Definiția 1. ) se numește ortogonală dacă toate elementele sale sunt ortogonale perechi:

Teorema 1. Un sistem ortogonal de vectori nenuli este liniar independent.

(Să presupunem că sistemul este dependent liniar: și, pentru certitudine, Înmulțim egalitatea scalară cu . Ținând cont de ortogonalitatea sistemului, obținem: }

Definiția 2. Sistemul de vectori ai spațiului euclidian ( ) se numește ortonormal dacă este ortogonal și norma fiecărui element este egală cu unu.

Din teorema 1 rezultă imediat că un sistem ortonormal de elemente este întotdeauna independent liniar. Din aceasta, la rândul său, rezultă că n– sistem dimensional spațial euclidian ortonormal al n vectorii formează o bază (de exemplu, ( i, j, k ) în 3 X- spatiul dimensional).Un astfel de sistem se numeste baza ortonormala, iar vectorii săi sunt orte de bază.

Coordonatele unui vector pe o bază ortonormală pot fi calculate cu ușurință folosind produsul scalar: dacă Într-adevăr, înmulțind egalitatea pe , obținem formula indicată.

În general, toate mărimile de bază: produsul scalar al vectorilor, lungimea unui vector, cosinusul unghiului dintre vectori etc. au cea mai simplă formă pe bază ortonormală. Se consideră produsul scalar: , deoarece

Toți ceilalți termeni sunt egali cu zero. De aici obținem imediat:

* Luați în considerare o bază arbitrară. Produsul scalar din această bază va fi egal cu:

(Aici un iȘi β j sunt coordonatele vectorilor din baza ( f), dar - produse punctate vectori de bază).

Cantitati γ ij formează o matrice G numit Matricea Gram. Produsul scalar sub formă de matrice va arăta astfel: *

Teorema 2.În orice n– într-un spațiu euclidian dimensional, există o bază ortonormală. Dovada teoremei este constructivă și se numește

9. Procesul de ortogonalizare Gram-Schmidt.

Lasa ( a 1 ,...,a n ) este o bază arbitrară n– spațiu euclidian dimensional (existența unei astfel de baze se datorează n- dimensiunea spațiului). Algoritm pentru construirea de baza dată ortonormal este după cum urmează:

1.b 1 \u003d a 1, e 1 \u003d b 1/|b 1|, |e 1|= 1.

2.b 2^e 1 , deoarece (e 1, a 2)- proiecție a 2 pe e 1, b 2 \u003d a 2 -(e 1, a 2)e 1 , e 2 \u003d b 2/|b 2|, |e 2|= 1.

3.b 3^a 1, b 3^a 2 , b 3 \u003d a 3 -(e 1, a 3)e 1 -(e 2 , a 3)e 2 , e 3 \u003d b 3/|b 3|, |e 3|= 1.

.........................................................................................................

k. b k^a 1 ,..., b k^a k-1 , b k = a k - S i=1 k(e i , a k)e i , e k = b k/|b k|, |e k|= 1.

Continuând procesul, obținem o bază ortonormală ( e 1 ,...,e n }.

Observație 1. Folosind algoritmul considerat, se poate construi o bază ortonormală pentru oricare înveliș liniar, de exemplu, o bază ortonormală a intervalului liniar al unui sistem care are rang egal cu trei și constă din vectori cinci-dimensionali.

Exemplu.X =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Observația 2. Cazuri speciale

Procesul Gram-Schmidt poate fi aplicat liniar unei secvențe infinite vectori independenți.

În plus, procesul Gram-Schmidt poate fi aplicat liniar vectori dependenți. În acest caz, emite 0 (vector zero) pe pas j , dacă aj este o combinație liniară de vectori a 1 ,...,a j -1 . Dacă se poate întâmpla acest lucru, atunci pentru a păstra ortogonalitatea vectorilor de ieșire și pentru a preveni diviziunea la zero în timpul ortonormalizării, algoritmul ar trebui să verifice dacă există vectori zero și să-i arunce. Numărul de vectori produși de algoritm va fi egal cu dimensiunea subspațiului generat de vectori (adică numărul de vectori liniar independenți care pot fi distinși de vectorii originali).

10. Spații vectoriale geometrice R 1 , R 2 , R 3 .

Subliniem că direct sens geometric au doar spatii

R1, R2, R3. Spațiul R n pentru n > 3 este un obiect abstract pur matematic.

1) Fie dat un sistem de doi vectori A Și b . Dacă sistemul este dependent liniar, atunci unul dintre vectori, să spunem A , se exprimă liniar în termenii celuilalt:

A= k b.

Doi vectori legați printr-o astfel de dependență, așa cum am menționat deja, sunt numiți coliniari. Deci, un sistem de doi vectori este dependent liniar dacă și numai

când acești vectori sunt coliniari. Rețineți că această concluzie se aplică nu numai pentru R 3 , ci și pentru orice spațiu liniar.

2) Fie sistemul din R3 format din trei vectori a, b, c . Dependență liniarăînseamnă că unul dintre vectori, să zicem A , se exprimă liniar în termenii restului:

dar= k b+ l c . (*)

Definiție. Trei vectori a, b, c în R 3 situate în același plan sau paralele cu același plan se numesc coplanare

(figura din stânga arată vectorii a, b, c dintr-un plan, iar în dreapta aceiași vectori sunt reprezentați grafic din origini diferite și sunt doar paraleli cu un singur plan).

Deci, dacă trei vectori din R3 sunt dependenți liniar, atunci ei sunt coplanari. Este adevărat și invers: dacă vectorii a, b, c de la R3 sunt coplanare, apoi sunt dependente liniar.

arta vectoriala vector A, pe vector b în spațiu se numește vector c , care îndeplinește următoarele cerințe:

Desemnare:

Se consideră un triplu ordonat de vectori necoplanari a, b, c în spațiul tridimensional. Să combinăm originile acestor vectori la punctul DAR(adică alegem un punct în mod arbitrar în spațiu DARși mutați fiecare vector în paralel astfel încât originea lui să coincidă cu punctul DAR). Capetele vectorilor, combinate de începuturile într-un punct DAR, nu se află pe o linie dreaptă, deoarece vectorii sunt necoplanari.

Triplul ordonat al vectorilor necoplanari a, b, c în trei dimensiuni se numește dreapta, dacă de la sfârșitul vectorului c cea mai scurtă viraj de la vector A la vector b vizibil pentru un observator în sens invers acelor de ceasornic. În schimb, dacă virajul cel mai scurt este văzut în sensul acelor de ceasornic, atunci se numește tripla stânga.

O altă definiție este legată de mana dreapta persoană (vezi figura), de unde provine numele.

Toate triplele de vectori care sunt drepte unul față de celălalt (și stânga unul față de celălalt) se spune că sunt orientați în mod egal.

Dacă pe plan sunt aleși doi vectori reciproc perpendiculari de lungime unitară (Fig. 7), atunci un vector arbitrar din același plan poate fi extins în direcțiile acestor doi vectori, adică să-l reprezinte sub forma

unde sunt numere egale cu proiecțiile vectorului pe direcțiile axelor.Deoarece proiecția pe axă este egală cu produsul dintre lungime și cosinusul unghiului cu axa, atunci, amintind definiția produsului scalar , putem scrie

În mod similar, dacă în spatiu tridimensional alegeți oricare trei vectori reciproc perpendiculari de lungime unitară, apoi un vector arbitrar din acest spațiu poate fi reprezentat ca

În spațiul Hilbert se pot considera și sisteme în perechi vectori ortogonali acest spațiu, adică funcțiile

Astfel de sisteme de funcții sunt numite sisteme ortogonale de funcții și joacă un rol important în analiză. Ele sunt întâlnite în diverse probleme de fizică matematică, ecuații integrale, calcule aproximative, teoria funcțiilor unei variabile reale și așa mai departe. a crea concept general Spațiul Hilbert.

Să dăm definiții precise. Sistem de funcții

se numește ortogonală dacă oricare două funcții ale acestui sistem sunt ortogonale una față de cealaltă, adică dacă

În spațiul tridimensional, am cerut ca lungimile vectorilor sistemului să fie egale cu unu. Reamintind definiția lungimii unui vector, vedem că în cazul unui spațiu Hilbert, această cerință se scrie după cum urmează:

Un sistem de funcții care îndeplinește cerințele (13) și (14) se numește ortogonal și normalizat.

Să dăm exemple de astfel de sisteme de funcții.

1. Pe interval, luați în considerare șirul de funcții

Fiecare două funcții din această secvență sunt ortogonale una față de cealaltă. Acest lucru este verificat prin calculul simplu al integralelor corespunzătoare. Pătratul lungimii unui vector în spațiul Hilbert este integrala pătratului funcției. Astfel, pătratele lungimilor vectorilor de secvență

esența integralelor

adică secvența noastră vectorială este ortogonală, dar nu normalizată. Lungimea primului vector al secvenței este și tot

restul au lungime. Prin împărțirea fiecărui vector la lungimea sa, obținem un sistem ortogonal și normalizat funcții trigonometrice

Acest sistem este din punct de vedere istoric unul dintre primele și cele mai importante exemple de sisteme ortogonale. A apărut în lucrările lui Euler, D. Bernoulli, D'Alembert în legătură cu problema vibrațiilor corzilor. Studiul său a jucat un rol esențial în dezvoltarea întregii analize.

Apariția unui sistem ortogonal de funcții trigonometrice în legătură cu problema vibrațiilor corzilor nu este întâmplătoare. Fiecare problemă a oscilațiilor mici ale unui mediu duce la un anumit sistem de funcții ortogonale care descriu așa-numitele oscilații naturale ale sistemului dat (vezi § 4). De exemplu, în legătură cu problema vibrațiilor unei sfere, apar așa-numitele funcții sferice; în legătură cu problema vibrațiilor unei membrane circulare sau a unui cilindru, apar așa-numitele funcții cilindrice etc.

2. Putem da un exemplu de sistem ortogonal de funcții, fiecare funcție fiind un polinom. Un astfel de exemplu este șirul de polinoame Legendre

adică există (până la un factor constant) derivata de ordin a lui . Scriem primele câteva polinoame ale acestei secvențe:

Evident, există un polinom de grad în general. Lăsăm cititorului să verifice singur că aceste polinoame sunt o secvență ortogonală pe interval

Teoria generală a polinoamelor ortogonale (așa-numitele polinoame ortogonale cu greutate) a fost dezvoltată de remarcabilul matematician rus P. L. Cebyshev în a doua jumătate a secolului al XIX-lea.

Extinderea în sistemele ortogonale de funcții. La fel ca în spațiul tridimensional, fiecare vector poate fi reprezentat

la fel de combinație liniară trei vectori ortogonali pe perechi de unitate de lungime

în spațiul funcțiilor, se pune problema extinderii unei funcții arbitrare într-o serie în termenii unui sistem ortogonal și normalizat de funcții, adică a reprezentării unei funcții sub forma

În acest caz, convergența seriei (15) la o funcție este înțeleasă în sensul distanței dintre elemente din spațiul Hilbert. Aceasta înseamnă că abaterea pătratică medie a sumei parțiale a seriei de la funcție tinde spre zero la , i.e.

Această convergență este de obicei numită „convergență medie”.

Expansiunile în diverse sisteme de funcții ortogonale sunt adesea întâlnite în analiză și reprezintă o metodă importantă pentru rezolvarea problemelor de fizică matematică. Deci, de exemplu, dacă un sistem ortogonal este un sistem de funcții trigonometrice pe interval

atunci o astfel de expansiune este expansiunea clasică a unei funcții într-o serie trigonometrică

Să presupunem că expansiunea (15) este posibilă pentru orice funcție din spațiul Hilbert și să găsim coeficienții unei astfel de expansiuni. Pentru a face acest lucru, înmulțim scalar ambele părți ale egalității cu aceeași funcție a sistemului nostru. Obținem egalitate

din care, datorită faptului că at este determinată de valoarea coeficientului

Vedem că, ca și în spațiul tridimensional obișnuit (vezi începutul acestui paragraf), coeficienții sunt egali cu proiecțiile vectorului pe direcțiile vectorilor.

Reamintind definiția produsului scalar, obținem că coeficienții de expansiune a unei funcții în ceea ce privește sistemul ortogonal și normalizat de funcții

sunt determinate de formule

Ca exemplu, luați în considerare sistemul trigonometric normalizat ortogonal de funcții prezentat mai sus:

Am obținut o formulă pentru calcularea coeficienților de extindere a unei funcții într-o serie trigonometrică, presupunând, desigur, că această expansiune este posibilă.

Am stabilit forma coeficienților de expansiune (18) ai unei funcții în termenii unui sistem ortogonal de funcții în ipoteza că o astfel de expansiune are loc. Cu toate acestea, un sistem ortogonal infinit de funcții poate să nu fie suficient pentru a extinde orice funcție dintr-un spațiu Hilbert în termenii acesteia. Pentru ca o astfel de descompunere să fie posibilă, sistemul de funcții ortogonale trebuie să satisfacă o condiție suplimentară, așa-numita condiție de completitudine.

Un sistem ortogonal de funcții se numește complet dacă este imposibil să se adauge la el o singură funcție care nu este identic zero și ortogonală cu toate funcțiile sistemului.

Este ușor să dați un exemplu de sistem ortogonal incomplet. Pentru a face acest lucru, luăm un sistem ortogonal, de exemplu, același

sistem de funcții trigonometrice și excludeți una dintre funcțiile acestui sistem, de exemplu, sistemul infinit de funcții rămas

va fi în continuare ortogonală, desigur, nu va fi completă, deoarece funcția : exclusă de noi este ortogonală la toate funcțiile sistemului.

Dacă sistemul de funcții nu este complet, atunci nu orice funcție din spațiul Hilbert poate fi extinsă în funcție de acesta. Într-adevăr, dacă încercăm să extindem o funcție zero ortogonală cu toate funcțiile sistemului dintr-un astfel de sistem, atunci, în virtutea formulelor (18), toți coeficienții vor fi egali cu zero, în timp ce funcția nu este egală cu zero.

Următoarea teoremă este valabilă: dacă este dat un sistem complet ortogonal și normalizat de funcții într-un spațiu Hilbert, atunci orice funcție poate fi extinsă într-o serie în ceea ce privește funcțiile acestui sistem

În acest caz, coeficienții de expansiune sunt egali cu proiecțiile vectorilor pe elementele sistemului normalizat ortogonal.

Teorema lui Pitagora din § 2 în spațiul Hilbert ne permite să găsim o relație interesantă între coeficienți și funcție.Notăm prin diferența dintre și suma primilor termeni ai seriei sale, i.e.

Despre ce vorbim

Apariția pe Habré a unei postări despre filtrul Madgwick a fost în felul său un eveniment simbolic. Aparent, interesul general pentru drone a reînviat interesul pentru problema estimării orientării corpului din măsurători inerțiale. În același timp, metodele tradiționale bazate pe filtrul Kalman au încetat să mai mulțumească publicul - fie din cauza cerințelor ridicate de resurse de calcul care sunt inacceptabile pentru drone, fie din cauza setărilor complexe și neintuitive ale parametrilor.

Postarea a fost însoțită de o implementare a filtrului foarte compactă și eficientă în C. Cu toate acestea, judecând după comentarii, sens fizic acest cod, precum și întregul articol, au rămas vagi pentru cineva. Ei bine, să fim sinceri: filtrul Madgwick este cel mai complicat din grupul de filtre bazat pe principii în general foarte simple și elegante. Aceste principii vor fi discutate în postarea mea. Nu va exista niciun cod aici. Postarea mea nu este o poveste despre vreo implementare specifică a algoritmului de estimare a orientării, ci mai degrabă o invitație de a-ți inventa propriile variații pe o anumită temă, dintre care pot fi multe.

Vedere de orientare

Să ne amintim elementele de bază. Pentru a estima orientarea unui corp în spațiu, este necesar mai întâi să alegem niște parametri care împreună determină în mod unic această orientare, adică. de fapt, orientarea sistemului de coordonate asociat față de un sistem staționar condiționat - de exemplu, sistemul geografic NED (North, East, Down). Apoi trebuie să faceți ecuații cinematice, adică. exprimă viteza de modificare a acestor parametri în termeni de viteză unghiulară de la giroscoape. În cele din urmă, măsurătorile vectoriale de la accelerometre, magnetometre etc. trebuie incluse în calcul. Iată cele mai comune moduri de a reprezenta orientarea:

Unghiurile lui Euler- rostogolire (rulare, ), pitch (pitch, ), heading (direct, ). Acesta este cel mai clar și mai concis set de parametri de orientare: numărul de parametri este exact egal cu numărul de grade de libertate de rotație. Pentru aceste unghiuri, putem scrie Ecuații Euler cinematice. Le plac foarte mult mecanică teoretică, dar sunt de puțin folos în sarcinile de navigare. În primul rând, cunoașterea unghiurilor nu vă permite să convertiți direct componentele oricărui vector dintr-un sistem de coordonate limitat într-un sistem de coordonate geografice sau invers. În al doilea rând, la un pas de ±90 de grade, ecuațiile cinematice degenerează, ruliu și direcția devin incerte.

Matricea de rotație este o matrice 3x3 prin care se înmulțește orice vector din sistemul de coordonate asociat pentru a obține același vector din sistemul geografic: . Matricea este întotdeauna ortogonală, adică . Ecuația cinematică a acesteia are forma .
Iată o matrice de componente viteză unghiulară, măsurată cu giroscoape într-un sistem de coordonate cuplat:

Matricea de rotație este puțin mai puțin clară decât unghiurile Euler, dar spre deosebire de acestea, vă permite să transformați direct vectori și nu își pierde sensul pentru nicio poziție unghiulară. Din punct de vedere computațional, principalul său dezavantaj este redundanța: de dragul a trei grade de libertate, sunt introduși nouă parametri deodată și toți trebuie actualizați conform ecuației cinematice. Problema poate fi ușor simplificată prin utilizarea ortogonalității matricei.

cuaternion de rotație- un remediu radical, dar foarte neintuitiv împotriva redundanței și degenerării. Acesta este un obiect cu patru componente - nu un număr, nu un vector, nu o matrice. Cuaternionul poate fi privit din două unghiuri. În primul rând, ca sumă formală a unui scalar și a unui vector, unde - vectori unitari topoare (care, desigur, sună absurd). În al doilea rând, ca o generalizare numere complexe, care acum folosește nu unul, ci trei diferit unități imaginare (ceea ce sună nu mai puțin absurd). Cum este legat cuaternionul de rotație? Prin teorema lui Euler: un corp poate fi întotdeauna transferat de la o orientare dată la alta printr-o rotație finită printr-un unghi în jurul unei axe cu un vector de direcție. Aceste unghiuri și axe pot fi combinate într-un cuaternion: . Ca o matrice, un cuaternion poate fi folosit pentru a transforma direct orice vector dintr-un sistem de coordonate în altul: . După cum puteți vedea, reprezentarea cuaternică a orientării suferă și ea de redundanță, dar mult mai puțin decât cea matriceală: există un singur parametru în plus. O revizuire detaliată a cuaterniilor a fost deja pe Habré. Era vorba despre geometrie și grafică 3D. Ne interesează și cinematica, deoarece viteza de schimbare a cuaternionului trebuie să fie legată de viteza unghiulară măsurată. Ecuația cinematică corespunzătoare are forma , unde vectorul este considerat și un cuaternion cu o parte scalară zero.

Scheme de filtrare

Cea mai naivă abordare a calculării orientării este să ne înarmam cu o ecuație cinematică și să actualizăm orice set de parametri care ne place în funcție de aceasta. De exemplu, dacă am ales o matrice de rotație, putem scrie o buclă cu ceva de genul C += C * Omega * dt . Rezultatul va fi dezamăgitor. Giroscoapele, în special MEMS, au decalaje de zero mari și instabile - ca urmare, chiar și în repaus complet, orientarea calculată va avea o eroare (deriva) care se acumulează infinit. Toate trucurile inventate de Mahoney, Madgwick și mulți alții, inclusiv eu, aveau ca scop compensarea acestei derive prin implicarea măsurătorilor de la accelerometre, magnetometre, receptoare GNSS, lag-uri etc. Astfel s-a născut o întreagă familie de filtre de orientare bazate pe un principiu de bază simplu.

Principiu de bază. Pentru a compensa deviația de orientare, este necesar să adăugați la viteza unghiulară măsurată de giroscoape o viteză unghiulară de control suplimentară construită pe baza măsurătorilor vectoriale ale altor senzori. Vectorul viteză unghiulară de control ar trebui să aibă tendința de a potrivi direcțiile vectorilor măsurați cu direcțiile reale cunoscute ale acestora.

Aici se află o abordare complet diferită decât în ​​construcția termenului corector al filtrului Kalman. Principala diferență este că viteza unghiulară de control - nu un termen, ci un factor cu valoarea estimată (matrice sau cuaternion). Acest lucru are ca rezultat beneficii importante:

• Un filtru de estimare poate fi construit pentru orientarea în sine, și nu pentru mici abateri ale orientării față de cea dată de giroscoape. În acest caz, valorile estimate vor îndeplini automat toate cerințele impuse de problemă: matricea va fi ortogonală, cuaternionul va fi normalizat.
• Semnificația fizică a vitezei unghiulare de control este mult mai clară decât termenul corectiv din filtrul Kalman. Toate manipulările se fac cu vectori și matrice în spațiul fizic tridimensional obișnuit, și nu în spațiul de stări multidimensional abstract. Acest lucru simplifică foarte mult rafinarea și reglarea filtrului și, ca bonus, vă permite să scăpați de matrice mari și biblioteci de matrice grele.

Acum să vedem cum este implementată această idee în anumite opțiuni de filtrare.

filtru mahoney. Toată matematica atrăgătoare din articolul original al lui Mahoney a fost scrisă pentru a justifica ecuații simple (32). Să le rescriem în notația noastră. Dacă ignorăm estimarea decalajelor zero ale giroscoapelor, atunci rămân două ecuații cheie - ecuația cinematică pentru matricea de rotație în sine (cu viteza unghiulară de control sub forma unei matrice) și legea de formare a acestei viteze sub forma a unui vector. Să presupunem, pentru simplitate, că nu există accelerații sau pickup-uri magnetice și, datorită acestui lucru, măsurătorile de accelerație sunt disponibile pentru noi cădere liberă de la accelerometre și tensiune camp magnetic Pământul de la magnetometre. Ambii vectori sunt măsurați de senzori într-un sistem de coordonate legat, iar în sistemul geografic poziția lor este cunoscută cu siguranță: este îndreptată în sus, spre nordul magnetic. Apoi, ecuațiile filtrului Mahoney vor arăta astfel:

Să ne uităm îndeaproape la a doua ecuație. Primul termen din partea dreaptă este produs vectorial. Primul factor este accelerația gravitațională măsurată, al doilea este cel adevărat. Deoarece factorii trebuie să fie în același sistem de coordonate, al doilea factor este convertit în sistemul asociat prin înmulțirea cu . Viteza unghiulară, construită ca produs vectorial, este perpendiculară pe planul vectorilor multiplicatori. Vă permite să rotiți poziția calculată a sistemului de coordonate asociat până când vectorii multiplicatori coincid în direcție - apoi produsul vectorial va fi pus la zero și rotația se va opri. Coeficientul stabilește rigiditatea unui astfel de feedback. Al doilea termen efectuează o operație similară cu vector magnetic. De fapt, filtrul Mahoney întruchipează teza binecunoscută: cunoașterea a doi vectori necoliniari în două sisteme de coordonate diferite face posibilă restabilirea în mod unic a orientării reciproce a acestor sisteme. Dacă există mai mult de doi vectori, atunci aceasta va oferi o redundanță utilă de măsurare. Dacă există un singur vector, atunci un grad de libertate de rotație (mișcarea în jurul acestui vector) nu poate fi fixat. De exemplu, dacă este dat doar vectorul, atunci deviația de rulare și înclinare poate fi corectată, dar nu și curățarea.

Desigur, în filtrul Mahoney, nu este necesară utilizarea unei matrice de rotație. Există și variante de cuaternioane non-canonice.

Platformă giroscopică virtuală.În filtrul Mahoney, am aplicat viteza unghiulară de direcție unui sistem de coordonate cuplat. Dar îl puteți aplica la poziția calculată a sistemului de coordonate geografice. Ecuația cinematică ia apoi forma

Se pare că o astfel de abordare deschide calea către analogii fizice foarte fructuoase. Este suficient să ne amintim cu ce a început tehnologia giroscopică - direcții și sisteme de navigație inerțiale bazate pe o platformă girostabilizată într-o suspensie de cardan.

www.theairlinepilots.com

Sarcina platformei de acolo era să materializeze sistemul de coordonate geografice. Orientarea suportului a fost măsurată în raport cu această platformă prin senzori de unghi de pe cadrele de suspensie. Dacă giroscoapele au plutit, atunci platforma a plutit după ele, iar erorile s-au acumulat în citirile senzorilor de unghi. Pentru a elimina aceste erori, am introdus Părere de la accelerometrele instalate pe platformă. De exemplu, abaterea platformei de la orizont în jurul axei de nord a fost percepută de accelerometrul axei de est. Acest semnal a făcut posibilă setarea vitezei unghiulare de control, care readuce platforma la orizont.

Putem folosi aceleași concepte vizuale în problema noastră. Ecuația cinematică scrisă ar trebui apoi citită după cum urmează: rata de schimbare a orientării este diferența dintre două mișcări de rotație - mișcare absolută purtătorul (primul termen) și mișcarea absolută a giroplatformei virtuale (al doilea termen). Analogia poate fi extinsă la legea de formare a vitezei unghiulare de control. Vectorul întruchipează citirile accelerometrelor care se presupune că stau pe platforma giroscopului. Apoi, din considerente fizice, putem scrie:

Exact același rezultat ar fi putut fi atins formal făcând multiplicarea vectorială în spiritul filtrului Mahoney, dar acum nu într-un sistem de coordonate conectat, ci într-un sistem de coordonate geografice. Este doar necesar?

Primul indiciu al unei analogii utile între platformă și navigația inerțială strapdown apare într-un vechi brevet Boeing. Apoi această idee a fost dezvoltată în mod activ de Salychev, și recent și de mine. Avantajele evidente ale acestei abordări:

• Viteza unghiulară de control poate fi formată pe baza unor principii fizice ușor de înțeles.
• Desigur, canalele orizontale și de curs sunt separate, care sunt foarte diferite în proprietățile și metodele lor de corecție. În filtrul Mahoney se amestecă.
• Este convenabil să se compenseze influența accelerațiilor prin utilizarea datelor GNSS, care sunt emise în axe geografice, mai degrabă decât înrudite.
• Este ușor de generalizat algoritmul în cazul navigației inerțiale de înaltă precizie, unde trebuie luate în considerare forma și rotația Pământului. Nu am idee cum să fac asta în schema Mahoney.

filtru Madgwick. Madgwick a ales calea grea. Dacă Mahoney, aparent, a ajuns intuitiv la decizia sa și apoi a justificat-o matematic, atunci Madgwick s-a arătat de la bun început a fi un formalist. S-a angajat să rezolve problema de optimizare. El a raționat astfel. Setați orientarea la cuaternionul de rotație. În cazul ideal, direcția calculată a unui vector măsurat (să-l avem) coincide cu cea adevărată. Atunci va fi. În realitate, acest lucru nu este întotdeauna realizabil (mai ales dacă există mai mult de doi vectori), dar puteți încerca să minimizați abaterea de la egalitatea exactă. Pentru a face acest lucru, introducem un criteriu de minimizare

Minimizarea necesită coborârea gradientului - deplasarea în pași mici în direcția opusă gradientului, de exemplu. opus creşterii celei mai rapide a funcţiei . Apropo, Madgwick greșește: în toate lucrările sale nu intră deloc și scrie insistent în loc de , deși de fapt calculează exact .

Coborârea gradientului duce în cele din urmă la următoarea condiție: pentru a compensa deviația de orientare, trebuie să adăugați la rata de modificare a cuaternionului din ecuația cinematică un nou termen negativ proporțional cu:

Aici Madgwick se abate puțin de la " principiu de bază”: adaugă un termen de corecție nu vitezei unghiulare, ci vitezei de schimbare a cuaternionului, iar acesta nu este exact același lucru. Ca urmare, se poate dovedi că cuaternionul actualizat nu va mai fi o unitate și, în consecință, își va pierde capacitatea de a reprezenta orientarea. Prin urmare, pentru filtrul Madgwick, normalizarea artificială a cuaternionului este o operație vitală, în timp ce pentru alte filtre este de dorit, nu opțional.

Influența accelerațiilor

Până acum, s-a presupus că nu există accelerații adevărate și că accelerometrele măsoară doar accelerația în cădere liberă. Acest lucru a făcut posibilă obținerea unui standard vertical și, cu ajutorul acestuia, să se compenseze deriva de rulare și tangere. Cu toate acestea, în cazul general, accelerometrele, indiferent de principiul lor de funcționare, măsoară accelerație aparentă- diferența vectorială a accelerației adevărate și a accelerației în cădere liberă. Direcția accelerației aparente nu coincide cu verticala, iar erorile datorate accelerațiilor apar în estimările de ruliu și înclinare.

Acest lucru poate fi ușor ilustrat folosind analogia unei platforme giroscopice virtuale. Sistemul său de corecție este proiectat în așa fel încât platforma să se oprească în poziția unghiulară în care semnalele accelerometrelor presupus instalate pe ea sunt anulate, adică. când vectorul măsurat devine perpendicular pe axele de sensibilitate ale accelerometrelor. Dacă nu există accelerații, această poziție coincide cu orizontul. Când apar accelerații orizontale, platforma giroscopică deviază. Putem spune că platforma giroscopică este similară cu un pendul sau cu plumb puternic amortizat.

În comentariile la postarea despre filtrul Majwick, a apărut întrebarea dacă este posibil să sperăm că acest filtru este mai puțin susceptibil la accelerații decât, de exemplu, filtrul Mahoney. Din păcate, toate filtrele descrise aici funcționează pe aceleași principii fizice și, prin urmare, suferă de aceleași probleme. Nu poți păcăli fizica cu matematica. Ce să faci atunci?

Cea mai simplă și mai crudă metodă a fost inventată la mijlocul secolului trecut pentru giroscopul vertical al aeronavei: pentru a reduce sau a reseta complet viteza unghiulară de control în prezența accelerațiilor sau viteza unghiulară a direcției (care indică intrarea într-o viraj) . Aceeași metodă poate fi transferată la sistemele strapdown actuale. În acest caz, accelerațiile ar trebui judecate după valori și nu , care la rândul lor sunt ele însele zero. Cu toate acestea, în mărime, nu este întotdeauna posibil să se distingă accelerațiile adevărate de proiecțiile accelerației în cădere liberă, din cauza însăși înclinarea platformei giroscopului, care trebuie eliminată. Prin urmare, metoda funcționează nesigur - dar nu necesită senzori suplimentari.

O metodă mai precisă se bazează pe utilizarea măsurătorilor externe de viteză de la un receptor GNSS. Dacă viteza este cunoscută, atunci poate fi diferențiată numeric și obține accelerație adevărată. Atunci diferența va fi exact egală indiferent de mișcarea transportatorului. Poate fi folosit ca standard vertical. De exemplu, se pot seta vitezele unghiulare de control ale platformei giroscopice în formă

Decalajele de zero ale senzorului

O caracteristică tristă a giroscoapelor și accelerometrelor de calitate pentru consumatori este instabilitatea mare a decalajelor zero în timp și temperatură. Pentru a le elimina, o singură calibrare din fabrică sau de laborator nu este suficientă - este necesară reevaluarea în timpul funcționării.

Giroscoape. Să ne ocupăm de decalajele zero ale giroscoapelor. Poziția calculată a sistemului de coordonate asociat se îndepărtează de poziția sa adevărată cu o viteză unghiulară determinată de doi factori de contracarare - decalajele zero ale giroscoapelor și viteza unghiulară de control: . Dacă sistemul de corecție (de exemplu, în filtrul Mahoney) a reușit să oprească deriva, atunci va fi în starea de echilibru. Cu alte cuvinte, viteza unghiulară de control conține informații despre o perturbație activă necunoscută. Prin urmare, puteți aplica evaluare compensatorie: nu cunoaștem în mod direct magnitudinea perturbării, dar știm ce acțiune corectivă este necesară pentru a o echilibra. Aceasta este baza pentru estimarea deplasărilor zero ale giroscoapelor. De exemplu, scorul lui Mahoney este actualizat conform legii

Cu toate acestea, rezultatul său este ciudat: estimările ajung la 0,04 rad/s. O astfel de instabilitate a decalajelor zero nu se întâmplă nici măcar cu cele mai proaste giroscoape. Bănuiesc că problema este că Mahoney nu folosește GNSS sau alți senzori externi - și suferă de efectele accelerațiilor în toată măsura. Numai pe axa verticală, unde accelerațiile nu dăunează, estimarea pare mai mult sau mai puțin sensibilă:

Mahony și colab., 2008

accelerometre. Estimarea decalajelor zero ale accelerometrelor este mult mai dificilă. Informațiile despre ele trebuie extrase din aceeași viteză unghiulară de control. Cu toate acestea, în mișcare rectilinie efectul decalajelor de zero ale accelerometrelor nu se distinge de înclinarea suportului sau de alinierea greșită a instalării unității senzorului pe acesta. Nu se creează aditivi la accelerometre. Aditivul apare numai în timpul unei viraj, ceea ce face posibilă separarea și evaluarea independentă a erorilor giroscoapelor și accelerometrelor. Un exemplu despre cum se poate face acest lucru este în articolul meu. Iată imagini de acolo:

În loc de o concluzie: cum rămâne cu filtrul Kalman?

Nu am nicio îndoială că filtrele descrise aici vor avea aproape întotdeauna un avantaj față de filtrul tradițional Kalman în ceea ce privește viteza, compactitatea codului și ușurința de personalizare - pentru asta au fost create. În ceea ce privește acuratețea estimării, totul nu este atât de clar aici. Am văzut filtre Kalman proiectate fără succes, care, în ceea ce privește acuratețea, s-au pierdut vizibil în fața unui filtru cu o platformă giroscopică virtuală. Madgwick a argumentat, de asemenea, beneficiile filtrului său cu privire la niste Kalman estimează. Cu toate acestea, pentru aceeași problemă de estimare a orientării, pot fi construite cel puțin o duzină de circuite de filtrare Kalman diferite și fiecare va avea un număr infinit de opțiuni de reglare. Nu am niciun motiv să cred că filtrul Mahoney sau Madgwick va fi mai precis cel mai bun posibil filtre Kalman. Și, desigur, abordarea Kalman va avea întotdeauna avantajul universalității: nu impune restricții stricte asupra proprietăților dinamice specifice ale sistemului evaluat.

Egal cu zero:

.

Un sistem ortogonal, dacă este complet, poate fi folosit ca bază pentru spațiu. În acest caz, descompunerea oricărui element poate fi calculată prin formulele: , unde .

Cazul în care norma tuturor elementelor se numește sistem ortonormal.

Ortogonalizarea

Orice sistem complet independent liniar într-un spațiu finit este o bază. De la o bază simplă, așadar, se poate trece la o bază ortonormală.

Descompunerea ortogonală

La descompunerea vectorilor unui spațiu vectorial pe bază ortonormală, calculul produsului scalar este simplificat: , unde și .

Vezi si

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „Sistemul ortogonal” în alte dicționare:

1) Oh... Enciclopedie matematică

- (greacă orthogonios dreptunghiulară) un sistem finit sau numărabil de funcții aparținând unui spațiu Hilbert (separabil) L2(a,b) (funcții integrabile pătrat) și care îndeplinește condițiile Funcția g(x) numită. cântărind O. s. f., * înseamnă ...... Enciclopedia fizică

Sistemul de functii??n(x)?, n=1, 2,..., definit pe interval spațiu vectorial, care păstrează lungimile sau (care este echivalent cu aceasta) produsele scalare ale vectorilor ... Dicţionar enciclopedic mare

Un sistem de funcții (φn(x)), n = 1, 2, ..., definit pe segmentul [a, b] și care satisface următoarea condiție de ortogonalitate: pentru k≠l, unde ρ(x) este o funcție numită greutate. De exemplu, sistemul trigonometric 1, sin x, cos x, sin 2x, ... ... Dicţionar enciclopedic

Un sistem de funcții ((fn(x)), n=1, 2, ..., definite pe segmentul [a, b] și care îndeplinesc condiția de ortogonalitate a urmei pentru k nu este egal cu l, unde p(x) este o funcție nelimită, numită greutate De exemplu, sistemul trigonometric 1, sin x, cosx, sin 2x, cos 2x, ... O.s.f. cu greutate ... ... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Sistem de funcții ((φn (x)), n = 1, 2,..., ortogonal cu greutatea ρ (x) pe segmentul [a, b], adică astfel încât Exemple. Sistem trigonometric 1, cos nx , sin nx; n = 1, 2,..., OSF cu greutatea 1 pe intervalul [ π, π]. Bessel … Marea Enciclopedie Sovietică

Coordonatele ortogonale sunt coordonate în care tensorul metric are o formă diagonală. unde d În sistemele de coordonate ortogonale q = (q1, q², …, qd) suprafețele de coordonate sunt ortogonale între ele. În special, în sistemul de coordonate carteziene ... ... Wikipedia

sistem multicanal ortogonal- - [L.G. Sumenko. Dicționar englez rus de tehnologii informaționale. M .: GP TsNIIS, 2003.] Subiecte tehnologia informației în general EN multiplex ortogonal ...

sistem de coordonate a imaginii (fotogrammetrice).- Ortogonală dreapta sistem spațial coordonate fixate pe o imagine fotogrammetrică prin imagini ale semnelor de referință. [GOST R 51833 2001] Subiecte fotogrammetrie... Manualul Traducătorului Tehnic

sistem- 4.48 combinație de sistem de elemente care interacționează organizate pentru a atinge unul sau mai multe obiective enunțate Nota 1 la intrare: Un sistem poate fi văzut ca un produs sau ca serviciile pe care le oferă. Nota 2 În practică…… Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice

1) O. astfel încât (x a , X ab)=0 la . Dacă, în plus, norma fiecărui vector este egală cu unu, atunci se numește sistemul (x a ). ortonormal. Complete O. s. (x a ) numit. bază ortogonală (ortonormală). M. I. Voitsekhovsky.

2) O. s. coordonate - un sistem de coordonate și care linii de coordonate (sau suprafețe) se intersectează în unghi drept. O. s. coordonatele există în orice spațiu euclidian, dar, în general, nu există într-un spațiu arbitrar. Într-un spațiu afin neted bidimensional O. s. poate fi introdus oricând cel puţin într-o vecinătate suficient de mică a fiecărui punct. Introducerea lui O. este uneori posibilă cu. coordonatele în caz. În O. cu. metric tensor g ij diagonale; componente diagonale gii acceptat ca Coeficienți lame. Coeficient de șchioapă O. s. în spațiu sunt exprimate prin formule

Unde X yȘi z- Coordonate dreptunghiulare carteziene. Elementul de lungime este exprimat prin coeficienții Lame:

element de suprafață:

element de volum:

operații diferențiale vectoriale:

Cel mai des folosit O. s. coordonate: pe plan - carteziene, polare, eliptice, parabolice; în spațiu - sferic, cilindric, paraboloidal, bicilindric, bipolar. D. D. Sokolov.

3) O. s. funcții - un sistem finit sau de numărare (j i(x)) a funcțiilor aparținând spațiului

L2(X, S, m) și îndeplinirea condițiilor

Dacă l i=1 pentru toate eu, atunci sistemul este apelat ortonormal. Se presupune că măsura m(x) definită pe s-algebra S de submulțimi ale mulțimii X este aditivă numărabilă, completă și are o bază numărabilă. Aceasta este definiția lui O. pentru s. include toate considerate analiza modernă O. s.; se obtin pentru diverse realizari concrete ale spatiului de masura ( X, S, m).

De cel mai mare interes sunt sistemele ortonormale complete (j n(x)), care au proprietatea că pentru orice funcție există o serie unică care converge către f(x) în metrica spațială L2(X, S, m) , în timp ce coeficienţii cu p sunt determinate de formulele Fourier

Astfel de sisteme există datorită separabilității spațiului L2(X, S, m). O metodă universală de construire a sistemelor ortonormale complete este oferită de metoda de ortogonalizare Schmidt. Pentru a face acest lucru, este suficient să-l aplicați la unele complete L2(S X, m) un sistem de funcţii liniar independente.

Teoretic rânduri ortogonale în sunt considerate în general de O. de pag. spaţiu L2[a, b](acel caz special când X=[a, b], S- un sistem de mulţimi măsurabile Lebesgue, iar m este măsura Lebesgue). Multe teoreme privind convergența sau sumabilitatea seriei , , în raport cu o. s. generală. (j n(x)) spații L2[a, b] sunt valabile și pentru serii din sistemele ortonormale ale spațiului L2(X, S, m). În același timp, în acest caz particular, s-au construit sisteme ortogonale interesante din beton care au proprietăți bune de un fel sau altul. Așa sunt, de exemplu, sistemele lui Haar, Rademacher, Walsh-Paley, Franklin.

1) Sistemul Haar

unde m=2 n+k, , m=2, 3, ... . Seria Haar reprezintă un exemplu tipic martingale iar teoremele generale din teoria martingale sunt valabile pentru ei. Mai mult, sistemul este o bază în Lp, , și seria Fourier din sistemul Haar a oricărei funcții integrabile converge aproape peste tot.

2) Sistemul Rademacher

reprezintă un exemplu important de O. de pag. funcţii independente şi are aplicaţii atât în ​​teoria probabilităţilor cât şi în teoria serii funcţionale ortogonale şi generale.

3) Sistemul Walsh-Paley este definit prin funcțiile Rademacher:

unde sunt numerele q k sunt determinate din expansiunea binară a numărului n:

4) Sistemul Franklin se obține prin ortogonalizarea prin metoda Schmidt a succesiunii de funcții

Este un exemplu de bază ortogonală a spațiului C funcții continue.

În teoria serii ortogonale multiple, sisteme de funcții ale formei

unde este sistemul ortonormal L2[a, b]. Astfel de sisteme sunt ortonormale pe cubul m-dimensional J m =[a, b]X . . .X[ a, b] și sunt complete dacă sistemul (j n(X))

Lit.:[l] Kaczmarz S., Steinhaus G., Teoria seriei ortogonale, trad. din germană, M., 1958; Rezultatele științei. Analiza matematică, 1970, M., 1971, p. 109-46; acolo, p. 147-202; Dub J., Procese probabilistice, trad. din engleză, M., 1956; Loev M., Teoria probabilității, trad. din engleză, M., 1962; Sigmund A., Seria trigonometrică, trad. din engleză, vol. 1-2, M., 1965. A. A. Talalyan.

• - un sistem finit sau numărabil de funcții aparținând spațiului Hilbert L2 și care satisface condițiile funcției gnas. cântărind O. s. f.,* înseamnă conjugare complexă...

  Enciclopedia fizică

• - un grup al tuturor transformări liniare spațiu vectorial n-dimensional V peste un câmp k păstrând o formă pătratică fixă ​​nedegenerată Q pe V)=Q pentru orice)...

  Enciclopedie matematică

• este o matrice peste un inel comutativ R cu identitate 1, pentru care matricea transpusă coincide cu inversul. Determinantul lui O. m. este egal cu +1...

  Enciclopedie matematică

• - o retea pentru care tangentele la un moment dat la liniile diferitelor familii sunt ortogonale. Exemple de O. s.: rețea asimptotică pe o suprafață minimă, rețea de curbură a liniilor. A. V. Ivanov...

  Enciclopedie matematică

• este o matrice ortogonală, OA este o matrice de dimensiunea kx N, ale cărei elemente sunt numerele 1, 2, .....

  Enciclopedie matematică

• - vezi traiectoria izogonala...

  Enciclopedie matematică

• - Engleză: Sistem „generator - motor” Acționare electrică reglată, al cărui dispozitiv de conversie este o unitate de conversie a mașinii electrice Sursa: Termeni și definiții în industria energiei electrice ...

  Dicționar de construcții

• - vezi proiecția...

  Marele dicționar politehnic enciclopedic

• - procedura de stabilire a rezultatelor alegerilor, în care mandatele se repartizează între partidele care și-au desemnat candidații la organul reprezentativ în funcție de numărul de voturi pe care le-au primit...

  Glosar de termeni juridici

• - un fel de sistem electoral proporţional. De rezultate finale seamana cu un sistem proportional cu panache si vot preferential...

  Glosar de termeni juridici

• - organe ale corpului uman implicate în procesul de reproducere a descendenților...

  termeni medicali

• - o serie de patru tipuri de gene care codifică proteine ​​polimorfe găsite pe suprafața majorității celulelor nucleate...

  termeni medicali

• - comanda n Matrix...
• - un caz special de proiecție paralelă, când axa sau planul de proiecție este perpendicular pe direcția de proiecție...

  Marea Enciclopedie Sovietică

• - sistem de funcții (), n = 1, 2,..., ortogonal cu greutatea ρ pe interval, adică astfel încât Exemple. Sistem trigonometric 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O. s. f. cu greutatea 1 pe segment...

  Marea Enciclopedie Sovietică

• - sistem ORTOGONAL de FUNCȚII - sistem de funcții??n?, n=1, 2,.....

  Dicționar enciclopedic mare

„SISTEM ORTHOGONAL” în cărți

Secțiunea XXIV Vechiul sistem de război de tranșee și sistemul modern de marșuri

Din cartea Strategie and Tactics in the Art of War autor Jomini Genrikh Veniaminovici

Paragraful XXIV Vechiul sistem de război de poziție și sistemul modern de marșuri Prin sistem de poziții se înțelege vechea metodă de a conduce un război metodic cu armatele dormind în corturi, având provizii la îndemână, angajate în observarea reciprocă; o singură armată

19. Conceptul de „sistem fiscal al Federației Ruse”. Corelația dintre conceptele de „sistem fiscal” și „sistem fiscal”

Din cartea Drept fiscal autorul Mikidze S G

19. Conceptul de „sistem fiscal al Federației Ruse”. Corelația dintre conceptele de „sistem fiscal” și „sistem fiscal” Sistemul de impozite este un set de impozite federale stabilite în Federația Rusă, impozite regionale și locale. Structura sa este consacrată în art. 13–15 din Codul fiscal al Federației Ruse, în conformitate cu

Din cartea Cum a fost cu adevărat. Reconstrucţie istorie adevarata autor Nosovski Gleb Vladimirovici

23. Sistemul geocentric al lui Ptolemeu și sistemul heliocentric al lui Tycho Brahe (și Copernic) Sistemul lumii lui Tycho Brahe este prezentat în fig. 90. În centrul lumii se află Pământul, în jurul căruia se învârte Soarele. Cu toate acestea, toate celelalte planete se învârt deja în jurul Soarelui. Exact

23. Sistemul geocentric al lui Ptolemeu și sistemul heliocentric al lui Tycho Brahe (și Copernic)

Din cartea autorului

23. Sistemul geocentric al lui Ptolemeu și sistemul heliocentric al lui Tycho Brahe (și Copernic) Sistemul lumii lui Tycho Brahe este prezentat în fig. 90. În centrul lumii se află Pământul, în jurul căruia se învârte Soarele. Cu toate acestea, toate celelalte planete se învârt deja în jurul Soarelui. Exact

matrice ortogonală

TSB

proiecție ortogonală

Din cartea Big Enciclopedia Sovietică(SAU) autor TSB

Sistem ortogonal de funcții

Din cartea Marea Enciclopedie Sovietică (OR) a autorului TSB

49. Sistemul judiciar și sistemul agențiilor de aplicare a legii conform „Fundamentele Legislației URSS și ale Republicilor Uniunii” 1958

Din cartea Istoria statului și a dreptului Rusiei autor Pașkevici Dmitri

49. Sistemul judiciar și sistemul organelor de drept conform „Fundamentele legislației URSS și ale republicilor Uniunii” din 1958. Fundamentele legislației privind sistemul judiciar au stabilit principiile pentru construirea sistemului judiciar al URSS, principiile evaluării inter pares

Sistemul de drept obiectiv (pozitiv) și sistemul de legislație: corelarea conceptelor

Din cartea Jurisprudență autorul Mardaliev R.T.

Sistemul de drept obiectiv (pozitiv) și sistemul de legislație: corelarea conceptelor Sistemul de drept obiectiv (pozitiv) este structura internă a dreptului, împărțindu-l în ramuri, subsectoare și instituții în conformitate cu subiectul și metoda legale

29. Sistemul de guvernare obligatoriu și sistemul de autoguvernare locală în perioada unei monarhii reprezentative de clasă

autor

29. Sistemul de guvernare Prikaznaya și sistemul de autoguvernare locală în perioada unei monarhii reprezentative de clasă

86. Sistemul judiciar și sistemul agențiilor de aplicare a legii conform „Fundamentelor legislației URSS și ale republicilor Uniunii” 1958

Din cartea Cheat Sheet on the History of the State and Law of Russia autor Dudkina Ludmila Vladimirovna

86. Sistemul judiciar și sistemul organelor de drept conform „Fundamentele legislației URSS și ale republicilor Uniunii” 1958 Din 1948, legislația procedurală a URSS și a republicilor a suferit modificări semnificative:

31. Sistemul guvernamental francez, votul și sistemul electoral

Din cartea Dreptul constituțional al țărilor străine autorul Imasheva E G

31. Sistemul autorităţilor publice în Franţa, votul şi sistemul electoral În Franţa, există un guvern republican mixt (sau semiprezidenţial). Sistemul de guvernare în Franța este construit pe principiul separării puterilor.Franța modernă

44. Sistemul autorităților publice din Franța, votul și sistemul electoral

Din cartea Dreptul constituțional al țărilor străine. Pat de copil autor Belousov Mihail Sergheevici

44. Sistemul de guvernământ francez, votul și sistemul electoral Franța este o republică mixtă (semi-prezidențială), sistemul de guvernare se bazează pe principiul separației puterilor.

Capitolul IV. Sistem de conformitate cu două capete. Sistemul de insecte. Minisistem

Din cartea Su Jok pentru toată lumea de Woo Pak Jae

Capitolul IV. Sistem de conformitate cu două capete. Sistemul de insecte. Mini-sistem Sistem de corespondență cu dublu cap Există două sisteme de corespondență pentru cap pe degete de la mâini și de la picioare: sistemul „tip uman” și sistemul „tip animal”. Sistemul „tip uman”.

Primul centru emoțional - sistemul osos, articulațiile, circulația sângelui, sistemul imunitar, pielea

Din cartea Totul va fi bine! de Hay Louise

Primul centru emoțional - sistemul osos, articulațiile, circulația sângelui, sistemul imunitar, pielea Dacă sunteți lipsit de sprijinul familiei și al prietenilor pe care îl aveți