Aducerea sistemului de forțe într-un centru dat. Aducerea forței la un punct

Sistem plat de forțe localizate în mod arbitrar.

Condiții pentru echilibrul perechilor de forțe.

Dacă este pornit solid Deoarece există mai multe perechi de forțe situate arbitrar în spațiu, atunci prin aplicarea succesivă a regulii paralelogramului la fiecare două momente de perechi de forțe, orice număr de perechi de forțe poate fi înlocuit cu o pereche echivalentă de forțe, al cărei moment este egal. la suma momentelor perechilor de forţe date.

Teorema. Pentru a echilibra perechile de forțe aplicate unui corp rigid, este necesar și suficient ca suma algebrică a proiecțiilor momentelor perechilor de forțe pe fiecare dintre cele trei axe de coordonate să fie egală cu zero.

Luați în considerare cazul transferului de forță la un punct arbitrar care nu se află pe linia de acțiune a forței.

Luați forța F aplicată în punctul C. Este necesar să transferăm această forță paralel cu ea însăși până la un punct O. Aplicam două forțe F „și F” în punctul O, direcționate opus, egale ca valoare și paralele cu forța dată. F, adică F " \u003d F "\u003d F. Din aplicarea în punctul O a acestor forțe, starea corpului nu se schimbă, deoarece acestea sunt echilibrate reciproc. Sistemul rezultat de trei forțe poate fi considerat constând dintr-o forță F" aplicată în punctul O și o pereche de forțe FF" cu un moment M = Fa. Această pereche de forțe se numește atașat, iar umărul său a este egal cu umărul forței F față de punctul O.

Astfel, atunci când forța F este redusă la un punct care nu se află pe linia de acțiune a forței, se obține un sistem echivalent, format dintr-o forță care este aceeași ca mărime și direcție cu forța F și un pereche de forțe, al căror moment este egal cu momentul acestei forțe în raport cu punctele aruncate:

Ca exemplu de reducere a forței, luați în considerare acțiunea forței F asupra capătului C al tijei prinse (Fig. 28, b). După aducerea forței F în punctul O al secțiunii prinse, găsim în ea forța F1 egală și paralelă cu cea dată, și momentul atașat M, egal cu momentul forței date F raportat la punctul de referință O. ,

1.4.2 Turnare sistem plat forțe la un punct dat

Este necesară aducerea acestor forțe în punctul O al planului. Să dăm mai întâi forța F1 aplicată în punctul A. Aplicam în punctul O două forțe F1 "și F1"", paralele cu aceasta și îndreptate în direcții opuse. Ca urmare a aducerii forței F1, obținem forța F1 " aplicată în punctul O și o pereche de forțe F1 „F1” „cu un umăr a1. Făcând același lucru cu forța F2 aplicată în punctul B, obținem forța F2” aplicată în punctul O și o pereche de forțe cu a umăr a2 etc.

Am înlocuit sistemul plat de forțe aplicate în punctele A, B, C și D cu forțe convergente F1, F2, F3, F4 aplicate în punctul O și perechi de forțe cu momente egale cu momentele. forţe date despre punctul O:

Forțele care converg într-un punct pot fi înlocuite cu o forță F "ch, egală cu suma geometrică componente,

Această forță, egală cu suma geometrică a forțelor date, se numește vectorul principal al sistemului de forţeși notăm F „ch.

În consecință, în cazul general, un sistem plat de forțe, ca urmare a reducerii la un punct dat O, este înlocuit cu un sistem echivalent format dintr-o forță (vector principal) și o pereche (moment principal).

Este necesar să se înțeleagă că vector principal F "ch este rezultanta acestui sistem de forțe, deoarece acest sistem nu este echivalent cu o singură forță F "ch. Numai în cazul particular când punctul principal dispare, vectorul principal va fi rezultanta acestui sistem de forțe. Deoarece vectorul principal este egal cu suma geometrică a forțelor unui sistem dat, nici modulul, nici direcția acestuia nu depind de alegerea centrului de reducere. Valoarea și semnul momentului principal Mg depind de poziția centrului de reducere, deoarece umerii perechilor constitutive depind de poziția reciprocă a forțelor și de punctul (centrul) față de care sunt luate momentele.

Pot apărea următoarele cazuri de reducere a sistemului de forțe:
1. - caz general; sistemul se reduce la vectorul principal si la momentul principal.
2.; sistemul se reduce la o rezultanta egala cu vectorul principal al sistemului.
3.; sistemul se reduce la o pereche de forțe, al căror moment este egal cu momentul principal.
4. ; sistemul este în echilibru, adică pentru echilibrul unui sistem plat de forțe, este necesar și suficient ca vectorul său principal și momentul principal să fie simultan egale cu zero.

Se poate dovedi că în cazul general, când, există întotdeauna un punct față de care momentul principal al forțelor este egal cu zero.

Luați în considerare un sistem plat de forțe, care este redus la punctul O, adică înlocuit cu vectorul principal aplicat în punctul O și momentul principal. Pentru certitudine, presupunem că momentul principal este îndreptat în sensul acelor de ceasornic, adică . Să reprezentăm acest moment principal printr-o pereche de forțe FF”, al cărui modul îl vom alege egal cu modulul vectorului principal, adică . Vom aplica una dintre forțele care alcătuiesc perechea la centrul de reducere O, cealaltă forţă în punctul C a cărei poziţie se va determina din condiţia: .Deci.

Aducerea sistemului de forțe în centru

Întrebări

Cursul 6

3. Condiții de echilibru pentru un sistem arbitrar de forțe

1. Luați în considerare un sistem arbitrar de forțe. Alegeți un punct arbitrar DESPRE pentru centrul de reducere și, folosind teorema pe transfer paralel forțe, transferăm toate forțele sistemului către punct dat, fără a uita să adăugați o pereche de forțe atașată atunci când transferați fiecare forță.

Sistemul de forțe convergente astfel obținut este înlocuit cu o forță egală cu vectorul principal al sistemului original de forțe. Sistemul de perechi de forțe format în timpul transferului este înlocuit cu o pereche cu un moment egal cu suma geometrică a momentelor tuturor perechilor de forțe (adică, suma geometrică a momentelor sistemului original de forțe relativ la centru). DESPRE).

Un astfel de moment se numește momentul principal al sistemului de forțe în jurul centrului O (Fig. 1.30).

Orez. 1.30. Aducerea sistemului de forțe în centru

Deci, orice sistem de forțe poate fi întotdeauna înlocuit cu doar doi factori de forță - vectorul principal și momentul principal față de un centru de referință ales arbitrar . Evident, vectorul principal al sistemului de forțe nu depinde de alegerea centrului de reducere (se spune că vectorul principal este invariant în raport cu alegerea centrului de reducere). De asemenea, este evident că momentul principal nu are o astfel de proprietate, de aceea este întotdeauna necesar să se indice în ce centru se determină momentul principal.

2. Aducerea sistemului de forțe la cea mai simplă formă

Posibilitate de simplificare suplimentară sisteme arbitrare forțele depinde de valoarea vectorului lor principal și a momentului principal, precum și de alegerea cu succes a centrului de reducere. În acest caz, sunt posibile următoarele cazuri:

A) , . În acest caz, sistemul este redus la o pereche de forțe cu un moment , a cărui valoare nu depinde de alegerea centrului de reducere.

b), . Sistemul este redus la o rezultantă egală cu , a cărei linie de acțiune trece prin centru DESPRE.

c) și sunt reciproc perpendiculare. Sistemul este redus la o rezultantă egală cu , dar care nu trece prin centru DESPRE(Fig. 1.31).

Orez. 1.31. Aducerea sistemului de forțe la rezultantă

Să înlocuim momentul principal cu o pereche de forțe, așa cum se arată în Fig. 1.31. Să definim R din condiţia ca M0 = R h. Apoi, pe baza celei de-a doua axiome a staticii, renunțăm la sistemul echilibrat a două forțe aplicate în punctul DESPRE.

d) sunt paralele. Sistemul este condus la un șurub dinamic, cu axa care trece prin centru DESPRE(Fig. 1.32).

Orez. 1.32. șurub dinamic

e) și nu sunt egale cu zero și, în același timp, vectorul principal și momentul principal nu sunt paralele și nu perpendiculare între ele. Sistemul este adus la șurubul dinamic, dar axa nu trece prin centru DESPRE(Fig. 1.33).

Orez. 1.33. Cel mai general caz de reducere a sistemului de forțe

Teorema reducerii sistemului de forțe:

Orice sistem de forțe care acționează asupra unui corp absolut rigid poate fi înlocuit cu o singură forță R, egal cu vectorul principal al acestui sistem de forțe și aplicat unui centru O ales arbitrar și unei perechi de forțe cu un moment L O , egal cu momentul principal al sistemului de forțe în jurul centrului O.

O astfel de înlocuire echivalentă a unui sistem dat de forțe cu o forță Rși câteva forțe cu un moment L O sunați aducerea sistemului de forțe în centrul O.

Să considerăm aici un caz special de aducere a unui sistem plat de forțe în centrul O, care se află în același plan. În acest caz, sistemul de forțe este înlocuit cu o forță și o pereche de forțe situate în planul de acțiune al forțelor sistemului. Momentul acestei perechi de forțe poate fi considerat o mărime algebrică LO și reprezentat în figuri printr-o săgeată arc (momentul principal algebric al unui sistem plat de forțe).

Ca urmare a aducerii unui sistem plat de forțe în centru, sunt posibile următoarele cazuri:

dacă R = 0, L O = 0, atunci acest sistem este o echilibru;
dacă cel puţin una dintre valori R sau L O nu este egal cu zero, atunci sistemul de forțe nu în echilibru.
în care:

16 intrebare. Ecuația de echilibru

Pentru echilibrul unui corp rigid sub acțiunea unui sistem plan de forțe, este necesar și suficient ca vectorul principal al acestui sistem de forțe și momentul său principal algebric să fie egal cu zero, adică R\u003d 0, L O \u003d 0, unde O este orice centru situat în planul de acțiune al forțelor sistemului.

Condițiile de echilibru analitic rezultate (ecuații de echilibru) pentru un sistem plat de forțe pot fi formulate în următoarele trei forme:

Forma principală a ecuațiilor de echilibru:

pentru echilibrul unui sistem planar arbitrar de forțe, este necesar și suficient ca suma proiecțiilor tuturor forțelor pe fiecare axă de coordonate și suma momentelor lor algebrice față de orice centru situat în planul de acțiune al forțele sunt egale cu zero:

Fix = 0; F iy = 0; M O ( F i) = 0. (I)

A doua formă a ecuațiilor de echilibru:

pentru echilibrul unui sistem planar arbitrar de forțe, este necesar și suficient ca suma momentelor algebrice ale tuturor forțelor în jurul a doi centre A și B și suma proiecțiilor acestora pe axa Ox, care nu este perpendiculară pe Ox. axa, să fie egală cu zero:

Fix = 0; M A ( F i) = 0; M B ( F i) = 0. (II)

A treia formă de ecuații de echilibru (ecuații a trei momente):

pentru echilibrul unui sistem planar arbitrar de forțe, este necesar și suficient ca sumele momentelor algebrice ale tuturor forțelor în raport cu oricare trei centrele A, Bși C, care nu se află pe aceeași linie dreaptă, au fost egale cu zero:

M A ( F i) = 0; M B ( F i) = 0; M C ( F i) = 0. (III)

Ecuațiile de echilibru în forma (I) sunt considerate de bază, deoarece la utilizarea lor nu există restricții privind alegerea axelor de coordonate și a centrului momentelor.

Întrebare

teorema lui Varignon. Dacă sistemul plan de forțe luat în considerare este redus la o rezultantă, atunci momentul acestei rezultante relativ la orice punct este egal cu suma algebrică a momentelor tuturor forțelor sistemului dat în raport cu acel punct însuși. Să presupunem că sistemul de forțe se reduce la rezultanta R care trece prin punctul O. Să luăm acum un alt punct O 1 ca centru de reducere. Momentul principal (5.5) în jurul acestui punct este egal cu suma momentelor tuturor forțelor: M O1Z =åM o1z (F k) (5.11). Pe de altă parte, avem M O1Z =M Olz (R), (5.12) deoarece momentul principal pentru centrul de reducere O este egal cu zero (M Oz =0). Comparând relaţiile (5.11) şi (5.12), se obţine M O1z (R)=åM OlZ (F k); (5.13) h.e.d. Folosind teorema Varignon, puteți găsi ecuația pentru linia de acțiune a rezultantei. Fie aplicată rezultanta R 1 într-un punct O 1 cu coordonatele x și y (Fig. 5.5) și se cunosc vectorul principal F o și momentul principal M Oya la centrul de reducere la origine. Deoarece R 1 \u003d F o, atunci componentele rezultantei de-a lungul axelor x și y sunt R lx \u003d F Ox \u003d F Ox i și R ly \u003d F Oy \u003d F oy j. Conform teoremei Varignon, momentul rezultantei relativ la origine este egal cu momentul principal în centrul reducerii la origine, adică M oz \u003d M Oz (R 1) \u003d xF Oy -yF Ox. (5.14). Valorile M Oz , F Ox și F oy nu se schimbă atunci când punctul de aplicare al rezultantei este deplasat de-a lungul liniei sale de acțiune, prin urmare, coordonatele x și y din ecuația (5.14) pot fi văzute ca coordonatele curente. a liniei de acţiune a rezultantei. Astfel, ecuația (5.14) este ecuația dreptei de acțiune a rezultantei. Pentru F ox ≠0, poate fi rescris ca y=(F oy /F ox)x–(M oz /F ox).

Întrebare

rezilierea un corp în altul (de exemplu, o tijă într-un perete fix) nu permite acest corp se mișcă și se rotește față de celălalt. În cazul terminației, reacția de forță R A nu este singurul factor în interacțiunea dintre corp și suport. Pe lângă această forță, reacția de încorporare este determinată și de o pereche de forțe cu un moment M A necunoscut în prealabil. Dacă forţa R Un prezent constituenții săi X A , Y A , atunci pentru a afla reacția de terminație este necesar să se determine trei mărimi scalare necunoscute: X A , Y A , M A .

Să dăm exemple de înlocuire a sistemelor plate de forțe distribuite paralel cu cele rezultate ale acestora.

Pentru un astfel de sistem de forțe, intensitatea are o valoare constantă: q = const.

La rezolvarea problemelor de statică, acest sistem de forțe poate fi înlocuit cu o forță rezultată concentrată Q, egală în valoare absolută cu produsul dintre intensitatea q și lungimea segmentului AB = a (Q = q · a) și aplicată în mijlocul segmentului AB.

Pentru un astfel de sistem de forțe, intensitatea q este o variabilă care variază de la zero la valoare maximă q max conform legii liniare.

Rezultat Q al acestui sistem de forțe este egal în valoare absolută cu Q =0,5 a q max și se aplică în punctul K care împarte segmentul AB în raport cu AK: KB = 2: 1.

19. Calculul structurilor compozite
1.1. Calcul cu împărțirea unui sistem de corpuri în corpuri separate
1.1.1. Sistemul de corpuri este împărțit prin conexiunea internă C în corpuri separate și se consideră echilibrul lor.
1.1.2. Toate conexiunile sunt aruncate din fiecare dintre corpuri, înlocuindu-le acțiunea cu reacții. În mecanismele date se aplică următoarele tipuri de conexiuni: o balama axială fixă (reacția se descompune în componente paralele cu axele de coordonate X, Y); balama axială mobilă (reacția N este perpendiculară pe suprafața de sprijin, îndreptată departe de aceasta); terminație rigidă (reacția este o combinație dintre reacția balamalei fixe X, Y și o pereche de forțe cu un reactiv
momentul m). Componentele reacției balamalei interne C, aplicate diferitelor corpuri ale sistemului, după principiul acțiunii și reacției, sunt egale ca mărime și direcționate invers. Sarcina distribuită se înlocuiește cu o forță concentrată aplicată la mijlocul intervalului și egală cu modulul produsului dintre intensitatea sarcinii q și lungimea intervalului.
1.1.3. Compuneți ecuații de echilibru, inclusiv ecuații de proiecție pe axe standard și ecuații de momente (calculate și verificate). Centrul ecuației momentului calculat este ales la intersecția dreptelor de acțiune număr maxim reacții necunoscute, ecuație de testare - la intersecția liniilor de acțiune forțe celebre, prin care nu trece nici una dintre reacțiile necunoscute netestate. Se recomandă întocmirea ecuaţiilor de echilibru, luând în considerare forţele la rândul lor astfel: se determină unghiul ascuţit α dintre linia de forţă şi linia uneia dintre axe; proiecția forței pe această axă va conține cos α, pe a doua axă – sin α; proiecția este pozitivă dacă unghiul de aliniere a vectorului forță cu axa este acut, iar negativă dacă este obtuz; determinați umărul forței, coborând perpendiculara de la centru la linia de acțiune a forței și semnul momentului în direcția de rotație a umărului prin forța în jurul centrului (când umărul este rotit în sensul acelor de ceasornic, momentul este negativ, în sens invers acelor de ceasornic este pozitiv). La o poziție arbitrară a forței, pentru a determina momentul, aceasta se descompune în componente paralele cu axele de coordonate (mărimile acestora sunt egale cu proiecțiile corespunzătoare ale forței) iar suma momentelor acestor componente se găsește folosind Varignon. teorema.
Astfel, pentru fiecare dintre corpuri sunt compilate 3 ecuații calculate și 1 de verificare.
1.1.4. Rezolvați un sistem de 6 ecuații de calcul pentru reacții necunoscute.
Reacțiile găsite sunt înlocuite în ecuațiile de verificare, modulul sumei rezultate nu trebuie să depășească 0,02 Rav, unde Rav este valoarea medie a modulelor reacțiilor testate.
1.2. Calcul folosind principiul solidificării
1.2.1. Înlocuiți balamaua internă cu o articulație rigidă și luați în considerare echilibrul corpului rezultat. Al doilea este considerat unul dintre corpurile sistemului (clauza 1.1.1).
1.2.2. Întocmește un desen pentru fiecare dintre organismele luate în considerare în același mod ca în clauza 1.1.2.
1.2.3. Pentru primul corp, 3 ecuații calculate și 1 de verificare sunt realizate în mod similar cu clauza 1.1.3. Pentru cel de-al doilea corp, este compilată o ecuație de calcul a momentelor forțelor raportate la centrul C.
1.2.4 Rezolvați un sistem de 4 ecuații de calcul și efectuați o verificare similară cu paragraful 1.1.4. 2.

2. Calcul folosind principiul mișcărilor posibile.Reacțiile legăturilor se determină luându-le în considerare pe rând.

20. Starea echilibrului pârghiei Stabilitatea corpurilor în timpul răsturnării. Distanța de la punctul de sprijin până la linia dreaptă de-a lungul căreia acționează forța se numește umărul acestei forțe. Fie F1 și F2 forțele care acționează asupra pârghiei din partea sarcinilor (vezi diagramele din partea dreaptă a Fig. 25.2). Să notăm umerii acestor forțe ca l1 și, respectiv, l2. Experimentele noastre au arătat că pârghia este în echilibru dacă forțele F1 și F2 aplicate pârghiei tind să o rotească în direcții opuse, iar modulele forțelor sunt invers proporționale cu umerii acestor forțe: F1 / F2 \u003d l2 / l1. Stabilitatea corpurilor la răsturnare. Acestea sunt sarcinile care apar în proiectarea diferitelor mecanisme de ridicare și în calculul condițiilor de siguranță pentru funcționarea acestora, stipulate în regulile de lucru cu aceste mecanisme. O caracteristică a rezolvării acestor probleme nu foarte dificile pentru un sistem plat de forțe este că atunci când le rezolvăm, ecuațiile de echilibru nu sunt compilate. Separat, se determină: a) momentul de răsturnare (Mopr) - suma momentelor de forţe care tind să răstoarne mecanismul în cauză faţă de o axă proiectată pe desen (puncte de sprijin); c) moment de reținere (Mud) - suma momentelor de forțe care împiedică răsturnarea. Pentru funcționarea stabilă a mecanismului este necesar ca momentul de reținere cu o anumită marjă să fie mai mare decât cel de răsturnare. Raportul Mud, / Mopr =k este denumit în mod obișnuit coeficient de stabilitate. Valoarea lui k trebuie, desigur, să fie mai mare decât unu. Pentru diferite mecanisme de ridicare și pentru diferite condiții de funcționare a acestora, valoarea coeficientului de stabilitate este determinată din SNiP, TU și alte surse. Luând în considerare acest coeficient, se calculează valoarea sarcinii contragreutății sau poziția acesteia pe mecanism, se calculează opțiunile - la ce rază a brațului și cu ce sarcini se poate lucra în siguranță. Un exemplu de rezolvare a uneia dintre problemele de stabilitate este dat mai jos. Este deosebit de important să poți efectua calcule elementare de stabilitate în condiții de producție, atunci când trebuie să lucrezi cu sarcinile maxime pentru macaraua disponibilă.

21 Frecare de alunecare. Legile frecării. Coeficient de frecare. O forță de frecare de alunecare apare între corpurile în mișcare în planul contactului lor. Acest lucru se datorează în primul rând rugozității suprafețelor de contact și prezenței aderenței corpurilor presate. În calculele de inginerie se folosesc de obicei regularități stabilite empiric, care reflectă acțiunea forței de frecare cu un anumit grad de precizie. Aceste modele se numesc legile frecării de alunecare (Coulomb). Ele pot fi formulate după cum urmează.
1. Când se încearcă deplasarea unui corp față de altul în planul contactului lor, apare o forță de frecare F, al cărei modul poate lua orice valoare de la zero la Fmax, adică 0<=F<=Fmax . Сила трения приложена к телу и направлена в сторону, противоположную возможному направлению скорости точки приложения силы.
2. Forța maximă de frecare este egală cu produsul dintre coeficientul de frecare f și forța normală de presiune N: Fmax=fN.
Coeficientul de frecare f este o mărime adimensională care depinde de materialele și de starea suprafețelor corpurilor în contact (rugozitate, temperatură, umiditate etc.). Determinați-o empiric.
Există coeficienți de frecare statică și frecare de alunecare, iar acesta din urmă, de regulă, depinde și de viteza de alunecare. Coeficientul de frecare statică corespunde unei astfel de forțe maxime de frecare Fmax, la care există o stare limită de echilibru. Cea mai mică creștere a forțelor externe poate provoca mișcare. Coeficientul de frecare statică este de obicei puțin mai mare decât coeficientul de frecare de alunecare. Odată cu creșterea vitezei de alunecare, valoarea coeficientului de frecare de alunecare scade mai întâi ușor, apoi rămâne practic neschimbată. Valorile coeficienților de frecare pentru unele perechi de frecare sunt următoarele: lemn pe lemn 0,4-0,7; metal pe metal 0,15-0,25; oțel pe gheață 0,027.
3. Forța maximă de frecare într-un interval destul de larg nu depinde de suprafața suprafețelor de contact.
Forța de frecare de alunecare este uneori numită forță de frecare uscată.

Unghi și con de frecare

Reacția unei conexiuni reale (brutale) va fi compusă din două componente: din reacția normală și forța de frecare perpendiculară pe aceasta. În consecință, reacția totală se va abate de la normal la suprafață cu un anumit unghi. Când forța de frecare se schimbă de la zero la F pr, forța R se va schimba de la N la R pr, iar unghiul acesteia cu normala va crește de la zero la o anumită valoare limită (Fig. 26).

Fig.26

Se numește cel mai mare unghi pe care reacția totală a legăturii brute îl formează cu normala la suprafață unghi de frecare. Din desen se vede că

Deoarece , de aici găsim următoarea relație între unghiul de frecare și coeficientul de frecare:

La echilibru, reacția totală R, în funcție de forțele tăietoare, poate avea loc oriunde în unghiul de frecare. Când echilibrul devine limitativ, reacția se va abate de la normal cu un unghi.

Con de frecare numit conul descris de forța de reacție limitativă a unei legături aspre în jurul direcției reacției normale.

Dacă se aplică o forță P unui corp așezat pe o suprafață rugoasă, formând un unghi cu normala (Fig. 27), atunci corpul se va deplasa numai atunci când forța tăietoare Psin este mai mare (se consideră N=Pcos, neglijând greutatea). a corpului). Dar inegalitatea în care este satisfăcută numai pentru , i.e. la . Prin urmare, nicio forță care formează un unghi cu normala mai mică decât unghiul de frecare nu poate mișca corpul de-a lungul unei suprafețe date. Așa se explică binecunoscutele fenomene de blocare sau autofrânare a corpurilor.

Fig.27

Pentru echilibrul unui corp solid pe o suprafață rugoasă, este necesar și suficient ca linia de acțiune a rezultantei forțelor active care acționează asupra corpului solid să treacă în interiorul conului de frecare sau de-a lungul generatricei acestuia prin vârful său.

Corpul nu poate fi dezechilibrat de nicio forță activă modulo dacă linia sa de acțiune trece în interiorul conului de frecare.

frecare de rulare

Originea frecării de rulare poate fi vizualizată după cum urmează. Când o minge sau un cilindru se rostogolește pe suprafața altui corp, este ușor presată în suprafața acestui corp, în timp ce ea însăși este ușor comprimată. Astfel, corpul care se rostogolește tot timpul, parcă, se rostogolește pe deal.

Fig.33

În același timp, are loc o detașare a secțiunilor unei suprafețe de alta, iar forțele de coeziune care acționează între aceste suprafețe împiedică acest lucru. Ambele fenomene provoacă forțe de frecare de rulare. Cu cât suprafețele sunt mai dure, cu atât mai puține adâncituri și mai puțină frecare la rulare.

frecare de rulare numită rezistența care apare atunci când un corp se rostogolește pe suprafața altuia.

În timp ce , patinoarul este în repaus; când începe rularea.

Se numește mărimea liniară k inclusă în formulă coeficientul de frecare la rulare. Valoarea lui k este de obicei măsurată în centimetri. Valoarea coeficientului k depinde de materialul corpurilor și se determină empiric.

Coeficientul de frecare la rulare în timpul rulării în prima aproximare poate fi considerat independent de viteza unghiulară a rolei și viteza de alunecare a acestuia de-a lungul planului.

Pentru o roată de vagon de-a lungul unei șine, k=0,5 mm.

Luați în considerare mișcarea roții conduse.

Rotul va începe când condiția QR>M sau Q>M max /R=kN/R este îndeplinită

Alunecarea roții va începe când condiția Q>F max =fN este îndeplinită.

De obicei, atitudinea și rularea încep înainte de alunecare.

Dacă , atunci roata va aluneca pe suprafață, fără să se rostogolească.

Raportul pentru majoritatea materialelor este mult mai mic decât coeficientul static de frecare. Așa se explică de ce în tehnologie, ori de câte ori este posibil, se încearcă înlocuirea alunecării prin rulare (roți, role, rulmenți cu bile etc.).

Momentul forței F relativ la un punct dat O este produsul mărimii forței pe umărul său, adică lungimea perpendicularei coborâte de la punctul O la linia de acțiune a acestei forțe.

Dacă forța F tinde să rotească corpul în jurul unui punct dat O în direcția opusă mișcării în sensul acelor de ceasornic, atunci suntem de acord că momentul forței F relativ la punctul O este considerat pozitiv; dacă forța tinde să rotească corpul în jurul punctului O în direcția care coincide cu direcția mișcării în sensul acelor de ceasornic, atunci momentul forței relativ la acest punct va fi considerat negativ. Prin urmare,

Dacă linia de acțiune a forței F trece printr-un punct dat O, atunci momentul forței F în jurul acestui punct este egal cu zero.

Adunarea forțelor situate arbitrar pe un plan poate fi efectuată în două moduri:

1) adăugare secvenţială;

2) aducerea sistemului dat de forţe într-un centru ales arbitrar.

Prima metodă devine greoaie când numere mari termeni de forțe și nu este aplicabilă sistemului spațial de forțe, în timp ce a doua metodă este generală, mai simplă și mai convenabilă.

Dacă este dat un sistem de forțe, situat arbitrar într-un plan, atunci, transferând toate aceste forțe într-un punct O ales în mod arbitrar din acest plan, numit centru de reducere, obținem forța aplicată în acest centru.

și un cuplu cu un moment

Suma geometrică a forțelor unui sistem dat se numește vector egal al acestui sistem de forțe.

Suma algebrică a momentelor de forțe ale unui sistem plat față de un punct O al planului lor de acțiune se numește momentul principal al acestui sistem de forțe față de acest punct O.

Momentul principal se schimbă cu schimbarea centrului de reducere; dependența momentului principal de alegerea centrului de referință se exprimă prin următoarea formulă:

unde și sunt două centre de referință diferite.

Deoarece forța R și perechea cu momentul , rezultate din reducerea acestui sistem plan de forțe la centrul O, se află în același plan, ele pot fi reduse la o singură forță aplicată la un moment dat. Această forță este rezultanta sistemului de forțe plan dat.

Astfel, dacă , atunci sistemul de forțe se reduce la o rezultantă care nu trece prin centrul de reducere O. În acest caz, momentul rezultantei față de orice punct va fi egal cu suma algebrică a momentelor tuturor aceste forţe faţă de acelaşi punct (teorema lui Varignon).

Dacă originea coordonatelor este aleasă în centrul reducerii și sunt cunoscute proiecțiile tuturor forțelor pe axele de coordonate și coordonatele punctelor de aplicare a acestor forțe, atunci momentul rezultantei se găsește prin formula

Dacă, ca urmare a aducerii sistemului de forțe la un centru dat, se dovedește că vectorul principal al acestui sistem este egal cu zero, iar momentul său principal este diferit de zero, atunci acest sistem este echivalent cu o pereche de forțe , iar momentul principal al sistemului este egal cu momentul acestei perechi și nu depinde în acest caz de centrul de referință de alegere. Dacă atunci sistemul este redus la o rezultantă aplicată la centrul de reducere O.

Dacă și , atunci sistemul de forțe este în echilibru. Toate cazurile întâlnite în adăugarea forțelor unui sistem plat pot fi reprezentate sub forma unui tabel. 3.

Tabelul 3

Vom lua în considerare echilibrul unui sistem plat de forțe în paragraful următor, iar acum să trecem la rezolvarea problemelor pentru adăugarea forțelor unui sistem plat.

Exemplul 13. Având în vedere un sistem plat de patru forțe, proiecțiile X și Y ale acestor forțe pe axele de coordonate, coordonatele x, y ale punctelor de aplicare a acestora sunt date în tabel. 4.

Tabelul 4

Aduceți acest sistem la origine și apoi găsiți linia de acțiune a rezultantei.

Soluţie. Să găsim proiecțiile vectorului principal al sistemului dat de forțe pe axele de coordonate conform formulei (14)

Momentul principal se găsește prin formula (15)

Fie un punct al liniei de acțiune a rezultatului dorit. Apoi

Pe de altă parte, după teorema Varignon avem:

Prin urmare,

Aceasta este ecuația liniei de acțiune a rezultantei.

Exemplul 14. Aflați rezultanta a patru forțe care acționează pe laturile unui hexagon regulat, a cărui direcție este indicată în fig. 30 dacă .

Soluţie. Să alegem ca centru de reducere centrul О al hexagonului și să găsim vectorul principal R și momentul principal al acestui sistem de forțe relativ la centrul О. Deoarece, atunci vectorul principal R este egal cu , iar momentul principal

Pentru a afla momentul fortei, raportat la punctul O, coborâm perpendiculara SM, de la punctul O la linia de actiune a acestei forte. Deoarece forța tinde să rotească hexagonul în jurul punctului O în sensul acelor de ceasornic, atunci

Metoda descrisă de a aduce o forță într-un punct dat poate fi aplicată oricărui număr de forțe. Să presupunem că în punctele corpului A, B, C și D (Fig. 30) se aplică forțe F1, F2, F3, F4. Este necesară aducerea acestor forțe în punctul O al planului. Să dăm mai întâi forța F1 aplicată în punctul A. Aplicam în punctul O două forțe F1 "și F1"", paralele cu aceasta și îndreptate în direcții opuse. Ca urmare a aducerii forței F1, obținem forța F1 " aplicată în punctul O și o pereche de forțe F1 "F1"" cu umărul a1. Făcând același lucru cu forța F2 aplicată în punctul B, obținem forța F2"aplicată în punctul O și o pereche de forțe cu umărul a2, etc. Un sistem plat de forțe aplicate în punctele A, B, C și D, am înlocuit forțele convergente F1, F2, F3, F4, aplicate în punctul O, și perechile de forțe cu momente egale cu momentele forțe date în jurul punctului O:
Forțele care converg într-un punct pot fi înlocuite cu o forță F "ch, egală cu suma geometrică a componentelor,
Această forță, egală cu suma geometrică a forțelor date, se numește vectorul principal al sistemului de forţeși notăm F „ch.

Pe baza regulii de adunare a perechilor de forțe, acestea pot fi înlocuite cu perechea rezultată, al cărei moment este egal cu suma algebrică a momentelor forțelor date în jurul punctului O și se numește a sublinia raportat la punctul de referință
În consecință, în cazul general, un sistem plat de forțe, ca urmare a reducerii la un punct dat O, este înlocuit cu un sistem echivalent format dintr-o forță (vector principal) și o pereche (moment principal). Este necesar să învățăm că vectorul principal F "ch este rezultanta acestui sistem de forțe, deoarece acest sistem nu este echivalent cu o forță F "ch. Doar într-un anumit caz, când momentul principal dispare, vectorul principal va fi rezultatul acestui sistem de forțe. Deoarece vectorul principal este egal cu suma geometrică a forțelor unui sistem dat, nici modulul, nici direcția acestuia nu depind de alegerea centrului de reducere. Valoarea și semnul momentului principal Mg depind de poziția centrului de reducere, deoarece umerii perechilor constitutive depind de poziția reciprocă a forțelor și de punctul (centrul) față de care sunt luate momentele.

Se poate dovedi că în cazul general, când, există întotdeauna un punct față de care momentul principal al forțelor este egal cu zero.

Să aranjam o pereche de forțe astfel încât forța F „” să fie îndreptată în direcția opusă vectorului principal F „ch. În punctul O avem două forțe egale reciproc opuse F „ch și F” „direcționate de-a lungul unei linii drepte. ; pot fi aruncate (conform celei de-a treia axiome). Prin urmare, în raport cu punctul C, momentul principal al sistemului de forțe considerat este egal cu zero, iar sistemul se reduce la rezultanta. Teorema asupra momentului rezultantei (teorema lui Varignon)În cazul general, un sistem plat arbitrar de forțe este redus la vectorul principal F"ch și la momentul principal Mgl relativ la centrul de reducere selectat, iar momentul principal este egal cu suma algebrică a momentelor date. forte relativ la punctul O:

S-a demonstrat că este posibil să se aleagă centrul de reducere, în raport cu care momentul principal al sistemului va fi egal cu zero, iar sistemul de forțe va fi redus la o rezultantă egală în valoare absolută cu vectorul principal. Sa determinam momentul rezultantei fata de punctul O. Considerand ca bratul OS al fortei F este egal cu , se obtine .

Două mărimi, egale separat cu a treia, sunt egale între ele, prin urmare, din ecuațiile anterioare găsim.

Ecuația rezultată exprimă teorema lui Varignon: momentul sistemului de forțe plan rezultant față de un punct arbitrar este egal cu suma algebrică a momentelor forțelor constitutive față de același punct.

Din teorema lui Varignon rezultă că momentul principal al unui sistem plat de forțe în raport cu orice punct situat pe linia de acțiune a rezultantei sale este egal cu zero.

17. Momentul static al ariei secțiunii transversale Momente statice ale secțiunii S xȘi Sy sunt utilizate în principal pentru a determina poziția centrului ariei secțiunii transversale și axele centrale.

Luați în considerare modificarea momentelor statice cu transfer paralel de axe (Fig. 1.1). Considerând cunoscut F, S xȘi Syîn sistemul de coordonate 0XY, definim momentele statice Sx1, S y1 referitor la noi osii x 1, y 1.

Orez. 1.1

Având în vedere rapoartele x 1 \u003d x - aȘi y 1 = y - b obținem: sau S x 1 = Sx - bF; S y 1 = Sy - aF;(1.1) Axele x 1 , y 1 pot fi alese astfel încât să fie îndeplinite următoarele condiții: S x1 = 0, S y1 = 0. topoare, față de care momentele statice ale secțiunii sunt egale cu zero, se numesc centrale. Se numește punctul de intersecție al axelor centrale centrul de greutate al secțiunii. Luând S x1 = 0 și S y1 = 0, din expresia (1.1) coordonatele centrului ariei secționale relativ la axele auxiliare x, y sunt determinate de formulele (notăm xc = a, yc = b ):

(1.2)

În consecință, dacă aria F și poziția centrului ariei secțiunii (coordonatele xc , yc) în sistemul de coordonate 0xy sunt cunoscute, atunci momentele statice ale secțiunii în raport cu axele x, y pot fi determinate din expresii ( 1.2): Sx = F y c ; Sy = F x c. (1.3) Se poate arăta că momentul static în jurul oricărei axe care trece prin centrul ariei secțiunii este egal cu zero. La determinarea centru zonă sectiune complexa se aplică următoarea procedură: 1) secţiunea se împarte în n părţi, ariile (F i) şi poziţia centrelor (C i) ale căror zone sunt cunoscute; 2) se stabilește un sistem de coordonate auxiliar, în care se determină coordonatele centrelor zonelor (x ci , y ci) ale acestor părți; 3) coordonatele secțiunii compuse sunt calculate folosind formulele: