Introducere

Teoria probabilității este una dintre ramurile clasice ale matematicii. Are o istorie lungă. Bazele acestei ramuri a științei au fost puse de mari matematicieni. Voi numi, de exemplu, Fermat, Bernoulli, Pascal. Mai târziu, dezvoltarea teoriei probabilităților a fost determinată în lucrările multor oameni de știință. O mare contribuție la teoria probabilității au avut-o oamenii de știință din țara noastră: P.L. Cebyshev, A.M. Lyapunov, A.A. Markov, A.N. Kolmogorov. Probabilistică şi metode statistice acum pătruns adânc în aplicații. Sunt folosite în fizică, inginerie, economie, biologie și medicină. Rolul lor a crescut mai ales în legătură cu dezvoltarea informatică.

De exemplu, pentru a studia fenomene fizice face observatii sau experimente. Rezultatele lor sunt de obicei înregistrate ca valori ale unor cantități observate. La repetarea experimentelor, găsim o împrăștiere în rezultatele acestora. De exemplu, prin repetarea măsurătorilor aceleiași cantități cu același dispozitiv în timp ce mențin anumite condiții (temperatură, umiditate etc.), obținem rezultate care diferă cel puțin ușor, dar totuși diferă unele de altele. Nici măcar măsurătorile multiple nu fac posibilă prezicerea cu precizie a rezultatului următoarei măsurători. În acest sens, se spune că rezultatul unei măsurători este o mărime aleatorie. Un exemplu și mai clar de variabilă aleatorie este numărul unui bilet de loterie câștigător. Pot fi date multe alte exemple de variabile aleatoare. Cu toate acestea, în lumea accidentelor se găsesc anumite tipare. Aparat matematic pentru a studia astfel de regularităţi şi dă teoria probabilităţii. Astfel, teoria probabilității se ocupă de analiză matematică evenimente aleatoriiși variabile aleatoare aferente.

1. Variabile aleatorii

Conceptul de variabilă aleatorie este fundamental în teoria probabilității și în aplicațiile sale. Variabilele aleatoare, de exemplu, sunt numărul de puncte aruncate într-o singură aruncare zaruri, numărul de atomi de radiu degradați pentru o anumită perioadă de timp, numărul de apeluri la centrala telefonică pentru o anumită perioadă de timp, abaterea de la valoarea nominală a unei anumite dimensiuni a unei piese cu un proces tehnologic bine stabilit etc. .

Astfel, o variabilă aleatoare este o mărime care, în urma unui experiment, poate lua una sau alta valoare și care este cunoscută dinainte.

Variabilele aleatoare pot fi împărțite în două categorii.

O variabilă aleatorie discretă este o astfel de variabilă care, ca rezultat al unui experiment, poate lua anumite valori cu o anumită probabilitate, formând o mulțime numărabilă (mulțime ale cărei elemente pot fi numerotate).

Acest set poate fi fie finit, fie infinit.

De exemplu, numărul de lovituri înainte de prima lovitură asupra țintei este o variabilă aleatorie discretă, deoarece această valoare poate lua un număr infinit, deși numărabil, de valori.

O variabilă aleatoare continuă este o variabilă care poate lua orice valoare dintr-un interval finit sau infinit.

Evident, numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit.

Pentru a seta o variabilă aleatoare, nu este suficient doar să specificați valoarea acesteia, trebuie să specificați și probabilitatea acestei valori.

2. Distribuție uniformă

Fie segmentul axei Ox să fie scara unui instrument. Să presupunem că probabilitatea ca indicatorul să lovească un anumit segment al scalei este proporțională cu lungimea acestui segment și nu depinde de locația segmentului pe scară. Marca indicator al instrumentului valoare aleatorie

care poate lua orice valoare din segmentul . De aceea (< ) - две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем - коэффициент пропорциональности, не зависящий от и , а разность , - длина сегмента . Так как при =a и =b имеем , то , откуда .

În acest fel

(1)

Acum este ușor de găsit funcția F(x) a distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare

. Dacă , atunci nu ia valori mai mici decât A. Lasă acum. Conform axiomei adunării probabilităților. Conform formulei (1), în care acceptăm , avem , atunci pentru obținem

În fine, dacă

, atunci , deoarece valorile se află pe segment și, prin urmare, nu depășesc b. Așa că ajungem la următoarea funcție distributii:

Graficul funcției

prezentată în fig. unu.

Găsim densitatea distribuției de probabilitate prin formula. Dacă

sau , atunci . Daca atunci

În acest fel,

(2)

Graficul funcției

prezentată în fig. 2. Rețineți că la puncte AȘi bîntreruperi de funcție.

Valoarea a cărei densitate de distribuție este dată de formula (2) se numește variabilă aleatoare uniform distribuită.

3. Distribuție binomială

Distribuția binomială în teoria probabilității - distribuția numărului de „reușite” într-o secvență de n experimente aleatoare independente astfel încât probabilitatea de „succes” în fiecare dintre ele să fie p.

este o secvență finită de variabile aleatoare independente cu distribuție Bernoulli, i.e.

Să construim o variabilă aleatoare Y.

Dintre legile de distribuție pentru variabile aleatoare discrete, cea mai comună este legea distribuției binomiale. Distribuția binomială are loc în următoarele condiții. Fie o variabilă aleatorie numărul de apariții ale unui eveniment în studii independente, probabilitatea de apariție într-un studiu separat este . Această variabilă aleatoare este o variabilă aleatoare discretă, valorile sale posibile sunt . Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare se calculează prin formula Bernoulli: .

Definiția 15. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete se numește legea distribuției binomiale dacă probabilitățile valorilor variabilei aleatoare sunt calculate folosind formula Bernoulli. Seria de distribuție va arăta astfel:

Să ne asigurăm că suma probabilităților diferitelor valori ale variabilei aleatoare este egală cu 1. Într-adevăr,

Deoarece aceste calcule au dus la formula binomială a lui Newton, legea distribuției se numește binom. Dacă o variabilă aleatoare are o distribuție binomială, atunci caracteristicile sale numerice se găsesc prin formulele:

(42) (43)

Exemplul 15 Există un lot de 50 de piese. Probabilitatea căsătoriei pentru o parte. Fie o variabilă aleatorie numărul de piese defecte dintr-un anumit lot. A găsi valorea estimata, varianța și abaterea standard a variabilei aleatoare date. Soluţie. O variabilă aleatoare are o distribuție binomială, deoarece probabilitatea ca aceasta să ia o valoare este calculată folosind formula Bernoulli. Atunci așteptarea sa matematică se găsește prin formula (41), și anume, ; varianţa se găseşte prin formula (42): . Atunci abaterea standard va fi egală cu . Întrebare. 200 de bilete de loterie achiziționate, probabilitatea de a câștiga un bilet este de 0,01. Atunci numărul mediu de bilete de loterie care vor câștiga este: a) 10; b) 2; în 20; d) 1.

Legea distribuției Poisson

Când se rezolvă multe probleme practice, trebuie să se ocupe de variabile aleatoare discrete care se supun legii distribuției Poisson. Exemple tipice de variabilă aleatoare cu o distribuție Poisson sunt: ​​numărul de apeluri la centrala telefonică de ceva timp; numărul defecțiunilor echipamentelor complexe în timp, dacă se știe că defecțiunile sunt independente unele de altele și în medie există defecțiuni pe unitatea de timp.Seria de distribuție va arăta astfel:

Adică, probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare este calculată prin formula Poisson: prin urmare, această lege se numește legea distribuției Poisson. O variabilă aleatoare distribuită conform legii Poisson are următoarele caracteristici numerice:

Distribuția Poisson depinde de un parametru, care este media variabilei aleatoare. Figura 14 arată forma generala poligonul distribuției Poisson pentru diferite valori ale parametrului.

Distribuția Poisson poate fi folosită ca una aproximativă în cazurile în care distribuția exactă a unei variabile aleatoare este o distribuție binomială, în timp ce numărul de încercări este mare și probabilitatea ca un eveniment să apară într-o încercare separată este mică, prin urmare, Poisson legea distribuției se numește legea evenimentelor rare. Și, de asemenea, dacă așteptarea matematică diferă puțin de varianță, adică atunci când . În acest sens, distribuția Poisson are un număr mare de aplicații diferite. Exemplul 16 Fabrica trimite 500 de produse de înaltă calitate la bază. Probabilitatea ca produsul să fie deteriorat în timpul transportului este de 0,002. Găsiți așteptările matematice ale numărului de piese deteriorate în timpul transportului. Soluţie. Variabila aleatoare are o distribuție Poisson, deci . Întrebare. Probabilitatea de distorsiune a caracterelor în timpul transmiterii mesajului este de 0,004. Pentru ca numărul mediu de simboluri deformate să fie de 4, trebuie transmise 100 de simboluri.

După cum se știe, variabilă aleatorie se numește o variabilă care poate lua anumite valori în funcție de caz. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin (X, Y, Z), iar valorile lor - cu literele mici corespunzătoare (x, y, z). Variabilele aleatoare sunt împărțite în discontinue (discrete) și continue.

Variabilă aleatoare discretă se numește o variabilă aleatorie care ia doar un set finit sau infinit (numărabil) de valori cu anumite probabilități diferite de zero.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este o funcție care conectează valorile unei variabile aleatoare cu probabilitățile corespunzătoare. Legea distribuției poate fi specificată în una din următoarele moduri.

1 . Legea distribuției poate fi dată de tabelul:

unde λ>0, k = 0, 1, 2, … .

în) prin intermediul funcția de distribuție F(x) , care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x, adică. F(x) = P(X< x).

Proprietățile funcției F(x)

3 . Legea distribuției poate fi stabilită grafic – poligon de distribuție (poligon) (vezi problema 3).

Rețineți că pentru a rezolva unele probleme nu este necesar să cunoașteți legea distribuției. În unele cazuri, este suficient să cunoașteți unul sau mai multe numere care reflectă cele mai importante caracteristici ale legii distribuției. Poate fi un număr care are semnificația „valorii medii” a unei variabile aleatoare sau un număr care arată dimensiunea medie a abaterii unei variabile aleatoare de la valoarea sa medie. Numerele de acest fel sunt numite caracteristici numerice ale unei variabile aleatorii.

Caracteristicile numerice de bază ale unei variabile aleatoare discrete :

• Așteptări matematice (valoarea medie) a unei variabile aleatoare discrete M(X)=Σ x i p i.
  Pentru distribuția binomială M(X)=np, pentru distribuția Poisson M(X)=λ
• Dispersia variabilă aleatoare discretă D(X)=M2 sau D(X) = M(X 2) − 2. Diferența X–M(X) se numește abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice.
  Pentru distribuția binomială D(X)=npq, pentru distribuția Poisson D(X)=λ
• Deviație standard (deviație standard) σ(X)=√D(X).

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete”

Sarcina 1.

Au fost emise 1000 de bilete de loterie: 5 dintre ele câștigă 500 de ruble, 10 - 100 de ruble, 20 - 50 de ruble, 50 - 10 ruble. Determinați legea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare X - câștiguri pe bilet.

Soluţie. În funcție de starea problemei, sunt posibile următoarele valori ale variabilei aleatoare X: 0, 10, 50, 100 și 500.

Numărul de bilete fără câștig este 1000 - (5+10+20+50) = 915, apoi P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

În mod similar, găsim toate celelalte probabilități: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=0,01). =500) = 5/1000=0,005. Prezentăm legea rezultată sub forma unui tabel:

Aflați așteptările matematice ale lui X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Sarcina 3.

Dispozitivul este format din trei elemente de operare independentă. Probabilitatea de eșec a fiecărui element dintr-un experiment este de 0,1. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de elemente eșuate într-un experiment, construiește un poligon de distribuție. Găsiți funcția de distribuție F(x) și trasați-o. Aflați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete.

Soluţie. 1. Variabila aleatorie discretă X=(numărul de elemente eșuate într-un experiment) are următoarele valori posibile: x 1 =0 (niciunul dintre elementele dispozitivului nu a eșuat), x 2 =1 (un element a eșuat), x 3 =2 ( două elemente au eșuat ) și x 4 \u003d 3 (trei elemente au eșuat).

Eșecurile elementelor sunt independente unele de altele, probabilitățile de eșec ale fiecărui element sunt egale între ele, prin urmare, este aplicabil formula lui Bernoulli . Având în vedere că, prin condiție, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determinăm probabilitățile valorilor:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Verificați: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Astfel, legea de distribuție binomială dorită X are forma:

Pe axa absciselor, graficăm valorile posibile x i, iar pe axa ordonatelor, probabilitățile corespunzătoare р i . Să construim punctele M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Conectând aceste puncte cu segmente de linie, obținem poligonul de distribuție dorit.

3. Găsiți funcția de distribuție F(x) = P(X

Pentru x ≤ 0 avem F(x) = P(X<0) = 0;
pentru 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
pentru 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
pentru 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
pentru x > 3 va fi F(x) = 1, deoarece evenimentul este sigur.

Graficul funcției F(x)

4. Pentru distribuția binomială X:
- așteptarea matematică М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersia D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- abaterea standard σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

VALORI ALEATORII

Să luăm mai întâi în considerare câteva legi de distribuție pentru variabile aleatoare discrete.

4.1 Distribuție binomială .

Fie variabila aleatoare numărul de apariții ale unui eveniment într-o serie de încercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea apariției unui eveniment
, dar probabilitatea ca evenimentul să nu se producă
Seria de distribuție a unei astfel de valori are forma:

Unde
. O astfel de serie de distribuție se numește binom . Așteptările matematice ale unei variabile aleatorii
in acest caz arata asa:

(1)

Pentru a calcula această expresie, diferențierea în raport cu următoarea expresie:
primim

Dacă înmulțim această ecuație cu , primim

(2)

Dar
iar părțile drepte ale egalităților (1) și (2) coincid, atunci

Diferențiând aceeași expresie de două ori, obținem

Înmulțirea egalității rezultate cu , primim:

În acest fel,

De aici Toda

Deci, pentru distribuția binomială:

Exemplu.În țintă au fost trase 20 de focuri independente. Probabilitatea de a lovi fiecare lovitură
. Găsiți așteptarea matematică, varianța și așteptarea pătratică medie a numărului de rezultate.

Valoare aleatoare
- numărul de hit-uri, distribuit conform legii binomului.Apoi

4.2 Distribuția Poisson.

Definiție. Variabilă aleatoare discretă
Are

Legea distribuției Poisson , dacă este dat de o serie de distribuție

în care probabilităţile sunt determinate de formula Poisson

(3)

Unde ( - numărul mediu de apariții ale unui eveniment într-o serie de teste, în fiecare dintre ele probabilitatea de apariție a unui eveniment este o valoare constantă
).

Prezentăm următoarea teoremă fără demonstrație.

TEOREMA. Așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare distribuite conform legii Poisson coincid și sunt egale cu parametrul această lege, adică

Pentru suficient de mare (în general cu
) și valori mici
cu condiția ca lucrarea
- valoare constantă (
), legea distribuției Poisson este o bună aproximare a legii binomiale, i.e. distribuția Poisson este extensia asimptotică a legii binomiale. Uneori se numește această lege legea evenimentelor rare. Conform legii Poisson, de exemplu, sunt distribuite numărul de defecțiuni automate ale liniei, numărul defecțiunilor sistemului în „modul normal”, numărul defecțiunilor în funcționarea schimbului etc.

4.3 Distribuția geometrică.

Definiție. Variabilă aleatoare discretă
Are distribuție geometrică , dacă
, unde pentru un eveniment,

iar seria sa de distribuție este:

În acest caz, probabilitățile sunt o progresie geometrică infinit descrescătoare și suma acesteia

TEOREMA. În cazul unei variabile aleatoare având o distribuţie geometrică cu parametrul , așteptările matematice și varianța sunt calculate prin formulele:

Exemplu. Se trag împușcături în țintă până la prima lovitură. Probabilitatea de a lovi fiecare lovitură
.

Compuneți o serie de distribuție a unei variabile aleatoare
- „număr de accesări”. Găsiți așteptările sale matematice și abaterea standard.

Conform teoremei

deviație standard

Distribuție hipergeometrică .

Lasă petrecerea afară
produse disponibile
standard. Ales la intamplare produse. Fie variabila aleatoare
- numarul de produse standard dintre cele selectate. Evident, valorile posibile ale acestei variabile aleatoare sunt:

Probabilitățile de valori posibile sunt calculate prin formula:

Pentru această variabilă aleatoare, așteptarea matematică este calculată prin formula
si varianta:

Exemplu. O urna contine 5 bile albe si 3 negre. 3 bile sunt alese aleatoriu. Compilați o serie de distribuție a unei variabile aleatoare
- numarul de bile albe dintre cele selectate. Găsiți așteptările și varianța sa matematică.

Valori posibile ale acestei variabile aleatoare: 0, 1, 2, 3. găsiți probabilitățile lor:

Obținem o serie de distribuție:

Așteptările matematice pot fi calculate direct folosind formule cunoscute, sau puteți folosi formulele din teoremă. În exemplul nostru

. Apoi

Acum să luăm în considerare principalele legi ale distribuției variabilelor aleatoare continue.

4.5 Distribuție uniformă.

Definiție. O variabilă aleatoare continuă are o distribuție uniformă pe interval
, dacă are o valoare constantă pe acest segment și este egală cu zero în afara acestui segment, i.e. graficul său de densitate arată astfel:

Deoarece aria de sub graficul densității distribuției trebuie să fie egală cu unu, atunci
Apoi

Funcția sa de distribuție are forma:

și programul ei

4.6 Distribuția exponențială .

În aplicațiile practice ale teoriei probabilităților (de exemplu,

măsuri, în domeniul stării de așteptare, al cercetării operaționale, al teoriei fiabilității, în fizică, biologie etc.) de multe ori se are de-a face cu variabile aleatoare care au așa-numita distribuție exponențială sau exponențială.

Definiție. Număr aleator continuu
distribuite peste arată legea , dacă densitatea distribuției sale de probabilitate are forma:

Graficul acestei funcții:

0

Funcția sa de distribuție este:

are program

DESPRE

Valorea estimata:

Exemplu. Fie variabila aleatoare
- timpul de funcţionare al unui anumit mecanism are o distribuţie exponenţială. Determinați probabilitatea ca mecanismul să funcționeze cel puțin 1000 de ore dacă durata medie de funcționare a acestuia este de 800 de ore.

După condiția problemei, așteptarea matematică a funcționării mecanismului
, dar
. Apoi

Prin urmare,

Probabilitate necesară:

Cometariu. Distribuția exponențială se referă la unul-nu-parametric legile de distribuție (depinde numai de ).

4.7 Distribuție normală.

Definiție.normal se numește distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue, care are o densitate de distribuție a probabilității determinată de formula:

(1)

Noi vedem asta distribuția normală este definită de doi parametri : Și . Pentru a specifica o distribuție normală, este suficient să specificați acești doi parametri.

Legea distribuției normale este foarte utilizată în probleme practice. Apare atunci când variabila aleatoare
este rezultatul acțiunii unui număr mare de factori diferiți. Fiecare factor afectează în mod individual variabila aleatoare ușor și este imposibil de spus care dintre ei afectează mai mult decât ceilalți. Exemple de variabile aleatoare cu distribuție normală sunt: ​​abaterea dimensiunilor pieselor realizate de mașină de la cele standard; erori de măsurare; abateri la tragerea la o țintă etc.

Principalul tipar care distinge legea normală de alte legi este că este legea limitativă, de care se apropie alte legi, adică. cu o valoare suficient de mare suma variabilelor aleatoare independente
, sub rezerva oricăror legi de distribuție, va avea o distribuție arbitrar apropiată de normal.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite normal are forma

(2)

Prin definiția așteptării matematice a unei variabile aleatoare continue,

Să introducem o nouă variabilă

Ținând cont că noile limite de integrare sunt egale cu cele vechi, obținem

Primul termen este egal cu zero, ca integrală pe un interval simetric al unei funcții impare. Al doilea dintre termeni este (integrala Poisson
).

Astfel, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare distribuite normal

Prin definiția dispersiei unei variabile aleatoare continue, având în vedere că
, primim

Să introducem o nouă variabilă

obține
Aplicând formula de integrare pe părți și calculele anterioare, obținem
Apoi
Prin urmare, al doilea parametru al distribuției normale este abaterea standard.

Notă.normalizat se numeste distributie normala cu parametri
Densitatea distribuției normalizate este dată de funcția:

(3)

ale căror valori pot fi găsite fie direct, fie folosesc tabelele corespunzătoare care pot fi găsite în toate directoarele. Funcția de distribuție normalizată are forma
. Atunci funcția de distribuție normală generală dată de formula (2) este exprimată prin formula
. Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare normalizată distribuită normal
în interval
determinat cu ajutorul funcţiei Laplace
, ale căror valori sunt date și în tabele. Într-adevăr,

Dat fiind
(după proprietatea densității distribuției), datorită simetriei funcției
relativ la punct
:

Apoi

Graficul normal al densității distribuției se numește curba normala sau curba gaussiana .

Să explorăm funcția:

Este definită pe întreaga linie numerică și este pozitivă pentru toți . Cu o creștere nelimitată această funcție tinde spre zero, adică
Derivata acestei functii
.

Derivata este 0 la punct
și schimbă semnul în acest moment de la „+” la „-”, adică.
- punct maxim și în acest punct
. După ce am găsit derivata a doua a funcției, putem afla că graficul funcției are inflexiuni în puncte
. Schematic, graficul arată astfel:

0

Pentru o variabilă aleatoare distribuită normal, probabilitatea de a se încadra într-un interval dat
se calculează după cum urmează:

Să facem un înlocuitor
.

Unde
.

În acest fel,

(4)

Exemplu. Masa vagonului este o variabilă aleatorie distribuită conform legii normale cu o așteptare matematică de 65 de tone și o abatere standard
m. Aflați probabilitatea ca următorul vagon să aibă o masă de cel mult 70 de tone și nu mai puțin de 60 de tone

Uneori este necesar să se calculeze probabilitatea ca o valoare aleatorie modulo să se abate de la valoarea medie cu mai puțin decât o anumită valoare , adică
. Pentru a calcula această probabilitate, putem folosi formula anterioară. Într-adevăr:

ținând cont de ciudatenia funcției
. Prin urmare,

(5)

Exemplu. Probabilitatea ca un aleatoriu distribuit normal cu așteptări matematice
deviază de la valoarea medie cu mai puțin de
este egal cu 0,09. Care este probabilitatea ca această variabilă aleatoare să cadă în intervalul (30, 35)?

După condiție,
Apoi
Conform tabelului de valori al funcției Laplace, obținem:
Atunci probabilitatea necesară, conform formulei (4),

Regula trei sigma.

În formula (5) setăm
, primim

Dacă
și, prin urmare
, primim:

acestea. probabilitatea ca abaterea valorii absolute a unei variabile aleatoare de la valoarea medie să fie mai mică de trei ori abaterea standard este de 0,9973, i.e. foarte aproape de unitate.

Regula celor trei sigma este aceea pentru o variabilă aleatoare distribuită normal valoarea absolută a abaterii sale de la medie nu depășește de trei ori deviația pătrată medie.În practică, această regulă se aplică după cum urmează: Dacă distribuția unei variabile aleatoare este necunoscută, dar pentru parametrii ei este îndeplinită regula trei sigma, atunci există motive să presupunem că aceasta este distribuită conform legii normale.

Putem evidenția cele mai comune legi ale distribuției variabilelor aleatoare discrete:

• Legea distribuției binomiale
• Legea distribuției Poisson
• Legea distribuției geometrice
• Legea distribuției hipergeometrice

Pentru distribuții date de variabile aleatoare discrete, calculul probabilităților valorilor acestora, precum și al caracteristicilor numerice (așteptări matematice, varianță etc.) se efectuează conform anumitor „formule”. Prin urmare, este foarte important să cunoaștem aceste tipuri de distribuții și proprietățile lor de bază.

1. Legea distribuției binomiale.

O variabilă aleatoare discretă $X$ este supusă distribuției binomiale de probabilitate dacă ia valorile $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ cu probabilități $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(nk)$. De fapt, variabila aleatoare $X$ este numărul de apariții ale evenimentului $A$ în $n$ încercări independente. Legea distribuției probabilității pentru variabila aleatoare $X$:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i și P_n\stanga(0\dreapta) și P_n\stanga(1\dreapta) și \dots și P_n\left(n\dreapta) \\
\hline
\end(matrice)$

Pentru o astfel de variabilă aleatorie, așteptarea este $M\left(X\right)=np$, varianța este $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Exemplu . În familie sunt doi copii. Presupunând probabilitățile de naștere a unui băiat și a unei fete egale cu $0,5$, găsiți legea distribuției variabilei aleatoare $\xi $ - numărul de băieți din familie.

Fie variabila aleatoare $\xi $ numărul de băieți din familie. Valorile pe care $\xi:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$ le poate lua. Probabilitățile acestor valori pot fi găsite prin formula $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(nk )$, unde $n =2$ - numărul de încercări independente, $p=0,5$ - probabilitatea de apariție a unui eveniment într-o serie de $n$ încercări. Primim:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$

Atunci legea de distribuție a variabilei aleatoare $\xi $ este corespondența dintre valorile $0,\ 1,\ 2$ și probabilitățile acestora, adică:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(matrice)$

Suma probabilităților din legea distribuției trebuie să fie egală cu $1$, adică $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+0, 25 = 1 USD.

Așteptare $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, varianța $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, abatere standard $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 )\aproximativ 0,707 $.

2. Legea distribuției Poisson.

Dacă o variabilă aleatorie discretă $X$ poate lua numai valori întregi nenegative $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ cu probabilități $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

cometariu. Particularitatea acestei distribuții este că, pe baza datelor experimentale, găsim estimările $M\left(X\right),\D\left(X\right)$, dacă estimările obținute sunt apropiate unele de altele, atunci avem au motive să afirme că variabila aleatoare este supusă legii distribuției Poisson.

Exemplu . Exemple de variabile aleatoare supuse legii distribuției Poisson pot fi: numărul de mașini care vor fi deservite mâine de o benzinărie; numărul de articole defecte din produsul fabricat.

Exemplu . Fabrica a trimis 500$ de produse la bază. Probabilitatea de deteriorare a produsului în timpul transportului este de 0,002 USD. Aflați legea de distribuție a variabilei aleatoare $X$ egală cu numărul de produse deteriorate; care este egal cu $M\left(X\right),\D\left(X\right)$.

Fie o variabilă aleatorie discretă $X$ numărul de articole deteriorate. O astfel de variabilă aleatoare este supusă legii distribuției Poisson cu parametrul $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Probabilitățile valorilor sunt $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\peste (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\peste (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\peste (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\peste (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\peste (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\peste (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\peste (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\peste (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\peste (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Legea distribuției variabilei aleatoare $X$:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\peste (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(matrice)$

Pentru o astfel de variabilă aleatorie, așteptarea și varianța matematică sunt egale între ele și egale cu parametrul $\lambda $, adică $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. Legea geometrică a distribuției.

Dacă o variabilă aleatoare discretă $X$ poate lua numai valori naturale $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ cu probabilități $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ dreapta)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, atunci spunem că o astfel de variabilă aleatoare $X$ este supusă legii geometrice a distribuției probabilităților. De fapt, distribuția geometrică pare a fi încercările lui Bernoulli la primul succes.

Exemplu . Exemple de variabile aleatoare care au o distribuție geometrică pot fi: numărul de lovituri înainte de prima lovitură asupra țintei; numărul de teste ale dispozitivului înainte de prima defecțiune; numărul de aruncări de monede înainte de primul heads up și așa mai departe.

Așteptările și varianța matematică a unei variabile aleatoare supuse unei distribuții geometrice sunt, respectiv, $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) /p^ 2$.

Exemplu . Pe drumul deplasării peștilor către locul de depunere a icrelor există o blocare de $4$. Probabilitatea ca un pește să treacă prin fiecare ecluză este $p=3/5$. Construiți o serie de distribuție a variabilei aleatoare $X$ - numărul de ecluze trecute de pește înainte de prima oprire la ecluză. Găsiți $M\left(X\dreapta),\D\left(X\dreapta),\\sigma \left(X\right)$.

Fie variabila aleatoare $X$ numărul de ecluze trecute de pește înainte de prima oprire la ecluză. O astfel de variabilă aleatorie este supusă legii geometrice a distribuției probabilităților. Valorile pe care le poate lua variabila aleatoare $X sunt: ​​1, 2, 3, 4. Probabilitățile acestor valori sunt calculate prin formula: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, unde: $ p=2/5$ - probabilitatea ca peștele să fie prins prin ecluză, $q=1-p=3/5$ - probabilitatea ca peștele să treacă prin ecluză, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\peste (5))\cdot (\left(((3)\peste (5))\right))^0=((2)\ peste(5))=0,4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\peste (5))\cdot ((3)\peste (5))=((6)\peste (25))=0,24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\peste (5))\cdot (\left(((3)\peste (5))\right))^2=((2)\ peste (5))\cdot ((9)\peste (25))=((18)\peste (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\peste (5))\cdot (\left(((3)\peste (5))\right))^3+(\left(( (3)\peste (5))\dreapta))^4=((27)\peste (125))=0,216.$

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\stanga(X_i\dreapta) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(matrice)$

Valorea estimata:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

Dispersie:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ stânga(1-2.176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2.176\right))^2+0.144\cdot (\left(3-2.176\right))^2+$

$+\ 0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\aproximativ 1,377.$

Deviație standard:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1.377)\aproximativ 1.173.$

4. Legea distribuției hipergeometrice.

Dacă există $N$ obiecte, printre care $m$ obiecte au proprietatea dată. În mod aleatoriu, fără înlocuire, sunt extrase $n$ obiecte, printre care se numără $k$ obiecte care au o proprietate dată. Distribuția hipergeometrică face posibilă estimarea probabilității ca exact $k$ obiecte dintr-o probă să aibă o proprietate dată. Fie variabila aleatoare $X$ numărul de obiecte din eșantion care au o proprietate dată. Apoi probabilitățile valorilor variabilei aleatoare $X$:

$P\stanga(X=k\dreapta)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\peste (C^n_N))$

cometariu. Funcția statistică HYPERGEOMET a Excel $f_x$ Function Wizard vă permite să determinați probabilitatea ca un anumit număr de încercări să aibă succes.

$f_x\la $ statistic$\la $ HIPERGEOMETĂ$\la $ Bine. Va apărea o casetă de dialog pe care trebuie să o completați. În grafic Număr_de_reușite_în_eșantion specificați valoarea lui $k$. marime de mostra este egal cu $n$. În grafic Număr_de_succese_în_populație specificați valoarea lui $m$. Dimensiunea_populației este egal cu $N$.

Așteptările și varianța matematică a unei variabile aleatoare discrete $X$ supuse unei legi de distribuție geometrică sunt $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left) (1 -((m)\peste (N))\dreapta)\stanga(1-((n)\peste (N))\dreapta))\peste (N-1))$.

Exemplu . Compartimentul credit al băncii angajează 5 specialişti cu studii superioare financiare şi 3 specialişti cu studii superioare juridice. Conducerea băncii a decis să trimită 3 specialiști pentru pregătire avansată, selectându-i aleatoriu.

a) Realizează o serie de repartizare a numărului de specialişti cu studii superioare financiare care pot fi direcţionaţi către formare avansată;

b) Aflați caracteristicile numerice ale acestei distribuții.

Fie variabila aleatoare $X$ numărul de specialiști cu studii financiare superioare dintre cei trei selectați. Valori pe care $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ le pot lua. Această variabilă aleatoare $X$ este distribuită în funcție de distribuția hipergeometrică cu următorii parametri: $N=8$ - mărimea populației, $m=5$ - numărul de succese în populație, $n=3$ - dimensiunea eșantionului, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - numărul de succese din eșantion. Atunci probabilitățile $P\left(X=k\right)$ pot fi calculate folosind formula: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(Nm)^(nk) \ peste C_( N)^(n) ) $. Avem:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\peste (C^3_8))=((1)\peste (56))\aproximativ 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\peste (C^3_8))=((15)\peste (56))\aproximativ 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\peste (C^3_8))=((15)\peste (28))\aproximativ 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\peste (C^3_8))=((5)\peste (28))\aproximativ 0,179.$

Apoi seria de distribuție a variabilei aleatoare $X$:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(matrice)$

Să calculăm caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare $X$ folosind formulele generale ale distribuției hipergeometrice.

$M\left(X\right)=((nm)\peste (N))=((3\cdot 5)\peste (8))=((15)\peste (8))=1.875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\peste (N))\dreapta)\left(1-((n)\peste (N))\dreapta)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\dreapta))\peste (8-1))=((225)\peste (448))\aproximativ 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\aproximativ 0,7085.$