66.1. Relația (65.11), care determină densitatea de probabilitate a variabilei transformate prin densitatea variabilei aleatoare originale, poate fi generalizată în cazul transformării variabile aleatoare. Fie ca variabilele aleatoare să aibă o densitate comună, iar funcțiile și variabilele sunt date. Este necesar să se găsească densitatea de probabilitate comună a variabilelor aleatoare:

Această problemă diferă de afirmația generală, punctul 6.4., prin condiția ca numărul de variabile aleatoare inițiale să fie egal cu numărul de variabile transformate. Transformarea inversă (66.1) se găsește ca soluție a unui sistem de ecuații în raport cu variabile. Fiecare depinde de. Mulțimea unor astfel de funcții formează transformarea inversă. În cazul general, transformarea inversă este ambiguă. Fie - - I ramura transformării inverse, atunci relația este adevărată:

unde suma este preluată peste toate ramurile transformării inverse,

Transformarea jacobiană din variabile aleatoare în variabile aleatoare.

Dacă variabile aleatoare sunt obținute din fiecare set de variabile aleatoare, atunci formula (66.2) poate fi utilizată prin completarea sistemului la variabile aleatoare, de exemplu, cu astfel de variabile. Dacă, totuși, variabilele aleatoare din mulțime sunt legate funcțional de restul cantităților, prin urmare - densitatea dimensională va conține funcții delta.

Relațiile (64.4), (64.6) și (66.2) definesc două metode de rezolvare a problemei de calcul a densității unui set de variabile aleatoare obținute printr-o transformare funcțională a variabilelor aleatoare originale cu o densitate de probabilitate comună. Principala dificultate în aplicarea primei metode este calculul integralei -dimensionale pe un domeniu complex. În a doua metodă, principala dificultate este găsirea tuturor ramurilor transformării inverse.

66.2. Luați în considerare un exemplu simplu de calcul al densității de probabilitate a sumei a două variabile aleatoare și cu densitatea conform formulei (66.2). Evident, ca prima valoare convertită, ar trebui să alegeți suma: , și ca a doua (deși puteți lua și). Astfel, transformarea funcțională de la, la, este dată de sistemul de ecuații:

Transformarea inversă este soluția unui sistem de ecuații în raport cu:

Transformarea inversă este unică, deci în (66.2) suma constă dintr-un singur termen. Găsiți jacobianul transformării:

Acum (66.2) pentru ia forma:

Funcția este densitatea de probabilitate comună a variabilelor aleatoare și. De aici, densitatea de probabilitate a sumei se găsește din condiția de consistență:

Luați în considerare prima metodă de rezolvare a aceleiași probleme. Din (64.4) urmează:

Problema se reduce la transformarea integralei peste regiunea definită de condiție. Această integrală poate fi reprezentată ca:

De aici densitatea de probabilitate:

De aici densitatea de probabilitate:

care coincide cu formula (66.7).

Chi - distribuția probabilității la pătrat

67.1. Distribuția chi pătrat cu grade de libertate se numește distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare, unde sunt variabile aleatoare independente și toate sunt gaussiene cu așteptări și varianță matematice. În conformitate cu formula (64.3), funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare este egală cu

unde este densitatea de probabilitate comună a mărimilor. După condiție, ele sunt independente, prin urmare este egal cu produsul densităților unidimensionale:

Din (67.1), (67.2) rezultă că densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare este determinată de expresia:

Analiza acestei expresii, aparent, este cea mai simplă modalitate de a găsi, deoarece aici și (67.3) pot fi reprezentate ca:

Aici integrala este egală cu volumul regiunii - spațiul dimensional închis între două hipersfere: - raza și - raza. Deoarece volumul unei hipersfere de rază este proporțional, i.e. , apoi

Volumul dintre două hipersfere cu raze și, care determină integrala (67.4) până la un factor. Înlocuiți (67.5) în (67.4), apoi

unde este o constantă care poate fi determinată din condiția de normalizare:

Înlocuiți (67.6) în (67.7), apoi

Fie atunci integrala (67.8)

unde - gamma este funcția argumentului. Din (67.8) și (67.9) se determină o constantă, înlocuirea căreia în (67.6) duce la rezultat

67.2. Să calculăm așteptarea și varianța matematică a variabilei aleatoare. De la (67,11)

În mod similar, valoarea medie pătrată este

Din (67.12), (67.13) dispersia

67.3. În problemele de statistică matematică, distribuțiile de probabilitate asociate cu distribuția normală sunt de mare importanță. În primul rând, acestea sunt - distribuția (distribuția Pearson), - distribuția (distribuția Student) și - distribuția (distribuția Fisher). Distribuția este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatorii

unde sunt independenți și toate.

Distribuția lui Student (sau - distribuția) este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare

unde și sunt variabile aleatoare independente și.

Distribuția Fisher (- distribuția) cu grade de libertate este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare

Distribuția chi pătrat și distribuția vitezei lui Maxwell

Distribuția Maxwell asupra vitezelor moleculelor de gaz este densitatea distribuției de probabilitate a modulului de viteză și este determinată de relația

unde este numărul de molecule de gaz, numărul de molecule al căror modul de viteză se află în interval, este constanta gazului, este temperatura absolută a gazului. Raportul este probabilitatea ca modulul vitezei moleculei să se afle în interval, apoi este densitatea de probabilitate a modulului vitezei.

Distribuția (68.1) poate fi obținută pe baza următoarelor două afirmații probabilistice simple care definesc modelul gazului ideal. unu). Proiecții de viteză pe osii Sistemul cartezian coordonatele sunt variabile aleatoare independente. 2). Fiecare proiecție a vitezei este o variabilă aleatorie gaussiană cu medie și varianță zero. Parametrul este stabilit pe baza datelor experimentale.

Să definim densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare

Evident are o distribuție chi-pătrat cu trei grade de libertate. Prin urmare, densitatea sa de probabilitate este determinată de formula (67.11) pentru:

în măsura în care. Deci, (68.3) este densitatea de probabilitate a pătratului vitezei relative.

Următorul pas este schimbarea de la distribuția pătratului vitezei la distribuția modulului acesteia, . Transformarea functionala are forma: , iar inversa, pentru, . Astfel, transformarea inversă este o singură valoare. Prin urmare, conform (65.1), densitatea de distribuție a modulului are forma

Ultimul pas este trecerea de la o variabilă aleatoare la o nouă variabilă aleatoare

Transformarea inversă este o singură valoare, prin urmare, densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare, conform (65.1), ia forma

care coincide cu formula (68.1).

Relația (68.5), care determină relația dintre vitezele relative și absolute u, decurge din a treia poziție a modelului de gaz ideal, care este o condiție pur fizică, spre deosebire de primele două condiții probabiliste. A treia condiție poate fi formulată ca o afirmație despre valoarea energiei cinetice medii a unei molecule sub forma egalității

unde este constanta Boltzmann și reprezintă, de fapt, un fapt experimental. Fie, unde este o constantă, care este determinată în continuare de condiția (68.7). Pentru a găsi, determinăm din (68.4) pătratul mediu al vitezei relative:

Apoi media energie kinetică molecule, unde este masa moleculei și ținând cont de (68.7) , sau.

Sarcina de a stabili legea de distribuție a unei funcții de variabile aleatoare după o lege dată de distribuție a argumentelor este principala. Schema generală de raționament aici este următoarea. Fie legea distribuției.Atunci avem evident unde este imaginea inversă completă a semi-intervalului, i.e. multimea acelor valori ale vectorului £ din CG pentru care. Ultima probabilitate poate fi găsită cu ușurință, deoarece este cunoscută legea distribuției variabilelor aleatoare ξ. În mod similar, în principiu, legea distribuției și funcție vectorială argumente aleatorii. Complexitatea implementării circuitului depinde doar de tipul specific de funcție (p) și de legea distribuției argumentelor.Acest capitol este dedicat implementării circuitului în situații specifice care sunt importante pentru aplicații.§1.Funcții a unei variabile Fie £ o variabilă aleatoare a cărei lege de distribuție este dată de funcția de distribuție F( (x), rj = Dacă F4(y) este funcția de distribuție a variabilei aleatoare rj, atunci considerentele de mai sus dau FUNCȚII ALE VARIABILLOR ALEATORII unde y) denotă imaginea inversă completă a semi-liniei (-oo, y). Relația (I) este o consecință evidentă a lui ( *) și pentru cazul în cauză este ilustrată în Fig. 1. Transformarea monotonă a unui variabilă Fie (p(t) o continuă funcţie monotonă(pentru certitudine - monoton necrescător) și r) = - Pentru funcția de distribuție Fn(y) se obține (aici - o funcție a cărei existență inversă este asigurată de monotonitate și continuitate. Pentru monoton nedescrescătoare) calcule similare dau În special , dacă - este liniar, atunci pentru a > 0 (Fig. 2) Transformările liniare nu schimbă natura distribuției, ci afectează doar parametrii acesteia. Transformare liniară variabilă aleatoare uniformă pe [a, b] Fie Transformarea liniară a unei variabile aleatoare normale Fie și, în general, dacă Fie, de exemplu, 0. Din (4) concluzionăm că Punem în ultima integrală Această înlocuire dă O identitate importantă, care este sursa multor aplicații interesante, poate fi obținută din relația (3) cu Lema. If este o variabilă aleatoare cu funcție continuă distribuția F^(x), atunci variabila aleatoare r) = - este uniformă pe . Avem - nu scade monoton și se află în o Prin urmare, FUNCȚII VARIABILE ALEATORII Pe interval, obținem este suficient pentru a putea obține valori uniforme pe )