Egal cu zero:

.

Un sistem ortogonal, dacă este complet, poate fi folosit ca bază pentru spațiu. În acest caz, descompunerea oricărui element poate fi calculată prin formulele: , unde .

Cazul în care norma tuturor elementelor se numește sistem ortonormal.

Ortogonalizarea

Orice sistem complet independent liniar într-un spațiu finit este o bază. De la o bază simplă, așadar, se poate trece la o bază ortonormală.

Descompunerea ortogonală

La descompunerea vectorilor unui spațiu vectorial pe bază ortonormală, calculul produsului scalar este simplificat: , unde și .

Vezi si

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „Sistemul ortogonal” în alte dicționare:

1) Oh... Enciclopedie matematică

- (greacă orthogonios dreptunghiulară) un sistem finit sau numărabil de funcții aparținând unui spațiu Hilbert (separabil) L2(a,b) (funcții integrabile pătrat) și care îndeplinește condițiile Funcția g(x) numită. cântărind O. s. f., * înseamnă ...... Enciclopedia fizică

Sistem de functii??n(x)?, n=1, 2,..., definite pe segmentul TRANSFORMARE ORTOGONALA transformare liniară euclidiană spațiu vectorial, care păstrează lungimile sau (care este echivalent cu aceasta) produsele scalare ale vectorilor ... Dicţionar enciclopedic mare

Un sistem de funcții (φn(x)), n = 1, 2, ..., definit pe segmentul [a, b] și care satisface următoarea condiție de ortogonalitate: pentru k≠l, unde ρ(x) este o funcție numită greutate. De exemplu, sistemul trigonometric 1, sin x, cos x, sin 2x, ... ... Dicţionar enciclopedic

Un sistem de funcții ((fn(x)), n=1, 2, ..., definite pe segmentul [a, b] și care îndeplinesc condiția de ortogonalitate a urmei pentru k nu este egal cu l, unde p(x) este o funcție nelimită, numită greutate De exemplu, sistemul trigonometric 1, sin x, cosx, sin 2x, cos 2x, ... O.s.f. cu greutate ... ... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Sistem de funcții ((φn (x)), n = 1, 2,..., ortogonal cu greutatea ρ (x) pe segmentul [a, b], adică astfel încât Exemple. Sistem trigonometric 1, cos nx , sin nx; n = 1, 2,..., OSF cu greutatea 1 pe intervalul [ π, π]. Bessel … Marea Enciclopedie Sovietică

Ortogonale sunt coordonate în care tensorul metric are o formă diagonală. unde d În sistemele de coordonate ortogonale q = (q1, q², …, qd) suprafețele de coordonate sunt ortogonale între ele. În special, în Sistemul cartezian coordonate ...... Wikipedia

sistem multicanal ortogonal- - [L.G. Sumenko. Dicționar englez rus de tehnologii informaționale. M .: GP TsNIIS, 2003.] Subiecte tehnologia informației în general EN multiplex ortogonal ...

sistem de coordonate a imaginii (fotogrammetrice).- Ortogonală dreapta sistem spațial coordonate fixate pe o imagine fotogrammetrică prin imagini ale semnelor de referință. [GOST R 51833 2001] Subiecte fotogrammetrie... Manualul Traducătorului Tehnic

sistem- 4.48 combinație de sistem de elemente care interacționează organizate pentru a atinge unul sau mai multe obiective enunțate Nota 1 la intrare: Un sistem poate fi văzut ca un produs sau ca serviciile pe care le oferă. Nota 2 În practică…… Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice

Definiție. VectoriA Șib numite ortogonale (perpendiculare) între ele dacă lor produs scalar este egal cu zero, adicăA × b = 0.

Pentru vectori nenuli A Și b produsul scalar zero înseamnă că cos j= 0, adică . Vectorul zero este ortogonal cu orice vector, deoarece A × 0 = 0.

Exercitiul. Fie și să fie vectori ortogonali. Atunci este firesc să luăm în considerare diagonala unui dreptunghi cu laturile și . Demonstrează asta

acestea. pătratul lungimii diagonalei unui dreptunghi este egal cu suma pătratelor lungimilor celor două laturi neparalele ale acestuia(Teorema lui Pitagora).

Definiție. Sistem vectorialA 1 ,…, A m se numește ortogonal dacă oricare doi vectori ai acestui sistem sunt ortogonali.

Astfel, pentru un sistem ortogonal de vectori A 1 ,…,A m egalitatea este adevărată: A i × A j= 0 la i¹ j, i= 1,…, m; j= 1,…,m.

Teorema 1.5. Un sistem ortogonal format din vectori nenuli este liniar independent. .

□ Să demonstrăm prin contradicţie. Să presupunem că un sistem ortogonal de vectori nenuli A 1 , …, A m dependent liniar. Apoi

l 1 A 1 + …+l mA m= 0 , în care . (1,15)

Fie, de exemplu, l 1 ¹ 0. Înmulțiți cu A 1 ambele părți ale egalității (1.15):

l 1 A 1× A 1 + …+l m A m × A 1 = 0.

Toți termenii, cu excepția primului, sunt egali cu zero datorită ortogonalității sistemului A 1 , …, A m. Apoi l 1 A 1× A 1 =0, de unde rezultă A 1 = 0 , ceea ce contrazice condiția. Presupunerea noastră s-a dovedit a fi greșită. Prin urmare, sistemul ortogonal de vectori nenuli este liniar independent. ■

Următoarea teoremă este valabilă.

Teorema 1.6. În spațiul R n există întotdeauna o bază formată din vectori ortogonali(baza ortogonala)
(Nicio dovadă).

Bazele ortogonale sunt convenabile, în primul rând, deoarece coeficienții de expansiune ai unui vector arbitrar în astfel de baze sunt ușor de determinat.

Fie necesar să se găsească o descompunere a unui vector arbitrar b pe bază ortogonală e 1 ,…,e n. Să compunem expansiunea acestui vector cu coeficienții de expansiune necunoscuti până acum pe această bază:

Înmulțiți scalar ambele părți ale acestei egalități cu vectorul e unu . În virtutea axiomelor 2° și 3° ale produsului scalar al vectorilor, obținem

Deoarece vectorii de bază e 1 ,…,e n sunt reciproc ortogonale, atunci toate produsele scalare ale vectorilor de bază, cu excepția primului, sunt egale cu zero, adică. coeficientul este determinat de formula

Înmulțind pe rând egalitatea (1.16) cu alți vectori de bază, obținem formule simple pentru calcularea coeficienților de expansiune ai vectorului b :

Formulele (1.17) au sens deoarece .

Definiție. VectorA se numește normalizat (sau unitate) dacă lungimea sa este egală cu 1, adică (A , A )= 1.

Orice vector diferit de zero poate fi normalizat. Lasa A ¹ 0 . Atunci , iar vectorul este un vector normalizat.

Definiție. Sistem vectorial e 1 ,…,e n se numește ortonormal dacă este ortogonal și lungimea fiecărui vector al sistemului este 1, adică

Deoarece spațiul R n are întotdeauna o bază ortogonală și vectorii acestei baze pot fi normalizați, atunci R n are întotdeauna o bază ortonormală.

Un exemplu de bază ortonormală pentru spațiul R n este sistemul de vectori e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) cu produsul scalar definit prin egalitate (1.9). Pe o bază ortonormală e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) formulele (1.17) pentru determinarea coordonatelor de descompunere a vectorului b au cea mai simplă formă:

Lasa A Și b sunt doi vectori arbitrari în spațiul R n cu o bază ortonormală e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Notați coordonatele vectorilor A Și b în bază e 1 ,…,e n respectiv prin A 1 ,…,A nȘi b 1 ,…, b nși găsiți expresia produsului scalar al acestor vectori în termeni de coordonatele lor în această bază, adică Să ne prefacem că

Din ultima egalitate, în virtutea axiomelor produsului scalar și relațiilor (1.18), obținem

În sfârșit avem

În acest fel, pe o bază ortonormală, produsul scalar al oricăror doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare ale acestor vectori.

Să considerăm acum o bază complet arbitrară (în general, nu ortonormală) în spațiul euclidian n-dimensional R n și să găsim expresia produsului scalar a doi vectori arbitrari A Și b prin coordonatele acestor vectori în baza specificată. f 1 ,…,f n Spațiul euclidian R n produsul scalar al oricăror doi vectori a fost egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare ale acestor vectori, este necesar și suficient ca baza f 1 ,…,f n era ortonormal.

Într-adevăr, expresia (1.20) devine (1.19) dacă și numai dacă sunt îndeplinite relațiile care stabilesc ortonormalitatea bazei. f 1 ,…,f n.

Dacă pe plan sunt aleși doi vectori reciproc perpendiculari de lungime unitară (Fig. 7), atunci un vector arbitrar din același plan poate fi extins în direcțiile acestor doi vectori, adică să-l reprezinte sub forma

unde sunt numere egale cu proiecțiile vectorului pe direcțiile axelor.Deoarece proiecția pe axă este egală cu produsul dintre lungime și cosinusul unghiului cu axa, atunci, amintind definiția produsului scalar , putem scrie

În mod similar, dacă în spatiu tridimensional alegeți oricare trei vectori reciproc perpendiculari de lungime unitară, apoi un vector arbitrar din acest spațiu poate fi reprezentat ca

Într-un spațiu Hilbert, se pot lua în considerare și sisteme de vectori ortogonali în perechi ai acestui spațiu, adică funcții

Astfel de sisteme de funcții sunt numite sisteme ortogonale de funcții și joacă un rol important în analiză. Ele sunt întâlnite în diverse probleme de fizică matematică, ecuații integrale, calcule aproximative, teoria funcțiilor unei variabile reale și așa mai departe. a crea concept general Spațiul Hilbert.

Să dăm definiții precise. Sistem de funcții

se numește ortogonală dacă oricare două funcții ale acestui sistem sunt ortogonale una față de cealaltă, adică dacă

În spațiul tridimensional, am cerut ca lungimile vectorilor sistemului să fie egale cu unu. Reamintind definiția lungimii unui vector, vedem că în cazul unui spațiu Hilbert, această cerință se scrie după cum urmează:

Un sistem de funcții care îndeplinește cerințele (13) și (14) se numește ortogonal și normalizat.

Să dăm exemple de astfel de sisteme de funcții.

1. Pe interval, luați în considerare șirul de funcții

Fiecare două funcții din această secvență sunt ortogonale una față de cealaltă. Acest lucru este verificat prin calculul simplu al integralelor corespunzătoare. Pătratul lungimii unui vector în spațiul Hilbert este integrala pătratului funcției. Astfel, pătratele lungimilor vectorilor de secvență

esența integralelor

adică secvența noastră vectorială este ortogonală, dar nu normalizată. Lungimea primului vector al secvenței este și tot

restul au lungime. Prin împărțirea fiecărui vector la lungimea sa, obținem un sistem ortogonal și normalizat funcții trigonometrice

Acest sistem este din punct de vedere istoric unul dintre primele și cele mai importante exemple de sisteme ortogonale. A apărut în lucrările lui Euler, D. Bernoulli, D'Alembert în legătură cu problema vibrațiilor corzilor. Studiul său a jucat un rol esențial în dezvoltarea întregii analize.

Apariția unui sistem ortogonal de funcții trigonometrice în legătură cu problema vibrațiilor corzilor nu este întâmplătoare. Fiecare problemă de oscilații mici ale unui mediu duce la un anumit sistem de funcții ortogonale care descriu așa-numitele oscilații naturale ale sistemului dat (vezi § 4). De exemplu, în legătură cu problema vibrațiilor unei sfere, apar așa-numitele funcții sferice; în legătură cu problema vibrațiilor unei membrane circulare sau a unui cilindru, apar așa-numitele funcții cilindrice etc.

2. Putem da un exemplu de sistem ortogonal de funcții, fiecare funcție fiind un polinom. Un astfel de exemplu este șirul de polinoame Legendre

adică există (până la un factor constant) derivata de ordin a lui . Scriem primele câteva polinoame ale acestei secvențe:

Evident, există un polinom de grad în general. Lăsăm cititorului să verifice singur că aceste polinoame sunt o secvență ortogonală pe interval

Teoria generală a polinoamelor ortogonale (așa-numitele polinoame ortogonale cu greutate) a fost dezvoltată de remarcabilul matematician rus P. L. Cebyshev în a doua jumătate a secolului al XIX-lea.

Extinderea în sistemele ortogonale de funcții. La fel ca în spațiul tridimensional, fiecare vector poate fi reprezentat

la fel de combinație liniară trei vectori ortogonali pe perechi de unitate de lungime

în spațiul funcțiilor, se pune problema extinderii unei funcții arbitrare într-o serie în termenii unui sistem ortogonal și normalizat de funcții, adică a reprezentării unei funcții sub forma

În acest caz, convergența seriei (15) la o funcție este înțeleasă în sensul distanței dintre elemente din spațiul Hilbert. Aceasta înseamnă că abaterea pătratică medie a sumei parțiale a seriei de la funcție tinde spre zero la , i.e.

Această convergență este de obicei numită „convergență medie”.

Expansiunile în diverse sisteme de funcții ortogonale sunt adesea întâlnite în analiză și reprezintă o metodă importantă pentru rezolvarea problemelor de fizică matematică. Deci, de exemplu, dacă un sistem ortogonal este un sistem de funcții trigonometrice pe interval

atunci o astfel de expansiune este expansiunea clasică a unei funcții într-o serie trigonometrică

Să presupunem că expansiunea (15) este posibilă pentru orice funcție din spațiul Hilbert și să găsim coeficienții unei astfel de expansiuni. Pentru a face acest lucru, înmulțim scalar ambele părți ale egalității cu aceeași funcție a sistemului nostru. Obținem egalitate

din care, datorită faptului că at este determinată de valoarea coeficientului

Vedem că, ca și în spațiul tridimensional obișnuit (vezi începutul acestui paragraf), coeficienții sunt egali cu proiecțiile vectorului pe direcțiile vectorilor.

Reamintind definiția produsului scalar, obținem că coeficienții de expansiune a unei funcții în termenii sistemului ortogonal și normalizat de funcții

sunt determinate de formule

Ca exemplu, luați în considerare sistemul trigonometric normalizat ortogonal de funcții prezentat mai sus:

Am obținut o formulă pentru calcularea coeficienților de expansiune a unei funcții într-o serie trigonometrică, presupunând, desigur, că această expansiune este posibilă.

Am stabilit forma coeficienților de expansiune (18) ai unei funcții în termenii unui sistem ortogonal de funcții în ipoteza că o astfel de expansiune are loc. Cu toate acestea, un sistem ortogonal infinit de funcții se poate dovedi a fi insuficient pentru extinderea oricărei funcții din spațiul Hilbert în ceea ce privește aceasta. Pentru ca o astfel de descompunere să fie posibilă, sistemul de funcții ortogonale trebuie să satisfacă o condiție suplimentară, așa-numita condiție de completitudine.

Un sistem ortogonal de funcții se numește complet dacă este imposibil să se adauge la el o singură funcție care nu este identic zero și ortogonală cu toate funcțiile sistemului.

Este ușor să dați un exemplu de sistem ortogonal incomplet. Pentru a face acest lucru, luăm un sistem ortogonal, de exemplu, același

sistem de funcții trigonometrice și excludeți una dintre funcțiile acestui sistem, de exemplu, sistemul infinit de funcții rămas

va fi în continuare ortogonal, desigur, nu va fi complet, deoarece funcția : exclusă de noi este ortogonală la toate funcțiile sistemului.

Dacă sistemul de funcții nu este complet, atunci nu orice funcție din spațiul Hilbert poate fi extinsă în funcție de acesta. Într-adevăr, dacă încercăm să extindem o funcție zero ortogonală la toate funcțiile sistemului dintr-un astfel de sistem, atunci, în virtutea formulelor (18), toți coeficienții vor fi egali cu zero, în timp ce funcția nu este egală cu zero.

Următoarea teoremă este valabilă: dacă este dat un sistem complet ortogonal și normalizat de funcții într-un spațiu Hilbert, atunci orice funcție poate fi extinsă într-o serie în ceea ce privește funcțiile acestui sistem

În acest caz, coeficienții de expansiune sunt egali cu proiecțiile vectorilor pe elementele sistemului normalizat ortogonal.

Teorema lui Pitagora din § 2 în spațiul Hilbert ne permite să găsim o relație interesantă între coeficienți și funcție.Notăm prin diferența dintre și suma primilor termeni ai seriei sale, i.e.

Un astfel de subset de vectori $\backslash left\backslash (\; \backslash varphi\_i\; \backslash right\backslash )\backslash subset\; H$ că oricare două dintre ele sunt ortogonale, adică produsul lor punctual este zero:

$(\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_j)\; =\; 0$.

Un sistem ortogonal, dacă este complet, poate fi folosit ca bază pentru spațiu. În acest caz, descompunerea oricărui element $\backslash vec\; a$ poate fi calculat folosind formulele: $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_i\; \backslash varphi\_i$, Unde $\backslash alpha\_i\; =\; \backslash frac((\backslash vec\; a,\; \backslash varphi\_i))((\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_i))$.

Cazul în care norma tuturor elementelor $||\backslash varphi\_i||=1$, se numește sistem ortonormal.

Ortogonalizarea

Orice sistem complet independent liniar într-un spațiu finit este o bază. De la o bază simplă, așadar, se poate trece la o bază ortonormală.

Descompunerea ortogonală

La descompunerea vectorilor unui spațiu vectorial pe o bază ortonormală, calculul produsului scalar este simplificat: $(\backslash vec\; a,\; \backslash vec\; b)\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_k\backslash beta\_k$, Unde $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_k\; \backslash varphi\_k$Și $\backslash vec\; b\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash beta\_k\; \backslash varphi\_k$.

Vezi si

Scrieți o recenzie la articolul „Sistem ortogonal”

Un fragment care caracterizează sistemul ortogonal

- Ei bine, ce vrei? Sunteți cu toții îndrăgostiți în aceste zile. Ei bine, îndrăgostit, așa că căsătorește-te cu el! spuse Contesa râzând supărată. - Cu Dumnezeu!
„Nu, mamă, nu sunt îndrăgostit de el, nu trebuie să fiu îndrăgostit de el.
„Ei bine, doar spune-i asta.
- Mamă, ești supărată? Nu fi supărat, draga mea, pentru ce am eu vina?
„Nu, ce este, prietene? Dacă vrei, mă duc să-i spun, - spuse zâmbind contesa.
- Nu, eu însumi, doar predau. Totul este ușor pentru tine”, a adăugat ea, răspunzându-și zâmbetul. „Și dacă ai vedea cum mi-a spus asta!” La urma urmei, știu că nu a vrut să spună asta, dar a spus-o accidental.
- Ei bine, tot trebuie să refuzi.
- Nu, nu trebuie. Îmi pare atât de rău pentru el! El este atât de drăguț.
Ei bine, accepta oferta. Și atunci este timpul să ne căsătorim ”, a spus mama furioasă și batjocoritoare.
„Nu, mamă, îmi pare atât de rău pentru el. Nu stiu cum o sa spun.
„Da, nu ai nimic de spus, o voi spune și eu”, a spus contesa, indignată de faptul că au îndrăznit să se uite la această micuță Natasha de parcă ar fi fost mare.
„Nu, în niciun caz, sunt singur, iar tu ascultă la uşă”, iar Nataşa a alergat prin sufragerie în hol, unde Denisov stătea pe acelaşi scaun, la clavicord, acoperindu-şi faţa cu el. mâinile. El sări în sus la sunetul pașilor ei ușori.
- Natalie, - spuse el, apropiindu-se de ea cu pași repezi, - hotărăște-mi soarta. Ea este în mâinile tale!
— Vasili Dmitrici, îmi pare atât de rău pentru tine!... Nu, dar ești atât de drăguț... dar nu... este... dar te voi iubi mereu așa.