Conductivitate termică este unul dintre tipurile de transfer de căldură. Transferul de căldură poate fi realizat prin diferite mecanisme.
Toate corpurile emit unde electromagnetice. La temperatura camerei, aceasta este în principal radiație infraroșie. Așa merge treaba transfer de căldură radiantă.
În prezența unui câmp gravitațional, un alt mecanism de transfer de căldură în fluide poate fi convecție. Dacă se furnizează căldură unui vas care conține un lichid sau un gaz prin fund, porțiunile inferioare ale substanței sunt încălzite în primul rând, densitatea lor scade, plutesc în sus și degajă o parte din căldura primită în straturile superioare.
Cu conductivitatea termică, transferul de energie se realizează ca urmare a transferului direct de energie de la particule (molecule, atomi, electroni) cu energie mai mare către particule cu energie mai mică.
În cursul nostru, vom lua în considerare transferul de căldură prin conducție.
Să luăm mai întâi în considerare cazul unidimensional, când temperatura depinde doar de o coordonată X. Lăsați două medii să fie separate printr-o partiție plată de grosime l(Fig. 23.1). Temperaturile mediilor T 1 și T 2 sunt menținute constante. Din punct de vedere empiric, se poate stabili că cantitatea de căldură Q transmis prin secțiunea partiției cu o zonă S pe parcursul t egală
, (23.1)
unde coeficientul de proporționalitate k depinde de materialul peretelui.
La T 1 > T 2 căldura este transferată pe direcția axei pozitive X, la T 1 < T 2 - în negativ. Direcția de propagare a căldurii poate fi luată în considerare dacă în ecuația (23.1) înlocuim ( T 1 - T 2)/l pe (- dT/dx). În cazul unidimensional, derivata dT/dx reprezintă gradient de temperatură. Amintiți-vă că gradientul este un vector a cărui direcție coincide cu direcția celei mai rapide creșteri funcţie scalară coordonate (în cazul nostru T), iar modulul este egal cu raportul dintre creșterea funcției cu o mică deplasare în această direcție și distanța la care a avut loc această creștere.
Pentru a da ecuațiilor care descriu transferul de căldură o formă mai generală și universală, luăm în considerare densitatea fluxului termic j - cantitatea de căldură transferată pe unitatea de suprafață pe unitatea de timp
Atunci relația (23.1) poate fi scrisă ca
Aici, semnul minus reflectă faptul că direcția fluxului de căldură este opusă direcției gradientului de temperatură (direcția creșterii acestuia). Astfel, densitatea fluxului de căldură este o mărime vectorială. Vectorul densității fluxului de căldură este direcționat în direcția scăderii temperaturii.
Dacă temperatura mediului depinde de toate cele trei coordonate, atunci relația (23.3) ia forma
Unde 
, - gradient de temperatură ( e
1 ,e
2 ,e
3 - vectori unitari ai axelor de coordonate).
Relațiile (23.3) și (23.4) reprezintă legea de bază a conducerii căldurii (legea lui Fourier): densitatea fluxului de căldură este proporțională cu gradientul de temperatură. Se numește coeficientul de proporționalitate k conductivitate termică(sau doar conductivitate termică). pentru că dimensiunea densității fluxului de căldură [ j] = J / (m 2 s), iar gradientul de temperatură [ dT/dx] = K/m, atunci dimensiunea coeficientului de conductivitate termică este [k] = J/(m×s×K).
În cazul general, temperatura în diferite puncte a unei substanțe încălzite neuniform se modifică în timp. Luați în considerare cazul unidimensional când temperatura depinde doar de o coordonată spațială X si timpul t, și obținem ecuația căldurii este ecuația diferențială pe care o îndeplinește funcția T = T(X,t).
Să identificăm mental în mediu un element de volum mic sub forma unui cilindru sau a unei prisme, a cărui generatoare este paralelă cu axa X, iar bazele sunt perpendiculare (Figura 23.2). Zona de bază S, și înălțimea dx. Masa acestui volum dm= r sdx, și capacitatea sa de căldură c×dm unde r este densitatea materiei, Cu - căldura specifică. Lăsați pentru o perioadă scurtă de timp dt temperatura din acest volum s-a modificat cu dT. Pentru a face acest lucru, substanța din volum trebuie să primească o cantitate de căldură egală cu produsul dintre capacitatea sa de căldură și modificarea temperaturii: 
. Pe de altă parte, d Q poate intra în volum numai prin bazele cilindrului: (densitatea fluxurilor de căldură j poate fi pozitiv sau negativ). Echivalarea expresiilor pentru d Q, primim
.
Înlocuind rapoartele incrementelor mici cu derivatele corespunzătoare, ajungem la relație
. (23.5)
Înlocuiți în formula (23.5) expresia (23.3) pentru densitatea fluxului de căldură
. (23.6)
Ecuația rezultată se numește ecuația căldurii. Dacă mediul este omogen și conductivitatea termică k nu depinde de temperatură, ecuația ia forma
, (23.7)
unde se numește constanta difuzivitate termică mediu inconjurator.
Ecuațiile (23.6) - (23.8) sunt îndeplinite de un set nenumărat de funcții T = T(X,t).
Pentru a izola soluția unică a ecuației căldurii, este necesar să se adauge la ecuație inițiala și condiţiile de frontieră.
Condiția inițială este de a seta distribuția temperaturii în mediu T(X,0) la momentul inițial t = 0.
Condițiile la limită pot fi diferite în funcție de regimul de temperatură la limite. Cel mai adesea, există situații în care temperatura sau densitatea fluxului de căldură este specificată la granițe în funcție de timp.
În unele cazuri, pot exista surse de căldură în mediu. Căldura poate fi eliberată ca urmare a trecerii curent electric, reacții chimice sau nucleare. Prezența surselor de căldură poate fi luată în considerare prin introducerea densității volumetrice a degajării de energie q(X,y,z), egală cu numărul căldura degajată de surse pe unitatea de volum a mediului pe unitatea de timp. În acest caz, termenul va apărea în partea dreaptă a ecuației (23.5) q:
.
Studiul oricărui fenomen fizic se reduce la stabilirea relaţiei dintre mărimile care caracterizează acest fenomen. Pentru complex procese fizice, în care mărimile definitorii pot varia semnificativ în spațiu și timp, este destul de greu de stabilit relația dintre aceste mărimi. În astfel de cazuri se folosesc metode de fizică matematică, care constau în faptul că intervalul de timp este limitat și se consideră un volum elementar din întreg spațiul. Acest lucru permite, în cadrul volumului selectat și a unui interval de timp dat, să se ignore modificările cantităților care caracterizează procesul și să se simplifice semnificativ dependența.
Astfel ales volum elementar dVși interval de timp elementar dτ, în cadrul căruia se ia în considerare procesul, cu punct matematic Din punct de vedere fizic, sunt cantități infinitezimale, iar din punct de vedere fizic, cantitățile sunt încă suficient de mari încât în limitele lor este posibil să se considere mediul ca continuu, neglijând structura sa discretă. Dependența astfel obținută este ecuația diferențială generală a procesului. Prin integrarea ecuațiilor diferențiale, se poate obține o relație analitică între mărimile pentru întregul domeniu de integrare și întregul interval de timp considerat.
Pentru a rezolva probleme legate de găsirea câmpului de temperatură, este necesar să existe o ecuație diferenţială de conducere a căldurii.
Să facem următoarele ipoteze:
corpul este omogen și izotrop;
parametrii fizici sunt constanti;
deformarea volumului considerat, asociată cu o modificare a temperaturii, este foarte mică în comparație cu volumul în sine;
sursele interne de căldură din organism sunt distribuite uniform.
Baza pentru derivarea ecuației diferențiale a conducției căldurii este legea conservării energiei, pe care o formulăm după cum urmează:
Cantitatea de căldurădQ, introdus în volumul elementardVafară pentru timpdτdatorită conductivității termice, precum și din surse interne, este egală cu modificarea energiei interne sau a entalpiei substanței conținute în volumul elementar.
Unde dQ 1 - cantitatea de căldură introdusă în volumul elementar dV prin conducerea căldurii în timp dτ;
dQ 2 este cantitatea de căldură care de-a lungul timpului dτ s-a remarcat în volumul elementar dV din surse interne;
dQ- modificarea energiei interne (proces izocor) sau entalpie a unei substanțe (proces izobar) conținută într-un volum elementar dV pe parcursul dτ.
Pentru a obține ecuația, considerăm un volum elementar sub forma unui cub cu laturi dx, dy, dz (Vezi Fig.1.2.). Cubul este poziționat astfel încât fețele sale să fie paralele cu planurile de coordonate corespunzătoare. Cantitatea de căldură care este furnizată fețelor volumului elementar în timp dτîn direcția axelor X, y, z denotă în mod corespunzător dQ X , dQ y , dQ z .
Cantitatea de căldură care va fi îndepărtată prin fețe opuse în aceleași direcții va fi notată în mod corespunzător dQ X + dx , dQ y + dy , dQ z + dz .
Cantitatea de căldură furnizată feței dxdyîn direcția axei X pe parcursul dτ, este: 
Unde q X este proiecția densității fluxului de căldură pe direcția normalei la fața specificată. În consecință, cantitatea de căldură îndepărtată prin fața opusă va fi:
Diferența dintre cantitatea de căldură furnizată unui volum elementar și cantitatea de căldură îndepărtată din acesta este căldura: 
Funcţie q este continuă în intervalul considerat dx și poate fi extins într-o serie Taylor:
Dacă ne limităm la primii doi termeni ai seriei, atunci ecuația se va scrie sub forma: 
În mod similar, puteți găsi cantitatea de căldură furnizată volumului în direcția celorlalte două axele de coordonate y și z.
Cantitatea de căldură dQ, însumată ca urmare a conductivității termice la volumul considerat, va fi egală cu:
Definim cel de-al doilea termen notând cantitatea de căldură eliberată de sursele interne pe unitatea de volum a mediului pe unitatea de timp q vși să-i spunem capacitatea surselor interne de căldură[W / m 3], apoi:
A treia componentă din ecuația noastră va fi găsită în funcție de natura procesului TD de schimbare a sistemului.
Când se consideră un proces izocor, toată căldura furnizată unui volum elementar va fi cheltuită pentru modificarea energiei interne a substanței conținute în acest volum, adică. dQ= dU.
Dacă luăm în considerare energia internă a unei unități de volum u= f(t, v) , atunci putem scrie:
, J/m 3
, J/kg
Unde c v – capacitate termică izocoră sau unități de volum sau unități de masă, [J/m3];
ρ - densitate, [kg/m 3].
Să colectăm expresiile rezultate:
Expresia rezultată este ecuația diferențială de energie pentru procesul izocor de transfer de căldură.
Ecuația procesului izobar este derivată în mod similar. Toată căldura furnizată volumului va schimba entalpia substanței incluse în volum.
Raportul rezultat este ecuația de energie diferențială pentru un proces izobar.
La solide, transferul de căldură se realizează conform legii Fourier 
, se poate lua valoarea capacităţii termice 
. Reamintim că proiecția vectorului de densitate a fluxului de căldură pe axele de coordonate este determinată de expresiile:
Ultima expresie se numește ecuația diferențială a conducției căldurii. Stabilește o relație între schimbările temporale și spațiale ale temperaturii în orice punct al corpului în care are loc procesul de conducere a căldurii.
Cea mai generală ecuație de căldură diferențială în derivate parțiale are aceeași formă, dar în ea cantitățile ρ , , Cu sunt funcții ale timpului și spațiului. Această ecuație descrie un număr mare de probleme de conducere a căldurii de interes practic. Dacă luăm constant parametrii termofizici, atunci ecuația va fi mai simplă:
Denota 
, apoi:
Factorul de proporționalitate A[m 2 / s] se numește difuzivitate termică și este un parametru fizic al unei substanțe. Este esențială pentru procesele termice nestaționare și caracterizează viteza de schimbare a temperaturii. Dacă coeficientul de conductivitate termică caracterizează capacitatea corpurilor de a conduce căldura, atunci coeficientul de difuzivitate termică este o măsură a proprietăților inerțiale termice ale corpului. De exemplu, lichidele și gazele au o inerție termică mai mare și, în consecință, o difuzivitate termică scăzută, în timp ce metalele, dimpotrivă, au o inerție termică mică.
Dacă există surse interne de căldură, iar câmpul de temperatură este staționar, atunci obținem ecuația Poisson:
În cele din urmă, cu conducere staționară a căldurii și absența surselor interne de căldură, obținem ecuația Laplace:
Condiții de unicitate pentru conductivitate termică.
Deoarece ecuația diferențială a conducției căldurii este derivată din legile generale ale fizicii, ea descrie o întreagă clasă de fenomene. Pentru a o rezolva, este necesar să se stabilească condiții la limită sau condiții de unicitate.
Condițiile pentru unicitate includ:
condiții geometrice - caracterizează forma și dimensiunea corpului;
condiţiile fizice caracterizează proprietăți fizice mediu și corp;
condițiile inițiale (temporare) - caracterizează distribuția temperaturilor în organism în momentul inițial de timp, sunt stabilite în studiul proceselor nestaționare;
condiţii la limită – caracterizează interacţiunea corpului considerat cu mediul.
Condițiile limită pot fi specificate în mai multe moduri.
Condiții la limită de primul fel. Distribuția temperaturii pe suprafața corpului este setată pentru fiecare moment de timp:
t c = f(X, y, z, τ )
Unde t c– temperatura suprafeței corpului;
X, y, z sunt coordonatele suprafeței corpului.
În cazul particular în care temperatura de la suprafață este constantă pe toată durata proceselor de transfer de căldură, ecuația este simplificată:
t c = const
Condiții limită de al doilea fel. Valorile fluxului de căldură sunt stabilite pentru fiecare punct al suprafeței corpului și în orice moment de timp. Analitic arată așa:
q c = f(X, y, z, τ )
În cel mai simplu caz, densitatea fluxului de căldură pe suprafața corpului rămâne constantă. Un astfel de caz apare atunci când produsele metalice sunt încălzite în cuptoare cu temperatură înaltă.
Condiții limită de al treilea fel. Aceasta setează temperatura ambiantă t mierși legea transferului de căldură între suprafața corpului și mediu. Legea Newton-Richmann este folosită pentru a descrie procesul de transfer de căldură. Conform acestei legi, cantitatea de căldură degajată sau primită de o unitate de suprafață corporală pe unitatea de timp este proporțională cu diferența de temperatură dintre suprafața corpului și mediu:
Unde α coeficientul de proporționalitate, numit coeficient de transfer termic [W / (m 2 K)], caracterizează intensitatea transferului de căldură. Din punct de vedere numeric, este egal cu cantitatea de căldură degajată de o unitate de suprafață a corpului pe unitatea de timp la o diferență de temperatură de un grad. Conform legii conservării energiei, cantitatea de căldură care este îndepărtată mediului înconjurător trebuie să fie egală cu căldura furnizată datorită conducerii căldurii din părțile interne ale corpului, adică:
Ultima ecuație este o condiție la limită de al treilea fel.
Există probleme tehnice mai complexe, când niciuna dintre condițiile enumerate nu poate fi setată și atunci este necesar să se rezolve problema prin metoda conjugării. La rezolvarea unei astfel de probleme, trebuie îndeplinite condițiile de egalitate a temperaturilor și fluxurilor de căldură pe ambele părți ale interfeței. În cazul general, condițiile de conjugație pot fi scrise:
Soluția problemei adiacente este legată de găsirea câmpurilor de temperatură de pe ambele părți ale interfeței.
Formulele pentru calcularea câmpului de temperatură și a fluxului de căldură în special problemele de conducere staționară și nestaționară a căldurii sunt obținute pe baza descrierii matematice (model matematic) a procesului. Baza modelului este ecuația diferențială a conducției căldurii, care este derivată folosind prima lege a termodinamicii pentru corpurile care nu lucrează și legea Fourier de conducere a căldurii. Ecuația diferențială a unui proces fizic este de obicei derivată în baza anumitor ipoteze care simplifică procesul. Prin urmare, ecuația rezultată descrie clasa de procese numai în cadrul ipotezelor acceptate. Fiecare sarcină specifică este descrisă de condițiile de unicitate corespunzătoare. Astfel, descrierea matematică a procesului de conducție a căldurii include o ecuație diferențială de conducere a căldurii și condiții de unicitate.
Luați în considerare derivarea ecuației diferențiale a conducției căldurii în următoarele ipoteze:
- a) corpul este omogen și anizotrop;
- b) coeficientul de conductivitate termică depinde de temperatură;
- c) deformarea volumului luat în considerare, asociată cu o modificare a temperaturii, este foarte mică comparativ cu volumul în sine;
- d) în interiorul corpului există surse interne de căldură distribuite uniform q v = f(x, y, z, m) = const;
- e) nu există o mișcare a macroparticulelor corporale unele față de altele (convecție).
În corpul cu caracteristicile acceptate, selectăm un volum elementar sub forma unui paralelipiped cu margini dx, dy, dz, cu siguranță concentrat pe sistem ortogonal coordonate (Fig. 14.1). În conformitate cu prima lege a termodinamicii pentru corpurile care nu lucrează, modificarea energiei interne dU substanțe în volumul alocat în timp dx este egală cu cantitatea de căldură furnizată
Orez. 14.1.
volum datorat conducerii căldurii dQ x , și căldură degajată de sursele interne dQ2".
Din termodinamică se știe că modificarea energiei interne a unei substanțe într-un volum dV pe parcursul dx egală
Unde dG = p dv- masa substanței; p - densitate; Cu - capacitatea termică a masei specifice (pentru lichide compresibile c = cv (capacitate termică izocorică)).
Cantitatea de energie alocată de surse interne,
Unde qv - densitatea în vrac a surselor interne de căldură, W/m3.
Fluxul de căldură care intră în volum prin conductivitate termică este împărțit în trei componente în funcție de direcția axelor de coordonate: 
Prin fețe opuse va fi căldura
fie eliminată în cantitate, respectiv Diferența dintre cantitatea de căldură furnizată și îndepărtată este echivalentă cu o modificare a energiei interne din cauza conductivității termice dQ v Reprezentăm această valoare ca suma componentelor de-a lungul axelor de coordonate:
Apoi în direcția axei x avem
Pentru că -
densitățile fluxului de căldură pe goanele opuse.
Funcţie qx+dx este continuă în intervalul considerat dxși poate fi extins într-o serie Taylor:
Restricționându-ne la primii doi termeni ai seriei și substituind în (14.6), obținem
În mod similar, obținem:
După înlocuirea (14.8)-(14.10) în (14.4) avem
Înlocuind (14.2), (14.3) și (14.11) în (14.1), obținem o ecuație diferențială pentru transferul de căldură prin conducție de căldură, ținând cont de sursele interne:
Conform legii Fourier a conducerii căldurii, scriem expresii pentru proiecțiile pe axele de coordonate ale densității fluxului de căldură:
Unde X x, X y, X z- coeficienţi de conductivitate termică în direcţia axelor de coordonate (corp anizotrop).
Înlocuind aceste expresii în (14.12), obținem
Ecuația (14.13) se numește ecuația diferențială a căldurii pentru corpurile anizotrope cu proprietăți fizice independente de temperatură.
Dacă se acceptă X= const, iar corpul este izotrop, ecuația căldurii ia forma
Aici A = Х/(ср), m2/s, - difuzivitate termică,
care este un parametru fizic al unei substanțe care caracterizează viteza de schimbare a temperaturii în procesele de încălzire sau răcire. Corpurile formate dintr-o substanță cu un coeficient ridicat de difuzivitate termică, ceteris paribus, se încălzesc și se răcesc mai repede.
Într-un sistem de coordonate cilindric, ecuația diferențială a căldurii pentru un corp izotrop cu proprietăți fizice constante are forma
Unde g, z,Ф - respectiv coordonate radiale, axiale și unghiulare.
Ecuațiile (14.13), (14.14) și (14.15) descriu procesul de conducere a căldurii în vedere generala. Sarcinile specifice diferă conditii de unicitate, adică descrierea caracteristicilor procesului luat în considerare.
condiţii pentru neechivocitate. Pe baza conceptelor fizice de conductivitate termică, este posibil să se evidențieze factorii care influențează procesul: proprietățile fizice ale substanței; dimensiunea și forma corpului; distribuția inițială a temperaturii; condiţiile de transfer de căldură pe suprafaţa (limita) corpului. Astfel, condițiile de unicitate sunt împărțite în fizice, geometrice, inițiale și de limită (limită).
condiţiile fizice sunt dați parametrii fizici ai substanței X, s, p şi distribuţia surselor interne.
Termeni geometrici se stabilesc forma şi dimensiunile liniare ale corpului în care are loc procesul.
Condiții inițiale este dată distribuţia temperaturii în organism în momentul iniţial de timp t= /(x, y,z) la m = 0. Condiții inițiale sunt importante atunci când se iau în considerare procesele nestaţionare.
În funcție de natura transferului de căldură la limita corpului, condițiile de limită (limită) sunt împărțite în patru tipuri.
Condiții la limită de primul fel. Specifică distribuția temperaturii pe suprafață t nîn timpul procesului
Într-un caz particular, temperatura suprafeței poate rămâne constantă (/n = const).
Condițiile limită de primul fel apar, de exemplu, în timpul încălzirii prin contact în procesele de lipire a placajului, presarea plăcilor de PAL și a plăcilor din fibre etc.
Condiții limită de al doilea fel. Distribuția valorilor densității fluxului de căldură pe suprafața corpului în timpul procesului este setată
Într-un caz particular, fluxul de căldură de pe suprafață poate rămâne constant (
Condiții limită de al treilea fel corespund transferului de căldură convectiv pe suprafață. În aceste condiții, temperatura lichidului în care se află corpul, Tf = /(t), și coeficientul de transfer termic oc ar trebui să fie setate. În cazul general, coeficientul de transfer de căldură este o valoare variabilă, prin urmare, trebuie stabilită legea modificării sale a = / (t). Este posibil un caz special: / f = const; a = const.
Condiții limită de al patrulea fel Caracterizați condițiile de schimb de căldură ale corpurilor cu coeficienți de conductivitate termică diferiți la contactul lor ideal, când căldura este transferată prin conductivitate termică și fluxurile de căldură pe părțile opuse ale suprafeței de contact sunt egale:
Ipotezele fizice acceptate, ecuația derivată în baza acestor ipoteze și condițiile de unicitate constituie o descriere analitică ( model matematic) procese de conducere a căldurii. Succesul utilizării modelului obținut pentru rezolvarea unei probleme specifice va depinde de modul în care ipotezele acceptate și condițiile de unicitate sunt adecvate condițiilor reale.
Ecuațiile (14.14) și (14.15) sunt rezolvate destul de simplu analitic pentru un regim termic staționar unidimensional. Soluțiile sunt discutate mai jos. Metode numerice aproximative sunt utilizate pentru procesele staționare bidimensionale și tridimensionale
Pentru a rezolva ecuațiile (14.13) - (14.15) în condițiile unui regim termic nestaționar, se folosesc o serie de metode, care sunt luate în considerare în detaliu în literatura de specialitate. Sunt cunoscute metode analitice exacte și aproximative, metode numerice etc.
Rezolvarea numerică a ecuației căldurii se realizează în principal prin metoda diferențelor finite. Alegerea uneia sau a alteia metode de rezolvare depinde de condițiile problemei. Ca rezultat al rezolvării prin metode analitice, se obțin formule care sunt aplicabile pentru rezolvarea unei game de probleme de inginerie în condiții adecvate. Metodele numerice fac posibilă obținerea câmpului de temperatură t=f(x, y, z, m) ca un set de valori discrete de temperatură în diferite puncte la momente fixe pentru o anumită sarcină. Prin urmare, utilizarea metodelor analitice este de preferat, dar acest lucru nu este întotdeauna posibil pentru probleme multidimensionale și condiții la limită complexe.
Mai jos, vom lua în considerare câteva probleme pentru determinarea câmpurilor de temperatură pentru condiții geometrice și fizice relativ simple, care permit soluții analitice simple ca formă și, în același timp, oferă o ilustrare utilă a proceselor fizice caracteristice asociate cu transferul de căldură într-un solid.
Luați în considerare o tijă cu o suprafață laterală izolată termic (Fig. 38). În acest caz, transferul de căldură poate avea loc de-a lungul tijei. Dacă combinați tija cu axa Sistemul cartezian coordonate, atunci ecuația căldurii staționare va avea forma
La valori constante ale coeficientului de conductivitate termică a puterii volumetrice de eliberare a căldurii, ultima ecuație poate fi integrată de două ori
(75)
Constantele de integrare pot fi găsite din condițiile la limită. De exemplu, dacă temperatura la capetele tijei este , . Apoi din (75) avem
De aici găsim constantele integrării și . Soluția în condițiile la limită indicate va lua forma
Se poate observa din ultima formula ca in lipsa surselor de caldura . Temperatura din tijă variază liniar de la o valoare limită la alta
Să luăm acum în considerare o altă combinație de condiții la limită. Lasă o sursă externă să creeze un flux de căldură la capătul stâng al tijei. La capătul drept al tijei păstrăm starea anterioară, așa că avem
Exprimând aceste condiții cu ajutorul integralei generale (75), obținem un sistem față de constantele de integrare
După ce am găsit constante necunoscute din sistemul rezultat, obținem o soluție sub forma
Ca și în exemplul anterior, în absența surselor interne de eliberare de căldură, distribuția temperaturii de-a lungul tijei va fi liniară
În acest caz, temperatura de la capătul stâng al tijei, unde se află sursa externă de căldură, va fi egală cu .
Ca exemplul următor, să găsim o distribuție staționară a temperaturii de-a lungul razei într-un cilindru circular lung și continuu (Fig. 39). În acest caz, utilizarea unui sistem de coordonate cilindrice va simplifica semnificativ sarcina. În cazul unui cilindru cu un raport mare lungime-rază și constante de distribuție
Ca sursă internă de degajare de căldură, temperatura departe de capetele cilindrului poate fi considerată independentă de coordonatele axiale ale sistemului cilindric. Atunci ecuația de căldură staționară (71) ia forma
Integrarea dublă a ultimei ecuații (pentru o constantă ) dă
Condiția de simetrie pentru distribuția temperaturii pe axa cilindrului () dă
Unde ajungem
Ultima condiție va fi îndeplinită pentru . Lăsați temperatura să fie setată pe suprafața cilindrului (). Apoi se poate găsi a doua constantă de integrare din ecuație
De aici găsim și notăm soluția în forma finală
Ca exemplu numeric de aplicare a rezultatului obținut, considerăm distribuția temperaturii în plasmă a unei descărcări cu arc cilindric cu o rază de mm. Limita canalului de descărcare este formată ca o regiune în care procesele de ionizare se opresc. Am văzut mai sus că ionizarea vizibilă a gazului în timpul încălzirii se oprește la K. Prin urmare, valoarea redusă poate fi luată ca limită K. Densitatea volumică a puterii de eliberare a căldurii în plasma de descărcare poate fi găsită din legea Joule-Lenz , Unde σ
este conductivitatea electrică a plasmei, E- tensiune câmp electricîn canalul de descărcare. Valorile caracteristice pentru o descărcare cu arc sunt 1/Ohm m, V/m. Conductivitatea termică a plasmei arcului este mai mare decât într-un gaz neutru; la temperaturi de ordinul a 10.000 K, valoarea acestuia poate fi luată egală cu . Astfel, parametrul 
. Distribuția temperaturii de-a lungul razei este prezentată în fig. 39. În acest caz, temperatura pe axa de refulare () va fi de 8000 K.
În exemplul următor, considerăm un câmp termic cu simetrie sferică. Astfel de condiții apar, în special, dacă se află o sursă mică de căldură matrice mare, de exemplu, o defecțiune a arcului interturn în înfășurarea unei mașini electrice mari. În acest caz, alinierea centrului sistem sferic coordonate cu sursa de eliberare a căldurii, putem aduce ecuația de căldură staționară (64) la forma:
Integrând această ecuație de două ori, găsim
Atunci integrala ecuației căldurii devine mai simplă
Pentru a calcula constantele de integrare, folosim mai întâi condiția în puncte infinit îndepărtate de locul de descărcare, unde C este temperatura ambiantă. Din ultima expresie găsim . Pentru a determina constanta, presupunem că descărcarea energie termală distribuite uniform pe suprafața unei cavități sferice de rază . Prin urmare, fluxul de căldură la limita cavității va fi
Pentru că 
, apoi din ultimele două ecuații avem
și decizia finală
În acest caz, temperatura la limita cavității (mm) la W/mK va fi K (Fig. 40).
Ca prim exemplu al acestui grup, luați în considerare câmpul termic în secțiunea transversală a unui fir rotund cu un canal de răcire (Fig. 41, A). Firele cu canale de răcire sunt folosite în înfășurările mașinilor și bobinelor electrice puternice pentru a produce câmpuri magnetice puternice. Aceste dispozitive se caracterizează printr-un flux lung de curenți cu o amplitudine de sute și chiar mii de amperi. De exemplu, se pompează un lichid, cum ar fi apa, sau un gaz (hidrogen, aer), care asigură selectarea energiei termice de pe suprafața interioară a canalului și răcirea firului în ansamblu. În acest caz, avem de-a face cu răcirea convectivă forțată a suprafeței canalului, pentru care putem folosi condiția la limită de al treilea fel justificată mai sus (67). Dacă combinăm axa sistemului de coordonate cilindrice cu axa firului, atunci temperatura va depinde doar de coordonatele radiale. Integrala generală a ecuației de căldură staționară pentru acest caz a fost obținută de noi mai devreme
Densitatea volumetrică a puterii de degajare a căldurii se găsește din legea Joule-Lenz: , j- densitatea curentă, σ - conductivitate electrică,
Unde R- raza secțiunii firului, A- raza canalului de răcire. Firul este înconjurat la exterior de straturi de izolație, care, în comparație cu conductorul, are o conductivitate termică relativ scăzută. Prin urmare, în prima aproximare, acceptăm suprafața exterioară a firului ca izolată termic, adică fluxul de căldură pe acesta.
Pe suprafața canalului de răcire, fluxul de căldură este determinat de starea celui de-al treilea fel
unde este coeficientul de transfer de căldură, este temperatura fluxului de răcire. Semnul minus din partea dreaptă este luat datorită faptului că normala la suprafața interioară a canalului este îndreptată în direcția opusă axei.
Înlocuind expresia temperaturii (76) în prima dintre condițiile la limită scrise, obținem
Unde . A doua condiție limită dă
unde găsim
Cu toate acestea, de la (76)
Comparând ultimele două expresii, găsim
După înlocuirea constantelor găsite în soluția generală (76) și transformări, obținem
Temperatura la limitele secțiunii de sârmă din soluția obținută va fi calculată prin formule
Distribuția temperaturii de-a lungul razei secțiunii pentru un fir cu un canal de răcire cu parametri: A, W/mK, 
1/Ohm m, o C, mm, cm este prezentat în fig. 41, b.
Din fig. 41, b rezultă că în cadrul secțiunii transversale a firului, modificarea temperaturii este relativ mică în comparație cu valoarea medie, ceea ce se explică prin conductivitate termică ridicată. λ și dimensiuni relativ mici ale secțiunii transversale ale firului.
O situație diferită apare în distribuția temperaturii de-a lungul firului, care constă din secțiuni separate în contact unele cu altele. Deteriorarea calității contactelor dintre conductorii conectați duce la o creștere a generării de căldură la joncțiunea celor două fire în comparație cu firul în sine. Măsurarea de la distanță a temperaturii firului folosind camere termice sau pirometre permite diagnosticarea calității conexiunilor de contact.Să calculăm distribuția temperaturii de-a lungul firului în prezența unui contact defect. Exemplul anterior a arătat că, chiar și în cele mai severe condiții, schimbarea temperaturii în secțiunea firului este foarte mică. Prin urmare, pentru calculul nostru, putem, în prima aproximare, să presupunem că distribuția temperaturii în secțiunea transversală a firului este uniformă. Distribuția generării de căldură de-a lungul firului depinde de distribuție rezistență electrică de-a lungul firului, care este uniform departe de contact și crește pe măsură ce se apropie. Să combinăm axa sistemului de coordonate carteziene cu axa firului și originea coordonatelor - cu centrul zonei de contact (Fig. 42). Ca model pentru distribuția rezistenței de-a lungul firului, luăm următoarea distribuție a rezistenței liniare
unde , este un parametru care caracterizează dimensiunea liniară a zonei de contact . Puterea de disipare a căldurii pe unitatea de lungime a firului este de . Pe unitate de volum, puterea de eliberare a căldurii este
Unde S- secțiunea firului. Sârma este răcită prin convecție naturală de la suprafața sa. Fluxul de căldură convectiv pe unitatea de lungime a firului este
Unde α - coeficientul de transfer termic, - temperatura aerului ambiant, p- perimetrul secțiunii de sârmă. Transferul de căldură către mediu pe unitate de volum a conductorului va fi
Distribuția staționară a temperaturii de-a lungul firului va respecta ecuația de conducere a căldurii
Pentru transformări ulterioare ale ecuației rezultate, luăm constanta coeficientului de conductivitate termică de-a lungul firului, înlocuim expresiile de mai sus cu și și, de asemenea, ca funcție dorită în loc de T Hai sa luam :
ajungem la o neomogenă liniară ecuație diferențială
Vom căuta soluția ecuației rezultate sub forma sumei soluției generale ecuație omogenă
și o soluție specială sub forma părții drepte
.
Derivarea ecuației căldurii
Imaginați-vă un corp omogen și izolați din el un volum elementar cu laturi (Figura 1).
Figura 1. Controlul volumului într-un sistem de coordonate dreptunghiular
Fluxurile de căldură de intrare situate perpendicular pe suprafețe vor fi notate ca, . Curgerile pe suprafețe opuse pot fi exprimate din seria Taylor:
   |
Pot exista și surse interne de căldură în interiorul corpului, dacă există chiuvete, dacă:
Modificarea energiei interne:
Inlocuim ecuatiile (1.1.1) in ecuatia rezultata (1.1.5):
Înlocuindu-le în ecuația (1.1.6), obținem ecuația de conducere a căldurii în formă generală pentru un spațiu tridimensional:
Introducem coeficientul de difuzivitate termica:
și omiteți sursele interne de căldură. Obținem ecuația conducției căldurii în spatiu tridimensional fără surse interne de căldură:
Condiții de unicitate
Ecuația (1.1) descrie procesul în termeni generali. Pentru a-l aplica unei probleme specifice, sunt necesare condiții suplimentare, numite condiții de unicitate. Aceste condiții includ condiții geometrice (forma și dimensiunile corpului), fizice (proprietățile fizice ale corpului), temporale (distribuția inițială a temperaturii) și condițiile limită (descrie procesul de schimb de căldură cu mediu inconjurator).
Condițiile limită pot fi împărțite în trei tipuri principale:
1. Condiții la limită Dirichlet: este dată valoarea funcției de la limită.
În cazul problemei conducerii căldurii, se stabilesc valorile temperaturii de pe suprafața corpului.
2. Condiții la limită Neumann: este dată derivata normală a funcției de la limită.
Setați densitatea fluxului de căldură pe suprafața corpului.
3. Condiții la limită Robin: date combinație liniară valorile funcției și derivatele sale la graniță.
Descrieți transferul de căldură dintre suprafața corpului și mediu conform legii Newton-Richmann.
În această lucrare se vor folosi doar condițiile la limită Dirichlet, datorită complexității implementării condițiilor la limită rămase.