Ce este un model matematic?

Conceptul de model matematic.

Un model matematic este un concept foarte simplu. Și foarte important. Modelele matematice leagă matematica și viața reală.

vorbind limbaj simplu, un model matematic este o descriere matematică a oricărei situații. Si asta e. Modelul poate fi primitiv, poate fi super complex. Care este situația, care este modelul.)

În orice (repet - în orice!) afaceri, în care trebuie să calculați ceva și să calculați - suntem angajați în modelare matematică. Chiar dacă nu știm.)

P \u003d 2 CB + 3 CB

Această înregistrare va fi modelul matematic al cheltuielilor pentru achizițiile noastre. Modelul nu tine cont de culoarea ambalajului, data expirarii, politetea casierelor etc. De aceea ea model, nu o achiziție reală. Dar costurile, adică. ce ne trebuie- Vom ști sigur. Dacă modelul este corect, desigur.

Este util să ne imaginăm ce este un model matematic, dar acest lucru nu este suficient. Cel mai important lucru este să poți construi aceste modele.

Compilarea (construirea) unui model matematic al problemei.

A compune un model matematic înseamnă a transpune condițiile problemei într-o formă matematică. Acestea. transforma cuvintele într-o ecuație, formulă, inegalitate etc. Mai mult, întoarceți-o astfel încât această matematică să corespundă strict textului original. În caz contrar, vom ajunge cu un model matematic al unei alte probleme necunoscute nouă.)

Mai precis, ai nevoie

Există un număr infinit de sarcini în lume. Prin urmare, pentru a propune un clar instrucțiuni pas cu pas la elaborarea unui model matematic orice sarcinile sunt imposibile.

Dar există trei puncte principale cărora trebuie să le acordați atenție.

1. În orice sarcină există un text, destul de ciudat.) Acest text, de regulă, are informații explicite, deschise. Numere, valori etc.

2. În orice sarcină există informații ascunse. Acesta este un text care presupune prezența unor cunoștințe suplimentare în cap. Fără ele - nimic. În plus, informațiile matematice sunt adesea ascunse în spate în cuvinte simpleși... alunecă dincolo de atenție.

3. În orice sarcină trebuie să fie dat comunicarea între date. Această conexiune poate fi dată în text clar (ceva este egal cu ceva) sau poate fi ascunsă în spatele unor cuvinte simple. Dar faptele simple și clare sunt adesea trecute cu vederea. Și modelul nu este compilat în niciun fel.

Trebuie să spun imediat că, pentru a aplica aceste trei puncte, problema trebuie citită (și cu atenție!) de mai multe ori. Lucrul obișnuit.

Și acum - exemple.

Să începem cu o problemă simplă:

Petrovici s-a întors de la pescuit și și-a prezentat cu mândrie captura familiei sale. La o examinare mai atentă, s-a dovedit că 8 pești provin din mările nordice, 20% din toți peștii provin din mările sudice și nici unul din râul local unde a pescuit Petrovici. Câți pești a cumpărat Petrovici din magazinul cu fructe de mare?

Toate aceste cuvinte trebuie transformate într-un fel de ecuație. Pentru a face asta, repet, stabiliți o relație matematică între toate datele problemei.

Unde să încep? Mai întâi, vom extrage toate datele din sarcină. Să începem în ordine:

Să ne concentrăm asupra primului punct.

Ce este aici explicit informatii matematice? 8 pesti si 20%. Nu multe, dar nu avem nevoie de multe.)

Să acordăm atenție celui de-al doilea punct.

Cauta ascuns informație. Ea este aici. Acestea sunt cuvintele: „20% din toți peștii". Aici trebuie să înțelegeți ce procente sunt și cum sunt calculate. În caz contrar, sarcina nu poate fi rezolvată. Acestea sunt exact informațiile suplimentare care ar trebui să fie în cap.

Există și aici matematic informații care sunt complet invizibile. Acest întrebare de sarcină: "Câți pești ai cumpărat... Este și un număr. Și fără el, niciun model nu va fi compilat. Prin urmare, să notăm acest număr cu literă "X". Nu știm încă cu ce este x, dar o astfel de desemnare ne va fi foarte utilă. Pentru mai multe informații despre ce să luați pentru x și cum să îl gestionați, consultați lecția Cum să rezolvați probleme de matematică? Să o scriem imediat:

x bucăți - numărul total de pești.

În problema noastră, peștii sudici sunt dați procentual. Trebuie să le transpunem în bucăți. Pentru ce? Atunci ce este în orice sarcina modelului ar trebui să fie in aceleasi marimi. Bucăți - deci totul este în bucăți. Dacă ni se oferă, să zicem ore și minute, traducem totul într-un singur lucru - fie doar ore, fie doar minute. Nu contează ce. Este important sa toate valorile erau aceleași.

Înapoi la dezvăluire. Cine nu știe ce este un procent nu va dezvălui niciodată, da... Și cine știe, va spune imediat că aici sunt date procentele din numărul total de pești. Nu știm acest număr. Nu va ieși nimic din asta!

Numărul total de pești (pe bucăți!) nu este în zadar cu litera "X" desemnat. Nu va funcționa să numărăm peștii sudici în bucăți, dar îl putem scrie? Asa:

0,2 x bucăți - numărul de pești din mările sudice.

Acum am descărcat toate informațiile din sarcină. Atât explicite, cât și ascunse.

Să acordăm atenție celui de-al treilea punct.

Cauta legătura matematicăîntre datele sarcinii. Această conexiune este atât de simplă încât mulți nu o observă... Acest lucru se întâmplă des. Aici este util să notezi pur și simplu datele colectate într-o grămadă și să vezi ce este.

Ce avem? Există 8 bucati pește de nord, 0,2 x bucăți- peștele sudic și x pește- valoare totală. Este posibil să legați cumva aceste date împreună? Da Ușor! numărul total de pești egală suma dintre sud și nord! Ei bine, cine ar fi crezut...) Așa că scriem:

x = 8 + 0,2x

Aceasta va fi ecuația modelul matematic al problemei noastre.

Vă rugăm să rețineți că în această problemă nu ni se cere să pliăm nimic! Noi înșine, din cap, am realizat că suma peștilor sudici și nordici ne va da numărul total. Lucrul este atât de evident încât scapă de atenție. Dar fără aceste dovezi, un model matematic nu poate fi compilat. Asa.

Acum puteți aplica toată puterea matematicii pentru a rezolva această ecuație). Pentru asta a fost conceput modelul matematic. Rezolvăm această ecuație liniară și obținem răspunsul.

Răspuns: x=10

Să facem un model matematic al unei alte probleme:

Petrovich a fost întrebat: „Câți bani aveți?” Petrovich a plâns și a răspuns: "Da, doar puțin. Dacă cheltuiesc jumătate din toți banii și jumătate din restul, atunci îmi va rămâne doar o pungă de bani ..." Câți bani are Petrovici?

Din nou, lucrăm punct cu punct.

1. Căutăm informații explicite. Nu o vei găsi imediat! Informațiile explicite sunt unu geantă cu bani. Mai sunt câteva jumătăți... Ei bine, o vom rezolva în al doilea paragraf.

2. Căutăm informații ascunse. Acestea sunt jumătăți. Ce? Nu foarte clar. Caut mai mult. Mai este o problemă: — Câţi bani are Petrovici? Să notăm suma de bani prin literă "X":

X- toti banii

Și citește din nou problema. Știind deja că Petrovici X bani. Aici lucrează jumătățile! Scriem:

0,5 x- jumătate din toți banii.

Restul va fi, de asemenea, jumătate, adică 0,5 x.Și jumătate din jumătate se poate scrie așa:

0,5 0,5 x = 0,25x- jumătate din restul.

Acum toate informațiile ascunse sunt dezvăluite și înregistrate.

3. Căutăm o legătură între datele înregistrate. Aici puteți citi pur și simplu suferințele lui Petrovici și le puteți nota matematic):

Dacă cheltuiesc jumătate din toți banii...

Să notăm acest proces. Toți banii - X. jumatate - 0,5 x. A cheltui înseamnă a lua. Expresia devine:

x - 0,5 x

si jumatate din rest...

Scădeți încă o jumătate din rest:

x - 0,5 x - 0,25 x

atunci doar o pungă de bani va rămâne cu mine...

Și există egalitate! După toate scăderile, rămâne o pungă de bani:

x - 0,5 x - 0,25x \u003d 1

Iată, modelul matematic! Aceasta este din nou o ecuație liniară, rezolvăm, obținem:

Întrebare de luat în considerare. Patru este ce? Rubla, dolar, yuan? Și în ce unități avem bani în modelul matematic? În saci! Deci patru sac banii lui Petrovici. Nici nu e rău.)

Sarcinile sunt, desigur, elementare. Acest lucru este special pentru a surprinde esența elaborării unui model matematic. În unele sarcini, pot exista mult mai multe date în care este ușor să fii confundat. Acest lucru se întâmplă adesea în așa-numitul. sarcini de competență. Cum să scoți conținut matematic dintr-un morman de cuvinte și numere este prezentat cu exemple

Încă o notă. În problemele școlare clasice (țevile umplu piscina, bărcile navighează undeva etc.), toate datele, de regulă, sunt alese cu mare atenție. Există două reguli:
- există suficiente informații în problemă pentru a o rezolva,
- nu există informații suplimentare în sarcină.

Acesta este un indiciu. Dacă există o valoare neutilizată în modelul matematic, gândiți-vă dacă există o eroare. Dacă nu există suficiente date în vreun fel, cel mai probabil, nu toate informațiile ascunse au fost dezvăluite și înregistrate.

În competență și alte sarcini de viață, aceste reguli nu sunt respectate cu strictețe. Nu am un indiciu. Dar și astfel de probleme pot fi rezolvate. Dacă, desigur, nu exersați pe clasic.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Ca sistem de ecuații, sau relații aritmetice, sau figuri geometrice, sau o combinație a ambelor, al cărui studiu prin intermediul matematicii ar trebui să răspundă la întrebările puse despre proprietățile unui anumit set de proprietăți ale unui obiect din lumea reală, ca un ansamblu de relații matematice, ecuații, inegalități care descriu modelele de bază inerente procesului, obiectului sau sistemului studiat.

În sistemele de control automate, un model matematic este utilizat pentru a determina algoritmul de funcționare a controlerului. Acest algoritm determină modul în care acțiunea de control ar trebui să fie schimbată în funcție de schimbarea în master pentru a atinge obiectivul de control.

Clasificarea modelului

Clasificarea formală a modelelor

Clasificarea formală a modelelor se bazează pe clasificarea instrumentelor matematice utilizate. Adesea construită sub formă de dihotomii. De exemplu, unul dintre seturile populare de dihotomii este:

etc. Fiecare model construit este liniar sau neliniar, determinist sau stocastic,... Desigur, sunt posibile și tipuri mixte: concentrate într-o privință (din punct de vedere al parametrilor), modele distribuite în alta etc.

Clasificarea după modul în care este reprezentat obiectul

Alături de clasificarea formală, modelele diferă prin modul în care reprezintă obiectul:

Modele structurale sau funcționale

Ipotezele-model în știință nu pot fi dovedite o dată pentru totdeauna, se poate vorbi doar despre infirmarea sau neinfirmarea lor ca urmare a experimentului.

Dacă se construiește un model de primul tip, atunci aceasta înseamnă că este recunoscut temporar ca adevărat și se poate concentra asupra altor probleme. Totuși, acesta nu poate fi un punct în cercetare, ci doar o pauză temporară: statutul modelului de primul tip poate fi doar temporar.

Model fenomenologic

Al doilea tip este modelul fenomenologic ( „Ne comportăm ca și cum...”), conține un mecanism de descriere a fenomenului, deși acest mecanism nu este suficient de convingător, nu poate fi suficient confirmat de datele disponibile sau este slab în concordanță cu teoriile disponibile și cunoștințele acumulate despre obiect. Prin urmare, modelele fenomenologice au statut de soluții temporare. Se crede că răspunsul este încă necunoscut, iar căutarea „mecanismelor adevărate” trebuie să continue. Peierls se referă, de exemplu, modelul caloric și modelul cuarc al particulelor elementare la al doilea tip.

Rolul modelului în cercetare se poate schimba în timp, se poate întâmpla ca noi date și teorii să confirme modelele fenomenologice și să fie promovate la statutul de ipoteză. În mod similar, noile cunoștințe pot intra treptat în conflict cu modelele-ipoteze de primul tip și pot fi transferate la al doilea. Astfel, modelul cuarcilor trece treptat în categoria ipotezelor; atomismul în fizică a apărut ca o soluție temporară, dar odată cu cursul istoriei a trecut în primul tip. Dar modelele eterice au trecut de la tipul 1 la tipul 2, iar acum sunt în afara științei.

Ideea simplificării este foarte populară atunci când construiești modele. Dar simplificarea este diferită. Peierls distinge trei tipuri de simplificări în modelare.

Apropiere

Al treilea tip de modele sunt aproximațiile ( „ceva este considerat foarte mare sau foarte mic”). Dacă se pot construi ecuații care descriu sistemul studiat, aceasta nu înseamnă că acestea pot fi rezolvate chiar și cu ajutorul unui calculator. O tehnică comună în acest caz este utilizarea aproximărilor (modele de tip 3). Printre ei modele de răspuns liniar. Ecuațiile sunt înlocuite cu unele liniare. Exemplu standard- Legea lui Ohm .

experiment de gândire

m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx),

Unde x ¨ (\displaystyle (\ddot (x)))înseamnă a doua derivată a x (\displaystyle x) cu timpul: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

Ecuația rezultată descrie modelul matematic al sistemului fizic considerat. Acest model este numit „oscilator armonic”.

Conform clasificării formale, acest model este liniar, determinist, dinamic, concentrat, continuu. În procesul construcției sale, am făcut multe presupuneri (despre absența forțe externe, absența frecării, micimea abaterilor etc.), care în realitate ar putea să nu fie îndeplinite.

În raport cu realitatea, acesta este cel mai adesea un model de tip 4. simplificare(„omitem unele detalii pentru claritate”), deoarece unele caracteristici universale esențiale (de exemplu, disiparea) sunt omise. Într-o anumită aproximare (să zicem, atâta timp cât abaterea sarcinii de la echilibru este mică, cu frecare mică, pentru un timp nu prea lung și supus unor alte condiții), un astfel de model descrie destul de bine un sistem mecanic real, deoarece factorii aruncați au un efect neglijabil asupra comportamentului său . Cu toate acestea, modelul poate fi rafinat luând în considerare unii dintre acești factori. Acest lucru va duce la un nou model, cu un domeniu de aplicare mai larg (deși din nou limitat).

Cu toate acestea, atunci când modelul este rafinat, complexitatea studiului său matematic poate crește semnificativ și poate face modelul practic inutil. Adesea, un model mai simplu vă permite să explorați mai bine și mai profund sistemul real decât unul mai complex (și, formal, „mai corect”).

Dacă aplicăm modelul oscilatorului armonic la obiecte care sunt departe de fizică, statutul său semnificativ poate fi diferit. De exemplu, atunci când se aplică acest model populațiilor biologice, cel mai probabil ar trebui să fie atribuit tipului 6 analogie(„Să luăm în considerare doar câteva caracteristici”).

Modele dure și moi

Oscilatorul armonic este un exemplu de așa-numit model „hard”. Se obține ca urmare a unei puternice idealizări a unui sistem fizic real. Proprietățile unui oscilator armonic sunt modificate calitativ de mici perturbații. De exemplu, dacă adăugăm un termen mic în partea dreaptă − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\dot (x)))(frecare) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- un parametru mic), atunci obținem oscilații amortizate exponențial dacă schimbăm semnul termenului suplimentar (ε x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\dot (x)))) atunci frecarea se va transforma în pompare și amplitudinea oscilației va crește exponențial.

Pentru a rezolva problema aplicabilității unui model rigid, este necesar să înțelegem cât de importanți sunt factorii pe care i-am neglijat. Este necesar să se investigheze modele moi obținute printr-o mică perturbare a celui rigid. Pentru un oscilator armonic, acestea pot fi date, de exemplu, prin următoarea ecuație:

m x ¨ = - k x + ε f (x , x ˙) (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\dot (x)))).

Aici f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\dot (x))))- o anumită funcție care poate lua în considerare forța de frecare sau dependența coeficientului de rigiditate a arcului de gradul de întindere a acestuia. Forma explicită a unei funcții f (\displaystyle f) nu ne intereseaza momentan.

Dacă demonstrăm că comportamentul unui model soft nu diferă fundamental de cel al unui model hard (indiferent de forma explicită a factorilor perturbatori, dacă aceștia sunt suficient de mici), problema se va reduce la studierea modelului hard. În caz contrar, aplicarea rezultatelor obținute în studiul modelului rigid va necesita cercetări suplimentare.

Dacă un sistem își păstrează comportamentul calitativ sub o mică perturbare, se spune că este stabil din punct de vedere structural. Oscilatorul armonic este un exemplu de sistem instabil din punct de vedere structural (negru). Cu toate acestea, acest model poate fi folosit pentru a studia procese pe intervale de timp limitate.

Universalitatea modelelor

Cele mai importante modele matematice au de obicei proprietatea importantă universalitate: fenomene reale fundamental diferite pot fi descrise de același model matematic. De exemplu, un oscilator armonic descrie nu numai comportamentul unei sarcini pe un arc, ci și alte procese oscilatorii, adesea de o natură complet diferită: mici oscilații ale unui pendul, fluctuații ale nivelului lichidului în U (\displaystyle U)-vas în formă sau o modificare a puterii curentului în circuitul oscilator. Astfel, studiind un model matematic, studiem deodată o întreagă clasă de fenomene descrise de acesta. Este acest izomorfism al legilor exprimat prin modele matematice în diferite segmente cunoștințe științifice, isprava lui Ludwig von Bertalanffy de a crea „teoria generală a sistemelor”.

Probleme directe și inverse de modelare matematică

Există multe probleme asociate modelării matematice. În primul rând, este necesar să se vină cu schema de bază a obiectului modelat, să o reproducă în cadrul idealizărilor acestei științe. Deci, un vagon se transformă într-un sistem de plăci și corpuri mai complexe din materiale diferite, fiecare material fiind specificat ca idealizare mecanică standard (densitate, module elastice, caracteristici standard de rezistență), după care se întocmesc ecuații, pe parcurs. unele detalii sunt aruncate ca nesemnificative, se fac calcule, se compară cu măsurători, modelul este rafinat și așa mai departe. Cu toate acestea, pentru dezvoltarea tehnologiilor de modelare matematică, este utilă dezasamblarea acestui proces în principalele sale elemente constitutive.

În mod tradițional, există două clase principale de probleme asociate modelelor matematice: directe și inverse.

Problemă directă: structura modelului și toți parametrii acestuia sunt considerați cunoscuți, sarcina principală este studierea modelului pentru a extrage cunoștințe utile despre obiect. Ce sarcină statică poate rezista podul? Cum va reacționa la o sarcină dinamică (de exemplu, la marșul unei companii de soldați sau la trecerea unui tren cu viteze diferite), cum va depăși avionul bariera sonoră, dacă se va destrăma de flutter - acestea sunt exemple tipice de sarcină directă. Stabilirea corectă a problemei directe (a pune întrebarea corectă) necesită abilități speciale. Dacă nu se pun întrebările potrivite, podul se poate prăbuși, chiar dacă s-a construit un model bun pentru comportamentul său. Deci, în 1879, în Marea Britanie, un pod feroviar metalic s-a prăbușit peste Firth of Tay, ai cărui proiectanți au construit un model de pod, l-au calculat pentru o marjă de siguranță de 20 de ori pentru sarcina utilă, dar au uitat de vânturile care suflau constant. acele locuri. Și după un an și jumătate s-a prăbușit.

În cel mai simplu caz (ecuația unui oscilator, de exemplu), problema directă este foarte simplă și se reduce la o soluție explicită a acestei ecuații.

Problemă inversă: sunt multe modele posibile, trebuie sa alegi model specific pe baza unor date suplimentare despre obiect. Cel mai adesea, structura modelului este cunoscută și trebuie determinați niște parametri necunoscuți. Informațiile suplimentare pot consta în date empirice suplimentare sau în cerințele pentru obiect ( sarcina de proiectare). Date suplimentare pot veni indiferent de procesul de rezolvare a problemei inverse ( observație pasivă) sau să fie rezultatul unui experiment special planificat în timpul soluționării ( supraveghere activă).

Unul dintre primele exemple de soluție virtuoasă a unei probleme inverse cu cea mai deplină utilizare posibilă a datelor disponibile a fost metoda lui Newton pentru reconstrucția forțelor de frecare din oscilațiile amortizate observate.

Un alt exemplu este statistica matematică. Sarcina acestei științe este dezvoltarea unor metode de înregistrare, descriere și analiză a datelor observaționale și experimentale pentru a construi modele probabilistice ale fenomenelor aleatorii de masă. Adică, setul de modele posibile este limitat de modele probabilistice. În problemele specifice, setul de modele este mai limitat.

Sisteme de simulare pe calculator

Pentru a sprijini modelarea matematică, au fost dezvoltate sisteme de matematică pe computer, de exemplu, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim etc. Acestea vă permit să creați modele formale și bloc ale proceselor și dispozitivelor atât simple, cât și complexe și să modificați cu ușurință parametrii modelului în timpul simulare. Modele bloc sunt reprezentate prin blocuri (cel mai adesea grafice), ale căror seturi și conexiuni sunt specificate de diagrama modelului.

Exemple suplimentare

Modelul Malthus

Conform modelului propus de Malthus, rata de creștere este proporțională cu dimensiunea actuală a populației, adică este descrisă de ecuația diferențială:

x ˙ = α x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha x),

Unde α (\displaystyle \alpha)- un parametru determinat de diferența dintre natalitatea și rata mortalității. Soluția acestei ecuații este funcția exponențială x (t) = x 0 e α t (\displaystyle x(t)=x_(0)e^(\alpha t)). Dacă natalitatea depășește rata mortalității ( α > 0 (\displaystyle \alpha >0)), dimensiunea populației este nelimitată și crește foarte rapid. În realitate, acest lucru nu se poate întâmpla din cauza resurselor limitate. Când este atinsă o anumită dimensiune critică a populației, modelul încetează să fie adecvat, deoarece nu ține cont de resursele limitate. O rafinare a modelului Malthus poate servi ca model logistic, care este descris de ecuația diferențială Verhulst:

x ˙ = α (1 − x x s) x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha \left(1-(\frac (x)(x_(s)))\right)x),

unde este dimensiunea populației „de echilibru”, la care natalitatea este exact compensată de rata mortalității. Mărimea populației într-un astfel de model tinde spre valoarea de echilibru x s (\displaystyle x_(s)), iar acest comportament este stabil din punct de vedere structural.

sistem prădător-pradă

Să presupunem că într-o anumită zonă trăiesc două tipuri de animale: iepuri (care mănâncă plante) și vulpi (care mănâncă iepuri). Lasă numărul de iepuri x (\displaystyle x), numărul de vulpi y (\displaystyle y). Folosind modelul Malthus cu corecțiile necesare, ținând cont de mâncarea iepurilor de către vulpi, ajungem la următorul sistem, care poartă numele Model Tavi - Volterra:

( x ˙ = (α − cy) xy ˙ = (− β + dx) y (\displaystyle (\begin(cases)(\dot (x))=(\alpha -cy)x\\(\dot (y) ))=(-\beta +dx)y\end(cases)))

Comportamentul acestui sistem nu este stabil din punct de vedere structural: o mică modificare a parametrilor modelului (de exemplu, luând în considerare resursele limitate necesare iepurilor) poate duce la o schimbare calitativă a comportamentului.

Pentru unele valori ale parametrilor, acest sistem are o stare de echilibru când numărul de iepuri și vulpi este constant. Abaterea de la această stare duce la fluctuații atenuate treptat ale numărului de iepuri și vulpi.

Este posibilă și situația inversă, când orice mică abatere de la poziția de echilibru va duce la consecințe catastrofale, până la dispariția completă a uneia dintre specii. La întrebarea care dintre aceste scenarii este implementat, modelul Volterra-Lotka nu oferă un răspuns: aici sunt necesare cercetări suplimentare.

Vezi si

Note

„O reprezentare matematică a realității” (Encyclopaedia Britanica)
Novik I.B., Despre chestiuni filozofice ale modelării cibernetice. M., Cunoașterea, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelare sisteme: Proc. pentru universități - ed. a III-a, revizuită. si suplimentare - M.: Mai sus. şcoală, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mihailov A. P. Modelare matematică. Idei. Metode. Exemple. - Ed. a II-a, corectată. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
Myshkis A.D., Elemente de teoria modelelor matematice. - Ed. a 3-a, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 cu ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A. G. Modelarea proceselor tehnologice: manual / A. G. Sevostyanov, P. A. Sevostyanov. - M.: Ușor și industria alimentară, 1984. - 344 p.
Rotach V.Ya. Teoria controlului automat. - primul. - M. : CJSC „Editura MPEI”, 2008. - S. 333. - 9 p. - ISBN 978-5-383-00326-8.
Model Reducere și Coarse-Graining Abordări pentru fenomene la scară multiplă(Engleză) . Springer, seria Complexitate, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 p. ISBN 3-540-35885-4. Consultat la 18 iunie 2013. Arhivat din original pe 18 iunie 2013.
„O teorie este considerată a fi liniară sau neliniară, oricare dintre acestea - liniară sau neliniară - aparate matematice, care - liniare sau neliniare - modele matematice pe care le folosește. ... fără a nega aceasta din urmă. Un fizician modern, dacă s-ar întâmpla să redefinească o entitate atât de importantă ca neliniaritate, cel mai probabil ar acționa diferit și, preferând neliniaritatea ca fiind cea mai importantă și comună dintre cele două opuse, ar defini liniaritatea ca „non-non- liniaritate”. Danilov Yu. A., Prelegeri despre dinamica neliniară. Introducere elementară. Sinergetice: de la trecut la seria viitor. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
„Sistemele dinamice modelate printr-un număr finit de ecuații diferențiale obișnuite sunt numite sisteme concentrate sau puncte. Ele sunt descrise folosind un spațiu de fază cu dimensiuni finite și sunt caracterizate de un număr finit de grade de libertate. Unul și același sistem în condiții diferite poate fi considerat fie concentrat, fie distribuit. Modelele matematice ale sistemelor distribuite sunt ecuatii diferentialeîn derivate parțiale, ecuații integrale sau ecuații obișnuite cu o ceartă întârziată. Numărul de grade de libertate ale unui sistem distribuit este infinit și este necesar un număr infinit de date pentru a determina starea acestuia.
Anishchenko V.S., Sisteme dinamice, Jurnalul Educațional Soros, 1997, nr. 11, p. 77-84.
„În funcție de natura proceselor studiate în sistemul S, toate tipurile de modelare pot fi împărțite în deterministă și stocastică, statică și dinamică, discretă, continuă și discret-continuă. Modelarea deterministă prezintă procese deterministe, adică procese în care se presupune absența oricăror influențe aleatorii; modelarea stocastică afișează procese și evenimente probabilistice. … Modelarea statică este folosită pentru a descrie comportamentul unui obiect în orice moment în timp, în timp ce modelarea dinamică reflectă comportamentul unui obiect în timp. Modelarea discretă servește pentru a descrie procesele care se presupune că sunt discrete, respectiv, modelarea continuă vă permite să reflectați procesele continue în sisteme, iar modelarea discret-continuă este utilizată pentru cazurile în care doriți să evidențiați prezența atât a proceselor discrete, cât și a celor continue.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelare sisteme: Proc. pentru universități - ed. a III-a, revizuită. si suplimentare - M.: Mai sus. şcoală, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
De obicei, modelul matematic reflectă structura (dispozitivul) obiectului care se modelează, proprietățile și interconexiunile componentelor acestui obiect care sunt esențiale pentru scopurile studiului; un astfel de model se numește structural. Dacă modelul reflectă doar modul în care funcționează obiectul - de exemplu, cum reacționează la influențele externe - atunci se numește o cutie funcțională sau, la figurat, o cutie neagră. Sunt posibile și modele combinate. Myshkis A.D., Elemente de teorie modele matematice. - Ed. a 3-a, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 p.

În articolul adus în atenție, vă oferim exemple de modele matematice. În plus, vom acorda atenție etapelor creării modelelor și vom analiza unele dintre problemele asociate modelării matematice.

O altă problemă a noastră este modelele matematice în economie, exemple ale cărora vom lua în considerare o definiție puțin mai târziu. Ne propunem să începem conversația cu însuși conceptul de „model”, să luăm în considerare pe scurt clasificarea acestora și să trecem la întrebările noastre principale.

Conceptul de „model”

Auzim adesea cuvântul „model”. Ce este? Acest termen are multe definiții, iată doar trei dintre ele:

un obiect specific care este creat pentru a primi și stoca informații, reflectând unele proprietăți sau caracteristici și așa mai departe, ale originalului acestui obiect (acest obiect specific poate fi exprimat în formă diferită: mental, descriere folosind semne și așa mai departe);
un model înseamnă, de asemenea, o afișare a oricărei situații specifice, viață sau management;
o copie mică a unui obiect poate servi drept model (sunt create pentru un studiu și o analiză mai detaliată, deoarece modelul reflectă structura și relațiile).

Pe baza a tot ceea ce s-a spus mai devreme, putem trage o mică concluzie: modelul vă permite să studiați în detaliu sistem complex sau un obiect.

Toate modelele pot fi clasificate în funcție de o serie de caracteristici:

după domeniul de utilizare (educațional, experimental, științific și tehnic, joc, simulare);
după dinamică (statică și dinamică);
pe ramură de cunoaștere (fizică, chimică, geografică, istorică, sociologică, economică, matematică);
după modalitatea de prezentare (materială şi informaţională).

Modelele informaționale, la rândul lor, sunt împărțite în semne și verbale. Și iconic - pe computer și non-computer. Acum să trecem la o analiză detaliată a exemplelor unui model matematic.

Model matematic

După cum ați putea ghici, un model matematic reflectă unele caracteristici ale unui obiect sau fenomen folosind simboluri matematice speciale. Matematica este necesară pentru a modela legile lumii în limbajul său specific.

Metoda de modelare matematică a apărut cu mult timp în urmă, cu mii de ani în urmă, odată cu apariția acestei științe. Cu toate acestea, imboldul pentru dezvoltare aceasta metoda modelarea a dat naștere calculatoarelor (calculatoare electronice).

Acum să trecem la clasificare. Poate fi efectuată și după unele semne. Ele sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Ne propunem să ne oprim și să aruncăm o privire mai atentă asupra ultimei clasificări, deoarece reflectă tiparele generale de modelare și obiectivele modelelor create.

Modele descriptive

În acest capitol, ne propunem să ne oprim mai în detaliu asupra modelelor matematice descriptive. Pentru a clarifica totul, se va da un exemplu.

Pentru început, această vedere poate fi numită descriptivă. Acest lucru se datorează faptului că pur și simplu facem calcule și prognoze, dar nu putem influența în niciun fel rezultatul evenimentului.

Un exemplu viu de model matematic descriptiv este calculul traiectoriei de zbor, viteza, distanța față de Pământ a unei comete care a invadat întinderile noastre. sistem solar. Acest model este descriptiv, deoarece toate rezultatele obținute nu pot decât să ne avertizeze asupra unui fel de pericol. Din păcate, nu putem influența rezultatul evenimentului. Cu toate acestea, pe baza calculelor obținute, este posibil să se ia orice măsuri pentru a conserva viața pe Pământ.

Modele de optimizare

Acum vom vorbi puțin despre modele economice și matematice, exemple ale cărora pot fi diverse situații actuale. În acest caz, vorbim despre modele care ajută la găsirea răspunsului potrivit în anumite condiții. Trebuie să aibă niște parametri. Pentru a fi foarte clar, luați în considerare un exemplu din partea agrară.

Avem un grânar, dar boabele se strică foarte repede. În acest caz, trebuie să alegem regimul potrivit de temperatură și să optimizăm procesul de depozitare.

Astfel, putem defini conceptul de „model de optimizare”. În sens matematic, acesta este un sistem de ecuații (atât liniare, cât și nu), a cărui soluție ajută la găsirea soluției optime într-o anumită situație economică. Am luat în considerare un exemplu de model matematic (optimizare), dar aș dori să mai adaug un lucru: acest tip aparține clasei problemelor extreme, ele ajută la descrierea funcționării sistemului economic.

Mai remarcăm o nuanță: modelele pot fi de altă natură (vezi tabelul de mai jos).

Modele multicriteriale

Acum vă invităm să vorbiți puțin despre modelul matematic al optimizării multiobiective. Înainte de asta, am dat un exemplu de model matematic pentru optimizarea unui proces în funcție de orice criteriu, dar dacă există o mulțime de ele?

Un exemplu izbitor de sarcină multicriterială este organizarea unei alimentații adecvate, sănătoase și în același timp economice a unor grupuri mari de oameni. Astfel de sarcini sunt adesea întâlnite în armată, cantine școlare, tabere de vară, spitale și așa mai departe.

Ce criterii ne sunt date în această sarcină?

Mâncarea ar trebui să fie sănătoasă.
Cheltuielile cu mâncarea ar trebui să fie reduse la minimum.

După cum puteți vedea, aceste obiective nu coincid deloc. Aceasta înseamnă că la rezolvarea unei probleme este necesar să se caute soluția optimă, un echilibru între cele două criterii.

Modele de jocuri

Vorbind despre modelele de joc, este necesar să înțelegem conceptul de „teoria jocurilor”. Mai simplu spus, aceste modele reflectă modele matematice ale conflictelor reale. Merită doar să înțelegem că, spre deosebire de un conflict real, un model matematic de joc are propriile reguli specifice.

Acum voi da un minim de informații din teoria jocurilor, care vă vor ajuta să înțelegeți ce este un model de joc. Și așa, în model există neapărat petreceri (două sau mai multe), care se numesc de obicei jucători.

Toate modelele au anumite caracteristici.

Modelul de joc poate fi pereche sau multiplu. Dacă avem două subiecte, atunci conflictul este pereche, dacă mai mult - multiplu. Se poate distinge și un joc antagonist, se mai numește și joc cu sumă zero. Acesta este un model în care câștigul unuia dintre participanți este egal cu pierderea celuilalt.

modele de simulare

ÎN aceasta sectiune ne vom îndrepta atenția asupra modelelor matematice de simulare. Exemple de sarcini sunt:

modelul dinamicii numărului de microorganisme;
modelul mișcării moleculare și așa mai departe.

În acest caz, vorbim despre modele cât mai apropiate de procesele reale. În mare, ei imită orice manifestare din natură. În primul caz, de exemplu, putem modela dinamica numărului de furnici dintr-o colonie. În acest caz, puteți observa soarta fiecărui individ. În acest caz, descrierea matematică este rar folosită, mai des există condiții scrise:

după cinci zile, femela depune ouă;
după douăzeci de zile furnica moare și așa mai departe.

Astfel, sunt folosite pentru a descrie un sistem mare. Concluzia matematică este prelucrarea datelor statistice primite.

Cerințe

Este foarte important de stiut ca exista cateva cerinte pentru acest tip de model, printre care se numara si cele date in tabelul de mai jos.

Versatilitate	Această proprietate vă permite să utilizați același model atunci când descrieți grupuri de obiecte de același tip. Este important de menționat că modelele matematice universale sunt complet independente de natura fizică a obiectului studiat.
Adecvarea	Aici este important să înțelegem că această proprietate permite reproducerea cât mai corectă a proceselor reale. În problemele de operare, această proprietate a modelării matematice este foarte importantă. Un exemplu de model este procesul de optimizare a utilizării unui sistem de gaz. În acest caz, se compară indicatorii calculați și cei efectivi, ca urmare, se verifică corectitudinea modelului compilat.
Precizie	Această cerință implică coincidența valorilor pe care le obținem la calcularea modelului matematic și a parametrilor de intrare ai obiectului nostru real.
economie	Cerința de economie pentru orice model matematic se caracterizează prin costuri de implementare. Dacă lucrarea cu modelul este efectuată manual, atunci este necesar să se calculeze cât timp va dura rezolvarea unei probleme folosind acest model matematic. Dacă vorbim de proiectare asistată de computer, atunci se calculează indicatorii de timp și de memorie a computerului

Etape de modelare

În total, se obișnuiește să se distingă patru etape în modelarea matematică.

Formularea legilor care leagă părți ale modelului.
Studiul problemelor matematice.
Aflarea coincidentei rezultatelor practice si teoretice.
Analiza si modernizarea modelului.

Model economic și matematic

În această secțiune, vom evidenția pe scurt problema. Exemple de sarcini pot fi:

formarea unui program de producție pentru producerea produselor din carne, asigurând profitul maxim al producției;
maximizarea profitului organizației prin calcularea numărului optim de mese și scaune care urmează să fie produse într-o fabrică de mobilă etc.

Modelul economico-matematic reflectă abstractizarea economică, care se exprimă folosind termeni matematici si semne.

Model matematic pe calculator

Exemple de model matematic pe calculator sunt:

sarcini hidraulice folosind diagrame, diagrame, tabele și așa mai departe;
sarcini pentru mecanici corp solid, etc.

Un model de calculator este o imagine a unui obiect sau sistem, prezentată ca:

Mese;
diagrame bloc;
diagrame;
grafică și așa mai departe.

În același timp, acest model reflectă structura și interconexiunile sistemului.

Construirea unui model economic și matematic

Am vorbit deja despre ce este un model economico-matematic. Un exemplu de rezolvare a problemei va fi luat în considerare chiar acum. Trebuie să analizăm programul de producție pentru a identifica rezerva pentru creșterea profiturilor cu o schimbare a sortimentului.

Nu vom analiza pe deplin problema, ci doar construim un model economic și matematic. Criteriul sarcinii noastre este maximizarea profitului. Atunci funcția are forma: Л=р1*х1+р2*х2… tinzând la maxim. În acest model, p este profitul pe unitate, x este numărul de unități produse. În plus, pe baza modelului construit, este necesar să se facă calcule și să rezumați.

Un exemplu de construire a unui model matematic simplu

O sarcină. Pescarul s-a întors cu următoarea captură:

8 pești - locuitori ai mărilor nordice;
20% din captură - locuitorii mărilor sudice;
nu s-a găsit niciun pește din râul local.

Câți pești a cumpărat de la magazin?

Deci, un exemplu de construire a unui model matematic al acestei probleme este următorul. Notăm numărul total de pești cu x. După condiție, 0,2x este numărul de pești care trăiesc în latitudinile sudice. Acum combinăm toate informațiile disponibile și obținem un model matematic al problemei: x=0,2x+8. Rezolvăm ecuația și obținem răspunsul la întrebarea principală: 10 pești pe care i-a cumpărat din magazin.

Nu există încă o terminologie standardizată și este puțin probabil să apară, deoarece în întreaga istorie a modelării matematice există foarte multe un numar mare de oamenii de știință s-au ocupat de acest subiect.

Modelarea matematică este utilizată în diverse sfere ale vieții umane. Cum ar fi, de exemplu: matematică, biochimie, medicină și așa mai departe.

Definiția unui model matematic dat de A.D. Mishkis.

Să examinăm valoarea totală S a proprietăților unui anumit obiect A (obiect: sistem, situație, fenomen, proces și așa mai departe). De ce construim un obiect matematic A" - o relație aritmetică, figură geometrică, un sistem de ecuații etc., al cărui studiu prin intermediul matematicii ar trebui să ofere răspunsuri la întrebările puse despre proprietățile S. În acest caz, obiectul matematic A „se numește modelul matematic al obiectului A cu privire la la setul de proprietăți S. În definiție, arată clar nu numai că obiectele A și A" au o natură diferită, ci și faptul că A" este determinat nu numai de originalul A în sine, ci și de totalitatea proprietăților sale studiate S. Atunci, dacă efectuăm două studii ale aceluiași obiect A în raport cu două seturi diferite S1 și S2 ale proprietăților sale, atunci modelele matematice corespunzătoare " și " A1 A2 pot fi complet diferite. Din acest studiu, urmează prima proprietate a modelelor matematice - multiplicitatea lor.Remarcăm că aici ne referim nu numai la multiplicitatea modelelor asociate ierarhiei lor, ci la rezultatul generat de necesitatea studierii sistemelor,... S1 S2 proprietățile sale.

De exemplu, unul și același nor masiv de cumulus poate fi considerat atât din punctul de vedere al generării de curenți de aer descendenți, care sunt distribuite mai departe pe suprafața pământului și sunt percepuți de noi ca o rafală de vânt înainte de apariția ploilor abundente. , și ca zonă de mare activitate electrică a atmosferei. Toată această manifestare a obiectului prezintă un pericol mare pentru zborul aeronavei. Curenții descendenți sunt periculoase în timpul etapelor de decolare și aterizare, din cauza unei schimbări semnificative a mărimii forței subterane a aripii aeronavei (o schimbare bruscă a direcției vitezei vântului de la cap la coadă). Puternicul câmpuri electrice poate crea o scurgere electricitate atmosferică(fulger), al cărui impact asupra aeronavei poate duce la o defecțiune completă sau parțială a echipamentului radio-electronic de la bordul aeronavei. Este clar că în primul caz, pentru model se folosesc ecuațiile aerohidrodinamicii și se studiază domeniul vitezelor de curgere a aerului (un model matematic față de setul de caracteristici S1). În al doilea caz, se studiază structura electrică a norului și se construiește un model electrodinamic (față de setul de caracteristici S2).

A doua, cea mai importantă proprietate este unitatea modelelor matematice. Faptul important este că diversele sisteme reale sau modelele de conținut ale acestora pot avea același model matematic.

Semnificativă în teoria modelării matematice este coordonarea constantă a tuturor aspectelor construirii unui model cu sarcinile și obiectivele studiului. Prin urmare, evidențiem câteva caracteristici care sunt esențiale pentru cercetare sisteme mecaniceși procese.

În primul rând, factorii care determină astfel de obiecte sunt caracterizați ca cantități măsurabile - parametri.

În al doilea rând, astfel de modele se bazează pe ecuații care descriu legile fundamentale ale naturii (mecanica) care nu au nevoie de revizuire și rafinare. Chiar și modelele private gata făcute ale fenomenelor individuale utilizate în pregătirea celor mai generale sunt bine formulate și descrise în termeni de condiții și domenii de aplicare.

În al treilea rând, un obstacol imens în dezvoltarea modelelor de sisteme și procese mecanice este descrierea caracteristici cunoscute obiect, atât funcțional, cât și numeric.

În al patrulea rând, cerințele actuale pentru astfel de modele duc la necesitatea de a lua în considerare mulți factori care afectează comportamentul unui obiect, nu doar cei care au legătură cu legile naturii cunoscute. Toate aceste caracteristici conduc la faptul că modelele de sisteme și procese mecanice aparțin în principal clasei matematice.

Modelele matematice se bazează pe descrierea matematică a obiectului. Descrierea matematică, desigur, în primul rând, include relația dintre parametrii obiectului, care îi caracterizează trăsăturile de funcționare. Astfel de relații pot fi reprezentate ca:

Figura 2.1.1 - Relații dintre parametrii obiectului

Primele patru dintre aceste tipuri au o denumire generală: dependențe analitice.

Descrierea matematică include nu numai relația dintre elementele și parametrii obiectului (regularități și legi), ci și un set complet de date funcționale și numerice ale obiectului (caracteristici; condiții inițiale, de limită, finale; restricții), precum și ca metode de calcul a parametrilor de ieşire ai modelului. Adică, o descriere matematică este un set complet de funcții, metode, date de calcul care vă permite să obțineți un rezultat.

Cu toate acestea, un model matematic poate să nu includă o parte din descrierea matematică (cel mai adesea unele date inițiale), dar în plus față de aceasta, descrieri ale tuturor ipotezelor utilizate pentru a-l construi, precum și algoritmi pentru transferul datelor inițiale și de ieșire din model la original și invers, trebuie să fie conținut.

Figura 2.1.2 - Descrierea matematică a modelului

Ca o completare la clasificare, modelele matematice, în funcție de natura obiectului, sarcinile care se rezolvă și metodele utilizate, pot diferi în următoarele tipuri:

- calcul (algoritmi, nomograme, formule, grafice, tabele);

– relevant (exemplu: model în tunel de vantși zborul efectiv al aeronavei în atmosferă);

– asemănătoare (parametri proporționali corespunzători și descrieri matematice identice);

- neliniar și liniar (descris prin funcții care conțin parametrii principali doar la puterea 0 și 1, sau prin orice tipuri de funcții),

– nestaționar și staționar (în funcție sau independent de timp),

- discret sau continuu,

- stocastică sau deterministă (probabilistă, lipsită de ambiguitate sau exactă: modele de așteptare, simulare etc.),

– neclar și clar (exemple seturi neclare: aproximativ 10; adânc sau superficial; bun sau rău).

Bazat evenimente istorice S-a întâmplat că, după modelul matematic, uneori ele înseamnă doar unul un fel special modele care conțin doar o descriere matematică directă fără ambiguitate sub formă de algoritmi de calcul sau dependențe analitice - adică un model matematic determinist, cu ajutorul căruia, cu aceleași date inițiale, se poate obține doar unul și același rezultat. Modelele deterministe care stabilesc o conexiune cu parametrii originalului folosind coeficienți de proporționalitate, toți egali simultan cu unul, au devenit larg răspândite. Este firesc să considerăm descrierea matematică folosită de un astfel de model ca o descriere a originalului în sine - această afirmație este adevărată: în acest caz, modelul și originalul au o descriere matematică comună. În condiții de atâta simplitate aparentă, un inginer fără experiență percepe și modelul nu mai ca pe un model, ci ca pe un original. Cu toate acestea, un astfel de model matematic este doar un model cu toate simplificările, convențiile, abstracțiile, ipotezele care stau la baza acestuia. Există dorința de a „simplifica” procesul de modelare de înaltă calitate, ceea ce este în general imposibil, deoarece modelul fie corespunde originalului, fie nu există deloc. O atitudine neglijentă față de aceasta duce la multe concluzii eronate în cercetarea aplicată, iar rezultatele obținute nu corespund cu starea reală a lucrurilor.

Modelele de simulare sunt prezentate ca un antipod al modelelor deterministe.

Modelele de simulare (stochastice) sunt modele matematice ale unor astfel de originale, pentru elemente individuale ale cărora nu există o formă analitică a unei descrieri matematice. Descrierea matematică a modelelor de simulare conține o descriere a proceselor aleatorii (stochastice). Ca o astfel de descriere, sunt prezentate diverse forme de legi de distribuție, care pot fi compilate pe baza prelucrare statistică rezultatele observării originalului.

În descrierea matematică a modelelor de simulare, în plus față de legile de distribuție variabile aleatoare, care descriu fenomenul, pot include o descriere a relațiilor variabilelor aleatoare (de exemplu, folosind modele de teorie a cozii), precum și un algoritm de testare statistică (metoda Monte Carlo pentru implementarea elementare evenimente aleatorii). Rezultă că modelele de simulare utilizează aparatul matematic al teoriei probabilităților: statistica matematică, teoria cozilor și metoda testelor statistice.

Definirea modelului matematic

Un factor important care determină rolul matematicii în diverse aplicații este capacitatea de a descrie cele mai esențiale trăsături și proprietăți ale obiectului studiat în limbajul simbolurilor și relațiilor matematice. O astfel de descriere se numește modelare sau formalizare matematică.

Definiția 1.model matematic un obiect (fenomen) real este schema lui simplificată, idealizată, întocmită cu ajutorul simbolurilor și operațiilor (rapoarte) matematice.

Pentru a construi un model matematic al unei sarcini economice specifice (problemă), se recomandă efectuarea următoarei secvențe de lucru:

1. Definirea valorilor cunoscute și necunoscute, precum și condițiile și premisele existente (ce este dat și ce trebuie găsit?);

2. Identificare factori critici Probleme;

3. Identificarea parametrilor gestionați și negestionați;

4. Descriere matematică prin ecuații, inegalități, funcții și alte relații de relații între elementele modelului (parametri, variabile), pe baza conținutului problemei luate în considerare.

Sunt luați în considerare parametrii cunoscuți ai problemei în raport cu modelul ei matematic extern(dat a priori, adică înainte de construirea modelului). În literatura economică se numesc variabile exogene. Valoarea variabilelor inițial necunoscute este calculată ca urmare a studierii modelului, prin urmare, în raport cu modelul, acestea sunt considerate intern. În literatura economică se numesc variabile endogene.

Din punct de vedere al scopului, se poate distinge modele descriptiveȘi modele de luare a deciziilor. Modele descriptive reflectă conținutul și proprietățile de bază ale obiectelor economice ca atare. Cu ajutorul lor, se calculează valorile numerice ale factorilor și indicatorilor economici.

Modelele de decizie ajută la găsirea celor mai bune opțiuni pentru indicatorii planificați sau deciziile de management. Dintre acestea, cele mai puțin complexe sunt modelele de optimizare, care descriu (simulează) sarcini de tip planificare, iar cele mai complexe sunt modelele de joc care descriu probleme de natură conflictuală, ținând cont de intersecția diferitelor interese. Aceste modele diferă de cele descriptive prin faptul că au capacitatea de a alege valorile parametrilor de control (ceea ce nu este cazul în modelele descriptive).

Arborele decizional general

În economia matematică, este dificil de supraestimat rolul modelelor de decizie. Cele mai frecvent utilizate sunt cele care reduc problemele inițiale de planificare optimă a producției, distribuirea rațională a resurselor limitate și activitatea eficientă a entităților economice la probleme extreme, probleme de control optim și probleme de joc. Ce este structura generala astfel de modele?

Orice sarcină de luare a deciziilor se caracterizează prin prezența unei persoane sau a unor persoane care urmăresc anumite scopuri și au anumite oportunități pentru aceasta. Prin urmare, pentru a identifica elementele principale ale modelului decizional, este necesar să se răspundă la următoarele întrebări:

џ cine ia decizia?

џ Care sunt obiectivele luării deciziilor?

џ Ce este luarea deciziilor?

џ care este setul Opțiuni atigerea scopului?

џ în ce condiții se ia decizia?

Deci, înaintea noastră este o anumită sarcină generală de a lua o decizie. Pentru a-și construi schema formală (modelul), introducem notația generală.

scrisoare N desemnează ansamblul tuturor părților decizionale. Lasa N=(1,2,...,n), acestea. există un total de n participanți identificați doar prin numere. Fiecare element este numit factor de decizie (DM). (de exemplu, o persoană, o firmă, un organism de planificare de o mare preocupare, guverne etc.).

Să presupunem că setul tuturor soluțiilor fezabile (alternative, strategii) ale fiecărui decident este anterior studiat și descris matematic (de exemplu, sub forma unui sistem de inegalități). Să le notăm prin X 1 , X 2 ,..., X n . După aceea, procesul de luare a deciziilor de către toți factorii de decizie se reduce la următorul act formal: fiecare decident alege un element anume din setul său de decizii admisibile,..., . Rezultă o mulțime x = (x1,...,xn) de soluții alese, pe care o numim situație.

Pentru a evalua situația x din punctul de vedere al scopurilor urmărite de decident, se construiesc funcții f 1 ,..., f n (numite funcții obiective sau criterii de calitate) care atribuie x scoruri numerice fiecărei situații f 1 (x),..., f n (X)(de exemplu, venitul firmelor în situația x, sau costurile acestora etc.). Apoi obiectivul i factorul de decizie este formalizat astfel: alegeți propria soluție astfel încât într-o situație x = (x 1 ,...,X n ) număr f i (X) să fie cât mai mare (sau cât mai mică). Cu toate acestea, atingerea acestui obiectiv depinde de el, în parte, datorită prezenței altor părți care influențează situatie generala x pentru a-și atinge propriile obiective. Acest fapt de intersectare a intereselor (conflict) se reflectă în faptul că funcția f i in afara de asta X i depinde de alte variabile X j (j i). Prin urmare, în modelele de luare a deciziilor cu mulți participanți, obiectivele lor trebuie să fie formalizate diferit decât maximizarea sau minimizarea valorilor funcției. f i (X).În sfârșit, să putem descrie matematic toate condițiile în care se ia decizia. (descrierea relațiilor dintre variabilele controlate și necontrolate, descrierea influenței factorilor aleatori, luarea în considerare a caracteristicilor dinamice etc.). Pentru simplitate, totalitatea tuturor acestor condiții va fi notată cu un simbol.

Astfel, schema generală a problemei de decizie poate arăta astfel:

Precizând elementele modelului (1.6.1.), Precizând caracteristicile și proprietățile acestora, se poate obține una sau alta clasă specifică de modele de decizie. Deci, dacă în (1.6.1.) N este format dintr-un singur element (n=1), iar toate condițiile și premisele problemei reale originale pot fi descrise ca un set de soluții fezabile pentru acest singur decident, apoi din (1.6.1.) obținem structura problemei de optimizare (extremă):< Х, f >. În această schemă, decidentul poate fi considerat un organism de planificare. Folosind această schemă, puteți scrie probleme extreme de două tipuri:

Dacă factorul timp este luat în considerare în mod explicit într-o problemă extremă, atunci se numește o problemă de control optim. Dacă n 2 , atunci (1.6.1.) este schema generala sarcini de luare a deciziilor într-un conflict, adică în acele situații în care există o intersecție de interese a două sau mai multe părți.

Adesea, decidentul are nu unul, ci mai multe obiective. În acest caz, din (1) obținem o schemă în care toate funcțiile f 1 (x),..., f n (X) definite pe aceeași mulțime X. Astfel de probleme se numesc probleme de optimizare multiobiectivă.

Există clase de probleme de luare a deciziilor care și-au primit numele în funcție de scopul lor: sisteme de așteptare, probleme de gestionare a stocurilor, probleme de rețea și de programare, teoria fiabilității etc.

Dacă elementele modelului (1) nu depind în mod explicit de timp, adică procesul decizional se reduce la un act instantaneu de alegere a unui punct dintr-o mulțime dată, atunci problema se numește static.În caz contrar, adică atunci când luarea deciziilor este un proces discret în mai multe etape sau continuu în timp, sarcina se numește dinamic. Dacă elementele modelului (1) nu conțin variabile aleatoare și fenomene probabilistice, atunci problema se numește deterministă, în caz contrar - stocastică.