Derivate parțiale ale funcțiilor a două variabile.
Concept și exemple de soluții

În această lecție, vom continua cunoașterea funcției a două variabile și vom lua în considerare, probabil, cea mai comună sarcină tematică - găsirea derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea, precum și diferenţial total funcții. Studenții cu fracțiune de normă, de regulă, se confruntă cu derivate parțiale în anul 1 în semestrul 2. Mai mult decât atât, conform observațiilor mele, sarcina de a găsi derivate parțiale se regăsește aproape întotdeauna în examen.

Pentru învăţare eficientă materialul de mai jos necesar să poată găsi mai mult sau mai puțin cu încredere derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile. Puteți învăța cum să gestionați corect derivatele în lecții Cum să găsesc derivatul?și Derivată a unei funcții compuse. Avem nevoie și de un tabel derivat functii elementareși reguli de diferențiere, este cel mai convenabil dacă este la îndemână în formă tipărită. Ia-l material de referinta posibil pe pagină Formule și tabele matematice.

Să repetăm ​​rapid conceptul de funcție a două variabile, voi încerca să mă limitez la minim. O funcție a două variabile este de obicei scrisă ca , variabilele fiind numite variabile independente sau argumente.

Exemplu: - o funcţie a două variabile.

Uneori se folosește notația. Există, de asemenea, sarcini în care litera este folosită în loc de scrisoare.

Din punct de vedere geometric, o funcție a două variabile este cel mai adesea o suprafață a spațiului tridimensional (plan, cilindru, bilă, paraboloid, hiperboloid etc.). Dar de fapt este mai mult geometrie analiticăși pe agenda noastră analiză matematică, care nu m-a lăsat niciodată să-mi anulez profesorul universitar este „calul”.

Ne întoarcem la problema găsirii derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Am niște vești bune pentru cei dintre voi care au băut câteva căni de cafea și sunt în chef de material neînchipuit de dificil: derivatele parțiale sunt aproape aceleași cu derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile.

Pentru derivatele parțiale sunt valabile toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Există doar câteva mici diferențe pe care le vom cunoaște chiar acum:

... da, apropo, pentru acest subiect am creat carte mica pdf, care vă va permite să vă „umpleți mâna” în doar câteva ore. Dar, folosind site-ul, veți obține, desigur, și rezultatul - poate puțin mai lent:

Exemplul 1

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea ale unei funcții

În primul rând, găsim derivatele parțiale de ordinul întâi. Sunt doi dintre ei.

Notaţie:
sau - derivată parțială față de "x"
sau - derivată parțială în raport cu „y”

Sa incepem cu . Când găsim derivata parțială față de „x”, atunci variabila este considerată o constantă (număr constant).

Comentarii cu privire la acțiunile întreprinse:

(1) Primul lucru pe care îl facem atunci când găsim derivata parțială este să concluzionam toate funcţionează între paranteze sub liniuţă cu indice.

Atenție importantă! Indicele NU PIERD pe parcursul soluției. În acest caz, dacă desenați o „lovitură” undeva fără, atunci profesorul, cel puțin, o poate pune lângă sarcină (mușcă imediat o parte din scor pentru neatenție).

(2) Folosiți regulile de diferențiere , . Pentru un exemplu simplu ca aceasta, ambele reguli pot fi aplicate într-un singur pas. Atenție la primul termen: de când este considerată o constantă și orice constantă poate fi scoasă din semnul derivatei, apoi o scoatem din paranteze. Adică, în această situație, nu este mai bun decât un număr obișnuit. Acum să ne uităm la al treilea termen: aici, dimpotrivă, nu este nimic de scos. Deoarece este o constantă, este și o constantă și, în acest sens, nu este mai bună decât ultimul termen - „șapte”.

(3) Folosim derivate tabulare și .

(4) Simplificăm sau, după cum îmi place să spun, „combinăm” răspunsul.

Acum . Când găsim derivata parțială față de „y”, atunci variabilaconsiderată o constantă (număr constant).

(1) Folosim aceleași reguli de diferențiere , . În primul termen scoatem constanta dincolo de semnul derivatei, în al doilea termen nu se poate scoate nimic pentru că este deja o constantă.

(2) Folosim tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Schimbați mental în tabel toate „X” cu „Y”. Acesta este tabelul dat la fel de valabil pentru (și într-adevăr pentru aproape orice scrisoare). În special, formulele pe care le folosim arată astfel: și .

Care este sensul derivatelor parțiale?

La baza lor, derivatele parțiale de ordinul 1 se aseamănă derivat „obișnuit”.:

- aceasta este funcții, care caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia axelor şi respectiv. Deci, de exemplu, funcția caracterizează abruptul „urcărurilor” și „pârtilor” suprafeteîn direcția axei absciselor, iar funcția ne vorbește despre „relieful” aceleiași suprafețe în direcția axei ordonatelor.

! Notă : aici se referă la direcții care sunt paralele axele de coordonate.

Pentru o mai bună înțelegere, să luăm în considerare un punct specific al planului și să calculăm valoarea funcției („înălțime”) în el:
- și acum imaginați-vă că sunteți aici (la suprafață).

Calculăm derivata parțială în raport cu „x” la un punct dat:

Semnul negativ al derivatului „X” ne vorbește despre Descendentă funcţionează într-un punct în direcţia axei x. Cu alte cuvinte, dacă facem un mic-mic (infinitezimal) pas spre vârful axei (paralel cu această axă), apoi coborâți panta suprafeței.

Acum aflăm natura „terenului” în direcția axei y:

Derivata față de „y” este pozitivă, prin urmare, într-un punct de-a lungul axei, funcția crește. Dacă este destul de simplu, atunci aici așteptăm o urcare în urcare.

În plus, derivata parțială la un punct caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia relevantă. Cu cât valoarea rezultată este mai mare modulo- cu cât suprafața este mai abruptă și invers, cu cât este mai aproape de zero, cu atât suprafața este mai plată. Deci, în exemplul nostru, „panta” în direcția axei absciselor este mai abruptă decât „muntele” în direcția axei ordonatelor.

Dar acelea erau două căi private. Este destul de clar că din punctul în care ne aflăm, (și în general din orice punct al suprafeței date) ne putem deplasa într-o altă direcție. Astfel, există un interes în alcătuirea unei „hărți de navigație” generale care să ne spună despre „peisajul” suprafeței. dacă este posibilîn fiecare punct domeniul de aplicare al acestei funcțiiîn toate modurile disponibile. Voi vorbi despre acest lucru și despre alte lucruri interesante într-una din lecțiile următoare, dar, deocamdată, să revenim la partea tehnică a problemei.

Sistematizăm regulile elementare aplicate:

1) Când diferențiem prin , atunci variabila este considerată o constantă.

2) Când diferenţierea se realizează conform, atunci este considerată o constantă.

3) Regulile și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare sunt valabile și aplicabile pentru orice variabilă (sau oricare alta) față de care se realizează diferențierea.

Pasul doi. Găsim derivate parțiale de ordinul doi. Sunt patru.

Notaţie:
sau - a doua derivată în raport cu „x”
sau - a doua derivată în raport cu „y”
sau - amestecat derivată „x cu y”
sau - amestecat derivată „Y cu X”

Nu există probleme cu derivata a doua. vorbind limbaj simplu, a doua derivată este derivata primei derivate.

Pentru comoditate, voi rescrie derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite:

Mai întâi găsim derivatele mixte:

După cum puteți vedea, totul este simplu: luăm derivata parțială și o diferențiem din nou, dar în acest caz, deja prin „y”.

În mod similar:

În exemple practice, vă puteți concentra pe următoarea egalitate:

Astfel, prin derivate mixte de ordinul doi, este foarte convenabil să verificăm dacă am găsit corect derivatele parțiale de ordinul întâi.

Găsim derivata a doua în raport cu „x”.
Fără invenții, luăm și diferențiază-l cu „X” din nou:

În mod similar:

Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți, trebuie să arătați atenție sporită, deoarece nu există egalități miraculoase care să le testeze.

Derivatele secunde găsesc și ele largi uz practic, în special, sunt folosite în problema găsirii extremele unei funcţii a două variabile. Dar totul are timpul lui:

Exemplul 2

Calculați derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției în punctul . Găsiți derivate de ordinul doi.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspunsuri la sfârșitul lecției). Dacă aveți dificultăți în a diferenția rădăcinile, reveniți la lecție Cum să găsesc derivatul?În general, destul de curând veți învăța cum să găsiți derivate similare din mers.

Să punem mâna pe mai multe exemple dificile:

Exemplul 3

Verifică asta . Scrieți diferența totală de ordinul întâi.

Rezolvare: Găsim derivate parțiale de ordinul întâi:

Atenție la indice: lângă „x” nu este interzis să scrieți între paranteze că este o constantă. Acest marcaj poate fi foarte util pentru începători pentru a facilita navigarea prin soluție.

Comentarii suplimentare:

(1) Scoatem toate constantele din afara semnului derivatei. În acest caz, și , și, prin urmare, produsul lor este considerat un număr constant.

(2) Nu uitați cum să diferențiați corect rădăcinile.

(1) Luăm toate constantele din semnul derivatei, în acest caz constanta este .

(2) Sub prim, avem produsul a două funcții, prin urmare, trebuie să folosim regula de diferențiere a produsului .

(3) Nu uitați că este o funcție complexă (deși cea mai simplă dintre cele complexe). Folosim regula corespunzătoare: .

Acum găsim derivate mixte de ordinul doi:

Aceasta înseamnă că toate calculele sunt corecte.

Să scriem diferența totală. În contextul sarcinii luate în considerare, nu are sens să spunem care este diferența totală a unei funcții a două variabile. Este important ca această diferență să fie scrisă foarte des în probleme practice.

Diferenţial total de prim ordin funcțiile a două variabile are forma:

În acest caz:

Adică, în formulă trebuie doar să înlocuiți prostesc derivatele parțiale de prim ordin deja găsite. Pictograme diferențiale și în această situație și în situații similare, dacă este posibil, este mai bine să scrieți în numărătoare:

Și la cererea repetată a cititorilor, diferenţial complet de ordinul doi.

Arata cam asa:

Găsiți cu ATENȚIE derivatele „cu o singură literă” de ordinul 2:

și notează „monstrul”, „atașând” cu grijă pătratele, produsul și fără a uita să dublezi derivatul mixt:

Este în regulă dacă ceva părea dificil, poți oricând să revii la derivate mai târziu, după ce ai luat tehnica de diferențiere:

Exemplul 4

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții . Verifică asta . Scrieți diferența totală de ordinul întâi.

Luați în considerare o serie de exemple cu funcții complexe:

Exemplul 5

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale funcției.

Soluţie:

Exemplul 6

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .
Notați diferența totală.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției). Soluție completă Nu citez, pentru că este destul de simplu

Destul de des, toate regulile de mai sus sunt aplicate în combinație.

Exemplul 7

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

(1) Folosim regula diferențierii sumei

(2) Primul termen în acest caz este considerat o constantă, deoarece în expresie nu există nimic care să depindă de „x” - doar „y”. Știi, este întotdeauna frumos când o fracție poate fi transformată în zero). Pentru al doilea termen, aplicăm regula de diferențiere a produsului. Apropo, în acest sens, nimic nu s-ar schimba dacă s-ar da în schimb o funcție – este important că aici produsul a două funcții, Fiecare dintre ele depinde de "X", și, prin urmare, trebuie să utilizați regula de diferențiere a produsului. Pentru al treilea termen, aplicăm regula diferențierii functie complexa.

(1) Primul termen atât în ​​numărător, cât și în numitor conține un „y”, prin urmare, trebuie să utilizați regula pentru diferențierea coeficientului: . Al doilea termen depinde DOAR de „x”, ceea ce înseamnă că este considerat o constantă și se transformă în zero. Pentru al treilea termen, folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe.

Pentru acei cititori care au ajuns cu curaj aproape până la sfârșitul lecției, vă voi spune o veche anecdotă a lui Mehmatov pentru detenție:

Odată a apărut un derivat malefic în spațiul funcțiilor și cum a mers să diferențieze pe toată lumea. Toate funcțiile se împrăștie în toate direcțiile, nimeni nu vrea să se întoarcă! Și o singură funcție nu scapă nicăieri. Derivatul o abordează și întreabă:

— De ce nu fugi de mine?

- Ha. Dar nu-mi pasă, pentru că sunt „e la puterea lui x”, iar tu nu-mi poți face nimic!

La care derivatul malefic cu un zâmbet insidios îi răspunde:

- Aici greșești, te voi diferenția prin „y”, așa că fii zero pentru tine.

Cine a înțeles gluma, a stăpânit derivatele, cel puțin pentru „troika”).

Exemplul 8

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. O soluție completă și un model de proiect al problemei sunt la sfârșitul lecției.

Ei bine, asta e aproape tot. În cele din urmă, nu pot să nu le rog matematicienilor cu încă un exemplu. Nici măcar nu e vorba de amatori, fiecare are un alt nivel de pregătire matematică – sunt oameni (și nu atât de rari) cărora le place să concureze cu sarcini mai dificile. Deși, ultimul exemplu din această lecție nu este atât de complicat, ci greoi din punct de vedere al calculelor.

Derivatele parțiale sunt utilizate în atribuirile cu funcții ale mai multor variabile. Regulile de găsire sunt exact aceleași ca și pentru funcțiile unei variabile, singura diferență fiind că una dintre variabile trebuie considerată o constantă (număr constant) în momentul diferențierii.

Formulă

Derivatele parțiale pentru o funcție a două variabile $ z(x,y) $ sunt scrise sub următoarea formă $ z"_x, z"_y $ și se găsesc folosind formulele:

Derivate parțiale de ordinul întâi

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Derivate parțiale de ordinul doi

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

derivat mixt

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Derivată parțială a unei funcții complexe

a) Fie $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, atunci derivata funcției complexe este determinată de formula:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

b) Fie $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, atunci derivatele parțiale ale funcției se găsesc prin formula:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Derivate parțiale ale unei funcții date implicit

a) Fie $ F(x,y(x)) = 0 $, apoi $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Fie $ F(x,y,z)=0 $, apoi $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Exemple de soluții

Exemplul 1

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Soluţie

Pentru a găsi derivata parțială în raport cu $ x $, vom presupune că $ y $ este o valoare constantă (număr): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Pentru a găsi derivata parțială a unei funcții în raport cu $ y $, definiți $ y $ ca o constantă: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Noi vom oferi solutie detaliata. Veți putea să vă familiarizați cu progresul calculului și să adunați informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți un credit de la profesor în timp util!

Răspuns

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Exemplul 2

Găsiți derivate parțiale ale unei funcții de ordinul doi $ z = e^(xy) $

Soluţie

Mai întâi trebuie să găsești primele derivate, iar apoi cunoscându-le, poți găsi derivatele de ordinul doi. Fie $ y $ o constantă: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Să setăm acum $ x $ ca valoare constantă: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Cunoscând primele derivate, le găsim în mod similar și pe a doua. Setați constanta $y$: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + da^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Setați constanta $ ​​x $: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Acum rămâne să găsim derivatul mixt. Puteți diferenția $ z"_x $ față de $ y $, sau puteți diferenția $ z"_y $ față de $ x $, deoarece prin teorema $ z""_(xy) = z""_(yx ) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Răspuns

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Exemplul 4

Fie $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ definesc funcţie implicită$F(x,y,z) = 0 $. Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi.

Soluţie

Scriem funcția în formatul: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ și găsim derivatele: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Răspuns

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Luați în considerare o funcție a două variabile:

Deoarece variabilele $x$ și $y$ sunt independente, putem introduce conceptul de derivată parțială pentru o astfel de funcție:

Derivata parțială a funcției $f$ în punctul $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ în raport cu variabila $x$ este limita

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]

În mod similar, putem defini derivata parțială față de variabila $y$ :

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

Cu alte cuvinte, pentru a găsi derivata parțială a unei funcții de mai multe variabile, trebuie să fixați toate celelalte variabile, cu excepția celei dorite, și apoi să găsiți derivata obișnuită în raport cu această variabilă dorită.

De aici rezultă tehnica principală de calcul a unor astfel de derivate: pur și simplu luați în considerare că toate variabilele, cu excepția celei date, sunt constante și apoi diferențiați funcția așa cum ați diferenția pe cea „obișnuită” - cu o variabilă. De exemplu:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prim ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Evident, derivatele parțiale cu privire la diferite variabile dau răspunsuri diferite - acest lucru este normal. Este mult mai important să înțelegem de ce, să zicem, în primul caz, am scos cu calm $10y$ de sub semnul derivatului, iar în al doilea caz, am anulat complet primul termen. Toate acestea se datorează faptului că toate literele, cu excepția variabilei prin care se realizează diferențierea, sunt considerate constante: pot fi scoase, „arse” etc.

Ce este o „derivată parțială”?

Astăzi vom vorbi despre funcțiile mai multor variabile și derivatele lor parțiale. În primul rând, ce este o funcție a mai multor variabile? Până acum, am fost obișnuiți să ne gândim la o funcție ca $y\left(x\right)$ sau $t\left(x \right)$, sau orice variabilă și o singură funcție din aceasta. Acum vom avea o singură funcție și mai multe variabile. Când $y$ și $x$ se schimbă, valoarea funcției se va schimba. De exemplu, dacă $x$ se dublează, valoarea funcției se va modifica, în timp ce dacă $x$ se modifică și $y$ nu se modifică, valoarea funcției se va schimba în același mod.

Desigur, o funcție a mai multor variabile, la fel ca o funcție a unei variabile, poate fi diferențiată. Cu toate acestea, deoarece există mai multe variabile, este posibil să se diferențieze în funcție de diferite variabile. În acest caz, apar reguli specifice care nu au existat la diferențierea unei variabile.

În primul rând, când luăm în considerare derivata unei funcții a oricărei variabile, trebuie să indicăm care variabilă considerăm derivată - aceasta se numește derivată parțială. De exemplu, avem o funcție a două variabile și o putem calcula atât în ​​$x$ cât și în $y$ - două derivate parțiale ale fiecăreia dintre variabile.

În al doilea rând, de îndată ce am fixat una dintre variabile și începem să calculăm derivata parțială în raport cu aceasta, atunci toate celelalte incluse în această funcție sunt considerate constante. De exemplu, în $z\left(xy \right)$, dacă luăm în considerare derivata parțială față de $x$, atunci oriunde întâlnim $y$, o considerăm o constantă și o tratăm exact ca o constantă. În special, la calcularea derivatei unui produs, putem scoate $y$ din paranteză (avem o constantă), iar la calcularea derivatei sumei, dacă obținem undeva derivata unei expresii care conține $y$ și neconținând $x$, atunci derivata acestei expresii va fi egală cu „zero” ca derivată a constantei.

La prima vedere, poate părea că vorbesc despre ceva complex, iar mulți studenți devin confuzi la început. Cu toate acestea, nu există nimic supranatural în derivatele parțiale, iar acum vom vedea acest lucru pe exemplul unor probleme specifice.

Probleme cu radicali și polinoame

Sarcina 1

Pentru a nu pierde timpul în zadar, de la bun început vom începe cu exemple serioase.

Să încep cu următoarea formulă:

Aceasta este valoarea tabelului standard pe care o cunoaștem din cursul standard.

În acest caz, derivata $z$ se calculează după cum urmează:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Să o facem din nou, deoarece rădăcina nu este $x$, ci o altă expresie, în acest caz $\frac(y)(x)$, atunci vom folosi mai întâi valoarea tabelului standard și apoi, deoarece rădăcina este nu $x $ și o altă expresie, trebuie să ne înmulțim derivata cu încă una din această expresie în raport cu aceeași variabilă. Să începem cu următoarele:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Ne întoarcem la expresia noastră și scriem:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

Practic, asta-i tot. Cu toate acestea, este greșit să o lăsați în această formă: o astfel de construcție este incomod de utilizat pentru calcule ulterioare, așa că să o transformăm puțin:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Răspuns găsit. Acum să ne ocupăm de $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Să scriem separat:

\[((\left(\frac(y)(x) \right)))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot (((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Acum scriem:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Terminat.

Sarcina #2

Acest exemplu este atât mai simplu, cât și mai complex decât cel precedent. Mai dificil, pentru că sunt mai multe acțiuni, dar mai ușor, pentru că nu există rădăcină și, în plus, funcția este simetrică față de $x$ și $y$, adică. dacă schimbăm $x$ și $y$, formula nu se schimbă. Această observație va simplifica și mai mult calculul derivatei parțiale, i.e. este suficient să calculați unul dintre ele, iar în al doilea doar schimbați $x$ și $y$.

Sa trecem la treaba:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Hai să numărăm:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Cu toate acestea, mulți studenți nu înțeleg o astfel de înregistrare, așa că o scriem astfel:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Astfel, suntem din nou convinși de universalitatea algoritmului derivatei parțiale: indiferent de modul în care le considerăm, dacă toate regulile sunt aplicate corect, răspunsul va fi același.

Acum să ne ocupăm de încă o derivată parțială din formula noastră mare:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((() x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Înlocuim expresiile rezultate în formula noastră și obținem:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ dreapta)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \dreapta))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((() x)^(2))+((y)^(2))+1 \dreapta))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\) stânga(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]

$x$ numărat. Și pentru a calcula $y$ din aceeași expresie, să nu executăm aceeași secvență de acțiuni, ci să folosim simetria expresiei noastre originale - pur și simplu înlocuim toți $y$ din expresia noastră originală cu $x$ și invers:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Datorită simetriei, am calculat această expresie mult mai rapid.

Nuanțe ale soluției

Toate funcționează pentru derivate parțiale formule standard, pe care o folosim pentru cele obișnuite, și anume, derivata coeficientului. În acest caz, totuși, apar propriile sale caracteristici specifice: dacă luăm în considerare derivata parțială a lui $x$, atunci când o obținem de la $x$, atunci o considerăm constantă și, prin urmare, derivata sa va fi egală cu " zero".

Ca și în cazul derivatelor obișnuite, câtul (unul și același) poate fi calculat prin mai multe căi diferite. De exemplu, aceeași construcție pe care tocmai am calculat-o poate fi rescrisă după cum urmează:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Cu toate acestea, pe de altă parte, puteți utiliza formula din suma derivată. După cum știm, este egal cu suma derivatelor. De exemplu, să scriem următoarele:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Acum, știind toate acestea, să încercăm să lucrăm cu expresii mai serioase, deoarece derivatele parțiale reale nu se limitează doar la polinoame și rădăcini: există trigonometrie și logaritmi și o funcție exponențială. Acum hai să facem asta.

Probleme cu funcțiile trigonometrice și logaritmi

Sarcina 1

Scriem următoarele formule standard:

\[((\left(\sqrt(x) \right)))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Înarmați cu aceste cunoștințe, să încercăm să rezolvăm:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Să scriem o variabilă separat:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Înapoi la designul nostru:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Am găsit totul pentru $x$, acum să facem calculele pentru $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Din nou, luați în considerare o expresie:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \dreapta)\]

Revenim la expresia originală și continuăm soluția:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Terminat.

Sarcina #2

Să scriem formula de care avem nevoie:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Acum să numărăm cu $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Găsit de $x$. Numărând cu $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Problema rezolvata.

Nuanțe ale soluției

Deci, indiferent de ce funcție luăm derivata parțială, regulile rămân aceleași, indiferent dacă lucrăm cu trigonometrie, cu rădăcini sau cu logaritmi.

Regulile clasice de lucru cu derivate standard rămân neschimbate, și anume, derivata sumei și diferenței, coeficientul și funcția complexă.

Ultima formulă se găsește cel mai adesea în rezolvarea problemelor cu derivate parțiale. Îi întâlnim aproape peste tot. Nu a existat încă o singură sarcină pe care să nu o găsim acolo. Dar indiferent de formula pe care o folosim, mai adăugăm încă o cerință, și anume, caracteristica de a lucra cu derivate parțiale. De îndată ce fixăm o variabilă, toate celelalte sunt constante. În special, dacă luăm în considerare derivata parțială a expresiei $\cos \frac(x)(y)$ față de $y$, atunci $y$ este variabila și $x$ rămâne constant peste tot. Același lucru funcționează și invers. Poate fi scos din semnul derivatei, iar derivata constantei în sine va fi egală cu „zero”.

Toate acestea conduc la faptul că derivatele parțiale ale aceleiași expresii, dar cu privire la diferite variabile, pot arăta complet diferit. De exemplu, luați în considerare următoarele expresii:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Probleme cu funcțiile exponențiale și logaritmii

Sarcina 1

Să începem prin a scrie următoarea formulă:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Cunoscând acest fapt, precum și derivata unei funcții complexe, să încercăm să calculăm. Voi rezolva acum în două moduri diferite. Primul și cel mai evident este derivatul produsului:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Să rezolvăm separat următoarea expresie:

\[((\left(\frac(x)(y) \right)))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Revenim la designul nostru original și continuăm soluția:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\dreapta)\]

Totul, $x$ numărat.

Totuși, așa cum am promis, acum vom încerca să calculăm aceeași derivată parțială într-un mod diferit. Pentru a face acest lucru, rețineți următoarele:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Hai sa o scriem asa:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

Drept urmare, am primit exact același răspuns, dar cantitatea de calcule s-a dovedit a fi mai mică. Pentru a face acest lucru, a fost suficient să observăm că atunci când produsul este înmulțit, se pot adăuga exponenții.

Acum să numărăm cu $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Să rezolvăm o expresie separat:

\[((\left(\frac(x)(y) \right)))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Să continuăm soluția construcției noastre originale:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Desigur, aceeași derivată ar putea fi calculată în al doilea mod, răspunsul ar fi același.

Sarcina #2

Să numărăm cu $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Să numărăm o expresie separat:

\[((\left(\ln \left((((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Să continuăm soluția construcției inițiale: $$

Iată răspunsul.

Rămâne de găsit prin analogie cu $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Să numărăm o expresie separat, ca întotdeauna:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Continuăm soluția structurii principale:

Totul este socotit. După cum puteți vedea, în funcție de ce variabilă este luată pentru diferențiere, răspunsurile sunt complet diferite.

Nuanțe ale soluției

Iată un exemplu viu al modului în care derivata aceleiași funcții poate fi calculată în două moduri diferite. Uite aici:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ stânga(1+\frac(1)(y)\dreapta)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right)))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

Atunci când alegeți căi diferite, cantitatea de calcule poate fi diferită, dar răspunsul, dacă totul este făcut corect, va fi același. Acest lucru se aplică atât derivatelor clasice, cât și parțiale. În același timp, vă reamintesc încă o dată: în funcție de ce variabilă este luată derivata, adică. diferențiere, răspunsul poate fi complet diferit. Uite:

\[((\left(\ln \left((((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left((((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

În concluzie, pentru a consolida tot acest material, să încercăm să mai numărăm două exemple.

Probleme cu o funcție trigonometrică și o funcție cu trei variabile

Sarcina 1

Să scriem aceste formule:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Să rezolvăm acum expresia noastră:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Separat, luați în considerare următoarea construcție:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ stânga(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Continuăm să rezolvăm expresia originală:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Acesta este răspunsul final al variabilei private pe $x$. Acum să numărăm cu $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Să rezolvăm o expresie separat:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ stânga(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Ne rezolvăm construcția până la capăt:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Sarcina #2

La prima vedere, acest exemplu poate părea destul de complicat, deoarece există trei variabile. De fapt, aceasta este una dintre cele mai ușoare sarcini din tutorialul video de astăzi.

Găsiți după $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Acum să ne ocupăm de $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left) (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Am găsit răspunsul.

Acum rămâne de găsit cu $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Am calculat derivata a treia, pe care soluția celei de-a doua probleme este complet finalizată.

Nuanțe ale soluției

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în aceste două exemple. Singurul lucru pe care l-am văzut este că derivata unei funcții complexe este adesea folosită și, în funcție de derivată parțială pe care o considerăm, obținem răspunsuri diferite.

În ultima sarcină, ni s-a cerut să ne ocupăm de o funcție de trei variabile simultan. Nu este nimic în neregulă cu asta, dar la final ne-am asigurat că toate diferă semnificativ unele de altele.

Puncte cheie

Concluziile finale din tutorialul video de astăzi sunt următoarele:

1. Derivatele parțiale sunt considerate în același mod ca și cele obișnuite, în timp ce pentru a calcula derivata parțială față de o variabilă, toate celelalte variabile incluse în această funcție, luăm drept constante.
2. Când lucrăm cu derivate parțiale, folosim aceleași formule standard ca și în cazul derivatelor obișnuite: suma, diferența, derivata produsului și coeficientul și, desigur, derivata unei funcții complexe.

Desigur, doar vizionarea acestui tutorial video nu este suficientă pentru a înțelege pe deplin acest subiect, așa că chiar acum pe site-ul meu web pentru acest videoclip anume există un set de sarcini dedicate subiectului de astăzi - mergeți, descărcați, rezolvați aceste sarcini și verificați răspunsul. Și după aceea, nicio problemă cu derivatele parțiale, nici la examene, nici pe muncă independentă nu vei. Desigur, aceasta nu este ultima lecție matematică superioară, așa că vizitați site-ul nostru, adăugați VKontakte, abonați-vă la YouTube, puneți aprecieri și rămâneți cu noi!

Să fie dată o funcție. Deoarece x și y sunt variabile independente, una dintre ele se poate schimba, în timp ce cealaltă rămâne neschimbată. Să incrementăm variabila independentă x păstrând neschimbată valoarea lui y. Atunci z va primi un increment, care se numește increment parțial al lui z cu x și este notat cu . Asa de, .

În mod similar, obținem o creștere parțială a lui z față de y: .

Creștere completă funcția z este definită de egalitatea .

Dacă există o limită, atunci se numește derivată parțială a funcției în punctul față de variabila x și se notează cu unul dintre simbolurile:

.

Derivatele parțiale față de x într-un punct sunt de obicei notate prin simboluri .

Derivata parțială a lui față de variabila y este definită și notă în mod similar:

Astfel, derivata parțială a unei funcții de mai multe (două, trei sau mai multe) variabile este definită ca fiind derivata unei funcții a uneia dintre aceste variabile, sub rezerva constanței valorilor variabilelor independente rămase. Prin urmare, derivatele parțiale ale unei funcții se găsesc conform formulelor și regulilor de calcul a derivatelor unei funcții a unei variabile (în acest caz, x sau respectiv y sunt considerate o valoare constantă).

Derivatele parțiale sunt numite și derivate parțiale de ordinul întâi. Ele pot fi considerate funcții ale . Aceste funcții pot avea derivate parțiale, care sunt numite derivate parțiale de ordinul doi. Ele sunt definite și notate după cum urmează:

; ;

; .

Diferențiale de ordinul 1 și 2 ale unei funcții a două variabile.

Diferenţialul total al unei funcţii (formula 2.5) se numeşte diferenţială de ordinul întâi.

Formula de calcul a diferenţialului total este următoarea:

(2.5) sau , Unde ,

diferențiale parțiale ale funcției .

Fie ca funcția să aibă derivate parțiale continue de ordinul doi. Diferenţialul de ordinul doi este determinat de formula . Să-l găsim:

De aici: . Simbolic este scris astfel:

.

INTEGRAL NEDEFINIT.

Antiderivată a unei funcții, integrală nedefinită, proprietăți.

Se numește funcția F(x). primitiv pentru o funcție dată f(x), dacă F"(x)=f(x), sau, care este același, dacă dF(x)=f(x)dx.

Teorema. Dacă o funcție f(x), definită într-un interval (X) de lungime finită sau infinită, are o antiderivată, F(x), atunci are și infinite de antiderivate; toate sunt cuprinse în expresia F(x)+C, unde C este o constantă arbitrară.

Mulțimea tuturor antiderivatelor pentru o funcție dată f(x), definită într-un interval sau pe un anumit segment de lungime finită sau infinită, se numește integrală nedefinită din funcția f(x) [sau din expresia f(x)dx ] și se notează cu simbolul .

Dacă F(x) este una dintre antiderivatele pentru f(x), atunci prin teorema antiderivată

, unde C este o constantă arbitrară.

Prin definiția antiderivatei F "(x)=f(x) și, prin urmare, dF(x)=f(x) dx. În formula (7.1), f(x) se numește integrand și f( x) dx se numește expresie integrand.

Conceptul de funcție a mai multor variabile

Fie n-variabile și fiecărui x 1, x 2 ... x n dintr-o anumită mulțime x i se atribuie o definiție. numărul Z, apoi pe mulțimea x este dată funcția Z \u003d f (x 1, x 2 ... x n) a multor variabile.

X - zona de funcții definite

x 1, x 2 ... x n - variabilă independentă (argumente)

Z - funcție Exemplu: Z \u003d P x 2 1 * x 2 (Volumul cilindrului)

Luați în considerare Z \u003d f (x; y) - f-țiunea a 2 variabile x (x 1, x 2 înlocuite cu x, y). Rezultatele sunt transferate prin analogie la alte funcții ale multor variabile. Aria de definire a funcției a 2 variabile este întregul cordon al pătratului (ooh) sau o parte a acestuia. Mn-în valoarea celei de-a doua funcții a 2 variabile - suprafața într-un spațiu tridimensional.

Tehnici de construire a graficelor: - Secțiune Rassm-t peste suprafața pătratului || pătrate de coordonate.

Exemplu: x \u003d x 0, zn. pătratul X || 0yz y \u003d y 0 0xz Tipul funcției: Z \u003d f (x 0, y); Z=f(x, y 0)

De exemplu: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Cercul parabolă(centrul(0;1)

Limitele și continuitatea funcțiilor a două variabile

Fie dat Z = f (x; y), atunci A este limita f-ției în m. (x 0, y 0), dacă pentru orice put arbitrar mic. număr E>0 substantiv-t număr pozitiv b>0, că pentru toate x,y satisface |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z \u003d f (x; y) este continuă în t. (x 0, y 0), dacă: - este definit în acest t .; - are un finit limită la x, tinde spre x 0 și y spre y 0; - această limită = valoare

funcții în t. (x 0, y 0), adică. limf (x; y) \u003d f (x 0, y 0)

Dacă funcţia este continuă în fiecare. t. mn-va X, atunci este continuu in aceasta zona

Funcția diferențială, geosemnificația ei. Utilizarea lui dif-la în valori aproximative.

dy=f’(x)∆x – funcție diferențială

dy=dx, adică dy=f '(x)dx dacă y=x

Din punctul de vedere al unui geolog, o funcție diferențială este o creștere a ordonatei tangentei trasate la graficul funcției într-un punct cu abscisa x 0

Dif-l este utilizat în calculul a cca. valorile funcției conform formulei: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Cu cât ∆x este mai aproape de x, cu atât rezultatul este mai precis.

Derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea

Derivată de ordinul întâi (care se numește privat)

A. Fie x, y incrementele variabilelor independente x și y la un anumit punct din regiunea X. Atunci valoarea egală cu z = f(x + x, y + y) = f(x, y) se numește increment total în punctul x 0, y 0. Dacă variabila x este fixă, iar variabila y este incrementată cu y, atunci obținem zу = f(x, y, + y) – f(x, y)

Derivata parțială a variabilei y este definită în mod similar, i.e.

Derivata parțială a unei funcții de 2 variabile se găsește după aceleași reguli ca și pentru funcțiile unei variabile.

Diferența este că la diferențierea unei funcții față de variabila x, y este considerat const, iar la diferențierea față de y, x este considerat const.

Constantele izolate sunt conectate la funcție cu operații de adunare/scădere.

Constantele asociate sunt conectate la funcția cu operații de înmulțire/împărțire.

Derivată a const izolat = 0

1.4.Diferenţialul total al unei funcţii de 2 variabile şi aplicaţiile acesteia

Fie z = f(x,y), atunci

tz = - se numește increment complet

Derivată parțială de ordinul 2

Pentru funcții continue de 2 variabile, derivatele parțiale mixte de ordinul 2 și coincid.

Utilizarea derivatelor parțiale pentru a determina derivatele parțiale ale funcțiilor max și min se numește extreme.

A. Punctele se numesc max sau min z = f(x,y) dacă există unele segmente astfel încât pentru toate x și y din această vecinătate f(x,y)

T. Dacă este dat un punct extremum al unei funcții de 2 variabile, atunci valoarea derivatelor parțiale în acest punct este egală cu 0, i.e. ,

Punctele în care derivatele parțiale de ordinul întâi sunt numite staționare sau critice.

Prin urmare, pentru a găsi punctele extreme ale unei funcții de 2 variabile, sunt utilizate suficiente condiții extreme.

Fie funcția z = f(x,y) să fie de două ori diferențiabilă și fie punctul staționar,

1) și maxA<0, minA>0.

1.4.(*)diferenţial complet. Sensul geometric al diferenţialului. Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative

O. Fie definită funcția y = f(x) într-o vecinătate în punctele . O funcție f(x) este numită diferențiabilă într-un punct dacă crește în acest punct , unde este reprezentat sub forma (1)

Unde A este o valoare constantă independentă de , într-un punct fix x, - infinit mic la . O funcție relativ liniară A se numește diferența funcției f(x) într-un punct și se notează cu df() sau dy.

Astfel, expresia (1) poate fi scrisă ca ().

Funcția diferențială în expresia (1) are forma dy = A . Ca orice funcție liniară, este definită pentru orice valoare în timp ce creșterea funcției trebuie luată în considerare numai pentru cele pentru care + aparține domeniului funcției f(x).

Pentru comoditatea notării diferenţialului, incrementul este notat cu dx şi se numeşte diferenţialul variabilei independente x. Prin urmare, diferența se scrie ca dy = Adx.

Dacă funcția f(x) este diferențiabilă în fiecare punct al unui interval, atunci diferența sa este o funcție a două variabile - punctul x și variabila dx:

T. Pentru ca funcția y = g(x) să fie diferențiabilă la un moment dat, este necesar și suficient ca ea să aibă o derivată în acest punct, în timp ce

(*) Dovada. Nevoie.

Fie funcția f(x) diferențiabilă în punctul , adică, . Apoi

Prin urmare, derivata f'() există și este egală cu A. Prin urmare, dy = f'()dx

Adecvarea.

Să existe o derivată f'(), adică. = f'(). Atunci curba y = f(x) este un segment tangent. Pentru a calcula valoarea unei funcții într-un punct x, luați un punct în unele din vecinătatea acestuia, astfel încât să nu fie dificil să găsiți f() și f’()/