii de-a lungul grosimii peretelui urmează o lege liniară, iar suprafețele izoterme sunt plane paralele cu fețele peretelui.
Pentru a determina constantele arbitrare de integrare, folosim condițiile la limită:
Pentru că? > ? CT2, apoi proiecția gradientului pe axă X la fel de negativ ca
acest lucru era de așteptat pentru direcția aleasă a axei, care coincide cu direcția vectorului de densitate a fluxului de căldură la suprafață.
Înlocuind valoarea constantelor din (7.24), obținem expresia finală pentru temperatura zero
Linia a-bîn fig. 7.4, așa-numitul curba temperaturii, arată modificarea temperaturii în funcție de grosimea peretelui.
Cunoscând gradientul de temperatură, este posibil, folosind ecuația Fourier (7.10), să găsim cantitatea de căldură 8 () care trece prin elementul de suprafață ?? 4, perpendicular pe axa T.
si pentru o suprafata DAR
Formula (7.28) pentru fluxul de căldură și densitatea fluxului de căldură la suprafață ia forma
Luați în considerare propagarea căldurii prin conducție termică într-un perete plat multistrat format din mai multe (de exemplu, trei) straturi apropiate (vezi Fig. 7.5).
Orez. 7.5.
Evident, în cazul unui câmp de temperatură staționar, fluxul de căldură care trece prin suprafețele aceleiași zone DAR, va fi la fel pentru toate straturile. Prin urmare, ecuația (7.29) poate fi utilizată pentru fiecare dintre straturi.
Pentru primul strat
pentru al doilea și al treilea strat
Unde X 2, A 3 - conductivitatea termică a straturilor; 8 1? 8 2 , 8 3 - grosimea stratului.
La limitele exterioare ale peretelui cu trei straturi, temperaturile sunt considerate cunoscute? St1 si? ST4. Temperaturile sunt stabilite de-a lungul interfețelor straturilor? ST2 Și? STZ, care sunt considerate necunoscute. Ecuațiile (7.31) - (7.33) vor fi rezolvate în raport cu diferențele de temperatură:
și apoi adăugați termen cu termen și astfel eliminăm temperaturile intermediare necunoscute:
Generalizând (7.36) pentru un perete cu strat z, se obține
Pentru a determina temperaturile intermediare? ST2, ? STz pe planurile de separare a straturilor, folosim formulele (7.34):
În cele din urmă, generalizând derivația la un perete cu strat în U, obținem o formulă pentru temperatura la limita straturilor i-lea și (r + 1)-lea:
Uneori folosesc conceptul de conductivitate termică echivalentă R echiv. Pentru densitatea suprafeței fluxului de căldură care trece printr-un perete multistrat plat,
unde este grosimea totală a tuturor straturilor peretelui multistrat. Comparând expresiile (7.37) și (7.40), concluzionăm că
Pe fig. 7.5 sub forma unei linii întrerupte prezintă un grafic al schimbărilor de temperatură pe grosimea unui perete multistrat. În interiorul stratului, așa cum sa demonstrat mai sus, schimbarea temperaturii urmează o lege liniară. Tangenta pantei cp, linia dreaptă a temperaturii la orizontală
acestea. egală cu valoarea absolută a gradientului de temperatură ^1 "ac1 Astfel, conform pantei dreptelor ab, BC si cu
Prin urmare,
acestea. gradienții de temperatură pentru straturile individuale ale unui perete plat multistrat sunt invers proporționali cu conductivitățile termice ale acestor straturi.
Aceasta înseamnă că pentru a obține gradienți mari de temperatură (ceea ce este necesar, de exemplu, la izolarea conductelor de abur etc.), sunt necesare materiale cu valori scăzute de conductivitate termică.
Perete cilindric monostrat omogen. Să găsim câmpul de temperatură și densitatea fluxului de căldură la suprafață pentru un mod staționar de conducere a căldurii pentru un perete cilindric omogen cu un singur strat (Fig. 7.6). Pentru a rezolva problema, folosim ecuația diferențială a conducției căldurii în coordonate cilindrice.
Axa 2 va fi îndreptată de-a lungul axei conductei. Să presupunem că lungimea țevii este infinit de mare în comparație cu diametrul. În acest caz, putem neglija influența capetelor conductei asupra distribuției temperaturii de-a lungul axei 2. Presupunem că, datorită furnizării și eliminării uniforme a căldurii, temperatura de pe suprafața interioară este peste tot egală cu? ST1, iar pe suprafața exterioară -? ST2 (condiții la limită de primul fel). Cu aceste simplificări (k/ = 0, și având în vedere simetria câmpului de temperatură față de orice diametru (d), unde G- raza de curent a peretelui cilindric.
Orez. 7.6.
Ecuația diferențială a conducerii căldurii (7.19) în condiția dt/d m = 0 ia forma
Să introducem o nouă variabilă
care este gradientul de temperatură (grad ?).
Înlocuirea unei variabile Șiîn (7.43), obținem o ecuație diferențială de ordinul întâi cu variabile separabile
sau 
Integrarea, obținem
Pentru un perete cilindric, gradientul de temperatură este o variabilă care crește odată cu descreșterea razei G. Prin urmare, gradientul de temperatură pe suprafața interioară este mai mare decât pe cea exterioară.
Înlocuirea valorii Și de la (7.44) la (7.45), obținem 
Și
Unde un b- constante de integrare.
Prin urmare, curba de distribuție a temperaturii pe grosimea peretelui este o curbă logaritmică (curba a-bîn fig. 7.6).
Să definim constantele darȘi b, incluse în ecuația câmpului de temperatură, pe baza condițiilor la limită de primul fel. Notăm raza interioară a suprafeței r x,în aer liber - g 2 . Notăm diametrele corespunzătoare (1 lȘi (1 2 . Atunci avem un sistem de ecuații
Hotărând acest sistem ecuații, obținem
Ecuația temperaturii zero va lua forma 
Gradientul de temperatură este determinat de formula (7.45):
Pentru că? ST1 > ? CT2 , și r, r 2 , apoi gradul de proiecție? pe raza vector are o valoare negativă.
Acesta din urmă arată că în acest caz fluxul de căldură este direcționat de la centru spre periferie.
Pentru a determina fluxul de căldură care trece printr-o secțiune a unei suprafețe cilindrice cu o lungime b, utilizați ecuația
Din (7.46) rezultă că fluxul de căldură care trece prin suprafața cilindrică depinde de raportul dintre razele exterioare și interioare r 2 / g x(sau diametre c1 2 / (1 {), nu grosimea peretelui.
Densitatea fluxului de căldură la suprafață pentru o suprafață cilindrică poate fi găsită raportând fluxul de căldură Ф la aria suprafeței interioare Un vp sau la suprafața exterioară Și np.În calcule, densitatea fluxului de căldură liniar este uneori utilizată:
Din (7.47)-(7.49) rezultă
Perete cilindric multistrat. Luați în considerare propagarea căldurii prin conductivitate termică într-un perete (conductă) cilindric cu trei straturi de lungime A (Fig. 7.7) cu un diametru interior c1 x si diametrul exterior (1 l. Diametre intermediare ale straturilor individuale - c1 2şi X2, X3.
Orez. 7.7.
Se cunosc temperaturile? st) internă și temperatură? Suprafața exterioară CT4. Fluxul de căldură Ф și temperatura trebuie determinate? ST2 Și? STz la limitele stratului. Să compunem o ecuație de forma (7.46) pentru fiecare strat:
Rezolvând (7.51)-(7.53) cu privire la diferențele de temperatură și apoi adunând termen cu termen, obținem
Din (7.54) avem o expresie de calcul pentru determinarea fluxului de căldură pentru un perete cu trei straturi:
Să generalizăm formula (7.55) la peretele țevii stratului în U: 
Unde i- numărul de serie al stratului.
Din (7.51)-(7.53) găsim o expresie pentru determinarea temperaturii la limitele straturilor intermediare:
Temperatura? Artă. +) pe hotar?-lea si (G+ 1)-al-lea strat poate fi determinat printr-o formulă similară
Literatura de specialitate conține soluții ale ecuației diferențiale de căldură pentru o bilă goală în condiții la limită de primul fel, precum și soluții pentru toate corpurile considerate în condiții la limită de al treilea fel. Nu luăm în considerare aceste probleme. Întrebările privind conducerea staționară a căldurii în tije (nervuri) cu secțiuni transversale constante și variabile, precum și problemele conducției termice nestaționare, au rămas, de asemenea, în afara domeniului de aplicare al cursului nostru.
Studiul oricărei proces fizic este asociată cu stabilirea unei relaţii între cantităţile care caracterizează acest proces. Pentru procesele complexe, care includ transferul de căldură prin conducție termică, atunci când se stabilește relația dintre cantități, este convenabil să se utilizeze metodele fizicii matematice, care ia în considerare cursul procesului nu în întreg spațiul studiat, ci într-un volum elementar de materie pentru un interval de timp infinitezimal. Legătura dintre cantitățile implicate în transferul de căldură prin conductivitate termică se stabilește în acest caz de așa-numita ecuația diferențială a conducerii căldurii. În limitele volumului elementar ales și a unei perioade de timp infinit de mică, devine posibilă neglijarea schimbării unor mărimi care caracterizează procesul.
Când se derivă ecuația diferențială a conducției căldurii, se fac următoarele ipoteze: mărimi fizice λ, cu pȘi ρ constant; fără surse interne de căldură; corpul este omogen și izotrop; se folosește legea conservării energiei, care în acest caz se formulează astfel: diferența dintre cantitatea de căldură care a intrat datorită conductivității termice într-un paralelipiped elementar în timpul dτși eliberat din acesta în același timp este cheltuit pentru schimbarea energiei interne a volumului elementar considerat. Ca rezultat, ajungem la ecuația:
Valoarea este numită operator Laplaceși este de obicei prescurtat ca 2 t(semnul se citește „nabla”); valoare λ /cρ numit difuzivitate termicăși notat prin literă dar. Cu notația de mai sus, ecuația diferențială pentru conducerea căldurii ia forma
Ecuația (1-10) se numește ecuația diferențială a conducerii căldurii, sau ecuația Fourier, pentru un câmp de temperatură nestaționar tridimensional în absența surselor interne de căldură. Este ecuația principală în studiul încălzirii și răcirii corpurilor în procesul de transfer de căldură prin conducție termică și stabilește o relație între schimbările de temperatură temporală și spațială în orice punct al câmpului.
Difuzivitate termică dar= λ/cr este un parametru fizic al unei substanțe și are o unitate de m 2 / s. În procesele termice nestaţionare, valoarea dar caracterizează viteza de schimbare a temperaturii. Dacă coeficientul de conductivitate termică caracterizează capacitatea corpurilor de a conduce căldura, atunci coeficientul de difuzivitate termică dar este o măsură a proprietăților termo-inerțiale ale corpurilor. Din ecuația (1-10) rezultă că modificarea temperaturii în timp ∂t / ∂τ căci orice punct al corpului este proporțional cu valoarea dar Prin urmare, în aceleași condiții, temperatura corpului care are o difuzivitate termică mai mare va crește mai repede. Gazele au mici, iar metalele - valori mari ale difuzivitatii termice.
Ecuația diferențială a conducerii căldurii cu sursele de căldură din interiorul corpului va avea forma
Unde qv- cantitatea de căldură eliberată pe unitatea de volum a unei substanțe pe unitatea de timp; din este capacitatea de căldură în masă a corpului, ρ - densitatea corpului .
Ecuația diferențială a căldurii în coordonate cilindrice cu o sursă de căldură internă va avea forma
Unde r- vector rază în coordonate cilindrice; φ - injectare.