Derivate parțiale ale funcțiilor a două variabile.
Concept și exemple de soluții

În această lecție, vom continua cunoașterea funcției a două variabile și vom lua în considerare, probabil, cea mai comună sarcină tematică - găsirea derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea, precum și diferența totală a funcției. Studenții cu fracțiune de normă, de regulă, se confruntă cu derivate parțiale în anul 1 în semestrul 2. În plus, conform observațiilor mele, sarcina de a găsi derivate parțiale se regăsește aproape întotdeauna în examen.

Pentru a studia eficient următorul material, tu necesar să poată găsi mai mult sau mai puțin cu încredere derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile. Puteți învăța cum să gestionați corect derivatele în lecții Cum să găsesc derivatul?Și Derivată a unei funcții complexe. De asemenea, avem nevoie de un tabel de derivate ale funcțiilor elementare și reguli de diferențiere, cel mai convenabil este dacă este la îndemână în formă tipărită. Puteți găsi material de referință pe pagină Formule și tabele matematice.

Să repetăm ​​rapid conceptul de funcție a două variabile, voi încerca să mă limitez la minim. O funcție a două variabile este de obicei scrisă ca , variabilele fiind numite variabile independente sau argumente.

Exemplu: - o funcție a două variabile.

Uneori se folosește notația. Există, de asemenea, sarcini în care litera este folosită în loc de scrisoare.

Din punct de vedere geometric, o funcție a două variabile este cel mai adesea o suprafață a spațiului tridimensional (un plan, un cilindru, o bilă, un paraboloid, un hiperboloid etc.). Dar, de fapt, aceasta este deja mai mult geometrie analitică și avem analiză matematică pe ordinea de zi, pe care profesorul meu universitar nu m-a lăsat niciodată să le opresc este „calul” meu.

Ne întoarcem la problema găsirii derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Am niște vești bune pentru cei dintre voi care au băut câteva căni de cafea și sunt în chef de material neînchipuit de dificil: derivatele parțiale sunt aproape aceleași cu derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile.

Pentru derivatele parțiale sunt valabile toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Există doar câteva mici diferențe pe care le vom cunoaște chiar acum:

... da, apropo, pentru acest subiect am creat carte mica pdf, care vă va permite să vă „umpleți mâna” în doar câteva ore. Dar, folosind site-ul, veți obține, desigur, și rezultatul - poate puțin mai lent:

Exemplul 1

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea ale unei funcții

În primul rând, găsim derivatele parțiale de ordinul întâi. Sunt doi dintre ei.

Notaţie:
sau - derivată parțială față de "x"
sau - derivată parțială în raport cu „y”

Sa incepem cu . Când găsim derivata parțială față de „x”, atunci variabila este considerată o constantă (număr constant).

Comentarii cu privire la acțiunile întreprinse:

(1) Primul lucru pe care îl facem când găsim derivata parțială este să concluzionam toate funcţionează între paranteze sub liniuţă cu indice.

Atenție importantă! Indicele NU PIERD pe parcursul soluției. În acest caz, dacă desenați o „lovitură” undeva fără, atunci profesorul, cel puțin, o poate pune lângă sarcină (mușcă imediat o parte din scor pentru neatenție).

(2) Folosiți regulile de diferențiere , . Pentru un exemplu simplu ca acesta, ambele reguli pot fi aplicate în același pas. Atenție la primul termen: de când este considerată o constantă și orice constantă poate fi scoasă din semnul derivatei, apoi o scoatem din paranteze. Adică, în această situație, nu este mai bun decât un număr obișnuit. Acum să ne uităm la al treilea termen: aici, dimpotrivă, nu este nimic de scos. Deoarece este o constantă, este și o constantă și, în acest sens, nu este mai bună decât ultimul termen - „șapte”.

(3) Folosim derivate tabulare și .

(4) Simplificăm sau, după cum îmi place să spun, „combinăm” răspunsul.

Acum . Când găsim derivata parțială față de „y”, atunci variabilaconsiderată o constantă (număr constant).

(1) Folosim aceleași reguli de diferențiere , . În primul termen scoatem constanta dincolo de semnul derivatei, în al doilea termen nu se poate scoate nimic pentru că este deja o constantă.

(2) Folosim tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Schimbați mental în tabel tot „X” cu „Y”. Adică, acest tabel este la fel de valabil pentru (și într-adevăr pentru aproape orice literă). În special, formulele pe care le folosim arată astfel: și .

Care este sensul derivatelor parțiale?

În esență, derivatele parțiale de ordinul 1 se aseamănă derivat „obișnuit”.:

- acest funcții, care caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia axelor şi respectiv. Deci, de exemplu, funcția caracterizează abruptul „urcărurilor” și „pârtilor” suprafeteîn direcția axei absciselor, iar funcția ne vorbește despre „relieful” aceleiași suprafețe în direcția axei ordonatelor.

! Notă : aici se referă la direcții care sunt paralele axele de coordonate.

Pentru o mai bună înțelegere, să luăm în considerare un punct specific al planului și să calculăm valoarea funcției („înălțime”) în el:
- și acum imaginați-vă că sunteți aici (la suprafață).

Calculăm derivata parțială în raport cu „x” la un punct dat:

Semnul negativ al derivatului „X” ne vorbește despre Descendentă funcţionează într-un punct în direcţia axei x. Cu alte cuvinte, dacă facem un mic-mic (infinitezimal) pas spre vârful axei (paralel cu această axă), apoi coborâți panta suprafeței.

Acum aflăm natura „terenului” în direcția axei y:

Derivata față de „y” este pozitivă, prin urmare, într-un punct de-a lungul axei, funcția crește. Dacă este destul de simplu, atunci aici așteptăm o urcare în urcare.

În plus, derivata parțială la un punct caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia relevantă. Cu cât valoarea rezultată este mai mare modulo- cu cât suprafața este mai abruptă și invers, cu cât este mai aproape de zero, cu atât suprafața este mai plată. Deci, în exemplul nostru, „panta” în direcția axei absciselor este mai abruptă decât „muntele” în direcția axei ordonatelor.

Dar acelea erau două căi private. Este destul de clar că din punctul în care ne aflăm, (și în general din orice punct al suprafeței date) ne putem deplasa într-o altă direcție. Astfel, există un interes în alcătuirea unei „hărți de navigație” generale care să ne spună despre „peisajul” suprafeței. daca este posibilîn fiecare punct domeniul de aplicare al acestei funcțiiîn toate modurile disponibile. Voi vorbi despre acest lucru și despre alte lucruri interesante într-una din lecțiile următoare, dar, deocamdată, să revenim la partea tehnică a problemei.

Sistematizează regulile elementare aplicate:

1) Când diferențiem prin , atunci variabila este considerată o constantă.

2) Când diferenţierea se realizează conform, atunci este considerată o constantă.

3) Regulile și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare sunt valabile și aplicabile pentru orice variabilă (sau oricare alta) față de care se realizează diferențierea.

Pasul doi. Găsim derivate parțiale de ordinul doi. Sunt patru.

Notaţie:
sau - a doua derivată în raport cu „x”
sau - a doua derivată în raport cu „y”
sau - amestecat derivată „x cu y”
sau - amestecat derivată „Y cu X”

Nu există probleme cu derivata a doua. In termeni simpli, a doua derivată este derivata primei derivate.

Pentru comoditate, voi rescrie derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite:

Mai întâi găsim derivatele mixte:

După cum puteți vedea, totul este simplu: luăm derivata parțială și o diferențiem din nou, dar în acest caz, deja prin „y”.

În mod similar:

În exemple practice, vă puteți concentra pe următoarea egalitate:

Astfel, prin derivate mixte de ordinul doi, este foarte convenabil să verificăm dacă am găsit corect derivatele parțiale de ordinul întâi.

Găsim derivata a doua în raport cu „x”.
Fără invenții, luăm și diferențiază-l cu „X” din nou:

În mod similar:

Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți, trebuie să arătați atenție sporită, din moment ce nu există egalități miraculoase care să le testeze.

Derivatele secunde găsesc, de asemenea, o aplicație practică largă, în special, sunt utilizate în problema găsirii extremele unei funcții a două variabile. Dar totul are timpul lui:

Exemplul 2

Calculați derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției în punctul . Găsiți derivate de ordinul doi.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspunsuri la sfârșitul lecției). Dacă întâmpinați dificultăți în a diferenția rădăcinile, reveniți la lecție Cum să găsesc derivatul?În general, destul de curând veți învăța cum să găsiți derivate similare din mers.

Ne umplem mâna cu exemple mai complexe:

Exemplul 3

Verifică asta . Scrieți diferența totală de ordinul întâi.

Rezolvare: Găsim derivate parțiale de ordinul întâi:

Atenție la indice: lângă „x” nu este interzis să scrieți între paranteze că este o constantă. Acest marcaj poate fi foarte util pentru începători pentru a facilita navigarea prin soluție.

Comentarii suplimentare:

(1) Scoatem toate constantele din afara semnului derivatei. În acest caz, și , și, prin urmare, produsul lor este considerat un număr constant.

(2) Nu uitați cum să diferențiați corect rădăcinile.

(1) Luăm toate constantele din semnul derivatei, în acest caz constanta este .

(2) Sub prim, avem produsul a două funcții, prin urmare, trebuie să folosim regula de diferențiere a produsului .

(3) Nu uitați că este o funcție complexă (deși cea mai simplă dintre cele complexe). Folosim regula corespunzătoare: .

Acum găsim derivate mixte de ordinul doi:

Aceasta înseamnă că toate calculele sunt corecte.

Să scriem diferența totală. În contextul sarcinii luate în considerare, nu are sens să spunem care este diferența totală a unei funcții a două variabile. Este important ca această diferență să fie scrisă foarte des în probleme practice.

Diferenţial total de prim ordin funcțiile a două variabile are forma:

În acest caz:

Adică, în formulă trebuie doar să înlocuiți prostesc derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite. Pictograme diferențiale și în această situație și în situații similare, dacă este posibil, este mai bine să scrieți în numărătoare:

Și la cererea repetată a cititorilor, diferenţial complet de ordinul doi.

Arata cam asa:

Găsiți cu ATENȚIE derivatele „cu o singură literă” de ordinul 2:

și notează „monstrul”, „atașând” cu grijă pătratele, produsul și fără a uita să dublezi derivatul mixt:

Este în regulă dacă ceva părea dificil, poți oricând să revii la derivate mai târziu, după ce ai luat tehnica de diferențiere:

Exemplul 4

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții . Verifică asta . Scrieți diferența totală de ordinul întâi.

Luați în considerare o serie de exemple cu funcții complexe:

Exemplul 5

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale funcției.

Soluţie:

Exemplul 6

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .
Notați diferența totală.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției). Nu voi posta soluția completă pentru că este destul de simplă.

Destul de des, toate regulile de mai sus sunt aplicate în combinație.

Exemplul 7

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

(1) Folosim regula diferențierii sumei

(2) Primul termen în acest caz este considerat o constantă, deoarece în expresie nu există nimic care să depindă de „x” - doar „y”. Știi, este întotdeauna frumos când o fracție poate fi transformată în zero). Pentru al doilea termen, aplicăm regula de diferențiere a produsului. Apropo, în acest sens, nimic nu s-ar schimba dacă s-ar da în schimb o funcție – este important că aici produsul a două funcții, FIECARE din care depinde "X", și, prin urmare, trebuie să utilizați regula de diferențiere a produsului. Pentru al treilea termen, aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe.

(1) În primul termen, atât numărătorul, cât și numitorul conțin un „y”, prin urmare, trebuie să utilizați regula pentru diferențierea coeficientului: . Al doilea termen depinde DOAR de „x”, ceea ce înseamnă că este considerat o constantă și se transformă în zero. Pentru al treilea termen, folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe.

Pentru acei cititori care au ajuns cu curaj aproape până la sfârșitul lecției, vă voi spune o veche anecdotă a lui Mehmatov pentru detenție:

Odată a apărut un derivat malefic în spațiul funcțiilor și cum a mers să diferențieze pe toată lumea. Toate funcțiile se împrăștie în toate direcțiile, nimeni nu vrea să se întoarcă! Și o singură funcție nu scapă nicăieri. Derivatul o abordează și întreabă:

— De ce nu fugi de mine?

- Ha. Dar nu-mi pasă, pentru că sunt „e la puterea lui x”, iar tu nu-mi poți face nimic!

La care derivatul malefic cu un zâmbet insidios îi răspunde:

- Aici greșești, te voi diferenția prin „y”, așa că fii zero pentru tine.

Cine a înțeles gluma, a stăpânit derivatele, cel puțin pentru „troika”).

Exemplul 8

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. O soluție completă și un model de proiect al problemei sunt la sfârșitul lecției.

Ei bine, asta e aproape tot. În cele din urmă, nu pot să nu le rog matematicienilor cu încă un exemplu. Nici măcar nu e vorba de amatori, fiecare are un alt nivel de pregătire matematică – sunt oameni (și nu atât de rari) cărora le place să concureze cu sarcini mai dificile. Deși, ultimul exemplu din această lecție nu este atât de complicat, ci greoi din punct de vedere al calculelor.

Conceptul de funcție a două variabile

Valoare z numit funcţia a două variabile independente xȘi y, dacă fiecare pereche de valori admisibile ale acestor mărimi, conform unei anumite legi, corespunde unei valori bine definite a mărimii z. Variabile independente XȘi y numit argumente funcții.

O astfel de dependență funcțională este notă analitic

Z = f (x, y),(1)

Valori ale argumentelor x și y care corespund valorilor reale ale funcției z, considerată admisibilăși se numește mulțimea tuturor perechilor admisibile de valori x și y domeniul definirii funcţiile a două variabile.

Pentru o funcție a mai multor variabile, spre deosebire de o funcție a unei variabile, conceptele sale creșteri parțiale pentru fiecare dintre argumente și concept increment complet.

Increment parțial Δ x z a funcției z=f (x,y) prin argument x este incrementul pe care îl primește această funcție dacă argumentul său x este incrementat Δx cu acelasi y:

Δxz = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

Incrementul parțial Δ y z al funcției z= f (x, y) față de argumentul y este incrementul pe care îl primește această funcție dacă argumentul său y primește un increment Δy cu x neschimbat:

Δy z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)

Increment complet Δz funcții z= f (x, y) prin argumente XȘi y se numește increment pe care o primește o funcție dacă ambele argumente ale sale sunt incrementate:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)

Pentru incremente suficient de mici ΔxȘi Δy argumente ale funcției

există o egalitate aproximativă:

∆z ∆xz + ∆yz , (5)

și cu cât este mai precis, cu atât mai puțin ΔxȘi Δy.

Derivate parțiale ale funcțiilor a două variabile

Derivata parțială a funcției z=f (x, y) față de argumentul x în punctul (x, y) se numește limita raportului de creștere parțială ∆xz această funcție la incrementul corespunzător Δx argumentul x când se străduiește Δx la 0 și cu condiția ca această limită să existe:

, (6)

Derivata funcției este definită în mod similar z=f (x, y) prin argumentare y:

În plus față de notația indicată, derivatele parțiale ale funcțiilor sunt de asemenea notate cu , z΄x, f΄x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).

Sensul principal al derivatei parțiale este următorul: derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile în raport cu oricare dintre argumentele sale caracterizează rata de modificare a acestei funcții atunci când acest argument se modifică.

Când se calculează derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile în raport cu orice argument, toate celelalte argumente ale acestei funcții sunt considerate constante.

Exemplul 1. Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor

f (x, y)= x 2 + y 3

Soluţie. Când se află derivata parțială a acestei funcții în raport cu argumentul x, argumentul y este considerat o valoare constantă:

;

La găsirea derivatei parțiale față de argumentul y, argumentul x este considerat o valoare constantă:

.

Diferențiale parțiale și totale ale unei funcții a mai multor variabile

Diferenţialul parţial al unei funcţii a mai multor variabile în raport cu care-fie din argumentele sale este produsul derivatei parțiale a acestei funcții față de argumentul dat și diferenţialul acestui argument:

dxz= ,(7)

dyz= (8)

Aici d x zȘi d y z-diferențiale parțiale ale unei funcții z= f (x, y) prin argumente XȘi y.în care

dx= ∆x; dy=Δy, (9)

diferenţial complet O funcție a mai multor variabile se numește suma diferențialelor sale parțiale:

dz= d x z + d y z, (10)

Exemplul 2 Aflați diferențele parțiale și totale ale funcției f (x, y)= x 2 + y 3 .

Deoarece derivatele parțiale ale acestei funcții se găsesc în Exemplul 1, obținem

dxz= 2xdx; d y z= 3y 2 dy;

dz= 2xdx + 3y 2dy

Diferența parțială a unei funcții a mai multor variabile în raport cu fiecare dintre argumentele sale este partea principală a incrementului parțial corespunzător al funcției.

Ca urmare, se poate scrie:

∆xz dxz, ∆yz d yz, (11)

Sensul analitic al diferenţialului total este că diferenţialul total al unei funcţii de mai multe variabile este partea principală a incrementului total al acestei funcţii..

Astfel, există o egalitate aproximativă

∆zdz, (12)

Utilizarea formulei (12) se bazează pe utilizarea diferenţialului total în calcule aproximative.

Imaginează-ți o creștere Δz la fel de

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

și diferența totală în formă

Atunci obținem:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3. Scopul elevilor la lecție:

Studentul trebuie sa stie:

1. Definirea unei funcţii a două variabile.

2. Conceptul de increment parțial și total al unei funcții a două variabile.

3. Determinarea derivatei parțiale a unei funcții de mai multe variabile.

4. Sensul fizic al derivatei parțiale a unei funcții a mai multor variabile în raport cu oricare dintre argumentele acesteia.

5. Determinarea diferenţialului parţial al unei funcţii de mai multe variabile.

6. Determinarea diferenţialului total al unei funcţii de mai multe variabile.

7. Sensul analitic al diferenţialului total.

Studentul trebuie să fie capabil să:

1. Găsiți incremente private și totale ale unei funcții a două variabile.

2. Calculați derivate parțiale ale unei funcții de mai multe variabile.

3. Găsiți diferențiale parțiale și totale ale unei funcții a mai multor variabile.

4. Aplicați diferența totală a unei funcții a mai multor variabile în calcule aproximative.

Partea teoretică:

1. Conceptul de funcție a mai multor variabile.

2. Funcția a două variabile. Creșterea parțială și totală a unei funcții a două variabile.

3. Derivată parțială a unei funcții a mai multor variabile.

4. Diferențiale parțiale ale unei funcții de mai multe variabile.

5. Diferenţial total al unei funcţii de mai multe variabile.

6. Aplicarea diferenţialului total al unei funcţii a mai multor variabile în calcule aproximative.

Partea practica:

1.Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor:

1) ; 4) ;

2) z \u003d e xy + 2 x; 5) z= 2tg xx y;

3) z \u003d x 2 sin 2 y; 6) .

4. Definiți derivata parțială a unei funcții în raport cu un argument dat.

5. Ce se numește diferența parțială și totală a unei funcții a două variabile? Cum sunt ele legate?

6. Lista de întrebări pentru a verifica nivelul final de cunoștințe:

1. În cazul general al unei funcții arbitrare a mai multor variabile, este incrementul ei total egal cu suma tuturor incrementelor parțiale?

2. Care este semnificația principală a derivatei parțiale a unei funcții a mai multor variabile în raport cu oricare dintre argumentele acesteia?

3. Care este sensul analitic al diferenţialului total?

7. Cronologia lecției:

1. Moment organizatoric - 5 minute.

2. Analiza temei - 20 min.

3. Rezolvarea de exemple și probleme - 40 min.

4. Controlul curent al cunoștințelor -30 min.

5. Rezumatul lecției - 5 min.

8. Lista literaturii educaționale pentru lecție:

1. Morozov Yu.V. Fundamente ale matematicii si statisticii superioare. M., „Medicina”, 2004, §§ 4.1–4.5.

2. Pavlushkov I.V. et al. Fundamentele matematicii superioare şi statisticii matematice. M., „GEOTAR-Media”, 2006, § 3.3.

Fiecare derivată parțială (peste Xși prin y) a unei funcții a două variabile este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile cu o valoare fixă ​​a celeilalte variabile:

(Unde y= const),

(Unde X= const).

Prin urmare, derivatele parțiale sunt calculate din formule și reguli pentru calcularea derivatelor funcțiilor unei variabile, în timp ce se consideră cealaltă variabilă ca o constantă (constant).

Dacă nu aveți nevoie de o analiză a exemplelor și de teoria minimă necesară pentru aceasta, dar aveți nevoie doar de o soluție la problema dvs., atunci treceți la calculator online cu derivate parțiale .

Dacă este greu să vă concentrați pe urmărirea locului în care se află constanta în funcție, atunci puteți înlocui orice număr din schița de soluție a exemplului în loc de o variabilă cu o valoare fixă ​​- atunci puteți calcula rapid derivata parțială ca fiind obișnuită. derivata unei functii a unei variabile. Este necesar doar să nu uitați să returnați constanta (o variabilă cu o valoare fixă) la locul ei când terminați.

Proprietatea derivatelor parțiale descrisă mai sus rezultă din definiția derivatelor parțiale, care poate fi găsită în întrebările de examen. Prin urmare, pentru a vă familiariza cu definiția de mai jos, puteți deschide referința teoretică.

Conceptul de continuitate a unei funcții z= f(X, y) într-un punct este definit în mod similar cu acest concept pentru o funcție a unei variabile.

Funcţie z = f(X, y) se numeste continuu intr-un punct daca

Diferența (2) se numește increment total al funcției z(se obține prin incrementarea ambelor argumente).

Lasă funcția z= f(X, y) și punct

Dacă funcția se schimbă z apare atunci când doar unul dintre argumente se schimbă, de exemplu, X, cu o valoare fixă ​​a celuilalt argument y, atunci funcția va fi incrementată

numită increment parțial al funcției f(X, y) pe X.

Având în vedere schimbarea funcției zîn funcție de schimbarea doar a unuia dintre argumente, trecem de fapt la o funcție a unei variabile.

Dacă există o limită finită

atunci se numește derivată parțială a funcției f(X, y) prin argumentare Xși este notat cu unul dintre simboluri

(4)

Creșterea parțială este definită în mod similar z pe y:

și derivată parțială f(X, y) pe y:

(6)

Exemplul 1

Soluţie. Găsim derivata parțială față de variabila „x”:

(y fix);

Găsim derivata parțială față de variabila „y”:

(X fix).

După cum puteți vedea, nu contează în ce măsură variabila este fixă: în acest caz, este doar un număr care este un factor (ca și în cazul derivatei obișnuite) cu variabila prin care găsim parțialul. derivat. Dacă variabila fixă ​​nu este înmulțită cu variabila în raport cu care găsim derivata parțială, atunci această constantă singură, indiferent în ce măsură, ca în cazul unei derivate obișnuite, dispare.

Exemplul 2 Dată o funcție

Găsiți derivate parțiale

(prin x) și (prin y) și calculați-le valorile la punctul DAR (1; 2).

Soluţie. La un fix y derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției de putere ( tabelul funcțiilor derivate ale unei variabile):

.

La un fix X derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției exponențiale, iar al doilea - ca derivată a constantei:

Acum calculăm valorile acestor derivate parțiale la punctul DAR (1; 2):

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator online cu derivate parțiale .

Exemplul 3 Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor

Soluţie. Într-un singur pas găsim

(y X, de parcă argumentul sinelui ar fi 5 X: la fel, 5 apare înaintea semnului funcției);

(X este fix și este în acest caz un factor la y).

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator online cu derivate parțiale .

Derivatele parțiale ale unei funcții de trei sau mai multe variabile sunt definite în mod similar.

Dacă fiecare set de valori ( X; y; ...; t) variabile independente din mulţime D corespunde unei anumite valori u din multi E, apoi u se numeste functie de variabile X, y, ..., t si denota u= f(X, y, ..., t).

Pentru funcțiile a trei sau mai multe variabile, nu există o interpretare geometrică.

Derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile sunt, de asemenea, definite și calculate în ipoteza că numai una dintre variabilele independente se modifică, în timp ce celelalte sunt fixe.

Exemplul 4 Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor

.

Soluţie. yȘi z fix:

XȘi z fix:

XȘi y fix:

Găsiți singur derivate parțiale și apoi vedeți soluții

Exemplul 5

Exemplul 6 Găsiți derivate parțiale ale unei funcții.

Derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile are același lucru sens mecanic ca derivată a unei funcții a unei variabile, este rata cu care funcția se modifică în raport cu o modificare a unuia dintre argumente.

Exemplul 8 cantitatea de curgere P călătorii feroviari pot fi exprimați ca funcție

Unde P- numărul de pasageri, N- numărul de rezidenți ai punctelor corespunzătoare, R– distanța dintre puncte.

Derivată parțială a unei funcții P pe R egal cu

arată că scăderea fluxului de pasageri este invers proporţională cu pătratul distanţei dintre punctele corespunzătoare pentru acelaşi număr de locuitori din puncte.

Derivată parțială P pe N egal cu

arată că creșterea fluxului de pasageri este proporțională cu dublul numărului de locuitori ai așezărilor cu aceeași distanță între puncte.

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator online cu derivate parțiale .

Diferenţial complet

Produsul derivatei parțiale și incrementul variabilei independente corespunzătoare se numește diferențială parțială. Diferențiale parțiale se notează după cum urmează:

Suma diferenţialelor parţiale asupra tuturor variabilelor independente dă diferenţialul total. Pentru o funcție a două variabile independente, diferența totală este exprimată prin egalitate

(7)

Exemplul 9 Găsiți diferența completă a unei funcții

Soluţie. Rezultatul utilizării formulei (7):

O funcție care are o diferență totală în fiecare punct al unui domeniu se numește diferențiabilă în acel domeniu.

Găsiți singur diferența totală și apoi vedeți soluția

La fel ca și în cazul unei funcții a unei variabile, diferențiabilitatea unei funcții într-o anumită regiune implică continuitatea acesteia în această regiune, dar nu invers.

Să formulăm fără dovezi o condiție suficientă pentru derivabilitatea unei funcții.

Teorema. Dacă funcţia z= f(X, y) are derivate parțiale continue

într-o regiune dată, atunci este diferențiabilă în această regiune și diferența sa este exprimată prin formula (7).

Se poate arăta că, la fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, diferența funcției este principala parte liniară a incrementului funcției, deci în cazul unei funcții de mai multe variabile, diferența totală este principala, liniară în raport cu incrementele variabilelor independente, parte din incrementul total al funcției.

Pentru o funcție de două variabile, incrementul total al funcției are forma

(8)

unde α și β sunt infinitezimale pentru și .

Derivate parțiale de ordin superior

Derivate parțiale și funcții f(X, y) sunt ele însele unele funcții ale acelorași variabile și, la rândul lor, pot avea derivate față de diferite variabile, care sunt numite derivate parțiale de ordin superior.

Linearizarea funcției. Plan tangent și normal de suprafață.

Derivate și diferențiale de ordin superior.

1. Derivate parțiale ale FNP *)

Luați în considerare funcția Și = f(P), RÎDÌR n sau, care este la fel,

Și = f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Fixăm valorile variabilelor X 2 , ..., x n, și variabila X 1 să creștem D X unu . Apoi funcția Și va primi un spor determinat de egalitate

= f (X 1+D X 1 , X 2 , ..., x n) – f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Acest increment este numit increment privat funcții Și după variabilă X 1 .

Definiție 7.1. Derivată parțială a unei funcții Și = f(X 1 , X 2 , ..., x n) după variabilă X 1 este limita raportului dintre incrementul parțial al funcției și incrementul argumentului D X 1 la D X 1 ® 0 (dacă există această limită).

Derivata parțială cu privire la X 1 caractere

Deci prin definiție

Derivatele parțiale față de variabilele rămase sunt definite în mod similar. X 2 , ..., x n. Din definiție se poate observa că derivata parțială a unei funcții față de variabilă x i este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile x i când restul variabilelor sunt considerate constante. Prin urmare, toate regulile și formulele de diferențiere studiate anterior pot fi folosite pentru a găsi derivata unei funcții a mai multor variabile.

De exemplu, pentru funcție u = X 3 + 3X y – z 2 avem

Astfel, dacă o funcție a mai multor variabile este dată în mod explicit, atunci întrebările de existență și găsirea derivatelor sale parțiale se reduc la întrebările corespunzătoare referitoare la funcția unei variabile - cea prin care este necesară determinarea derivatei.

Luați în considerare o funcție definită implicit. Fie ecuația F( X, y) = 0 definește o funcție implicită a unei variabile X. Corect

Teorema 7.1.

Fie F( X 0 , y 0) = 0 și funcțiile F( X, y), F¢ X(X, y), F¢ la(X, y) sunt continue într-o anumită vecinătate a punctului ( X 0 , la 0), și F¢ la(X 0 , y 0) ¹ 0. Apoi funcția la, dat implicit de ecuația F( X, y) = 0, are în punctul ( X 0 , y 0) derivată, care este egală cu

.

Dacă condițiile teoremei sunt îndeplinite în orice punct al domeniului DÌ R 2 , atunci în fiecare punct al acestui domeniu .

De exemplu, pentru funcție X 3 –2la 4 + Wow+ 1 = 0 găsiți

Fie acum ecuația F( X, y, z) = 0 definește o funcție implicită a două variabile. Să găsim și . Din moment ce calculul derivatei cu privire la X produs la un fix (constant) la, atunci în aceste condiții egalitatea F( X, y= const, z) = 0 definește zîn funcţie de o variabilă X iar conform teoremei 7.1 obţinem

.

În mod similar .

Astfel, pentru o funcție a două variabile date implicit de ecuație , derivatele parțiale se găsesc prin formulele: ,

Derivatele parțiale ale unei funcții în cazul în care acestea există nu la un moment dat, ci pe o anumită mulțime, sunt funcții definite pe această mulțime. Aceste funcții pot fi continue și, în unele cazuri, pot avea și derivate parțiale în diferite puncte ale domeniului.

Derivatele parțiale ale acestor funcții sunt numite derivate parțiale de ordinul doi sau derivate parțiale a doua.

Derivatele parțiale de ordinul doi sunt împărțite în două grupuri:

derivate parțiale secundare ale cu privire la variabilă;

· derivate parțiale mixte ale cu privire la variabilele și.

Cu diferențierea ulterioară, derivatele parțiale de ordinul trei pot fi determinate și așa mai departe. Derivatele parțiale de ordin superior sunt definite și scrise prin raționament analog.

Teorema. Dacă toate derivatele parțiale incluse în calcul, considerate ca funcții ale variabilelor lor independente, sunt continue, atunci rezultatul diferențierii parțiale nu depinde de succesiunea diferențierii.

Adesea este nevoie de rezolvare a unei probleme inverse, care constă în a determina dacă diferenţialul total al unei funcţii este o expresie a formei în care funcţiile continue cu derivate continue de ordinul întâi.

Condiția necesară pentru diferența totală poate fi formulată ca o teoremă, pe care o acceptăm fără demonstrație.

Teorema. Pentru ca o expresie diferențială să fie într-un domeniu diferența totală a unei funcții definită și diferențiabilă în acest domeniu, este necesar ca condiția pentru orice pereche de variabile independente u să fie satisfăcută identic în acest domeniu.

Problema calculării diferenţialului total de ordinul doi a unei funcţii poate fi rezolvată după cum urmează. Dacă expresia diferenţialului total este şi ea diferenţiabilă, atunci a doua diferenţială totală (sau diferenţialul total de ordinul doi) poate fi considerată expresia obţinută ca urmare a aplicării operaţiei de diferenţiere la primul diferenţial total, adică. . Expresia analitică pentru a doua diferență totală este:

Ținând cont de faptul că derivatele mixte nu depind de ordinea diferențierii, formula poate fi grupată și reprezentată ca formă pătratică:

Matricea formei pătratice este:

Fie suprapunerea funcțiilor definite în și

Asigur în. în care. Atunci, dacă și au derivate parțiale continue până la ordinul doi în puncte și, atunci există o a doua diferență totală a funcției compuse de următoarea formă:

După cum puteți vedea, a doua diferență totală nu are proprietatea de invarianță a formei. Expresia celei de-a doua diferenţiale a unei funcţii complexe include termeni de formă care sunt absenţi în formula celei de-a doua diferenţiale a unei funcţii simple.

Construcția derivatelor parțiale ale unei funcții de ordin superior poate fi continuată prin diferențierea succesivă a acestei funcții:

În cazul în care indicii iau valori de la până la, adică derivata de ordin este considerată ca derivată parțială de ordinul întâi a derivatei de ordin. În mod similar, putem introduce conceptul de diferenţial total de ordinul unei funcţii, ca diferenţial total de ordin I al diferenţialului de ordin: .

În cazul unei funcţii simple de două variabile, formula de calcul a diferenţialului total de ordinul unei funcţii este

Utilizarea operatorului de diferențiere face posibilă obținerea unei notații compacte și ușor de reținut pentru calcularea diferenţialului total de ordinul unei funcţii, similar formulei binomiale a lui Newton. În cazul bidimensional, are forma