Densitatea de distribuție probabilități X apelați funcția f(x) este derivata întâi a funcției de distribuție F(x):

Conceptul de distribuție a densității de probabilitate variabilă aleatorie X pentru cantitate discretă Nu se aplică.

Probabilitate densitate f(x)- sunat functie diferentiala distributii:

Proprietatea 1. Densitatea distribuției este o valoare nenegativă:

Proprietatea 2. Integrala improprie a densității distribuției în intervalul de la până la este egală cu unu:

Exemplul 1.25. Având în vedere funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X:

f(x).

Soluţie: Densitatea distribuției este egală cu derivata întâi a funcției de distribuție:

1. Având în vedere funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X:

Găsiți densitatea distribuției.

2. Este dată funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X:

Găsiți densitatea distribuției f(x).

1.3. Caracteristicile numerice ale aleatoriei continue

cantități

Valorea estimata variabilă aleatoare continuă X, ale căror posibile valori aparțin întregii axe Oh, este determinată de egalitatea:

Se presupune că integrala converge absolut.

a,b), apoi:

f(x) este densitatea de distribuție a variabilei aleatoare.

Dispersia variabilă aleatoare continuă X, ale căror posibile valori aparțin întregii axe, este determinată de egalitatea:

Caz special. Dacă valorile variabilei aleatoare aparțin intervalului ( a,b), apoi:

Probabilitatea ca X va lua valori aparținând intervalului ( a,b), este determinată de egalitatea:

.

Exemplul 1.26. Variabilă aleatoare continuă X

A găsi valorea estimata, varianța și probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare Xîn intervalul (0; 0,7).

Soluţie: Variabila aleatoare este distribuită pe intervalul (0,1). Să definim densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue X:

a) Aşteptări matematice :

b) Dispersia

în)

Sarcini pentru muncă independentă:

1. Variabila aleatoare X dat de funcția de distribuție:

M(x);

b) dispersie D(x);

Xîn intervalul (2,3).

2. Valoare aleatoare X

Aflați: a) așteptarea matematică M(x);

b) dispersie D(x);

c) determinați probabilitatea de a lovi o variabilă aleatoare Xîn intervalul (1; 1,5).

3. Valoare aleatoare X este dat de funcția de distribuție integrală:

Aflați: a) așteptarea matematică M(x);

b) dispersie D(x);

c) determinați probabilitatea de a lovi o variabilă aleatoare Xîn interval.

1.4. Legile distribuției unei variabile aleatoare continue

1.4.1. Distributie uniforma

Variabilă aleatoare continuă X are o distribuție uniformă pe intervalul [ a,b], dacă pe acest segment densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare este constantă, iar în exterior este egală cu zero, adică:

Orez. 4.

; ; .

Exemplul 1.27. Un autobuz de o anumită rută se deplasează uniform cu un interval de 5 minute. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită uniform X– timpul de așteptare pentru autobuz va fi mai mic de 3 minute.

Soluţie: Valoare aleatoare X- uniform distribuit pe interval .

Probabilitate densitate: .

Pentru ca timpul de așteptare să nu depășească 3 minute, pasagerul trebuie să ajungă la stația de autobuz în termen de 2 până la 5 minute de la plecarea autobuzului anterior, adică. valoare aleatorie X trebuie să se încadreze în intervalul (2;5). Acea. probabilitatea dorită:

Sarcini pentru munca independenta:

1. a) aflaţi aşteptarea matematică a unei variabile aleatoare X distribuite uniform în intervalul (2; 8);

b) aflați varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare X, distribuite uniform în intervalul (2;8).

2. Minutele unui ceas electric sare la sfârșitul fiecărui minut. Găsiți probabilitatea ca, la un moment dat, ceasul să arate ora care diferă de ora reală cu cel mult 20 de secunde.

1.4.2. Distribuția exponențială (exponențială).

Variabilă aleatoare continuă X este distribuit exponențial dacă densitatea sa de probabilitate are forma:

unde este parametrul distribuției exponențiale.

În acest fel

Orez. cinci.

Caracteristici numerice:

Exemplul 1.28. Valoare aleatoare X- timpul de functionare al becului - are o distributie exponentiala. Determinați probabilitatea ca lampa să țină cel puțin 600 de ore dacă durata medie de viață a lămpii este de 400 de ore.

Soluţie:În funcție de starea problemei, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X este egal cu 400 de ore, deci:

;

Probabilitatea dorită, unde

In cele din urma:

Sarcini pentru munca independenta:

1. Scrieți funcția de densitate și distribuție a legii exponențiale, dacă parametrul .

2. Valoare aleatoare X

Aflați așteptările matematice și varianța unei mărimi X.

3. Valoare aleatoare X dat de funcția de distribuție a probabilității:

Aflați așteptările matematice și abaterea standard a unei variabile aleatoare.

1.4.3. Distributie normala

Normal se numește distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, a cărui densitate are forma:

Unde dar– așteptări matematice, – abatere standard X.

Probabilitatea ca X va lua o valoare aparținând intervalului:

, Unde

este funcția Laplace.

O distributie care are ; , adică cu o densitate de probabilitate numit standard.

Orez. 6.

Probabilitatea ca valoarea absolută să devieze este mai mică decât număr pozitiv :

.

În special, când a= 0 egalitatea este adevărată:

Exemplul 1.29. Valoare aleatoare X distribuite normal. Deviație standard . Aflați probabilitatea ca abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice în valoare absolută să fie mai mică de 0,3.

Soluţie: .

Sarcini pentru munca independenta:

1. Scrieți densitatea de probabilitate a distribuției normale a unei variabile aleatoare X, știind că M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Așteptările matematice și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite normal X sunt 20 și respectiv 5. Aflați probabilitatea ca în urma testului X va lua valoarea cuprinsă în intervalul (15;20).

3. Erorile de măsurare aleatoare sunt supuse legii normale cu abaterea standard mm și așteptările matematice a= 0. Aflați probabilitatea ca eroarea a cel puțin uneia dintre cele 3 măsurători independente să nu depășească 4 mm în valoare absolută.

4. O anumită substanță este cântărită fără erori sistematice. Erorile aleatorii de cântărire sunt supuse legii normale cu o abatere standard r. Aflați probabilitatea ca cântărirea să fie efectuată cu o eroare care să nu depășească 10 g în valoare absolută.

Spre deosebire de o variabilă aleatoare discretă, variabilele aleatoare continue nu pot fi specificate sub forma unui tabel al legii sale de distribuție, deoarece este imposibil să enumerați și să scrieți toate valorile sale într-o anumită secvență. O modalitate posibilă de a defini o variabilă aleatoare continuă este utilizarea unei funcții de distribuție.

DEFINIȚIE. Funcția de distribuție este o funcție care determină probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare care este reprezentată pe axa reală de un punct la stânga punctului x, adică.

Uneori, în locul termenului „Funcție de distribuție”, se folosește termenul „Funcție integrală”.

Proprietățile funcției de distribuție:

1. Valoarea funcției de distribuție aparține segmentului: 0F(x)1
2. F(x) este o funcție nedescrescătoare, adică. F(x 2)F(x 1) dacă x 2 >x 1

Corolarul 1. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare cuprinsă în intervalul (a, b) este egală cu incrementul funcției de distribuție pe acest interval:

P(aX

Exemplul 9. O variabilă aleatoare X este dată de o funcție de distribuție:

Aflați probabilitatea ca, în urma testului, X să ia o valoare aparținând intervalului (0; 2): P(0

Rezolvare: Deoarece pe intervalul (0;2) prin condiție, F(x)=x/4+1/4, atunci F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Deci P(0

Corolarul 2. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X să ia o valoare definită este egală cu zero.

Corolarul 3. Dacă valorile posibile ale unei variabile aleatoare aparțin intervalului (a;b), atunci: 1) F(x)=0 pentru xa; 2) F(x)=1 pentru xb.
Sunt valabile următoarele relații limită:

Graficul functiei de distributie este situat in banda delimitata de drepte y=0, y=1 (prima proprietate). Pe măsură ce x crește în intervalul (a;b), care conține toate valorile posibile ale variabilei aleatoare, graficul „se ridică”. Pentru xa, ordonatele graficului sunt egale cu zero; la xb, ordonatele graficului sunt egale cu unu:

Poza 1

Exemplul 10. O variabilă aleatoare discretă X este dată de un tabel de distribuție:

X	1	4	8
P	0.3	0.1	0.6

Găsiți funcția de distribuție și construiți graficul acesteia.
Soluție: Funcția de distribuție poate fi scrisă analitic după cum urmează:

Figura-2

DEFINIȚIE: Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X este funcția f (x) - prima derivată a funcției de distribuție F (x): f (x) \u003d F "(x)

Din această definiție rezultă că funcția de distribuție este antiderivată a densității de distribuție.

Teorema. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X să ia o valoare aparținând intervalului (a; b) este egală cu o anumită integrală a densității distribuției, luată în intervalul de la a la b:

(8)

Proprietățile densității probabilității:

1. Densitatea de probabilitate este o funcție nenegativă: f(x)0.
2. Integrala definită de la -∞ la +∞ a densității distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este egală cu 1: f(x)dx=1.
3. Integrala definită de la -∞ la x a densității distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este egală cu funcția de distribuție a acestei variabile: f(x)dx=F(x)

Exemplul 11. Având în vedere densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare X

Aflați probabilitatea ca, în urma testului, X să ia o valoare aparținând intervalului (0,5; 1).

Soluție: Probabilitate dorită:

Să extindem definiția caracteristicilor numerice ale mărimilor discrete la mărimi continue. Fie o variabilă aleatoare continuă X dată de densitatea distribuției f(x).

DEFINIȚIE. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue X, ale cărei valori posibile aparțin segmentului, se numește integrală definită:

M(x)=xf(x)dx (9)

Dacă valorile posibile aparțin întregii axe x, atunci:

M(x)=xf(x)dx (10)

Modul M 0 (X) al unei variabile aleatoare continue X este valoarea ei posibilă, care corespunde maximului local al densității distribuției.

Mediana M e (X) a unei variabile aleatoare continue X este valoarea sa posibilă, care este determinată de egalitatea:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

DEFINIȚIE. Dispersia unei variabile aleatoare continue este așteptarea matematică a pătratului abaterii acesteia. Dacă valorile posibile ale lui X aparțin segmentului, atunci:

D(x)=2 f(x)dx (11)
sau
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Dacă valorile posibile aparțin întregii axe x, atunci.

În teoria probabilității, trebuie să se ocupe de variabile aleatoare, ale căror valori nu pot fi sortate. De exemplu, este imposibil să luați și să „sortați” toate valorile variabilei aleatoare $X$ - timpul de serviciu al ceasului, deoarece timpul poate fi măsurat în ore, minute, secunde, milisecunde etc. Puteți specifica doar un anumit interval în care sunt situate valorile unei variabile aleatoare.

Variabilă aleatoare continuă este o variabilă aleatoare ale cărei valori umplu complet un anumit interval.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue

Deoarece nu este posibil să sortați toate valorile unei variabile aleatoare continue, aceasta poate fi specificată folosind funcția de distribuție.

functie de distributie variabila aleatoare $X$ este funcția $F\left(x\right)$, care determină probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia o valoare mai mică decât o valoare fixă ​​$x$, adică $F\left(x\ dreapta)$ )=P\stanga(X< x\right)$.

Proprietățile funcției de distribuție:

1 . $0\le F\left(x\right)\le 1$.

2 . Probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia valori din intervalul $\left(\alpha ;\\beta \right)$ este egală cu diferența dintre valorile funcției de distribuție la sfârșitul acestui interval : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - nedescrescătoare.

4 . $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \dreapta)=1\ )$.

Exemplul 1
0,\ x\le 0\\
x,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(matrice)\dreapta.$. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare $X$ să se încadreze în intervalul $\left(0.3;0.7\right)$ poate fi găsită ca diferență între valorile funcției de distribuție $F\left(x\right)$ la capetele acestui interval, adică:

$$P\left(0,3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Probabilitate densitate

Funcția $f\left(x\right)=(F)"(x)$ se numește densitatea distribuției de probabilitate, adică este derivata de ordinul întâi luată din funcția de distribuție $F\left(x\right) $ în sine.

Proprietățile funcției $f\left(x\right)$.

1 . $f\left(x\dreapta)\ge 0$.

2 . $\int^x_(-\infty )(f\left(t\right)dt)=F\left(x\right)$.

3 . Probabilitatea ca o variabilă aleatorie $X$ să ia valori din intervalul $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ este $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right))=1$.

Exemplul 2 . O variabilă aleatoare continuă $X$ este dată de următoarea funcție de distribuție $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ x\le 0\\
x,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(matrice)\dreapta.$. Apoi funcția de densitate $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\x>1
\end(matrice)\dreapta.$

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue $X$ se calculează prin formula

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)dx).$$

Exemplul 3 . Găsiți $M\left(X\right)$ pentru variabila aleatoare $X$ din exemplul $2$.

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\peste (2))\bigg|_0^1=((1)\peste (2)).$$

Dispersia unei variabile aleatoare continue

Varianta unei variabile aleatoare continue $X$ este calculată prin formula

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2.$$

Exemplul 4 . Să găsim $D\left(X\right)$ pentru variabila aleatoare $X$ din exemplu $2$.

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\left(((1)\peste (2))\right))^2=((x^3)\peste (3))\bigg|_0^1-( (1)\peste (4))=((1)\peste (3))-((1)\peste (4))=((1)\peste (12)).$$

După cum se știe, variabilă aleatorie se numește o variabilă care poate lua anumite valori în funcție de caz. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin (X, Y, Z), iar valorile lor - cu literele mici corespunzătoare (x, y, z). distinge între continuu şi variabile aleatoare discrete .

Variabilă aleatoare continuă o variabilă aleatoare X este numită dacă funcția sa de distribuție (funcția de distribuție integrală) poate fi reprezentată ca:

Funcţie f(X) se numește densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare X (funcția de distribuție diferențială).

Probabilitate faptul că o variabilă aleatoare continuă X ia o valoare într-un interval dat se calculează după cum urmează:

Exemple de distribuții de probabilitate ale unei variabile aleatoare continue X:

• distributie uniforma
• distribuție exponențială probabilitățile unei variabile aleatoare continue;
• distributie normala probabilitățile unei variabile aleatoare continue.

La rezolvarea problemelor, caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare continue sunt utilizate pe scară largă (Tabelul 1).

Tabelul 1 - Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare continue

Caracteristica numerică	Denumirea și formula
Valorea estimata
Dacă toate valorile posibile ale lui X aparțin intervalului (a, b), atunci așteptarea matematică este calculată
Dispersia variabilă aleatoare continuă X
in caz contrar
Dacă toate valorile posibile ale lui X aparțin intervalului (a, b), atunci se calculează varianța
in caz contrar
Deviație standard variabilă aleatoare continuă X

Un exemplu de rezolvare a unei probleme pe tema „Variabile aleatoare continue”

O sarcină. Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare este cunoscută:

Găsiți: a) parametrul a; b) funcţia de distribuţie F(x); c) probabilitatea ca X să cadă în intervalul (-π/4; π/4).
Construiți grafice f(x), F(x).

Soluţie. 1. Cunoscând proprietățile funcției de densitate de probabilitate f(x), găsim parametrul necunoscut a. Din inegalitatea f(x)≥0, concluzionăm că a≥0. Mai departe:

Să calculăm această integrală. Știind că valoarea sa trebuie să fie egală cu unu, exprimăm a.

A-(-a) \u003d 2a. Știind că

obținem 2a=1, deci a=1/2.

dacă x ≤ 0

Daca 0< х ≤ π, то

= ½ (-cosx + cos0) = ½ (1-cosx)

Dacă x > π, atunci

Funcția integrală dorită ia forma finală:

Graficul funcției F(x) este prezentat în Figura 2.

3. Probabilitatea de a lovi o variabilă aleatoare X în intervalul (-π / 4; π / 4) se află prin formula: P(a .
P(-π/4< x < π/4) = F(π/4) - F(-π/4) = ½ (1-cos π/4) – 0 = ½ (1-½√2).

Variabilele aleatoare continue au un număr infinit de valori posibile. Prin urmare, este imposibil să se introducă o serie de distribuție pentru ei.

În loc de probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare egală cu x, adică. p(X = x), luați în considerare probabilitatea ca X să ia o valoare mai mică decât x, adică. P(X< х).

Introducem o nouă caracteristică a variabilelor aleatoare - funcția de distribuție și luăm în considerare proprietățile acesteia.

Funcția de distribuție este cea mai universală caracteristică a unei variabile aleatoare. Poate fi definit atât pentru variabile aleatoare discrete, cât și continue:

F(x) = p(X< x).

Proprietățile funcției de distribuție.

Funcția de distribuție este o funcție nedescrescătoare a argumentului său, adică. dacă:

La minus infinit, funcția de distribuție este zero:

La plus infinit, funcția de distribuție este egală cu unu:

Probabilitatea ca o variabilă aleatorie să cadă într-un interval dat este determinată de formula:

Funcția f(x), care este egală cu derivata funcției de distribuție, se numește densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare X sau densitate de distribuție:

Să exprimăm probabilitatea de a lovi secțiunea b la c în termeni de f(x). Este egal cu suma elementelor de probabilitate din această secțiune, i.e. integral:

De aici, putem exprima funcția de distribuție în termeni de densitate de probabilitate:

Proprietăți de densitate de probabilitate.

Densitatea de probabilitate este o funcție nenegativă (deoarece funcția de distribuție este o funcție nedescrescătoare):

Densitatea probabil

sti este o funcție continuă.

Integrala în limite infinite a densității de probabilitate este egală cu 1:

Densitatea de probabilitate are dimensiunea unei variabile aleatorii.

Așteptările matematice și dispersia unei variabile aleatoare continue

Semnificația așteptării și varianței matematice rămâne aceeași ca și în cazul variabilelor aleatoare discrete. Forma formulelor pentru găsirea acestora se modifică prin înlocuirea:

Apoi obținem formule pentru calcularea așteptării matematice și a dispersiei unei variabile aleatoare continue:

Exemplu. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este dată de:

Aflați valoarea lui a, densitatea de probabilitate, probabilitatea de a lovi locul (0,25-0,5), așteptarea matematică și varianța.

Deoarece funcția de distribuție F(x) este continuă, atunci pentru x = 1 ax2 = 1, deci a = 1.

Densitatea de probabilitate se găsește ca derivată a funcției de distribuție:

Calculul probabilității de lovire a unei anumite zone se poate face în două moduri: folosind funcția de distribuție și folosind densitatea probabilității.

• 1-a cale. Folosim formula pentru găsirea probabilității prin funcția de distribuție:
• a 2-a cale. Folosim formula pentru găsirea probabilității prin densitatea probabilității:

Găsirea așteptărilor matematice:

Găsirea varianței:

Distributie uniforma

Luați în considerare o variabilă aleatoare continuă X, ale cărei valori posibile se află într-un anumit interval și sunt la fel de probabile.

Densitatea de probabilitate a unei astfel de variabile aleatoare va fi:

unde c este o constantă.

Graficul densității probabilității va fi afișat după cum urmează:

Exprimăm parametrul c în termeni de b și c. Pentru a face acest lucru, folosim faptul că integrala densității de probabilitate pe întreaga regiune trebuie să fie egală cu 1:

Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite uniform

Găsiți funcția de distribuție:

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite uniform

Să reprezentăm grafic funcția de distribuție:

Să calculăm așteptarea și varianța matematică a unei variabile aleatoare care se supune unei distribuții uniforme.

Atunci abaterea standard va arăta astfel:

Distribuție normală (gaussiană).

O variabilă aleatoare continuă X se numește distribuită normal cu parametrii a, y > 0 dacă are o densitate de probabilitate:

Curba de distribuție a unei variabile aleatoare are forma:

Testul 2

Sarcina 1. Alcătuiți legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X, calculați așteptarea matematică, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare.

Opțiunea 1

QCD verifică produsele pentru standardizare. Probabilitatea ca elementul să fie standard este de 0,7. 20 de articole testate. Aflați legea de distribuție a variabilei aleatoare X - numărul de produse standard dintre cele testate. Calculați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare.

Opțiunea 2

În urnă sunt 4 bile, pe care sunt indicate punctele 2; 4; cinci; 5. Se extrage o minge la întâmplare. Aflați legea distribuției unei variabile aleatoare X - numărul de puncte de pe ea. Calculați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare.

Opțiunea 3

Vânătorul împușcă vânatul până când lovește, dar nu poate trage mai mult de trei focuri. Probabilitatea de a lovi fiecare lovitură este de 0,6. Alcătuiți legea de distribuție a variabilei aleatoare X - numărul de focuri trase de trăgător. Calculați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare.

Opțiunea 4

Probabilitatea de a depăși precizia specificată în măsurare este de 0,4. Alcătuiți legea distribuției unei variabile aleatoare X - numărul de erori în 10 măsurători. Calculați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare.

Opțiunea 5

Probabilitatea de a lovi ținta cu o lovitură este de 0,45. 20 de focuri trase. Alcătuiți legea de distribuție a unei variabile aleatoare X - numărul de rezultate. Calculați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare.

Opțiunea 6

Produsele unei anumite fabrici conțin 5% din căsătorie. Faceți o lege de distribuție pentru o variabilă aleatoare X - numărul de produse defecte dintre cinci luate pentru noroc. Calculați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare.

Opțiunea 7

Piesele necesare asamblatorului sunt în trei din cele cinci cutii. Asamblatorul deschide cutiile până găsește piesele potrivite. Alcătuiți legea de distribuție a unei variabile aleatoare X - numărul de cutii deschise. Calculați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare.

Opțiunea 8

O urna contine 3 bile negre si 2 albe. Extragerea secvenţială a bilelor fără întoarcere se efectuează până când apare negru. Alcătuiți legea de distribuție a unei variabile aleatoare X - numărul de bile extrase. Calculați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare.

Opțiunea 9

Studentul cunoaște 15 întrebări din 20. În bilet sunt 3 întrebări. Alcătuiți legea distribuției unei variabile aleatoare X - numărul de întrebări cunoscute de student în bilet. Calculați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare.

Opțiunea 10

Există 3 becuri, fiecare având un defect cu o probabilitate de 0,4. Când este pornit, becul defect se arde și este înlocuit cu altul. Faceți o lege de distribuție pentru o variabilă aleatoare X - numărul de lămpi testate. Calculați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare.

Sarcina 2. Variabila aleatoare X este dată de funcția de distribuție F(X). Găsiți densitatea distribuției, așteptările matematice, varianța și, de asemenea, probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în intervalul (b, c). Construiți grafice ale funcțiilor F(X) și f(X).

Opțiunea 1

Opțiunea 2

Opțiunea 3

Opțiunea 4

Opțiunea 5

Opțiunea 6

Opțiunea 7

Opțiunea 8

Opțiunea 9

Opțiunea 10

Întrebări pentru examen

Definiția clasică a probabilității.

Elemente de combinatorie. Cazare. Exemple.

Elemente de combinatorie. Permutare. Exemple.

Elemente de combinatorie. Combinații. Exemple.

Teoremă asupra sumei probabilităților.

Teorema înmulțirii probabilităților.

Operațiuni pe evenimente.

Formula probabilității totale.

Formula Bayes.

Repetarea testelor. formula Bernoulli.

Variabile aleatoare discrete. Domeniul de distribuție. Exemplu.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete.

Dispersia unei variabile aleatoare discrete.

Distribuția binomială a unei variabile aleatoare.

Distribuția Poisson.

Distribuția după legea progresiei geometrice.

Variabile aleatoare continue. Funcția de distribuție și proprietățile acesteia.

Densitatea probabilității și proprietățile sale.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue.

Dispersia unei variabile aleatoare continue.

Distribuția uniformă a unei variabile aleatoare continue.

Legea distribuției normale.