Seturi. Operații pe platouri.
Setați afișajul. Setați puterea

Vă urez bun venit la prima lecție de algebră superioară, care a apărut... în ajunul celei de-a cincea aniversări a site-ului, după ce deja creasem peste 150 de articole la matematică, iar materialele mele au început să prindă contur într-un curs finalizat. . Cu toate acestea, voi spera că nu am întârziat - la urma urmei, mulți studenți încep să se adâncească în prelegeri doar pentru examene de stat =)

Cursul universitar de vyshmat se bazează în mod tradițional pe trei piloni:

– analiză matematică (limite, derivate etc.)

– și în sfârșit, sezonul anului universitar 2015/16 se deschide cu lecții Algebră pentru manechine, Elemente de logică matematică, pe care vom analiza elementele de bază ale secțiunii, precum și ne vom familiariza cu conceptele matematice de bază și cu notația comună. Trebuie să spun că în alte articole nu abuzez de „squiggles” , cu toate acestea, acesta este doar un stil și, desigur, trebuie să fie recunoscute în orice stat =). Anunț noii cititori că lecțiile mele sunt orientate spre practică, iar următorul material va fi prezentat în acest sens. Pentru informații mai complete și academice, vă rugăm să contactați literatură educațională. Merge:

Multe. Dați exemple

Un set este un concept fundamental nu numai al matematicii, ci și al întregii lumi din jur. Luați orice obiect în mână chiar acum. Aici aveți un set format dintr-un element.

Într-un sens larg, un set este o colecție de obiecte (elemente) care sunt înțelese ca un întreg(după anumite semne, criterii sau împrejurări). Mai mult, acestea nu sunt doar obiecte materiale, ci și litere, cifre, teoreme, gânduri, emoții etc.

Seturile sunt de obicei notate cu majuscule latine. (ca opțiune, cu indice: etc.), iar elementele sale sunt scrise între acolade, de exemplu:

- un set de litere ale alfabetului rus;
este multimea numerelor naturale;

Ei bine, este timpul să ne cunoaștem puțin:
– mulți elevi în rândul 1

… Mă bucur să vă văd fețele serioase și concentrate =)

Se setează și sunt final(constând dintr-un număr finit de elemente), iar o mulțime este un exemplu fără sfârşit seturi. În plus, în teorie și practică, așa-numitul set gol:

este o mulțime care nu conține niciun element.

Exemplul vă este bine cunoscut - setul din examen este adesea gol =)

Apartenența unui element într-o mulțime este indicată de simbolul , de exemplu:

- litera „fi” aparține setului de litere ale alfabetului rus;
- litera „beta” nu aparține setului de litere ale alfabetului rus;
– numărul 5 aparține mulțimii numerelor naturale;
- dar cifra 5,5 nu mai este acolo;
- Voldemar nu stă în primul rând (și cu atât mai mult, nu aparține setului sau =)).

În abstract și nu atât de algebră, elementele unei mulțimi sunt notate cu litere mici latine și, în consecință, faptul de apartenență este întocmit în următorul stil:

– elementul aparține mulțimii .

Seturile de mai sus sunt scrise transfer direct elemente, dar aceasta nu este singura cale. Multe seturi sunt definite convenabil folosind unele semn (e), care este inerent la toate elementele sale. De exemplu:

este mulțimea tuturor numerelor naturale mai mici de 100.

Tine minte: un baston vertical lung exprimă turnover-ul verbal „care”, „astfel încât”. Destul de des, se folosește în schimb două puncte: - să citim intrarea mai formal: „mulțimea elementelor aparținând mulțimii numerelor naturale, astfel încât » . Bine făcut!

Acest set poate fi scris și prin enumerare directă:

Mai multe exemple:
- și dacă sunt destul de mulți studenți în primul rând, atunci o astfel de înregistrare este mult mai convenabilă decât listarea lor directă.

este mulţimea numerelor aparţinând intervalului . Rețineți că aceasta se referă la set valabil numere (despre ei mai târziu), care nu mai pot fi listate separate prin virgule.

Trebuie remarcat faptul că elementele unei mulțimi nu trebuie să fie „omogene” sau legate logic. Luați o pungă mare și începeți să puneți la întâmplare diverse articole în ea. Nu există o regularitate în acest lucru, dar, cu toate acestea, vorbim despre o varietate de subiecte. Figurat vorbind, un set este un „pachet” separat în care un anumit set de obiecte s-a dovedit a fi „prin voința sorții”.

Subseturi

Aproape totul este clar din numele în sine: setul este subset set dacă fiecare element al mulțimii aparține mulțimii . Cu alte cuvinte, o mulțime este conținută într-o mulțime:

O icoană se numește icoană includere.

Să revenim la exemplul în care se află setul de litere ale alfabetului rus. Notează prin - mulțimea vocalelor sale. Apoi:

De asemenea, este posibil să se evidențieze un subset de litere consoane și, în general, un subset arbitrar constând din orice număr de litere chirilice luate aleatoriu (sau non-aleatoriu). În special, orice literă chirilică este un subset al setului .

Relațiile dintre submulțimi sunt descrise convenabil folosind o schemă geometrică condiționată numită Cercuri Euler.

Să fie un set de studenți în primul rând, să fie un set de studenți de grup și să fie un set de studenți. Atunci relația incluziunilor poate fi reprezentată după cum urmează:

Setul de studenți ai unei alte universități ar trebui să fie reprezentat ca un cerc care nu intersectează cercul exterior; multitudinea de studenți ai țării într-un cerc care conține ambele cercuri și așa mai departe.

Observăm un exemplu tipic de incluziuni atunci când luăm în considerare seturi de numere. Să repetăm material scolar, care este important de reținut atunci când studiați matematica superioară:

Seturi numerice

După cum știți, din punct de vedere istoric, au apărut primele numere naturale, concepute pentru a număra obiectele materiale (oameni, găini, oi, monede etc.). Acest set a fost deja întâlnit în articol, singurul lucru este că acum îi modificăm ușor denumirea. Faptul este că seturile numerice sunt de obicei notate cu litere aldine, stilizate sau îngroșate. Prefer să folosesc bold:

Uneori, zero este inclus în mulțimea numerelor naturale.

Dacă adunăm aceleași numere cu semnul opus și zero la mulțime, obținem mulţime de numere întregi:

Raționalizatorii și leneșii își notează elementele cu icoane "plus minus":))

Este destul de clar că mulțimea numerelor naturale este o submulțime a mulțimii numerelor întregi:
- deoarece fiecare element al multimii apartine multimii . Astfel, orice numar natural poate fi numit în siguranță un număr întreg.

Numele setului este, de asemenea, „vorbind”: numere întregi - aceasta înseamnă că nu există fracții.

Și, de îndată ce sunt numere întregi, ne amintim imediat semnele importante ale divizibilității lor cu 2, 3, 4, 5 și 10, care vor fi necesare în calculele practice aproape în fiecare zi:

Un număr întreg este divizibil cu 2 fără rest dacă se termină cu 0, 2, 4, 6 sau 8 (adică orice cifră pară). De exemplu, numere:
400, -1502, -24, 66996, 818 - împărțit la 2 fără rest.

Și să analizăm imediat semnul „înrudit”: întregul este divizibil cu 4 dacă numărul format din ultimele sale două cifre (in ordinea lor) este divizibil cu 4.

400 este divizibil cu 4 (deoarece 00 (zero) este divizibil cu 4);
-1502 - nu este divizibil cu 4 (deoarece 02 (doi) nu este divizibil cu 4);
-24, desigur, este divizibil cu 4;
66996 - divizibil cu 4 (pentru că 96 este divizibil cu 4);
818 - nu este divizibil cu 4 (deoarece 18 nu este divizibil cu 4).

Faceți-vă propria justificare simplă pentru acest fapt.

Divizibilitatea cu 3 este puțin mai dificilă: un număr întreg este divizibil cu 3 fără rest dacă suma cifrelor sale este divizibil cu 3.

Să verificăm dacă numărul 27901 este divizibil cu 3. Pentru a face acest lucru, însumăm numerele sale:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - nu este divizibil cu 3
Concluzie: 27901 nu este divizibil cu 3.

Să însumăm cifrele numărului -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - divizibil cu 3
Concluzie: numărul -825432 este divizibil cu 3

Numărul întreg este divizibil cu 5, dacă se termină cu cinci sau cu zero:
775, -2390 - divizibil cu 5

Numărul întreg este divizibil cu 10 dacă se termină cu zero:
798400 - divizibil cu 10 (si evident la 100). Ei bine, probabil că toată lumea își amintește - pentru a împărți la 10, trebuie doar să eliminați un zero: 79840

Există, de asemenea, semne de divizibilitate cu 6, 8, 9, 11 etc., dar practic nu există niciun sens practic din ele =)

Trebuie remarcat faptul că criteriile enumerate (aparent atât de simple) sunt riguros dovedite în teoria numerelor. Această secțiune de algebră este în general destul de interesantă, dar teoremele ei... doar o execuție chineză modernă =) Și Voldemar la ultimul birou a fost suficient... dar e în regulă, în curând vom face exerciții fizice dătătoare de viață =)

Următorul set de numere este Multe numere rationale :
- adică orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție cu un număr întreg numărător si naturala numitor.

Evident, mulțimea numerelor întregi este subset seturi de numere raționale:

Și de fapt - la urma urmei, orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție rațională, de exemplu: etc. Astfel, un număr întreg poate fi numit în mod destul de legitim număr rațional.

Un semn „identificator” caracteristic al unui număr rațional este faptul că la împărțirea numărătorului la numitor, se obține fie
este un număr întreg,

sau
– final zecimal,

sau
- fără sfârșit periodic zecimal (reluarea poate să nu înceapă imediat).

Admirați diviziunea și încercați să efectuați această acțiune cât mai puțin posibil! În articolul organizatoric Matematică superioară pentru manechini iar în alte lecții am repetat, repetat și voi repeta în mod repetat această mantră:

LA matematică superioară ne străduim să efectuăm toate acțiunile în fracții obișnuite (corecte și improprii).

Sunteți de acord că a face față unei fracții este mult mai convenabil decât cu un număr zecimal 0,375 (ca să nu mai vorbim de fracții infinite).

Să mergem mai departe. Pe lângă cele raționale, sunt multe numere irationale, fiecare dintre acestea putând fi reprezentat ca un infinit neperiodică fracție zecimală. Cu alte cuvinte, nu există o regularitate în „cozile infinite” ale numerelor iraționale:
("Anul nașterii lui Lev Tolstoi" de două ori)
etc.

Există o mulțime de informații despre renumitele constante „pi” și „e”, așa că nu mă opresc asupra lor.

Unirea numerelor raționale și iraționale forme set de numere reale (reale).:

- icoană asociațiile seturi.

Interpretarea geometrică a setului vă este familiară - este o linie numerică:


Fiecare număr real corespunde unui anumit punct al dreptei numerice și invers - fiecare punct al dreptei numerice corespunde în mod necesar unui număr real. În esență, acum am formulat proprietate de continuitate numere reale, care, deși pare evident, este riguros dovedit în cursul analizei matematice.

Linia numerică se notează și cu un interval infinit, iar notația sau notația echivalentă simbolizează faptul că aparține mulțimii numerelor reale (sau pur și simplu "x" - un număr real).

Cu înglobări, totul este transparent: mulțimea numerelor raționale este subset seturi de numere reale:
, astfel, orice număr rațional poate fi numit în siguranță număr real.

Mulțimea numerelor iraționale este de asemenea subset numere reale:

În același timp, submulțile și nu se intersectează- adică niciun număr irațional nu poate fi reprezentat ca o fracție rațională.

Există și alte sisteme de numere? Exista! Aceasta, de exemplu, numere complexe, cu care vă recomand să citiți la propriu în următoarele zile sau chiar ore.

Între timp, ne întoarcem la studiul operațiilor de set, al căror spirit s-a materializat deja la sfârșitul acestei secțiuni:

Acțiuni pe platouri. Diagramele Venn

Diagramele Venn (asemănătoare cercurilor Euler) sunt o reprezentare schematică a acțiunilor cu mulțimi. Din nou, vă avertizez că nu voi acoperi toate operațiunile:

1) intersecție Și si este marcat cu

Intersecția mulțimilor se numește mulțime, căreia îi aparține fiecare element și a stabilit , și a stabilit . În linii mari, o intersecție este o parte comună a mulțimilor:

Deci, de exemplu, pentru seturi:

Dacă mulțimile nu au elemente identice, atunci intersecția lor este goală. Tocmai am dat peste un astfel de exemplu când luăm în considerare seturile numerice:

Mulțimile numerelor raționale și iraționale pot fi reprezentate schematic prin două cercuri care nu se suprapun.

Operația de intersecție este aplicabilă unui număr mai mare de mulțimi, în special, Wikipedia are un bun un exemplu de intersecție a unor seturi de litere din trei alfabete.

2) O asociere multimi se caracterizeaza printr-o legatura logica SAU si este marcat cu

O uniune de mulțimi este o mulțime, fiecare element aparținând mulțimii sau a stabilit :

Să scriem uniunea mulțimilor:
- aproximativ vorbind, aici trebuie să enumerați toate elementele seturilor și , și aceleași elemente (în acest caz, unitatea de la intersecția mulțimilor) trebuie specificat o singură dată.

Dar mulțimile, desigur, s-ar putea să nu se intersecteze, așa cum este cazul numerelor raționale și iraționale:

În acest caz, puteți desena două cercuri umbrite care nu se intersectează.

Operația de unire este aplicabilă pentru mai multe seturi, de exemplu, dacă , atunci:

Numerele nu trebuie să fie în ordine crescătoare. (Am făcut asta doar din motive estetice). Fără alte prelungiri, rezultatul poate fi scris astfel:

3) diferență și nu aparține setului:

Diferența se citește după cum urmează: „a fără să fie”. Și puteți argumenta exact în același mod: luați în considerare seturile. Pentru a nota diferența, trebuie să „arunci” toate elementele care se află în set din set:

Exemplu cu seturi numerice:
- aici toate numerele naturale sunt excluse din mulțimea numerelor întregi, iar notația în sine se citește astfel: „mulțimea numerelor întregi fără mulțimea naturalelor”.

Oglindă: diferență multimi si apeleaza multimea, fiecare element apartinand multimii și nu aparține setului:

Pentru aceleasi seturi
- din setul „aruncat afară” ce este în platou.

Dar această diferență se dovedește a fi goală: . Și de fapt - dacă numerele întregi sunt excluse din mulțimea numerelor naturale, atunci, de fapt, nimic nu va rămâne :)

În plus, ia în considerare uneori simetric diferența care combină ambele „semilune”:
- cu alte cuvinte, este „totul în afară de intersecția mulțimilor”.

4) Produs cartezian (direct). multimi si se numeste multime toate ordonat perechi în care elementul și elementul

Să scriem produs cartezian seturi:
- este convenabil să enumerăm perechile după următorul algoritm: „în primul rând, atașăm succesiv fiecare element al mulțimii la primul element al mulțimii, apoi atașăm fiecare element al mulțimii la al doilea element al mulțimii, apoi atașați fiecare element al setului la al 3-lea element al setului»:

Oglindă: produs cartezian multimi si se numeste multimea tuturor ordonat perechi în care . În exemplul nostru:
- aici schema de înregistrare este similară: mai întâi, atașăm secvențial toate elementele setului la „minus unu”, apoi la „de” - aceleași elemente:

Dar acest lucru este doar pentru comoditate - în ambele cazuri, perechile pot fi listate în orice ordine - este important să scrieți aici toate posibile cupluri.

Și acum punctul culminant al programului: produsul cartezian nu este altceva decât un set de puncte în nativul nostru Sistemul de coordonate carteziene .

Exercițiu pentru material cu autofixare:

Efectuați operațiuni dacă:

Multe este convenabil să o descriem prin enumerarea elementelor sale.

Și un moft cu intervale de numere reale:

Amintiți-vă că paranteza pătrată înseamnă includere numerele în interval și rotunjiți-l excludere, adică „minus unu” aparține setului, iar „trei” nu aparține setului. Încercați să vă dați seama care este produsul cartezian al acestor mulțimi. Dacă aveți dificultăți, urmați desenul ;)

Rezolvarea scurtă a problemei la sfârșitul lecției.

Setați afișajul

Afişa set to set is regulă, conform căreia fiecare element al mulțimii este asociat cu un element (sau elemente) din mulțime . În cazul în care se potrivește singurul element, această regulă se numește clar definit funcție sau doar funcţie.

Funcția, după cum mulți oameni știu, este cel mai adesea indicată printr-o literă - se asociază Pentru fiecare elementul este singura valoare care aparține mulțimii .

Ei bine, acum voi deranja din nou o mulțime de studenți din primul rând și le voi oferi 6 subiecte pentru rezumate (set):

Instalat (voluntar sau involuntar =)) regula asociază fiecare elev al mulţimii cu o singură temă a rezumatului setului.

… și probabil că nici nu ți-ai putea imagina că ai juca rolul unui argument de funcție =) =)

Elementele setului formează domeniu funcții (notate cu ), și elementele mulțimii - gamă funcții (notate cu ).

Maparea construită a mulțimilor are o caracteristică foarte importantă: este unu la unu sau bijectiv(bijectie). În acest exemplu, aceasta înseamnă că Pentru fiecare elevul este aliniat unul unic subiectul eseului și invers - pentru fiecare un singur elev este fixat de tema rezumatului.

Cu toate acestea, nu ar trebui să credem că fiecare mapare este bijectivă. Dacă al 7-lea elev este adăugat la primul rând (la set), atunci corespondența unu-la-unu va dispărea - sau unul dintre elevi va rămâne fără subiect (fără afișare), sau un subiect va ajunge la doi studenți simultan. Situația opusă: dacă se adaugă un al șaptelea subiect la set, atunci maparea unu-la-unu va fi și ea pierdută - unul dintre subiecte va rămâne nerevendicat.

Dragi studenți, pe primul rând, nu vă supărați - restul de 20 de persoane după oră vor merge să curețe teritoriul universității de frunzișul de toamnă. Managerul de aprovizionare va emite douăzeci de golik, după care se va stabili o corespondență unu-la-unu între partea principală a grupului și mături ..., iar Voldemar va avea și el timp să alerge la magazin =)). unic„y” și invers – pentru orice valoare a lui „y” putem restabili fără ambiguitate „x”. Astfel, este o funcție bijectivă.

! Pentru orice eventualitate, elimin o posibilă neînțelegere: rezerva mea constantă cu privire la domeniul de aplicare nu este întâmplătoare! Este posibil ca funcția să nu fie definită pentru toți „x” și, în plus, poate fi unul la unu și în acest caz. Exemplu tipic:

Dar la funcţie pătratică nu se observă nimic de genul acesta, în primul rând:
- adică au fost afișate diferite valori ale lui „x”. la felînsemnând „y”; și în al doilea rând: dacă cineva a calculat valoarea funcției și ne-a spus că , atunci nu este clar - acest „y” a fost obținut la sau la ? Inutil să spun că aici nu există nici măcar un miros de neambiguitate reciprocă.

Sarcina 2: vedere grafice ale funcţiilor elementare de bazăși scrieți funcțiile bijective pe o foaie de hârtie. Lista de verificare la sfârșitul acestei lecții.

Setați puterea

Intuiția sugerează că termenul caracterizează dimensiunea mulțimii, și anume numărul elementelor sale. Și intuiția nu ne înșală!

Cardinalitatea mulțimii goale este zero.

Cardinalitatea setului este de șase.

Puterea setului de litere ale alfabetului rus este de treizeci și trei.

În general, puterea oricărui final multimea este egala cu numarul de elemente ale acestei multimi.

... poate că nu toată lumea înțelege pe deplin ce este final set - dacă începeți să numărați elementele acestui set, atunci mai devreme sau mai târziu numărătoarea se va termina. Ce se numește, și chinezii vor rămâne într-o zi.

Desigur, mulțimile pot fi comparate în cardinalitate, iar egalitatea lor în acest sens se numește putere egală. Echivalența este definită după cum urmează:

Două seturi sunt echivalente dacă se poate stabili o corespondență unu-la-unu între ele..

Setul de elevi este echivalent cu setul de subiecte abstracte, setul de litere ale alfabetului rus este echivalent cu orice set de 33 de elemente etc. Observați exact ce oricine un set de 33 de elemente - în acest caz contează doar numărul lor. Literele alfabetului rus pot fi comparate nu numai cu multe numere
1, 2, 3, ..., 32, 33, dar și în general cu un efectiv de 33 de vaci.

Lucrurile sunt mult mai interesante cu seturi infinite. Infiniturile sunt și ele diferite! ...verde și roșu Cele mai „mici” seturi infinite sunt socoteală seturi. Dacă este destul de simplu, elementele unui astfel de set pot fi numerotate. Exemplul de referință este mulțimea numerelor naturale . Da - este infinit, dar fiecare dintre elementele sale din PRINCIPIUL are un număr.

Există o mulțime de exemple. În special, mulțimea tuturor numerelor naturale pare este numărabilă. Cum să dovedesc asta? Este necesar să se stabilească corespondența sa unu-la-unu cu mulțimea de numere naturale sau pur și simplu numerotarea elementelor:

Se stabilește o corespondență unu-la-unu, prin urmare, seturile sunt echivalente și setul este numărabil. Este paradoxal, dar din punct de vedere al puterii – sunt tot atâtea numere naturale pare cât și naturale!

Mulțimea numerelor întregi este de asemenea numărabilă. Elementele sale pot fi numerotate, de exemplu, astfel:

Mai mult decât atât, mulțimea numerelor raționale este de asemenea numărabilă. . Deoarece numărătorul este un număr întreg (și, așa cum tocmai am arătat, acestea pot fi numerotate), iar numitorul este un număr natural, apoi mai devreme sau mai târziu vom „ajunge” la orice fracție rațională și îi vom atribui un număr.

Dar setul de numere reale este deja nenumărat, adică elementele sale nu pot fi numerotate. Acest lucru deși evident, este riguros dovedit în teoria mulțimilor. Cardinalitatea mulțimii numerelor reale se mai numește continuum, iar în comparație cu seturile numărabile, acesta este un set „mai infinit”.

Întrucât există o corespondență unu-la-unu între mulțime și linia numerică (Vezi deasupra), atunci setul de puncte al dreptei reale este de asemenea nenumărat. Și mai mult, există același număr de puncte pe un kilometru și un segment milimetric! Exemplu clasic:


Prin rotirea fasciculului în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu fasciculul, vom stabili o corespondență unu-la-unu între punctele segmentelor albastre. Astfel, există atâtea puncte pe segment câte sunt pe segment și !

Acest paradox, aparent, este legat de misterul infinitului... dar acum nu ne vom deranja cu problemele universului, pentru că următorul pas este

Sarcina 2 Funcții unu-la-unu în ilustrațiile lecției

eu. Un set este o colecție de obiecte sau numere, compilate după unele proprietăți generale sau legi (multe litere pe o pagină, multe fracții proprii cu un numitor 5 , multe stele pe cer etc.).

Acoladele sunt folosite pentru a scrie un set: «{ »- setul se deschide; "}" — setul este închis. Și setul în sine se numește litere mari latine: A, B, C si asa mai departe.

Exemple.

1 . Set de scriere DAR, format din toate vocalele din cuvânt "matematica".

Soluţie. A \u003d (a, e, u). Vezi tu: în ciuda faptului că în cuvânt "matematica" sunt trei litere "A"- repetări multiple nu sunt permise în înregistrare, iar scrisoarea "A" este înregistrată o singură dată. Multe DAR este format din trei elemente.

2. Scrieți mulțimea tuturor fracțiilor proprii cu numitor 5 .

Soluţie. Amintiți-vă: o fracție regulată se numește fracție regulată, în care numărătorul este mai mic decât numitorul. Notează prin LA setul dorit. Apoi:

Multe LA este format din patru elemente.

II. Mulțimile sunt compuse din elemente și sunt fie finite, fie infinite. O mulțime care nu conține niciun element se numește mulțime goală și se notează Ø.

III. Multe LA numită submulțime a mulțimii DAR dacă toate elementele setului LA sunt elemente ale ansamblului DAR.

3. Care dintre cele două seturi date LAși DIN La,

dacă LA={-1; 3; 4}, C={0; 3; 4; 5), K={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

Soluţie. Toate elementele setului DIN sunt de asemenea elemente ale ansamblului La, prin urmare, setul DIN este un submult al multimii LA. Scrie:

IV. Stabiliți intersecția DARși LA este o mulţime ale cărei elemente aparţin mulţimii DARși multe LA.

4. Arată intersecția a două mulțimi Mși F folosind cercurile lui Euler.

Soluţie.

Din marea varietate de seturi de interes deosebit sunt așa-numitele seturi de numere, adică mulţimi ale căror elemente sunt numere. Este clar că pentru a lucra confortabil cu ei trebuie să le poți nota. Cu notația și principiile scrierii mulțimilor numerice, vom începe acest articol. Și apoi vom lua în considerare modul în care seturile numerice sunt reprezentate pe linia de coordonate.

Navigare în pagină.

Scrierea seturi numerice

Să începem cu notația acceptată. După cum se știe, literele majuscule ale alfabetului latin sunt folosite pentru a desemna seturile. Se notează și mulțimile numerice, ca caz special de mulțimi. De exemplu, putem vorbi de mulțimi numerice A , H , W , etc. De o importanță deosebită sunt seturile naturale, întregi, raționale, reale, numere complexe etc., pentru ei au fost adoptate denumirile lor:

• N este mulțimea tuturor numerelor naturale;
• Z este mulțimea numerelor întregi;
• Q este mulțimea numerelor raționale;
• J este mulțimea numerelor iraționale;
• R este mulțimea numerelor reale;
• C este mulțimea numerelor complexe.

Din aceasta este clar că nu este necesar să se noteze o mulțime formată, de exemplu, din două numere 5 și −7 ca Q, această desemnare va induce în eroare, deoarece litera Q indică de obicei mulțimea tuturor numerelor raționale. Pentru a desemna setul numeric specificat, este mai bine să folosiți o altă literă „neutră”, de exemplu, A.

Întrucât vorbim de notație, aici reamintim și notația unei mulțimi goale, adică a unei mulțimi care nu conține elemente. Se notează prin semnul ∅.

Să ne amintim, de asemenea, desemnarea apartenenței și a neaparenței unui element dintr-un set. Pentru a face acest lucru, utilizați semnele ∈ - aparține și ∉ - nu aparține. De exemplu, intrarea 5∈N înseamnă că numărul 5 aparține mulțimii numerelor naturale, iar 5.7∉Z - fracția zecimală 5.7 nu aparține mulțimii numerelor întregi.

Să ne amintim și notația adoptată pentru a include o mulțime în alta. Este clar că toate elementele mulțimii N sunt incluse în mulțimea Z , deci mulțimea de numere N este inclusă în Z , aceasta se notează cu N⊂Z . Puteți folosi și notația Z⊃N , ceea ce înseamnă că mulțimea tuturor numerelor întregi Z include mulțimea N . Relațiile neincluse și neincluse sunt notate prin semnele ⊄ și, respectiv. Se mai folosesc semnele de includere nestrict de forma ⊆ și ⊇, adică, respectiv, incluse sau se potrivește și include sau se potrivesc.

Am vorbit despre notație, să trecem la descrierea mulțimilor numerice. În acest caz, vom atinge doar cazurile principale care sunt cele mai des folosite în practică.

Să începem cu mulțimi numerice care conțin un număr finit și mic de elemente. Mulțimile numerice formate dintr-un număr finit de elemente pot fi descrise convenabil prin enumerarea tuturor elementelor lor. Toate elementele numerice sunt scrise separate prin virgule și incluse în , ceea ce este în concordanță cu comun stabiliți reguli de descriere. De exemplu, o mulțime formată din trei numere 0 , −0,25 și 4/7 poate fi descrisă ca (0, −0,25, 4/7) .

Uneori, când numărul de elemente dintr-o mulțime numerică este suficient de mare, dar elementele se supun unui model, punctele de suspensie sunt folosite pentru a descrie. De exemplu, setul tuturor numerelor impare de la 3 la 99 inclusiv poate fi scris ca (3, 5, 7, ..., 99) .

Așa că am abordat fără probleme descrierea mulțimilor numerice, al căror număr de elemente este infinit. Uneori pot fi descrise folosind aceleași puncte de suspensie. De exemplu, să descriem mulțimea tuturor numerelor naturale: N=(1, 2. 3, …) .

De asemenea, folosesc descrierea mulțimilor numerice indicând proprietățile elementelor sale. În acest caz, se folosește notația (x| proprietăți). De exemplu, notația (n| 8 n+3, n∈N) definește mulțimea unor astfel de numere naturale care, împărțite la 8, dau un rest de 3 . Același set poate fi descris ca (11,19, 27, ...) .

În cazuri speciale, se cunosc mulțimi numerice cu un număr infinit de elemente N , Z , R etc. sau lacune de număr. Și, în general, mulțimile numerice sunt reprezentate ca o asociere intervale numerice individuale care le alcătuiesc și mulțimi numerice cu un număr finit de elemente (despre care am vorbit puțin mai mare).

Să arătăm un exemplu. Fie mulțimea de numere numerele −10 , −9 , −8.56 , 0 , toate numerele intervalului [−5, −1.3] și numerele razei de numere deschise (7, +∞) . În virtutea definiției uniunii mulțimilor, mulțimea numerică indicată poate fi scrisă ca {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . O astfel de notație înseamnă de fapt o mulțime care conține toate elementele mulțimilor (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] și (7, +∞) .

În mod similar, prin combinarea diferitelor intervale numerice și seturi de numere individuale, poate fi descris orice set de numere (format din numere reale). Aici devine clar de ce au fost introduse astfel de tipuri de intervale numerice precum un interval, un semiinterval, un segment, o rază numerică deschisă și o rază numerică: toate acestea, cuplate cu notarea mulțimilor de numere individuale, fac posibilă pentru a descrie orice mulţimi numerice prin unirea lor.

Vă rugăm să rețineți că atunci când scrieți o mulțime numerică, numerele sale constitutive și intervalele numerice sunt sortate în ordine crescătoare. Aceasta nu este o condiție obligatorie, ci de dorit, deoarece o mulțime numerică ordonată este mai ușor de reprezentat și descris pe o linie de coordonate. De asemenea, rețineți că astfel de înregistrări nu folosesc intervale numerice cu elemente comune, deoarece astfel de intrări pot fi înlocuite cu unirea intervalelor numerice fără elemente comune. De exemplu, unirea mulțimilor numerice cu elemente comune [−10, 0] și (−5, 3) este un semiinterval [−10, 3) . Același lucru este valabil și pentru unirea intervalelor numerice cu aceleași numere de limită, de exemplu, uniunea (3, 5]∪(5, 7] este o mulțime (3, 7]), ne vom opri separat asupra acestui lucru când vom învăța să găsiți intersecția și uniunea mulțimilor numerice .

Imagine cu seturi de numere pe linia de coordonate

În practică, este convenabil să folosiți imaginile geometrice ale seturilor numerice - imaginile lor pe . De exemplu, când rezolvarea inegalităților, în care este necesar să se țină cont de ODZ, este necesar să se descrie mulțimi numerice pentru a găsi intersecția și/sau unirea acestora. Deci va fi util să înțelegem bine toate nuanțele reprezentării mulțimilor numerice pe linia de coordonate.

Se știe că între punctele dreptei de coordonate și numerele reale există o corespondență unu-la-unu, ceea ce înseamnă că linia de coordonate în sine este model geometric multimea tuturor numerelor reale R . Astfel, pentru a descrie mulțimea tuturor numerelor reale, este necesar să trasați o linie de coordonate cu hașurare pe toată lungimea:

Și de multe ori nici măcar nu indică originea și un singur segment:

Acum să vorbim despre imaginea seturilor numerice, care sunt un număr finit de numere individuale. De exemplu, să desenăm setul de numere (−2, −0.5, 1.2) . Imaginea geometrică a acestei mulțimi, formată din trei numere -2, -0,5 și 1,2 va fi trei puncte ale liniei de coordonate cu coordonatele corespunzătoare:

Rețineți că, de obicei, pentru nevoile de practică nu este nevoie să efectuați desenul cu precizie. Adesea un desen schematic este suficient, ceea ce înseamnă că nu este necesar să se mențină scara, în timp ce este important doar să se mențină aranjament reciproc puncte unul față de celălalt: orice punct cu o coordonată mai mică trebuie să fie la stânga unui punct cu o coordonată mai mare. Desenul anterior va arăta schematic astfel:

Separat, dintre toate mulțimile numerice posibile, se disting intervale numerice (intervale, semiintervale, raze etc.) care reprezintă imaginile lor geometrice, pe care le-am examinat în detaliu în secțiune. Nu ne vom repeta aici.

Și rămâne doar să ne oprim asupra imaginii seturilor numerice, care sunt unirea mai multor intervale numerice și mulțimi formate din numere individuale. Nu este nimic dificil aici: conform semnificației unirii, în aceste cazuri, pe linia de coordonate, trebuie să descrii toate componentele mulțimii unui anumit set numeric. De exemplu, să arătăm imaginea unui set de numere (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

Și să ne oprim asupra cazurilor destul de obișnuite când mulțimea numerică reprezentată este întregul set de numere reale, cu excepția unuia sau mai multor puncte. Astfel de mulțimi sunt adesea specificate de condiții precum x≠5 sau x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 etc. În aceste cazuri, geometric, ele reprezintă întreaga linie de coordonate, cu excepția punctelor corespunzătoare. Cu alte cuvinte, aceste puncte trebuie să fie „despărțite” din linia de coordonate. Ele sunt reprezentate ca cercuri cu un centru gol. Pentru claritate, descriem un set numeric corespunzător condițiilor (acest set este în esență):

Rezuma. În mod ideal, informațiile din paragrafele anterioare ar trebui să formeze aceeași vedere a înregistrării și reprezentării seturilor numerice ca și a intervalelor numerice individuale: înregistrarea unui set numeric ar trebui să dea imediat imaginea sa pe linia de coordonate, iar din imagine pe linia de coordonate, ar trebui să fim gata să descriem cu ușurință mulțimea numerică corespunzătoare prin unirea golurilor individuale și a mulțimilor formate din numere individuale.

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. Clasa a 9-a La 2 p.m. Partea 1. Manualul elevului institutii de invatamant/ A. G. Mordkovici, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.

1.1. Concepte de bază și definiții ale teoriei mulțimilor

Orice concept de matematică discretă poate fi definit folosind conceptul de mulțime, care este unul dintre conceptele fundamentale și a fost formulat pentru prima dată de matematicianul german G. Kantor.

Sub mulți orice set de obiecte definite și distinse, concepute ca un singur întreg.

Putem vorbi despre un set de scaune într-o cameră, despre oameni care locuiesc în Voronezh, despre studenți într-un grup, despre un set de numere naturale, litere din alfabet, stări ale sistemului etc. În același timp, putem vorbi despre un set numai atunci când elementele ansamblului se disting între ele. De exemplu, nu se poate vorbi de multe picături într-un pahar cu apă, deoarece este imposibil să se indice clar și clar fiecare picătură individuală.

Obiectele individuale care alcătuiesc o mulțime sunt numite elemente ale mulțimii. Deci, numărul 3 este un element al setului de numere naturale, iar litera b este un element al setului de litere ale alfabetului rus.

Denumirea generală a unui set este o pereche de bretele ( ), în interiorul cărora sunt enumerate elementele setului. Se folosesc seturi diferite pentru a desemna seturi specifice. litere mari A, S, X...sau litere mari cu indici DAR 1 , DAR 2. Pentru a desemna elementele unui set în vedere generala utilizați diferit literă mică A, s, X...sau litere mici cu indici A 1 , A 2 ...

Pentru a indica că un element A S, se folosește simbolul О de apartenență la o mulțime. Înregistrare AÎ Sînseamnă că elementul A aparține setului S, și înregistrarea XÏ Sînseamnă că elementul X nu aparține setului S. Înregistrare X 1 , X 2 ,... ...,x nÎ S folosit ca abreviere X 1 О S, X 2 О S,..., x nÎ S.

De regulă, se presupune că toate elementele unui set sunt diferite. O mulțime cu elemente repetate se numește multiset. Se joacă mai multe seturi rol importantîn combinatorică. În cele ce urmează, vor fi luate în considerare seturi cu elemente diferite.

Vom folosi următoarea notație pentru mulțimile numerice:

este mulțimea numerelor naturale, adică

este mulțimea numerelor întregi, adică = (0, ±1, ±2, …);

este mulțimea numerelor raționale, =( / \ , н ; ¹ 0);

- Multe numere reale;

este multimea numerelor complexe.

Mulțimile sunt fie finite, fie infinite. O mulțime se numește finită dacă numărul elementelor sale este finit, adică dacă există un număr natural n, care este numărul de elemente din mulțime. Setați apelul fără sfârşit dacă conţine un număr infinit de elemente. Numărul de elemente dintr-o mulțime finită se numește putereși notat = n, dacă setul X conţine n elemente.

Un concept important în teoria mulțimilor este conceptul de mulțime goală. set gol este o mulțime care nu conține niciun element. Setul gol este notat cu simbolul De exemplu:

{XÎ R | X 2 -X+1=0}=

Conceptul de mulțime goală joacă un rol foarte important în definirea mulțimilor prin descriere. Deci, fără conceptul de mulțime goală, nu am putea vorbi despre setul de elevi excelenți ai grupului sau despre setul de rădăcini reale. ecuație pătratică, fără a ne asigura mai întâi dacă există studenți excelenți în acest grup sau dacă există ecuația dată rădăcini adevărate. Introducerea unui set gol face posibilă operarea destul de calmă cu setul de elevi excelenți ai grupului, fără a vă face griji dacă există sau nu elevi excelenți în grupul luat în considerare. Mulțimea goală va fi denumită în mod convențional mulțimi finite.

Se numește mulțimea care conține toate elementele luate în considerare universal sau universși notat U.

Pentru a opera cu anumite seturi, trebuie să le puteți seta. Există două moduri de a defini seturile: enumerarea și descrierea. Specificarea unui set în mod enumerativ corespunde cu enumerarea tuturor elementelor care alcătuiesc mulțimea. Deci, setul de studenți excelenți ai grupului poate fi specificat prin enumerarea studenților care studiază excelent, de exemplu (Ivanov, Petrov, Sidorov). Pentru a scurta intrarea X={X 1 , X 2 , ...,x n) introduc uneori un set de indici eu={1, 2,..., n) si scrie X={x i}, iÎ eu. Această metodă este convenabilă atunci când se consideră mulțimi finite care conțin un număr mic de elemente, dar uneori poate fi folosită și pentru a specifica mulțimi infinite, de exemplu (2, 4, 6, 8 ...). Desigur, o astfel de notație este aplicabilă dacă este destul de clar ce se înțelege prin elipsă.

Un mod descriptiv de a specifica un set este de a specifica proprietate caracteristică, pe care îl au toate elementele setului. Aceasta folosește notația

X={X | X are proprietatea Q(X)}.

Expresia dintre paranteze spune: mulțimea tuturor elementelor X, care au proprietatea Q(X). Astfel, dacă M este multimea elevilor din grupa, apoi multimea A elevii excelenți ai acestei grupe se vor scrie în formular DAR={XÎ M | X- elev excelent al grupului)

care va avea următorul cuprins: set DAR constă din elemente X seturi M, care au proprietatea că X este un elev excelent al grupului.

În cazurile în care nu există nicio îndoială din ce set sunt luate elementele X, indicarea dreptului de proprietate X mulți M nu poti face. În același timp, mulți DAR va fi scris în formular

A=( X | X- elev excelent al grupului).

Iată câteva exemple de specificare a seturilor prin metoda descrierii: ( X | X– par) – un set de numere pare;

{X | X 2 –1=0) – set (+1, –1).

Lăsa Z este mulţimea numerelor întregi. Apoi ( XÎ Z | 0<X£7) este setul (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

Setul de numere impare poate fi definit ca ( X| X=2k+1 pentru unii kÎ Z}.

Modul în care definiți un set cu proprietăți este plin de anumite pericole, deoarece proprietățile setate „incorect” pot duce la inconsecvențe. Iată unul dintre cele mai tipice paradoxuri - paradoxul lui Russell. Luați în considerare mulțimea tuturor mulțimilor care nu sunt elemente proprii: . Acum întrebăm dacă setul La cu elementul tău? În cazul în care un LaÎ La, apoi proprietatea care specifică setul La, adică LaÏ La, ceea ce duce la o contradicție. În cazul în care un LaÏ La, atunci, din moment ce proprietatea care specifică La, ajungem la concluzia că LaÎ La, ceea ce contrazice presupunerea. Astfel, nu orice proprietate conduce la o atribuire semnificativă a unui set.

În plus, un set poate fi specificat folosind o funcție caracteristică ale cărei valori indică dacă (da sau nu) X element stabilit X :

Rețineți că pentru orice elemente = 0; = 1.

Exemplu. Lasă universul U={a,b,c,d,e) decorul X={a,c,d), apoi

Pentru seturi arbitrare Xși Y se pot defini două tipuri de relaţii − relație de egalitate și relație de incluziune.

Două mulțimi sunt considerate egale dacă sunt formate din aceleași elemente. Desemnare acceptată X=Y, dacă Xși Y sunt egali si X Y- in caz contrar.

Este ușor de văzut asta pentru orice set X, Y, Z relaţii

Din definiția egalității mulțimilor rezultă că ordinea elementelor dintr-o mulțime nu este semnificativă. Deci, de exemplu, mulțimile (3, 4, 5, 6) și (4, 5, 6, 3) sunt aceeași mulțime.

Dacă fiecare element al mulţimii X este un element al ansamblului Y, atunci ei spun asta X inclus în Y si noteaza:

În acest caz, spunem că setul X este subset seturi Y. În special Xși Y poate coincide, de aceea numită și relație includere non-strict. Remarcăm câteva proprietăți ale unei submulțimi, care decurg din definiția sa:

Dacă și , atunci ei spun asta X există propriul subset al lui Yși notăm , relația dintre mulțimi în acest caz se numește relație includere non-strict. Pentru o relație strictă de includere,

Nu include un subset Xîn mulţime Y notat cu X. Un astfel de set se numește set familie sau boolean seturi Xși notat P(X) Deoarece este inclus în orice set, atunci .

Exemplu. Lăsa . Apoi

O mulțime este un concept de bază al matematicii și, prin urmare, nu este definit în termenii altora.

De obicei, un set este înțeles ca o colecție de obiecte unite printr-o trăsătură comună. Deci, putem vorbi despre o mulțime de elevi într-un grup, o mulțime de litere ale alfabetului rus etc. În viața de zi cu zi, în locul cuvântului „set”, se folosesc cuvintele „set”, „colecție”, „grup”, etc. Seturile sunt de obicei notate cu majuscule ale alfabetului latin: DAR, LA, DIN, ..., Z.

Pentru mulțimile numerice din matematică, se acceptă notația specială:

N este multimea numerelor naturale;

N 0 – mulţimea numerelor întregi nenegative;

Z este mulțimea numerelor întregi;

Q este mulțimea numerelor raționale;

R este multimea numerelor reale.

Obiectele care alcătuiesc o mulțime se numesc elementele sale. De exemplu, septembrie este un element al setului de luni dintr-un an, numărul 5 este un element al setului de numere naturale. Elementele unui set sunt de obicei notate cu litere mici ale alfabetului latin. Elementele unei mulțimi pot fi mulțimi. Deci puteți vorbi despre numeroasele grupuri ale Institutului. Elementele acestui set sunt grupuri, care la rândul lor sunt seturi de elevi.

Relația dintre o mulțime și elementul său este exprimată folosind cuvântul „aparține”. Afirmația „Element A aparține setului DAR' este scris astfel: A  DAR, iar această intrare poate fi citită diferit: " A- elementul setului DAR", "Multe DAR conţine element A". Afirmația „Element A nu aparține setului DAR' este scris astfel: A  DAR(in caz contrar: " A nu este un element al setului DAR", "Multe DAR nu contine un element A»).

Dacă în vorbirea obișnuită cuvântul „set” este asociat cu un număr mare de obiecte, atunci în matematică acest lucru nu este necesar. Un set poate conține un element sau nu poate conține niciun element.

O mulțime care nu conține niciun element se numește goală și se notează cu simbolul . Există un singur set gol. Exemple de mulțime goală sunt setul de oameni de pe Soare, setul de rădăcini naturale ale ecuației X+ 8 = 0.

Seturile pot fi finite sau infinite.

O mulțime se numește finită dacă există un număr natural P, astfel încât toate elementele setului să poată fi numerotate de la 1 la P. altfel multimea se numeste infinita. Un exemplu de mulțime finită este mulțimea de cifre, o mulțime infinită este mulțimea de numere naturale.

§ 2. Modalităţi de precizare a mulţimilor

Un set este considerat dat dacă se poate spune că un obiect aparține acestui set sau nu.

Un set poate fi definit prin listarea tuturor elementelor sale. Înregistrare DIN= (a, b, c, d) înseamnă că mulțimea DIN conține elementele a, b, c, d.

Fiecare element este inclus în set o singură dată. De exemplu, multe litere diferite din cuvântul „matematică” vor fi scrise astfel: (m, a, t, e, i, k).

Această metodă este aplicabilă pentru mulțimi finite care conțin un număr mic de elemente.

Uneori, folosind această metodă, puteți seta un set infinit. De exemplu, mulțimea numerelor naturale poate fi reprezentată ca: N= (1, 2, 3, 4, ...). Acest mod de înregistrare este posibil doar atunci când se vede clar din partea înregistrată a setului ceea ce este ascuns sub elipse.

O altă modalitate de a specifica mulţimile este următoarea: specificaţi proprietatea caracteristică a elementelor sale. O proprietate caracteristică este o proprietate pe care o are fiecare element care aparține mulțimii și niciun element care nu îi aparține nu o are.

Se întâmplă că unul și același set poate fi specificat prin specificarea diferitelor proprietăți caracteristice ale elementelor sale. De exemplu, mulțimea numerelor din două cifre divizibile cu 11 și mulțimea numerelor naturale din prima sută scrise în două cifre identice conțin aceleași elemente.

Cu această metodă de setare, mulțimea poate fi scrisă astfel: mai întâi se scrie între paranteze denumirea elementului, apoi se trasează o linie verticală, după care se scrie proprietatea pe care o posedă elementele acestui set. De exemplu, multe DAR numerele naturale mai mici de 5 se vor scrie astfel: DAR = {X XN, X < 5}.