/

Funcția de densitate de distribuție a unei variabile aleatoare discrete. Funcția de distribuție a probabilității

Proprietăți de densitate de distribuție

Mai întâi, să ne amintim care este densitatea distribuției:

Luați în considerare proprietățile densității distribuției:

Proprietatea 1: Funcția de densitate de distribuție $\varphi (x)$ este nenegativă:

Dovada.

Știm că funcția de distribuție $F(x)$ este o funcție nedescrescătoare. Din definiție rezultă că $\varphi \left(x\right)=F"(x)$, iar derivata unei funcții nedescrescătoare -- este o funcție nenegativă.

Geometric, această proprietate înseamnă că graficul funcției de densitate de distribuție $\varphi \left(x\right)$ este fie deasupra, fie pe axa $Ox$ în sine (Fig. 1)

Figura 1. Ilustrarea inegalității $\varphi (x)\ge 0$.

Proprietatea 2: Integrala improprie a funcției de densitate de distribuție din $-\infty $ până la $+\infty $ este egală cu 1:

Dovada.

Amintiți-vă formula pentru găsirea probabilității ca valoare aleatorie intervalul $(\alpha ,\beta)$ va scădea:

Figura 2.

Să găsim probabilitatea ca variabila aleatoare să se încadreze în intervalul $(-\infty ,+\infty $):

Figura 3

Evident, variabila aleatoare va intra întotdeauna în intervalul $(-\infty ,+\infty $), prin urmare, probabilitatea unei astfel de lovituri este egală cu unu. Primim:

Geometric, a doua proprietate înseamnă că aria unui trapez curbiliniu delimitată de graficul funcției de densitate de distribuție $\varphi (x)$ și axa absciselor este numeric egală cu unu.

De asemenea, puteți formula proprietatea inversă:

Proprietatea 3: Orice funcție nenegativă $f(x)\ge 0$ care satisface egalitatea $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right)dx)=1$ este o funcția densității distribuției o variabilă aleatoare continuă.

Sensul probabilistic al densității distribuției

Să dăm variabilei $x$ un increment $\triunghi x$.

Sensul probabilistic al densității distribuției: Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă $X$ să ia valori din intervalul $(x,x+\triunghi x)$ este aproximativ egală cu produsul densității distribuției probabilității în punctul $ x$ și incrementul $\triunghi x$:

Figura 4. Ilustrarea geometrică a semnificației probabilistice a densității de distribuție a unei variabile aleatoare continue.

Exemple de rezolvare a problemelor folosind proprietățile densității distribuției

Exemplul 1

Funcția de densitate a distribuției probabilităților are forma:

Figura 5

  1. Găsiți coeficientul $\alpha $.
  2. Construiți un grafic al densității distribuției.
  1. Luați în considerare integrala improprie $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)$, obținem:

Figura 6

Folosind proprietatea 2, obținem:

\[-2\alpha =1,\] \[\alpha =-\frac(1)(2).\]

Adică, funcția de densitate de distribuție are forma:

Figura 7

  1. Să-l complotăm:

Figura 8

Exemplul 2

Funcția densității distribuției are forma $\varphi \left(x\right)=\frac(\alpha )(chx)$

(Reamintim că $chx$ este un cosinus hiperbolic).

Aflați valoarea coeficientului $\alpha $.

Soluţie. Folosim a doua proprietate:

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(\alpha )(chx)dx)=1,\] \[\alpha \int\limits^(+\infty )_ (-\infty )(\frac(dx)(chx))=1,\] \[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=( \mathop(lim)_(a\to -\infty ) \int\limits^0_a(\frac(dx)(chx))\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \int \limits^b_0(\frac(dx)(chx))\ )\]

Deoarece $chx=\frac(e^x+e^(-x))(2)$, atunci

\[\int(\frac(dx)(chx))=2\int(\frac(dx)(e^x+e^(-x)))=2\int(\frac(de^x)( (1+e)^(2x)))=2arctge^x+C\]

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=(\mathop(lim)_(a\to -\infty ) \left(-2arctge^ a\right)\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \left(2arctge^b\right)\ )=\pi \]

Prin urmare:

\[\pi \alpha =1,\] \[\alpha =\frac(1)(\pi )\]

Lege distribuții de probabilitate variabila aleatoare poate fi specificata folosind functia de distributie integrala. Funcția de distribuție cumulativă numită funcție F(X), pentru fiecare valoare X care determină probabilitatea ca variabila aleatoare X ia o valoare mai mica...
  • Funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare continue
    Funcţie F(X) există atât pentru variabile aleatoare discrete, cât și pentru variabile aleatoare continue. Să notăm cele mai importante proprietăți ale funcției de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare continue. 1. Pentru valorile funcției de distribuție F(x) are loc 2. F(x) este o funcție nedescrescătoare, adică 3. Probabilitate...
    (TEORIA PROBABILITĂȚII ȘI STATISTICĂ MATEMATICĂ)
  • Variabilă aleatoare continuă. Densitatea de distribuție
    Definiție 3.6. SW % numit continuu, dacă există o astfel de funcție p(x) numit probabilitate densitate sau densitatea distribuției de probabilitate, ce este FR SV?, este egal cu If la punctul X densitate p(x) este continuă, apoi, diferențiind stânga și dreapta...
  • 4.3. Variabilă aleatoare bidimensională continuă. Distribuția densității articulare
    Prin analogie cu variabila aleatoare n-dimensională, dăm următoarea definiție. Definiție 4.8. 2D vector aleatoriu(?, p) se numește continuu, dacă o astfel de funcţie nenegativă există p(x, y), numit densitatea distribuției articulare variabile aleatoare? și p acela de...
    (PROBABILITATE ȘI STATISTICĂ MATEMATICĂ PENTRU ECONOMIȚI)
  • Densitatea de distribuție
    Orez. 1.9. Principalele caracteristici distributie normala la sensuri diferite deviație standard: dar- probabilitate densitate /(/); b- probabilitatea de funcționare neefectuată р(/); în- rata de eșec X(/) Distribuția are doi parametri independenți: matematici...
    (FIABILITATEA SISTEMELOR TEHNICE)
  • Legea distribuției probabilității pentru o variabilă aleatoare bidimensională discretă
    legea distributiei O variabilă aleatoare bidimensională discretă este o listă de valori posibile ale acestei variabile, de exemplu. perechi de numere (x. și probabilitățile lor /? (x., u.)(?= 1,2....."; j= 1,2,...,"?). De obicei, legea distribuției este dată sub forma unui tabel cu intrare dublă (Tabelul 2). Prima linie...
    (TEORIA PROBABILITĂȚII ȘI STATISTICĂ MATEMATICĂ)
  • Găsirea densităților de probabilitate ale componentelor unei variabile aleatoare bidimensionale
    Fie cunoscută densitatea distribuției comune de probabilitate a unui sistem de două variabile aleatoare. Să găsim densitatea de distribuție a fiecăreia dintre componente. Să găsim mai întâi densitatea de distribuție a componentei X. Notează prin Fx(x) funcția de distribuție a componentelor X. Prin definitie...
    (TEORIA PROBABILITĂȚII ȘI STATISTICĂ MATEMATICĂ)

    • Rezultatul oricărui experiment aleatoriu poate fi caracterizat calitativ și cantitativ. Calitativ rezultatul unui experiment aleatoriu - Aleatoriu eveniment. Orice caracteristică cantitativă, care, ca rezultat al unui experiment aleatoriu, poate lua una dintr-un anumit set de valori, - valoare aleatorie. Valoare aleatoare este unul dintre conceptele centrale ale teoriei probabilităților.

    Fie un spațiu de probabilitate arbitrar. Variabilă aleatorie este o funcție numerică reală x \u003d x (w), w W , astfel încât pentru orice real X .

    Eveniment scris de obicei ca x< X. În cele ce urmează, variabilele aleatoare vor fi notate cu litere grecești minuscule x, h, z,...

    Variabila aleatoare este numărul de puncte obţinute zaruri, sau creșterea unui selectat aleatoriu din grup de studiu student. În primul caz, avem de-a face discret variabilă aleatorie(preia valori de la un discret set de numere M=(1, 2, 3, 4, 5, 6); în al doilea caz, cu continuu variabilă aleatorie(preia valori dintr-un set de numere continuu - din intervalul liniei numerice eu=).

    Fiecare variabilă aleatorie este complet determinată de ea functie de distributie.

    Dacă x este o variabilă aleatoare, atunci funcția F(X) = F x(X) = P(X< X) se numește functie de distributie variabila aleatoare x . Aici P(X<X) - probabilitatea ca variabila aleatoare x să ia o valoare mai mică decât X.

    Este important de înțeles că funcția de distribuție este un „pașaport” al unei variabile aleatoare: conține toate informațiile despre variabila aleatoare și, prin urmare, studiul unei variabile aleatoare constă în studiul acesteia funcții de distribuție, deseori denumită simplu distributie.

    Funcția de distribuție a oricărei variabile aleatoare are următoarele proprietăți:

    Dacă x este o variabilă aleatoare discretă care ia valorile X 1 <X 2 < … <x i < … с вероятностями p 1 <p 2 < … <pi < …, то таблица вида

    X 1 X 2 … x i …
    p 1 p 2 … pi …

    numit distribuția unei variabile aleatoare discrete.

    Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare cu o astfel de distribuție are forma

    O variabilă aleatorie discretă are o funcție de distribuție în trepte. De exemplu, pentru un număr aleatoriu de puncte care au căzut într-o singură aruncare de zar, graficul de distribuție, funcție de distribuție și funcție de distribuție arată astfel:

    1 2 3 4 5 6
    1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

    Dacă funcţia de distribuţie F x(X) este continuă, atunci se numește variabila aleatoare x variabilă aleatoare continuă.

    Dacă funcţia de distribuţie a unei variabile aleatoare continue diferentiabil, atunci o reprezentare mai vizuală a variabilei aleatoare oferă densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare p x(X), care este legat de funcţia de distribuţie F x(X) formule

    Și .

    Din aceasta, în special, rezultă că pentru orice variabilă aleatoare .

    Când rezolvați probleme practice, este adesea necesar să găsiți valoarea X, la care funcția de distribuție F x(X) variabila aleatoare x ia o valoare dată p, adică trebuie să rezolvi ecuația F x(X) = p. Soluții la o astfel de ecuație (valorile corespunzătoare X) în teoria probabilităţilor se numesc cuantile.

    Quantila x p ( p-quantile, cuantilă de nivel p) o variabilă aleatoare având o funcție de distribuție F x(X), se numește soluție xp ecuații F x(X) = p, p(0, 1). Pentru unii p ecuația F x(X) = p poate avea mai multe soluții, pentru unii - niciuna. Aceasta înseamnă că pentru variabila aleatoare corespunzătoare, unele cuantile nu sunt definite în mod unic, iar unele cuantile nu există.

    O variabilă aleatoare continuă poate fi specificată nu numai cu ajutorul unei funcții de distribuție. Să introducem conceptul de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue.

    Luați în considerare probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să cadă în intervalul [ X, X + Δ X]. Probabilitatea unui astfel de eveniment

    P(X ≤ X ≤ X + Δ X) = F(X+ Δ X) – F(X),

    acestea. egal cu incrementul funcţiei de distribuţie F(X) in aceasta zona. Apoi probabilitatea pe unitatea de lungime, i.e. densitatea medie de probabilitate în zona din X inainte de X+ Δ X, este egal cu

    Trecerea la limita Δ X→ 0, obținem densitatea de probabilitate în punct X:

    reprezentând derivata funcţiei de distribuţie F(X). Reamintim că pentru o variabilă aleatoare continuă F(X) este o funcție diferențiabilă.

    Definiție. Probabilitate densitate (densitatea distributiei ) f(X) variabila aleatoare continuă X este derivata funcției sale de distribuție

    f(X) = F′( X). (4.8)

    Despre o variabilă aleatoare X se spune că are o distribuţie cu o densitate f(X) pe o anumită parte a axei x.

    Probabilitate densitate f(X), precum și funcția de distribuție F(X) este o formă de lege a distribuției. Dar, spre deosebire de funcția de distribuție, aceasta există numai pentru variabile aleatoare continue.

    Densitatea de probabilitate este uneori numită functie diferentiala sau legea distributiei diferentiale. Se numește graficul densității probabilității curba de distributie.

    Exemplul 4.4. Folosind datele din Exemplul 4.3, găsiți densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare X.

    Soluţie. Vom găsi densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare ca derivată a funcției sale de distribuție f(X) = F"(X).

    ◄

    Observăm proprietățile densității de probabilitate a unei variabile aleatoare continue.

    1. Densitatea probabilității este o funcție nenegativă, adică

    Geometric, probabilitatea de a cădea în intervalul [ α , β ,] este egal cu aria figurii delimitată de sus de curba de distribuție și bazată pe segmentul [ α , β ,] (Figura 4.4).

    Orez. 4.4 Fig. 4.5

    3. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue poate fi exprimată în termeni de densitate de probabilitate prin formula:

    Proprietăți geometrice 1 Și 4 densitățile de probabilitate înseamnă că graficul său - curba de distribuție - nu se află sub axa absciselor, iar aria totală a figurii delimitată de curba de distribuție și axa absciselor este egală cu unu.

    Exemplul 4.5. Funcţie f(X) este dat ca:

    Găsiți: a) valoarea DAR; b) expresia funcţiei de distribuţie F(X); c) probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua o valoare pe intervalul .

    Soluţie. a) Pentru a f(X) a fost densitatea de probabilitate a unei variabile aleatorii X, trebuie să fie nenegativ, prin urmare, valoarea DAR. Sub rezerva proprietății 4 găsim:

    , Unde DAR = .

    b) Găsim funcția de distribuție folosind proprietatea 3 :

    Dacă X≤ 0, atunci f(X) = 0 și, prin urmare, F(X) = 0.

    Daca 0< X≤ 2, atunci f(X) = X/2 și, prin urmare,

    Dacă X> 2, atunci f(X) = 0 și, prin urmare,

    c) Probabilitatea ca variabila aleatoare X ia o valoare pe segment, găsim folosind proprietatea 2 .

    Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete

    Fie ca o variabilă aleatorie să ia valori cu probabilități, . Apoi funcția sa de distribuție a probabilității

    unde este funcția de salt al unității. Este posibil să se determine densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare prin funcția sa de distribuție, ținând cont de egalitate. Totuși, în acest caz apar dificultăți matematice, datorită faptului că funcția de salt unității din (34.1) are o discontinuitate de primul fel la. Prin urmare, derivata funcției nu există în punct.

    Pentru a depăși această complexitate, se introduce o funcție -. Funcția de salt de unitate poate fi reprezentată în termeni de funcție - prin următoarea egalitate:

    Apoi formal derivata

    iar densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete este determinată din relația (34.1) ca derivată a funcției:

    Funcția (34.4) are toate proprietățile densității de probabilitate. Luați în considerare un exemplu. Fie ca o variabilă aleatorie discretă să ia valori cu probabilități și fie, . Apoi, probabilitatea ca variabila aleatoare să ia o valoare din segment poate fi calculată pe baza proprietăților generale ale densității conform formulei:

    întrucât punctul singular al funcției definite de condiție se află în interiorul regiunii de integrare la, iar la punctul singular este în afara regiunii de integrare. În acest fel,

    Funcția (34.4) satisface și condiția de normalizare:

    Rețineți că în matematică, o înregistrare de forma (34.4) este considerată incorectă (incorectă), iar înregistrarea (34.2) este considerată corectă. Acest lucru se datorează faptului că funcția -cu un argument zero și spune că nu există. Pe de altă parte, în (34.2) funcția - este conținută sub integrală. În acest caz, partea dreaptă a lui (34.2) este o valoare finită pentru orice, i.e. integrala funcţiei - există. În ciuda acestui fapt, în fizică, inginerie și alte aplicații ale teoriei probabilităților, este adesea folosită reprezentarea densității în forma (34.4), care, în primul rând, permite obținerea de rezultate corecte prin aplicarea proprietăților - funcții și, în al doilea rând, are o interpretare fizică evidentă. .

    Exemple de densități și distribuții de probabilitate

    35.1. O variabilă aleatoare se numește distribuită uniform pe un segment dacă densitatea sa de distribuție a probabilității

    unde este un număr determinat din condiția de normalizare:

    Înlocuirea (35.1) în (35.2) conduce la o egalitate a cărei soluție are relativ forma: .

    Funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare distribuite uniform poate fi găsită prin formula (33.5), care determină prin densitate:

    Pe fig. Sunt prezentate 35.1 grafice ale funcțiilor și o variabilă aleatoare uniform distribuită.

    Orez. 35.1. Grafice ale funcției și densității de distribuție


    variabilă aleatoare uniform distribuită.

    35.2. O variabilă aleatorie se numește normală (sau gaussiană) dacă densitatea distribuției sale de probabilitate este:

    unde sunt numerele numite parametrii funcției. Când funcția își ia valoarea maximă: . Parametrul are semnificația lățimii efective. Pe lângă această interpretare geometrică, parametrii au și o interpretare probabilistică, despre care vom discuta mai târziu.

    Din (35.4) rezultă expresia funcției de distribuție a probabilității

    unde este funcția Laplace. Pe fig. Sunt prezentate 35.2 grafice ale funcțiilor și o variabilă aleatorie normală. Pentru a indica faptul că o variabilă aleatorie are o distribuție normală cu parametri și este adesea folosită notația.


    Orez. 35.2. Diagrame de densitate și funcții de distribuție

    variabilă aleatorie normală.

    35.3. O variabilă aleatoare are o densitate de probabilitate Cauchy dacă

    Această densitate corespunde funcției de distribuție

    35.4. O variabilă aleatorie se numește distribuită exponențial dacă densitatea sa de distribuție a probabilității are forma:

    Să definim funcția de distribuție a probabilității. Căci din (35.8) rezultă. Daca atunci

    35.5. Distribuția de probabilitate Rayleigh a unei variabile aleatoare este determinată de densitatea formei

    Această densitate corespunde funcției de distribuție a probabilității pentru și egală cu

    35.6. Luați în considerare exemple de construcție a funcției de distribuție și a densității unei variabile aleatoare discrete. Fie variabila aleatoare numărul de succese dintr-o succesiune de încercări independente. Apoi variabila aleatoare ia valori, cu o probabilitate care este determinată de formula Bernoulli:

    unde, sunt probabilitățile de succes și eșec într-un experiment. Astfel, funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare are forma

    unde este funcția de salt al unității. De aici densitatea distribuției:

    unde este funcția delta.

    Acțiune