Capitoleu. EVENIMENTE ALEATORII. PROBABILITATE

1.1. Regularitate și aleatorietate, variabilitate aleatorie în științele exacte, în biologie și medicină

Teoria probabilității este o ramură a matematicii care studiază tiparele în fenomene aleatorii. Un fenomen aleatoriu este un fenomen care, cu reproducerea repetată a aceleiași experiențe, poate decurge într-un mod ușor diferit de fiecare dată.

Evident, nu există un singur fenomen în natură în care elementele întâmplării să nu fie prezente într-o măsură sau alta, dar în diferite situații le luăm în considerare în moduri diferite. Deci, într-o serie de probleme practice, ele pot fi neglijate și, în loc de un fenomen real, se poate lua în considerare schema sa simplificată - un „model”, presupunând că în condițiile experimentale date fenomenul se desfășoară într-un mod complet definit. În același timp, sunt evidențiați cei mai importanți, decisivi factori care caracterizează fenomenul. Această schemă pentru studierea fenomenelor este cea mai des folosită în fizică, tehnologie și mecanică; așa se dezvăluie tiparul principal , caracteristică unui fenomen dat și făcând posibilă prezicerea rezultatului unui experiment în funcție de condiții inițiale date. Iar influența factorilor aleatori, secundari, asupra rezultatului experimentului este luată în considerare aici de erori aleatorii de măsurare (vom lua în considerare metoda de calcul a acestora mai jos).

Cu toate acestea, schema clasică descrisă a așa-numitelor științe exacte este slab adaptată pentru a rezolva multe probleme în care numeroși factori aleatori strâns întrepătrunși joacă un rol vizibil (adesea decisiv). Aici iese în prim plan natura aleatorie a fenomenului, care nu mai poate fi neglijat. Acest fenomen trebuie studiat tocmai din punctul de vedere al legilor inerente acestuia ca fenomen aleatoriu. În fizică, exemple de astfel de fenomene sunt mișcarea browniană, dezintegrarea radioactivă, o serie de procese mecanice cuantice etc.

Subiectul de studiu al biologilor și medicilor este un organism viu, a cărui origine, dezvoltare și existență este determinată de factori externi și interni foarte mulți și diverși, adesea întâmplători. De aceea, fenomenele și evenimentele lumii vii sunt, de asemenea, în mare măsură aleatorii în natură.

Elementele de incertitudine, complexitate, multicauzalitate inerente fenomenelor aleatorii impun crearea unor metode matematice speciale pentru studierea acestor fenomene. Dezvoltarea unor astfel de metode, stabilirea unor modele specifice inerente fenomenelor aleatorii, sunt principalele sarcini ale teoriei probabilității. Este caracteristic că aceste regularități sunt îndeplinite numai atunci când fenomenele aleatorii sunt masive. Mai mult, trăsăturile individuale ale cazurilor individuale, așa cum spuneam, se anulează reciproc, iar rezultatul mediu pentru o masă de fenomene aleatorii se dovedește a nu mai fi întâmplător, ci destul de natural. . În mare măsură, această circumstanță a fost motivul răspândirii metode probabilistice cercetare în biologie și medicină.

Luați în considerare conceptele de bază ale teoriei probabilităților.

1.2. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu

Fiecare știință care dezvoltă o teorie generală a unei anumite game de fenomene se bazează pe o serie de concepte de bază. De exemplu, în geometrie, acestea sunt conceptele de punct, de linie dreaptă; în mecanică - conceptele de forță, masă, viteză etc. În teoria probabilității există concepte de bază, unul dintre ele este un eveniment aleatoriu.

Un eveniment aleatoriu este orice fenomen (fapt) care, ca urmare a experienței (testării), poate sau nu să apară.

Evenimentele aleatoare sunt notate cu litere A, B, C… etc. Iată câteva exemple evenimente aleatorii:

DAR- pierderea unui vultur (stamă) la aruncarea unei monede standard;

LA- nașterea unei fete în această familie;

DIN– nașterea unui copil cu o greutate corporală prestabilită;

D- apariția unei boli epidemice într-o anumită regiune într-o anumită perioadă de timp etc.

Principala caracteristică cantitativă a unui eveniment aleatoriu este probabilitatea acestuia. Lăsa DAR vreun eveniment aleatoriu. Probabilitatea unui eveniment aleator A este o valoare matematică care determină posibilitatea apariției acestuia. Este desemnat R(DAR).

Luați în considerare două metode principale pentru a determina această valoare.

Definiția clasică a probabilității unui eveniment aleatoriu de obicei, pe baza rezultatelor analizei experimentelor (teste) speculative, a căror esență este determinată de starea sarcinii. În acest caz, probabilitatea unui eveniment aleatoriu P(A) este egal cu:

Unde m- numărul de cazuri favorabile producerii evenimentului DAR; n este numărul total de cazuri la fel de probabile.

Exemplul 1 Un șobolan de laborator este plasat într-un labirint în care doar una dintre cele patru căi posibile duce la o recompensă alimentară. Determinați probabilitatea ca șobolanul să aleagă o astfel de cale.

Soluţie: în funcție de starea problemei din patru cazuri la fel de posibile ( n=4) eveniment DAR(șobolanul găsește mâncare)
favorizează doar unul, adică m= 1 Atunci R(DAR) = R(șobolanul găsește hrană) = = 0,25 = 25%.

Exemplul 2. Într-o urnă sunt 20 de bile negre și 80 de bile albe. Din ea se extrage o minge la întâmplare. Determinați probabilitatea ca această minge să fie neagră.

Soluţie: numărul tuturor bilelor din urnă este numărul total de cazuri la fel de probabile n, adică n = 20 + 80 = 100, din care eveniment DAR(tragerea bilei negre) este posibilă doar la 20, adică. m= 20. Apoi R(DAR) = R(H.W.) = = 0,2 = 20%.

Enumerăm proprietățile probabilității urmând din definiția sa clasică - formula (1):

1. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este o mărime adimensională.

2. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este întotdeauna pozitivă și mai mică de unu, adică 0< P (A) < 1.

3. Probabilitatea unui anumit eveniment, adică un eveniment care se va întâmpla cu siguranță ca urmare a experienței ( m = n) este egal cu unu.

4. Probabilitatea unui eveniment imposibil ( m= 0) este egal cu zero.

5. Probabilitatea oricărui eveniment nu este negativă și nu depășește unul:
0 £ P (A) 1 GBP.

Determinarea statistică a probabilității unui eveniment aleatoriu folosit atunci când nu este posibilă utilizarea definiţiei clasice (1). Acesta este adesea cazul în biologie și medicină. În acest caz, probabilitatea R(DAR) se determină prin rezumarea rezultatelor unor serii de teste (experimente) efectuate efectiv.

Să introducem conceptul de frecvență relativă de apariție a unui eveniment aleatoriu. Să presupunem că o serie de N experiențe (număr N poate fi preselectat) eveniment care ne interesează DAR s-a întâmplat în M dintre ei ( M < N). Raportul dintre numărul de experimente M, în care s-a produs acest eveniment, la numărul total de experimente efectuate N se numește frecvența relativă de apariție a unui eveniment aleatoriu DARîn această serie de experimente R* (DAR)

R*(DAR) = .

S-a stabilit experimental că dacă se efectuează o serie de teste (experimente) în aceleasi conditii iar în fiecare dintre ele numărul N este suficient de mare, atunci frecvența relativă prezintă proprietatea de stabilitate : nu se schimba prea mult de la episod la episod. , apropiindu-se cu o creştere a numărului de experimente la o anumită valoare constantă . Este considerată probabilitatea statistică a unui eveniment aleatoriu DAR:

R(DAR)= lim , când N , (2)

Deci probabilitatea statistică R(DAR) eveniment aleatoriu DAR numiți limita la care tinde frecvența relativă de apariție a acestui eveniment cu o creștere nelimitată a numărului de încercări (pentru N → ∞).

Aproximativ, probabilitatea statistică a unui eveniment aleatoriu este egală cu frecvența relativă de apariție a acestui eveniment la numere mari teste:

R(DAR)≈ R*(DAR)= (pentru mare N) (3)

De exemplu, în experimentele privind aruncarea unei monede, frecvența relativă a căderii stemei la 12.000 de aruncări s-a dovedit a fi 0,5016, iar la 24.000 de aruncări - 0,5005. Conform formulei (1):

P(steamă) == 0,5 = 50%

Exemplu . La un examen medical a 500 de persoane, la 5 dintre acestea a fost găsită o tumoare la plămâni (o.l.). Determinați frecvența relativă și probabilitatea acestei boli.

Soluţie: după starea problemei M = 5, N= 500, frecvență relativă R*(o.l.) = M/N= 5/500 = 0,01; pentru că N este suficient de mare, se poate considera cu o bună acuratețe că probabilitatea unei tumori în plămâni este egală cu frecvența relativă a acestui eveniment:

R(o.l.) = R* (o.l.) \u003d 0,01 \u003d 1%.

Proprietățile probabilității unui eveniment aleatoriu enumerate mai sus sunt de asemenea păstrate pentru definiție statistică valoare dată.

1.3. Tipuri de evenimente aleatorii. Teoreme de bază ale teoriei probabilităților

Toate evenimentele aleatoare pot fi împărțite în:

¾ incompatibil;

¾ independent;

¾ dependent.

Fiecare tip de eveniment are propriile sale caracteristici și teoreme ale teoriei probabilităților.

1.3.1. Evenimente aleatoare incompatibile. Teorema adunării

Evenimente aleatoare (A, B, C,D…) sunt numite inconsecvente , dacă apariţia unuia dintre ele exclude apariţia altor evenimente în cadrul aceluiaşi proces.

Exemplul 1 . Monedă aruncată. Când cade, apariția unei „steme” exclude apariția unei „cozi” (o inscripție care determină prețul unei monede). Evenimentele „a căzut stema” și „cozile au căzut” sunt incompatibile.

Exemplul 2 . Obținerea de către un student la un examen a unei note „2”, sau „3”, sau „4” sau „5” sunt evenimente inconsecvente, deoarece una dintre aceste note o exclude pe cealaltă la același examen.

Pentru evenimente aleatoare incompatibile, teorema adunării: probabilitatea de apariţie unul, dar tot care, dintre mai multe evenimente incompatibile A1, A2, A3 ... Ak este egală cu suma probabilităților lor:

P(A1 sau A2... sau Ak) = Р(А1) + Р(А2) + …+ Р(Аk). (4)

Exemplul 3. Într-o urnă sunt 50 de bile: 20 albe, 20 negre și 10 roșii. Găsiți probabilitatea apariției albului (eveniment DAR) sau mingea roșie (eveniment LA) când o minge este extrasă la întâmplare din urnă.

Rezolvare: P(A sau B)= P(DAR)+ P(LA);

R(DAR) = 20/50 = 0,4;

R(LA) = 10/50 = 0,2;

R(DAR sau LA)= P(b. sh. sau k. sh.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

Exemplul 4 . În clasă sunt 40 de copii. Dintre aceștia, cu vârsta cuprinsă între 7 și 7,5 ani, 8 băieți ( DAR) și 10 fete ( LA). Găsiți probabilitatea ca în clasă să fie copii de această vârstă.

Rezolvare: P(DAR)= 8/40 = 0,2; R(LA) = 10/40 = 0,25.

P(A sau B) = 0,2 + 0,25 = 0,45 = 45%

Următorul concept important este grup complet de evenimente: mai multe evenimente incompatibile formează un grup complet de evenimente dacă fiecare încercare poate avea ca rezultat doar unul dintre evenimentele din acest grup și niciunul.

Exemplul 5 . Trăgătorul a tras în țintă. Unul dintre următoarele evenimente se va întâmpla cu siguranță: lovirea „zece”, „nouă”, „opt”, .., „unu” sau o ratare. Aceste 11 evenimente disjunse formează un grup complet.

Exemplul 6 . La examenul de la Universitate, un student poate primi una dintre următoarele patru note: 2, 3, 4 sau 5. Aceste patru evenimente non-comunite formează, de asemenea, un grup complet.

Dacă evenimentele incompatibile A1, A2... Ak formați un grup complet, atunci suma probabilităților acestor evenimente este întotdeauna egală cu unu:

R(A1)+ P(A2)+ … P(DARk) = 1, (5)

Această afirmație este adesea folosită în rezolvarea multor probleme aplicate.

Dacă două evenimente sunt unice și incompatibile, atunci ele sunt numite opuse și notate DARși . Astfel de evenimente alcătuiesc un grup complet, astfel încât suma probabilităților lor este întotdeauna egală cu unu:

R(DAR)+ P() = 1. (6)

Exemplul 7. Fie R(DAR) este probabilitatea unui rezultat letal într-o anumită boală; este cunoscut și egal cu 2%. Atunci probabilitatea unui rezultat de succes în această boală este de 98% ( R() = 1 – R(DAR) = 0,98), deoarece R(DAR) + R() = 1.

1.3.2. evenimente aleatoare independente. Teorema înmulțirii probabilităților

Evenimentele aleatoare sunt numite independente dacă apariția unuia dintre ele nu afectează probabilitatea de apariție a altor evenimente.

Exemplul 1 . Dacă există două sau mai multe urne cu bile colorate, atunci extragerea oricărei bile dintr-o urna nu afectează probabilitatea de a extrage alte bile din urnele rămase.

Pentru evenimente independente, teorema înmulțirii probabilităților: comun de probabilitate(simultan)apariția mai multor evenimente aleatoare independente este egală cu produsul probabilităților lor:

P(A1 și A2 și A3... și Ak) = P(A1) ∙P(A2) ∙…∙P(Ak). (7)

Apariția în comun (simultană) a evenimentelor înseamnă că evenimentele au loc și A1,și A2,și A3… și DARk .

Exemplul 2 . Sunt două urne. Una conține 2 bile negre și 8 albe, cealaltă conține 6 bile negre și 4 albe. Lasă evenimentul DAR- selectarea aleatorie a unei mingi albe din prima urna, LA- din a doua. Care este probabilitatea de a alege la întâmplare dintre aceste urne o minge albă, adică ce este R (DARși LA)?

Soluţie: probabilitatea de a extrage o minge albă din prima urna
R(DAR) = = 0,8 din secunda – R(LA) = = 0,4. Probabilitatea de a obține o minge albă din ambele urne în același timp este
R(DARși LA) = R(DAR)· R(LA) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Exemplul 3 O dietă cu conținut redus de iod provoacă mărirea tiroidei la 60% dintre animalele dintr-o populație mare. Pentru experiment sunt necesare 4 glande mărite. Găsiți probabilitatea ca 4 animale alese aleatoriu să aibă o glanda tiroidă mărită.

Soluţie: Eveniment aleatoriu DAR- o selecție aleatorie a unui animal cu o glanda tiroidă mărită. În funcție de starea problemei, probabilitatea acestui eveniment R(DAR) = 0,6 = 60%. Atunci probabilitatea apariției comune a patru evenimente independente - alegerea la întâmplare a 4 animale cu o glanda tiroidă mărită - va fi egală cu:

R(DAR 1 și DAR 2 și DAR 3 și DAR 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.

1.3.3. evenimente dependente. Teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente dependente

Evenimentele aleatoare A și B sunt numite dependente dacă apariția unuia dintre ele, de exemplu, A modifică probabilitatea de apariție a celuilalt eveniment - B. Prin urmare, două valori de probabilitate sunt utilizate pentru evenimente dependente: probabilități necondiționate și condiționate .

În cazul în care un DARși LA evenimente dependente, apoi probabilitatea producerii evenimentului LA primul (adică înainte de eveniment DAR) se numește necondiţionat probabilitate a acestui eveniment și este desemnat R(LA). Probabilitatea unui eveniment LA cu condiția ca evenimentul DAR sa întâmplat deja, se numește probabilitate condițională evoluții LAși notat R(LA/DAR) sau RA(LA).

Necondiționat - R(DAR) și condiționat - R(A/B) probabilități pentru eveniment DAR.

Teorema înmulțirii probabilităților pentru două evenimente dependente: probabilitatea apariției simultane a două evenimente dependente A și B este egală cu produsul probabilității necondiționate a primului eveniment cu probabilitatea condiționată a celui de-al doilea:

R(A și B)= P(DAR)∙P(B/A) , (8)

DAR, sau

R(A și B)= P(LA)∙P(A/B), (9)

dacă evenimentul are loc mai întâi LA.

Exemplul 1. Într-o urnă sunt 3 bile negre și 7 bile albe. Găsiți probabilitatea ca 2 bile albe să fie scoase una câte una din această urnă (și prima bilă să nu fie returnată în urnă).

Soluţie: probabilitatea de a extrage prima bilă albă (eveniment DAR) este egal cu 7/10. După ce este scos, în urnă rămân 9 bile, dintre care 6 sunt albe. Apoi probabilitatea apariției celei de-a doua bile albe (evenimentul LA) este egal cu R(LA/DAR) = 6/9, iar probabilitatea de a obține două bile albe la rând este

R(DARși LA) = R(DAR)∙R(LA/DAR) = = 0,47 = 47%.

Teorema de multiplicare a probabilității dată pentru evenimente dependente poate fi generalizată la orice număr de evenimente. În special, pentru trei evenimente legate între ele:

R(DARși LAși DIN)= P(DAR)∙ P(B/A)∙ P(TAXI). (10)

Exemplul 2. În două grădinițe, fiecare frecventată de 100 de copii, a avut loc un focar de boală infecțioasă. Proporția cazurilor este de 1/5, respectiv 1/4, iar în prima instituție 70%, iar în a doua - 60% din cazuri sunt copii sub 3 ani. Un copil este selectat aleatoriu. Determinați probabilitatea ca:

1) copilul selectat aparține primei grădinițe (eveniment DAR) și bolnav (eveniment LA).

2) un copil este selectat din al doilea grădiniţă(eveniment DIN), bolnav (eveniment D) și mai vechi de 3 ani (eveniment E).

Soluţie. 1) probabilitatea dorită -

R(DARși LA) = R(DAR) ∙ R(LA/DAR) = = 0,1 = 10%.

2) probabilitatea dorită:

R(DINși Dși E) = R(DIN) ∙ R(D/C) ∙ R(E/CD) = = 5%.

1.4. Formula Bayes

Dacă probabilitatea apariţiei comune a evenimentelor dependente DARși LA nu depinde de ordinea în care apar, deci R(DARși LA)= P(DAR)∙P(B/A)= P(LA) × R(A/B). În acest caz, probabilitatea condiționată a unuia dintre evenimente poate fi găsită cunoscând probabilitățile ambelor evenimente și probabilitatea condiționată a celui de-al doilea:

R(B/A) = (11)

Generalizarea acestei formule pentru cazul multor evenimente este formula Bayes.

Lăsa " n» evenimente aleatoare incompatibile H1, H2, …, Hn, formează un grup complet de evenimente. Probabilitățile acestor evenimente sunt R(H1), R(H2), …, R(Hn) sunt cunoscute și deoarece formează un grup complet, atunci = 1.

vreun eveniment aleatoriu DAR asociate cu evenimentele H1, H2, …, Hn, iar probabilitățile condiționate de apariție a evenimentului sunt cunoscute DAR cu fiecare eveniment Hi, adică cunoscut R(A/H1), R(A/H2), …, R(UNn). În acest caz, suma probabilităților condiționate R(UNi) poate să nu fie egal cu unu, adică ≠ 1.

Apoi probabilitatea condiționată de apariție a evenimentului Hi când evenimentul este implementat DAR(adică, cu condiția ca evenimentul DARîntâmplat) este determinată de formula Bayes :

Și pentru aceste probabilități condiționate .

Formula lui Bayes și-a găsit o largă aplicație nu numai în matematică, ci și în medicină. De exemplu, este folosit pentru a calcula probabilitățile anumitor boli. Astfel, dacă H 1,…, Hn- diagnostice estimate pentru acest pacient, DAR- un semn legat de acestea (un simptom, un anumit indicator al unui test de sânge, urină, un detaliu al unei radiografii etc.) și probabilitățile condiționate R(UNi) manifestări ale acestui simptom în fiecare diagnostic Hi (i = 1,2,3,…n) sunt cunoscute dinainte, atunci formula Bayes (12) ne permite să calculăm probabilitățile condiționate ale bolilor (diagnosticelor) R(Hi/DAR) după ce se constată că trăsătura caracteristică DAR prezente la pacient.

Exemplul 1. În timpul examinării inițiale a pacientului, se presupun 3 diagnostice H 1, H 2, H 3. Probabilitățile lor, potrivit medicului, sunt distribuite după cum urmează: R(H 1) = 0,5; R(H 2) = 0,17; R(H 3) = 0,33. Prin urmare, primul diagnostic pare provizoriu cel mai probabil. Pentru a o clarifica, de exemplu, este prescris un test de sânge, în care este de așteptat o creștere a VSH (eveniment DAR). Se știe dinainte (pe baza rezultatelor cercetării) că probabilitățile de creștere a VSH în bolile suspectate sunt egale cu:

R(DAR/H 1) = 0,1; R(DAR/H 2) = 0,2; R(DAR/H 3) = 0,9.

În analiza obținută s-a înregistrat o creștere a VSH (eveniment DAR s-a întâmplat). Apoi, calculul conform formulei Bayes (12) oferă valorile probabilităților presupuselor boli cu o valoare VSH crescută: R(H 1/DAR) = 0,13; R(H 2/DAR) = 0,09;
R(H 3/DAR) = 0,78. Aceste cifre arată că, luând în considerare datele de laborator, nu primul, ci al treilea diagnostic, a cărui probabilitate s-a dovedit acum destul de mare, este cel mai realist.

Exemplul de mai sus este cea mai simplă ilustrare a modului în care, folosind formula Bayes, se poate oficializa logica medicului atunci când se pune un diagnostic și, datorită acestuia, se poate crea metode de diagnosticare pe calculator.

Exemplul 2. Determinați probabilitatea care evaluează gradul de risc de deces perinatal* al unui copil la femeile cu bazin îngust anatomic.

Soluţie: lasa evenimentul H 1 - livrare în siguranță. Conform rapoartelor clinice, R(H 1) = 0,975 = 97,5%, atunci dacă H2- faptul mortalitatii perinatale, deci R(H 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Denota DAR- faptul prezenței unui bazin îngust la o femeie în travaliu. Din studiile efectuate se cunosc: a) R(DAR/H 1) - probabilitatea unui bazin îngust cu naștere favorabilă, R(DAR/H 1) = 0,029, b) R(DAR/H 2) - probabilitatea unui pelvis îngust în mortalitatea perinatală,
R(DAR/H 2) = 0,051. Apoi probabilitatea dorită de mortalitate perinatală într-un pelvis îngust la o femeie în travaliu este calculată prin formula Bays (12) și este egală cu:

Astfel, riscul de mortalitate perinatală în pelvisul îngust anatomic este semnificativ mai mare (aproape de două ori) decât riscul mediu (4,4% vs. 2,5%).

Astfel de calcule, efectuate de obicei cu ajutorul unui computer, stau la baza metodelor de formare a grupurilor de pacienți cu risc crescut asociat cu prezența unuia sau altui factor agravant.

Formula Bayes este foarte utilă pentru evaluarea multor alte situații biomedicale, care vor deveni evidente la rezolvarea sarcinilor date în manual.

1.5. Despre evenimente aleatoare cu probabilități apropiate de 0 sau 1

Când se rezolvă multe probleme practice, trebuie să se ocupe de evenimente a căror probabilitate este foarte mică, adică aproape de zero. Pe baza experienței cu astfel de evenimente, a fost adoptat următorul principiu. Dacă un eveniment aleatoriu are o probabilitate foarte mică, atunci în practică putem presupune că nu va avea loc într-o singură încercare, cu alte cuvinte, posibilitatea de apariție a acestuia poate fi neglijată. Răspunsul la întrebarea cât de mică ar trebui să fie această probabilitate este determinat de esența problemelor care se rezolvă, de cât de important este rezultatul predicției pentru noi. De exemplu, dacă probabilitatea ca o parașută să nu se deschidă în timpul unui salt este de 0,01, atunci utilizarea unor astfel de parașute este inacceptabilă. Totuși, aceeași probabilitate de 0,01 ca un tren de lungă distanță să ajungă târziu ne face aproape siguri că va ajunge la timp.

Se numește o probabilitate suficient de mică la care (într-o anumită problemă specifică) un eveniment poate fi considerat practic imposibil nivelul de semnificație.În practică, nivelul de semnificație este de obicei considerat 0,01 (nivel de semnificație de unu la sută) sau 0,05 (nivel de semnificație de cinci procente), mult mai rar este considerat a fi 0,001.

Introducerea unui nivel de semnificație ne permite să afirmăm că dacă un eveniment DAR practic imposibil, apoi evenimentul opus - practic de încredere, adică pentru el R() » 1.

CapitolII. VALORI ALEATORII

2.1. Variabile aleatoare, tipurile lor

În matematică, o cantitate este un nume general pentru diverse caracteristici cantitative obiecte și fenomene. Lungimea, suprafața, temperatura, presiunea etc. sunt exemple de cantități diferite.

O valoare care ia diverse valorile numerice sub influența unor circumstanțe aleatoare, se numește variabilă aleatoare. Exemple de variabile aleatorii: numărul de pacienți la cabinetul medicului; dimensiunile exacte ale organelor interne ale oamenilor etc.

Distingeți între variabile aleatoare discrete și continue .

O variabilă aleatoare se numește discretă dacă ia doar anumite valori separate una de cealaltă, care pot fi setate și enumerate.

Exemple de variabile aleatoare discrete sunt:

- numărul de elevi din audiență - poate fi doar un număr întreg număr pozitiv: 0,1,2,3,4….. 20…..;

- numărul care apare pe fața de sus când este aruncat zaruri– poate lua numai valori întregi de la 1 la 6;

- frecvența relativă de lovire a țintei cu 10 lovituri - valorile acesteia: 0; 0,1; 0,2; 0,3...1

- numărul de evenimente care au loc în aceleași intervale de timp: frecvența pulsului, numărul de apeluri la ambulanță pe oră, numărul de operații pe lună cu rezultat fatal etc.

O variabilă aleatoare se numește continuă dacă poate lua orice valoare într-un anumit interval, care uneori are granițe bine definite, iar uneori nu.*. Variabilele aleatoare continue includ, de exemplu, greutatea corporală și înălțimea adulților, greutatea corporală și volumul creierului, conținutul cantitativ de enzime la oamenii sănătoși, dimensiunea celulelor sanguine, R H sânge, etc.

concept variabilă aleatorie joacă un rol decisiv în teoria modernă probabilități, care au dezvoltat tehnici speciale pentru trecerea de la evenimente aleatoare la variabile aleatoare.

Dacă o variabilă aleatoare depinde de timp, atunci putem vorbi despre un proces aleatoriu.

2.2. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete

Pentru a oferi o descriere completă a unei variabile aleatoare discrete, este necesar să se indice toate valorile posibile ale acesteia și probabilitățile acestora.

Corespondența dintre valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete și probabilitățile acestora se numește legea distribuției acestei variabile.

Notați valorile posibile ale variabilei aleatoare X prin Xi, și probabilitățile corespunzătoare prin Ri *. Atunci legea distribuției unei variabile aleatoare discrete poate fi specificată în trei moduri: sub forma unui tabel, grafic sau formulă.

Într-un tabel numit aproape de distribuție, sunt enumerate toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete Xşi probabilităţile corespunzătoare acestor valori R(X):

X

…..

…..

P(X)

…..

…..

În acest caz, suma tuturor probabilităților Ri trebuie să fie egal cu unu (condiție de normalizare):

Ri = p1 + p2 + ... + pn = 1. (13)

Grafic legea este reprezentată printr-o linie întreruptă, care se numește de obicei poligon de distribuție (Fig. 1). Aici, de-a lungul axei orizontale, sunt reprezentate grafic toate valorile posibile ale variabilei aleatoare Xi, , iar pe axa verticală – probabilitățile corespunzătoare Ri

Analitic legea se exprimă printr-o formulă. De exemplu, dacă probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este R, apoi probabilitatea de a lovi ținta de 1 dată la n lovituri este dată de formula R(n) = n qn-1 × p, Unde q= 1 - p- probabilitatea unei rateuri cu o singură lovitură.

2.3. Legea distribuției unei variabile aleatoare continue. Probabilitate densitate

Pentru variabile aleatoare continue, este imposibil să se aplice legea distribuției în formele prezentate mai sus, deoarece o astfel de variabilă are un set nenumărabil („nenumărabil”) de valori posibile care umple complet un anumit interval. Prin urmare, este imposibil să faci un tabel în care să fie enumerate toate valorile posibile sau să construiești un poligon de distribuție. În plus, probabilitatea unei anumite valori este foarte mică (aproape de 0)*. În același timp, diferite zone (intervale) ale valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue nu sunt la fel de probabile. Astfel, și în acest caz operează o anumită lege a distribuției, deși nu în primul sens.

Luați în considerare o variabilă aleatoare continuă X, ale căror posibile valori umplu complet un anumit interval (A, b)**. Legea distribuției probabilității a unei astfel de valori ar trebui să ne permită să găsim probabilitatea ca valoarea ei să se încadreze în orice interval dat ( x1, x2) întins înăuntru ( A,b), Fig.2.

Această probabilitate este R(x1< Х < х2 ), sau
R(x1£ X£ x2).

Luați în considerare mai întâi un interval foarte mic de valori X- de la X inainte de ( x +DX); vezi fig.2. probabilitate redusă dR că variabila aleatoare X va lua o anumită valoare din interval ( x, x +DX), va fi proporțională cu valoarea acestui interval DX:dR~ DX, sau prin introducerea factorului de proporționalitate f, de care poate depinde în sine X, primim:

dP =f(X) × D x =f(X) × dx (14)

Funcția introdusă aici f(X) se numește probabilitate densitate variabilă aleatorie X, sau, pe scurt, probabilitate densitate, densitatea distributiei. Ecuația (13) este o ecuație diferențială, a cărei soluție dă probabilitatea de a atinge valoarea Xîn interval ( x1,x2):

R(x1<X<x2) = f(X) dX. (15)

Probabilitate grafică R(x1<X<x2) este egală cu aria trapezului curbiliniu delimitată de axa absciselor, curba f(X) și direct X = x1 și X = x2(Fig. 3). Aceasta rezultă din sensul geometric al integralei definite (15) Curba f(X) se numește curba de distribuție.

Din (15) rezultă că dacă funcţia f(X), apoi, prin modificarea limitelor de integrare, putem găsi probabilitatea pentru orice intervale de interes pentru noi. Prin urmare, este sarcina funcției f(X) determină complet legea distribuției pentru variabile aleatoare continue.

Pentru densitatea de probabilitate f(X) condiția de normalizare trebuie îndeplinită sub forma:

f(X) dx = 1, (16)

dacă se ştie că toate valorile X se află în interval ( A,b), sau sub forma:

f(X) dx = 1, (17)

dacă limitele intervalului pentru valori X exact nedefinit. Condițiile pentru normalizarea densității de probabilitate (16) sau (17) sunt o consecință a faptului că valorile variabilei aleatoare X se află în mod fiabil în ( A,b) sau (-¥, +¥). Din (16) și (17) rezultă că aria figurii delimitată de curba de distribuție și de axa x este întotdeauna egală cu 1 .

2.4. Caracteristicile numerice de bază ale variabilelor aleatoare

Rezultatele prezentate în secțiunile 2.2 și 2.3 arată că o caracterizare completă a variabilelor aleatoare discrete și continue poate fi obținută prin cunoașterea legilor distribuției lor. Cu toate acestea, în multe situații practic semnificative, se folosesc așa-numitele caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare, scopul principal al acestor caracteristici fiind de a exprima într-o formă comprimată cele mai semnificative trăsături ale distribuției variabilelor aleatoare. Este important ca acești parametri să fie valori specifice (constante) care pot fi estimate folosind datele obținute în experimente. Aceste estimări sunt gestionate de Statistica Descriptivă.

În teoria probabilității și statistica matematică, sunt folosite destul de multe caracteristici diferite, dar le vom lua în considerare doar pe cele mai utilizate. Și doar pentru unii dintre ei vom da formulele prin care se calculează valorile lor, în alte cazuri vom lăsa calculele pe seama computerului.

Considera caracteristicile poziției - așteptare matematică, mod, mediană.

Ele caracterizează poziția unei variabile aleatoare pe axa numerelor , adică indică o valoare aproximativă în jurul căreia sunt grupate toate valorile posibile ale variabilei aleatoare. Dintre acestea, așteptarea matematică joacă cel mai important rol. M(X).

Ce este o probabilitate?

În fața acestui termen pentru prima dată, nu aș înțelege ce este. Așa că voi încerca să explic într-un mod ușor de înțeles.

Probabilitatea este șansa ca evenimentul dorit să se producă.

De exemplu, ați decis să vizitați un prieten, să vă amintiți intrarea și chiar podeaua pe care locuiește. Dar am uitat numărul și locația apartamentului. Și acum stai pe casa scării, iar în fața ta sunt ușile din care poți alege.

Care este șansa (probabilitatea) ca, dacă suni la prima sonerie, prietenul tău să ți-o deschidă? Întregul apartament și un prieten locuiește doar în spatele unuia dintre ei. Cu șanse egale, putem alege orice ușă.

Dar care este această șansă?

Uși, ușa potrivită. Probabilitatea de a ghici prin sunetul primei uși: . Adică, o dată din trei vei ghici cu siguranță.

Vrem să știm, sunând o dată, cât de des vom ghici ușa? Să ne uităm la toate opțiunile:

1. ai sunat la 1 Uşă
2. ai sunat la al 2-lea Uşă
3. ai sunat la al 3-lea Uşă

Și acum luați în considerare toate opțiunile în care poate fi un prieten:

A. Pe 1 uşă
b. Pe al 2-lea uşă
în. Pe al 3-lea uşă

Să comparăm toate opțiunile sub forma unui tabel. O bifă indică opțiunile atunci când alegerea dvs. se potrivește cu locația unui prieten, o cruce - când nu se potrivește.

Cum vezi totul Poate Opțiuni locația prietenului și alegerea ta asupra ușii să sune.

DAR rezultate favorabile tuturor . Adică veți ghici orele de la sunând o dată la ușă, adică. .

Aceasta este probabilitatea - raportul dintre un rezultat favorabil (când alegerea ta a coincis cu locația unui prieten) și numărul de evenimente posibile.

Definiția este formula. Probabilitatea se notează de obicei p, deci:

Nu este foarte convenabil să scrieți o astfel de formulă, așa că să luăm pentru - numărul de rezultate favorabile și pentru - numărul total de rezultate.

Probabilitatea poate fi scrisă ca procent, pentru aceasta trebuie să înmulțiți rezultatul rezultat cu:

Probabil, cuvântul „rezultate” ți-a atras atenția. Deoarece matematicienii numesc diverse acțiuni (pentru noi, o astfel de acțiune este o sonerie) experimente, se obișnuiește să numim rezultatul unor astfel de experimente un rezultat.

Ei bine, rezultatele sunt favorabile și nefavorabile.

Să revenim la exemplul nostru. Să presupunem că am sunat la una dintre uși, dar ne-a deschis un străin. Nu am ghicit. Care este probabilitatea ca, dacă sună la una dintre ușile rămase, prietenul nostru să ne deschidă?

Dacă ai crezut asta, atunci aceasta este o greșeală. Să ne dăm seama.

Mai avem două uși. Deci avem pași posibili:

1) Sunați la 1 Uşă
2) Sună al 2-lea Uşă

Un prieten, cu toate acestea, este cu siguranță în spatele unuia dintre ei (la urma urmei, el nu era în spatele celui pe care l-am sunat):

a) un prieten 1 uşă
b) un prieten pentru al 2-lea uşă

Să desenăm din nou tabelul:

După cum puteți vedea, există toate opțiunile, dintre care - favorabile. Adică, probabilitatea este egală.

De ce nu?

Situația pe care am luat-o în considerare este exemplu de evenimente dependente. Primul eveniment este prima sonerie, al doilea eveniment este a doua sonerie.

Și se numesc dependenți pentru că afectează următoarele acțiuni. La urma urmei, dacă un prieten ar deschide ușa după primul sunet, care ar fi probabilitatea ca el să fie în spatele unuia dintre ceilalți doi? Corect, .

Dar dacă există evenimente dependente, atunci trebuie să existe independent? Adevărat, există.

Un exemplu de manual este aruncarea unei monede.

1. Aruncăm o monedă. Care este probabilitatea ca, de exemplu, să apară capete? Așa este - pentru că opțiunile pentru orice (fie capete sau cozi, vom neglija probabilitatea ca o monedă să stea pe margine), dar ni se potrivește doar nouă.
2. Dar cozile au căzut. Bine, hai să o facem din nou. Care este probabilitatea să apară acum? Nimic nu s-a schimbat, totul este la fel. Câte opțiuni? Două. De cât de mult suntem mulțumiți? Unu.

Și lăsați cozile să cadă de cel puțin o mie de ori la rând. Probabilitatea de a cădea capete dintr-o dată va fi aceeași. Există întotdeauna opțiuni, dar favorabile.

Distingerea evenimentelor dependente de evenimentele independente este ușoară:

1. Dacă experimentul este efectuat o dată (odată ce o monedă este aruncată, soneria sună o dată etc.), atunci evenimentele sunt întotdeauna independente.
2. Dacă experimentul este efectuat de mai multe ori (o monedă este aruncată o dată, soneria sună de mai multe ori), atunci primul eveniment este întotdeauna independent. Și apoi, dacă numărul de rezultate favorabile sau numărul tuturor rezultatelor se schimbă, atunci evenimentele sunt dependente, iar dacă nu, sunt independente.

Să exersăm puțin pentru a determina probabilitatea.

Exemplul 1

Moneda este aruncată de două ori. Care este probabilitatea de a primi heads-up de două ori la rând?

Soluţie:

Luați în considerare toate opțiunile posibile:

1. vultur vultur
2. vultur cozi
3. cozi-vultur
4. Cozi-cozi

După cum puteți vedea, toate opțiunile. Dintre acestea, doar noi suntem mulțumiți. Aceasta este probabilitatea:

Dacă condiția cere pur și simplu găsirea probabilității, atunci răspunsul trebuie dat ca fracție zecimală. Dacă s-ar indica că răspunsul trebuie dat ca procent, atunci am înmulți cu.

Răspuns:

Exemplul 2

Într-o cutie de ciocolată, toate bomboanele sunt ambalate în același ambalaj. Totuși, din dulciuri - cu nuci, coniac, cireșe, caramel și nuga.

Care este probabilitatea de a lua o bomboană și de a obține o bomboană cu nuci. Dați răspunsul dvs. în procente.

Soluţie:

Câte rezultate posibile există? .

Adică, luând o bomboană, va fi una dintre cele din cutie.

Și câte rezultate favorabile?

Pentru că cutia conține doar ciocolată cu nuci.

Răspuns:

Exemplul 3

Într-o cutie de bile. dintre care sunt albe și negre.

1. Care este probabilitatea de a extrage o minge albă?
2. Am adăugat mai multe bile negre în cutie. Care este probabilitatea de a extrage o minge albă acum?

Soluţie:

a) În cutie sunt doar bile. dintre care sunt albe.

Probabilitatea este:

b) Acum sunt bile în cutie. Și au mai rămas la fel de mulți albi.

Răspuns:

Probabilitate deplină

Probabilitatea tuturor evenimentelor posibile este ().

De exemplu, într-o cutie de bile roșii și verzi. Care este probabilitatea de a extrage o minge roșie? Minge verde? Minge rosie sau verde?

Probabilitatea de a extrage o minge roșie

Minge verde:

Minge roșie sau verde:

După cum puteți vedea, suma tuturor evenimentelor posibile este egală cu (). Înțelegerea acestui punct vă va ajuta să rezolvați multe probleme.

Exemplul 4

În cutie sunt pixuri: verde, roșu, albastru, galben, negru.

Care este probabilitatea de a trage NU un marcator roșu?

Soluţie:

Să numărăm numărul rezultate favorabile.

NU un marker roșu, adică verde, albastru, galben sau negru.

Probabilitatea tuturor evenimentelor. Iar probabilitatea unor evenimente pe care le considerăm nefavorabile (când scoatem un pix roșu) este de .

Astfel, probabilitatea de a desena NU un pix roșu este -.

Răspuns:

Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente

Știți deja ce sunt evenimentele independente.

Și dacă trebuie să găsiți probabilitatea ca două (sau mai multe) evenimente independente să aibă loc la rând?

Să presupunem că vrem să știm care este probabilitatea ca, aruncând o monedă o dată, să vedem un vultur de două ori?

Am luat în considerare deja - .

Dacă aruncăm o monedă? Care este probabilitatea de a vedea un vultur de două ori la rând?

Total opțiuni posibile:

1. Vultur-vultur-vultur
2. Cozi-cap-vultur
3. Cap-cozi-vultur
4. Cap-cozi-cozi
5. cozi-vultur-vultur
6. Cozi-capete-cozi
7. Cozi-cozi-capete
8. Cozi-cozi-cozi

Nu știu despre tine, dar am greșit această listă o dată. Wow! Și singura variantă (prima) ni se potrivește.

Pentru 5 role, puteți face singur o listă cu posibilele rezultate. Dar matematicienii nu sunt la fel de harnici ca tine.

Prin urmare, ei au observat mai întâi și apoi au demonstrat că probabilitatea unei anumite secvențe de evenimente independente scade de fiecare dată cu probabilitatea unui eveniment.

Cu alte cuvinte,

Luați în considerare exemplul aceleiași, nefericite monede.

Probabilitatea de a veni cap într-un proces? . Acum aruncăm o monedă.

Care este probabilitatea de a obține cozi la rând?

Această regulă nu funcționează numai dacă ni se cere să găsim probabilitatea ca același eveniment să se producă de mai multe ori la rând.

Dacă am vrea să găsim secvența TAILS-EAGLE-TAILS pe ​​flipuri consecutive, am face același lucru.

Probabilitatea de a obține cozi - , capete - .

Probabilitatea de a obține secvența TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS:

Puteți verifica singur făcând un tabel.

Regula de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile.

Așa că oprește-te! Definiție nouă.

Să ne dăm seama. Să luăm moneda noastră uzată și să o întoarcem o dată.
Opțiuni posibile:

1. Vultur-vultur-vultur
2. Cozi-cap-vultur
3. Cap-cozi-vultur
4. Cap-cozi-cozi
5. cozi-vultur-vultur
6. Cozi-capete-cozi
7. Cozi-cozi-capete
8. Cozi-cozi-cozi

Deci aici sunt evenimente incompatibile, aceasta este o anumită secvență dată de evenimente. sunt evenimente incompatibile.

Dacă vrem să stabilim care este probabilitatea a două (sau mai multe) evenimente incompatibile, atunci adăugăm probabilitățile acestor evenimente.

Trebuie să înțelegeți că pierderea unui vultur sau a cozilor este două evenimente independente.

Dacă vrem să determinăm care este probabilitatea ca o secvență) (sau oricare alta) să cadă, atunci folosim regula înmulțirii probabilităților.
Care este probabilitatea de a obține cap la prima aruncare și cozi la a doua și a treia?

Dar dacă vrem să știm care este probabilitatea de a obține una dintre mai multe secvențe, de exemplu, când capetele apar exact o dată, i.e. opțiuni și, atunci trebuie să adăugăm probabilitățile acestor secvențe.

Opțiunile totale ni se potrivesc.

Putem obține același lucru prin adunarea probabilităților de apariție a fiecărei secvențe:

Astfel, adăugăm probabilități atunci când dorim să determinăm probabilitatea unor secvențe de evenimente incompatibile.

Există o regulă grozavă care vă ajută să nu vă încurcați când să înmulțiți și când să adăugați:

Să ne întoarcem la exemplul în care am aruncat o monedă de ori și vrem să știm probabilitatea de a vedea capete o dată.
Ce se va întâmpla?

Ar trebui să scadă:
(capete ŞI cozi ŞI cozi) SAU (cozi ŞI capete ŞI cozi) SAU (cozi ŞI cozi ŞI capete).
Și așa rezultă:

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 5

În cutie sunt creioane. roșu, verde, portocaliu și galben și negru. Care este probabilitatea de a desena creioane roșii sau verzi?

Soluţie:

Ce se va întâmpla? Trebuie să scoatem (roșu SAU verde).

Acum este clar, adunăm probabilitățile acestor evenimente:

Răspuns:

Exemplul 6

Un zar este aruncat de două ori, care este probabilitatea ca un total de 8 să apară?

Soluţie.

Cum putem obține puncte?

(și) sau (și) sau (și) sau (și) sau (și).

Probabilitatea de a cădea dintr-o (orice) față este de .

Calculăm probabilitatea:

Răspuns:

A face exerciţii fizice.

Cred că acum v-a devenit clar când trebuie să numărați probabilitățile, când să le adăugați și când să le înmulțiți. Nu-i asa? Hai să facem niște exerciții.

Sarcini:

Să luăm un pachet de cărți în care cărțile sunt pică, inimi, 13 bâte și 13 tamburine. De la Asul fiecarui costum.

1. Care este probabilitatea de a extrage crose la rând (punem prima carte extrasă înapoi în pachet și amestecăm)?
2. Care este probabilitatea de a extrage o carte neagră (piccă sau bâte)?
3. Care este probabilitatea de a face o imagine (joc, regină, rege sau as)?
4. Care este probabilitatea de a extrage două imagini la rând (înlăturăm prima carte extrasă din pachet)?
5. Care este probabilitatea, luând două cărți, de a colecta o combinație - (Jack, Queen sau King) și As. Secvența în care vor fi extrase cărțile nu contează.

Raspunsuri:

1. Într-un pachet de cărți de fiecare valoare, înseamnă:
2. Evenimentele sunt dependente, deoarece după prima carte extrasă, numărul de cărți din pachet a scăzut (la fel și numărul de „imagini”). Total de valeți, dame, regi și ași în pachet inițial, ceea ce înseamnă probabilitatea de a extrage „imaginea” cu prima carte:

   Deoarece scoatem prima carte din pachet, înseamnă că a mai rămas deja o carte în pachet, din care sunt imagini. Probabilitatea de a desena o imagine cu a doua carte:

   Deoarece suntem interesați de situația când ajungem de pe punte: „imagine” ȘI „imagine”, atunci trebuie să înmulțim probabilitățile:

   Răspuns:

3. După ce prima carte este extrasă, numărul de cărți din pachet va scădea, astfel avem două opțiuni:
   1) Cu prima carte scoatem As, a doua - vale, dama sau rege
   2) Cu prima carte scoatem un vale, dama sau rege, a doua - un as. (as și (jack sau regina sau rege)) sau ((jack sau regina sau rege) și as). Nu uita de reducerea numărului de cărți din pachet!

Dacă ai reușit să rezolvi singur toate problemele, atunci ești un om grozav! Acum, sarcinile pe teoria probabilității în examen veți face clic ca nuci!

TEORIA PROBABILITĂȚII. NIVEL MEDIU

Luați în considerare un exemplu. Să zicem că aruncăm un zar. Ce fel de os este acesta, știi? Acesta este numele unui cub cu numere pe fețe. Câte fețe, atâtea numere: de la la câte? Inainte de.

Așa că aruncăm un zar și vrem să vină cu un sau. Și cădem.

În teoria probabilității ei spun ce s-a întâmplat eveniment favorabil(a nu se confunda cu bine).

Dacă ar cădea, evenimentul ar fi, de asemenea, de bun augur. În total, pot apărea doar două evenimente favorabile.

Câte rele? Deoarece toate evenimentele posibile, atunci cele nefavorabile dintre ele sunt evenimente (acest lucru este dacă cade sau).

Definiție:

Probabilitatea este raportul dintre numărul de evenimente favorabile și numărul tuturor evenimentelor posibile.. Adică, probabilitatea arată ce proporție dintre toate evenimentele posibile sunt favorabile.

Ele denotă probabilitatea cu o literă latină (aparent, din cuvântul englezesc probabilitate - probabilitate).

Se obișnuiește să se măsoare probabilitatea ca procent (vezi subiectele și). Pentru a face acest lucru, valoarea probabilității trebuie înmulțită cu. În exemplul cu zaruri, probabilitatea.

Și în procente: .

Exemple (decideți singur):

1. Care este probabilitatea ca aruncarea unei monede să cadă pe capete? Și care este probabilitatea unei cozi?
2. Care este probabilitatea ca un număr par să apară atunci când este aruncat un zar? Și cu ce - ciudat?
3. Într-un sertar de creioane simple, albastre și roșii. Desenăm la întâmplare un creion. Care este probabilitatea de a scoate unul simplu?

Solutii:

1. Câte opțiuni există? Capete și cozi - doar două. Și câte dintre ele sunt favorabile? Doar unul este un vultur. Deci probabilitatea

   La fel cu cozile: .

2. Opțiuni totale: (câte laturi are un cub, atât de multe opțiuni diferite). Cele favorabile: (acestea sunt toate numere pare :).
   Probabilitate. Cu ciudat, desigur, același lucru.
3. Total: . Favorabil: . Probabilitate: .

Probabilitate deplină

Toate creioanele din sertar sunt verzi. Care este probabilitatea de a desena un creion roșu? Nu există șanse: probabilitate (la urma urmei, evenimente favorabile -).

Un astfel de eveniment se numește imposibil.

Care este probabilitatea de a desena un creion verde? Există exact la fel de multe evenimente favorabile câte evenimente totale (toate evenimentele sunt favorabile). Deci probabilitatea este sau.

Un astfel de eveniment se numește cert.

Dacă în cutie sunt creioane verzi și roșii, care este probabilitatea de a desena unul verde sau unul roșu? Încă o dată. Rețineți următorul lucru: probabilitatea de a trage verde este egală, iar roșu este .

În concluzie, aceste probabilități sunt exact egale. Acesta este, suma probabilităților tuturor evenimentelor posibile este egală cu sau.

Exemplu:

Într-o cutie de creioane, printre ele sunt albastru, roșu, verde, simplu, galben, iar restul sunt portocalii. Care este probabilitatea de a nu trage verde?

Soluţie:

Amintiți-vă că toate probabilitățile se adună. Și probabilitatea de a trage verde este egală. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a nu trage verde este egală.

Amintiți-vă acest truc: Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Evenimente independente și regula înmulțirii

Arunci o monedă de două ori și vrei să iasă capul de ambele ori. Care este probabilitatea asta?

Să trecem prin toate opțiunile posibile și să stabilim câte sunt:

Vultur-Vultur, Cozi-Vultur, Cozi-vultur, Cozi-Cozi. Ce altceva?

Toată varianta. Dintre acestea, doar unul ni se potrivește: Vulturul-Vultur. Deci, probabilitatea este egală.

Bun. Acum hai să aruncăm o monedă. Numără-te. S-a întâmplat? (Răspuns).

Poate ați observat că, odată cu adăugarea fiecărei aruncări următoare, probabilitatea scade cu un factor. Regula generală se numește regula înmulțirii:

Probabilitățile de evenimente independente se modifică.

Ce sunt evenimentele independente? Totul este logic: acestea sunt cele care nu depind unul de celălalt. De exemplu, când aruncăm o monedă de mai multe ori, de fiecare dată când se face o nouă aruncare, rezultatul căruia nu depinde de toate aruncările anterioare. Cu același succes, putem arunca două monede diferite în același timp.

Mai multe exemple:

1. Un zar este aruncat de două ori. Care este probabilitatea ca acesta să apară de ambele ori?
2. O monedă este aruncată de ori. Care este probabilitatea de a primi cap mai întâi și apoi cozi de două ori?
3. Jucătorul aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca suma numerelor de pe ele să fie egală?

Raspunsuri:

1. Evenimentele sunt independente, ceea ce înseamnă că regula înmulțirii funcționează: .
2. Probabilitatea unui vultur este egală. Probabilitatea de cozi de asemenea. Înmulțim:
3. 12 poate fi obținut numai dacă cad două -ki: .

Evenimente incompatibile și regula adunării

Evenimentele incompatibile sunt evenimente care se completează unul pe altul la probabilitate deplină. După cum sugerează și numele, acestea nu pot avea loc în același timp. De exemplu, dacă aruncăm o monedă, fie capete, fie cozi pot cădea.

Exemplu.

Într-o cutie de creioane, printre ele sunt albastru, roșu, verde, simplu, galben, iar restul sunt portocalii. Care este probabilitatea de a trage verde sau roșu?

Soluție.

Probabilitatea de a desena un creion verde este egală. Roșu - .

Evenimente de bun augur pentru toate: verde + roșu. Deci probabilitatea de a desena verde sau roșu este egală.

Aceeași probabilitate poate fi reprezentată sub următoarea formă: .

Aceasta este regula de adunare: se adună probabilitățile de evenimente incompatibile.

Sarcini mixte

Exemplu.

Moneda este aruncată de două ori. Care este probabilitatea ca rezultatul aruncărilor să fie diferit?

Soluție.

Aceasta înseamnă că, dacă capetele apar pe primul loc, cozile ar trebui să fie pe locul doi și invers. Se pare că aici există două perechi de evenimente independente, iar aceste perechi sunt incompatibile între ele. Cum să nu fii confuz cu privire la unde să înmulți și unde să adaugi.

Există o regulă simplă pentru astfel de situații. Încercați să descrie ce ar trebui să se întâmple conectând evenimentele cu sindicatele „ȘI” sau „SAU”. De exemplu, în acest caz:

Trebuie să se rostogolească (capete și cozi) sau (cozi și capete).

Acolo unde există o uniune „și”, va exista înmulțire, iar unde „sau” este adunare:

Incearca-l tu insuti:

1. Care este probabilitatea ca două aruncări de monede să apară de două ori cu aceeași față?
2. Un zar este aruncat de două ori. Care este probabilitatea ca suma să scadă puncte?

Solutii:

1. (Capul sus și capul sus) sau (cozile sus și coada sus): .
2. Care sunt optiunile? și. Apoi:
   Rulate (și) sau (și) sau (și): .

Alt exemplu:

Aruncăm o monedă o dată. Care este probabilitatea ca capetele să apară măcar o dată?

Soluţie:

Oh, cum nu vreau să triez opțiunile... Cap-cozi-cozi, vultur-capete-cozi, ... Dar nu trebuie! Să vorbim despre probabilitatea completă. Amintit? Care este probabilitatea ca vulturul nu va scădea niciodată? Este simplu: cozile zboară tot timpul, adică.

TEORIA PROBABILITĂȚII. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Probabilitatea este raportul dintre numărul de evenimente favorabile și numărul tuturor evenimentelor posibile.

Evenimente independente

Două evenimente sunt independente dacă apariția unuia nu modifică probabilitatea ca celălalt să se producă.

Probabilitate deplină

Probabilitatea tuturor evenimentelor posibile este ().

Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente

Probabilitatea unei anumite secvențe de evenimente independente este egală cu produsul probabilităților fiecăruia dintre evenimente.

Evenimente incompatibile

Evenimentele incompatibile sunt acele evenimente care nu pot avea loc simultan ca urmare a unui experiment. O serie de evenimente incompatibile formează un grup complet de evenimente.

Probabilitățile de evenimente incompatibile se adună.

După ce am descris ce ar trebui să se întâmple, folosind uniunile „ȘI” sau „SAU”, în loc de „ȘI” punem semnul înmulțirii, iar în loc de „SAU” - adunarea.

Deveniți student la YouClever,

Pregătiți-vă pentru OGE sau USE în matematică,

Și, de asemenea, obțineți acces nelimitat la tutorialul YouClever...

Probabilitate evenimentul este raportul dintre numărul de rezultate elementare care favorizează un anumit eveniment și numărul tuturor rezultatelor la fel de posibile ale experienței în care poate apărea acest eveniment. Probabilitatea unui eveniment A se notează cu P(A) (aici P este prima literă a cuvântului francez probabilite - probabilitate). Conform definiţiei
(1.2.1)
unde este numărul de rezultate elementare care favorizează evenimentul A; - numărul tuturor rezultatelor elementare la fel de posibile ale experienței, formând un grup complet de evenimente.
Această definiție a probabilității se numește clasică. A apărut în stadiul inițial al dezvoltării teoriei probabilităților.

Probabilitatea unui eveniment are următoarele proprietăți:
1. Probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu. Să desemnăm un anumit eveniment prin litera . Pentru un anumit eveniment, deci
(1.2.2)
2. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero. Notăm evenimentul imposibil prin litera . Pentru un eveniment imposibil, deci
(1.2.3)
3. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este exprimată ca un număr pozitiv mai mic decât unu. Deoarece inegalitățile , sau sunt satisfăcute pentru un eveniment aleatoriu, atunci
(1.2.4)
4. Probabilitatea oricărui eveniment satisface inegalitățile
(1.2.5)
Aceasta rezultă din relațiile (1.2.2) -(1.2.4).

Exemplul 1 O urnă conține 10 bile de aceeași dimensiune și greutate, dintre care 4 roșii și 6 albastre. Din urnă se extrage o minge. Care este probabilitatea ca mingea extrasă să fie albastră?

Soluţie. Evenimentul „bila extrasă s-a dovedit a fi albastră” va fi notat cu litera A. Această încercare are 10 rezultate elementare la fel de posibile, dintre care 6 favorizează evenimentul A. În conformitate cu formula (1.2.1), obținem

Exemplul 2 Toate numerele naturale de la 1 la 30 sunt scrise pe carduri identice și plasate într-o urnă. După amestecarea temeinică a cărților, o carte este scoasă din urnă. Care este probabilitatea ca numărul de pe cardul extras să fie multiplu de 5?

Soluţie. Notați cu A evenimentul „numărul de pe cardul luat este un multiplu de 5”. În acest test, există 30 de rezultate elementare la fel de posibile, dintre care 6 rezultate favorizează evenimentul A (numerele 5, 10, 15, 20, 25, 30). Prin urmare,

Exemplul 3 Se aruncă două zaruri, se calculează suma punctelor de pe fețele superioare. Aflați probabilitatea evenimentului B, constând în faptul că fețele superioare ale cuburilor vor avea în total 9 puncte.

Soluţie. Există 6 2 = 36 de rezultate elementare la fel de posibile în acest studiu. Evenimentul B este favorizat de 4 rezultate: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), deci

Exemplul 4. Se alege la întâmplare un număr natural care nu depășește 10. Care este probabilitatea ca acest număr să fie prim?

Soluţie. Notați cu litera C evenimentul „numărul ales este prim”. În acest caz, n = 10, m = 4 (primuri 2, 3, 5, 7). Prin urmare, probabilitatea dorită

Exemplul 5 Sunt aruncate două monede simetrice. Care este probabilitatea ca ambele monede să aibă cifre pe fețele de sus?

Soluţie. Să notăm cu litera D evenimentul „a fost un număr pe partea de sus a fiecărei monede”. Există 4 rezultate elementare la fel de posibile în acest test: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Notația (G, C) înseamnă că pe prima monedă există o stemă, pe a doua - un număr). Evenimentul D este favorizat de un rezultat elementar (C, C). Deoarece m = 1, n = 4, atunci

Exemplul 6 Care este probabilitatea ca cifrele dintr-un număr de două cifre alese aleatoriu să fie aceleași?

Soluţie. Numerele din două cifre sunt numere de la 10 la 99; există în total 90 de astfel de numere.9 numere au aceleași cifre (acestea sunt numerele 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Deoarece în acest caz m = 9, n = 90, atunci
,
unde A este evenimentul „număr cu aceleași cifre”.

Exemplul 7 Din literele cuvântului diferenţial o literă este aleasă la întâmplare. Care este probabilitatea ca această literă să fie: a) o vocală b) o consoană c) o literă h?

Soluţie. Există 12 litere în cuvântul diferențial, dintre care 5 sunt vocale și 7 sunt consoane. Scrisori h acest cuvânt nu. Să notăm evenimentele: A - „vocală”, B - „consoană”, C - „litera h„. Numărul de rezultate elementare favorabile: - pentru evenimentul A, - pentru evenimentul B, - pentru evenimentul C. Deoarece n \u003d 12, atunci
, și .

Exemplul 8 Se aruncă două zaruri, se notează numărul de puncte de pe fața de sus a fiecărui zar. Aflați probabilitatea ca ambele zaruri să aibă același număr de puncte.

Soluţie. Să notăm acest eveniment cu litera A. Evenimentul A este favorizat de 6 rezultate elementare: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). În total, există rezultate elementare la fel de posibile care formează un grup complet de evenimente, în acest caz n=6 2 =36. Deci probabilitatea dorită

Exemplul 9 Cartea are 300 de pagini. Care este probabilitatea ca o pagină deschisă aleatoriu să aibă un număr de secvență care este multiplu de 5?

Soluţie. Din condițiile problemei rezultă că vor exista n = 300 dintre toate rezultatele elementare la fel de posibile care formează un grup complet de evenimente, dintre care m = 60 favorizează apariția evenimentului specificat. Într-adevăr, un număr care este un multiplu al lui 5 are forma 5k, unde k este un număr natural și , de unde . Prin urmare,
, unde A - evenimentul „pagină” are un număr de secvență care este multiplu de 5”.

Exemplul 10. Se aruncă două zaruri, se calculează suma punctelor de pe fețele superioare. Ce este mai probabil să obțină un total de 7 sau 8?

Soluţie. Să desemnăm evenimentele: A – „7 puncte au căzut”, B – „8 puncte au căzut”. Evenimentul A este favorizat de 6 rezultate elementare: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) și evenimentul B - de 5 rezultate: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Există n = 6 2 = 36 dintre toate rezultatele elementare la fel de posibile. Prin urmare, și .

Deci, P(A)>P(B), adică obținerea unui total de 7 puncte este un eveniment mai probabil decât obținerea unui total de 8 puncte.

Sarcini

1. Se alege la întâmplare un număr natural care nu depășește 30. Care este probabilitatea ca acest număr să fie multiplu de 3?
2. În urnă A roşu şi b bile albastre de aceeași dimensiune și greutate. Care este probabilitatea ca o minge extrasă aleatoriu din această urnă să fie albastră?
3. Se alege la întâmplare un număr care nu depășește 30. Care este probabilitatea ca acest număr să fie divizor al lui zo?
4. În urnă A albastru și b bile roșii de aceeași dimensiune și greutate. Din această urnă se extrage o minge și se pune deoparte. Această minge este roșie. Apoi se extrage o altă minge din urnă. Găsiți probabilitatea ca a doua bilă să fie și roșie.
5. Se alege la întâmplare un număr natural care nu depășește 50. Care este probabilitatea ca acest număr să fie prim?
6. Se aruncă trei zaruri, se calculează suma punctelor de pe fețele superioare. Ce este mai probabil să obțineți un total de 9 sau 10 puncte?
7. Se aruncă trei zaruri, se calculează suma punctelor aruncate. Ce este mai probabil să obțină un total de 11 (evenimentul A) sau 12 puncte (evenimentul B)?

Răspunsuri

1. 1/3. 2 . b/(A+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(A+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - probabilitatea de a obține 9 puncte în total; p 2 \u003d 27/216 - probabilitatea de a obține 10 puncte în total; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Întrebări

1. Ce se numește probabilitatea unui eveniment?
2. Care este probabilitatea unui anumit eveniment?
3. Care este probabilitatea unui eveniment imposibil?
4. Care sunt limitele probabilității unui eveniment aleatoriu?
5. Care sunt limitele probabilității oricărui eveniment?
6. Ce definiție a probabilității se numește clasică?

Este puțin probabil ca mulți oameni să se gândească dacă este posibil să se calculeze evenimente care sunt mai mult sau mai puțin aleatorii. În termeni simpli, este realist să știm care parte a zarului va cădea următoarea? Aceasta a fost întrebarea pe care și-au pus-o doi mari oameni de știință, care au pus bazele unei astfel de științe precum teoria probabilității, în care probabilitatea unui eveniment este studiată destul de amplu.

Origine

Dacă încercați să definiți un astfel de concept ca teoria probabilității, obțineți următoarele: aceasta este una dintre ramurile matematicii care studiază constanța evenimentelor aleatoare. Desigur, acest concept nu dezvăluie cu adevărat întreaga esență, așa că este necesar să îl luăm în considerare mai detaliat.

Aș vrea să încep cu creatorii teoriei. După cum am menționat mai sus, au fost doi dintre ei și ei au fost printre primii care au încercat să calculeze rezultatul unui eveniment folosind formule și calcule matematice. În general, începuturile acestei științe au apărut în Evul Mediu. La acea vreme, diverși gânditori și oameni de știință au încercat să analizeze jocurile de noroc, cum ar fi ruleta, zarurile și așa mai departe, stabilind astfel un model și un procent al unui anumit număr de cădere. Fundația a fost pusă în secolul al XVII-lea de oamenii de știință menționați mai sus.

La început, munca lor nu putea fi pusă pe seama marilor realizări în acest domeniu, deoarece tot ceea ce au făcut au fost pur și simplu fapte empirice, iar experimentele au fost făcute vizual, fără a folosi formule. De-a lungul timpului, s-a dovedit a obține rezultate grozave, care au apărut ca urmare a observării aruncării zarurilor. Acesta a fost instrumentul care a ajutat la derivarea primelor formule inteligibile.

Oameni cu aceeasi gandire

Este imposibil să nu menționăm o astfel de persoană precum Christian Huygens, în procesul de studiu a unui subiect numit „teoria probabilității” (probabilitatea unui eveniment este acoperită tocmai în această știință). Această persoană este foarte interesantă. El, la fel ca oamenii de știință prezentați mai sus, a încercat să obțină regularitatea evenimentelor aleatoare sub formă de formule matematice. Este de remarcat că nu a făcut acest lucru împreună cu Pascal și Fermat, adică toate lucrările sale nu s-au intersectat în niciun fel cu aceste minți. A scos Huygens

Un fapt interesant este că munca sa a apărut cu mult înainte de rezultatele muncii descoperitorilor, sau mai degrabă, cu douăzeci de ani mai devreme. Dintre conceptele desemnate, cele mai cunoscute sunt:

• conceptul de probabilitate ca mărime a hazardului;
• așteptări matematice pentru cazuri discrete;
• teoreme ale înmulțirii și adunării probabilităților.

De asemenea, este imposibil să nu ne amintim cine a avut și o contribuție semnificativă la studiul problemei. Făcându-și propriile teste, independent de oricine, a reușit să prezinte o dovadă a legii numerelor mari. La rândul lor, oamenii de știință Poisson și Laplace, care au lucrat la începutul secolului al XIX-lea, au reușit să demonstreze teoremele originale. Din acest moment, teoria probabilității a început să fie folosită pentru a analiza erorile în cursul observațiilor. Nici oamenii de știință ruși, sau mai degrabă Markov, Cebyshev și Dyapunov, nu au putut ocoli această știință. Pe baza muncii făcute de marile genii, ei au fixat acest subiect ca ramură a matematicii. Aceste figuri au funcționat deja la sfârșitul secolului al XIX-lea și, datorită contribuției lor, fenomene precum:

• legea numerelor mari;
• teoria lanțurilor Markov;
• teorema limitei centrale.

Deci, cu istoria nașterii științei și cu principalii oameni care au influențat-o, totul este mai mult sau mai puțin clar. Acum este timpul să concretizăm toate faptele.

Noțiuni de bază

Înainte de a atinge legi și teoreme, merită să studiezi conceptele de bază ale teoriei probabilităților. Evenimentul are rolul principal în el. Acest subiect este destul de voluminos, dar fără el nu va fi posibil să înțelegeți totul.

Un eveniment în teoria probabilității este orice set de rezultate ale unui experiment. Nu există atât de multe concepte ale acestui fenomen. Așadar, omul de știință Lotman, care lucrează în acest domeniu, a spus că în acest caz vorbim despre ceea ce „s-a întâmplat, deși s-ar putea să nu se fi întâmplat”.

Evenimentele aleatoare (teoria probabilității le acordă o atenție deosebită) este un concept care implică absolut orice fenomen care are capacitatea de a se produce. Sau, dimpotrivă, acest scenariu poate să nu se întâmple atunci când sunt îndeplinite multe condiții. De asemenea, merită să știți că evenimentele aleatoare sunt cele care surprind întregul volum de fenomene care au avut loc. Teoria probabilității indică faptul că toate condițiile pot fi repetate în mod constant. Conduita lor a fost numită „experiment” sau „test”.

Un anumit eveniment este unul care va avea loc 100% într-un anumit test. Prin urmare, un eveniment imposibil este unul care nu se va întâmpla.

Combinația unei perechi de acțiuni (condiționat cazul A și cazul B) este un fenomen care are loc simultan. Ele sunt desemnate ca AB.

Suma perechilor de evenimente A și B este C, cu alte cuvinte, dacă se întâmplă cel puțin unul dintre ele (A sau B), atunci se va obține C. Formula fenomenului descris este scrisă după cum urmează: C \u003d A + B.

Evenimentele disjunctive în teoria probabilității implică faptul că cele două cazuri se exclud reciproc. Ele nu se pot întâmpla niciodată în același timp. Evenimentele comune în teoria probabilității sunt antipodul lor. Aceasta înseamnă că dacă A s-a întâmplat, atunci nu îl împiedică în niciun fel pe B.

Evenimentele opuse (teoria probabilității le tratează în detaliu) sunt ușor de înțeles. Cel mai bine este să le faceți față în comparație. Sunt aproape la fel ca evenimentele incompatibile din teoria probabilității. Dar diferența lor constă în faptul că unul dintre multele fenomene, în orice caz, trebuie să se producă.

Evenimente la fel de probabile sunt acele acțiuni, a căror posibilitate de repetare este egală. Pentru a fi mai clar, ne putem imagina aruncarea unei monede: pierderea uneia dintre fețele sale este la fel de probabil să cadă din cealaltă.

Un eveniment favorabil este mai ușor de văzut cu un exemplu. Să presupunem că există episodul B și episodul A. Primul este aruncarea zarului cu apariția unui număr impar, iar al doilea este apariția numărului cinci pe zar. Apoi se dovedește că A îl favorizează pe B.

Evenimentele independente din teoria probabilității sunt proiectate doar pe două sau mai multe cazuri și implică independența oricărei acțiuni față de alta. De exemplu, A - scăpa cozi când aruncă o monedă și B - obține un jack de pe punte. Sunt evenimente independente în teoria probabilității. În acest moment, a devenit mai clar.

Evenimentele dependente în teoria probabilităților sunt, de asemenea, admisibile numai pentru mulțimea lor. Ele implică dependența unuia de celălalt, adică fenomenul B poate apărea numai dacă A s-a întâmplat deja sau, dimpotrivă, nu s-a întâmplat atunci când aceasta este condiția principală pentru B.

Rezultatul unui experiment aleatoriu constând dintr-o componentă este evenimente elementare. Teoria probabilității explică că acesta este un fenomen care s-a întâmplat o singură dată.

Formule de bază

Deci, conceptele de „eveniment”, „teoria probabilității” au fost luate în considerare mai sus, a fost dată și definiția termenilor principali ai acestei științe. Acum este timpul să faceți cunoștință directă cu formulele importante. Aceste expresii confirmă matematic toate conceptele principale dintr-un subiect atât de dificil precum teoria probabilității. Probabilitatea unui eveniment joacă și aici un rol important.

Este mai bine să începeți cu cele principale și înainte de a trece la ele, merită să luați în considerare ce este.

Combinatoria este în primul rând o ramură a matematicii, se ocupă de studiul unui număr mare de numere întregi, precum și de diverse permutări atât ale numerelor în sine, cât și ale elementelor lor, diferite date etc., ducând la apariția unui număr de combinații. Pe lângă teoria probabilității, această ramură este importantă pentru statistică, informatică și criptografie.

Deci, acum puteți trece la prezentarea formulelor în sine și definirea lor.

Prima dintre acestea va fi o expresie pentru numărul de permutări, arată astfel:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Ecuația se aplică numai dacă elementele diferă doar în ordinea lor.

Acum va fi luată în considerare formula de plasare, arată astfel:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Această expresie este aplicabilă nu numai ordinii elementului, ci și compoziției acestuia.

A treia ecuație din combinatorică, și este și ultima, se numește formula pentru numărul de combinații:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

O combinație se numește selecție care nu este ordonată, respectiv, iar această regulă se aplică acestora.

S-a dovedit a fi ușor de dat seama de formulele combinatoriei, acum putem trece la definiția clasică a probabilităților. Această expresie arată astfel:

În această formulă, m este numărul de condiții favorabile evenimentului A și n este numărul absolut al tuturor rezultatelor la fel de posibile și elementare.

Există un număr mare de expresii, articolul nu le va acoperi pe toate, dar vor fi atinse cele mai importante dintre ele, cum ar fi, de exemplu, probabilitatea sumei evenimentelor:

P(A + B) = P(A) + P(B) - această teoremă este pentru a adăuga doar evenimente incompatibile;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - și acesta este pentru adăugarea doar a celor compatibile.

Probabilitatea producerii evenimentelor:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - această teoremă este pentru evenimente independente;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - iar acesta este pentru persoanele aflate în întreținere.

Formula de eveniment va încheia lista. Teoria probabilității ne spune despre teorema lui Bayes, care arată astfel:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

În această formulă, H 1 , H 2 , …, H n este grupul complet de ipoteze.

Exemple

Dacă studiezi cu atenție orice ramură a matematicii, aceasta nu este completă fără exerciții și soluții mostre. La fel este și teoria probabilității: evenimentele, exemplele de aici sunt o componentă integrală care confirmă calculele științifice.

Formula pentru numărul de permutări

Să presupunem că există treizeci de cărți într-un pachet de cărți, începând cu valoarea nominală unu. Urmatoarea intrebare. Câte moduri există de a stivui pachetul astfel încât cărțile cu valoarea nominală de unu și doi să nu fie una lângă alta?

Sarcina este stabilită, acum să trecem la rezolvarea ei. Mai întâi trebuie să determinați numărul de permutări a treizeci de elemente, pentru aceasta luăm formula de mai sus, rezultă că P_30 = 30!.

Pe baza acestei reguli, vom afla câte opțiuni există pentru a plia pachetul în moduri diferite, dar trebuie să scădem din ele pe acelea în care urmează prima și a doua carte. Pentru a face acest lucru, să începem cu opțiunea când primul este deasupra celui de-al doilea. Se pare că prima carte poate ocupa douăzeci și nouă de locuri - de la prima la a douăzeci și nouă, iar a doua carte de la a doua la a treizecea, rezultă doar douăzeci și nouă de locuri pentru o pereche de cărți. La rândul său, restul poate ocupa douăzeci și opt de locuri și în orice ordine. Adică, pentru o permutare de douăzeci și opt de cărți, există douăzeci și opt de opțiuni P_28 = 28!

Ca urmare, reiese că dacă luăm în considerare soluția când prima carte este deasupra celei de-a doua, există 29 ⋅ 28 de posibilități suplimentare! = 29!

Folosind aceeași metodă, trebuie să calculați numărul de opțiuni redundante pentru cazul în care primul card este sub al doilea. De asemenea, se dovedește 29 ⋅ 28! = 29!

Din aceasta rezultă că există 2 ⋅ 29! opțiuni suplimentare, în timp ce există 30 de moduri necesare pentru a construi pachetul! - 2 ⋅ 29!. Rămâne doar să numărăm.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Acum trebuie să înmulțiți toate numerele de la unu la douăzeci și nouă între ele, iar apoi, la sfârșit, să înmulțiți totul cu 28. Răspunsul este 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Exemplu de soluție. Formula pentru numărul de plasare

În această problemă, trebuie să aflați câte moduri există de a pune cincisprezece volume pe un raft, dar cu condiția ca în total să fie treizeci de volume.

În această problemă, soluția este puțin mai simplă decât în ​​cea anterioară. Folosind formula deja cunoscută, este necesar să se calculeze numărul total de aranjamente din treizeci de volume de cincisprezece.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 7270 3

Răspunsul, respectiv, va fi egal cu 202.843.204.931.727.360.000.

Acum să luăm sarcina un pic mai dificilă. Trebuie să aflați câte moduri există de a aranja treizeci de cărți pe două rafturi, cu condiția ca doar cincisprezece volume să poată fi pe un raft.

Înainte de a începe soluția, aș dori să clarific că unele probleme sunt rezolvate în mai multe moduri, așa că există două moduri în aceasta, dar aceeași formulă este folosită în ambele.

În această problemă, puteți lua răspunsul din cea anterioară, pentru că acolo am calculat de câte ori puteți umple un raft cu cincisprezece cărți în moduri diferite. S-a dovedit A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Calculăm al doilea raft după formula de permutare, deoarece în el sunt plasate cincisprezece cărți, în timp ce rămân doar cincisprezece. Folosim formula P_15 = 15!.

Se pare că în total vor exista moduri A_30^15 ⋅ P_15, dar, în plus, produsul tuturor numerelor de la treizeci la șaisprezece va trebui înmulțit cu produsul numerelor de la unu la cincisprezece, ca urmare, se va obține produsul tuturor numerelor de la unu la treizeci, adică răspunsul este egal cu 30!

Dar această problemă poate fi rezolvată într-un mod diferit - mai ușor. Pentru a face acest lucru, vă puteți imagina că există un raft pentru treizeci de cărți. Toate sunt plasate pe acest plan, dar din moment ce condiția cere să existe două rafturi, tăiem unul lung în jumătate, rezultă două câte cincisprezece fiecare. Din aceasta rezultă că opțiunile de plasare pot fi P_30 = 30!.

Exemplu de soluție. Formula pentru numărul combinației

Acum vom lua în considerare o variantă a celei de-a treia probleme din combinatorică. Trebuie să aflați câte moduri există de a aranja cincisprezece cărți, cu condiția să alegeți dintre treizeci de cărți absolut identice.

Pentru soluție, desigur, se va aplica formula pentru numărul de combinații. Din condiție devine clar că ordinea celor cincisprezece cărți identice nu este importantă. Prin urmare, inițial trebuie să aflați numărul total de combinații de treizeci de cărți de cincisprezece.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : cincisprezece ! = 155 117 520

Asta e tot. Folosind această formulă, în cel mai scurt timp posibil s-a putut rezolva o astfel de problemă, respectiv răspunsul este 155 117 520.

Exemplu de soluție. Definiția clasică a probabilității

Folosind formula de mai sus, puteți găsi răspunsul într-o problemă simplă. Dar vă va ajuta să vedeți vizual și să urmăriți cursul acțiunilor.

Problema este dată de faptul că în urnă sunt zece bile absolut identice. Dintre acestea, patru sunt galbene și șase albastre. Se ia o minge din urna. Trebuie să aflați probabilitatea de a obține albastru.

Pentru a rezolva problema, este necesar să desemnăm obținerea bilei albastre ca eveniment A. Această experiență poate avea zece rezultate, care, la rândul lor, sunt elementare și la fel de probabile. În același timp, șase din zece sunt favorabile pentru evenimentul A. Rezolvăm folosind formula:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Aplicând această formulă, am aflat că probabilitatea de a obține o minge albastră este de 0,6.

Exemplu de soluție. Probabilitatea sumei evenimentelor

Acum va fi prezentată o variantă, care se rezolvă folosind formula pentru probabilitatea sumei evenimentelor. Așadar, în condițiile în care există două cutii, prima conține o bile gri și cinci albe, iar a doua conține opt bile gri și patru albe. Drept urmare, una dintre ele a fost luată din prima și a doua casetă. Este necesar să aflați care este șansa ca bilele scoase să fie gri și albe.

Pentru a rezolva această problemă, este necesar să se desemneze evenimente.

• Deci, A - ia o minge gri din prima casetă: P(A) = 1/6.
• A '- au luat o minge albă tot din prima casetă: P (A ") \u003d 5/6.
• B - o minge gri a fost scoasă deja din a doua casetă: P(B) = 2/3.
• B' - au luat o minge cenușie din a doua casetă: P(B") = 1/3.

După starea problemei, este necesar ca unul dintre fenomene să se producă: AB 'sau A'B. Folosind formula, obținem: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Acum a fost folosită formula de înmulțire a probabilității. În continuare, pentru a afla răspunsul, trebuie să aplicați ecuația pentru adăugarea lor:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Deci, folosind formula, puteți rezolva probleme similare.

Rezultat

Articolul a oferit informații despre tema „Teoria probabilității”, în care probabilitatea unui eveniment joacă un rol crucial. Desigur, nu s-a luat în considerare totul, dar, pe baza textului prezentat, teoretic se poate face cunoștință cu această secțiune a matematicii. Știința în cauză poate fi utilă nu numai în munca profesională, ci și în viața de zi cu zi. Cu ajutorul lui, puteți calcula orice posibilitate a oricărui eveniment.

Textul a atins, de asemenea, date semnificative din istoria formării teoriei probabilității ca știință și numele oamenilor ale căror lucrări au fost investite în ea. Acesta este modul în care curiozitatea umană a dus la faptul că oamenii au învățat să calculeze chiar și evenimente aleatorii. Cândva erau doar interesați de asta, dar astăzi toată lumea știe deja despre asta. Și nimeni nu va spune ce ne așteaptă în viitor, ce alte descoperiri strălucitoare legate de teoria luată în considerare se vor face. Dar un lucru este sigur - cercetarea nu sta pe loc!

În economie, precum și în alte domenii ale activității umane sau în natură, trebuie să ne confruntăm constant cu evenimente care nu pot fi prezise cu exactitate. Astfel, volumul vânzărilor de mărfuri depinde de cerere, care poate varia semnificativ, și de o serie de alți factori care sunt aproape imposibil de luat în considerare. Prin urmare, în organizarea producției și vânzărilor, trebuie să preziceți rezultatul unor astfel de activități, fie pe baza propriei experiențe anterioare, fie pe experiența similară a altor oameni, fie pe intuiție, care se bazează, de asemenea, în mare parte pe date experimentale.

Pentru a evalua cumva evenimentul luat în considerare este necesar să se țină cont sau să se organizeze special condițiile în care este înregistrat acest eveniment.

Se apelează la implementarea anumitor condiții sau acțiuni pentru identificarea evenimentului în cauză experienţă sau experiment.

Evenimentul este numit Aleatoriu dacă, ca urmare a experimentului, acesta poate să apară sau nu.

Evenimentul este numit de încredere, dacă apare neapărat ca urmare a acestei experiențe, și imposibil dacă nu poate apărea în această experienţă.

De exemplu, ninsoarea la Moscova pe 30 noiembrie este un eveniment întâmplător. Răsăritul zilnic poate fi considerat un anumit eveniment. Ninsorile de la ecuator pot fi văzute ca un eveniment imposibil.

Una dintre principalele probleme în teoria probabilității este problema determinării unei măsuri cantitative a posibilității ca un eveniment să se producă.

Algebra evenimentelor

Evenimentele sunt numite incompatibile dacă nu pot fi observate împreună în aceeași experiență. Astfel, prezența a două și trei mașini într-un magazin de vânzare în același timp sunt două evenimente incompatibile.

sumă evenimente este un eveniment constând în producerea a cel puțin unuia dintre aceste evenimente

Un exemplu de sumă de evenimente este prezența a cel puțin unul dintre cele două produse într-un magazin.

muncă evenimente se numește eveniment constând în producerea simultană a tuturor acestor evenimente

Un eveniment constând în apariția a două mărfuri în același timp în magazin este un produs al unor evenimente: - apariția unui produs, - apariția unui alt produs.

Evenimentele formează un grup complet de evenimente dacă cel puțin unul dintre ele are loc în mod necesar în experiență.

Exemplu. Portul are două dane pentru nave. Pot fi avute în vedere trei evenimente: - absența navelor la dane, - prezența unei nave la una dintre dane, - prezența a două nave la două dane. Aceste trei evenimente formează un grup complet de evenimente.

Opus sunt numite două evenimente posibile unice care formează un grup complet.

Dacă unul dintre evenimentele opuse este notat cu , atunci evenimentul opus este de obicei notat cu .

Definiții clasice și statistice ale probabilității unui eveniment

Fiecare dintre rezultatele testelor (experimente) la fel de posibile se numește rezultat elementar. Ele sunt de obicei notate cu litere. De exemplu, se aruncă un zar. Pot exista șase rezultate elementare în funcție de numărul de puncte de pe părți.

Din rezultatele elementare, puteți compune un eveniment mai complex. Deci, evenimentul unui număr par de puncte este determinat de trei rezultate: 2, 4, 6.

O măsură cantitativă a posibilității de apariție a evenimentului luat în considerare este probabilitatea.

Două definiții ale probabilității unui eveniment sunt cele mai utilizate pe scară largă: clasicși statistic.

Definiția clasică a probabilității este legată de noțiunea de rezultat favorabil.

Exodul se numește favorabil acest eveniment, dacă producerea lui implică producerea acestui eveniment.

În exemplul dat, evenimentul luat în considerare este un număr par de puncte pe marginea căzută, are trei rezultate favorabile. În acest caz, generalul
numărul de rezultate posibile. Deci, aici puteți folosi definiția clasică a probabilității unui eveniment.

Definiție clasică este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate posibile

unde este probabilitatea evenimentului, este numărul de rezultate favorabile pentru eveniment, este numărul total de rezultate posibile.

În exemplul considerat

Definiția statistică a probabilității este asociată cu conceptul de frecvență relativă de apariție a unui eveniment în experimente.

Frecvența relativă de apariție a unui eveniment este calculată prin formula

unde este numărul de apariție a unui eveniment într-o serie de experimente (teste).

Definiție statistică. Probabilitatea unui eveniment este numărul relativ la care frecvența relativă este stabilizată (stabilită) cu o creștere nelimitată a numărului de experimente.

În problemele practice, frecvența relativă pentru un număr suficient de mare de încercări este luată ca probabilitate a unui eveniment.

Din aceste definiții ale probabilității unui eveniment, se poate observa că inegalitatea este întotdeauna valabilă

Pentru a determina probabilitatea unui eveniment pe baza formulei (1.1), formulele combinatorice sunt adesea folosite pentru a găsi numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate posibile.