Oh-oh-oh-oh-oh ... ei bine, e minuscul, de parcă ți-ai citi propoziția pentru tine =) Cu toate acestea, atunci relaxarea va ajuta, mai ales că mi-am cumpărat azi accesorii potrivite. Prin urmare, să trecem la prima secțiune, sper că până la sfârșitul articolului voi păstra o dispoziție veselă.

Dispunerea reciprocă a două linii drepte

Cazul când sala cântă în cor. Două linii pot:

1) potrivire;

2) fi paralel: ;

3) sau se intersectează într-un singur punct: .

Ajutor pentru manechini : vă rugăm să rețineți semnul matematic al intersecției, acesta va apărea foarte des. Intrarea înseamnă că linia se intersectează cu linia în punct.

Cum se determină poziția relativă a două linii?

Să începem cu primul caz:

Două drepte coincid dacă și numai dacă coeficienții lor respectivi sunt proporționali, adică există un astfel de număr „lambda” încât egalitățile

Să considerăm drepte și să compunem trei ecuații din coeficienții corespunzători: . Din fiecare ecuație rezultă că, prin urmare, aceste drepte coincid.

Într-adevăr, dacă toți coeficienții ecuației înmulțiți cu -1 (schimbați semnele) și reduceți toți coeficienții ecuației cu 2, obțineți aceeași ecuație: .

Al doilea caz când liniile sunt paralele:

Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor la variabile sunt proporționali: , dar.

Ca exemplu, luați în considerare două linii drepte. Verificăm proporționalitatea coeficienților corespunzători pentru variabilele:

Cu toate acestea, este clar că.

Și al treilea caz, când liniile se intersectează:

Două drepte se intersectează dacă și numai dacă coeficienții lor ai variabilelor NU sunt proporționali, adică NU există o asemenea valoare a „lambda” încât egalitățile să fie îndeplinite

Deci, pentru linii drepte vom compune un sistem:

Din prima ecuație rezultă că , iar din a doua ecuație: , prin urmare, sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coeficienții la variabile nu sunt proporționali.

Concluzie: liniile se intersectează

În problemele practice, se poate folosi schema de soluție tocmai considerată. Apropo, este foarte asemănător cu algoritmul de verificare a coliniarității vectorilor, pe care l-am luat în considerare în lecție. Conceptul de (non)dependență liniară a vectorilor. Baza vectorială. Dar există un pachet mai civilizat:

Exemplul 1

Aflați poziția relativă a liniilor:

Soluţie pe baza studiului vectorilor de direcție ai liniilor drepte:

a) Din ecuații găsim vectorii de direcție ai dreptelor: .

, deci vectorii nu sunt coliniari și liniile se intersectează.

Pentru orice eventualitate, voi pune o piatră cu indicatori la răscruce:

Restul sar peste piatra si merg mai departe, direct catre Kashchei cel fara de moarte =)

b) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor:

Liniile au același vector de direcție, ceea ce înseamnă că sunt fie paralele, fie aceleași. Aici determinantul nu este necesar.

Evident, coeficienții necunoscutelor sunt proporționale, în timp ce .

Să aflăm dacă egalitatea este adevărată:

În acest fel,

c) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor:

Să calculăm determinantul, compus din coordonatele acestor vectori:
, prin urmare, vectorii de direcție sunt coliniari. Liniile sunt fie paralele, fie coincid.

Factorul de proporționalitate „lambda” este ușor de văzut direct din raportul vectorilor de direcție coliniară. Cu toate acestea, poate fi găsit și prin coeficienții ecuațiilor înșiși: .

Acum să aflăm dacă egalitatea este adevărată. Ambii termeni liberi sunt zero, deci:

Valoarea rezultată satisface această ecuație (orice număr o satisface în general).

Astfel, liniile coincid.

Răspuns:

Foarte curând vei învăța (sau chiar ai învățat deja) să rezolvi problema luată în considerare verbal, literal, în câteva secunde. În acest sens, nu văd niciun motiv să ofer ceva pentru o soluție independentă, este mai bine să puneți o cărămidă importantă în fundația geometrică:

Cum se desenează o linie paralelă cu una dată?

Pentru ignorarea acestei sarcini simple, Privighetoarea Tâlharul pedepsește aspru.

Exemplul 2

Linia dreaptă este dată de ecuația . Scrieți o ecuație pentru o dreaptă paralelă care trece prin punct.

Soluţie: Notează linia necunoscută cu litera . Ce spune condiția despre ea? Linia trece prin punct. Și dacă liniile sunt paralele, atunci este evident că vectorul de direcție al dreptei „ce” este potrivit și pentru construirea dreptei „te”.

Scoatem vectorul direcție din ecuație:

Răspuns:

Geometria exemplului pare simplă:

Verificarea analitică constă în următorii pași:

1) Verificăm ca liniile să aibă același vector de direcție (dacă ecuația dreptei nu este simplificată corespunzător, atunci vectorii vor fi coliniari).

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată.

Verificarea analitică în cele mai multe cazuri este ușor de efectuat oral. Priviți cele două ecuații și mulți dintre voi vă vor da seama rapid cum liniile sunt paralele fără nici un desen.

Exemplele de auto-rezolvare astăzi vor fi creative. Pentru că mai trebuie să concurezi cu Baba Yaga, iar ea, știi, este o iubitoare de tot felul de ghicitori.

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct paralel cu dreapta dacă

Există o modalitate rațională și nu foarte rațională de a rezolva. Cea mai scurtă cale este la sfârșitul lecției.

Am lucrat puțin cu linii paralele și vom reveni la ele mai târziu. Cazul liniilor coincidente este de puțin interes, așa că să luăm în considerare o problemă care vă este bine cunoscută din programa școlară:

Cum se află punctul de intersecție a două drepte?

Dacă drept se intersectează în punctul , atunci coordonatele sale sunt soluția sisteme de ecuații liniare

Cum să găsiți punctul de intersecție al liniilor? Rezolvați sistemul.

În sănătatea ta semnificația geometrică a unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute sunt două drepte care se intersectează (cel mai adesea) pe un plan.

Exemplul 4

Aflați punctul de intersecție al dreptelor

Soluţie: Există două moduri de rezolvare - grafic și analitic.

Calea grafică este să trageți pur și simplu liniile date și să aflați punctul de intersecție direct din desen:

Iată punctul nostru de vedere: . Pentru a verifica, ar trebui să înlocuiți coordonatele sale în fiecare ecuație a unei linii drepte, acestea ar trebui să se potrivească atât acolo, cât și acolo. Cu alte cuvinte, coordonatele unui punct sunt soluția sistemului. De fapt, am considerat o modalitate grafică de a rezolva sisteme de ecuații liniare cu două ecuații, două necunoscute.

Metoda grafică, desigur, nu este rea, dar există dezavantaje vizibile. Nu, ideea nu este că elevii de clasa a VII-a decid astfel, ideea este că va dura timp să faci un desen corect și EXACT. În plus, unele linii nu sunt atât de ușor de construit, iar punctul de intersecție în sine poate fi undeva în al treizecilea regat în afara foii de caiet.

Prin urmare, este mai oportun să căutați punctul de intersecție prin metoda analitică. Să rezolvăm sistemul:

Pentru rezolvarea sistemului s-a folosit metoda adunării în termeni a ecuațiilor. Pentru a dezvolta abilitățile relevante, vizitați lecția Cum se rezolvă un sistem de ecuații?

Răspuns:

Verificarea este banala - coordonatele punctului de intersectie trebuie sa satisfaca fiecare ecuatie a sistemului.

Exemplul 5

Aflați punctul de intersecție al dreptelor dacă acestea se intersectează.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Sarcina poate fi împărțită convenabil în mai multe etape. Analiza stării sugerează că este necesar:
1) Scrieți ecuația unei drepte.
2) Scrieți ecuația unei drepte.
3) Aflați poziția relativă a liniilor.
4) Dacă liniile se intersectează, atunci găsiți punctul de intersecție.

Dezvoltarea unui algoritm de acțiune este tipică pentru multe probleme geometrice și mă voi concentra în mod repetat asupra acestui lucru.

Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului:

O pereche de pantofi nu a fost încă uzată, deoarece am ajuns la a doua secțiune a lecției:

Linii perpendiculare. Distanța de la un punct la o linie.
Unghiul dintre linii

Să începem cu o sarcină tipică și foarte importantă. În prima parte, am învățat cum să construim o linie dreaptă paralelă cu cea dată, iar acum coliba pe pulpele de pui se va întoarce la 90 de grade:

Cum se desenează o linie perpendiculară pe una dată?

Exemplul 6

Linia dreaptă este dată de ecuația . Scrieți o ecuație pentru o dreaptă perpendiculară care trece printr-un punct.

Soluţie: Se ştie prin presupunere că . Ar fi bine să găsim vectorul direcție al dreptei. Deoarece liniile sunt perpendiculare, trucul este simplu:

Din ecuație „eliminăm” vectorul normal: , care va fi vectorul de direcție al dreptei.

Compunem ecuația unei drepte printr-un punct și un vector de direcție:

Răspuns:

Să desfășurăm schița geometrică:

Hmmm... Cer portocaliu, mare portocaliu, cămilă portocalie.

Verificarea analitică a soluției:

1) Extrageți vectorii de direcție din ecuații si cu ajutorul produs scalar al vectorilor concluzionăm că dreptele sunt într-adevăr perpendiculare: .

Apropo, puteți folosi vectori normali, este și mai ușor.

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată .

Verificarea, din nou, este ușor de efectuat verbal.

Exemplul 7

Aflați punctul de intersecție al dreptelor perpendiculare, dacă ecuația este cunoscută și punct.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Există mai multe acțiuni în sarcină, deci este convenabil să aranjați soluția punct cu punct.

Călătoria noastră interesantă continuă:

Distanța de la punct la linie

În fața noastră este o fâșie dreaptă a râului și sarcina noastră este să ajungem la el în cel mai scurt drum. Nu există obstacole, iar traseul cel mai optim va fi deplasarea de-a lungul perpendicularei. Adică, distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului perpendicular.

Distanța în geometrie se notează în mod tradițional cu litera greacă „ro”, de exemplu: - distanța de la punctul „em” la linia dreaptă „de”.

Distanța de la punct la linie este exprimat prin formula

Exemplul 8

Aflați distanța de la un punct la o linie

Soluţie: tot ce aveți nevoie este să înlocuiți cu atenție numerele în formulă și să faceți calculele:

Răspuns:

Să executăm desenul:

Distanța găsită de la punct la linie este exact lungimea segmentului roșu. Dacă faci un desen pe hârtie în carouri la scară de 1 unitate. \u003d 1 cm (2 celule), apoi distanța poate fi măsurată cu o riglă obișnuită.

Luați în considerare o altă sarcină conform aceluiași desen:

Sarcina este de a găsi coordonatele punctului , care este simetric față de punctul în raport cu dreapta . Vă propun să efectuați acțiunile pe cont propriu, totuși, voi schița algoritmul de soluție cu rezultate intermediare:

1) Găsiți o dreaptă care este perpendiculară pe o dreaptă.

2) Aflați punctul de intersecție al dreptelor: .

Ambele acțiuni sunt discutate în detaliu în această lecție.

3) Punctul este punctul de mijloc al segmentului. Cunoaștem coordonatele mijlocului și unuia dintre capete. De formule pentru coordonatele mijlocului segmentului găsi .

Nu va fi de prisos să verificați dacă distanța este și ea egală cu 2,2 unități.

Aici pot apărea dificultăți în calcule, dar în turn un microcalculator ajută foarte mult, permițându-vă să numărați fracțiile obișnuite. Am sfătuit de multe ori și o să recomand din nou.

Cum se află distanța dintre două linii paralele?

Exemplul 9

Aflați distanța dintre două drepte paralele

Acesta este un alt exemplu pentru o soluție independentă. Un mic indiciu: există nenumărate moduri de a rezolva. Debriefing la sfârșitul lecției, dar mai bine încercați să ghiciți singuri, cred că ați reușit să vă împrăștiați bine ingeniozitatea.

Unghiul dintre două linii

Oricare ar fi colțul, apoi cantul:


În geometrie, unghiul dintre două drepte este luat ca unghi MAI MIC, din care rezultă automat că nu poate fi obtuz. În figură, unghiul indicat de arcul roșu nu este considerat a fi unghiul dintre liniile care se intersectează. Și vecinul său „verde” sau orientat opus colțul purpuriu.

Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci oricare dintre cele 4 unghiuri poate fi luat ca unghi între ele.

Cum diferă unghiurile? Orientare. În primul rând, direcția de „defilare” colțului este esențial importantă. În al doilea rând, un unghi orientat negativ este scris cu semnul minus, de exemplu, dacă .

De ce am spus asta? Se pare că te poți descurca cu conceptul obișnuit de unghi. Cert este că în formulele prin care vom găsi unghiurile se poate obține cu ușurință un rezultat negativ, iar acest lucru nu ar trebui să vă ia prin surprindere. Un unghi cu semnul minus nu este mai rău și are o semnificație geometrică foarte specifică. În desenul pentru un unghi negativ, este imperativ să indicați orientarea acestuia (în sensul acelor de ceasornic) cu o săgeată.

Cum să găsiți unghiul dintre două linii? Există două formule de lucru:

Exemplul 10

Găsiți unghiul dintre linii

Soluţieși Metoda unu

Luați în considerare două drepte date de ecuații în formă generală:

Dacă drept nu perpendicular, apoi orientat unghiul dintre ele poate fi calculat folosind formula:

Să acordăm o atenție deosebită numitorului - exact asta produs scalar vectori de direcție ai liniilor drepte:

Dacă , atunci numitorul formulei dispare, iar vectorii vor fi ortogonali, iar liniile vor fi perpendiculare. De aceea s-a făcut o rezervă cu privire la neperpendicularitatea liniilor în formulare.

Pe baza celor de mai sus, soluția este formalizată convenabil în doi pași:

1) Calculați produsul scalar al vectorilor de direcție ai liniilor drepte:
deci liniile nu sunt perpendiculare.

2) Găsim unghiul dintre drepte prin formula:

Folosind funcția inversă, este ușor să găsiți unghiul în sine. În acest caz, folosim ciudățenia arc-tangentei (vezi Fig. Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare):

Răspuns:

În răspuns, indicăm valoarea exactă, precum și valoarea aproximativă (de preferință atât în ​​grade, cât și în radiani), calculată cu ajutorul unui calculator.

Ei bine, minus, deci minus, e în regulă. Iată o ilustrație geometrică:

Nu este surprinzător că unghiul s-a dovedit a fi de orientare negativă, deoarece, în starea problemei, primul număr este o linie dreaptă și „răsucirea” unghiului a început tocmai de la aceasta.

Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați liniile drepte, adică să luați coeficienții din a doua ecuație , și luați coeficienții din prima ecuație . Pe scurt, trebuie să începeți cu un direct .

\(\blacktriangleright\) Un unghi diedru este unghiul format din două semiplane și dreapta \(a\) , care este limita lor comună.

\(\blacktriangleright\) Pentru a găsi unghiul dintre planele \(\xi\) și \(\pi\) , trebuie să găsiți unghiul liniar picant sau Drept) a unghiului diedric format din planele \(\xi\) si \(\pi\) :

Pasul 1: fie \(\xi\cap\pi=a\) (linia de intersecție a planurilor). În planul \(\xi\) marchem un punct arbitrar \(F\) și desenăm \(FA\perp a\) ;

Pasul 2: desenați \(FG\perp \pi\) ;

Pasul 3: conform TTP (\(FG\) - perpendicular, \(FA\) - oblic, \(AG\) - proiecție) avem: \(AG\perp a\) ;

Pasul 4: Unghiul \(\angle FAG\) se numește unghiul liniar al unghiului diedru format din planele \(\xi\) și \(\pi\) .

Rețineți că triunghiul \(AG\) este un triunghi dreptunghic.
De asemenea, rețineți că planul \(AFG\) construit în acest fel este perpendicular atât pe planurile \(\xi\) cât și pe \(\pi\) . Prin urmare, se poate spune și în alt mod: unghiul dintre planuri\(\xi\) și \(\pi\) este unghiul dintre două drepte care se intersectează \(c\in \xi\) și \(b\in\pi\) , formând un plan perpendicular pe \(\xi\ ) și \(\pi\) .

Sarcina 1 #2875

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul

Având în vedere o piramidă patruunghiulară, toate marginile căreia sunt egale, iar baza este un pătrat. Găsiți \(6\cos \alpha\) , unde \(\alpha\) este unghiul dintre fețele sale laterale adiacente.

Fie \(SABCD\) o piramidă dată (\(S\) este un vârf) ale cărei muchii sunt egale cu \(a\) . Prin urmare, toate fețele laterale sunt triunghiuri echilaterale egale. Găsiți unghiul dintre fețele \(SAD\) și \(SCD\) .

Să desenăm \(CH\perp SD\) . pentru că \(\triunghi SAD=\triunghi SCD\), atunci \(AH\) va fi, de asemenea, o înălțime de \(\triunghi SAD\) . Prin urmare, prin definiție, \(\angle AHC=\alpha\) este unghiul diedric liniar dintre fețele \(SAD\) și \(SCD\) .
Deoarece baza este un pătrat, atunci \(AC=a\sqrt2\) . De asemenea, rețineți că \(CH=AH\) este înălțimea unui triunghi echilateral cu latura \(a\) , deci \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Apoi, după teorema cosinusului din \(\triunghiul AHC\): \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Raspuns: -2

Sarcina 2 #2876

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul

Planele \(\pi_1\) și \(\pi_2\) se intersectează la un unghi al cărui cosinus este egal cu \(0,2\) . Planele \(\pi_2\) și \(\pi_3\) se intersectează în unghi drept, iar linia de intersecție a planurilor \(\pi_1\) și \(\pi_2\) este paralelă cu linia de intersecție a avioanele \(\pi_2\) și \(\ pi_3\) . Aflați sinusul unghiului dintre planele \(\pi_1\) și \(\pi_3\) .

Fie linia de intersecție a lui \(\pi_1\) și \(\pi_2\) să fie linia \(a\), iar linia de intersecție a lui \(\pi_2\) și \(\pi_3\) să fie linia \ (b\) , iar linia de intersecție \(\pi_3\) și \(\pi_1\) sunt linia dreaptă \(c\) . Deoarece \(a\parallel b\) , atunci \(c\parallel a\parallel b\) (conform teoremei din secțiunea referinței teoretice „Geometrie în spațiu” \(\rightarrow\) „Introducere în stereometrie, paralelism").

Marcați punctele \(A\in a, B\in b\) astfel încât \(AB\perp a, AB\perp b\) (acest lucru este posibil deoarece \(a\parallel b\) ). Observați \(C\in c\) astfel încât \(BC\perp c\), deci \(BC\perp b\) . Apoi \(AC\perp c\) și \(AC\perp a\) .
Într-adevăr, deoarece \(AB\perp b, BC\perp b\) , atunci \(b\) este perpendicular pe planul \(ABC\) . Deoarece \(c\parallel a\parallel b\) , atunci dreptele \(a\) și \(c\) sunt de asemenea perpendiculare pe planul \(ABC\) și, prin urmare, orice dreaptă din acest plan, în special, linia \ (AC\) .

De aici rezultă că \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). Se dovedește că \(\triunghiul ABC\) este dreptunghiular, ceea ce înseamnă \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Răspuns: 0,2

Sarcina 3 #2877

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul

Datele drepte \(a, b, c\) care se intersectează într-un punct, iar unghiul dintre oricare dintre ele este egal cu \(60^\circ\) . Aflați \(\cos^(-1)\alpha\) , unde \(\alpha\) este unghiul dintre planul format din dreptele \(a\) și \(c\) și planul format de drepte \(b\ ) și \(c\) . Dați răspunsul în grade.

Fie ca liniile să se intersecteze în punctul \(O\) . Deoarece unghiul dintre oricare dintre ele este egal cu \(60^\circ\) , atunci toate cele trei drepte nu pot fi situate în același plan. Să marchem un punct \(A\) pe dreapta \(a\) și să desenăm \(AB\perp b\) și \(AC\perp c\) . Apoi \(\triunghi AOB=\triunghi AOC\) dreptunghiular în ipotenuză și unghi ascuțit. Prin urmare, \(OB=OC\) și \(AB=AC\) .
Să facem \(AH\perp (BOC)\) . Apoi, după teorema celor trei perpendiculare \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Din moment ce \(AB=AC\) , atunci \(\triunghi AHB=\triunghi AHC\) dreptunghiular de-a lungul ipotenuzei și catetei. Prin urmare, \(HB=HC\) . Prin urmare, \(OH\) ​​​​este bisectoarea unghiului \(BOC\) (deoarece punctul \(H\) este echidistant de laturile unghiului).

Rețineți că în acest fel am construit și unghiul liniar al unghiului diedru format din planul format din dreptele \(a\) și \(c\) și planul format din dreptele \(b\) și \( c\) . Acesta este unghiul \(ACH\) .

Să găsim acest colț. Deoarece am ales punctul \(A\) în mod arbitrar, atunci să-l alegem astfel încât \(OA=2\) . Apoi, în dreptunghiular \(\triunghi AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Deoarece \(OH\) ​​​​este o bisectoare, atunci \(\angle HOC=30^\circ\), prin urmare, într-un dreptunghiular \(\triunghi HOC\): \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Apoi din dreptunghiular \(\triunghi ACH\): \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Raspuns: 3

Sarcina 4 #2910

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul

Planele \(\pi_1\) și \(\pi_2\) se intersectează de-a lungul dreptei \(l\) , care conține punctele \(M\) și \(N\) . Segmentele \(MA\) și \(MB\) sunt perpendiculare pe dreapta \(l\) și se află în planurile \(\pi_1\) și respectiv \(\pi_2\), și \(MN = 15\). \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Găsiți \(3\cos\alpha\) , unde \(\alpha\) este unghiul dintre planele \(\pi_1\) și \(\pi_2\) .

Triunghiul \(AMN\) este dreptunghic, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) , de unde \ Triunghiul \(BMN\) este dreptunghic, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , de unde \ Scriem teorema cosinusului pentru triunghiul \(AMB\): \ Apoi \ Deoarece unghiul \(\alpha\) dintre plane este un unghi ascuțit și \(\angle AMB\) sa dovedit a fi obtuz, atunci \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Apoi \

Răspuns: 1,25

Sarcina 5 #2911

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) este un paralelipiped, \(ABCD\) este un pătrat cu latura \(a\) , punctul \(M\) este baza perpendicularei coborâte din punctul \(A_1\) în plan \ ((ABCD)\) , în plus, \(M\) este punctul de intersecție al diagonalelor pătratului \(ABCD\) . Se știe că \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Aflați unghiul dintre planele \((ABCD)\) și \((AA_1B_1B)\) . Dați răspunsul în grade.

Construim \(MN\) perpendicular pe \(AB\) așa cum se arată în figură.

Deoarece \(ABCD\) este un pătrat cu latura \(a\) și \(MN\perp AB\) și \(BC\perp AB\) , atunci \(MN\parallel BC\) . Deoarece \(M\) este punctul de intersecție al diagonalelor pătratului, atunci \(M\) este punctul de mijloc al lui \(AC\) , prin urmare, \(MN\) este linia mediană și \(MN=\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
\(MN\) este proiecția lui \(A_1N\) pe planul \((ABCD)\) și \(MN\) este perpendicular pe \(AB\) , apoi, după teorema celor trei perpendiculare, \( A_1N\) este perpendicular pe \(AB \) iar unghiul dintre planele \((ABCD)\) și \((AA_1B_1B)\) este \(\angle A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Raspuns: 60

Sarcina 6 #1854

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul

În pătratul \(ABCD\) : \(O\) este punctul de intersecție al diagonalelor; \(S\) nu este în planul pătratului, \(SO \perp ABC\) . Aflați unghiul dintre planele \(ASD\) și \(ABC\) dacă \(SO = 5\) și \(AB = 10\) .

Triunghiuri dreptunghiulare \(\triunghi SAO\) și \(\triunghi SDO\) sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , deoarece \(O\) este punctul de intersecție al diagonalelor pătratului, \(SO\) este latura comună) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) este isoscel. Punctul \(K\) este mijlocul lui \(AD\) , atunci \(SK\) este înălțimea în triunghi \(\triangle ASD\) și \(OK\) este înălțimea în triunghi \ (AOD\) \(\Rightarrow\) plan \(SOK\) este perpendicular pe planurile \(ASD\) și \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) este un unghi liniar egal la unghiul diedric necesar.

În \(\triunghi SKO\): \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) este un triunghi dreptunghic isoscel \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Raspuns: 45

Sarcina 7 #1855

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul

În pătratul \(ABCD\) : \(O\) este punctul de intersecție al diagonalelor; \(S\) nu este în planul pătratului, \(SO \perp ABC\) . Aflați unghiul dintre planele \(ASD\) și \(BSC\) dacă \(SO = 5\) și \(AB = 10\) .

Triunghiuri dreptunghiulare \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) și \(\triangle SOC\) sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele (\(SO \perp ABC). \) \(\Săgeată la dreapta\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\) , deoarece \(O\) este punctul de intersecție al diagonalelor pătratului, \(SO\) este latura comună) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\triunghiul ASD\) și \(\triunghiul BSC\) sunt isoscele. Punctul \(K\) este mijlocul lui \(AD\) , atunci \(SK\) este înălțimea în triunghi \(\triangle ASD\) și \(OK\) este înălțimea în triunghi \ (AOD\) \(\ Săgeată la dreapta\) planul \(SOK\) este perpendicular pe planul \(ASD\) . Punctul \(L\) este mijlocul lui \(BC\) , atunci \(SL\) este înălțimea în triunghi \(\triangle BSC\) și \(OL\) este înălțimea în triunghi \ (BOC\) \(\ Săgeată la dreapta\) planul \(SOL\) (alias planul \(SOK\) ) este perpendicular pe planul \(BSC\) . Astfel, obținem că \(\angle KSL\) este un unghi liniar egal cu unghiul diedric dorit.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Rightarrow\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) - înălțimi în triunghiuri isoscele egale, care pot fi găsite folosind teorema lui Pitagora: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Se vede că \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) pentru un triunghi \(\triangle KSL\), teorema inversă a lui Pitagora este valabilă \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) este un triunghi dreptunghic \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\ circ\) .

Raspuns: 90

Pregătirea elevilor pentru examenul de matematică, de regulă, începe cu o repetare a formulelor de bază, inclusiv a celor care vă permit să determinați unghiul dintre planuri. În ciuda faptului că această secțiune de geometrie este acoperită suficient de detaliat în cadrul programului școlar, mulți absolvenți trebuie să repete materialul de bază. Înțelegând cum să găsească unghiul dintre avioane, elevii de liceu vor putea să calculeze rapid răspunsul corect în cursul rezolvării problemei și să se bazeze pe obținerea unor scoruri decente pe baza examenului de stat unificat.

Nuanțe principale

Pentru ca întrebarea cum să găsiți unghiul diedric să nu provoace dificultăți, vă recomandăm să urmați algoritmul de soluție care vă va ajuta să faceți față sarcinilor examenului.

Mai întâi trebuie să determinați linia de-a lungul căreia se intersectează planurile.

Apoi pe această linie trebuie să alegeți un punct și să desenați două perpendiculare pe acesta.

Următorul pas este găsirea funcției trigonometrice a unghiului diedric, care este format de perpendiculare. Cel mai convenabil este să faceți acest lucru cu ajutorul triunghiului rezultat, din care colțul face parte.

Răspunsul va fi valoarea unghiului sau a funcției sale trigonometrice.

Pregătirea pentru examenul împreună cu Shkolkovo este cheia succesului tău

În procesul de studiu în ajunul promovării examenului, mulți studenți se confruntă cu problema găsirii definițiilor și formulelor care vă permit să calculați unghiul dintre 2 plane. Un manual școlar nu este întotdeauna la îndemână exact când este necesar. Și pentru a găsi formulele și exemplele necesare pentru aplicarea lor corectă, inclusiv pentru găsirea online a unghiului dintre avioane pe Internet, uneori trebuie să petreceți mult timp.

Portalul matematic „Shkolkovo” oferă o nouă abordare a pregătirii pentru examenul de stat. Cursurile de pe site-ul nostru web îi vor ajuta pe studenți să identifice cele mai dificile secțiuni pentru ei înșiși și să umple golurile în cunoștințe.

Am pregătit și am prezentat clar tot materialul necesar. Definițiile și formulele de bază sunt prezentate în secțiunea „Referință teoretică”.

Pentru a asimila mai bine materialul, vă sugerăm și practicarea exercițiilor corespunzătoare. O selecție largă de sarcini de diferite grade de complexitate, de exemplu, pe, este prezentată în secțiunea Catalog. Toate sarcinile conțin un algoritm detaliat pentru găsirea răspunsului corect. Lista de exerciții de pe site este completată și actualizată în mod constant.

Exersând în rezolvarea problemelor în care se cere găsirea unghiului dintre două planuri, elevii au posibilitatea de a salva orice sarcină online la „Favorite”. Datorită acestui lucru, ei vor putea să se întoarcă la el de numărul necesar de ori și să discute progresul soluției sale cu un profesor sau un tutore.

voi fi scurt. Unghiul dintre două linii este egal cu unghiul dintre vectorii lor de direcție. Astfel, dacă reușiți să găsiți coordonatele vectorilor de direcție a \u003d (x 1; y 1; z 1) și b \u003d (x 2; y 2; z 2), puteți găsi unghiul. Mai precis, cosinusul unghiului conform formulei:

Să vedem cum funcționează această formulă pe exemple specifice:

O sarcină. Punctele E și F sunt marcate în cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și respectiv B 1 C 1. Aflați unghiul dintre liniile AE și BF.

Deoarece muchia cubului nu este specificată, setăm AB = 1. Introducem un sistem de coordonate standard: originea este în punctul A, iar axele x, y, z sunt direcționate de-a lungul AB, AD și, respectiv, AA 1 . Segmentul unitar este egal cu AB = 1. Acum să găsim coordonatele vectorilor de direcție pentru liniile noastre.

Aflați coordonatele vectorului AE. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de punctele A = (0; 0; 0) și E = (0,5; 0; 1). Deoarece punctul E este mijlocul segmentului A 1 B 1 , coordonatele acestuia sunt egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor. Rețineți că originea vectorului AE coincide cu originea, deci AE = (0,5; 0; 1).

Acum să ne ocupăm de vectorul BF. În mod similar, analizăm punctele B = (1; 0; 0) și F = (1; 0,5; 1), deoarece F - mijlocul segmentului B 1 C 1 . Avem:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Deci, vectorii de direcție sunt gata. Cosinusul unghiului dintre drepte este cosinusul unghiului dintre vectorii de direcție, deci avem:

O sarcină. Într-o prismă triedră regulată ABCA 1 B 1 C 1 , ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, punctele D și E sunt marcate - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și, respectiv, B 1 C 1. Aflați unghiul dintre dreptele AD și BE.

Introducem un sistem de coordonate standard: originea este în punctul A, axa x este îndreptată de-a lungul AB, z - de-a lungul AA 1 . Îndreptăm axa y astfel încât planul OXY să coincidă cu planul ABC. Segmentul unitar este egal cu AB = 1. Aflați coordonatele vectorilor de direcție pentru liniile dorite.

Mai întâi, să găsim coordonatele vectorului AD. Luați în considerare punctele: A = (0; 0; 0) și D = (0,5; 0; 1), deoarece D - mijlocul segmentului A 1 B 1 . Deoarece începutul vectorului AD coincide cu originea, obținem AD = (0,5; 0; 1).

Acum să găsim coordonatele vectorului BE. Punctul B = (1; 0; 0) este ușor de calculat. Cu punctul E - mijlocul segmentului C 1 B 1 - puțin mai dificil. Avem:

Rămâne de găsit cosinusul unghiului:

O sarcină. Într-o prismă hexagonală regulată ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, punctele K și L sunt marcate - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și B 1 C 1, respectiv. Aflați unghiul dintre liniile AK și BL.

Introducem un sistem de coordonate standard pentru o prismă: plasăm originea coordonatelor în centrul bazei inferioare, direcționăm axa x de-a lungul FC, axa y prin punctele medii ale segmentelor AB și DE și axa z. vertical în sus. Segmentul unitar este din nou egal cu AB = 1. Să scriem coordonatele punctelor de interes pentru noi:

Punctele K și L sunt punctele mijlocii ale segmentelor A 1 B 1 și respectiv B 1 C 1, deci coordonatele lor se găsesc prin media aritmetică. Cunoscând punctele, găsim coordonatele vectorilor de direcție AK și BL:

Acum să găsim cosinusul unghiului:

O sarcină. Într-o piramidă pătrangulară obișnuită SABCD, ale căror margini sunt egale cu 1, sunt marcate punctele E și F - punctele de mijloc ale laturilor SB și, respectiv, SC. Aflați unghiul dintre liniile AE și BF.

Introducem un sistem de coordonate standard: originea este în punctul A, axele x și y sunt direcționate de-a lungul AB și, respectiv, AD, iar axa z este îndreptată vertical în sus. Segmentul unitar este egal cu AB = 1.

Punctele E și F sunt punctele mijlocii ale segmentelor SB și SC, deci coordonatele lor se găsesc ca medie aritmetică a capetelor. Notăm coordonatele punctelor de interes pentru noi:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Cunoscând punctele, găsim coordonatele vectorilor de direcție AE și BF:

Coordonatele vectorului AE coincid cu coordonatele punctului E, deoarece punctul A este originea. Rămâne de găsit cosinusul unghiului:

colţîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , atunci conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Condițiile de paralelism și perpendicularitate a două drepte sunt echivalente cu condițiile de paralelism și perpendicularitate ale vectorilor lor de direcție și:

Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor respectivi sunt proporționali, i.e. l 1 paralelă l 2 dacă și numai dacă sunt paralele .

Două drepte perpendicular dacă şi numai dacă suma produselor coeficienţilor corespunzători este egală cu zero: .

La obiectiv între linie și plan

Lasă linia d- nu perpendicular pe planul θ;
d′− proiecția unei drepte d la planul θ;
Cel mai mic dintre unghiurile dintre liniile drepte dși d„vom suna unghiul dintre linie și plan.
Să o notăm ca φ=( d,θ)
În cazul în care un d⊥θ , atunci ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− sistem de coordonate dreptunghiular.
Ecuația plană:

θ: Topor+De+cz+D=0

Considerăm că linia este dată de un punct și un vector de direcție: d[M 0,p→]
Vector n→(A,B,C)⊥θ
Apoi rămâne de aflat unghiul dintre vectori n→ și p→, notează-l ca γ=( n→,p→).

Dacă unghiul γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Dacă unghiul γ>π/2 , atunci unghiul necesar φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Apoi, unghiul dintre linie și plan poate fi calculat folosind formula:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Întrebarea 29. Conceptul de formă pătratică. Definitivitatea semnului formelor pătratice.

Forma pătratică j (x 1, x 2, ..., x n) n variabile reale x 1, x 2, ..., x n se numește sumă a formei
, (1)

Unde aij sunt niște numere numite coeficienți. Fără a pierde generalitatea, putem presupune că aij = a ji.

Forma pătratică se numește valabil, dacă aij О GR. Matrice de formă pătratică se numește matrice alcătuită din coeficienții săi. Forma pătratică (1) corespunde unei matrice simetrice unice
adică A T = A. Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j ( X) = x T Ah, Unde x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Și invers, orice matrice simetrică (2) corespunde unei forme pătratice unice până la notarea variabilelor.

Rangul formei pătratice se numește rangul matricei sale. Forma pătratică se numește nedegenerat, dacă matricea sa este nesingulară DAR. (amintim că matricea DAR se numeşte nedegenerat dacă determinantul său este diferit de zero). În caz contrar, forma pătratică este degenerată.

definit pozitiv(sau strict pozitiv) dacă

j ( X) > 0 , pentru oricine X = (X 1 , X 2 , …, x n), in afara de asta X = (0, 0, …, 0).

Matrice DAR forma patratică definită pozitivă j ( X) se mai numește și definit pozitiv. Prin urmare, o formă pătratică definită pozitivă corespunde unei matrice definite pozitive unice și invers.

Forma pătratică (1) se numește definitiv negativ(sau strict negativ) dacă

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), In afara de asta X = (0, 0, …, 0).

În mod similar ca mai sus, o matrice pătratică negativ-definită este, de asemenea, numită negativ-definită.

Prin urmare, o formă pătratică definită pozitiv (negativ) j ( X) atinge valoarea minimă (maximă) j ( X*) = 0 pentru X* = (0, 0, …, 0).

Rețineți că cele mai multe dintre formele pătratice nu sunt definite de semn, adică nu sunt nici pozitive, nici negative. Astfel de forme pătratice dispar nu numai la originea sistemului de coordonate, ci și în alte puncte.

Când n> 2, sunt necesare criterii speciale pentru a verifica caracterul semnificativ al unei forme pătratice. Să le luăm în considerare.

Minori majori forma pătratică se numesc minore:

adică aceștia sunt minori de ordinul 1, 2, …, n matrici DAR, situat în colțul din stânga sus, ultimul dintre ele coincide cu determinantul matricei DAR.

Criteriul de certitudine pozitivă (criteriul Sylvester)

X) = x T Ah este pozitiv definit, este necesar și suficient ca toți minorii principali ai matricei DAR au fost pozitive, adică: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Criteriul certitudinii negative Pentru forma pătratică j ( X) = x T Ah este negativ definit, este necesar și suficient ca principalii săi minori de ordin par să fie pozitivi, iar cei de ordin impar să fie negativi, adică: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Articolul vorbește despre găsirea unghiului dintre planuri. După ce aducem definiția, vom stabili o ilustrare grafică, vom lua în considerare o metodă detaliată pentru găsirea coordonatelor prin metodă. Obținem o formulă pentru planurile care se intersectează, care include coordonatele vectorilor normali.

Materialul va folosi date și concepte care au fost studiate anterior în articole despre avion și linia în spațiu. Pentru început, este necesar să trecem la raționamentul care să permită o anumită abordare pentru a determina unghiul dintre două plane care se intersectează.

Sunt date două plane care se intersectează γ 1 și γ 2. Intersecția lor va lua denumirea c . Construcția planului χ este legată de intersecția acestor plane. Planul χ trece prin punctul M ca o dreaptă c. Planele γ 1 și γ 2 vor fi intersectate folosind planul χ. Acceptăm denumirile dreptei care intersectează γ 1 și χ pentru dreapta a și care intersectează γ 2 și χ pentru dreapta b. Obținem că intersecția dreptelor a și b dă punctul M .

Locația punctului M nu afectează unghiul dintre liniile care se intersectează a și b, iar punctul M este situat pe dreapta c prin care trece planul χ.

Este necesar să se construiască un plan χ 1 perpendicular pe dreapta c și diferit de planul χ . Intersecția planelor γ 1 și γ 2 cu ajutorul lui χ 1 va lua denumirea dreptelor a 1 și b 1 .

Se poate observa că la construirea χ și χ 1, dreptele a și b sunt perpendiculare pe dreapta c, apoi a 1, b 1 sunt perpendiculare pe dreapta c. Găsind drepte a și a 1 în planul γ 1 cu perpendicularitate pe dreapta c, atunci pot fi considerate paralele. În același mod, locația lui b și b 1 în planul γ 2 cu perpendicularitatea dreptei c indică paralelismul lor. Aceasta înseamnă că este necesar să facem un transfer paralel al planului χ 1 la χ, unde obținem două drepte care coincid a și a 1 , b și b 1 . Obținem că unghiul dintre liniile care se intersectează a și b 1 este egal cu unghiul dreptelor care se intersectează a și b.

Luați în considerare figura de mai jos.

Această judecată este dovedită de faptul că între dreptele care se intersectează a și b există un unghi care nu depinde de locația punctului M, adică de punctul de intersecție. Aceste drepte sunt situate în planurile γ 1 și γ 2 . De fapt, unghiul rezultat poate fi considerat ca fiind unghiul dintre două plane care se intersectează.

Să trecem la determinarea unghiului dintre planele de intersectare existente γ 1 și γ 2 .

Definiția 1

Unghiul dintre două plane care se intersectează γ 1 și γ 2 numiți unghiul format de intersecția dreptelor a și b, unde planele γ 1 și γ 2 se intersectează cu planul χ perpendicular pe dreapta c.

Luați în considerare figura de mai jos.

Definiția poate fi transmisă sub altă formă. La intersecția planurilor γ 1 și γ 2, unde c este dreapta pe care se intersectează, marcați punctul M, prin care se trasează dreptele a și b, perpendiculare pe dreapta c și situate în planele γ 1 și γ 2, atunci unghiul dintre liniile a și b va fi unghiul dintre plane. În practică, acest lucru este aplicabil pentru construirea unui unghi între planuri.

La intersecție se formează un unghi care are o valoare mai mică de 90 de grade, adică măsura gradului unghiului este valabilă pe un interval de acest tip (0, 90). În același timp, aceste plane sunt numite perpendiculare. dacă la intersecţie se formează un unghi drept.Unghiul dintre plane paralele este considerat egal cu zero.

Modalitatea obișnuită de a găsi unghiul dintre planurile care se intersectează este de a efectua construcții suplimentare. Acest lucru ajută la determinarea cu acuratețe, iar acest lucru se poate face folosind semnele de egalitate sau similaritate ale triunghiului, sinusurilor, cosinusului unghiului.

Luați în considerare rezolvarea problemelor folosind un exemplu din problemele Examenului de stat unificat din blocul C 2.

Exemplul 1

Este dat un paralelipiped dreptunghic A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, unde latura A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7, punctul E separă latura A A 1 într-un raport de 4: 3. Aflați unghiul dintre planele A B C și B E D 1 .

Soluţie

Pentru claritate, trebuie să faceți un desen. Înțelegem asta

O reprezentare vizuală este necesară pentru a face mai convenabil lucrul cu unghiul dintre planuri.

Facem definirea unei drepte de-a lungul căreia se intersectează planele A B C și B E D 1. Punctul B este un punct comun. Ar trebui găsit încă un punct comun de intersecție. Se consideră dreptele D A și D 1 E , care sunt situate în același plan A D D 1 . Locația lor nu indică paralelism, ceea ce înseamnă că au un punct de intersecție comun.

Cu toate acestea, linia DA este situată în planul A B C, iar D 1 E în B E D 1 . Prin urmare, obținem că liniile D Ași D 1 E au un punct comun de intersecție, care este comun și pentru planele A B C și B E D 1 . Indică punctul de intersecție al liniilor D Ași D 1 E litera F. De aici obținem că B F este o dreaptă de-a lungul căreia se intersectează planele A B C și B E D 1.

Luați în considerare figura de mai jos.

Pentru a obține un răspuns este necesar să construim drepte situate în planele A B C și B E D 1 cu trecerea printr-un punct situat pe dreapta B F și perpendicular pe acesta. Atunci unghiul rezultat dintre aceste drepte este considerat unghiul dorit dintre planele A B C și B E D 1.

Din aceasta se poate observa că punctul A este proiecția punctului E pe planul A B C. Este necesar să se traseze o dreaptă care să intersecteze dreapta B F în unghi drept în punctul M. Se poate observa că linia A M este proiecția dreptei E M pe planul A B C, pe baza teoremei despre acele perpendiculare A M ⊥ B F . Luați în considerare figura de mai jos.

∠ A M E este unghiul dorit format din planele A B C și B E D 1 . Din triunghiul rezultat A E M putem găsi sinusul, cosinusul sau tangenta unghiului, după care unghiul însuși, numai cu cele două laturi cunoscute ale sale. Prin condiție, avem că lungimea lui A E se găsește în acest fel: linia A A 1 este împărțită la punctul E într-un raport de 4: 3, ceea ce înseamnă că lungimea totală a liniei este de 7 părți, apoi A E \u003d 4 părți. Găsim pe A.M.

Este necesar să luăm în considerare un triunghi dreptunghic A B F. Avem un unghi drept A cu înălțimea A M. Din condiția A B \u003d 2, atunci putem găsi lungimea A F prin asemănarea triunghiurilor D D 1 F și A E F. Obținem că A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Este necesar să găsim lungimea laturii B F din triunghiul A B F folosind teorema lui Pitagora. Obținem că B F   = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Lungimea laturii A M se găsește prin aria triunghiului A B F. Avem că aria poate fi egală atât cu S A B C = 1 2 · A B · A F , cât și cu S A B C = 1 2 · B F · A M .

Obținem că A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Atunci putem afla valoarea tangentei unghiului triunghiului A E M. Se obtine:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Unghiul dorit obținut prin intersecția planelor A B C și B E D 1 este egal cu a r c t g 5, apoi, la simplificare, se obține a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Răspuns: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Unele cazuri de găsire a unghiului dintre liniile care se intersectează sunt date folosind planul de coordonate O x y z și metoda coordonatelor. Să luăm în considerare mai detaliat.

Dacă este dată o problemă unde este necesar să găsim unghiul dintre planele care se intersectează γ 1 și γ 2, notăm unghiul dorit cu α.

Atunci sistemul de coordonate dat arată că avem coordonatele vectorilor normali ai planurilor care se intersectează γ 1 și γ 2 . Atunci notăm că n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z este un vector normal al planului γ 1 , iar n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) - pentru planul γ 2 . Luați în considerare o constatare detaliată a unghiului situat între aceste plane în funcție de coordonatele vectorilor.

Este necesar să se desemneze linia dreaptă de-a lungul căreia planele γ 1 și γ 2 se intersectează cu litera c. Pe dreapta cu avem un punct M, prin care trasăm un plan χ, perpendicular pe c. Planul χ de-a lungul dreptelor a și b intersectează planele γ 1 și γ 2 în punctul M . Din definiție rezultă că unghiul dintre planele de intersectare γ 1 și γ 2 este egal cu unghiul dreptelor de intersectare a și, respectiv, b aparținând acestor plane.

În planul χ, punem deoparte vectorii normali din punctul M și îi notăm n 1 → și n 2 →. Vectorul n 1 → este situat pe o dreaptă perpendiculară pe dreapta a, iar vectorul n 2 → pe o dreaptă perpendiculară pe dreapta b. De aici rezultă că planul dat χ are un vector normal al dreptei a egal cu n 1 → iar pentru dreapta b egal cu n 2 → . Luați în considerare figura de mai jos.

De aici obținem o formulă prin care putem calcula sinusul unghiului dreptelor care se intersectează folosind coordonatele vectorilor. Am constatat că cosinusul unghiului dintre dreptele a și b este același cu cosinusul dintre planele care se intersectează γ 1 și γ 2 este derivat din formula cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , unde avem că n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) și n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) sunt coordonatele vectorilor planurilor reprezentate.

Unghiul dintre liniile care se intersectează este calculat folosind formula

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Exemplul 2

Prin condiție, este dat un paralelipiped А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , unde A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7 și punctul E separă latura A A 1 4: 3. Aflați unghiul dintre planele A B C și B E D 1 .

Soluţie

Se poate observa din condiția ca laturile sale să fie perpendiculare perechi. Aceasta înseamnă că este necesar să se introducă un sistem de coordonate O x y z cu un vârf în punctul C și axe de coordonate O x, O y, O z. Este necesar să puneți direcția pe părțile corespunzătoare. Luați în considerare figura de mai jos.

Planuri care se intersectează A B Cși B E D 1 formează un unghi, care poate fi găsit prin formula 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , unde n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) și n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z ) sunt vectori normali ai acestor plane. Este necesar să se determine coordonatele. Din figură, vedem că axa de coordonate O x y coincide în planul A B C, ceea ce înseamnă că coordonatele vectorului normal k → egale cu valoarea n 1 → = k → = (0, 0, 1) .

Vectorul normal al planului B E D 1 este produsul vectorial B E → și B D 1 → , unde coordonatele lor se găsesc prin coordonatele punctelor extreme B, E, D 1 , care sunt determinate pe baza stării problemei.

Obținem că B (0 , 3 , 0) , D 1 (2 , 0 , 7) . Deoarece A E E A 1 = 4 3 , din coordonatele punctelor A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 găsim E 2 , 3 , 4 . Obținem că B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12, - 6, - 6)

Este necesar să înlocuiți coordonatele găsite în formula pentru calcularea unghiului prin arc cosinus. Primim

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Metoda coordonatelor dă un rezultat similar.

Răspuns: a r c cos 6 6 .

Problema finală este luată în considerare pentru a găsi unghiul dintre planele care se intersectează cu ecuațiile disponibile cunoscute ale planelor.

Exemplul 3

Calculați sinusul, cosinusul unghiului și valoarea unghiului format din două drepte care se intersectează, care sunt definite în sistemul de coordonate O x y z și date de ecuațiile 2 x - 4 y + z + 1 = 0 și 3 y - z - 1 = 0 .

Soluţie

La studierea subiectului ecuației generale a dreptei de forma A x + B y + C z + D = 0, s-a relevat că A, B, C sunt coeficienți egali cu coordonatele vectorului normal. Prin urmare, n 1 → = 2 , - 4 , 1 și n 2 → = 0 , 3 , - 1 sunt vectori normali ai dreptelor date.

Este necesar să înlocuiți coordonatele vectorilor normali ai planurilor în formula de calcul al unghiului dorit al planurilor care se intersectează. Atunci obținem asta

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Avem deci că cosinusul unghiului ia forma cos α = 13 210 . Atunci unghiul liniilor care se intersectează nu este obtuz. Înlocuind în identitatea trigonometrică, obținem că valoarea sinusului unghiului este egală cu expresia. Calculăm și obținem asta

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Răspuns: sin α = 41 210 , cos α = 13 210 , α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter