Munca de mutare a unei sarcini într-un câmp electrostatic nu depinde de forma căii de tranziție, ci depinde doar de poziția punctelor inițiale și finale de mișcare, adică. câmpul electrostatic al unei sarcini punctiforme este potențial, iar forțele electrostatice sunt conservative. În cazul în care sarcina q 0 se mișcă în câmpul sistemului de sarcini, atunci asupra sarcinii în mișcare acționează o forță conform principiului suprapunerilor și munca forței rezultante este egală cu suma algebrică a muncii forțele corespunzătoare:

, (7.11)

unde r i 1 şi r i 2 sunt distanţele de la sarcina q i până la punctele de început şi de sfârşit ale mişcării sarcinii q 0 . De asemenea, din formula (7.10) rezultă că munca efectuată atunci când o sarcină se mișcă într-un câmp electrostatic de-a lungul unui drum închis este zero, adică. . Dacă sarcina deplasată este luată ca unitate, atunci (7.11) se poate scrie:

, sau . (7,12)

Această integrală se numește circulaţia vectorului de tensiune de-a lungul unui contur închis.

Din teorema de circulație a vectorului de intensitate se pot trage câteva concluzii importante: 1) liniile de intensitate a câmpului nu pot fi închise; 2) existenţa unui câmp electrostatic de forma prezentată în fig. 7.5 este imposibil.

	Fig.7.5
Fig.7.4

Într-adevăr, dacă aplicăm acestui câmp teorema privind circulația unui vector de-a lungul unui contur închis, prezentată în Fig. 7.6 linie punctată, atunci ar fi diferită de zero, ceea ce contrazice teorema.

Întrebarea #42

Potențialul câmpului electrostatic. q2în câmpul de taxare q 1 poate fi scris sub forma

. (7.16)

wp const r→ ∞, wp= 0 . Prin urmare,

. (7.17)

w/q2 q2.

q egală

Dacă câmpul este creat de un sistem de taxe q 1 , q 2 , …q n , apoi pentru energia potențială a sarcinii q prîn domeniul sistemului de taxe obținem

. (7.21)

Luând în considerare (7.19), potențialul câmpului unui sistem de sarcini este egal cu suma algebrică a potențialelor create de fiecare dintre sarcini separat

(7.22)

7.7 Relația dintre potențialul j și puterea câmp electric. Formula diferențială pentru conexiune și φ, care este valabilă pentru o mică vecinătate a oricărui punct al câmpului, poate fi derivată din expresii pentru munca elementară. Unde

Unde el- proiecția unui vector pe o direcție în spațiu.

Într-o formă vectorială mai generală, vectorul este egal cu , Unde

sunt vectorii unitari dirijati respectiv de-a lungul axelor x, y, z Ultima ecuație poate fi scrisă ca

Sau Ñj , (7.19)

acestea. intensitatea câmpului este egală cu gradientul de potențial și este îndreptată în direcția de scădere a potențialului.

Întrebarea #43

7,8 conductoare într-un câmp electric. Dacă conductorului i se dă o anumită sarcină sau este plasat într-un câmp electrostatic extern, atunci în ambele cazuri sarcinile conductorului vor fi afectate de câmpul electrostatic și se vor deplasa în interiorul conductorului. Acest proces va continua până când câmpul din interiorul conductorului este zero și potențialul din interiorul conductorului trebuie să fie constant (j=const). Tensiunea de pe suprafața conductorului în fiecare punct trebuie direcționată de-a lungul normalului. În caz contrar, componentele tangenţiale ar pune în mişcare sarcinile de pe suprafaţă, iar echilibrul sarcinilor ar fi perturbat. Aplicând teorema Gauss, puteți determina intensitatea câmpului direct la suprafața conductorului

,

unde e este permisivitatea mediului din jurul conductorului, s este densitatea sarcinii de suprafață.

7.9 Capacitatea electrică a unui conductor solitar. Luați în considerare un conductor îndepărtat de alți conductori, corpuri și sarcini, în legătură cu care poate fi considerat un conductor solitar. Din experiență rezultă că există o relație între sarcină și potențial q = Сj.

Valoarea este numită capacitatea electrică sau pur și simplu capacitatea unui conductor solitar. Capacitatea depinde de forma și dimensiunile conductorului și nu depinde de material, starea de agregare iar asupra dimensiunilor cavităţilor din interiorul conductorului. Capacitatea este independentă de sarcina și potențialul conductorului.

7.10 Capacitatea electrică a condensatoarelor. Un sistem de conductori care sunt aproape unul de celălalt și încărcat cu sarcini de aceeași mărime, dar cu semn opus se numește condensator, iar conductorii se numesc plăcile sale. Se determină capacitatea condensatorului

Unde j 1 - j 2 este diferența de potențial dintre plăci, q- sarcina situată pe placa încărcată pozitiv a condensatorului. În funcție de forma plăcilor, condensatoarele sunt plate, cilindrice și sferice:

1) capacitatea electrică a unui condensator plat

2) capacitatea electrică a unui condensator cilindric

, (7.23)

unde este lungimea condensatorului, R1și R2 sunt razele plăcilor cilindrice interioare și exterioare.

3) Capacitatea unui condensator sferic

, (7.24)

Unde R1și R2 sunt razele plăcilor interioare și exterioare.

Întrebarea #44

7.11 Energia unui condensator încărcat. Procesul de încărcare a unui condensator poate fi reprezentat ca o mișcare secvențială a porțiunilor infinitezimale de sarcină dq de la o placă la alta, în urma căreia una dintre plăci va fi încărcată pozitiv, iar cealaltă negativ, iar între ele va apărea o diferență de potențial care crește treptat U = q/C. În acest caz, energia condensatorului este egală cu

Aici E este intensitatea câmpului electric din interiorul condensatorului, a V=Sd este volumul acestuia. De aici energia unei unități de volum sau densitatea de energie volumetrică a câmpului electric

Într-un dielectric izotrop, direcțiile vectorilor și coincid. Prin urmare, formula pentru densitatea de energie poate fi dată forma

Primul termen din această expresie coincide cu densitatea de energie a câmpului în vid. Al doilea termen este energia cheltuită pentru polarizarea dielectricului.

7.6 Potenţialul câmpului electrostatic. Deoarece munca forțelor conservatoare este egală cu pierderea energiei potențiale, atunci, pe baza formulei (7.13), expresia energiei potențiale a sarcinii q2în câmpul de taxare q 1 poate fi scris sub forma

. (7.16)

După cum se poate vedea din expresia (7.16), wp este determinată până la o valoare constantă. În acest caz, pentru câmpul electric al unei sarcini punctuale, se obișnuiește să se aleagă const astfel încât la o distanţă infinit de mare între sarcinile lor reciproce energie potențială transformat la zero: r→ ∞, wp= 0 . Prin urmare,

.

Din formula (7.17) rezultă că raportul w/q2 pentru un punct dat al câmpului nu depinde de mărimea sarcinii q2. Prin urmare, acest raport poate servi ca o caracteristică energetică a câmpului electrostatic, care se numește potențial de câmp și egal cu raportul dintre energia potențială a sarcinii de testare plasată în punct dat câmp, la valoarea acestei taxe

Din expresiile (7.17) și (7.18) rezultă că potențialul câmpului unei sarcini punctiforme q egală

Lucrul de deplasare a unei sarcini într-un câmp electrostatic este egal cu produsul dintre mărimea sarcinii și diferența de potențial la punctele inițiale și finale ale mișcării

Teorema circulației

Mai devreme am aflat că sarcina (q), care se află într-un câmp electrostatic, este afectată de forțe conservatoare, al căror lucru ($A$) pe orice cale închisă (L) este egal cu zero:

unde $\overrightarrow(s)$ este vectorul deplasării (a nu se confunda cu aria), $\overrightarrow(E)$ este vectorul intensității câmpului.

Pentru o unitate de sarcină pozitivă, putem scrie:

Integrala din partea stângă a ecuației (2) este circulația vectorului intensitate de-a lungul conturului L. proprietate caracteristică câmpul electrostatic este că circulația vectorului său de intensitate în orice buclă închisă este egală cu zero. O astfel de afirmație se numește teorema de circulație vectorială a intensității câmpului electrostatic.

Să demonstrăm teorema de circulație pe baza faptului că munca câmpului în deplasarea sarcinii nu depinde de traiectoria sarcinii în câmpul electrostatic, care este exprimată prin egalitate:

unde $L_1\ și\ L_2$ sunt căi diferite între punctele A și B. Luăm în considerare că atunci când schimbăm limitele integrării, obținem:

Expresia (4) este reprezentată ca:

unde $L=L_1+L_2$. Deci teorema este demonstrată.

O consecință a teoremei de circulație este că liniile de putere ale câmpului electrostatic nu sunt închise. Ele încep cu sarcini pozitive și se termină cu sarcini negative sau merg la infinit. Teorema este adevărată pentru sarcinile statice. O altă consecință a teoremei: continuitatea componentelor tangențiale ale tensiunii (în contrast cu componentele normale). Aceasta înseamnă că componentele tensiunii care sunt tangente la orice suprafață selectată în oricare dintre punctele sale au valori egale pe ambele părți ale suprafeței.

Selectăm o suprafață S arbitrară, care se bazează pe conturul L (Fig. 1).

În conformitate cu formula Stokes (teorema lui Stokes), integrala curbei vectorului de stres ($rot\overrightarrow(E)$) preluată pe suprafața S este egală cu circulația vectorului de stres de-a lungul conturului pe care această suprafață se odihnește:

unde $d\overrightarrow(S)=dS\cdot \overrightarrow(n)$, $\overrightarrow(n)$ -- vector unitar perpendicular pe sectiunea dS. Rotorul ($rot\overrightarrow(E)$) caracterizează intensitatea „vârtejului” vectorului. O reprezentare vizuală a rotorului vectorial poate fi obținută dacă un rotor mic și ușor (Fig. 2) este plasat într-un flux de fluid. În acele locuri în care rotorul nu este egal cu zero, rotorul se va roti, iar viteza de rotație a acestuia va fi cu atât mai mare, cu atât proiecția modulului de proiecție al rotorului este mai mare pe axa rotorului.

În calculul practic al rotorului, formulele sunt cel mai des folosite:

Deoarece, în conformitate cu ecuația (6), circulația vectorului intensitate este zero, obținem:

Condiția (8) trebuie îndeplinită pentru orice suprafață S care se sprijină pe conturul L. Acest lucru este posibil numai dacă integrantul:

iar pentru fiecare punct al câmpului.

Prin analogie cu rotorul din Fig. 2 imaginați-vă un „rotor” electric. La capetele unui astfel de „rotor” există sarcini egale q. Sistemul este plasat într-un câmp uniform cu intensitatea E. În acele locuri unde $rot\overrightarrow(E)\ne 0$ un astfel de „dispozitiv” se va roti cu o accelerație care depinde de proiecția rotorului pe axa rotorului. În cazul unui câmp electrostatic, un astfel de „dispozitiv” nu s-ar roti pentru nicio orientare a axei. Deoarece o trăsătură distinctivă a câmpului electrostatic este că este irrotațional. Ecuația (9) reprezintă teorema circulației sub formă diferențială.

Exemplul 1

Sarcină: În fig. 3 prezintă câmpul electrostatic. Ce se poate spune despre caracteristicile acestui domeniu din figură?

Despre acest câmp se poate spune că existența unui astfel de câmp electrostatic este imposibilă. Dacă selectați conturul (este afișat printr-o linie punctată). Pentru un astfel de circuit, circulația vectorului intensitate este:

\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)\ne 0)\left(1.1\right),\]

care contrazice teorema de circulație pentru un câmp electrostatic. Intensitatea câmpului este determinată de densitatea liniilor de câmp, este în părți diferite câmpul nu este același, ca urmare, munca într-o buclă închisă va diferi de zero, prin urmare, circulația vectorului de intensitate nu este egală cu zero.

Exemplul 2

Sarcină: Pe baza teoremei de circulație, arătați că componentele tangențiale ale vectorului intensității câmpului electrostatic nu se modifică la trecerea prin interfața dielectrică.

Luați în considerare limita dintre doi dielectrici cu permitivități $(\varepsilon )_2\ și\ (\varepsilon )_1$ (Fig. 4). Să alegem un mic contur dreptunghiular pe acest chenar cu parametrii a - lungime, b - lățime. Axa x trece prin punctele medii ale laturilor b.

Pentru un câmp electrostatic este îndeplinită teorema de circulație, care se exprimă prin ecuația:

\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)=0\ \left(2.1\right).)\]

La dimensiuni mici ale conturului, circulația vectorului de intensitate și, în conformitate cu direcția indicată de ocolire a conturului, integrala din formula (2.1) poate fi reprezentată ca:

\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)=E_(1x)a-E_(2x)a+\left\langle E_b\right\rangle 2b=0\ \left(2.2\right) ,)\]

unde $\left\langle E_b\right\rangle $ este valoarea medie a $\overrightarrow(E)$ în secțiunile perpendiculare pe interfață.

Din (2.2) rezultă că:

\[((E)_(2x)-E_(1x))a=\left\langle E_b\right\rangle 2b\ (2.3).\]

Dacă $b\la 0$, atunci obținem că:

Expresia (2.4) este satisfăcută pentru o alegere arbitrară a axei X, care se află pe interfața dielectrică. Dacă reprezentăm vectorul intensitate sub forma a două componente (tangențială $E_(\tau )\ $ și normală $E_n$):

\[\overrightarrow(E_1)=\overrightarrow(E_(1n))+\overrightarrow(E_(1\tau )),\overrightarrow(E_2)=\overrightarrow(E_(2n))+\overrightarrow(E_(2\) tau ))\ \left(2.5\right).\]

În acest caz, din (2.4) scriem:

unde $E_(\tau i)$ este proiecția vectorului rezistență pe vectorul unitar $\tau $ direcționat de-a lungul interfeței dielectrice.

Dacă în câmpul electrostatic al unei sarcini punctuale Q dintr-un punct 1 exact 2 o altă sarcină punctiformă Q 0 se deplasează de-a lungul unei traiectorii arbitrare (Fig. 132), apoi forța aplicată sarcinii funcționează. Munca de forță F pe o deplasare elementară dl este egal cu

Lucrați atunci când mutați sarcina Q 0 dintr-un punct 1 exact 2

nu depinde de traiectoria mișcării, ci este determinată doar de pozițiile inițialei 1 si finala 2 puncte. Prin urmare, câmpul electrostatic al unei sarcini punctuale este potenţialși forțele electrostatice conservator(vezi §12).

Din formula (83.1) rezultă că munca efectuată atunci când se deplasează o sarcină electrică într-un câmp electrostatic extern de-a lungul oricărei căi închise L este egal cu zero, adică

Dacă luăm o unitate de sarcină pozitivă punctuală ca sarcină transportată într-un câmp electrostatic, atunci munca elementara forțele de câmp pe drum d l este egal cu E d l=E l dl, Unde E l =E cosa - proiecție vectorială E spre direcția deplasării elementare. Atunci formula (83.2) poate fi scrisă ca

Integral

numit circulaţia vectorului de tensiune. Prin urmare, circulația vectorului intensității câmpului electrostatic de-a lungul oricărei bucle închise este egală cu zero. Un câmp de forță cu proprietatea (83.3) se numește potenţial. Din dispariția vectorului circulație E rezultă că liniile câmpului electrostatic nu pot fi închise, ele încep și se termină pe sarcini (pozitive sau negative, respectiv) sau merg la infinit.

Formula (83.3) este valabilă numai pentru un câmp electrostatic. Se va arăta mai târziu că condiția (83.3) nu este îndeplinită pentru câmpul sarcinilor în mișcare (pentru acesta circulația vectorului intensitate este diferită de zero).

Lucrarea forțelor câmpului electric. Circulația vectorului intensității câmpului electric. Considerăm un câmp electrostatic creat de o sarcină punctiformă staționară Q. În orice punct al acestui câmp, o forță Coulomb acționează asupra sarcinii punctiforme Qo. Atunci munca efectuată de această forță asupra sarcinii Qo la deplasarea elementară dl, sau: da = = Fdlcosα = Deoarece dlcosα = dr, atunci da =

Munca la mutarea sarcinii Qo de-a lungul unei traiectorii arbitrare de la punctul 1 la punctul 2 Munca, după cum rezultă din formulă, nu depinde de traiectoria mișcării, ci este determinată numai de pozițiile punctelor inițiale 1 și ale celor 2 finale. Prin urmare, câmpul electrostatic al unei sarcini punctuale este potențial, iar forțele electrostatice sunt conservatoare.De asemenea, rezultă din expresia că munca efectuată atunci când o sarcină electrică se mișcă într-un câmp electrostatic extern de-a lungul oricărei căi închise L este egală cu zero, adică.

Consecințele teoremei 1. Din teoremă rezultă că circulația vectorului intensității câmpului electrostatic de-a lungul oricărui contur închis este egală cu zero. Câmpul de forță E se numește potențial dacă circulația vectorului E de-a lungul oricărei bucle închise este egală cu zero. 2. Teorema este valabilă numai pentru un câmp electrostatic. 3. Liniile câmpului electrostatic nu pot fi închise, ele încep și se termină pe sarcini (pozitive sau negative, respectiv) sau merg la infinit. Să presupunem că linia de tensiune este închisă. Dacă îl alegem ca conturul de integrare L, atunci când acest contur este ocolit în direcția pozitivă, liniile de tensiune, integrandul din integrală și integrala în sine sunt pozitive. Acest lucru contrazice însă teorema, care demonstrează că liniile de intensitate ale vectorului E nu pot fi închise.

Potențialul câmpului electrostatic este diferența de potențial. Lucrul forțelor câmpului electrostatic poate fi reprezentat ca diferența de energii potențiale pe care o sarcină punctuală Qo o are în punctele inițiale și finale ale câmpului creat de sarcina Q: Prin urmare : energia potențială a sarcinii Qo în câmpul de sarcină Q este egală cu Energia potențială W este determinată cu constanta C. Valoarea constantei este de obicei aleasă astfel încât atunci când sarcina este îndepărtată la infinit (r), potențialul energia dispare (W \u003d 0), apoi C \u003d 0 și energia potențială a sarcinii Qo, situată în câmpul sarcinii Q la o distanță r de aceasta, este egală cu

0 și energia potențială a interacțiunii lor (repulsie) este pozitivă, pentru sarcini opuse Q 0 Q 0 și energia potențială a interacțiunii lor (repulsie) este pozitivă, pentru sarcini opuse Q 0 Q 7 Pentru sarcini asemănătoare Q 0 Q > 0 și energia potențială a interacțiunii lor (repulsie) este pozitivă, pentru sarcini diferite Q 0 Q 0 și energia potențială a interacțiunii lor (repulsie) este pozitivă, pentru sarcini diferite Q 0 Q 0 și energia potențială a interacțiunii lor (repulsie) este pozitivă, pentru sarcinile diferite Q 0 Q 0 și energia potențială a interacțiunii lor (repulsie) este pozitivă, pentru sarcinile diferite Q 0 Q 0 și energia potențială a interacțiunii lor (repulsie) este pozitivă , pentru sarcini diferite Q 0 Q title="(!LANG:Pentru sarcini similare Q 0 Q > 0 și energia potențială a interacțiunii lor (repulsie) este pozitivă, pentru sarcini diferite Q 0 Q

Potenţial Potenţialul în orice punct al câmpului electrostatic se numeşte cantitate fizica, determinată de energia potențială a unei unități de sarcină pozitivă plasată în acest punct. Dacă câmpul este creat de un sistem de n sarcini punctiforme, atunci potențialul câmpului sistemului de sarcini este egal cu suma algebrică a potențialelor câmpurilor acestor sarcini, creată în acest punct de fiecare sarcină separat: potențialul câmpului creat de sarcina punctiformă Q,

Lucrul efectuat de forțele câmpului electrostatic la mutarea sarcinii Qo de la punctul 1 la punctul 2 poate fi scris ca potențial). Din formula rezultă că diferența de potențial a două puncte 1 și 2 într-un câmp electrostatic este determinată de munca efectuată de forțele câmpului la mutarea unei singure sarcini pozitive din punctul 1 în punctul 2. Dacă sarcina Qo este amestecată dintr-un punctul arbitrar 1 în afara câmpului, adică la infinit (unde, prin condiție, potențialul este zero), apoi lucrul forțelor câmpului electrostatic și, prin urmare,

Potențialul este o mărime fizică scalară determinată de munca de mutare a unei unități de sarcină pozitivă dintr-un punct dat al câmpului la infinit. Acest lucru este numeric egal cu munca efectuată de forțele externe (împotriva forțelor câmpului electrostatic) în deplasarea unei unități de sarcină pozitivă de la infinit la un punct dat din câmp. Dimensiunea potențialului este volți (V). 1V este potențialul unui astfel de punct al câmpului la care o sarcină de 1C are o energie potențială de 1J (1V = 1J/C). Având în vedere dimensiunea voltului, unitatea intensității câmpului electrostatic poate fi exprimată ca V/m:

Relația dintre forța și suprafețele echipotențiale potențiale Luați în considerare modul în care intensitatea câmpului electrostatic E (caracteristica vectorului de putere) și potențialul (caracteristica scalară a energiei) sunt legate. Forța conservativă și energia potențială sunt legate prin relația: Pentru o sarcină într-un câmp potențial, și întrucât câmpul electrostatic este potențial, obținem F = Q 0 E și W = Q 0.

Stabilirea unei relații între intensitatea și potențialul câmpului electrostatic. Semnul minus indică faptul că vectorul intensitate Înlocuind aceste expresii în și ținând cont că factorul Q 0 nu depinde de coordonate, înseamnă că îl putem reduce, obținem formula câmpului îndreptată în direcția potențialului descrescător.

Lucrarea forțelor câmpului atunci când sarcina Q 0 se deplasează de la punctul 1 la punctul 2 poate fi scrisă și sub forma Din formule și rezultă că diferența de potențial la care integrarea poate fi efectuată de-a lungul oricărei linii care leagă punctele inițiale și finale, întrucât munca forţelor câmpului electrostatic nu depinde de traiectoriile de mişcare.

Formula vă permite să rezolvați problema inversă pentru valori date ale lui E pentru a găsi diferența de potențial între punctele arbitrare ale câmpului. O suprafață ale cărei toate punctele au același potențial se numește suprafață echipotențială. Liniile de tensiune sunt întotdeauna normale cu suprafețele echipotențiale. Toate punctele de pe o suprafață echipotențială au același potențial, astfel încât munca efectuată pentru a muta o sarcină de-a lungul acestei suprafețe este zero. Cu alte cuvinte, forțele electrostatice care acționează asupra unei sarcini sunt întotdeauna direcționate de-a lungul normalelor către suprafețele echipotențiale. În consecință, vectorul E este întotdeauna normal cu suprafețele echipotențiale și, prin urmare, liniile vectorului E sunt ortogonale cu aceste suprafețe. vă permite să determinați E din valori cunoscute,

Vedere a liniilor de tensiune (linii întrerupte) și a secțiunilor de suprafețe echipotențiale (linii continue) ale câmpurilor unei sarcini punctiforme pozitive (stânga), sarcini punctiforme opuse (dreapta) și sarcini punctiforme pozitive cu același nume (jos). Există un număr infinit de suprafețe echipotențiale în jurul fiecărei sarcini și fiecărui sistem de sarcini. Cu toate acestea, acestea sunt de obicei efectuate astfel încât diferențele de potențial dintre oricare două suprafețe echipotențiale adiacente să fie aceleași. Apoi, densitatea suprafețelor echipotențiale caracterizează clar intensitatea câmpului în diferite puncte. Acolo unde aceste suprafețe sunt mai dense, intensitatea câmpului este mai mare.

Folosind liniile intensității câmpului electrostatic, se poate caracteriza nu numai direcția vectorului E, ci și modulul acestuia. Pentru a face acest lucru, liniile de tensiune sunt trasate cu o anumită densitate: numărul de linii de tensiune care pătrund într-o suprafață unitară perpendiculară pe liniile de tensiune trebuie să fie egal cu modulul vectorului E.

Dacă locul formează un unghi α cu E, atunci numărul liniilor de tensiune care pătrund în locul elementar dS, normala n la care formează un unghi α cu vectorul E, este egal cu ЕdScosα = E n dS, unde E p este proiecția vectorului E pe normala n la locul dS. Valoarea dФ E = E n dS = EdS se numește fluxul vectorului de intensitate prin aria dS. Aici dS = dSn este un vector al cărui modul este egal cu dS, iar direcția coincide cu direcția normalei n către site. dS nu este un vector adevărat - este un pseudo vector. Alegerea direcției vectorului n (și, în consecință, dS) este condiționată, deoarece acesta poate fi direcționat în orice direcție.

Pentru o suprafață închisă arbitrară S (în multe cazuri, doar astfel de suprafețe vor fi luate în considerare mai jos), fluxul vectorului E prin această suprafață Adesea, în manuale există o înregistrare, totuși, se presupune că integrala este dublă, deoarece este preluat peste o variabilă de ordinul doi, peste zonă. Inelul de pe semnul integralei înseamnă că integrala este preluată pe o suprafață închisă S.

Curgerea vectorului E este o mărime algebrică: depinde nu numai de configurația câmpului E, ci și de alegerea direcției n. Pentru suprafețele închise, direcția pozitivă a normalei este considerată normala exterioară, adică normala îndreptată spre exteriorul regiunii acoperite de suprafață.

Dacă în câmpul electrostatic al unei sarcini punctuale Q dintr-un punct 1 exact 2 o altă sarcină punctiformă se deplasează de-a lungul unei traiectorii arbitrare (Fig. 132) Q 0 , forța aplicată sarcinii funcționează. Munca de forță F asupra deplasării elementare d l este egal cu

Deoarece d/cos=d r, apoi

Lucrați în timp ce mutați încărcarea Q 0 din punct 1 exact 2

(83.1)

nu depinde de traiectoria mișcării, ci este determinată doar de pozițiile inițialei 1 si finala 2 puncte. Prin urmare, câmpul electrostatic al unei sarcini punctuale este potenţialși forțele electrostatice - conservator(vezi § 12).

Din formula (83.1) rezultă că munca efectuată atunci când se deplasează o sarcină electrică într-un câmp electrostatic extern de-a lungul oricărei căi închise L, este egal cu zero, adică

Dacă luăm o sarcină pozitivă punctuală unitară ca sarcină transportată în câmpul electrostatic, atunci munca elementară a forțelor câmpului pe calea d l este egal cu E d l=E l dl, Unde E l =E cos  - proiecție vectorială E spre direcția deplasării elementare. Atunci formula (83.2) poate fi scrisă ca

(83.3)

Integral numit circulaţia vectorului de tensiune. Prin urmare, circulația vectorului intensității câmpului electrostatic de-a lungul oricărei bucle închise este egală cu zero. Un câmp de forță cu proprietatea (83.3) se numește potențial. Din dispariția vectorului circulație E rezultă că liniile câmpului electrostatic nu pot fi închise, ele încep și se termină pe sarcini (pozitive sau negative, respectiv) sau merg la infinit.

Formula (83.3) este valabilă numai pentru un câmp electrostatic. Se va arăta mai târziu că condiția (83.3) nu este îndeplinită pentru câmpul sarcinilor în mișcare (pentru acesta circulația vectorului intensitate este diferită de zero).

§ 84. Potenţialul unui câmp electrostatic

Un corp situat într-un câmp potențial de forțe (și un câmp electrostatic este potențial) are energie potențială, datorită căreia munca este efectuată de forțele câmpului (vezi § 12). După cum se știe (vezi (12.2)), munca forțelor conservatoare se realizează datorită scăderii energiei potențiale. Prin urmare, lucrul (83.1) al forțelor câmpului electrostatic poate fi reprezentat ca diferența de energii potențiale deținute de o sarcină punctiformă. Q 0 la punctele de început și de sfârșit ale câmpului de încărcare Q:

(84.1)

de unde rezultă că energia potenţială a sarcinii qqîn câmpul de taxare Q este egal cu

Ea, ca și în mecanică, este determinată în mod ambiguu și până la o constantă arbitrară Cu. Dacă presupunem că atunci când sarcina este îndepărtată la infinit ( r) energia potențială dispare ( U=0), apoi Cu=0 și energia potențială a sarcinii Q 0 , situat în domeniul de sarcină Q la o distanta r ​​de acesta, este egal cu

(84.2)

Pentru taxe similare Q 0 Q> 0 și energia potențială a interacțiunii lor (repulsie) este pozitivă, pentru sarcini opuse Q 0 Q<0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Dacă câmpul este generat de sistem n taxe punctuale Q 1 , Q 2 , ..., Q n, apoi munca forțelor electrostatice efectuate asupra sarcinii Q 0 , este egal cu suma algebrică a muncii forțelor datorate fiecărei sarcini separat. Prin urmare, energia potențială Uîncărca Q 0 , situat în acest câmp este egal cu suma energiilor potențiale U i , fiecare dintre taxe:

(84.3)

Din formulele (84.2) și (84.3) rezultă că raportul U/ Q 0 nu depinde de Q 0 și este prin urmare energie caracteristică câmpului electrostatic, numit potential:

Potenţial în orice punct al câmpului electrostatic există o mărime fizică determinată de energia potențială a unei unități de sarcină pozitivă plasată în acest punct.

Din formulele (84.4) și (84.2) rezultă că potențialul câmpului creat de o sarcină punctiformă Q, este egal cu

Munca făcută de satele câmpului electrostatic la mutarea sarcinii Q 0 din punct 1 exact 2 (vezi (84.1), (84.4), (84.5)), poate fi reprezentat ca

adică este egal cu produsul sarcinii transferate și diferența de potențial la punctele inițiale și finale. Diferenta potentiala două puncte 1 și 2 într-un câmp electrostatic este determinată de munca efectuată de forțele câmpului la deplasarea unei unități de sarcină pozitivă dintr-un punct 1 exact 2 .

Munca forțelor de câmp la deplasarea încărcăturii Q 0 din punct 1 exact 2 poate fi scris și sub formă

(84.7)

Echivalând (84.6) și (84.7), ajungem la o expresie pentru diferența de potențial:

(84.8)

unde integrarea poate fi realizată de-a lungul oricărei linii care leagă punctele de început și de sfârșit, deoarece munca forțelor câmpului electrostatic nu depinde de traiectoria mișcării.

Dacă mutați încărcarea Q 0 dintr-un punct arbitrar din afara câmpului, adică până la infinit, unde, prin condiție, potențialul este zero, apoi lucrul forțelor câmpului electrostatic, conform (84.6), A  = Q 0  , Unde

Prin urmare, potenţial- o mărime fizică determinată de munca de mutare a unei unități de sarcină pozitivă atunci când aceasta este îndepărtată dintr-un punct dat al câmpului la infinit. Acest lucru este numeric egal cu munca efectuată de forțele externe (împotriva forțelor câmpului electrostatic) în deplasarea unei unități de sarcină pozitivă de la infinit la un punct dat din câmp.

Din expresia (84.4) rezultă că unitatea de potenţial este volt(B): 1 V este potențialul unui astfel de punct din câmp la care o sarcină de 1 C are o energie potențială de 1 J (1 V = 1 J/C). Ținând cont de dimensiunea voltului, se poate demonstra că unitatea de măsură a intensității câmpului electrostatic introdusă în § 79 este într-adevăr egală cu 1 V/m: 1 N/Cl=1 Nm/(Cm)=1 J/(Cm)=1 V/m.

Din formulele (84.3) și (84.4) rezultă că dacă câmpul este creat de mai multe sarcini, atunci potențialul de câmp al sistemului de sarcini este egal cu algebric suma potențialelor de câmp ale tuturor acestor sarcini: