(sau vibratii naturale) sunt vibraţii ale unui sistem oscilator, efectuate numai datorită energiei (potenţiale sau cinetice) raportate iniţial în absenţa influenţelor externe.
Energia potențială sau cinetică poate fi comunicată, de exemplu, în sisteme mecanice prin deplasarea inițială sau viteza inițială.
Corpurile care oscilează liber interacționează întotdeauna cu alte corpuri și împreună cu acestea formează un sistem de corpuri numit sistem oscilator.
De exemplu, un arc, o bilă și un stâlp vertical de care este atașat capătul superior al arcului (vezi figura de mai jos) sunt incluse într-un sistem oscilant. Aici mingea alunecă liber de-a lungul sforii (forțele de frecare sunt neglijabile). Dacă luați mingea la dreapta și o lăsați singură, aceasta va oscila liber în jurul poziției de echilibru (punctul O) datorită acţiunii forţei elastice a arcului îndreptată spre poziţia de echilibru.
Un alt exemplu clasic de sistem oscilator mecanic este pendulul matematic (vezi figura de mai jos). În acest caz, mingea efectuează oscilații libere sub acțiunea a două forțe: gravitația și forța elastică a firului (Pământul intră și el în sistemul oscilator). Rezultanta lor este direcționată către poziția de echilibru.
Forțele care acționează între corpurile unui sistem oscilator se numesc forțe interne. Forțele exterioare se numesc fortele care actioneaza asupra sistemului din corpurile care nu sunt incluse in acesta. Din acest punct de vedere, oscilațiile libere pot fi definite ca oscilații într-un sistem sub acțiunea lui forțe interne după ce sistemul este scos din echilibru.
Condițiile pentru apariția vibrațiilor libere sunt:
1) apariția în ele a unei forțe care readuce sistemul într-o poziție de echilibru stabil după ce a fost scos din această stare;
2) fără frecare în sistem.
Dinamica oscilațiilor libere.
Vibrațiile unui corp sub acțiunea forțelor elastice. Ecuația mișcării oscilatorii a unui corp sub acțiunea unei forțe elastice F() poate fi obținut luând în considerare a doua lege a lui Newton ( F = ma) și legea lui Hooke ( F control = -kx), Unde m este masa mingii și este accelerația dobândită de minge sub acțiunea forței elastice, k- coeficientul de rigiditate a arcului, X este deplasarea corpului din poziția de echilibru (ambele ecuații sunt scrise în proiecție pe axa orizontală Oh). Echivalând părțile drepte ale acestor ecuații și ținând cont de faptul că accelerația A este derivata a doua a coordonatei X(compensații), obținem:
.
În mod similar, expresia pentru accelerație A obținem prin diferențiere ( v = -v m sin ω 0 t = -v m x m cos (ω 0 t + π/2)):
a \u003d -a m cos ω 0 t,
Unde a m = ω 2 0 x m este amplitudinea accelerației. Astfel, amplitudinea vitezei oscilațiilor armonice este proporțională cu frecvența, iar amplitudinea accelerației este proporțională cu pătratul frecvenței de oscilație.
Orice mișcare oscilativă este o mișcare care are loc cu accelerație, prin urmare forțele trebuie să acționeze asupra corpurilor oscilante care le transmit aceste accelerații. În special, dacă un corp punctual cu o masă efectuează o oscilație armonică, atunci, conform celei de-a doua legi a mecanicii, o forță egală cu
unde Direcția forței coincide cu direcția accelerației, iar vectorul accelerație pentru oscilațiile armonice, conform formulei (4.5), este întotdeauna îndreptat către poziția de echilibru. Astfel, pentru ca un corp să efectueze o mișcare oscilatorie armonică, asupra lui trebuie să acționeze o forță, întotdeauna îndreptată spre poziția de echilibru, și ca mărime – direct proporțională cu deplasarea din această poziție. Când cercetăm sisteme oscilatorii se poate găsi cu ușurință coeficientul de proporționalitate dintre forța care acționează asupra corpului și deplasarea x a acestui corp din poziția de echilibru; apoi, cunoscând și masa corpului oscilant, se poate calcula frecvența și perioada oscilației; din raportul rezultă:
Forțele care sunt întotdeauna îndreptate către poziția de echilibru se numesc forțe de restabilire. Să ne uităm la câteva exemple:
1. Un sistem oscilator format dintr-o masă și un arc (vezi Fig. 1.36, b). Forța de restabilire este forța elastică care acționează asupra corpului din arcul deformat. Această forță la deformații mici este direct proporțională cu modificarea lungimii arcului.Prin aplicarea unor forțe externe arcului și măsurarea alungirilor cauzate de acestea.
(sau compresie) arcului, puteți afla coeficientul de elasticitate al arcului și, folosind formula (4.10), puteți calcula frecvența de vibrație a corpurilor atașate la capetele arcului. În acest caz, oscilaţiile vor fi armonice şi constante) numai dacă asupra corpului oscilant nu acţionează alte forţe, cu excepţia celui restaurator, iar coeficientul de care, conform formulei (4.10), depinde frecvenţa de oscilaţie, trebuie să rămână întotdeauna. constant. În special, dacă temperatura arcului se modifică, atunci, în consecință, se modifică și frecvența de oscilație; vibratiile nu sunt armonice.
2. Un sistem care efectuează vibrații de torsiune (rotative) (vezi Fig. 1.38, b). În timpul vibrațiilor de torsiune, asupra corpului acționează un moment de restabilire, care oprește abaterea corpului de la starea de echilibru și apoi îi conferă o mișcare inversă. Momentul de restabilire apare la deformarea (torsiunea) arcului (sau tijei) de care este atasat corpul oscilant. La unghiuri de deformare mici, acest moment este direct proporțional cu unghiul de deviere.
Dacă vibrațiile de torsiune sunt armonice, de ex.
apoi viteză unghiulară iar accelerația unghiulară în timpul rotației se modifică, de asemenea, conform legii armonice:
Găsim momentul de restabilire ca produsul dintre accelerația unghiulară și momentul de inerție al corpului oscilant:
unde este o valoare constantă (dacă momentul de inerție al corpului nu se modifică în timpul oscilațiilor). Acest coeficient poate fi găsit prin aplicarea momentelor de torsiune exterioare arcului (sau tijei) și măsurarea unghiurilor de răsucire a:
atunci frecvența și perioada oscilațiilor sunt determinate de formulele:
Conform expresiei (4.13), în cazul vibrațiilor armonice de torsiune, momentul de restabilire trebuie să fie exact proporțional cu unghiul de deformare; dacă nu se respectă această proporționalitate (de exemplu, la unghiuri de rotație foarte mari), atunci oscilațiile nu vor fi armonice (deși în absența frecării vor fi neamortizate).
3. Pendul fizic (Fig. 1.40). Momentul restabilitor este momentul gravitației, care are un semn,
opus semnului unghiului de deviere a și egal cu
unde este distanța de la punctul de sprijin până la centrul de greutate al corpului.
La unghiuri mici de deviere (unghiul a - în radiani); apoi momentul revenirii
este proporțională cu unghiul de deviere și oscilațiile pendulului vor fi armonice.
Comparând cu expresia (4.13), obținem, prin urmare,
La unghiuri mari de deformare, precum și atunci când corpul este deformat în timpul oscilațiilor (oscilațiile variabile se dovedesc a fi nearmonice, deși pot fi neamortizate în absența sau compensarea frecării.
4. Un pendul matematic este un corp punctual cu o masă suspendată de un fir imponderabil și inextensibil de lungime I (Fig. 1.41). Forța de restabilire este proiecția gravitației pe direcția de mișcare a corpului; noi avem:
în radiani). Remarcăm că aici nu se respectă nici condiția de proporționalitate dintre forța de restabilire și deplasarea din poziția de echilibru x, prin urmare oscilațiile acestui pendul nu sunt armonice. Dar dacă unghiurile a sunt mici, atunci
întrucât această forță este întotdeauna îndreptată către poziția de echilibru și deci are un semn opus celui
În acest caz, oscilațiile pot fi considerate armonice; comparând cu expresia (4.9), obținem:
adică frecvența și perioada oscilațiilor nu depind de masa corpului oscilant, ci sunt determinate doar de lungimea firului și de accelerația gravitației (oscilațiile pendulilor sunt folosite pentru a determina Pentru coeficientul constant și, în consecință, frecvența oscilațiilor este necesară constanța.Între timp, forța care acționează de-a lungul firului poate determina alungirea acestuia, care va fi minimă în poziții extreme și maximă atunci când corpul trece prin punctul O. Prin urmare, pentru ca pendulul să fie armonic, este necesar ca, pe langa micimea unghiurilor de deformare, sa aiba in plus si conditia de inextensibilitate a filetului.
Aceste exemple arată că la amplitudini mici, frecvența (sau perioada) oscilațiilor este determinată doar de proprietățile sistemului. Cu toate acestea, pentru abateri mari de la poziția de echilibru dependență liniară forța de restabilire din deplasare precum și momentul de creștere din unghiul de rotație nu este strict respectată și frecvența de oscilație depinde într-o oarecare măsură și de amplitudinea oscilației sau
Mișcările vibraționale sunt răspândite în viața din jurul nostru. Exemple de oscilații sunt: mișcarea acului unei mașini de cusut, un leagăn, pendulul unui ceas, aripile insectelor în timpul zborului și multe alte corpuri.
Multe diferențe pot fi găsite în mișcarea acestor corpuri. De exemplu, un leagăn se mișcă într-un mod curbiliniu, în timp ce un ac de mașină de cusut se mișcă în linie dreaptă; pendulul unui ceas oscilează la o scară mai mare decât aripile unei libelule. În același timp, unele corpuri pot face Mai mult fluctuații decât altele.
Dar cu toată varietatea acestor mișcări, ele au o trăsătură comună importantă: după o anumită perioadă de timp, mișcarea oricărui corp se repetă.
Într-adevăr, dacă mingea este luată din poziția de echilibru și eliberată, atunci, după ce a trecut prin poziția de echilibru, se va abate în direcția opusă, se va opri și apoi se va întoarce la locul în care a început mișcarea. Această oscilație va fi urmată de o a doua, a treia etc., similară cu prima.
Perioada de timp după care mișcarea se repetă se numește perioadă de oscilație.
Prin urmare, ei spun că mișcarea oscilativă este periodică.
În mișcarea corpurilor oscilante, pe lângă periodicitate, mai există o caracteristică comună.
Fiţi atenți!
Pentru o perioadă de timp egală cu perioada de oscilație, orice corp trece de două ori prin poziția de echilibru (mișcându-se în direcții opuse).
Mișcările care se repetă la intervale regulate, în care corpul în mod repetat și în direcții diferite trece de poziția de echilibru, se numesc vibrații mecanice.
Sub acțiunea forțelor care readuc corpul într-o poziție de echilibru, corpul poate oscila ca de la sine. Inițial, aceste forțe apar din cauza efectuării unor lucrări asupra corpului (întinderea arcului, ridicarea lui la înălțime etc.), ceea ce duce la comunicarea unei anumite rezerve de energie către organism. Datorită acestei energii apar vibrații.
Exemplu:
Pentru a face leagănul să facă mișcări oscilatorii, trebuie mai întâi să le dezechilibrați împingând cu picioarele sau să o faceți cu mâinile.
Oscilațiile care apar numai datorită rezervei inițiale de energie a unui corp oscilant în absența influențelor externe asupra acestuia se numesc vibratii libere.
Exemplu:
Un exemplu de vibrații libere ale unui corp sunt vibrațiile unei sarcini suspendate pe un arc. Inițial dezechilibrat forțe externeîn viitor, sarcina va fluctua numai din cauza forțelor interne ale sistemului „sarcină-arc” - forțe gravitaționale și elastice.
Condiții pentru apariția oscilațiilor libere în sistem:
a) sistemul trebuie să fie într-o poziție de echilibru stabil: atunci când sistemul se abate de la poziția de echilibru, trebuie să apară o forță care urmărește să readucă sistemul în poziția de echilibru - forța de restabilire;
b) sistemul are energie mecanică în exces comparativ cu energia sa în poziţia de echilibru;
c) excesul de energie primit de sistem atunci când este deplasat din poziția de echilibru nu trebuie cheltuit complet pentru depășirea forțelor de frecare la revenirea în poziția de echilibru, i.e. forțele de frecare din sistem trebuie să fie suficient de mici.
Corpurile care oscilează liber interacționează întotdeauna cu alte corpuri și împreună cu acestea formează un sistem de corpuri, care se numește sistem oscilator.
Sistemele de corpuri care sunt capabile să efectueze oscilații libere se numesc sisteme oscilatorii.
Una dintre principalele proprietăți comune ale tuturor sistemelor oscilatoare este apariția în ele a unei forțe care readuce sistemul într-o poziție de echilibru stabil.
Exemplu:
În cazul vibrațiilor unei bile pe un fir, bila oscilează liber sub acțiunea a două forțe: forța gravitațională și forța elastică a firului. Rezultanta lor este direcționată către poziția de echilibru.
Pământul, suportul și corpul suspendat de suport (vezi Fig. 3) formează un sistem oscilator numit pendul fizic. Rack-urile, două arcuri și corpul m (vezi fig. 4) formează un sistem oscilator, care se numește de obicei pendul cu arc orizontal. Toate sistemele oscilatoare au o serie de proprietăți comune. Să le luăm în considerare pe cele principale.
1 Fiecare sistem oscilator are o stare de echilibru stabil. Pentru un pendul fizic, aceasta este poziția în care centrul de masă al corpului suspendat se află pe aceeași verticală cu punctul de suspensie. Pentru un pendul cu arc vertical, aceasta este poziția în care forța gravitațională este echilibrată de forța elastică a arcului. Pentru un pendul cu arc orizontal, aceasta este poziția în care ambele arcuri sunt deformate în mod egal.
2 După ce sistemul oscilator este scos din poziția de echilibru stabil, apare o forță care readuce sistemul într-o poziție stabilă. Originea acestei forțe poate fi diferită. Deci, pentru un pendul fizic, aceasta este rezultanta f a gravitației G și a forței elastice T (Fig. 5), iar pentru pendulele cu arc, aceasta este forța elastică a arcurilor (Fig. 6).
 |
3 Revenind la o stare stabilă, sistemul oscilator nu se poate opri imediat. În sistemele oscilatoare mecanice, acest lucru este împiedicat de inerția corpului oscilant. Aceste proprietăți conduc la faptul că, dacă sistemul oscilator este scos din starea de echilibru stabil într-un fel sau altul, atunci în absența forțelor externe vor apărea și vor persista o perioadă de timp. Oscilațiile care au apărut ar putea continua la nesfârșit dacă nu ar exista frecare (rezistență) în sistemul oscilator. Aceste sisteme oscilatorii ideale le vom lua în considerare în multe cazuri. Un sistem oscilator ideal are două caracteristici definitorii:
a) nu există frecare (rezistență) în ea și, prin urmare, nu au loc transformări ireversibile ale energiei;
b) parametrii unui astfel de sistem oscilant (lungimea filetului, masa corpului oscilant, rigiditatea arcului) sunt constanți.
Un exemplu de sistem oscilator ideal este așa-numitul pendul matematic, care este o greutate mică suspendată pe un arc flexibil, fără greutate și inextensibil. Lungimea firului și masa sarcinii rămân neschimbate în timpul oscilației pendulului. Dacă firul este considerat a fi infinit subțire și ideal flexibil, iar dimensiunile sarcinii sunt infinit de mici, punctual, atunci nu va exista frecare în timpul oscilațiilor pendulului matematic.
În sistemele oscilatorii reale, există frecare, iar parametrii sistemului se modifică ușor în timpul mișcării oscilatorii. Deci, un pendul, care este o sarcină de dimensiuni finite suspendată pe un fir de mătase, nu poate fi considerat în sensul deplin un sistem oscilator ideal, deoarece în procesul mișcării sale oscilatorii acționează rezistența aerului și frecarea în punctul de suspensie, iar lungimea firului se modifică (deși foarte puțin). Dar cu mici oscilații ale unui astfel de pendul, rezistența aerului este mică, iar lungimea firului se modifică atât de nesemnificativ încât, cu o anumită aproximare, acest pendul poate fi considerat un sistem oscilator aproape ideal. Acest lucru este valabil și pentru pendulul cu arc. Poate fi considerat un sistem oscilator ideal dacă masa corpului oscilant și rigiditatea arcului sunt constante, iar frecarea este atât de mică încât poate fi ignorată.
1 Vibrații libere. Oscilațiile care apar într-un sistem oscilator care nu este supus acțiunii forțelor externe periodice se numesc oscilații libere. Pentru apariția oscilațiilor libere, asupra sistemului oscilator din exterior trebuie să se exercite un impact pe termen scurt, scoțând sistemul din echilibru (abatere de la poziția medie a pendulului, o riglă de oțel prinsă într-o menghină, o sfoară, etc.).
2 Oscilograma oscilațiilor.Dacă greutatea pendulului este un vas cu cerneală, în care există o gaură îngustă, atunci când pendulul oscilează.
OK-1 Vibrații mecanice
Vibrațiile mecanice sunt mișcări care se repetă exact sau aproximativ la anumite intervale de timp.
Vibrațiile forțate sunt vibrații care apar sub acțiunea unei forțe externe, care se schimbă periodic.
Oscilațiile libere sunt oscilații care apar într-un sistem sub acțiunea forțelor interne după ce sistemul a fost scos dintr-o poziție de echilibru stabil.
Sisteme oscilatorii
Condiții de apariție a vibrațiilor mecanice
1. Prezența unei poziții de echilibru stabil la care rezultanta este egală cu zero.
2. Cel puțin o forță trebuie să depindă de coordonate.
3. Prezența excesului de energie într-un punct material oscilant.
4. Dacă corpul este scos din echilibru, atunci rezultanta nu este egală cu zero.
5. Forțele de frecare din sistem sunt mici.
Conversia energiei în timpul mișcării oscilatorii
În echilibru instabil avem: E p → E spre → E p → E spre → E P.
Pentru o desfășurare completă 
.
Legea conservării energiei este îndeplinită.
Parametrii mișcării oscilatorii
1
.
Părtinire X- abaterea punctului de oscilaţie de la poziţia de echilibru la un moment dat.
2. Amplitudine X 0 - cea mai mare deplasare de la poziția de echilibru.
3. Perioadă T este timpul unei oscilații complete. Exprimat în secunde (s).
4. Frecvență ν este numărul de oscilații complete pe unitatea de timp. Se exprimă în herți (Hz).
,
;
.
Oscilații libere ale unui pendul matematic
Un pendul matematic - un model - un punct material suspendat pe un fir inextensibil și fără greutate.
Înregistrarea mișcării unui punct oscilant în funcție de timp.
LA 
scoate pendulul din echilibru. rezultantă (tangențială) F t = - mg păcat α
, adică F m este proiecția gravitației pe tangenta la traiectoria corpului. Conform celei de-a doua legi a dinamicii ma t = F t. Din moment ce unghiul α
foarte mic atunci ma t = - mg păcat α
.
De aici A t = g păcat α ,păcat α =α =s/L,
.
Prin urmare, A~s spre echilibru.
Accelerația a unui punct material al unui pendul matematic este proporțională cu deplasareas.
Prin urmare, ecuația de mișcare a arcului și pendulele matematice au aceeași formă: a ~ x.
Perioada de oscilație
Pendul de primăvară
Să presupunem că frecvența naturală de oscilație a unui corp atașat unui arc este 
.
Perioada de oscilații libere 
.
Frecvența ciclică ω = 2πν .
Prin urmare, 
.
Primim 
, Unde 
.
Pendul matematic
Cu 
frecvența naturală a unui pendul matematic 
.
Frecvența ciclică 
,
.
Prin urmare, 
.
Legile oscilației unui pendul matematic
1. Cu o amplitudine mică a oscilațiilor, perioada de oscilație nu depinde de masa pendulului și de amplitudinea oscilațiilor.
2. Perioada de oscilație este direct proporțională cu rădăcina pătrată a lungimii pendulului și invers proporțională cu rădăcina pătrată a accelerației de cădere liberă.
Vibrații armonice
P 
cel mai simplu tip de oscilații periodice, în care modificări periodice în timp ale mărimilor fizice au loc conform legii sinusului sau cosinusului, se numesc oscilații armonice:
X=X 0 pacat ωt sau X=X 0 cos( ωt+ φ 0),
Unde X- offset în orice moment; X 0 - amplitudinea oscilației;
ωt+ φ 0 - faza de oscilatie; φ 0 - faza initiala.
Ecuația X=X 0 cos( ωt+ φ 0), care descrie oscilațiile armonice, este soluția ecuației diferențiale X" +ω 2 X= 0.
Diferențiând această ecuație de două ori, obținem:
X" = −ω 0 pacat( ωt+ φ 0),X" = −ω 2 X 0 cos( ωt+ φ 0),ω 2 X 0 cos( ωt+ φ 0) −ω 2 X 0 cos( ωt+ φ 0).
Dacă orice proces poate fi descris prin ecuație X"
+ω
2 X= 0, atunci are loc o oscilație armonică cu o frecvență ciclică ω
și punct 
.
Prin urmare, cu oscilații armonice, viteza și accelerația se modifică, de asemenea, conform legii sinusului sau cosinusului.
Deci, pentru viteza v X =X" = (X 0 cos ωt)" =X 0 (cos ωt)" , adică v= − ωx 0 pacat ωt,
sau v= ωx 0 cos( ωt+π /2) =v 0 cos( ωt+π /2), unde v 0 = X 0 ω - valoarea amplitudinii vitezei. Accelerația se modifică conform legii: A X=v " X =X" = −(ωx 0 pacat ωt)" = −ωx 0 (păcat ωt)" ,
acestea. A= −ω 2 X 0 cos ωt=ω 2 X 0 cos( ωt+π ) =α 0 cos( ωt+π ), Unde α 0 =ω 2 X 0: - valoarea amplitudinii acceleraţiei.
Conversia energiei în timpul vibrațiilor armonice
Dacă vibraţiile corpului apar conform legii X 0 pacat( ωt+ φ 0), atunci energia cinetică a corpului este:
.
Energia potențială a corpului este:
.
La fel de k=mω 2, atunci 
.
Poziția de echilibru a corpului ( X= 0).
Energia mecanică totală a sistemului este: 
.
OK-3 Cinematica oscilațiilor armonice
Faza de oscilație φ - o mărime fizică care stă sub semnul sin sau cos și determină în orice moment starea sistemului conform ecuației X=X 0 cos φ .
Deplasarea x a corpului la un moment dat
X
=X 0 cos( ωt+
φ
0), unde X 0 - amplitudine; φ
0 - faza inițială a oscilațiilor în momentul inițial de timp ( t= 0), determină poziția punctului oscilant în momentul inițial de timp.
Viteza si acceleratia in oscilatii armonice
E 
Dacă corpul efectuează oscilaţii armonice conform legii X=X 0 cos ωt
de-a lungul axei Oh, apoi viteza corpului v X este definit de expresia 
.
Mai strict, viteza corpului este derivata coordonatei X cu timpul t:
v 
X =X"
(t)
= −xω păcat ω
=X 0 ω
0 ω
cos( ωt+π
/2).
Proiecția accelerației: A X=v " X (t) = −X 0 ω cos ωt=X 0 ω 2 cos( ωt+π ),
v max = ωx 0 ,A max= ω 2 X.
În cazul în care un φ 0 X= 0, atunci φ 0 v = π /2,φ 0 A =π .
Rezonanţă
R
Ascendent X 0 la rezonanță, cu atât mai mare cu atât mai puțină frecare în sistem. Curbe 1 ,2 ,3 corespund unei amortizari critice slabe, puternice: F tr3 > F tr2 > F tr1 .
La frecare scăzută, rezonanța este ascuțită; la frecare mare, este obtuză. Amplitudinea la rezonanță este: 
, Unde F max - valoarea amplitudinii forței externe; μ
- coeficient de frecare.
Utilizarea rezonanței
Leagăn leagăn.
Masini pentru compactarea betonului.
Contoare de frecventa.
Rezonanța de luptă
Rezonanța poate fi redusă prin creșterea forței de frecare sau
Pe poduri, trenurile se deplasează cu o anumită viteză.