Transformările matriceale elementare includ:

1. Schimbarea ordinii rândurilor (coloanelor).

2. Renunțarea la zero rânduri (coloane).

3. Înmulțirea elementelor oricărui rând (coloană) cu un număr.

4. Adăugarea elementelor oricărui rând (coloană) a elementelor altui rând (coloană), înmulțit cu un număr.

Sisteme de ecuații algebrice liniare slu (Concepte și definiții de bază).

1. Sistem m ecuatii lineare cu n necunoscut este numit sistem de ecuații de forma:

2.Decizie sistemul de ecuații (1) se numește mulțime de numere X 1 , X 2 , … , X n , transformând fiecare ecuaţie a sistemului într-o identitate.

3. Sistemul de ecuații (1) se numește comun dacă are cel puțin o soluție; dacă sistemul nu are soluții, se numește incompatibil.

4. Sistemul de ecuații (1) se numește anumit dacă are o singură soluție și incert daca are mai multe solutii.

5. Ca urmare a transformărilor elementare, sistemul (1) este transformat într-un sistem echivalent cu acesta (adică având același set de soluții).

La transformări elementare sistemele de ecuații liniare includ:

1. Aruncarea șirurilor nule.

2. Schimbarea ordinii liniilor.

3. Adunarea la elementele oricărui rând a elementelor altui rând, înmulțită cu un număr.

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare.

1) Metoda matricei inverse (metoda matricei) pentru rezolvarea sistemelor de n ecuații liniare cu n necunoscute.

sistem n ecuații liniare cu n necunoscut este numit sistem de ecuații de forma:

Să scriem sistemul (2) sub formă de matrice, pentru aceasta introducem notația.

Matricea coeficienților înaintea variabilelor:

X = ‒ matricea variabilelor.

B = este matricea termenilor liberi.

Atunci sistemul (2) va lua forma:

A× X = B‒ ecuație matriceală.

Rezolvând ecuația, obținem:

X = A -1 × B

Exemplu:

; ;

1) │А│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4  0 matricea A -1 există.

3)

à =

4) A -1 = × Ã = ;

X \u003d A -1 × B

Răspuns:

2) Regula lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de n - ecuații liniare cu n - necunoscute.

Considerăm un sistem de 2 - x ecuații liniare cu 2 - necunoscute:

Să rezolvăm acest sistem folosind metoda de substituție:

Din prima ecuație rezultă:

Înlocuind în a doua ecuație, obținem:

Inlocuim valoarea din formula pentru, obtinem:

Determinant Δ - determinant al matricei sistemului;

Δ X 1 - determinant variabil X 1 ;

Δ X 2 - determinant variabil X 2 ;

Formule:

X 1 =;X 2 =;…,X n = ;Δ  0;

sunt numite formulele lui Cramer.

La găsirea determinanților necunoscutelor X 1 , X 2 ,…, X n coloana de coeficienţi ai variabilei al cărei determinant se găseşte se înlocuieşte cu o coloană de membri liberi.

Exemplu: Rezolvați sistemul de ecuații prin metoda lui Cramer

Decizie:

Mai întâi, compunem și calculăm principalul determinant al acestui sistem:

Deoarece Δ ​​≠ 0, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită folosind regula lui Cramer:

unde Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 se obțin din determinantul Δ prin înlocuirea coloanei 1, 2 sau 3, respectiv, cu coloana de termeni liberi.

Prin urmare:

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.

Luați în considerare sistemul:

Matricea extinsă a sistemului (1) este o matrice de forma:

metoda Gauss este o metodă de eliminare succesivă a necunoscutelor din ecuațiile sistemului, pornind de la a doua ecuație de-a lungul m- acea ecuație.

În acest caz, prin transformări elementare, matricea sistemului este redusă la una triunghiulară (dacă m = nși determinantul sistemului ≠ 0) sau treptat (dacă m< n ) formă.

Apoi, pornind de la ultima ecuație după număr, se găsesc toate necunoscutele.

Algoritmul metodei Gauss:

1) Compilați o matrice extinsă a sistemului, inclusiv o coloană de membri liberi.

2) Dacă A 11  0, apoi împărțim primul rând la A 11 și înmulțiți cu (- A 21) și adăugați a doua linie. În mod similar, ajunge m- din acea linie:

Împărțim pagina cu A 11 și înmulțiți cu (- A m 1) și adăugați m- acea pagină

În acest caz, din ecuații, începând de la a doua până la m- adică variabila va fi exclusă X 1 .

3) La pasul 3, a doua linie este folosită pentru transformări elementare similare ale șirurilor de la 3 la m- tuiu. Aceasta va elimina variabila X 2, începând de la a 3-a linie în jos m- tuia etc.

Ca urmare a acestor transformări, sistemul va fi redus la o formă triunghiulară sau în trepte (în cazul unei forme triunghiulare, există zerouri sub diagonala principală).

Aducerea unui sistem într-o formă triunghiulară sau în trepte se numește metoda Gauss directă, iar găsirea necunoscutelor din sistemul rezultat se numește înapoi.

Exemplu:

Mișcare directă. Să prezentăm matricea augmentată a sistemului

cu ajutorul transformărilor elementare la forma în trepte. Schimbați primul și al doilea rând al matricei A b, obținem matricea:

Să adăugăm al doilea rând al matricei rezultate cu primul înmulțit cu (‒2) și al treilea rând cu primul rând înmulțit cu (‒7). Obțineți matricea

La al treilea rând al matricei rezultate, adăugăm al doilea rând înmulțit cu (‒3), în urma căruia obținem o matrice de pas

Astfel, am redus acest sistem de ecuații la o formă în trepte:

,

Mișcare inversă. Pornind de la ultima ecuație a sistemului de ecuații treptat obținut, găsim succesiv valorile necunoscutelor:

§7. Sisteme de ecuații liniare

Sisteme de echilibru. Transformări elementare ale unui sistem de ecuații liniare.

Lasa Cu- camp numere complexe. Tip ecuație

Unde
, se numește ecuație liniară cu n necunoscut
. set comandat
,
se numește soluție a ecuației (1) dacă .

sistem m ecuații liniare cu n necunoscut este un sistem de ecuații de forma:

- coeficienții sistemului de ecuații liniare, - membri gratuiti.

masă dreptunghiulară

,

numită matricea mărimii
. Să introducem notația: - i- al-lea rând al matricei,
- k-a coloană a matricei. Matrice DAR denotă de asemenea
sau
.

Următoarele transformări ale rândurilor matricei DAR sunt numite elementare.
) excepție șir nul; ) înmulțirea tuturor elementelor oricărui șir cu un număr
; ) adăugare la orice șir a oricărui șir, înmulțit cu
. Transformări similare coloanei matriceale DAR se numesc transformări matriceale elementare DAR.

Primul element diferit de zero (numărând de la stânga la dreapta) al oricărui rând de matrice DAR se numește elementul conducător al acestui șir.

Definiție. Matrice
se numește treptat dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

1) rândurile zero ale matricei (dacă există) sunt sub cele diferite de zero;

2) dacă
elementele conducătoare ale rândurilor matricei, apoi

Orice matrice A diferită de zero poate fi redusă la o matrice în trepte prin transformări elementare de rând.

Exemplu. Prezentăm matricea
la matricea pasilor:
~
~
.

Matrice compusă din coeficienții sistemului ecuațiile liniare (2) se numesc matricea principală a sistemului. Matrice
, obținut din adăugarea unei coloane de termeni liberi, se numește matrice augmentată a sistemului.

O mulțime ordonată se numește soluție a sistemului de ecuații liniare (2) dacă este o soluție a fiecărei ecuații liniare a acestui sistem.

Un sistem de ecuații liniare se numește consistent dacă are cel puțin o soluție și inconsecvent dacă nu are soluții.

Un sistem de ecuații liniare se numește definit dacă are o soluție unică și nedefinit dacă are mai multe soluții.

Următoarele transformări ale unui sistem de ecuații liniare se numesc elementare:

) excluderea din sistemul de ecuaţii a formei ;

) înmulțirea ambelor părți ale oricărei ecuații cu
,
;

) adăugare la orice ecuație a oricărei alte ecuații, înmulțită cu ,.

Două sisteme de ecuații liniare din n se spune că necunoscutele sunt echivalente dacă nu sunt compatibile sau mulțimile soluțiilor lor sunt aceleași.

Teorema. Dacă un sistem de ecuații liniare se obține dintr-un altul prin transformări elementare de tipul ), ), ), atunci este echivalent cu cel original.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin metoda eliminării necunoscutelor (prin metoda Gauss).

Lasă sistemul m ecuații liniare cu n necunoscut:

Dacă sistemul (1) conține o ecuație de forma

atunci acest sistem este inconsecvent.

Să presupunem că sistemul (1) nu conține o ecuație de forma (2). Fie în sistemul (1) coeficientul variabilei X 1 în prima ecuație
(dacă nu este cazul, atunci prin rearanjarea ecuațiilor în locuri vom obține asta, deoarece nu toți coeficienții la X 1 sunt egale cu zero). Să aplicăm următorul lanț de transformări elementare sistemului de ecuații liniare (1):

, se adaugă la a doua ecuație;

Prima ecuație înmulțită cu
, adăugați la a treia ecuație și așa mai departe;

Prima ecuație înmulțită cu
, adăugați la ultima ecuație a sistemului.

Ca rezultat, obținem un sistem de ecuații liniare (în cele ce urmează vom folosi abrevierea CLE pentru un sistem de ecuații liniare) echivalent cu sistemul (1). Se poate dovedi că în sistemul rezultat, nici o singură ecuație cu numărul i, i 2, nu conține necunoscut X 2. Lasa k este cel mai mic numar natural, care este necunoscut X k este cuprinsă în cel puțin o ecuație cu numărul i, i 2. Atunci sistemul de ecuații rezultat are forma:

Sistemul (3) este echivalent cu sistemul (1). Aplicați acum la subsistem
sisteme de ecuații liniare (3) raționament care a fost aplicat SLE (1) . etc. Ca rezultat al acestui proces, ajungem la unul dintre cele două rezultate.

1. Obținem un SLE care conține o ecuație de forma (2). În acest caz, SLE (1) este inconsecvent.

2. Transformările elementare aplicate SLE (1) nu conduc la un sistem care să conţină o ecuaţie de forma (2). În acest caz, SLE (1) prin transformări elementare
se reduce la un sistem de ecuații de forma:

(4)

unde, 1< k < l < . . .< s,

Sistemul de ecuații liniare de forma (4) se numește treptat. Următoarele două cazuri sunt posibile aici.

DAR) r= n, atunci sistemul (4) are forma

(5)

Sistemul (5) are o soluție unică. În consecință, sistemul (1) are și o soluție unică.

B) r< n. În acest caz, necunoscutul
în sistemul (4) sunt numite necunoscute principale, iar necunoscutele rămase în acest sistem sunt numite libere (numărul lor este egal cu n- r). Să atribuim valori numerice arbitrare necunoscutelor libere, atunci SLE (4) va avea aceeași formă ca și sistemul (5). Din aceasta, principalele necunoscute sunt determinate în mod unic. Astfel, sistemul are o soluție, adică este articulat. Deoarece necunoscutele libere au primit valori numerice arbitrare de la Cu, atunci sistemul (4) este nedefinit. În consecință, sistemul (1) este și el nedefinit. Exprimând în SLE (4) principalele necunoscute în termeni de necunoscute libere, obținem un sistem numit soluția generală a sistemului (1).

Exemplu. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda G aussa

Scriem matricea extinsă a sistemului de ecuații liniare și, prin intermediul transformărilor elementare de rând, o reducem la o matrice în trepte:

~

~
~
~

~ . Folosind matricea rezultată, restabilim sistemul de ecuații liniare:
Acest sistem este echivalent cu sistemul original. Ca principale necunoscute, luăm apoi
necunoscute libere. Să exprimăm principalele necunoscute numai în termeni de necunoscute libere:

Am obținut soluția generală a SLE. Lasă atunci

(5, 0, -5, 0, 1) este o soluție particulară a SLE.

Sarcini pentru soluție independentă

1. Găsiți o soluție generală și o soluție particulară a unui sistem de ecuații prin eliminarea necunoscutelor:

1)
2)

4)
6)

2. Găsiți la diferite valori ale parametrilor A solutie generala a sistemului de ecuatii:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§opt. Spații vectoriale

Conceptul de spațiu vectorial. Cele mai simple proprietăți.

Lasa V ≠ Ø, ( F, +,∙) – câmp. Elementele câmpului se vor numi scalari.

Afişa φ : F× V –> V se numeste operatia de inmultire a elementelor unei multimi V la scalari din câmp F. Denota φ (λ,a) prin λа produs element A la un scalar λ .

Definiție. O multime de V cu o operaţie algebrică dată de adunare a elementelor mulţimii Vşi înmulţirea elementelor mulţimii V la scalari din câmp F se numește spațiu vectorial peste un câmp F dacă sunt valabile următoarele axiome:

Exemplu. Lasa F camp, F n = {(A 1 , A 2 , … , A n) | A i F (i=)). Fiecare element al setului F n numit n-vector aritmetic dimensional. Introducem operația de adăugare n-vectori dimensionali si multiplicare n-vector dimensional la scalar din câmp F. Lasa
. Să punem = ( A 1 + b 1 , … , A n + b n), = (λ A 1, λ A 2, …, λ A n). O multime de F n față de operațiile introduse este un spațiu vectorial și se numește n-spațiu vectorial aritmetic dimensional peste câmp F.

Lasa V- spațiu vectorial deasupra câmpului F, ,
. Următoarele proprietăți au loc:

1)
;

3)
;

4)
;

Dovada proprietății 3.

Din egalitate conform legii reducerii în grup ( V,+) avem
.

Dependența liniară, independența sistemelor de vectori.

Lasa V este spațiul vectorial peste câmp F,

. Vectorul este numit combinație liniară sisteme vectoriale
. Se numește mulțimea tuturor combinațiilor liniare ale unui sistem de vectori înveliș liniar a acestui sistem de vectori și se notează cu .

Definiție. Se spune că un sistem de vectori este dependent liniar dacă există astfel de scalari
nu toate egale cu zero, care

Dacă egalitatea (1) este valabilă dacă și numai dacă λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, atunci sistemul de vectori se numește liniar independent.

Exemplu. Aflați dacă sistemul de vectori = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) spații R 3 liniar dependente sau independente.

Decizie. Fie λ 1 , λ 2 , λ 3
și

 |=> (0,0,0) – soluția sistemului. Prin urmare, sistemul de vectori este liniar independent.

Proprietăți dependență liniarăși independența sistemului de vectori.

1. Sistemul de vectori care conțin cel puțin un vector zero este dependent liniar.

2. Un sistem de vectori care conține un subsistem dependent liniar este dependent liniar.

3. Sistem de vectori , unde
este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin un vector al acestui sistem diferit de vector este o combinație liniară a vectorilor care îl precedă.

4. Dacă sistemul de vectori este liniar independent, iar sistemul de vectori
dependent liniar, apoi vectorul poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori și, în plus, într-un mod unic.

Dovada. Deoarece sistemul de vectori este dependent liniar, atunci
nu toate egale cu zero, care

În egalitate vectorială (2) λ m+1 ≠ 0. Presupunând că λ m+1 =0, apoi din (2) => Rezultă că sistemul de vectori este liniar dependent, întrucât λ 1 , λ 2 , … , λ m nu toate sunt zero. Am ajuns la o contradicție cu condiția. De la (1) => unde
.

Fie vectorul poate fi reprezentat și ca: Apoi din egalitatea vectorială
în virtutea independență liniară sistem de vectori rezultă că
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Fie două sisteme de vectori și
, m>k. Dacă fiecare vector al sistemului de vectori poate fi reprezentat ca o combinație liniară a sistemului de vectori, atunci sistemul de vectori este dependent liniar.

Baza, rangul sistemului de vectori.

Un sistem finit de vectori spațiali V peste câmp F notează prin S.

Definiție. Orice subsistem liniar independent al sistemului de vectori S se numește baza sistemului de vectori S, dacă vreun vector al sistemului S poate fi reprezentat ca o combinație liniară a unui sistem de vectori.

Exemplu. Găsiți baza unui sistem de vectori = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. Sistemul de vectori este liniar independent, deoarece, conform proprietății 5, sistemul de vectori se obține din sistemul de vectori. indemnizatie elementele de bază electromecanotronica: educationalindemnizatie elementele de bază Inginerie Electrică"; ...

Literatură educațională 2000-2008 (1)

Literatură

Matematică Matematică Lobkova N.I. Bazele liniar algebrăși geometrie analitică: educationalindemnizatie/ N.I. Lobkova, M.V. Lagunova ... proiectare pentru elementele de bază electromecanotronica: educationalindemnizatie/ PGUPS. Dept. "Teoretic elementele de bază Inginerie Electrică"; ...

Definiția 5. Transformări elementare sistem de ecuații liniare se numesc următoarele transformări:

1) permutarea oricăror două ecuații pe locuri;

2) înmulțirea ambelor părți ale unei ecuații cu orice număr;

3) adăugarea la ambele părți ale unei ecuații a părților corespunzătoare ale celeilalte ecuații, înmulțite cu orice număr k;

(în timp ce toate celelalte ecuații rămân neschimbate).

Ecuația zero numim următoarea ecuație:

Teorema 1. Orice succesiune finită de transformări elementare și transformarea de ștergere a ecuației zero transformă un sistem de ecuații liniare într-un alt sistem de ecuații liniare echivalent cu acesta.

Dovada. Prin proprietatea 4 din subsecțiunea anterioară, este suficient să se demonstreze teorema pentru fiecare transformare separat.

1. Când ecuațiile din sistem sunt rearanjate, ecuațiile în sine nu se modifică, prin urmare, prin definiție, sistemul rezultat este echivalent cu cel original.

2. În virtutea primei părți a demonstrației, este suficient să se dovedească aserția pentru prima ecuație. Înmulțim prima ecuație a sistemului (1) cu numărul , obținem sistemul

(2)

Lasa  sisteme (1) . Atunci numerele satisfac toate ecuațiile sistemului (1). Deoarece toate ecuațiile sistemului (2), cu excepția primei, coincid cu ecuațiile sistemului (1), numerele satisfac toate aceste ecuații. Deoarece numerele satisfac prima ecuație a sistemului (1), atunci are loc egalitatea numerică corectă:

Înmulțind-o cu un număr K, obținem egalitatea numerică corectă:

Acea. stabilim ca  sisteme (2).

În schimb, dacă soluția sistemului (2), atunci numerele satisfac toate ecuațiile sistemului (2). Deoarece toate ecuațiile sistemului (1), cu excepția primei, coincid cu ecuațiile sistemului (2), numerele satisfac toate aceste ecuații. Deoarece numerele satisfac prima ecuație a sistemului (2), atunci egalitatea numerică (4) este valabilă. Împărțind ambele părți la numărul , obținem egalitatea numerică (3) și demonstrăm că  soluția sistemului (1).

Prin urmare, prin Definiția 4, sistemul (1) este echivalent cu sistemul (2).

3. În virtutea primei părți a demonstrației, este suficient să se dovedească afirmația pentru prima și a doua ecuație a sistemului. Să adăugăm la ambele părți ale primei ecuații a sistemului părțile corespunzătoare ale celei de-a doua înmulțite cu numărul K, obținem sistemul

(5)

Lasa soluția sistemului (1) . Atunci numerele satisfac toate ecuațiile sistemului (1). Deoarece toate ecuațiile sistemului (5), cu excepția primei, coincid cu ecuațiile sistemului (1), numerele satisfac toate aceste ecuații. Deoarece numerele satisfac prima ecuație a sistemului (1), atunci au loc egalitățile numerice corecte:

Prin adăugarea termenului cu termen la prima egalitate a doua, înmulțită cu numărul K obținem egalitatea numerică corectă.

Două sisteme de ecuații liniare dintr-o mulțime x 1 ,..., x n de necunoscute și, respectiv, din ecuațiile m și p

Ele se numesc echivalente dacă seturile lor soluții și coincid (adică submulțimile și în K n coincid, ). Aceasta înseamnă că fie sunt ambele submulțimi goale (adică ambele sisteme (I) și (II) sunt inconsecvente), fie sunt simultan nevide și (adică fiecare soluție a sistemului I este o soluție a sistemului II și fiecare soluție a sistemului II). este o soluție la sistemul I).

Exemplul 3.2.1.

metoda Gauss

Planul algoritmului propus de Gauss a fost destul de simplu:

1. aplicăm transformări secvențiale sistemului de ecuații liniare care nu modifică setul de soluții (astfel salvăm setul de soluții din sistemul original), și mergem la un sistem echivalent care are o „formă simplă” (așa-numitul pas formă);
2. pentru " formă simplă„A unui sistem (cu matrice de etape) descrie un set de soluții care coincide cu setul de soluții al sistemului original.

Rețineți că metoda strâns legată „fan-chen” era deja cunoscută în matematica chineză antică.

Transformări elementare ale sistemelor de ecuații liniare (rânduri de matrice)

Definiția 3.4.1 (conversie elementară de tip 1). Când ecuația i-a a sistemului se adaugă la ecuația k-a înmulțită cu numărul (notația: (i) "= (i) + c (k) ; adică numai o i-a ecuație (i) este înlocuită printr-o nouă ecuație (i)"=(i)+c(k) ). Noua ecuație i-a are forma (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a în +ca kn)x n =b i +cb k, sau, pe scurt,

Adică în noua ecuație i-a a ij "=a ij +ca kj, b i"=b i + cb k.

Definiția 3.4.2 (conversie elementară de tip 2). Pentru ecuațiile i-a și k-a sunt interschimbate, ecuațiile rămase nu se schimbă (notația: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; pentru coeficienți aceasta înseamnă următoarele: pentru j=1 ,.. .,n

Observație 3.4.3. Pentru comoditate, în calcule specifice, puteți aplica o transformare elementară de al treilea tip: ecuația i-a este înmulțită cu un număr diferit de zero , (i)"=c(i) .

Propunerea 3.4.4. Dacă am trecut de la sistemul I la sistemul II cu ajutorul unui număr finit de transformări elementare de tipul I și II, atunci din sistemul II putem reveni la sistemul I și prin transformări elementare de tipul I și II.

Dovada.

Observație 3.4.5. Afirmația este adevărată și cu includerea unei transformări elementare de al 3-lea tip în numărul transformărilor elementare. În cazul în care un și (i)"=c(i), atunci și (i)=c -1 (i)" .

Teorema 3.4.6.După aplicarea succesivă a unui număr finit de transformări elementare de tipul I sau al II-lea la un sistem de ecuații liniare se obține un sistem de ecuații liniare echivalent cu cel inițial.

Dovada. Rețineți că este suficient să luăm în considerare cazul trecerii de la sistemul I la sistemul II cu ajutorul unei transformări elementare și să dovedim includerea pentru mulțimile de soluții (deoarece, în virtutea propoziției dovedite, este posibil să revenim din sistemul II). la sistemul I și, prin urmare, vom avea includerea , adică se va dovedi egalitatea).

Mai jos considerăm sisteme de ecuații liniare peste câmpul de variabile EXTINS. Se spune că două sisteme de ecuații liniare sunt echivalente dacă fiecare soluție pentru oricare dintre aceste sisteme este o soluție pentru celălalt sistem.

Propozițiile următoare exprimă proprietățile echivalenței, care decurg din definiția echivalenței și proprietățile succesiunii sistemelor notate mai sus.

PROPUNEREA 2.2. Două sisteme de ecuații liniare sunt echivalente dacă și numai dacă fiecare dintre aceste sisteme este o consecință a celuilalt sistem.

PROPUNEREA 2.3. Două sisteme de ecuații liniare sunt echivalente dacă și numai dacă mulțimea tuturor soluțiilor unui sistem coincide cu mulțimea tuturor soluțiilor celuilalt sistem.

PROPUNEREA 2.4. Două sisteme de ecuații liniare sunt echivalente dacă și numai dacă predicatele definite de aceste sisteme sunt echivalente.

DEFINIȚIE. Următoarele transformări se numesc transformări elementare ale unui sistem de ecuații liniare:

(a) înmulțirea ambelor părți ale unei ecuații a sistemului cu un scalar diferit de zero;

(P) adunarea (scăderea) la ambele părți ale oricărei ecuații a sistemului a părților corespunzătoare ale unei alte ecuații a sistemului, înmulțită cu un scalar;

Excluderea din sistem sau adăugarea la sistem a unei ecuații liniare cu coeficienți zero și un membru liber zero.

TEOREMA 2.5. Dacă un sistem de ecuații liniare este obținut dintr-un alt sistem de ecuații liniare ca rezultat al unui lanț de transformări elementare, atunci aceste două sisteme sunt echivalente.

Dovada. Lasă sistemul

Dacă înmulțim una dintre ecuațiile sale, de exemplu, prima, cu un scalar X diferit de zero, atunci obținem sistemul

Fiecare soluție a sistemului (1) este și o soluție a sistemului (2).

În schimb, dacă este vreo soluție a sistemului (2),

apoi, înmulțind prima egalitate cu și fără modificarea egalităților ulterioare, obținem egalități care arată că vectorul este o soluție a sistemului (1). Prin urmare, sistemul (2) este echivalent cu sistemul original (1). De asemenea, este ușor de verificat că o singură aplicare a transformării elementare (P) sau a sistemului (1) conduce la un sistem echivalent cu sistemul original (1). Întrucât relația de echivalență este tranzitivă, aplicarea repetată a transformărilor elementare conduce la un sistem de ecuații echivalent cu sistemul original (1).

COROLAR 2.6. Dacă adăugăm o combinație liniară a altor ecuații ale sistemului la una dintre ecuațiile sistemului de ecuații liniare, atunci obținem un sistem de ecuații care este echivalent cu cel original.

COROLAR 2.7. Dacă excludem din sistemul de ecuații liniare sau adăugăm la acesta o ecuație care este o combinație liniară a altor ecuații ale sistemului, atunci obținem un sistem de ecuații care este echivalent cu sistemul original.