Introducere
Teoria probabilității este o știință matematică care studiază tiparele în fenomene aleatorii. Astăzi este o știință cu drepturi depline, care are o mare valoare practică.
Istoria teoriei probabilităților se întoarce la Secolul XVII, când s-au făcut primele încercări de a studia sistematic problemele legate de fenomenele aleatorii de masă, și corespunzătoare aparate matematice. De atunci s-au dezvoltat și aprofundat multe fundamente la conceptele actuale, s-au descoperit alte legi și regularități importante. Mulți oameni de știință au lucrat și lucrează la problemele teoriei probabilităților.
Printre acestea, nu se poate decât să acorde atenție lucrărilor lui Simeon Denis Poisson ((1781–1840) - matematician francez), care a dovedit o formă mai generală a legii numerelor mari decât cea a lui Jacob Bernoulli și, de asemenea, pentru prima dată. a aplicat teoria probabilității la problemele de filmare. Numele lui Poisson este asociat cu una dintre legile distribuției, care joacă un rol important în teoria probabilității și în aplicațiile acesteia.
Numărul de apariții ale unui anumit eveniment aleatoriu pe unitatea de timp, când faptul că apariția acestui eveniment într-un anumit experiment nu depinde de câte ori și în ce momente a avut loc în trecut și nu afectează viitorul. Testele sunt efectuate în condiții staționare, apoi pentru a descrie distribuția unei astfel de variabile aleatoare, se folosește de obicei legea lui Poisson (această distribuție a fost pentru prima dată propusă și publicată de acest om de știință în 1837).
Această lege poate fi descrisă și ca caz limitativ al distribuției binomiale, atunci când probabilitatea p de apariție a evenimentului care ne interesează într-un singur experiment este foarte mică, dar numărul de experimente m efectuate pe unitatea de timp este suficient de mare , și anume astfel încât în procesul p
0 și m produsul mp tinde către o constantă pozitivă (adică mp ).Prin urmare, legea lui Poisson este adesea numită și legea evenimentelor rare.
Distribuția Poisson în teoria probabilităților
Funcții și serii de distribuție
Distribuția Poisson este un caz special al distribuției binomiale (cu n>> 0 și la p–> 0 (evenimente rare)).
Din matematică, se cunoaște o formulă care vă permite să calculați aproximativ valoarea oricărui membru al distribuției binomiale:
Unde A = n · p este parametrul Poisson (așteptările matematice), iar varianța este egală cu așteptarea matematică. Să prezentăm calcule matematice care explică această tranziție. Legea distribuției binomiale
P.m = C n m · p.m· (unu - p)n – m
poate fi scris dacă punem p = A/n, la fel de
pentru că p foarte mic, trebuie luate în considerare doar cifrele m, mic comparativ cu n. Muncă
foarte aproape de unitate. Același lucru este valabil și pentru dimensiune
foarte aproape de e –A. De aici obținem formula:
Numărul Euler (2,71...). ,Pentru funcția generatoare
avem:Funcția de probabilitate de distribuție cumulată este
Un exemplu clasic de variabilă aleatoare distribuită de Poisson este numărul de mașini care trec prin orice secțiune de drum într-o anumită perioadă de timp. De asemenea, puteți observa exemple precum numărul de stele dintr-o secțiune a cerului de o anumită dimensiune, numărul de erori dintr-un text de o anumită lungime, numărul de apeluri telefonice într-un centru de apeluri sau numărul de accesări către un server web într-o anumită perioadă de timp.
Seria de distribuție a unei variabile aleatoare X, distribuită conform legii Poisson, arată astfel:
| x m | 0 | 1 | 2 | … | m | … |
| P.m | e-a | … | … |
Pe fig. 1 prezintă poligoanele distribuției unei variabile aleatoare X conform legii lui Poisson, corespunzătoare diferitelor valori ale parametrului dar.
În primul rând, să ne asigurăm că succesiunea probabilităților poate fi o serie de distribuție, i.e. că suma tuturor probabilităților Rm este egal cu unu.
Folosim extinderea funcției e xîn seria Maclaurin:
Se știe că această serie converge pentru orice valoare X, prin urmare, luând x=a, primim
prin urmare
Caracteristicile numerice ale prevederii privind distribuția Poisson
Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora.
Prin definiție, atunci când o variabilă aleatoare discretă preia set numărabil valori:
Primul termen al sumei (corespunzător m=0 ) este egal cu zero, prin urmare, însumarea poate fi începută de la m=1 :
Astfel, parametrul dar nu este altceva decât așteptarea matematică a unei variabile aleatorii X.
cu exceptia așteptări matematice, poziția variabilei aleatoare este caracterizată prin mod și mediană.
Modul unei variabile aleatoare este valoarea sa cea mai probabilă.
Pentru o cantitate continuă, modul se numește punct maxim local funcții de densitate de probabilitate. Dacă poligonul sau curba de distribuție are un maxim (Fig. 2 a), atunci distribuția se numește unimodală, dacă există mai mult de un maxim, este multimodală (în special, o distribuție care are două moduri se numește bimodală). O distribuție care are un minim se numește antimodală (Fig. 2b)
x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x
Cea mai probabilă valoare a unei variabile aleatoare este modul care oferă probabilitatea maximă globală pentru o variabilă aleatoare discretă sau densitatea distribuției pentru o variabilă aleatoare continuă.
Mediana este valoarea x l care împarte aria de sub graficul densității probabilității în jumătate, adică. mediana este orice rădăcină a ecuației. Așteptarea matematică poate să nu existe, dar mediana există întotdeauna și poate fi ambiguă.
Mediana unei variabile aleatoare
valoarea sa = x med se numește astfel încât P (< x med) = Р ( >x med) = .Caracteristicile numerice ale răspândirii
Dispersia unei variabile aleatoare X se numește așteptarea matematică a pătratului abaterii variabilei aleatoare de la așteptarea sa matematică.
În multe probleme practice, trebuie să se ocupe de variabile aleatoare distribuite după o lege particulară, care se numește legea lui Poisson.
Luați în considerare o variabilă aleatoare discontinuă, care poate lua numai valori întregi, nenegative:
iar succesiunea acestor valori este teoretic nelimitată.
Se spune că o variabilă aleatoare este distribuită conform legii lui Poisson dacă probabilitatea pe care o ia o anumită valoare, este exprimat prin formula
unde a este o valoare pozitivă, numită parametrul legii Poisson.
Seria de distribuție a unei variabile aleatoare , distribuită conform legii lui Poisson, are forma:
În primul rând, să ne asigurăm că succesiunea probabilităților dată de formula (5.9.1) poate fi o serie de distribuție, i.e. că suma tuturor probabilităților este egală cu unu. Avem:
.
Pe fig. 5.9.1 prezintă poligoane de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite conform legii lui Poisson, corespunzătoare diferitelor valori ale parametrului . Tabelul 8 al anexei enumeră valorile pentru diferite .
Să definim principalele caracteristici - așteptarea și varianța matematică - ale unei variabile aleatoare distribuite conform legii Poisson. Prin definiția așteptării matematice
.
Primul termen al sumei (corespunzător cu ) este egal cu zero, prin urmare, însumarea poate fi începută de la:
Să notăm ; apoi
. (5.9.2)
Astfel, parametrul nu este altceva decât așteptarea matematică a unei variabile aleatoare.
Pentru a determina dispersia, găsim mai întâi al doilea moment inițial al mărimii:
Conform celor dovedite anterior
In afara de asta,
Astfel, dispersia unei variabile aleatoare distribuită conform legii Poisson este egală cu așteptarea ei matematică.
Această proprietate a distribuției Poisson este adesea folosită în practică pentru a decide dacă ipoteza că o variabilă aleatoare este distribuită conform legii lui Poisson este plauzibilă. Pentru a face acest lucru, determinați din experiență caracteristicile statistice - așteptarea și varianța matematică - ale unei variabile aleatorii. Dacă valorile lor sunt apropiate, atunci aceasta poate servi drept argument în favoarea ipotezei distribuției Poisson; o diferență accentuată a acestor caracteristici, dimpotrivă, mărturisește împotriva ipotezei.
Pentru o variabilă aleatoare distribuită conform legii lui Poisson, să determinăm probabilitatea ca aceasta să ia o valoare nu mai mică decât una dată. Să notăm această probabilitate:
Evident, probabilitatea poate fi calculată ca sumă
Cu toate acestea, este mult mai ușor să o determinați din probabilitatea evenimentului opus:
(5.9.4)
În special, probabilitatea ca valoarea să ia o valoare pozitivă este exprimată prin formulă
(5.9.5)
Am menționat deja că multe sarcini practice duc la o distribuție Poisson. Luați în considerare una dintre problemele tipice de acest gen.
Punctele să fie distribuite aleatoriu pe axa x Ox (Fig. 5.9.2). Să presupunem că distribuție aleatorie punctele îndeplinesc următoarele condiții:
1. Probabilitatea de a lovi un anumit număr de puncte pe un segment depinde doar de lungimea acestui segment, dar nu depinde de poziția lui pe axa x. Cu alte cuvinte, punctele sunt distribuite pe axa x cu aceeași densitate medie. Să notăm această densitate (adică așteptarea matematică a numărului de puncte pe unitatea de lungime) ca .
2. Punctele sunt distribuite pe axa x independent unele de altele, i.e. probabilitatea ca unul sau alt număr de puncte să cadă pe un anumit segment nu depinde de câte dintre ele cad pe orice alt segment care nu se suprapune cu acesta.
3. Probabilitatea de a lovi o zonă mică de două sau mai multe puncte este neglijabilă în comparație cu probabilitatea de a lovi un punct (această condiție înseamnă imposibilitatea practică a coincidenței a două sau mai multe puncte).
Să evidențiem un anumit segment de lungime pe axa absciselor și să luăm în considerare o variabilă aleatoare discretă - numărul de puncte care se încadrează pe acest segment. Valorile posibile ale cantității vor fi
Deoarece punctele cad pe segment independent unul de celălalt, este teoretic posibil să existe un număr arbitrar de mare dintre ele, de exemplu. seria (5.9.6) continuă la nesfârșit.
Să demonstrăm că variabila aleatoare are legea distribuției Poisson. Pentru a face acest lucru, calculăm probabilitatea ca exact punctele să cadă pe segment.
Să rezolvăm mai întâi o problemă mai simplă. Luați în considerare o mică secțiune pe axa Ox și calculați probabilitatea ca cel puțin un punct să cadă pe această secțiune. Vom argumenta după cum urmează. Așteptarea matematică a numărului de puncte care se încadrează pe această secțiune este în mod evident egală (deoarece există puncte în medie pe unitate de lungime). Conform condiției 3, pentru un segment mic, poate fi neglijată posibilitatea ca două sau mai multe puncte să cadă pe acesta. Prin urmare, așteptarea matematică a numărului de puncte care cad pe site va fi aproximativ egală cu probabilitatea ca un punct să cadă pe el (sau, ceea ce este echivalent în condițiile noastre, cel puțin unul).
Astfel, până la infinitezimal de ordin superior, când putem considera probabilitatea ca un (cel puțin un) punct să cadă pe site egal cu , iar probabilitatea ca niciunul să nu cadă egală cu .
Să folosim acest lucru pentru a calcula probabilitatea de a lovi exact puncte pe segment. Împărțiți segmentul în părți egale de lungime. Să fim de acord să numim un segment elementar „gol” dacă nu conține un singur punct și „ocupat” dacă cel puțin unul a căzut în el. Conform celor de mai sus, probabilitatea ca segmentul să fie „ocupat” este aproximativ egală cu; probabilitatea ca acesta să fie „gol” este de . Deoarece, conform condiției 2, loviturile de puncte din segmentele care nu se suprapun sunt independente, atunci n segmentele noastre pot fi considerate „experimente” independente, în fiecare dintre acestea segmentul poate fi „ocupat” cu probabilitate . Găsiți probabilitatea ca printre segmente să fie exact „ocupat”. Conform teoremei repetiției, această probabilitate este egală cu
sau, denotând
(5.9.7)
Pentru o valoare suficient de mare, această probabilitate este aproximativ egală cu probabilitatea de a lovi exact puncte de pe segment, deoarece lovirea a două sau mai multe puncte de pe segment are o probabilitate neglijabilă. Pentru a găsi valoarea exactă a lui , este necesar în expresia (5.9.7) să mergem la limita la:
(5.9.8)
Să transformăm expresia sub semnul limită:
(5.9.9)
Prima fracție și numitorul ultimei fracții din expresia (5.9.9) tind în mod evident spre unitate. Expresia nu depinde de. Numătorul ultimei fracții poate fi convertit astfel:
(5.9.10)
Când și expresia (5.9.10) tinde să . Astfel, s-a dovedit că probabilitatea ca punctele exacte să cadă într-un segment se exprimă prin formula
unde, adică mărimea X se distribuie conform legii Poisson cu parametrul .
Rețineți că semnificația valorii este numărul mediu de puncte pe segment.
Valoarea (probabilitatea ca valoarea lui X să ia o valoare pozitivă) în acest caz exprimă probabilitatea ca cel puțin un punct să cadă pe segment:
Astfel, am văzut că distribuția Poisson apare acolo unde unele puncte (sau alte elemente) ocupă o poziție aleatorie independent unul de celălalt, iar numărul acestor puncte care se încadrează într-o anumită zonă este numărat. În cazul nostru, o astfel de „zonă” era un segment pe axa x. Cu toate acestea, concluzia noastră poate fi extinsă cu ușurință la cazul distribuției punctelor în plan (câmp aleator plat de puncte) și în spațiu (câmp spațial aleator de puncte). Este ușor de demonstrat că dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:
1) punctele sunt distribuite statistic uniform pe teren cu o densitate medie;
2) punctele se încadrează în regiuni care nu se suprapun în mod independent;
3) punctele apar singure, și nu în perechi, triple etc., apoi numărul de puncte care se încadrează în orice zonă (plată sau spațială) sunt distribuite conform legii lui Poisson:
unde este numărul mediu de puncte care se încadrează în zonă.
Pentru carcasa plată
unde este aria regiunii; pentru spațial
unde este volumul regiunii.
Rețineți că pentru distribuția Poisson a numărului de puncte care se încadrează într-un segment sau regiune, condiția densității constante () nu este esențială. Dacă sunt îndeplinite celelalte două condiții, atunci legea lui Poisson încă are loc, doar parametrul a din acesta capătă o expresie diferită: se obține nu prin simpla înmulțire a densității cu lungimea, aria sau volumul regiunii, ci prin integrarea densitatea variabilă pe un segment, zonă sau volum. (Pentru mai multe despre aceasta, vezi nr. 19.4)
Prezența punctelor aleatoare împrăștiate pe o linie, pe un plan sau pe un volum nu este singura condiție în care apare distribuția Poisson. Se poate demonstra, de exemplu, că legea lui Poisson este limitativă pentru distribuția binomială:
, (5.9.12)
dacă direcționăm simultan numărul de experimente la infinit și probabilitatea la zero, iar produsul lor rămâne constant:
Într-adevăr, această proprietate limitativă a distribuției binomiale poate fi scrisă ca:
. (5.9.14)
Dar din condiția (5.9.13) rezultă că
Înlocuind (5.9.15) în (5.9.14), obținem egalitatea
, (5.9.16)
ceea ce tocmai a fost dovedit de noi cu altă ocazie.
Această proprietate limitativă a legii binomiale este adesea folosită în practică. Să zicem că este produs un numar mare de experimente independente, în fiecare dintre ele evenimentul are o probabilitate foarte mică. Apoi, pentru a calcula probabilitatea ca un eveniment să se producă exact o dată, puteți folosi formula aproximativă:
, (5.9.17)
unde este parametrul acelei legi Poisson, care înlocuiește aproximativ distribuția binomială.
Din această proprietate a legii lui Poisson - de a exprima distribuția binomială cu un număr mare de experimente și o probabilitate mică de apariție a unui eveniment - provine denumirea ei, des folosită în manualele de statistică: legea fenomenelor rare.
Să ne uităm la câteva exemple legate de distribuția Poisson din diverse domenii de practică.
Exemplul 1: O centrală telefonică automată primește apeluri cu o densitate medie de apeluri pe oră. Presupunând că numărul de apeluri în orice perioadă de timp este distribuit conform legii Poisson, găsiți probabilitatea ca exact trei apeluri să ajungă la stație în două minute.
Soluţie. Numărul mediu de apeluri pe două minute este:
mp Pentru a lovi ținta, este suficient cel puțin un fragment pentru a o lovi. Găsiți probabilitatea de a lovi ținta pentru o poziție dată a punctului de discontinuitate.
Soluţie. . Folosind formula (5.9.4), găsim probabilitatea de a lovi cel puțin un fragment:
(Pentru a calcula valoarea functie exponentiala utilizați tabelul 2 din anexă).
Exemplul 7. Densitatea medie a microbilor patogeni într-unul metru cub aerul este de 100. Se iau 2 metri cubi pentru o probă. dm aer. Găsiți probabilitatea ca cel puțin un microb să fie găsit în el.
Soluţie. Acceptând ipoteza distribuției Poisson a numărului de microbi dintr-un volum, găsim:
Exemplul 8. 50 de focuri independente sunt trase către o țintă. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,04. A profita limitarea proprietății distribuție binomială (formula (5.9.17)), găsiți aproximativ probabilitatea ca ținta să lovească: niciun proiectil, un proiectil, două proiectile.
Soluţie. Avem . Conform tabelului 8 al aplicației, găsim probabilitățile.
În multe aplicații practic importante, distribuția Poisson joacă un rol important. Multe dintre mărimile numerice discrete sunt implementări ale procesului Poisson, care are următoarele proprietăți:
- Suntem interesați de câte ori are loc un eveniment într-un interval dat de rezultate posibile ale unui experiment aleatoriu. Zona rezultatelor posibile poate fi un interval de timp, un segment, o suprafață și așa mai departe.
- Probabilitatea unui eveniment dat este aceeași pentru toate domeniile posibilelor rezultate.
- Numărul de evenimente care au loc într-o zonă a rezultatelor posibile nu depinde de numărul de evenimente care au loc în alte zone.
- Probabilitatea ca un anumit eveniment să apară de mai multe ori în același interval de rezultate posibile tinde spre zero pe măsură ce intervalul de rezultate posibile scade.
Pentru a obține o înțelegere mai profundă a semnificației procesului Poisson, să presupunem că examinăm numărul de clienți care vizitează o sucursală bancară situată în districtul central de afaceri în timpul prânzului, de exemplu. de la 12 la 13 ore. Să presupunem că doriți să determinați numărul de clienți care sosesc pe minut. Are această situație caracteristicile enumerate mai sus? În primul rând, evenimentul care ne interesează este sosirea clientului, iar gama de rezultate posibile este un interval de un minut. Câți clienți vor veni la bancă într-un minut - niciunul, unul, doi sau mai mulți? În al doilea rând, este rezonabil să presupunem că probabilitatea ca un client să sosească într-un minut este aceeași pentru toate intervalele de un minut. În al treilea rând, sosirea unui client în orice interval de un minut este independentă de sosirea oricărui alt client în orice alt interval de un minut. Și, în sfârșit, probabilitatea ca mai mult de un client să vină la bancă tinde spre zero dacă intervalul de timp tinde spre zero, de exemplu, devine mai mic de 0,1 s. Deci, numărul de clienți care vin la bancă în timpul prânzului în decurs de un minut este descris de distribuția Poisson.
Distribuția Poisson are un parametru, notat cu simbolul λ (litera greacă „lambda”) - numărul mediu de încercări de succes într-un interval dat de rezultate posibile. Varianța distribuției Poisson este de asemenea λ și abaterea sa standard este . Numărul de încercări reușite X Variabila aleatoare Poisson variază de la 0 la infinit. Distribuția Poisson este descrisă prin formula:
Unde P(X)- probabilitate Xîncercări de succes, λ este numărul așteptat de succese, e- baza logaritmului natural, egală cu 2,71828, X- numărul de succese pe unitatea de timp.
Să revenim la exemplul nostru. Sa zicem ca in pauza de masa vin in medie trei clienti pe minut la banca. Care este probabilitatea ca doi clienți să vină la bancă la un minut dat? Care este probabilitatea ca mai mult de doi clienți să vină la bancă?
Să aplicăm formula (1) cu parametrul λ = 3. Atunci probabilitatea ca doi clienți să vină la bancă într-un minut dat este egală cu
Probabilitatea ca mai mult de doi clienți să vină la bancă este P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + ... + P(X = ∞) . Deoarece suma tuturor probabilităților ar trebui să fie egală cu 1, membrii seriei din partea dreaptă a formulei reprezintă probabilitatea adunării la evenimentul X ≤ 2. Cu alte cuvinte, suma acestei serii este 1 - P (X ≤ 2). Astfel, P(X> 2) = 1 - P(X≤2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. Acum, folosind formula (1), obținem:
Astfel, probabilitatea ca nu mai mult de doi clienți să vină la bancă într-un minut este de 0,423 (sau 42,3%), iar probabilitatea ca mai mult de doi clienți să vină la bancă într-un minut este de 0,577 (sau 57,7%).
Astfel de calcule pot părea plictisitoare, mai ales dacă parametrul λ este suficient de mare. A evita calcule complexe, multe probabilități Poisson pot fi găsite în tabele speciale (Fig. 1). De exemplu, probabilitatea ca doi clienți să vină la bancă într-un minut dat, dacă în medie trei clienți vin la bancă pe minut, este la intersecția liniei. X= 2 și coloana λ = 3. Astfel, este egală cu 0,2240 sau 22,4%.
Orez. 1. Probabilitatea Poisson pentru λ = 3
Acum este puțin probabil ca cineva să folosească tabele dacă Excel este la îndemână cu funcția sa =POISSON.DIST() (Fig. 2). Această funcție are trei parametri: numărul de încercări reușite X, numărul mediu așteptat de încercări reușite λ, parametru Integral, care ia două valori: FALSE - în acest caz, se calculează probabilitatea numărului de încercări reușite X(doar X), TRUE - în acest caz, probabilitatea numărului de încercări reușite de la 0 la X.
Orez. 2. Calculul în Excel al probabilităților de distribuție Poisson pentru λ = 3
Aproximarea distribuției binomiale folosind distribuția Poisson
Dacă numărul n mare și numărul R- mic, distribuția binomială poate fi aproximată folosind distribuția Poisson. Cum mai mult număr nȘi număr mai mic R, cu atât precizia de aproximare este mai mare. Următorul model Poisson este utilizat pentru a aproxima distribuția binomială.
Unde P(X)- probabilitate X succes cu parametrii dați nȘi R, n- marime de mostra, R- probabilitatea reală de succes, e este baza logaritmului natural, X- numărul de succese în eșantion (X = 0, 1, 2, …, n).
Teoretic, o variabilă aleatoare care are o distribuție Poisson ia valori de la 0 la ∞. Totuși, în acele situații în care distribuția Poisson este utilizată pentru a aproxima distribuția binomială, variabila aleatoare Poisson este numărul de succese între n observații - nu poate depăși numărul n. Din formula (2) rezultă că cu o creștere a numărului nși o scădere a numărului R probabilitatea de a găsi un număr mare de succese scade şi tinde spre zero.
După cum sa menționat mai sus, așteptările matematice µ și varianța σ 2 ale distribuției Poisson sunt egale cu λ. Prin urmare, atunci când se aproximează distribuția binomială folosind distribuția Poisson, formula (3) trebuie utilizată pentru a aproxima așteptările matematice.
(3) µ = Е(Х) = λ =np
Formula (4) este utilizată pentru a aproxima abaterea standard.
Vă rugăm să rețineți că abaterea standard calculată prin formula (4) tinde să deviație standardîn modelul binom, când probabilitatea de succes p tinde spre zero și, în consecință, probabilitatea de eșec 1 - p tinde spre unitate.
Să presupunem că 8% din anvelopele produse la o anumită fabrică sunt defecte. Pentru a ilustra utilizarea distribuției Poisson pentru a aproxima distribuția binomială, calculăm probabilitatea de a găsi o anvelopă defecte într-un eșantion de 20 de anvelope. Aplicam formula (2), obtinem
Dacă ar fi să calculăm distribuția binomială adevărată, mai degrabă decât aproximarea ei, am obține următorul rezultat:
Cu toate acestea, aceste calcule sunt destul de plictisitoare. În același timp, dacă utilizați Excel pentru a calcula probabilitățile, atunci utilizarea aproximării distribuției Poisson devine redundantă. Pe fig. 3 arată că complexitatea calculelor în Excel este aceeași. Totuși, această secțiune, în opinia mea, este utilă pentru a înțelege că în anumite condiții distribuția binomială și distribuția Poisson dau rezultate apropiate.
Orez. 3. Comparația complexității calculelor în Excel: (a) distribuția Poisson; (b) distribuție binomială
Deci, în aceasta și în două note anterioare, au fost luate în considerare trei distribuții numerice discrete: și Poisson. Pentru a înțelege mai bine modul în care aceste distribuții se relaționează între ele, prezentăm un mic arbore de întrebări (Fig. 4).
Orez. 4. Clasificare distribuții discrete probabilități
Sunt folosite materiale din cartea Levin et al. Statistici pentru manageri. - M.: Williams, 2004. - p. 320–328
Luați în considerare distribuția Poisson, calculați așteptarea, varianța, modul ei matematic. Folosind funcția MS EXCEL POISSON.DIST(), trasăm graficul funcției de distribuție și al densității probabilității. Să estimăm parametrul de distribuție, așteptările sale matematice și abaterea standard.
În primul rând, oferim o definiție formală a distribuției, apoi dăm exemple de situații în care Distribuția Poisson(Engleză) Poissondistributie) este un model adecvat pentru descrierea unei variabile aleatoare.
Dacă evenimentele aleatorii au loc într-o anumită perioadă de timp (sau într-un anumit volum de materie) cu o frecvență medie λ( lambda), apoi numărul de evenimente X, survenite în această perioadă de timp vor avea Distribuția Poisson.
Aplicarea distribuției Poisson
Exemple când Distribuția Poisson este un model adecvat:
- numărul de apeluri primite de centrala telefonică pentru o anumită perioadă de timp;
- numărul de particule care au suferit dezintegrare radioactivă într-o anumită perioadă de timp;
- numărul de defecte dintr-o bucată de țesătură de lungime fixă.
Distribuția Poisson este un model adecvat dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:
- evenimentele au loc independent unele de altele, adică probabilitatea unui eveniment ulterior nu depinde de cel precedent;
- frecvența medie a evenimentelor este constantă. În consecință, probabilitatea unui eveniment este proporțională cu lungimea intervalului de observație;
- două evenimente nu pot avea loc în același timp;
- numărul de evenimente trebuie să ia valoarea 0; unu; 2…
Notă: Un indiciu bun pe care îl are variabila aleatoare observată distribuția poissonului, este faptul că aproximativ egal (vezi mai jos).
Următoarele sunt exemple de situații în care Distribuția Poisson nu poti a fi aplicat:
- numărul de studenți care părăsesc universitatea în decurs de o oră (deoarece fluxul mediu de studenți nu este constant: sunt puțini studenți în timpul orelor, iar numărul studenților crește brusc între ore);
- numărul de cutremure cu o amplitudine de 5 puncte pe an în California (deoarece un cutremur poate provoca șocuri repetate de o amplitudine similară - evenimentele nu sunt independente);
- numărul de zile petrecătoare de pacienți în secția de terapie intensivă (deoarece numărul de zile petrecute în secția de terapie intensivă este întotdeauna mai mare de 0).
Notă: Distribuția Poisson este o aproximare a distribuțiilor discrete mai precise: și .
Notă: Despre relație Distribuția PoissonȘi Distribuție binomială poate fi citit in articol. Despre relație Distribuția PoissonȘi Distribuție exponențială poate fi găsit în articolul despre .
Distribuția Poisson în MS EXCEL
În MS EXCEL, începând cu versiunea 2010, pt Distribuții Poisson există o funcție POISSON.DIST() , numele englezesc este POISSON.DIST(), care vă permite să calculați nu numai probabilitatea ca într-o anumită perioadă de timp să se întâmple X evenimente (funcția probabilitate densitate p(x), vezi formula de mai sus), dar și (probabilitatea ca într-o anumită perioadă de timp cel puțin X evenimente).
Înainte de MS EXCEL 2010, EXCEL avea funcția POISSON(), care vă permite, de asemenea, să calculați functie de distributieȘi probabilitate densitate p(x). POISSON() este lăsat în MS EXCEL 2010 pentru compatibilitate.
Fișierul exemplu conține grafice densitatea distribuției de probabilitateȘi funcția de distribuție integrală.
Distribuția Poisson are o formă înclinată (o coadă lungă în dreapta funcției de probabilitate), dar pe măsură ce parametrul λ crește, devine din ce în ce mai simetric.
Notă: MediaȘi dispersie(pătrat) sunt egale cu parametrul Distribuția Poisson– λ (vezi fișă de fișier exemplu Exemplu).
O sarcină
Aplicație tipică Distribuții Poissonîn controlul calității, este un model al numărului de defecte care pot apărea într-un dispozitiv sau dispozitiv.
De exemplu, dacă numărul mediu de defecte dintr-un cip λ (lambda) este 4, probabilitatea ca un cip selectat aleatoriu să aibă 2 sau mai puține defecte este egală cu: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0,2381
Al treilea parametru din funcție este setat = TRUE, deci funcția va reveni funcția de distribuție integrală, adică probabilitatea ca numărul evenimente aleatorii va fi în intervalul de la 0 la 4 inclusiv.
Calculele în acest caz se fac după formula:
Probabilitatea ca un cip selectat aleatoriu să aibă exact 2 defecte este: POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0,1465
Al treilea parametru din funcție este setat = FALSE, deci funcția va returna densitatea probabilității.
Probabilitatea ca un cip selectat aleatoriu să aibă mai mult de 2 defecte este egală cu: \u003d 1-POISSON.DIST (2, 4, TRUE) \u003d 0,8535
Notă: Dacă X nu este un număr întreg, atunci când se calculează formula . Formule =POISSON.DIST( 2 ; 4; FALS)Și =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; FALS) va returna acelasi rezultat.
Generarea numerelor aleatoare și estimarea λ
Pentru valorile λ >15 , Distribuția Poisson bine aproximat distributie normala cu următorii parametri: μ =λ , σ 2 =λ .
Puteți citi mai multe despre relația dintre aceste distribuții în articol. Acolo sunt date și exemple de aproximare, iar condițiile sunt explicate când este posibil și cu ce precizie.
SFAT: Puteți citi despre alte distribuții ale MS EXCEL în articol.
9. Legea distribuției Poisson și Gauss
legea lui Poisson. Un alt nume pentru aceasta este legea determinării ra a evenimentelor rare. Legea lui Poisson (P.P.) se aplică în cazurile în care este puțin probabilă și, prin urmare, aplicarea P/C/R nu este adecvată.
Avantajele legii sunt: comoditatea în calcul, capacitatea de a calcula probabilitatea într-o anumită perioadă de timp, capacitatea de a înlocui timpul cu altul valoare continuă, de exemplu, dimensiuni liniare.
Legea lui Poisson are următoarea formă:
și se citește după cum urmează: probabilitatea de apariție a evenimentului A în m ori în n încercări independente este exprimată printr-o formulă de forma (59), unde a = pr este valoarea medie a lui p(A), iar a este singurul parametru din legea lui Poisson.
Lege distributie normala(Legea lui Gauss). Practica confirmă constant că legile distribuției erorilor se supun legii lui Gauss cu o aproximare suficientă atunci când se măsoară o mare varietate de parametri: de la dimensiuni liniare și unghiulare până la caracteristicile principalelor proprietăți mecanice ale oțelului.
Densitatea de probabilitate a legii distribuției normale (denumită în continuare N. R.) are forma
unde x 0 este valoarea medie a unei variabile aleatoare;
? este abaterea standard a aceleiași variabile aleatoare;
e \u003d 2.1783 ... - baza logaritmului natural;
W este un parametru care satisface condiția.
Motivul pentru utilizarea pe scară largă a legii distribuției normale este determinat teoretic de teorema lui Lyapunov.
Cu X 0 cunoscut și? ordonatele curbei functiei f(x) pot fi calculate prin formula
unde t este o variabilă normalizată,
(t) densitatea de probabilitate z. Dacă înlocuim z și (t) în formulă, atunci urmează:
Curba Z.N.R. numită adesea curba Gauss, această lege descrie foarte multe fenomene din natură.
6. Legea trecerii la supersistem După ce au epuizat posibilitățile de dezvoltare, sistemul este inclus în supersistem ca una dintre părți; în care dezvoltare ulterioară are loc la nivel de supersistem. Despre această lege am vorbit deja. Să trecem la dinamică. Include legi care
Din cartea Interface: New Directions in Computer System Design autorul Ruskin Jeff Din cartea Instrumentatie autorul Babaev M A4.4.1. Legea lui Fitts Să ne imaginăm că mutați cursorul pe un buton afișat pe ecran. Butonul este ținta acestei mișcări. Lungimea liniei drepte care conectează poziția de pornire a cursorului și cel mai apropiat punct al obiectului țintă este definită în legea lui Fitts ca distanță. Pe
Din cartea Heat Engineering autor Burkhanova Natalia4.4.2. Legea lui Hick Înainte de a muta cursorul la o țintă sau de a efectua orice altă acțiune dintr-un set de opțiuni, utilizatorul trebuie să selecteze acel obiect sau acțiune. Legea lui Hick afirmă că atunci când există n opțiuni din care să alegeți, timpul pentru a alege este
Din cartea Computational Linguistics for All: Myths. Algoritmi. Limba autor Anisimov Anatoli Vasilievici6. Statistica distribuţiei variabile aleatoare Principalele caracteristici ale variabilelor aleatoare.1. Măsuri de poziție Acestea se numesc (considerate) puncte în jurul cărora fluctuează caracteristicile cantităților. Suma produselor valorilor empirice ale unei variabile aleatoare xi prin
Din cartea Phenomenon of Science [Cybernetic Approach to Evolution] autor Turchin Valentin Fedorovich10. Legile distribuției binomiale și polinomiale. Distribuție improbabilă. Legea distribuției excentricității 1. Legea distribuției binomiale. Această lege este exprimată matematic prin formula de expansiune pentru binomul (q + p)2 în următoarea formă unde n! - citit
Din cartea Nanotehnologie [știință, inovație și oportunitate] de Foster Lynn11. Alte legi de distribuție În industria tehnică, inclusiv fabricarea instrumentelor, sunt utilizate și alte tipuri de legi de distribuție, în plus față de cele discutate mai sus. În acest caz, distribuția variabilelor aleatoare este deja în funcție de cei mai diverși parametri ai acestora.
Din cartea Istoria ingineriei electrice autor Echipa de autori22. Legea lui Boyle-Mariotte Una dintre legile unui gaz ideal este legea Boyle-Mariotte, care afirma: produsul dintre presiunea P si volumul V al unui gaz cu masa si temperatura constante a gazului este constant. Această egalitate se numește ecuație izotermă. Izoterma este afișată
Din cartea Istoria descoperirilor și invențiilor remarcabile (ingineria electrică, industria energiei electrice, electronică radio) autor Shneiberg Jan Abramovici23. Legea lui Gay-Lussac Legea lui Gay-Lussac spune: raportul dintre volumul unui gaz la temperatura lui la presiune constantă a gazului și masa lui este constantă.V / T = m / MO R / P = const la P = const, m = const. numele ecuației izobare O izobară este reprezentată pe o diagramă PV printr-o linie dreaptă,
Din cartea autorului24. Legea lui Charles Legea lui Charles afirmă că raportul dintre presiunea gazului și temperatura sa este constant dacă volumul și masa gazului sunt neschimbate: P / T = m / MО R / V = const at V = const, m = const.. Isocorul este reprezentat pe diagrama PV ca o linie dreaptă, axa paralela P, a
Din cartea autorului30. Legea conservării și transformării energiei Prima lege a termodinamicii se bazează pe legea universală a conservării și transformării energiei, care stabilește că energia nu se creează și nici nu dispare Corpurile care participă la un proces termodinamic interacționează între ele.
Din cartea autoruluiPRIȚESA BROȘTEI ȘI LEGEA STABILITĂȚII După cum sa subliniat deja mai devreme (legea abstractizării), gândirea primitivă a fost capabilă să analizeze fenomene concrete și să sintetizeze noi sisteme abstracte. Deoarece orice obiect construit de conștiință era perceput ca fiind viu și viu
Din cartea autorului1.1. Legea de bază a evoluției În procesul evoluției vieții, din câte știm, a existat întotdeauna și există acum o creștere a masei totale a materiei vii și complicarea organizării acesteia. Complicand organizarea formatiunilor biologice, natura actioneaza dupa metoda incercarilor si
Din cartea autorului4.2. Legea lui Moore În forma sa cea mai simplă, Legea lui Moore este afirmația că densitatea circuitului tranzistorului se dublează la fiecare 18 luni. Dreptul de autor al legii este atribuit unuia dintre fondatorii cunoscutei companii Intel, Gordon Moore. Strict vorbind, în