Webinar despre cum să înțelegeți teoria probabilității și cum să începeți să utilizați statisticile în afaceri. Știind să lucrezi cu astfel de informații, îți poți face propria afacere.
Iată un exemplu de problemă pe care o vei rezolva fără să stai pe gânduri. În mai 2015, Rusia a lansat nava spațială Progress și a pierdut controlul asupra acesteia. Acest morman de metal, sub influența gravitației Pământului, ar fi trebuit să se prăbușească pe planeta noastră.
Atenție, întrebarea este: care a fost probabilitatea ca Progresul să fi căzut pe uscat, și nu în ocean și dacă ar fi trebuit să ne îngrijorăm.
Răspunsul este foarte simplu - șansele de a cădea pe uscat erau de 3 la 7.
Numele meu este Alexander Skakunov, nu sunt om de știință sau profesor. M-am întrebat doar de ce avem nevoie de teoria probabilității și de statistică, de ce le-am luat la universitate? Prin urmare, într-un an am citit peste douăzeci de cărți pe această temă - de la Lebăda Neagră la Plăcerea lui X. Mi-am angajat chiar și 2 tutori.
În acest webinar, vă voi împărtăși descoperirile mele. De exemplu, veți afla cum statisticile au contribuit la crearea unui miracol economic în Japonia și cum se reflectă acest lucru în scenariul filmului Înapoi în viitor.
Acum am să-ți arăt ceva magie stradală. Nu știu câți dintre voi se vor înscrie la acest webinar, dar doar 45% vor apărea.
Va fi interesant. Inscrie-te!
3 etape de înțelegere a teoriei probabilității
Există 3 etape prin care trece oricine care se familiarizează cu teoria probabilității.
Etapa 1. „Voi câștiga la cazinou!”. Omul crede că poate prezice rezultatul unor evenimente întâmplătoare.
Etapa 2. „Nu voi câștiga niciodată la cazinou!..” Persoana este dezamăgită și crede că nimic nu poate fi prezis.
Și etapa 3. „Hai să încercăm în afara cazinoului!”. O persoană înțelege că în haosul aparent al lumii șanselor se poate găsi tipare care îi permit să navigheze bine în lumea din jur.
Sarcina noastră este doar să ajungem la etapa 3, astfel încât să înveți cum să aplici prevederile de bază ale teoriei probabilității și statisticii în beneficiul tău și al afacerii tale.
Deci, veți afla răspunsul la întrebarea „de ce este necesară teoria probabilității” în acest webinar.
Matematica este regina tuturor științelor, deseori puse la încercare de tineri. Am înaintat teza „Matematica este inutilă”. Și respingem exemplul uneia dintre cele mai interesante teorii misterioase și interesante. Cum teoria probabilității ajută în viață, salvează lumea, ce tehnologii și realizări se bazează pe aceste formule aparent intangibile și departe de viață și calcule complexe.
Istoria teoriei probabilităților
Teoria probabilității- o ramură a matematicii care studiază evenimentele aleatoare și, desigur, probabilitatea acestora. Acest gen de matematică nu s-a născut deloc în birouri gri plictisitoare, ci... săli de jocuri de noroc. Primele abordări pentru a evalua probabilitatea unui eveniment au fost populare încă din Evul Mediu printre „hamlers” din acea vreme. Totuși, atunci au avut doar un studiu empiric (adică o evaluare în practică, prin metoda experimentului). Este imposibil să atribui autoritatea teoriei probabilității unei anumite persoane, deoarece mulți oameni celebri au lucrat la ea, fiecare dintre ei și-a investit partea sa.
Primii dintre acești oameni au fost Pascal și Fermat. Ei au studiat teoria probabilității pe statistica zarurilor. Ea a descoperit primele regularități. H. Huygens a făcut o lucrare similară cu 20 de ani mai devreme, dar teoremele nu au fost formulate exact. O contribuție importantă la teoria probabilității au avut-o Jacob Bernoulli, Laplace, Poisson și mulți alții.
Pierre Fermat
Teoria probabilității în viață
Vă voi surprinde: cu toții, într-o măsură sau alta, folosim teoria probabilității, bazată pe o analiză a evenimentelor care au avut loc în viața noastră. Știm că decesul dintr-un accident de mașină este mai probabil decât din cauza unui fulger, pentru că primul, din păcate, se întâmplă foarte des. Într-un fel sau altul, acordăm atenție probabilității lucrurilor pentru a ne prezice comportamentul. Dar iată o insultă, din păcate, nu întotdeauna o persoană poate determina cu exactitate probabilitatea anumitor evenimente.
De exemplu, fără să cunoască statisticile, majoritatea oamenilor tind să creadă că șansa de a muri într-un accident de avion este mai mare decât într-un accident de mașină. Acum știm, după ce am studiat faptele (de care, cred, mulți au auzit), că nu este deloc așa. Cert este că „ochiul” nostru vital eșuează uneori, pentru că transportul aerian pare mult mai groaznic oamenilor care sunt obișnuiți să meargă ferm pe pământ. Și majoritatea oamenilor nu folosesc des acest mod de transport. Chiar dacă putem estima corect probabilitatea unui eveniment, cel mai probabil este extrem de inexact, ceea ce nu ar avea sens, să zicem, în ingineria spațială, unde milionimile decid foarte multe. Și când avem nevoie de precizie, la cine ne adresam? Desigur, la matematică.
Există multe exemple de utilizare reală a teoriei probabilităților în viață. Pe ea se bazează aproape întreaga economie modernă. Atunci când lansează pe piață un anumit produs, un antreprenor competent va ține cont cu siguranță de riscuri, precum și de probabilitatea de a cumpăra într-o anumită piață, țară etc. Practic, nu vă imaginați viața fără teoria brokerilor de probabilitate de pe piețele mondiale. Prezicerea ratei banilor (în care cu siguranță nu te poți lipsi de teoria probabilității) pe opțiunile monetare sau celebra piață Forex face posibil să câștigi bani serioși pe această teorie.
Teoria probabilității este importantă la începutul aproape oricărei activități, precum și reglementarea acesteia. Datorită evaluării șanselor unei anumite defecțiuni (de exemplu, o navă spațială), știm ce eforturi trebuie să facem, ce anume să verificăm, la ce să ne așteptăm în general la mii de kilometri de Pământ. Posibilitatea unui atac terorist în metrou, a unei crize economice sau a unui război nuclear - toate acestea pot fi exprimate în procente. Și cel mai important, luați contra-acțiuni adecvate pe baza datelor primite.
Am avut norocul să ajung la conferința științifică matematică a orașului meu, unde una dintre lucrările câștigătoare a vorbit despre semnificația practică teoria probabilității în viață. Probabil, ca tuturor oamenilor, nu vă place să stați la coadă mult timp. Această lucrare a dovedit modul în care procesul de cumpărare poate fi accelerat dacă folosim teoria probabilității numărării persoanelor în coadă și reglementarea activităților (deschiderea casetelor de marcat, creșterea vânzătorilor etc.). Din păcate, acum majoritatea rețelelor mari ignoră acest fapt și se bazează doar pe propriile calcule vizuale.
Orice activitate din orice domeniu poate fi analizată folosind statistici, calculată folosind teoria probabilității și îmbunătățită semnificativ.
„Alatorizarea nu este întâmplătoare”... Sună ca a spus un filozof, dar de fapt, studiul accidentelor este destinul marii științe a matematicii. În matematică, șansa este teoria probabilității. Formule și exemple de sarcini, precum și principalele definiții ale acestei științe vor fi prezentate în articol.
Ce este teoria probabilității?
Teoria probabilității este una dintre disciplinele matematice care studiază evenimentele aleatoare.
Pentru a fi puțin mai clar, să dăm un mic exemplu: dacă arunci o monedă în sus, poate cădea capul sau coada. Atâta timp cât moneda este în aer, ambele posibilități sunt posibile. Adică, probabilitatea unor posibile consecințe corelează 1:1. Dacă unul este extras dintr-un pachet cu 36 de cărți, atunci probabilitatea va fi indicată ca 1:36. S-ar părea că nu există nimic de explorat și de prezis, mai ales cu ajutorul formulelor matematice. Cu toate acestea, dacă repetați o anumită acțiune de mai multe ori, atunci puteți identifica un anumit model și, pe baza acestuia, puteți prezice rezultatul evenimentelor în alte condiții.
Pentru a rezuma toate cele de mai sus, teoria probabilității în sens clasic studiază posibilitatea apariției unuia dintre evenimentele posibile în sens numeric.
Din paginile istoriei
Teoria probabilității, formulele și exemplele primelor sarcini au apărut în îndepărtatul Ev Mediu, când au apărut pentru prima dată încercările de a prezice rezultatul jocurilor de cărți.
Inițial, teoria probabilității nu avea nimic de-a face cu matematica. A fost justificată prin fapte empirice sau proprietăți ale unui eveniment care putea fi reprodus în practică. Primele lucrări în acest domeniu ca disciplină matematică au apărut în secolul al XVII-lea. Fondatorii au fost Blaise Pascal și Pierre Fermat. Multă vreme au studiat jocurile de noroc și au văzut anumite modele despre care au decis să spună publicului.
Aceeași tehnică a fost inventată de Christian Huygens, deși nu era familiarizat cu rezultatele cercetărilor lui Pascal și Fermat. Conceptul de „teoria probabilității”, formule și exemple, care sunt considerate primele din istoria disciplinei, au fost introduse de el.
De importanță nu mică sunt lucrările lui Jacob Bernoulli, teoremele lui Laplace și Poisson. Ei au făcut din teoria probabilității mai mult o disciplină matematică. Teoria probabilității, formulele și exemplele de sarcini de bază și-au luat forma actuală datorită axiomelor lui Kolmogorov. Ca urmare a tuturor schimbărilor, teoria probabilității a devenit una dintre ramurile matematice.
Concepte de bază ale teoriei probabilităților. Evoluții
Conceptul principal al acestei discipline este „eveniment”. Evenimentele sunt de trei tipuri:
- De încredere. Cele care se vor întâmpla oricum (moneda va cădea).
- Imposibil. Evenimente care nu se vor întâmpla în niciun scenariu (moneda va rămâne agățată în aer).
- Aleatoriu. Cele care se vor întâmpla sau nu. Ele pot fi influențate de diverși factori care sunt foarte greu de prezis. Dacă vorbim despre o monedă, atunci factori aleatori care pot afecta rezultatul: caracteristicile fizice ale monedei, forma acesteia, poziția inițială, puterea aruncării etc.
Toate evenimentele din exemple sunt notate cu majuscule latine, cu excepția lui R, care are un rol diferit. De exemplu:
- A = „elevii au venit la prelegere”.
- Ā = „elevii nu au venit la curs”.
În sarcinile practice, evenimentele sunt de obicei înregistrate în cuvinte.
Una dintre cele mai importante caracteristici ale evenimentelor este posibilitatea lor egală. Adică, dacă arunci o monedă, toate variantele căderii inițiale sunt posibile până când aceasta cade. Dar evenimentele nu sunt la fel de probabile. Acest lucru se întâmplă atunci când cineva influențează în mod deliberat rezultatul. De exemplu, cărți de joc sau zaruri „marcate”, în care centrul de greutate este deplasat.
Evenimentele sunt, de asemenea, compatibile și incompatibile. Evenimentele compatibile nu exclud apariția reciprocă. De exemplu:
- A = „studentul a venit la curs”.
- B = „elevul a venit la curs”.
Aceste evenimente sunt independente unele de altele, iar apariția unuia dintre ele nu afectează aspectul celuilalt. Evenimentele incompatibile sunt definite prin faptul că apariția unuia exclude apariția celuilalt. Dacă vorbim despre aceeași monedă, atunci pierderea „cozilor” face imposibilă apariția „capetelor” în același experiment.
Acțiuni pe evenimente
Evenimentele pot fi multiplicate și adăugate, respectiv, în disciplină sunt introduse conexiuni logice „ȘI” și „SAU”.
Suma este determinată de faptul că fie evenimentul A, fie B, sau ambele pot avea loc în același timp. În cazul în care acestea sunt incompatibile, ultima opțiune este imposibilă, fie A sau B vor renunța.
Înmulțirea evenimentelor constă în apariția lui A și B în același timp.
Acum puteți da câteva exemple pentru a vă aminti mai bine elementele de bază, teoria probabilității și formulele. Exemple de rezolvare a problemelor de mai jos.
Exercitiul 1: Firma licitează pentru contracte pentru trei tipuri de lucrări. Evenimente posibile care pot apărea:
- A = „firma va primi primul contract”.
- A 1 = „firma nu va primi primul contract”.
- B = „firma va primi un al doilea contract”.
- B 1 = „firma nu va primi un al doilea contract”
- C = „firma va primi un al treilea contract”.
- C 1 = „firma nu va primi un al treilea contract”.
Să încercăm să exprimăm următoarele situații folosind acțiuni asupra evenimentelor:
- K = „firma va primi toate contractele”.
În formă matematică, ecuația va arăta astfel: K = ABC.
- M = „firma nu va primi un singur contract”.
M \u003d A 1 B 1 C 1.
Complicam sarcina: H = „firma va primi un contract”. Deoarece nu se știe ce contract va primi firma (primul, al doilea sau al treilea), este necesar să se înregistreze întreaga gamă de evenimente posibile:
H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.
Iar 1 BC 1 este o serie de evenimente în care firma nu primește primul și al treilea contract, ci îl primește pe al doilea. Alte evenimente posibile sunt, de asemenea, înregistrate prin metoda corespunzătoare. Simbolul υ în disciplină denotă o grămadă de „SAU”. Dacă traducem exemplul de mai sus în limbaj uman, atunci compania va primi fie al treilea contract, fie al doilea, fie primul. În mod similar, puteți scrie și alte condiții la disciplina „Teoria probabilității”. Formulele și exemplele de rezolvare a problemelor prezentate mai sus vă vor ajuta să o faceți singur.
De fapt, probabilitatea
Poate că, în această disciplină matematică, probabilitatea unui eveniment este un concept central. Există 3 definiții ale probabilității:
- clasic;
- statistic;
- geometric.
Fiecare își are locul în studiul probabilităților. Teoria probabilității, formulele și exemplele (clasa a 9-a) folosesc în mare parte definiția clasică, care sună astfel:
- Probabilitatea situației A este egală cu raportul dintre numărul de rezultate care favorizează apariția acesteia și numărul tuturor rezultatelor posibile.
Formula arată astfel: P (A) \u003d m / n.
Și, de fapt, un eveniment. Dacă apare opusul lui A, acesta poate fi scris ca  sau A 1 .
m este numărul de cazuri favorabile posibile.
n - toate evenimentele care se pot întâmpla.
De exemplu, A \u003d „trageți o carte de costum de inimă”. Există 36 de cărți într-un pachet standard, 9 dintre ele sunt de inimi. În consecință, formula pentru rezolvarea problemei va arăta astfel:
P(A)=9/36=0,25.
Ca urmare, probabilitatea ca o carte cu culoarea inimii să fie extrasă din pachet va fi de 0,25.
la matematica superioară
Acum a devenit puțin cunoscut care este teoria probabilității, formule și exemple de rezolvare a sarcinilor care se întâlnesc în programa școlară. Totuși, teoria probabilității se găsește și în matematica superioară, care se predă în universități. Cel mai adesea, ele operează cu definiții geometrice și statistice ale teoriei și formule complexe.
Teoria probabilității este foarte interesantă. Formulele și exemplele (matematică superioară) sunt mai bine să începeți să învățați de la unul mic - dintr-o definiție statistică (sau frecvență) a probabilității.
Abordarea statistică nu contrazice abordarea clasică, ci o extinde ușor. Dacă în primul caz a fost necesar să se determine cu ce grad de probabilitate va avea loc un eveniment, atunci în această metodă este necesar să se indice cât de des va avea loc. Aici este introdus un nou concept de „frecvență relativă”, care poate fi notat cu W n (A). Formula nu este diferită de cea clasică:
Dacă se calculează formula clasică pentru prognoză, atunci cea statistică se calculează în funcție de rezultatele experimentului. Luați, de exemplu, o sarcină mică.
Departamentul de control tehnologic verifică calitatea produselor. Dintre 100 de produse, 3 s-au dovedit a fi de proastă calitate. Cum să găsiți probabilitatea de frecvență a unui produs de calitate?
A = „aspectul unui produs de calitate”.
Wn (A)=97/100=0,97
Astfel, frecvența unui produs de calitate este de 0,97. De unde ai luat 97? Din cele 100 de produse care au fost verificate, 3 s-au dovedit a fi de proastă calitate. Scădem 3 din 100, obținem 97, aceasta este cantitatea unui produs de calitate.
Un pic despre combinatorie
O altă metodă de teorie a probabilității se numește combinatorică. Principiul său de bază este că dacă o anumită alegere A poate fi făcută în m moduri diferite, iar o alegere B în n moduri diferite, atunci alegerea lui A și B poate fi făcută prin înmulțire.
De exemplu, există 5 drumuri de la orașul A la orașul B. Există 4 rute de la orașul B la orașul C. Câte moduri există pentru a ajunge din orașul A în orașul C?
Este simplu: 5x4 = 20, adică există douăzeci de moduri diferite de a ajunge de la punctul A la punctul C.
Să facem sarcina mai grea. Câte moduri există de a juca cărți în solitaire? Într-un pachet de 36 de cărți, acesta este punctul de plecare. Pentru a afla numărul de moduri, trebuie să „scădeți” o carte din punctul de plecare și să înmulțiți.
Adică 36x35x34x33x32…x2x1= rezultatul nu se potrivește pe ecranul calculatorului, deci poate fi pur și simplu notat ca 36!. Semn "!" lângă număr indică faptul că întreaga serie de numere este înmulțită între ele.
În combinatorică, există concepte precum permutarea, plasarea și combinarea. Fiecare dintre ele are propria sa formulă.
Un set ordonat de elemente de set se numește aspect. Plasările pot fi repetitive, ceea ce înseamnă că un element poate fi folosit de mai multe ori. Și fără repetare, când elementele nu se repetă. n este toate elementele, m este elementele care participă la plasare. Formula de plasare fără repetări va arăta astfel:
A n m =n!/(n-m)!
Conexiunile a n elemente care diferă numai în ordinea plasării se numesc permutări. În matematică, aceasta arată astfel: P n = n!
Combinațiile de n elemente cu m sunt astfel de compuși în care este important ce elemente au fost și care este numărul lor total. Formula va arăta astfel:
A n m =n!/m!(n-m)!
formula Bernoulli
În teoria probabilității, ca și în fiecare disciplină, există lucrări ale unor cercetători remarcabili în domeniul lor care au dus-o la un nou nivel. Una dintre aceste lucrări este formula Bernoulli, care vă permite să determinați probabilitatea ca un anumit eveniment să se producă în condiții independente. Acest lucru sugerează că apariția lui A într-un experiment nu depinde de apariția sau neapariția aceluiași eveniment în testele anterioare sau ulterioare.
Ecuația lui Bernoulli:
P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .
Probabilitatea (p) de apariție a evenimentului (A) este neschimbată pentru fiecare încercare. Probabilitatea ca situația să se întâmple exact de m ori în n număr de experimente va fi calculată prin formula care este prezentată mai sus. În consecință, se pune întrebarea cum să aflați numărul q.
Dacă evenimentul A are loc de p de ori, în consecință, este posibil să nu apară. O unitate este un număr care este folosit pentru a desemna toate rezultatele unei situații dintr-o disciplină. Prin urmare, q este un număr care indică posibilitatea ca evenimentul să nu se producă.
Acum cunoașteți formula Bernoulli (teoria probabilității). Exemple de rezolvare a problemelor (primul nivel) vor fi luate în considerare mai jos.
Sarcina 2: Un vizitator al magazinului va face o achiziție cu o probabilitate de 0,2. 6 vizitatori au intrat independent în magazin. Care este probabilitatea ca un vizitator să facă o achiziție?
Soluție: Deoarece nu se știe câți vizitatori ar trebui să facă o achiziție, unul sau toți șase, este necesar să se calculeze toate probabilitățile posibile folosind formula Bernoulli.
A = „vizitatorul va face o achiziție”.
În acest caz: p = 0,2 (după cum este indicat în sarcină). În consecință, q=1-0,2 = 0,8.
n = 6 (pentru că în magazin sunt 6 clienți). Numărul m se va schimba de la 0 (niciun client nu va face o achiziție) la 6 (toți vizitatorii magazinului vor cumpăra ceva). Ca rezultat, obținem soluția:
P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.
Niciunul dintre cumpărători nu va face o achiziție cu o probabilitate de 0,2621.
Cum altfel se folosește formula Bernoulli (teoria probabilității)? Exemple de rezolvare a problemelor (nivelul doi) de mai jos.
După exemplul de mai sus, apar întrebări despre unde au ajuns C și p. În ceea ce privește p, un număr cu puterea lui 0 va fi egal cu unu. În ceea ce privește C, acesta poate fi găsit prin formula:
C n m = n! /m!(n-m)!
Deoarece în primul exemplu m = 0, respectiv, C=1, ceea ce în principiu nu afectează rezultatul. Folosind noua formulă, să încercăm să aflăm care este probabilitatea de a cumpăra bunuri de către doi vizitatori.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.
Teoria probabilității nu este atât de complicată. Formula Bernoulli, dintre care exemple sunt prezentate mai sus, este o dovadă directă a acestui lucru.
Formula Poisson
Ecuația Poisson este utilizată pentru a calcula situații aleatoare improbabile.
Formula de baza:
P n (m)=λ m /m! × e (-λ).
În acest caz, λ = n x p. Iată o formulă Poisson atât de simplă (teoria probabilității). Exemple de rezolvare a problemelor vor fi luate în considerare mai jos.
Sarcina 3 R: Fabrica a produs 100.000 de piese. Aspectul unei piese defecte = 0,0001. Care este probabilitatea ca într-un lot să fie 5 piese defecte?
După cum puteți vedea, căsătoria este un eveniment puțin probabil și, prin urmare, formula Poisson (teoria probabilității) este utilizată pentru calcul. Exemplele de rezolvare a problemelor de acest fel nu diferă de alte sarcini ale disciplinei, înlocuim datele necesare în formula de mai sus:
A = „o parte aleasă aleatoriu va fi defectă”.
p = 0,0001 (conform condiției de atribuire).
n = 100000 (număr de piese).
m = 5 (piese defecte). Inlocuim datele din formula si obtinem:
R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0,0375.
La fel ca formula Bernoulli (teoria probabilității), exemple de soluții folosind care sunt scrise mai sus, ecuația Poisson are un e necunoscut. În esență, poate fi găsită prin formula:
e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .
Cu toate acestea, există tabele speciale care conțin aproape toate valorile lui e.
Teorema lui De Moivre-Laplace
Dacă în schema Bernoulli numărul de încercări este suficient de mare și probabilitatea de apariție a evenimentului A în toate schemele este aceeași, atunci probabilitatea de apariție a evenimentului A de un anumit număr de ori într-o serie de încercări poate fi găsită prin formula Laplace:
Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).
Xm = m-np/√npq.
Pentru a reține mai bine formula Laplace (teoria probabilității), exemple de sarcini de mai jos.
Mai întâi găsim X m , înlocuim datele (toate sunt indicate mai sus) în formulă și obținem 0,025. Folosind tabele, găsim numărul ϕ (0,025), a cărui valoare este 0,3988. Acum puteți înlocui toate datele din formula:
P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.
Deci probabilitatea ca fluturașul să lovească exact de 267 de ori este de 0,03.
Formula Bayes
Formula Bayes (teoria probabilității), exemple de rezolvare a sarcinilor folosind care vor fi date mai jos, este o ecuație care descrie probabilitatea unui eveniment pe baza circumstanțelor care ar putea fi asociate acestuia. Formula principală este următoarea:
P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).
A și B sunt evenimente determinate.
P(A|B) - probabilitate condiționată, adică evenimentul A poate avea loc, cu condiția ca evenimentul B să fie adevărat.
Р (В|А) - probabilitatea condiționată a evenimentului В.
Deci, partea finală a cursului scurt „Teoria probabilității” este formula Bayes, exemple de rezolvare a problemelor cu care sunt mai jos.
Sarcina 5: La depozit au fost aduse telefoane de la trei firme. În același timp, o parte din telefoanele care sunt fabricate la prima fabrică este de 25%, la a doua - 60%, la a treia - 15%. De asemenea, se știe că procentul mediu de produse defecte la prima fabrică este de 2%, la a doua - 4%, iar la a treia - 1%. Este necesar să găsiți probabilitatea ca un telefon selectat aleatoriu să fie defect.
A = „telefon luat la întâmplare”.
B 1 - telefonul pe care l-a făcut prima fabrică. În consecință, vor apărea B 2 și B 3 introductive (pentru a doua și a treia fabrică).
Ca rezultat, obținem:
P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - deci am găsit probabilitatea fiecărei opțiuni.
Acum trebuie să găsiți probabilitățile condiționate ale evenimentului dorit, adică probabilitatea produselor defecte în firme:
P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;
P (A / B 2) \u003d 0,04;
P (A / B 3) \u003d 0,01.
Acum înlocuim datele în formula Bayes și obținem:
P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.
Articolul prezintă teoria probabilității, formule și exemple de rezolvare a problemelor, dar acesta este doar vârful aisbergului unei discipline vaste. Și după tot ce s-a scris, va fi logic să ne punem întrebarea dacă teoria probabilității este necesară în viață. Este dificil pentru o persoană simplă să răspundă, este mai bine să întrebi pe cineva care a lovit jackpot-ul de mai multe ori cu ajutorul ei.
1.2. Aplicații ale teoriei probabilităților
Metodele teoriei probabilităților sunt utilizate pe scară largă în diferite ramuri ale științelor naturale și tehnologiei:
în teoria fiabilității,
teoria cozilor,
fizica teoretica,
geodezie,
astronomie,
teoria tirului,
teoria erorilor de observație,
Teorii ale controlului automat,
teoria generală a comunicării și în multe alte științe teoretice și aplicate.
Teoria probabilității servește și la fundamentarea statisticii matematice și aplicate, care, la rândul său, este utilizată în planificarea și organizarea producției, în analiza proceselor tehnologice, controlul preventiv și de acceptare a calității produselor și în multe alte scopuri.
În ultimii ani, metodele teoriei probabilităților au pătruns tot mai mult în diverse domenii ale științei și tehnologiei, contribuind la progresul lor.
1.3. Scurt istoric
Primele lucrări în care s-au născut conceptele de bază ale teoriei probabilităților au fost încercările de a crea o teorie a jocurilor de noroc (Cardano, Huygens, Pascal, Fermat și alții în secolele XVI-XVII).
Următoarea etapă în dezvoltarea teoriei probabilității este asociată cu numele lui Jacob Bernoulli (1654 - 1705). Teorema pe care a demonstrat-o, numită mai târziu „Legea numerelor mari”, a fost prima fundamentare teoretică a faptelor acumulate mai devreme.
Teoria probabilității îi datorează succesul în continuare lui Moivre, Laplace, Gauss, Poisson și alții. Lyapunov (1857 - 1918). În această perioadă, teoria probabilității devine o știință matematică coerentă. Dezvoltarea sa ulterioară se datorează în primul rând matematicienilor ruși și sovietici (S.N. Bernshtein, V.I. Romanovsky, A.N. Kolmogorov, A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, N.V. Smirnov etc.).
1.4. Teste și evenimente. Tipuri de evenimente
Conceptele de bază ale teoriei probabilităților sunt conceptul de eveniment elementar și conceptul de spațiu al evenimentelor elementare. Mai sus, un eveniment se numește aleatoriu dacă, în implementarea unui anumit set de condiții S se poate întâmpla sau nu. Pe viitor, în loc să spunem „un set de condiții S efectuat”, vom spune pe scurt: „testat”. Astfel, evenimentul va fi considerat ca rezultat al testului.
Definiție. eveniment aleatoriu orice fapt care poate sau nu să apară ca urmare a experienței se numește.
În acest caz, unul sau altul rezultat al experimentului poate fi obținut cu diferite grade de posibilitate. Adică, în unele cazuri se poate spune că un eveniment se va întâmpla aproape sigur, celălalt aproape niciodată.
Definiție. Spațiul rezultatelor elementareΩ este o mulțime care conține toate rezultatele posibile ale unui experiment aleator dat, dintre care exact unul apare în experiment. Elementele acestui set sunt numite rezultate elementareși notat cu litera ω ("omega").
Atunci submulțimile mulțimii Ω se numesc evenimente. Se spune că în urma experimentului a avut loc evenimentul A Ω dacă unul dintre rezultatele elementare incluse în setul A a avut loc în experiment.
Pentru simplitate, presupunem că numărul de evenimente elementare este finit. Un subset al spațiului evenimentelor elementare se numește eveniment aleatoriu. Acest eveniment poate să apară sau nu ca rezultat al testului (trei puncte pe o aruncare de zar, un apel telefonic în acest moment etc.).
Exemplul 1 Trăgătorul trage într-o țintă împărțită în patru zone. O lovitură este un test. Lovirea unei anumite zone a țintei este un eveniment.
Exemplul 2În urnă sunt bile colorate. O minge este extrasă la întâmplare din urnă. Scoaterea unei mingi dintr-o urna este un test. Apariția unei mingi de o anumită culoare este un eveniment.
Într-un model matematic, se poate accepta conceptul de eveniment ca fiind cel inițial, care nu este definit și care se caracterizează doar prin proprietăți proprii. Pe baza sensului real al conceptului de eveniment, pot fi definite diferite tipuri de evenimente.
Definiție. Se numește un eveniment aleatoriu autentic, dacă se știe că apare (rularea de la 1 la șase puncte la o aruncare a zarului) și imposibil, dacă cu siguranță nu poate apărea ca urmare a experienței (șapte puncte aruncate la aruncarea unui zar). În acest caz, un anumit eveniment conține toate punctele spațiului evenimentelor elementare, iar un eveniment imposibil nu conține niciun punct din acest spațiu.
Definiție. Sunt numite două evenimente aleatorii incompatibil dacă nu pot apărea în același timp pentru același rezultat al testului. Și, în general, sunt apelate orice număr de evenimente incompatibil dacă apariţia unuia dintre ele exclude apariţia celorlalte.
Un exemplu clasic de evenimente disjunctive este rezultatul aruncării unei monede - căderea părții anterioare a monedei exclude căderea reversului (în același experiment).
Un alt exemplu este o piesă luată la întâmplare dintr-o cutie de piese. Aspectul unei piese standard exclude aspectul unei piese nestandard. Evenimentele „a apărut o parte standard” și „a apărut o parte non-standard” sunt incompatibile.
Definiție. Se formează mai multe evenimente grup complet, dacă cel puțin unul dintre ele apare în urma testului.
Cu alte cuvinte, apariția a cel puțin unuia dintre evenimentele grupului complet este un anumit eveniment. În special, dacă evenimentele care formează un grup complet sunt incompatibile perechi, atunci unul și numai unul dintre aceste evenimente va apărea ca rezultat al testului. Acest caz particular este de cel mai mare interes, deoarece va fi folosit mai jos.
Exemplu. A cumpărat două bilete la loteria de bani și îmbrăcăminte. Unul și doar unul dintre următoarele evenimente va avea loc în mod necesar: „câștigurile au căzut pe primul bilet și nu au căzut pe al doilea”, „câștigurile nu au căzut pe primul bilet și au scăzut pe al doilea”, „câștigurile au scăzut pe ambele bilete”, „câștigurile nu au câștigat la ambele bilete”. au căzut.” Aceste evenimente formează un grup complet de evenimente incompatibile în perechi.
Exemplu. Trăgătorul a tras în țintă. Cu siguranță va avea loc unul dintre următoarele două evenimente: lovit, ratat. Aceste două evenimente disjunse formează un grup complet.
Exemplu. Dacă o minge este extrasă la întâmplare dintr-o cutie care conține doar bile roșii și verzi, atunci apariția unei bile albe printre bilele extrase este un eveniment imposibil. Apariția roșii și apariția bilelor verzi formează un grup complet de evenimente.
Definiție. Se spune că evenimentele sunt la fel de probabile dacă există motive să credem că niciunul dintre ele nu este mai posibil decât celălalt.
Exemplu. Apariția unei „steme” și apariția unei inscripții atunci când o monedă este aruncată sunt evenimente la fel de probabile. Într-adevăr, se presupune că moneda este realizată dintr-un material omogen, are o formă cilindrică obișnuită, iar prezența unei monede nu afectează pierderea uneia sau alteia fețe a monedei.
Exemplu. Apariția unuia sau altuia de puncte pe un zar aruncat sunt evenimente la fel de probabile. Într-adevăr, se presupune că matrița este realizată dintr-un material omogen, are forma unui poliedru regulat, iar prezența punctelor nu afectează pierderea niciunei fețe.
În exemplul de minge de mai sus, apariția bilelor roșii și verzi sunt evenimente la fel de probabile dacă caseta conține același număr de bile roșii și verzi. Dacă în cutie sunt mai multe bile roșii decât cele verzi, atunci apariția unei mingi verzi este mai puțin probabilă decât apariția uneia roșii.
Conţinut
Introducere 3
1. Istoricul apariției 4
2. Apariția definiției clasice a probabilității 9
3. Subiectul teoriei probabilităților 11
4. Concepte de bază ale teoriei probabilităților 13
5. Aplicarea teoriei probabilităților în lumea modernă 15
6. Probabilitatea și transportul aerian 19 Concluzie 20
Referințe 21
Introducere
Șansă, șansă - ne întâlnim cu ei în fiecare zi: o întâlnire întâmplătoare, o defecțiune accidentală, o descoperire accidentală, o greșeală accidentală. Această serie poate fi continuată pe termen nelimitat. S-ar părea că nu există loc pentru matematică, dar aici știința a descoperit modele interesante - ele permit unei persoane să se simtă încrezătoare atunci când se întâlnește cu evenimente aleatorii.
Teoria probabilității poate fi definită ca o ramură a matematicii care studiază tiparele inerente evenimentelor aleatoare. Metodele teoriei probabilităților sunt utilizate pe scară largă în procesarea matematică a rezultatelor măsurătorilor, precum și în multe probleme de economie, statistică, asigurări și servicii de masă. Prin urmare, nu este greu de ghicit că în aviație teoria probabilității își găsește o aplicare foarte largă.
Lucrarea mea viitoare de disertație va avea legătură cu navigația prin satelit. Nu numai în navigația prin satelit, ci și în mijloacele tradiționale de navigație, teoria probabilității a primit o aplicare foarte largă, deoarece majoritatea caracteristicilor operaționale și tehnice ale echipamentelor radio sunt cuantificate prin probabilitate.
1. Istoricul apariției
Acum este deja dificil de stabilit cine a ridicat prima întrebare, deși într-o formă imperfectă, despre posibilitatea unei măsurări cantitative a posibilității unui eveniment aleatoriu. Un lucru este clar, că un răspuns mai mult sau mai puțin satisfăcător la această întrebare a necesitat mult timp și eforturi semnificative ale unui număr de generații de cercetători remarcabili. Pentru o perioadă îndelungată, cercetătorii s-au limitat la luarea în considerare a diferitelor tipuri de jocuri, în special jocurile cu zaruri, deoarece studiul lor permite să se limiteze la modele matematice simple și transparente. Cu toate acestea, trebuie remarcat că mulți oameni au înțeles perfect ceea ce a fost formulat ulterior de Christian Huygens: „... Cred că, la studierea atentă a subiectului, cititorul va observa că nu are de-a face doar cu un joc, ci că Aici se pun bazele unei teorii foarte interesante și profunde.”
Vom vedea că, odată cu progresul în continuare al teoriei probabilității, considerații profunde, atât de natură-științifică, cât și de filosofie generală, au jucat un rol important. Această tendință continuă și astăzi: observăm în mod constant modul în care problemele de practică - științifice, industriale, de apărare - propun noi probleme pentru teoria probabilității și conduc la necesitatea extinderii arsenalului de idei, concepte și metode de cercetare.
Dezvoltarea teoriei probabilității și odată cu ea dezvoltarea conceptului de probabilitate poate fi împărțită în următoarele etape.
1. Preistoria teoriei probabilităţii. În această perioadă, al cărei început se pierde în secole, s-au pus și rezolvat probleme elementare, care mai târziu vor fi atribuite teoriei probabilității. Nu există metode speciale în această perioadă. Această perioadă se încheie cu lucrările lui Cardano, Pacioli, Tartaglia și alții.
Întâlnim reprezentări probabiliste în antichitate. Democrit, Lucretius Cara și alți oameni de știință și gânditori antici au predicții profunde despre structura materiei cu mișcarea aleatorie a particulelor mici (molecule), raționând despre rezultate la fel de posibile etc. Chiar și în antichitate, s-au încercat să colecteze și să analizeze unele materiale statistice - toate acestea (precum și alte manifestări de atenție la fenomene aleatorii) au creat baza dezvoltării de noi concepte științifice, inclusiv conceptul de probabilitate. Dar știința antică nu a ajuns la punctul de a izola acest concept.
În filosofie, întrebarea accidentalului, necesarului și posibilului a fost întotdeauna una dintre principalele. Dezvoltarea filozofică a acestor probleme a influențat și formarea conceptului de probabilitate. În general, în Evul Mediu, există doar încercări dispersate de a reflecta asupra raționamentului probabilistic întâlnit.
În lucrările lui Pacioli, Tartaglia și Cardano, deja se încearcă evidențierea unui nou concept - raportul de cote - în rezolvarea unui număr de probleme specifice, în primul rând combinatorii.
2. Apariția teoriei probabilității ca știință. Pe la mijlocul secolului al XVII-lea. întrebările probabilistice și problemele apărute în practica statistică, în practica companiilor de asigurări, în prelucrarea rezultatelor observațiilor și în alte domenii, au atras atenția oamenilor de știință, întrucât au devenit subiecte de actualitate. În primul rând, această perioadă este asociată cu numele lui Pascal, Fermat și Huygens. În această perioadă se dezvoltă concepte specifice, precum așteptarea și probabilitatea matematică (ca raport al șanselor), se stabilesc și se folosesc primele proprietăți ale probabilității: teoremele de adunare și înmulțire a probabilităților. În acest moment, teorema probabilității își găsește aplicație în domeniul asigurărilor, demografie, în evaluarea erorilor de observare, folosind pe scară largă conceptul de probabilitate.
3. Următoarea perioadă începe cu apariția lucrării lui Bernoulli „Arta Conjecturilor” (1713), în care a fost demonstrată pentru prima dată prima teoremă limită – cel mai simplu caz al legii numerelor mari. Această perioadă, care a durat până la mijlocul secolului al XIX-lea, include lucrările lui De Moivre, Laplace, Gauss și alții.Teoremele limită se aflau în centrul atenției la acea vreme. Teoria probabilității începe să fie utilizată pe scară largă în diverse domenii ale științelor naturale. Și deși în această perioadă încep să fie folosite diverse concepte de probabilitate (probabilitate geometrică, probabilitate statistică), definiția clasică a probabilității ocupă o poziție dominantă.
4. Următoarea perioadă în dezvoltarea teoriei probabilităților este asociată în primul rând cu Școala de matematică din Sankt Petersburg. De-a lungul celor două secole de dezvoltare a teoriei probabilității, principalele sale realizări au fost teoremele limită, dar limitele aplicării lor și posibilitatea unor generalizări ulterioare nu au fost clarificate. Odată cu succesele, au fost identificate și deficiențe semnificative în justificarea acesteia, acest lucru se exprimă într-o idee insuficient de clară a probabilității. În teoria probabilității, a apărut o situație în care dezvoltarea ei ulterioară a necesitat clarificarea principalelor prevederi și consolidarea metodelor de cercetare în sine.
Aceasta a fost realizată de școala rusă de matematică condusă de Cebyshev. Printre cei mai mari reprezentanți ai săi se numără Markov și Lyapunov.
În această perioadă, teoria probabilității include estimări ale aproximărilor teoremelor limită, precum și o extindere a clasei de variabile aleatoare care se supun teoremelor limită. În acest moment, unele variabile aleatoare dependente (lanțuri Markov) au început să fie luate în considerare în teoria probabilității. În teoria probabilității apar noi concepte, precum „teoria funcțiilor caracteristice”, „teoria momentelor” etc. Și în acest sens, ea a devenit larg răspândită în științele naturii, în primul rând în fizică. În această perioadă se creează fizica statistică. Dar această introducere a metodelor și conceptelor probabiliste în fizică a mers destul de departe de realizările teoriei probabilităților. Probabilitățile folosite în fizică nu erau exact aceleași ca în matematică. Conceptele existente de probabilitate nu au satisfăcut nevoile științelor naturii și, ca urmare, au început să apară diverse interpretări ale probabilității, greu de redus la o singură definiție.
Dezvoltarea teoriei probabilităților la începutul secolului al XIX-lea. A dus la necesitatea revizuirii și clarificării fundamentelor sale logice, în primul rând conceptul de probabilitate. Aceasta a necesitat dezvoltarea fizicii și aplicarea în ea a conceptelor probabilistice și a aparatului teoriei probabilităților; se simţea nemulţumire faţă de justificarea clasică de tip laplacian.
5. Perioada modernă de dezvoltare a teoriei probabilității a început odată cu stabilirea axiomaticii (axiomatica - un sistem de axiome al oricărei științe). Acest lucru a fost cerut în primul rând de practică, deoarece pentru aplicarea cu succes a teoriei probabilității în fizică, biologie și alte domenii ale științei, precum și în tehnologie și afaceri militare, a fost necesar să se clarifice și să se aducă conceptele sale de bază într-un sistem coerent. . Datorită axiomaticii, teoria probabilității a devenit o disciplină matematică abstract-deductivă, strâns legată de teoria mulțimilor. Acest lucru a condus la amploarea cercetărilor în teoria probabilității.
Primele lucrări din această perioadă sunt asociate cu numele lui Bernstein, Mises, Borel. Stabilirea finală a axiomaticii a avut loc în anii 30 ai secolului XX. O analiză a tendințelor în dezvoltarea teoriei probabilităților ia permis lui Kolmogorov să creeze o axiomatică general acceptată. În studiile probabilistice, analogiile cu teoria mulțimilor au început să joace un rol esențial. Ideile teoriei metrice a funcțiilor au început să pătrundă din ce în ce mai adânc în teoria probabilității. Era nevoie de o axiomatizare a teoriei probabilităților bazată pe concepte teoretice de mulțimi. O astfel de axiomatică a fost creată de Kolmogorov și a contribuit la faptul că teoria probabilității a fost în cele din urmă consolidată ca știință matematică cu drepturi depline.
În această perioadă, conceptul de probabilitate pătrunde aproape în toate sferele activității umane. Există diferite definiții ale probabilității. Varietatea definițiilor conceptelor de bază este o caracteristică esențială a științei moderne. Definițiile moderne în știință sunt o prezentare a conceptelor, punctelor de vedere, care pot fi multe pentru orice concept fundamental și toate reflectă o parte esențială a conceptului care este definit. Acest lucru se aplică și conceptului de probabilitate.
2. Apariția definiției clasice a probabilității
Conceptul de probabilitate joacă un rol enorm în știința modernă și, prin urmare, este un element esențial al viziunii moderne asupra lumii ca întreg, filozofia modernă. Toate acestea generează atenție și interes pentru dezvoltarea conceptului de probabilitate, care este strâns legat de mișcarea generală a științei. Conceptele de probabilitate au fost influențate semnificativ de realizările multor științe, dar acest concept, la rândul său, i-a forțat să-și rafineze abordarea studiului lumii.
Formarea conceptelor matematice de bază reprezintă etape importante în procesul dezvoltării matematice. Până la sfârșitul secolului al XVII-lea, știința nu s-a apropiat de introducerea definiției clasice a probabilității, ci a continuat să opereze doar cu numărul de șanse favorizand unul sau altul eveniment de interes pentru cercetători. Încercările separate, care au fost remarcate de Cardano și de cercetătorii mai târziu, nu au condus la o înțelegere clară a semnificației acestei inovații și au rămas un corp străin în lucrările finalizate. Cu toate acestea, în anii treizeci ai secolului al XVIII-lea, conceptul clasic de probabilitate a devenit în general folosit și niciunul dintre oamenii de știință din acei ani nu s-ar fi putut limita la a număra numărul de șanse favorabile unui eveniment. Introducerea definiției clasice a probabilității nu s-a produs ca urmare a unei singure acțiuni, ci a durat o perioadă lungă de timp, timp în care a avut loc o îmbunătățire continuă a formulării, trecerea de la problemele particulare la cazul general.
Un studiu atent arată că chiar și în cartea lui X. Huygens „On Calculations in Gambling” (1657) nu există conceptul de probabilitate ca număr între 0 și 1 și egal cu raportul dintre numărul de șanse favorabile evenimentului la numărul tuturor celor posibile. Și în tratatul lui J. Bernoulli „Arta asumpțiilor” (1713), acest concept a fost introdus, deși într-o formă mult imperfectă, dar, ceea ce este deosebit de important, este utilizat pe scară largă.
A. De Moivre a luat definiția clasică a probabilității dată de Bernoulli și a definit probabilitatea unui eveniment aproape exact așa cum o facem acum. El a scris: „În consecință, construim o fracție, al cărei numărător va fi de câte ori are loc evenimentul, iar numitorul este numărul tuturor cazurilor în care poate sau nu să apară, o astfel de fracție va exprima probabilitatea reală de apariție.”
3. Subiectul teoriei probabilităților
Evenimentele (fenomenele) observate de noi pot fi împărțite în următoarele trei tipuri: de încredere, imposibil și aleatoriu.
Un anumit eveniment se numește un anumit eveniment care va avea loc cu siguranță dacă este îndeplinit un anumit set de condiții S. De exemplu, dacă un vas conține apă la presiunea atmosferică normală și o temperatură de 20 °, atunci evenimentul „apa din vas”. este în stare lichidă” este cert. În acest exemplu, presiunea atmosferică specificată și temperatura apei constituie setul de condiții S.
Un eveniment se numește imposibil dacă se îndeplinește setul de condiții S.
Un eveniment aleatoriu este un eveniment care, în implementarea unui set de condiții S, poate apărea sau nu. De exemplu, dacă o monedă este aruncată, atunci aceasta poate cădea astfel încât fie o stemă, fie o inscripție să fie deasupra. Prin urmare, evenimentul „atunci când aruncați o monedă, o „stemă” a căzut este întâmplător. Fiecare eveniment întâmplător, în special căderea „stemei”, este rezultatul acțiunii a foarte multe cauze aleatorii (în exemplul nostru: forța cu care este aruncată moneda, forma monedei și multe altele. ). Este imposibil să se țină cont de influența tuturor acestor cauze asupra rezultatului, deoarece numărul lor este foarte mare și legile acțiunii lor sunt necunoscute. Prin urmare, teoria probabilității nu își pune sarcina de a prezice dacă un singur eveniment va avea loc sau nu - pur și simplu nu poate face acest lucru.
Situația este diferită dacă luăm în considerare evenimente aleatoare care pot fi observate în mod repetat în aceleași condiții S, adică dacă vorbim de evenimente aleatoare omogene masive. Rezultă că un număr suficient de mare de evenimente aleatoare omogene, indiferent de natura lor specifică, respectă anumite legi, și anume legi probabilistice. Teoria probabilității este cea care se ocupă de stabilirea acestor regularități.
Deci, subiectul teoriei probabilităților este studiul regularităților probabilistice ale evenimentelor aleatoare omogene masive.
4. Concepte de bază ale teoriei probabilităților
Fiecare știință care dezvoltă o teorie generală a unei anumite game de fenomene conține o serie de concepte de bază pe care se bazează. Astfel de concepte de bază există și în teoria probabilității. Acestea sunt: un eveniment, probabilitatea unui eveniment, frecvența unui eveniment sau o probabilitate statistică și o variabilă aleatorie.
Evenimentele aleatoare sunt acele evenimente care pot să apară sau nu atunci când este implementat un set de condiții asociate cu posibilitatea apariției acestor evenimente.
Evenimentele aleatoare sunt notate cu literele A, B, C, ... . Fiecare implementare a setului considerat se numește test. Numărul de încercări poate crește la nesfârșit. Raportul dintre numărul m de apariții ale unui eveniment aleator dat A într-o serie dată de teste și numărul total n de încercări din această serie se numește frecvența de apariție a evenimentului A într-o serie dată de teste (sau pur și simplu frecvența al evenimentului A) și se notează cu P * (A). Astfel, P*(A)=m/n.
Frecvența unui eveniment aleatoriu este întotdeauna între zero și unu: 0 ? P*(A)? unu.
Evenimentele aleatoare de masă au proprietatea stabilității frecvenței: observate în diferite serii de teste omogene (cu un număr suficient de mare de teste în fiecare serie), valorile frecvenței unui anumit eveniment aleator fluctuează de la serie la serie în limite destul de înguste.
Tocmai această împrejurare face posibilă aplicarea metodelor matematice în studiul evenimentelor aleatoare, atribuind fiecărui eveniment aleator de masă probabilitatea sa, care este luată ca fiind acel număr (în general necunoscut în prealabil) în jurul căruia fluctuează frecvența observată a evenimentului.
Probabilitatea unui eveniment aleator A se notează cu P(A). Probabilitatea unui eveniment aleatoriu, ca și frecvența acestuia, este între zero și unu: 0 ? P(A)? unu .
O variabilă aleatorie este o variabilă care caracterizează rezultatul unei operațiuni întreprinse și care poate lua valori diferite pentru diferite operații, oricât de omogene sunt condițiile de implementare a acestora.
5. Aplicarea teoriei probabilităților în lumea modernă
Pe bună dreptate ar trebui să începem cu fizica statistică. Știința naturală modernă pornește de la ideea că toate fenomenele naturale sunt de natură statistică și că legile pot fi formulate tocmai în termenii teoriei probabilităților. Fizica statistică a devenit baza tuturor fizicii moderne, iar teoria probabilității a devenit aparatul ei matematic. În fizica statistică se consideră probleme care descriu fenomene care sunt determinate de comportamentul unui număr mare de particule. Fizica statistică este aplicată cu mare succes în diferite ramuri ale fizicii. În fizica moleculară, cu ajutorul ei, sunt explicate fenomenele termice; în electromagnetism, proprietățile dielectrice, conductive și magnetice ale corpurilor; în optică, a făcut posibilă crearea unei teorii a radiației termice, a împrăștierii moleculare a luminii. În ultimii ani, gama de aplicații ale fizicii statistice a continuat să se extindă.
Reprezentările statistice au făcut posibilă oficializarea rapidă a studiului matematic al fenomenelor fizicii nucleare. Apariția radiofizicii și studiul transmiterii semnalelor radio nu numai că au crescut semnificația conceptelor statistice, dar au condus și la progresul științei matematice în sine - apariția teoriei informației.
Înțelegând natura reacțiilor chimice, echilibrul dinamic este imposibil și fără concepte statistice. Toată chimia fizică, aparatul ei matematic și modelele pe care le propune sunt statistice.
Prelucrarea rezultatelor observaționale, care sunt întotdeauna însoțite atât de erori aleatorii de observație, cât și de modificări aleatorii pentru observator în condițiile experimentului, i-a determinat pe cercetători înapoi în secolul al XIX-lea să creeze o teorie a erorilor de observație, iar această teorie se bazează complet pe concepte statistice.
Astronomia într-un număr de secțiuni folosește aparatul statistic. Astronomia stelară, studiul distribuției materiei în spațiu, studiul fluxurilor de particule cosmice, distribuția petelor solare (centre de activitate solară) pe suprafața soarelui și multe altele necesită utilizarea reprezentărilor statistice.
Biologii au observat că răspândirea dimensiunilor organelor ființelor vii din aceeași specie se încadrează perfect în legile teoretice și probabilistice generale. Celebrele legi ale lui Mendel, care au pus bazele geneticii moderne, necesită raționament probabilistic-statistic. Studiul unor probleme atât de semnificative ale biologiei, cum ar fi transferul excitației, structura memoriei, transferul proprietăților ereditare, chestiunile privind distribuția animalelor în teritoriu, relația dintre prădător și pradă necesită o bună cunoaștere a teoriei probabilităților și a matematicii. statistici.
Științele umaniste unesc discipline foarte diverse, de la lingvistică și literatură la psihologie și economie. Metodele statistice sunt din ce în ce mai folosite în cercetarea istorică, în special în arheologie. Abordarea statistică este folosită pentru a descifra inscripțiile în limba popoarelor antice. Idei care l-au ghidat pe J. Champollion în descifrarescrierea hieroglifică antică, sunt practic statistice. Arta criptării și decriptării se bazează pe utilizarea modelelor statistice ale limbajului. Alte domenii sunt legate de studiul frecvenței cuvintelor și literelor, distribuția accentului în cuvinte, calculul informativității limbajului anumitor scriitori și poeți. Metodele statistice sunt folosite pentru a stabili paternitatea și a expune falsurile literare. De exemplu,paternitatea M.A. Sholokhov bazat pe romanul Quiet Flows the Dona fost stabilit prin metode probabilistic-statistice. Dezvăluirea frecvenței de apariție a sunetelor unei limbi în vorbirea orală și scrisă ne permite să punem problema codării optime a literelor unei limbi date pentru transmiterea informațiilor. Frecvența de utilizare a literelor determină raportul dintre numărul de caractere din box office de tipografie. Dispunerea literelor pe căruciorul unei mașini de scris și pe tastatura unui computer este determinată de un studiu statistic al frecvenței combinațiilor de litere într-o anumită limbă.
Multe probleme de pedagogie și psihologie necesită și implicarea unui aparat probabilistic-statistic. Problemele economice nu pot decât să intereseze societatea, deoarece toate aspectele dezvoltării acesteia sunt legate de aceasta. Fără analiză statistică, este imposibil să se prevadă schimbări în dimensiunea populației, nevoile acesteia, natura ocupării forței de muncă, modificări ale cererii în masă și fără aceasta este imposibil să se planifice activitatea economică.
Direct legate de metodele probabilistic-statistice sunt problemele verificării calității produselor. Adesea, fabricarea unui produs durează incomparabil mai puțin timp decât verificarea calității acestuia. Din acest motiv, nu se poate verifica calitatea fiecărui produs. Prin urmare, trebuie să se judece calitatea unui lot după o parte relativ mică a eșantionului. Metodele statistice sunt folosite și atunci când testarea calității produselor duce la deteriorarea sau moartea acestora.
Întrebările legate de agricultură au fost rezolvate de multă vreme prin utilizarea pe scară largă a metodelor statistice. Creșterea de noi rase de animale, noi soiuri de plante, compararea randamentelor - aceasta nu este o listă completă a sarcinilor rezolvate prin metode statistice.
Se poate spune fără exagerare că întreaga noastră viață este pătrunsă astăzi de metode statistice. În binecunoscuta lucrare a poetului materialist Lucretius Cara „Despre natura lucrurilor” există o descriere vie și poetică a fenomenului mișcării browniene a particulelor de praf:
„Uite aici: ori de câte ori pătrunde lumina soarelui
În locuințele noastre și întunericul trece prin razele sale,
Multe corpuri mici în gol, vei vedea, pâlpâind,
Se repezi înainte și înapoi într-o strălucire strălucitoare de lumină;
Ca într-o luptă veșnică, se luptă în bătălii și bătălii.
Dintr-o dată se grăbesc în bătălii în grupuri, fără să cunoască pacea.
Fie convergând, fie separat, împrăștiindu-se din nou constant.
Poți înțelege din asta cât de neobosit
Începuturile lucrurilor în marele vid sunt neliniştite.
Deci despre lucruri grozave pe care le ajută să le înțeleagă
Lucruri mici, conturând calea spre realizare,
În plus, pentru că trebuie să fii atent
Spre frământările din corpurile care pâlpâie în lumina soarelui
Din ce știi că problema este și mișcarea"
Prima oportunitate pentru un studiu experimental al relației dintre mișcarea aleatorie a particulelor individuale și mișcarea regulată a agregatelor lor mari a apărut atunci când, în 1827, botanistul R. Brown a descoperit un fenomen care a fost numit după el „mișcarea browniană”. Brown a observat polenul de flori suspendat în apă la microscop. Spre surprinderea sa, a descoperit că particulele suspendate în apă se aflau într-o mișcare aleatorie continuă, care nu putea fi oprită nici cu cel mai atent efort de a elimina orice influențe externe. S-a descoperit curând că aceasta este o proprietate generală a oricăror particule suficient de mici suspendate într-un lichid. Mișcarea browniană este un exemplu clasic de proces aleatoriu.
6. Probabilitatea și transportul aerian
În capitolul anterior am luat în considerare aplicarea teoriei probabilităților și a statisticii în diverse domenii ale științei. În acest capitol, aș dori să dau exemple de aplicare a teoriei probabilităților în transportul aerian.
Transportul aerian este un concept care include atât aeronava în sine, cât și infrastructura necesară exploatării acestora: aeroporturi, dispecerat și servicii tehnice. După cum știți, un zbor este rezultatul muncii în comun a multor servicii aeroportuare care utilizează diverse domenii ale științei în activitățile lor, iar în aproape toate aceste domenii există o teorie a probabilității. Aș dori să dau un exemplu din domeniul navigației, unde teoria probabilității este, de asemenea, utilizată pe scară largă.
În legătură cu dezvoltarea sistemelor de navigație prin satelit, aterizare și comunicații, au fost introduși noi indicatori de fiabilitate, cum ar fi integritatea, continuitatea și disponibilitatea sistemului. Toți acești indicatori de fiabilitate sunt cuantificați în termeni de probabilitate.
Integritatea este gradul de încredere în informațiile primite de la sistemul radio și aplicate ulterior de aeronavă. Probabilitatea de integritate este egală cu produsul dintre probabilitatea de defecțiune și probabilitatea de a nu detecta o defecțiune și trebuie să fie egală sau mai mică de 10 -7 pe oră de zbor.
Continuitatea serviciului este capacitatea unui sistem complet de a-și îndeplini funcția fără a întrerupe modul de funcționare atunci când efectuează o operațiune planificată. Trebuie să fie cel puțin 10 -4 .
Disponibilitatea este capacitatea sistemului de a-și îndeplini funcțiile la începutul operațiunii. Onam trebuie să fie de cel puțin 0,99.
Concluzie
Ideile probabiliste stimulează astăzi dezvoltarea întregului complex de cunoștințe, de la științele naturii neînsuflețite până la științele societății. Progresul științei naturale moderne este inseparabil de utilizarea și dezvoltarea ideilor și metodelor probabiliste. În vremea noastră, este dificil să numim orice domeniu de cercetare în care metodele probabilistice nu sunt aplicate.
Bibliografie
1. Wentzel E.S. Teoria probabilității: un manual pentru licee. Moscova: Şcoala superioară, 2006;
2. Gmurman V.E. Teoria Probabilității și Statistica Matematică. Proc. indemnizație pentru universități. M: Liceu, 1998;
3. Gnedenko B.V. Eseu despre teoria probabilității. M.: Editorial URSS, 2009;
4. Maistrov L.E. Dezvoltarea teoriei probabilității. M.: Nauka, 1980;
5. Maistrov L.E. Teoria probabilității. eseu istoric. Moscova: Nauka, 1967
6. Sobolev E.V. Organizarea suportului tehnic radio pentru zboruri (partea 1). Sankt Petersburg, 2008;
7.
http://verojatnost. pavlovkashkola.edusite.ru/p8aa1.html
8. http://shpora.net/index.cgi? act=view&id=4966