Pentru a desena graficul unei funcții în coordonate carteziene, avem nevoie de două drepte perpendiculare xOy (unde O este punctul de intersecție al lui x și y), care se numesc „ axele de coordonate„, și aveți nevoie de o unitate de măsură.

Un punct din acest sistem are două coordonate.
M(x, y): M este numele punctului, x este abscisa și este măsurată cu Ox, iar y este ordonată și este măsurată cu Oy.

Dacă considerăm o funcție f: A -> B (unde A este domeniul de definiție, B este domeniul funcției), atunci un punct de pe graficul acestei funcții poate fi reprezentat sub forma P(x, f( X)).

Exemplu
f:A -> B, f(x) = 3x - 1
Dacă x = 2 => f(2) = 3×2 - 1 = 5 => P(2, 5) Gf (unde Gf este graficul acestei funcții).

funcţie pătratică

Forma standard: f(x) = ax2 + bx + c

Forma vârfului: $f(x)=(a+\frac(b)(2a))^2-\frac(\Delta)(4a)$
Unde Δ = b 2 - 4ac

Dacă a > 0 , atunci valoarea minimă f(x) va fi $-\frac(\Delta)(4a)$ , care se obține dacă $x=-\frac(b)(2a)$. Programul va fi parabolă convexă, al cărui vârf (punctul în care își schimbă direcția) este $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.

În cazul în care un< 0 , то valoarea minima f(x) va fi $-\frac(\Delta)(4a)$ , care se obține dacă $x=-\frac(b)(2a)$. Programul va fi parabolă concavă, al cărui vârf este $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.

Parabola este simetrică față de dreapta pe care o intersectează $x=-\frac(b)(2a)$ și care se numește "axa de simetrie".
De aceea atunci când atribuim cunoștințe X, atunci le alegem să fie simetrice în raport cu $-\frac(b)(2a)$.
La trasarea unui grafic, punctele de intersecție cu axele de coordonate sunt foarte importante.

|. Punct situat pe ax Bou are forma P(x, 0), deoarece distanța de la ea la Bou este 0. Dacă punctul este situat pe Bou iar pe graficul funcției, atunci are și forma P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0.

Astfel, pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție cu axa Bou, trebuie să rezolvăm ecuația f(x)=0. Obținem ecuația a2 + bx + c = 0.

Rezolvarea ecuației depinde de semn Δ = b 2 - 4ac.

Immem următoarele opțiuni:

1) ∆< 0 ,
atunci ecuația nu are soluții în R(a stabilit numere reale) iar graficul nu se intersectează Bou. Forma graficului va fi:

2) Δ = 0,
atunci ecuația are două soluții $x_1=x_2=-\frac(b)(2a)$
Graficul atinge axa Bouîn vârful parabolei. Forma graficului va fi:

3) Δ > 0,
atunci ecuația are două soluții diferite.

$x_1=\frac(-b-\sqrt(\Delta))(2a)$ și $x_2=\frac(-b+\sqrt(\Delta))(2a)$

Graficul funcției va traversa axa Bou la puncte M(x1Și Bou. Forma graficului va fi:

||. Un punct pe axă Oi are forma R(0,y) deoarece distanta de la Oi egală 0 . Dacă punctul este situat pe Oi iar pe graficul funcției, atunci are și forma R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)).

În cazul unei funcții pătratice,
f(0) = a×0 2 + b×0 + c ⇒ R(0, c).

Pași necesari pentru a reprezenta graficul unei funcții cuadratice

f: R → R
f(x) = ax2 + bx + c

1. Realizam un tabel de variabile, unde introducem cateva valori importante X.

2. Calculați coordonatele vârfului $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.

3. De asemenea, scrieți 0 în tabel și valorile zero simetrice $-\frac(b)(2a)$.

4. Determinăm punctul de intersecție cu axa Bou, rezolvarea ecuației f(x)=0și scrieți rădăcinile x 1Și x2 in masa.
Δ > 0 ⇒

Δ < 0 ⇒ точек пересечения нет. В этом случае мы выберем два удобных значения, которые симметричны $-\frac{b}{2a}$

Δ = 0 ⇒ grafic atinge Bou chiar în vârful parabolei. Alegem din nou două valori convenabile care sunt simetrice cu $-\frac(b)(2a)$. Pentru a determina mai bine forma graficului, putem alege alte perechi de valori pentru X, dar trebuie să fie simetrice $-\frac(b)(2a)$.

5. Reprezentăm aceste valori pe un sistem de coordonate și construim un grafic conectând aceste puncte.

Exemplul 1
f: R → R
f(x) = x 2 - 2x - 3
a=1, b=-2, c=-3

$-\frac(b)(2a)=\frac(2)(2)=1$ ⇒ V(1; -4)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(16)(4)=-4$

2. f(0) = -3
Valoarea simetrică a lui 0 în raport cu 1 este 2.
f(2) = -3

3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 2x - 3 = 0
Δ = 16 > 0
$x_1=\frac(-b-\sqrt(\Delta))(2a)=\frac(2-4)(2)=-1$

$x_1=\frac(2+4)(2)=3$

Am gasit puncte:
A(-1; 0)
B(0; -3)
V(1; -4)
C(2; -3)
D(3; 0)

Graficul va arăta astfel:

Exemplul 2
f: R → R
f(x) = -x 2 - 2x + 8
a=-1, b=-2, c=8
Δ \u003d b 2 - 4 × a × c \u003d (-2) 2 - 4 × (-1) × 8 \u003d 36
$-\frac(b)(2a)=\frac(2)(-2)=-1$ ⇒ V(-1; 9)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(-36)(-4)=9$

2. f(0) = 8
f(-2) = 8 (valoarea 0-simetrică în raport cu -1 este -2)

3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 - 2x + 8 = 0
Δ=36
x 1 = 2 și x 2 = -4

A(-4; 0)
B(-2; 8)
V(-1; 9)
C(0; 8)
D(2; 0)

Exemplul 3
f: R → R
f(x) = x 2 - 4x + 4
a=1, b=-4, c=4
Δ \u003d b 2 - 4 × a × c \u003d (-4) 2 - 4 × 1 × 4 \u003d 0
$-\frac(b)(2a)=\frac(4)(2)=2$ ⇒ V(2; 0)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=0$

2. f(0) = 4
f(4) = 4 (valoarea 0 simetrică despre 2 este 4)

3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 4x + 4 = 0
Δ = 0
x 1 = x 2 = $-\frac(b)(2a)$ = 2

A(-2; 9)
B(0; 4)
V(2; 0)
C(4; 4)
D(5; 9)

Exemplul 4
f: R → R
f(x) = -x 2 + 4x - 5
a=-1, b=4, c=-5
Δ = b 2 - 4×a×c = 4 2 - 4×(-1)×(-5) = 16 - 20 = -4
$-\frac(b)(2a)=\frac(-4)(-2)=2$ ⇒ V(2; -1)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(-4)(-4)=-1$

2. f(0) = -5
f(4) = -5 (valoarea 0-simetrică în raport cu 2 este 4)

3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 + 4x - 5 = 0, Δ< 0
Această ecuație nu are soluții. Am ales valori simetrice în jur de 2

A(-1; -10)
B(0; 5)
V(2; -1)
C(4; -5)
D(5; -10)

Dacă domeniul de definiție nu este R (mulțimea numerelor reale), ci un interval, atunci ștergem partea din grafic care corespunde acelor valori X, care nu sunt în acest interval. Trebuie să înregistrați punctele finale ale intervalului într-un tabel.

Exemplul 5
f:)