După cum se știe, variabilă aleatorie se numește o variabilă care poate lua anumite valori în funcție de caz. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin (X, Y, Z), iar valorile lor sunt notate cu litere mici corespunzătoare (x, y, z). Variabilele aleatoare sunt împărțite în discontinue (discrete) și continue.
Variabilă aleatoare discretă numit valoare aleatorie, care ia doar un set finit sau infinit (numărabil) de valori cu anumite probabilități diferite de zero.
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este o funcție care conectează valorile unei variabile aleatoare cu probabilitățile corespunzătoare. Legea distribuției poate fi specificată în una din următoarele moduri.
1 . Legea distribuției poate fi dată de tabelul:
unde λ>0, k = 0, 1, 2, … .
în) prin intermediul funcția de distribuție F(x) , care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x, adică. F(x) = P(X< x).
Proprietățile funcției F(x)
3 . Legea distribuției poate fi stabilită grafic – poligon de distribuție (poligon) (vezi problema 3).
Rețineți că pentru a rezolva unele probleme nu este necesar să cunoașteți legea distribuției. În unele cazuri, este suficient să cunoașteți unul sau mai multe numere care reflectă cele mai importante caracteristici ale legii distribuției. Poate fi un număr care are semnificația „valorii medii” a unei variabile aleatoare sau un număr care arată dimensiunea medie a abaterii unei variabile aleatoare de la valoarea sa medie. Numerele de acest fel sunt numite caracteristici numerice ale unei variabile aleatorii.
Caracteristicile numerice de bază ale unei variabile aleatoare discrete :
- Așteptări matematice
(valoarea medie) a unei variabile aleatoare discrete M(X)=Σ x i p i.
Pentru distribuția binomială M(X)=np, pentru distribuția Poisson M(X)=λ - Dispersia
variabilă aleatoare discretă D(X)=M2 sau D(X) = M(X 2) − 2. Diferența X–M(X) se numește abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice.
Pentru distribuția binomială D(X)=npq, pentru distribuția Poisson D(X)=λ - Deviație standard (deviație standard) σ(X)=√D(X).
Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete”
Sarcina 1.
Au fost emise 1000 de bilete de loterie: 5 dintre ele câștigă 500 de ruble, 10 - 100 de ruble, 20 - 50 de ruble, 50 - 10 ruble. Determinați legea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare X - câștiguri pe bilet.
Decizie. În funcție de starea problemei, sunt posibile următoarele valori ale variabilei aleatoare X: 0, 10, 50, 100 și 500.
Numărul de bilete fără câștig este 1000 - (5+10+20+50) = 915, apoi P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
În mod similar, găsim toate celelalte probabilități: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=0,01). =500) = 5/1000=0,005. Prezentăm legea rezultată sub forma unui tabel:
Sa gasim valorea estimata valorile X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2 +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Sarcina 3.
Dispozitivul este format din trei elemente de operare independentă. Probabilitatea de eșec a fiecărui element dintr-un experiment este de 0,1. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de elemente eșuate într-un experiment, construiește un poligon de distribuție. Găsiți funcția de distribuție F(x) și reprezentați-o grafic. Aflați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete.
Decizie. 1. Variabila aleatorie discretă X=(numărul de elemente eșuate într-un experiment) are următoarele valori posibile: x 1 =0 (niciunul dintre elementele dispozitivului nu a eșuat), x 2 =1 (un element a eșuat), x 3 =2 ( două elemente au eșuat ) și x 4 \u003d 3 (trei elemente au eșuat).
Eșecurile elementelor sunt independente unele de altele, probabilitățile de eșec ale fiecărui element sunt egale între ele, prin urmare, este aplicabil formula lui Bernoulli
. Având în vedere că, prin condiție, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determinăm probabilitățile valorilor:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Verificați: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Astfel, legea de distribuție binomială dorită X are forma:
Pe axa absciselor, graficăm valorile posibile x i, iar pe axa ordonatelor, probabilitățile corespunzătoare р i . Să construim punctele M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Conectând aceste puncte cu segmente de linie, obținem poligonul de distribuție dorit.
3. Găsiți funcția de distribuție F(x) = P(X
Pentru x ≤ 0 avem F(x) = P(X<0) = 0;pentru 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
pentru 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
pentru 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
pentru x > 3 va fi F(x) = 1, deoarece evenimentul este sigur.
 |
Graficul funcției F(x)
4.
Pentru distribuția binomială X:
- așteptarea matematică М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersia D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- abaterea standard σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Putem evidenția cele mai comune legi ale distribuției variabilelor aleatoare discrete:
- Legea distribuției binomiale
- Legea distribuției Poisson
- Legea distribuției geometrice
- Legea distribuției hipergeometrice
Pentru distribuții date de variabile aleatoare discrete, calculul probabilităților valorilor acestora, precum și al caracteristicilor numerice (așteptări matematice, varianță etc.) se efectuează conform anumitor „formule”. Prin urmare, este foarte important să cunoaștem aceste tipuri de distribuții și proprietățile lor de bază.
1. Legea distribuției binomiale.
O variabilă aleatoare discretă $X$ este supusă distribuției binomiale de probabilitate dacă ia valorile $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ cu probabilități $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. De fapt, variabila aleatoare $X$ este numărul de apariții ale evenimentului $A$ în $n$ încercări independente. Legea distribuției probabilității pentru variabila aleatoare $X$:
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i și P_n\stanga(0\dreapta) și P_n\stanga(1\dreapta) și \dots și P_n\left(n\dreapta) \\
\hline
\end(matrice)$
Pentru o astfel de variabilă aleatorie, așteptarea este $M\left(X\right)=np$, varianța este $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Exemplu . În familie sunt doi copii. Presupunând probabilitățile de naștere a unui băiat și a unei fete egale cu $0,5$, găsiți legea distribuției variabilei aleatoare $\xi $ - numărul de băieți din familie.
Fie variabila aleatoare $\xi $ numărul de băieți din familie. Valorile pe care $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$ le poate lua. Probabilitățile acestor valori pot fi găsite prin formula $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, unde $n =2$ - numărul de încercări independente, $p=0,5$ - probabilitatea de apariție a unui eveniment într-o serie de $n$ încercări. Primim:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$
Atunci legea de distribuție a variabilei aleatoare $\xi $ este corespondența dintre valorile $0,\ 1,\ 2$ și probabilitățile acestora, adică:
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(matrice)$
Suma probabilităților din legea distribuției trebuie să fie egală cu $1$, adică $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+0, 25 = 1 USD.
Așteptare $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, varianța $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, abatere standard $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 )\aproximativ 0,707 $.
2. Legea distribuției Poisson.
Dacă o variabilă aleatorie discretă $X$ poate lua numai valori întregi nenegative $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ cu probabilități $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
cometariu. Particularitatea acestei distribuții este că, pe baza datelor experimentale, găsim estimările $M\left(X\right),\D\left(X\right)$, dacă estimările obținute sunt apropiate unele de altele, atunci avem au motive să afirme că variabila aleatoare este supusă legii distribuției Poisson.
Exemplu . Exemple de variabile aleatoare supuse legii distribuției Poisson pot fi: numărul de mașini care vor fi deservite mâine de o benzinărie; numărul de articole defecte din produsul fabricat.
Exemplu . Fabrica a trimis 500$ de produse la bază. Probabilitatea de deteriorare a produsului în timpul transportului este de 0,002 USD. Aflați legea de distribuție a variabilei aleatoare $X$ egală cu numărul de produse deteriorate; care este egal cu $M\left(X\right),\D\left(X\right)$.
Fie o variabilă aleatorie discretă $X$ numărul de produse deteriorate. O astfel de variabilă aleatoare este supusă legii distribuției Poisson cu parametrul $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Probabilitățile valorilor sunt $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\peste (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\peste (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\peste (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\peste (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\peste (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\peste (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\left(X=5\right)=((1^5)\peste (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\left(X=6\right)=((1^6)\peste (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\peste (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Legea distribuției variabilei aleatoare $X$:
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\peste (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(matrice)$
Pentru o astfel de variabilă aleatorie, așteptarea și varianța matematică sunt egale între ele și egale cu parametrul $\lambda $, adică $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.
3. Legea geometrică a distribuției.
Dacă o variabilă aleatoare discretă $X$ poate lua numai valori naturale $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ cu probabilități $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ dreapta)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, atunci spunem că o astfel de variabilă aleatoare $X$ este supusă legii geometrice a distribuției probabilităților. De fapt, distribuția geometrică pare a fi încercările lui Bernoulli la primul succes.
Exemplu . Exemple de variabile aleatoare care au o distribuție geometrică pot fi: numărul de lovituri înainte de prima lovitură asupra țintei; numărul de teste ale dispozitivului înainte de prima defecțiune; numărul de aruncări de monede înainte de primul heads up și așa mai departe.
Așteptările și varianța matematică a unei variabile aleatoare supuse unei distribuții geometrice sunt, respectiv, $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) /p^ 2$.
Exemplu . Pe drumul deplasării peștilor către locul de depunere a icrelor există o blocare de $4$. Probabilitatea ca un pește să treacă prin fiecare ecluză este $p=3/5$. Construiți o serie de distribuție a variabilei aleatoare $X$ - numărul de ecluze trecute de pește înainte de prima oprire la ecluză. Găsiți $M\left(X\dreapta),\D\left(X\dreapta),\\sigma \left(X\right)$.
Fie variabila aleatoare $X$ numărul de ecluze trecute de pește înainte de prima oprire la ecluză. O astfel de variabilă aleatorie este supusă legii geometrice a distribuției probabilităților. Valorile pe care variabila aleatoare $X le poate lua sunt: 1, 2, 3, 4. Probabilitățile acestor valori sunt calculate prin formula: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, unde: $ p=2/5$ - probabilitatea ca peștele să fie prins prin ecluză, $q=1-p=3/5$ - probabilitatea ca peștele să treacă prin ecluză, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\peste (5))\cdot (\left(((3)\peste (5))\right))^0=((2)\ peste(5))=0,4;$
$P\left(X=2\right)=((2)\peste (5))\cdot ((3)\peste (5))=((6)\peste (25))=0,24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\peste (5))\cdot (\left(((3)\peste (5))\right))^2=((2)\ peste (5))\cdot ((9)\peste (25))=((18)\peste (125))=0,144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\peste (5))\cdot (\left(((3)\peste (5))\right))^3+(\left(( (3)\peste (5))\dreapta))^4=((27)\peste (125))=0,216.$
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\stanga(X_i\dreapta) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(matrice)$
Valorea estimata:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
Dispersie:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ stânga(1-2.176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2.176\right))^2+0.144\cdot (\left(3-2.176\right))^2+$
$+\ 0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\aproximativ 1,377.$
Deviație standard:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1.377)\aproximativ 1.173.$
4. Legea distribuției hipergeometrice.
Dacă există $N$ obiecte, printre care $m$ obiecte au proprietatea dată. În mod aleatoriu, fără înlocuire, sunt extrase $n$ obiecte, printre care se numără $k$ obiecte care au o proprietate dată. Distribuția hipergeometrică face posibilă estimarea probabilității ca exact $k$ obiecte dintr-o probă să aibă o proprietate dată. Fie variabila aleatoare $X$ numărul de obiecte din eșantion care au o proprietate dată. Apoi probabilitățile valorilor variabilei aleatoare $X$:
$P\stanga(X=k\dreapta)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\peste (C^n_N))$
cometariu. Funcția statistică HYPERGEOMET a Excel $f_x$ Function Wizard vă permite să determinați probabilitatea ca un anumit număr de încercări să aibă succes.
$f_x\la $ statistic$\la$ HIPERGEOMETĂ$\la$ Bine. Va apărea o casetă de dialog pe care trebuie să o completați. În grafic Număr_de_reușite_în_eșantion specificați valoarea lui $k$. marime de mostra este egal cu $n$. În grafic Număr_de_succese_în_populație specificați valoarea lui $m$. Dimensiunea_populației este egal cu $N$.
Așteptările și varianța matematică a unei variabile aleatoare discrete $X$ supuse unei legi de distribuție geometrică sunt $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left) (1 -((m)\peste (N))\dreapta)\stanga(1-((n)\peste (N))\dreapta))\peste (N-1))$.
Exemplu . Compartimentul credit al băncii angajează 5 specialişti cu studii superioare financiare şi 3 specialişti cu studii superioare juridice. Conducerea băncii a decis să trimită 3 specialiști pentru pregătire avansată, selectându-i aleatoriu.
a) Realizează o serie de repartizare a numărului de specialişti cu studii superioare financiare care pot fi direcţionaţi către formare avansată;
b) Aflați caracteristicile numerice ale acestei distribuții.
Fie variabila aleatoare $X$ numărul de specialiști cu studii financiare superioare dintre cei trei selectați. Valori pe care $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ le pot lua. Această variabilă aleatoare $X$ este distribuită în funcție de distribuția hipergeometrică cu următorii parametri: $N=8$ - mărimea populației, $m=5$ - numărul de succese în populație, $n=3$ - dimensiunea eșantionului, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - numărul de succese din eșantion. Atunci probabilitățile $P\left(X=k\right)$ pot fi calculate folosind formula: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ peste C_( N)^(n) ) $. Noi avem:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\peste (C^3_8))=((1)\peste (56))\aproximativ 0,018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\peste (C^3_8))=((15)\peste (56))\aproximativ 0,268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\peste (C^3_8))=((15)\peste (28))\aproximativ 0,536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\peste (C^3_8))=((5)\peste (28))\aproximativ 0,179.$
Apoi seria de distribuție a variabilei aleatoare $X$:
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(matrice)$
Să calculăm caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare $X$ folosind formulele generale ale distribuției hipergeometrice.
$M\left(X\right)=((nm)\peste (N))=((3\cdot 5)\peste (8))=((15)\peste (8))=1.875.$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\peste (N))\dreapta)\left(1-((n)\peste (N))\dreapta)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\dreapta))\peste (8-1))=((225)\peste (448))\aproximativ 0,502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\aproximativ 0,7085.$
Definiție.Dispersare (împrăștiere) Variabila aleatoare discretă se numește așteptarea matematică a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la așteptarea ei matematică:
Exemplu. Pentru exemplul de mai sus, găsim
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt:
Valori posibile ale abaterii pătrate:
; 
;
Dispersia este:
Cu toate acestea, în practică, această metodă de calcul a varianței este incomod, deoarece duce la calcule greoaie pentru un număr mare de valori ale unei variabile aleatorii. Prin urmare, se folosește o altă metodă.
Calculul variației
Teorema. Varianta este egală cu diferența dintre așteptarea matematică a pătratului variabilei aleatoare X și pătratul așteptării sale matematice:
Dovada.Ținând cont de faptul că așteptarea matematică și pătratul așteptării matematice sunt valori constante, putem scrie:
Să aplicăm această formulă la exemplul de mai sus:
| X | ||||||
| x2 | ||||||
| p | 0,0778 | 0,2592 | 0,3456 | 0,2304 | 0,0768 | 0,0102 |
Proprietăți de dispersie
1) Dispersia unei valori constante este zero:
2) Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:
.
3) Varianța sumei a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile:
4) Varianta diferenței a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile:
Valabilitatea acestei egalități rezultă din proprietatea 2.
Teorema. Varianța numărului de apariții ale evenimentului A în n încercări independente, în fiecare dintre care probabilitatea de apariție a evenimentului este constantă, este egală cu produsul dintre numărul de încercări cu probabilitatea de apariție și probabilitatea evenimentului. care nu au loc în fiecare proces:
Exemplu. Fabrica produce 96% din produsele de clasa întâi și 4% din produsele de clasa a doua. 1000 de articole sunt alese la întâmplare. Lasa X- numarul de produse de clasa I din acest esantion. Găsiți legea distribuției, așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare.
Astfel, legea distribuției poate fi considerată binomială.
Exemplu. Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete X– numărul de apariții ale evenimentului DARîn două încercări independente, dacă probabilitățile de apariție a acestui eveniment în fiecare proces sunt egale și se știe că
pentru că valoare aleatorie X distribuite conform legii binomiale, atunci
Exemplu. Testele independente sunt efectuate cu aceeași probabilitate de apariție a evenimentului DAR la fiecare test. Găsiți probabilitatea ca un eveniment să se producă DAR dacă varianța numărului de apariții ale evenimentului în trei încercări independente este de 0,63.
Conform formulei de dispersie a legii binomiale, obținem:
;
Exemplu. Este testat un dispozitiv format din patru dispozitive care funcționează independent. Probabilitățile de defecțiune ale fiecăruia dintre dispozitive sunt, respectiv, egale ; ; . Găsiți așteptările și variația matematică a numărului de dispozitive defectate.
Luând numărul de dispozitive eșuate ca variabilă aleatorie, vedem că această variabilă aleatoare poate lua valorile 0, 1, 2, 3 sau 4.
Pentru a elabora o lege de distribuție pentru această variabilă aleatoare, este necesar să se determine probabilitățile corespunzătoare. Să acceptăm.
1) Niciun dispozitiv nu a eșuat:
2) Unul dintre dispozitive a eșuat.
Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Variabile aleatorii”.
Sarcină 1 . Sunt 100 de bilete emise la loterie. S-a jucat o victorie de 50 USD. și zece câștiguri de 10 USD fiecare. Aflați legea distribuției valorii X - costul unui posibil câștig.
Decizie. Valori posibile ale lui X: x 1 = 0; X 2 = 10 și x 3 = 50. Deoarece există 89 de bilete „goale”, atunci p 1 = 0,89, probabilitatea de castig este de 10 c.u. (10 bilete) – p 2 = 0,10 și pentru un câștig de 50 c.u. –p 3 = 0,01. Prin urmare:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Ușor de controlat: .
Sarcină 2. Probabilitatea ca cumpărătorul să se fi familiarizat în avans cu reclama produsului este de 0,6 (p = 0,6). Controlul selectiv al calității publicității este efectuat prin sondajul cumpărătorilor înaintea primului care a studiat reclama în prealabil. Faceți o serie de distribuție a numărului de cumpărători intervievați.
Decizie. După condiţia problemei p = 0,6. Din: q=1 -p = 0,4. Înlocuind aceste valori, obținem:și construiți o serie de distribuție:
|
pi |
0,24 |
Sarcină 3. Un computer este format din trei elemente care funcționează independent: o unitate de sistem, un monitor și o tastatură. Cu o singură creștere bruscă a tensiunii, probabilitatea de defecțiune a fiecărui element este de 0,1. Pe baza distribuției Bernoulli, întocmește legea distribuției pentru numărul de elemente defectate în timpul unei supratensiuni în rețea.
Decizie. Considera distribuția Bernoulli(sau binom): probabilitatea ca în n teste, evenimentul A va apărea exact k o singura data: 
, sau:
|
q n |
p n |
LA să revenim la sarcină.
Valori posibile ale lui X (număr de defecțiuni):
x 0 =0 - niciunul dintre elemente nu a eșuat;
x 1 =1 - defectarea unui element;
x 2 =2 - defectarea a două elemente;
x 3 =3 - defectarea tuturor elementelor.
Deoarece, prin condiție, p = 0,1, atunci q = 1 – p = 0,9. Folosind formula Bernoulli, obținem
, ,
, .
Controlul: .
Prin urmare, legea de distribuție dorită:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Sarcina 4. Produse 5000 de runde. Probabilitatea ca un cartuş să fie defect 
. Care este probabilitatea ca în întregul lot să fie exact 3 cartușe defecte?
Decizie. Aplicabil Distribuția Poisson: această distribuție este folosită pentru a determina probabilitatea ca, având în vedere un foarte mare
număr de încercări (încercări în masă), în fiecare dintre ele probabilitatea evenimentului A este foarte mică, evenimentul A va avea loc de k ori: 
, Unde .
Aici n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Găsim , apoi probabilitatea dorită: 
.
Sarcina 5. Când trageți înainte de prima lovitură cu probabilitatea de a lovi p = 0,6 pentru o lovitură, trebuie să găsiți probabilitatea ca lovitura să apară la a treia lovitură.
Decizie. Să aplicăm distribuția geometrică: să se facă încercări independente, în fiecare dintre ele evenimentul A are o probabilitate de apariție p (și de neapariție q = 1 - p). Încercările se încheie imediat ce apare evenimentul A.
În astfel de condiții, probabilitatea ca evenimentul A să se producă la testul k este determinată de formula: . Aici p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4;k \u003d 3. Prin urmare, .
Sarcina 6. Fie dată legea distribuției unei variabile aleatoare X:
Găsiți așteptările matematice.
Decizie. .
Rețineți că sensul probabilistic al așteptării matematice este valoarea medie a unei variabile aleatoare.
Sarcina 7. Aflați varianța unei variabile aleatoare X cu următoarea lege de distribuție:
Decizie. Aici .
Legea distribuției pătratului lui X 2 :
|
X 2 |
|||
Varianta necesară: .
Dispersia caracterizează gradul de abatere (împrăștiere) a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică.
Sarcina 8. Fie variabila aleatoare dată de distribuția:
|
10m |
|||
Găsiți caracteristicile sale numerice.
Rezolvare: m, m 2 ,
M 2 , m.
Despre o variabilă aleatoare X, se poate spune fie - așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o varianță de 13,04 m 2 , sau - așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o abatere de m. A doua formulare este evident mai clară.
Sarcină 9.
Valoare aleatoare X dat de funcția de distribuție: 
.
Aflați probabilitatea ca, în urma testului, valoarea X să capete o valoare cuprinsă în interval 
.
Decizie. Probabilitatea ca X să ia o valoare dintr-un interval dat este egală cu incrementul funcției integrale în acest interval, i.e. . În cazul nostru și, prin urmare
.
Sarcină 10. Variabilă aleatoare discretă X dat de legea distributiei:
Găsiți funcția de distribuție F(x ) și construiește-i graficul.
Decizie. Deoarece funcţia de distribuţie
pentru 
, apoi
la ;
la ;
la ;
la ;
Grafic relevant:
Sarcina 11. Variabilă aleatoare continuă X dat de funcția de distribuție diferențială: 
.
Găsiți probabilitatea de a lovi X la interval
Decizie. Rețineți că acesta este un caz special al legii distribuției exponențiale.
Să folosim formula: 
.
Sarcină 12. Aflați caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare discrete X date de legea distribuției:
|
–5 |
|||||||||
|
X 2 :
|
este funcția Laplace.Variabilă aleatorie Se numeste o cantitate care, in urma unor teste efectuate in aceleasi conditii, ia valori diferite, in general vorbind, in functie de factori aleatori care nu sunt luati in considerare. Exemple de variabile aleatoare: numărul de puncte aruncate pe un zar, numărul de produse defecte dintr-un lot, abaterea punctului de impact al proiectilului de la țintă, timpul de funcționare al dispozitivului etc. Distingeți variabile aleatoare discrete și continue . Discret Se numește o variabilă aleatorie, ale cărei valori posibile se formează set numărabil, finit sau infinit (adică o mulțime ale cărei elemente pot fi numerotate).
continuu Se numește o variabilă aleatorie, ale cărei valori posibile umple continuu un interval finit sau infinit al axei numerice. Numărul de valori ale unei variabile aleatoare continue este întotdeauna infinit.
Variabilele aleatoare vor fi notate cu majuscule de la sfârșitul alfabetului latin: X, Y, . ; valorile unei variabile aleatoare - cu litere mici: X y. . Prin urmare, X Indică întregul set de valori posibile ale unei variabile aleatoare și X - Un sens specific.
legea distributiei O variabilă aleatoare discretă este o corespondență dată sub orice formă între valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestora.
Fie valorile posibile ale variabilei aleatoare X Sunteți . Ca rezultat al testului, variabila aleatoare va lua una dintre aceste valori, i.e. Va avea loc un eveniment dintr-un grup complet de evenimente incompatibile pe perechi.
Să fie cunoscute și probabilitățile acestor evenimente:
Legea distribuției unei variabile aleatoare X Poate fi scris sub forma unui tabel numit Aproape de distribuție Variabilă aleatorie discretă:
variabile aleatoare. Variabilă aleatoare discretă.
Valorea estimata
A doua secțiune despre teoria probabilității dedicat variabile aleatoare , care ne-a însoțit invizibil la propriu în fiecare articol pe această temă. Și a sosit momentul să articulăm clar despre ce este vorba:
Aleatoriu numit valoare, care în urma testului va lua unul si numai unul o valoare numerică care depinde de factori aleatori și nu este previzibilă în prealabil.
Variabile aleatorii sunt de obicei desemna prin * , și valorile lor în litere mici corespunzătoare cu indice, de exemplu, .
* Uneori folosite ca și literele grecești
Am dat peste un exemplu despre prima lecție de teoria probabilităților, unde am luat în considerare de fapt următoarea variabilă aleatorie:
- numărul de puncte care vor cădea după aruncarea unui zar.
Acest test va avea ca rezultat unul și doar unul linia, care nu este previzibilă (trucurile nu sunt luate în considerare); în acest caz, variabila aleatoare poate lua una dintre următoarele valori:
- numarul de baieti din 10 nou-nascuti.
Este destul de clar că acest număr nu este cunoscut în prealabil, iar în următorii zece copii născuți pot exista:
Sau băieți - unul si numai unul dintre opțiunile enumerate.
Și, pentru a fi în formă, puțină educație fizică:
- distanta de saritura in lungime (în unele unități).
Nici măcar maestrul sportului nu este în stare să prevadă asta 🙂
Totuși, care sunt ipotezele tale?
De îndată ce set de numere reale infinit, atunci variabila aleatoare poate lua infinit de multe valori dintr-un anumit interval. Și aceasta este diferența sa fundamentală față de exemplele anterioare.
Prin urmare, se recomandă împărțirea variabilelor aleatoare în 2 grupuri mari:
1) discret (intermitent) variabilă aleatoare - ia valori luate separat, izolate. Numărul acestor valori cu siguranță sau infinit dar numărabil.
... au fost desenați termeni de neînțeles? Repetați urgent bazele algebrei!
2) Variabilă aleatoare continuă - ia toate valori numerice dintr-un interval finit sau infinit.
Notă : abrevierile DSV și NSV sunt populare în literatura educațională
Mai întâi, să analizăm o variabilă aleatoare discretă, apoi - continuu.
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete
- Acest conformitateîntre valorile posibile ale acestei mărimi și probabilitățile acestora. Cel mai adesea, legea este scrisă într-un tabel:
Termenul este destul de comun rând
distributie, dar în unele situații sună ambiguu și, prin urmare, voi respecta „legea”.
Si acum punct foarte important: din moment ce variabila aleatoare neapărat voi accepta una dintre valori, apoi se formează evenimentele corespunzătoare grup complet iar suma probabilităților apariției lor este egală cu unu:
sau, dacă este scris pliat:
Deci, de exemplu, legea distribuției probabilităților punctelor de pe un zar are următoarea formă:
Este posibil să aveți impresia că o variabilă aleatoare discretă poate lua doar valori întregi „bune”. Să risipim iluzia - pot fi orice:
Unele jocuri au următoarea lege de distribuire a plăților:
…probabil că visezi de mult timp la astfel de sarcini 🙂 Îți voi spune un secret - și mie. Mai ales după terminarea lucrărilor teoria câmpului.
Decizie: deoarece o variabilă aleatoare poate lua doar una din trei valori, se formează evenimentele corespunzătoare grup complet, ceea ce înseamnă că suma probabilităților lor este egală cu unu:
Îl expunem pe „partizanul”:
– astfel, probabilitatea de a câștiga unități convenționale este de 0,4.
Control: de ce ai nevoie pentru a te asigura.
Răspuns:
Nu este neobișnuit când legea distribuției trebuie elaborată independent. Pentru această utilizare definiția clasică a probabilității, teoreme de înmulțire/adunare pentru probabilitățile de evenimenteși alte chips-uri tervera:
În cutie sunt 50 de bilete de loterie, dintre care 12 sunt câștigătoare, iar 2 dintre ele câștigă 1000 de ruble fiecare, iar restul - 100 de ruble fiecare. Întocmește o lege de distribuție pentru o variabilă aleatorie - suma câștigurilor dacă un bilet este extras aleatoriu din casetă.
Decizie: după cum ați observat, este obișnuit să plasați valorile unei variabile aleatoare în ordine crescătoare. Prin urmare, începem cu cele mai mici câștiguri, și anume ruble.
În total, sunt 50 - 12 = 38 de astfel de bilete, iar conform definiție clasică:
este probabilitatea ca un bilet extras aleatoriu să nu câștige.
Restul cazurilor sunt simple. Probabilitatea de a câștiga ruble este:
Si pentru :
Verificarea: - si acesta este un moment deosebit de placut al unor astfel de sarcini!
Răspuns: legea impusă de distribuire a plăților:
Următoarea sarcină pentru o decizie independentă:
Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta este de . Faceți o lege de distribuție pentru o variabilă aleatorie - numărul de lovituri după 2 lovituri.
... Știam că ți-a fost dor de el 🙂 Ne amintim teoreme de înmulțire și adunare. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.
Legea distribuției descrie complet o variabilă aleatoare, dar în practică este util (și uneori mai util) să cunoști doar o parte din ea. caracteristici numerice .
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete
În termeni simpli, asta valoarea medie aşteptată cu teste repetate. Fie ca o variabilă aleatorie să ia valori cu probabilități, respectiv. Atunci așteptarea matematică a acestei variabile aleatoare este egală cu suma de produse toate valorile sale după probabilitățile corespunzătoare:
sau în formă pliată:
Să calculăm, de exemplu, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare - numărul de puncte aruncate pe un zar:
Care este semnificația probabilistică a rezultatului obținut? Dacă arunci zarul de destule ori, atunci Rău punctele scăzute vor fi aproape de 3,5 - și cu cât faci mai multe teste, cu atât mai aproape. De fapt, am vorbit deja despre acest efect în detaliu în lecția despre probabilitate statistică.
Acum să ne amintim jocul nostru ipotetic:
Apare întrebarea: este chiar profitabil să joci acest joc? ... cine are impresii? Așa că nu poți spune „de la îndemână”! Dar la această întrebare se poate răspunde cu ușurință prin calcularea așteptărilor matematice, în esență - medie ponderată probabilități de câștig:
Astfel, așteptările matematice ale acestui joc pierzând.
Nu aveți încredere în impresii - aveți încredere în numere!
Da, aici poți câștiga de 10 sau chiar de 20-30 de ori la rând, dar pe termen lung vom fi inevitabil ruinați. Și nu te-aș sfătui să joci astfel de jocuri 🙂 Ei bine, poate doar pentru distractie.
Din toate cele de mai sus, rezultă că așteptarea matematică NU este o valoare aleatorie.
Sarcina creativă pentru cercetare independentă:
Domnul X joacă la ruleta europeană după următorul sistem: pariază constant 100 de ruble pe roșu. Alcătuiți legea distribuției unei variabile aleatoare - profitul acesteia. Calculați așteptările matematice ale câștigurilor și rotunjiți-o la copeici. Cât costă in medie jucătorul pierde la fiecare sută de pariuri?
Referinţă : Ruleta europeană conține 18 sectoare roșii, 18 negre și 1 verde („zero”). În cazul unei căderi „roșii”, jucătorul este plătit cu un pariu dublu, în caz contrar, acesta merge la venitul cazinoului.
Există multe alte sisteme de ruletă pentru care vă puteți crea propriile tabele de probabilitate. Dar acesta este cazul când nu avem nevoie de nicio lege și tabele de distribuție, deoarece este stabilit cu siguranță că așteptările matematice ale jucătorului vor fi exact aceleași. Doar modificări de la sistem la sistem dispersie, despre care vom afla în partea 2 a lecției.
Dar înainte de asta, va fi util să întindeți degetele pe tastele calculatorului:
Variabila aleatoare este dată de propria sa lege de distribuție a probabilității:
Aflați dacă se știe că . Efectuați o verificare.
Apoi trecem la studiu dispersia unei variabile aleatoare discreteși dacă este posibil, CHIAR ACUM!!- pentru a nu pierde firul subiectului.
Solutii si raspunsuri:
Exemplul 3 Decizie: după condiție – probabilitatea de a lovi ținta. Apoi:
este probabilitatea unei rateuri.
Să facem - legea distribuției loviturilor la două lovituri:
- nici o lovitură. De teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:
- o singură lovitură. De teoreme de adunare a probabilităţilor de incompatibilitate şi multiplicare a evenimentelor independente:
- două lovituri. Conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:
Verificați: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1
Răspuns :
Notă : a fost posibil să se utilizeze denumiri - acest lucru nu este important.
Exemplul 4 Decizie: jucătorul câștigă 100 de ruble în 18 cazuri din 37 și, prin urmare, legea de distribuire a câștigurilor sale are următoarea formă:
Să calculăm așteptările matematice:
Astfel, pentru fiecare sută pariată, jucătorul pierde în medie 2,7 ruble.
Exemplul 5 Decizie: prin definiția așteptărilor matematice:
Să schimbăm părți și să facem simplificări:
prin urmare:
Sa verificam:
, care urma să fie verificat.
Răspuns :
(Mergeți la pagina principală)
Muncă de calitate fără plagiat - Zaochnik.com
www.mathprofi.ru
Variabile aleatoare discrete
Variabilă aleatorie se numește o variabilă care, în urma fiecărui test, ia o valoare necunoscută anterior, în funcție de cauze aleatorii. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule latine: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ După tipul lor, variabilele aleatoare pot fi discretși continuu.
Variabilă aleatoare discretă- aceasta este o astfel de variabilă aleatoare, ale cărei valori nu pot fi mai mult decât numărabile, adică fie finite, fie numărabile. Numărabilitatea înseamnă că pot fi enumerate valorile unei variabile aleatorii.
Exemplul 1 . Să dăm exemple de variabile aleatoare discrete:
a) numărul de lovituri pe țintă cu $n$ lovituri, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
b) numărul de steme care au căzut la aruncarea unei monede, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
c) numărul de nave care au ajuns la bord (un set numărabil de valori).
d) numărul de apeluri care sosesc la centrală (un set numărabil de valori).
1. Legea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete.
O variabilă aleatoare discretă $X$ poate lua valorile $x_1,\dots ,\ x_n$ cu probabilități $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Corespondența dintre aceste valori și probabilitățile lor se numește legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete. De regulă, această corespondență este specificată folosind un tabel, în primul rând al căruia sunt indicate valorile lui $x_1,\dots ,\ x_n$, iar în a doua linie probabilitățile corespunzătoare acestor valori sunt $ p_1,\dots ,\ p_n$.
$\begin
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end$
Exemplul 2 . Fie variabila aleatoare $X$ numărul de puncte aruncate atunci când un zar este aruncat. O astfel de variabilă aleatorie $X$ poate lua următoarele valori $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitățile tuturor acestor valori sunt egale cu $1/6$. Apoi legea distribuției probabilităților pentru variabila aleatoare $X$:
$\begin
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$
cometariu. Deoarece evenimentele $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ formează un grup complet de evenimente în legea distribuției variabilei aleatoare discrete $X$, suma probabilităților trebuie să fie egală cu unu, adică $\sum
2. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatorii specifică valoarea sa „centrală”. Pentru o variabilă aleatorie discretă, așteptarea matematică este calculată ca suma produselor valorilor $x_1,\dots ,\ x_n$ și a probabilităților $p_1,\dots ,\p_n$ corespunzătoare acestor valori, adică: $M\left(X\right)=\sum ^n_
Proprietăți de așteptare$M\stânga(X\dreapta)$:
- $M\left(X\right)$ este între cele mai mici și cele mai mari valori ale variabilei aleatoare $X$.
- Așteptările matematice ale unei constante este egală cu constanta însăși, adică. $M\left(C\right)=C$.
- Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
Exemplul 3 . Să găsim așteptările matematice ale variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.
Putem observa că $M\left(X\right)$ se află între cea mai mică ($1$) și cea mai mare ($6$) valori ale variabilei aleatoare $X$.
Exemplul 4 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=2$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $3X+5$.
Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.
Exemplul 5 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=4$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $2X-9$.
Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.
3. Dispersia unei variabile aleatoare discrete.
Valorile posibile ale variabilelor aleatoare cu așteptări matematice egale se pot împrăștia diferit în jurul valorilor lor medii. De exemplu, în două grupe de studenți, scorul mediu la examen la teoria probabilității s-a dovedit a fi 4, dar într-o grupă toți s-au dovedit a fi elevi buni, iar în celălalt grup, doar studenți C și studenți excelenți. Prin urmare, este nevoie de o astfel de caracteristică numerică a unei variabile aleatoare, care să arate răspândirea valorilor unei variabile aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice. Această caracteristică este dispersia.
Dispersia unei variabile aleatoare discrete$X$ este:
În literatura engleză, se folosește notația $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Foarte des, varianța $D\left(X\right)$ este calculată prin formula $D\left(X\right)=\sum^n_
Proprietăți de dispersie$D\stânga(X\dreapta)$:
- Dispersia este întotdeauna mai mare sau egală cu zero, adică. $D\stanga(X\dreapta)\ge 0$.
- Dispersia dintr-o constantă este egală cu zero, adică. $D\stanga(C\dreapta)=0$.
- Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie, cu condiția ca acesta să fie pătrat, i.e. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\dreapta)$.
- Varianța sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, i.e. $D\left(X+Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.
- Varianța diferenței variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, i.e. $D\left(X-Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.
Exemplul 6 . Să calculăm varianța variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.
Exemplul 7 . Se știe că varianța variabilei aleatoare $X$ este egală cu $D\left(X\right)=2$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $4X+1$.
Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ stânga(X\dreapta)=16\cdot 2=32$.
Exemplul 8 . Se știe că varianța lui $X$ este egală cu $D\left(X\right)=3$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $3-2X$.
Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ stânga(X\dreapta)=4\cdot 3=12$.
4. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete.
Metoda de reprezentare a unei variabile aleatoare discrete sub forma unei serii de distribuție nu este singura și, cel mai important, nu este universală, deoarece o variabilă aleatoare continuă nu poate fi specificată folosind o serie de distribuție. Există o altă modalitate de a reprezenta o variabilă aleatoare - funcția de distribuție.
functie de distributie variabila aleatoare $X$ este funcția $F\left(x\right)$, care determină probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia o valoare mai mică decât o valoare fixă $x$, adică $F\left(x\ dreapta)$ )=P\left(X 6$, apoi $F\left(x\right)=P\left(X=1\dreapta)+P\left(X=2\dreapta)+P\left( X=3\dreapta)+P\stanga(X=4\dreapta)+P\stanga(X=5\dreapta)+P\stanga(X=6\dreapta)=1/6+1/6+1/ 6+1 /6+1/6+1/6=1$.
Graficul funcției de distribuție $F\left(x\right)$:
Legile de bază ale distribuției
1. Legea distribuției binomiale.
Legea distribuției binomiale descrie probabilitatea de apariție a evenimentului A de m ori în n încercări independente, cu condiția ca probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare încercare să fie constantă.
De exemplu, departamentul de vânzări al unui magazin de hardware primește, în medie, o comandă pentru achiziționarea de televizoare în 10 apeluri. Scrieți o lege de distribuție a probabilității pentru achiziționarea de m televizoare. Construiți un poligon al distribuției de probabilitate.
În tabel, m este numărul de comenzi primite de companie pentru achiziționarea unui televizor. C n m este numărul de combinații de m televizoare cu n, p este probabilitatea apariției evenimentului A, adică. comandarea unui televizor, q este probabilitatea ca evenimentul A să nu aibă loc, adică necomandând un televizor, P m,n este probabilitatea de a comanda m televizoare din n. Figura 1 prezintă poligonul distribuției de probabilitate.
2.Repartiția geometrică.
Distribuția geometrică a unei variabile aleatoare are următoarea formă:
P m este probabilitatea de apariție a evenimentului A în numărul de încercare m.
p este probabilitatea de apariție a evenimentului A într-o singură încercare.
q = 1 - p
Exemplu. O firmă de reparații electrocasnice a primit un lot de 10 unități de schimb pentru mașini de spălat. Există cazuri când un lot conține 1 bloc defect. Se efectuează o verificare până la găsirea unui bloc defect. Este necesar să se întocmească o lege de repartizare a numărului de blocuri verificate. Probabilitatea ca un bloc să fie defect este de 0,1. Construiți un poligon al distribuției de probabilitate.
Din tabel se poate observa că odată cu creșterea numărului m, probabilitatea ca un bloc defect să fie detectat scade. Ultima linie (m=10) combină două probabilități: 1 - că al zecelea bloc s-a dovedit a fi defect - 0,038742049 , 2 - că toate blocurile verificate s-au dovedit a fi funcționale - 0,34867844. Deoarece probabilitatea eșecului unui bloc este relativ scăzută (p=0,1), probabilitatea ultimului eveniment Pm (10 blocuri testate) este relativ mare. Fig.2.
3. Distribuția hipergeometrică.
Distribuția hipergeometrică a unei variabile aleatoare are următoarea formă:
De exemplu, întocmește o lege a distribuției a 7 numere ghicite din 49. În acest exemplu, numerele totale N=49, n=7 numere au fost eliminate, M - numerele totale care au o proprietate dată, adică. numere ghicite corect, m este numărul de numere ghicite corect dintre cele retrase.
Tabelul arată că probabilitatea de a ghici un număr m=1 este mai mare decât atunci când m=0. Cu toate acestea, atunci probabilitatea începe să scadă rapid. Astfel, probabilitatea de a ghici 4 numere este deja mai mică de 0,005, iar 5 este neglijabilă.
4. Legea distribuției Poisson.
O variabilă aleatoare X are o distribuție Poisson dacă legea sa de distribuție are forma:
Np = const
n este numărul de încercări care tind spre infinit
p este probabilitatea ca evenimentul să se producă, tinde spre zero
m este numărul de apariții ale evenimentului A
De exemplu, în medie, o companie de televiziune primește aproximativ 100 de apeluri pe zi. Probabilitatea de a comanda un televizor marca A este de 0,08; B - 0,06 și C - 0,04. Întocmește legea distribuției comenzilor pentru achiziționarea de televizoare de mărci A, B și C. Construiește un poligon de distribuție a probabilității.
Din condiția avem: m=100, ? 1=8, ? 2=6, ? 3 =4 (?10)
(tabelul nu este complet)
Dacă n este suficient de mare pentru a merge la infinit și p ajunge la zero, astfel încât produsul np să ajungă la un număr constant, atunci această lege este o aproximare a legii distribuției binomiale. Din grafic se poate observa că cu cât probabilitatea p este mai mare, cu atât curba este mai aproape de axa m, adică. mai blând. (Fig.4)
Trebuie remarcat faptul că legile distribuției binomiale, geometrice, hipergeometrice și Poisson exprimă distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete.
5. Legea distribuirii uniforme.
Dacă densitatea de probabilitate? (x) este o valoare constantă pe un anumit interval, atunci legea distribuției se numește uniformă. Figura 5 prezintă graficele funcției de distribuție a probabilității și densitatea de probabilitate a legii distribuției uniforme.
6. Legea distribuției normale (legea Gauss).
Dintre legile de distribuție a variabilelor aleatoare continue, cea mai comună este legea distribuției normale. O variabilă aleatoare este distribuită conform legii distribuției normale dacă densitatea sa de probabilitate are forma:
Unde
a este așteptarea matematică a unei variabile aleatoare
? - deviație standard
Graficul densității de probabilitate a unei variabile aleatoare cu o lege de distribuție normală este simetric față de dreapta x=a, adică x egal cu așteptarea matematică. Astfel, dacă x=a, atunci curba are un maxim egal cu:
Când valoarea așteptărilor matematice se schimbă, curba se va deplasa de-a lungul axei Ox. Graficul (Fig. 6) arată că la x=3 curba are un maxim, deoarece așteptarea matematică este 3. Dacă așteptarea matematică ia o valoare diferită, de exemplu, a=6, atunci curba va avea un maxim la x=6. Vorbind despre abaterea standard, după cum puteți vedea din grafic, cu cât deviația standard este mai mare, cu atât valoarea maximă a densității de probabilitate a unei variabile aleatoare este mai mică.
O funcție care exprimă distribuția unei variabile aleatoare pe intervalul (-?, x), și având o lege de distribuție normală, este exprimată prin funcția Laplace după următoarea formulă:
Acestea. probabilitatea unei variabile aleatoare X constă din două părți: probabilitatea în care x ia valori de la minus infinit la a, egale cu 0,5, iar a doua parte este de la a la x. (Fig.7)
Învățând Împreună
Materiale utile pentru studenți, lucrări de diplomă și semestre la comandă
Lecția: legea distribuției unei variabile aleatoare discrete
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete se numește corespondența dintre valorile posibile și probabilitățile acestora. Poate fi specificat tabelar, grafic și analitic.
Ce este o variabilă aleatoare este discutat în această lecție.
Cu modul tabelar de setare, primul rând al tabelului conține valori posibile, iar al doilea probabilitățile acestora, adică
Această mărime se numește serie de distribuție. variabilă aleatoare discretă.
X=x1, X=x2, X=xn formează un grup complet, deoarece într-o încercare variabila aleatoare va lua una și o singură valoare posibilă. Prin urmare, suma probabilităților lor este egală cu unu, adică p1 + p2 + pn = 1 sau
Dacă setul de valori al lui X este infinit, atunci 
Exemplul 1. Există 100 de bilete emise într-o loterie în numerar. Se joacă un câștig de 1000 de ruble și 10 din 100 de ruble. Găsiți legea distribuției unei variabile aleatoare X - costul unui posibil câștig pentru proprietarul unui bilet de loterie.
Legea distribuției dorite are forma:
Controlul; 0,01+0,1+0,89=1.
Cu o metodă grafică de stabilire a legii de distribuție, punctele sunt construite pe planul de coordonate (Xi: Pi), apoi sunt conectate prin segmente de linie dreaptă. Linia întreruptă rezultată se numește poligon de distribuție. De exemplu 1, poligonul de distribuție este prezentat în Figura 1.
În metoda analitică de stabilire a legii distribuției, este indicată o formulă care pune în legătură probabilitățile unei variabile aleatoare cu valorile ei posibile.
Exemple de distribuții discrete
Distribuție binomială
Să se facă n încercări, în fiecare dintre ele evenimentul A are loc cu o probabilitate constantă p, prin urmare, nu are loc cu o probabilitate constantă q = 1- p. Luați în considerare o variabilă aleatorie X- numărul de apariții ale evenimentului A în aceste n încercări. Valorile posibile ale lui X sunt x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n. Probabilitatea acestor posibile
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete se numește Windows XP Word 2003 Excel 2003 Legile distribuției variabilelor aleatoare discrete Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este orice relație care stabilește o relație între valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete și […]