În mod similar, ca și pentru un punct material, derivăm o teoremă privind modificarea impulsului pentru sistem în diferite forme.
Transformăm ecuația (teorema privind mișcarea centrului de masă sistem mecanic)
in felul urmator:
;
Ecuația rezultată exprimă teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic sub formă diferențială: derivata în timp a impulsului unui sistem mecanic este egală cu vectorul principal forțe externe acționând asupra sistemului .
În proiecțiile pe axe de coordonate carteziene:
; 
; 
.
Luând în timp integralele ambelor părți ale ultimelor ecuații, obținem o teoremă privind modificarea impulsului unui sistem mecanic în formă integrală: modificarea impulsului unui sistem mecanic este egală cu impulsul vectorului principal al forțe externe care acționează asupra sistemului .
.
Sau în proiecții pe axele de coordonate carteziene:
; 
; 
.
Consecințele teoremei (legile conservării impulsului)
Legea conservării impulsului se obține ca cazuri speciale ale teoremei privind modificarea impulsului pentru un sistem în funcție de caracteristicile sistemului de forțe externe. Forțele interne pot fi orice, deoarece nu afectează schimbările de impuls.
Sunt posibile două cazuri:
1. Dacă suma vectorială a tuturor forțelor externe aplicate sistemului este egală cu zero, atunci impulsul sistemului este constant în mărime și direcție
2. Dacă proiecția vectorului principal al forțelor externe pe orice axă de coordonate și/sau și/sau este egală cu zero, atunci proiecția cantității de mișcare pe aceleași axe este o valoare constantă, i.e. și/sau și/sau respectiv.
Înregistrări similare pot fi făcute pentru un punct material și pentru un punct material.
Sarcina. De la un pistol a cărui masă M, un proiectil de masă zboară în direcție orizontală m cu viteza v. Găsiți viteza V pistoale după tragere.
Soluţie. Toate forțele externe care acționează asupra sistemului mecanic pistol-proiectil sunt verticale. Prin urmare, pe baza corolarului teoremei privind modificarea impulsului sistemului, avem: .
Cantitatea de mișcare a sistemului mecanic înainte de împușcare:
Cantitatea de mișcare a sistemului mecanic după lovitură:
.
Echivalând părțile corecte ale expresiilor, obținem asta
.
Semnul „-” din formula rezultată indică faptul că, după împușcare, pistolul se va rostogoli înapoi în direcția opusă axei Bou.
EXEMPLU 2. Un jet de lichid cu o densitate curge cu viteza V dintr-o conductă cu o secțiune transversală F și lovește un perete vertical în unghi. Determinați presiunea fluidului pe perete.
SOLUŢIE. Aplicăm teorema privind modificarea impulsului în formă integrală la volumul lichidului cu masă m lovind un perete într-o perioadă de timp t.
ECUAȚIA MESHCHERSKY
(ecuația de bază a dinamicii unui corp de masă variabilă)
În tehnologia modernă, apar cazuri când masa unui punct și a unui sistem nu rămâne constantă în procesul de mișcare, ci se modifică. Deci, de exemplu, în timpul zborului rachetelor spațiale, din cauza ejectării produselor de combustie și a părților individuale inutile ale rachetelor, modificarea masei ajunge la 90-95% din valoarea inițială totală. Dar nu numai tehnologia spațială poate fi un exemplu de dinamică a mișcării unei mase variabile. În industria textilă, există o schimbare semnificativă a masei diferitelor fusuri, bobine, role la viteze moderne ale mașinii și ale mașinii.
Luați în considerare principalele caracteristici asociate cu o modificare a masei, folosind exemplul mișcării de translație a unui corp de masă variabilă. Legea de bază a dinamicii nu poate fi aplicată direct unui corp de masă variabilă. Prin urmare, primim ecuatii diferentiale mișcarea unui punct de masă variabilă, aplicând teorema privind modificarea impulsului sistemului.
Lasă un punct de masă m+dm se mișcă cu viteză. Apoi are loc o detașare din punctul unei particule cu o masă dm deplasându-se cu viteză.
Cantitatea de mișcare a corpului înainte de desprinderea particulei:
Cantitatea de mișcare a unui sistem format dintr-un corp și o particulă detașată după detașarea acestuia:
Atunci modificarea impulsului este:
Pe baza teoremei privind modificarea impulsului sistemului:
Să notăm valoarea - viteza relativă a particulei:
Denota 
valoarea R numită forță reactivă. Forța jetului este împingerea motorului, datorită eliberării de gaz din duză.
În sfârșit, obținem
-
Această formulă exprimă ecuația de bază a dinamicii unui corp de masă variabilă (formula lui Meshchersky). Din ultima formulă rezultă că ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct de masă variabilă au aceeași formă ca și pentru un punct de masă constantă, cu excepția forței reactive suplimentare aplicate punctului datorită modificării masei.
Ecuația de bază a dinamicii unui corp de masă variabilă indică faptul că accelerația acestui corp se formează nu numai din cauza forțelor externe, ci și datorită forței reactive.
Forța reactivă este o forță asemănătoare cu cea resimțită de o persoană care împușcă - atunci când trage un pistol, este simțită de mână; când trage de la pușcă, este perceput de umăr.
Prima formulă a lui Ciolkovski (pentru o rachetă cu o singură etapă)
Lasă un punct de masă variabilă sau o rachetă să se miște în linie dreaptă sub acțiunea unei singure forțe reactive. Deoarece pentru multe motoare moderne cu reacție 
, unde este forța reactivă maximă permisă de proiectarea motorului (împingerea motorului); este forța gravitației care acționează asupra motorului suprafața pământului. Acestea. cele de mai sus permit ca componenta din ecuația Meshchersky să fie neglijată și pentru o analiză ulterioară să accepte această ecuație sub forma: ,
Denota:
Rezervă de combustibil (pentru motoarele cu reacție cu propulsie lichidă - masa uscată a rachetei (masa rămasă după arderea întregului combustibil);
Masa de particule separate de rachetă; considerată ca o variabilă variind de la la .
Să scriem ecuația mișcare rectilinie puncte de masă variabilă în următoarea formă
.
Deoarece formula pentru determinarea masei variabile a unei rachete
Prin urmare, ecuațiile de mișcare ale unui punct 
Luând integralele ambelor părți, obținem
Unde - viteza caracteristica- aceasta este viteza pe care o dobândește racheta sub acțiunea împingerii după erupția tuturor particulelor din rachetă (pentru motoarele cu reacție cu propulsie lichidă - după ce tot combustibilul s-a ars).
Scos din semnul integral (ceea ce se poate face pe baza binecunoscutului matematica superioara teorema valorii medii) este viteza medie particule ejectate din rachetă.
Constând din n puncte materiale. Să evidențiem un punct din acest sistem Mj cu masa mj. Se știe că forțele externe și interne acționează în acest punct.
Aplica la un punct Mj rezultatul tuturor forțe interne F j iși rezultanta tuturor forțelor externe F j e(Figura 2.2). Pentru punctul material selectat Mj(ca și pentru un punct liber) scriem teorema privind modificarea impulsului în formă diferențială (2.3):
Scriem ecuații similare pentru toate punctele sistemului mecanic (j=1,2,3,…,n).
Figura 2.2
Să punem totul împreună n ecuatii:
∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)
d∑(m j ×V j)/dt = ∑ F j e + ∑ F j i. (2.10)
Aici ∑mj ×Vj =Q este impulsul sistemului mecanic;
∑ F j e = R e – vector principal toate forțele externe care acționează asupra sistemului mecanic;
∑ F j i = R i =0- vectorul principal al forțelor interne ale sistemului (după proprietatea forțelor interne, este egal cu zero).
În final, pentru sistemul mecanic, obținem
dQ/dt = Re. (2.11)
Expresia (2.11) este o teoremă privind modificarea impulsului unui sistem mecanic sub formă diferențială (în expresie vectorială): derivata temporală a vectorului moment al unui sistem mecanic este egală cu vectorul principal al tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.
Proiectând egalitatea vectorială (2.11) pe axele de coordonate carteziene, obținem expresii pentru teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic într-o expresie de coordonate (scalare):
dQ x /dt = R x e;
dQ y /dt = R y e;
dQ z /dt = R z e, (2.12)
acestea. derivata în timp a proiecției impulsului unui sistem mecanic pe orice axă este egală cu proiecția pe această axă a vectorului principal al tuturor forțelor externe care acționează asupra acestui sistem mecanic.
Înmulțirea ambelor părți ale egalității (2.12) cu dt, obținem teorema într-o altă formă diferențială:
dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)
acestea. diferența de impuls al unui sistem mecanic este egală cu impulsul elementar al vectorului principal (suma impulsurilor elementare) al tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.
Integrarea egalității (2.13) în intervalul de timp de la 0 la t, obținem o teoremă privind modificarea impulsului unui sistem mecanic într-o formă finită (integrală) (în expresie vectorială):
Q - Q 0 \u003d S e,
acestea. modificarea cantității de mișcare a unui sistem mecanic într-o perioadă finită de timp este egală cu impulsul total al vectorului principal (suma impulsurilor totale) a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului în aceeași perioadă de timp..
Proiectând egalitatea vectorială (2.14) pe axele de coordonate carteziene, obținem expresii pentru teorema în proiecții (într-o expresie scalară):
acestea. modificarea proiecției impulsului sistemului mecanic pe orice axă pe o perioadă finită de timp este egală cu proiecția pe aceeași axă a impulsului total al vectorului principal (suma impulsurilor totale) a tuturor forțelor externe. acţionând asupra sistemului mecanic pentru aceeaşi perioadă de timp.
Din teorema considerată (2.11) - (2.15) urmează următoarele corolare:
- Dacă R e = ∑ F j e = 0, apoi Q = const– avem legea conservării vectorului moment al sistemului mecanic: dacă vectorul principal Re a tuturor forțelor externe care acționează asupra unui sistem mecanic este egal cu zero, atunci vectorul impuls al acestui sistem rămâne constant în mărime și direcție și egal cu valoarea sa inițială Q0, adică Q = Q0.
- Dacă R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), apoi Q x = const- avem legea conservării proiecției pe axa impulsului sistemului mecanic: dacă proiecția vectorului principal a tuturor forțelor care acționează asupra sistemului mecanic pe orice axă este nulă, atunci proiecția pe aceeași axă a vectorul moment al acestui sistem va fi o valoare constantă și egală cu proiecția pe această axă vectorul impuls inițial, i.e. Qx = Q0x.
Forma diferențială a teoremei schimbării impulsului sistem material are aplicații importante și interesante în mecanica continuumului. Din (2.11) se poate obține teorema lui Euler.
Mărimea mișcării sistemului, ca mărime vectorială, este determinată de formulele (4.12) și (4.13).
Teorema. Derivata în timp a impulsului sistemului este suma geometrică toate forţele externe care acţionează asupra ei.
În proiecțiile axelor carteziene, obținem ecuații scalare.
Puteți scrie un vector
(4.28)
și ecuații scalare
Care exprimă teorema privind modificarea impulsului sistemului în formă integrală: modificarea impulsului sistemului într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma impulsurilor pentru aceeași perioadă de timp. La rezolvarea problemelor se folosesc mai des ecuațiile (4.27).
Legea conservării impulsului
Schimbă teorema impuls unghiular
Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui punct față de centru: derivata în timp a momentului unghiular al unui punct față de un centru fix este egală cu momentul vectorial care acționează asupra punctului de forță față de același centru.
sau 
(4.30)
Comparând (4.23) și (4.30), vedem că momentele vectorilor și sunt conectate prin aceeași dependență ca și vectorii înșiși și sunt conectate (Fig. 4.1). Dacă proiectăm egalitatea pe axa care trece prin centrul O, obținem
(4.31)
Această egalitate exprimă teorema momentului de impuls al unui punct în jurul unei axe.
|
(4.32)
Dacă proiectăm expresia (4.32) pe axa care trece prin centrul O, atunci obținem o egalitate care caracterizează teorema privind modificarea momentului unghiular în jurul axei.
(4.33)
Înlocuind (4.10) în egalitatea (4.33), putem scrie ecuația diferențială a corp solid(roți, osii, arbori, rotoare etc.) în trei forme.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Astfel, este recomandabil să folosiți teorema privind modificarea momentului cinetic pentru a studia mișcarea unui corp rigid, care este foarte comună în tehnologie, rotația acestuia în jurul axă fixă.
Legea conservării momentului unghiular al sistemului
1. Fie în expresia (4.32) .
Apoi din ecuația (4.32) rezultă că , i.e. dacă suma momentelor tuturor forţelor externe aplicate sistemului este relativă la acest centru este egal cu zero, atunci momentul unghiular al sistemului relativ la acest centru va fi numeric și în direcție va fi constant.
2. Dacă , atunci . Astfel, dacă suma momentelor forțelor exterioare care acționează asupra sistemului față de o anumită axă este egală cu zero, atunci momentul cinetic al sistemului față de această axă va fi o valoare constantă.
Aceste rezultate exprimă legea conservării momentului unghiular.
În cazul unui corp rigid rotativ, din egalitatea (4.34) rezultă că dacă , atunci . De aici ajungem la următoarele concluzii:
Dacă sistemul este imuabil (corp absolut rigid), atunci, în consecință, și și corpul rigid se rotește în jurul unei axe fixe cu o viteză unghiulară constantă.
Dacă sistemul este modificabil, atunci . Cu o creștere (atunci elementele individuale ale sistemului se îndepărtează de axa de rotație), viteza unghiulară scade, deoarece , și crește odată cu descreșterea, astfel, în cazul unui sistem variabil, cu ajutorul forțelor interne, este posibilă modificarea vitezei unghiulare.
A doua sarcină D2 munca de control este dedicat teoremei privind modificarea momentului cinetic al sistemului în jurul axei.
Sarcina D2
O platformă orizontală omogenă (rotunda cu raza R sau dreptunghiulară cu laturile R și 2R, unde R = 1,2 m) cu masa kg se rotește cu o viteză unghiulară în jurul axei verticale z, care este distanțată de centrul de masă C al platformei la o distanță OC = b (Fig. D2.0 – D2.9, tabel D2); dimensiunile pentru toate platformele dreptunghiulare sunt prezentate în fig. D2.0a (vedere de sus).
În momentul de față, o sarcină D cu o masă de kg începe să se deplaseze de-a lungul jgheabului platformei (sub acțiunea forțelor interne) conform legii , unde s este exprimat în metri, t este în secunde. În același timp, o pereche de forțe cu un moment M (dat în newtonometre) încep să acționeze pe platforme; la M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Determinați, neglijând masa arborelui, dependența i.e. viteza unghiulară a platformei în funcție de timp.
În toate figurile, sarcina D este afișată într-o poziție în care s > 0 (când s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Directii. Sarcina D2 - privind aplicarea teoremei asupra modificării momentului unghiular al sistemului. Când se aplică teorema unui sistem format dintr-o platformă și o sarcină, momentul unghiular al sistemului în jurul axei z este definit ca suma momentelor platformei și a sarcinii. În acest caz, trebuie luat în considerare faptul că viteza absolută a sarcinii este suma vitezelor relative și portabile, adică. . Prin urmare, cantitatea de mișcare a acestei încărcături 
. Apoi putem folosi teorema Varignon (statică), conform căreia ; aceste momente se calculează în același mod ca și momentele forțelor. Cursul soluției este explicat mai detaliat în exemplul D2.
Când rezolvați problema, este util să reprezentați pe desenul auxiliar o vedere a platformei de sus (de la capătul z), așa cum se face în Fig. D2.0,a - D2.9,a.
Momentul de inerție al unei plăci cu masa m în jurul axei Cz, perpendicular pe placă și care trece prin centrul ei de masă, este egal cu: pentru o placă dreptunghiulară cu laturile și
;
Pentru o inserție rotundă cu raza R
| Numărul condiției | b | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0,4 0,6 0,8 10t 0,4 -0,5t -0,6t 0,8t 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Exemplul D2. O platformă orizontală omogenă (dreptunghiulară cu laturile 2l și l), având o masă, este fixată rigid de un arbore vertical și se rotește odată cu aceasta în jurul unei axe z cu viteza unghiulara (Fig. E2a ). În momentul de față, un cuplu M începe să acționeze asupra arborelui, îndreptat opus ; în același timp încărcătură D masa situata in jgheab AB la punct DIN, incepe sa se deplaseze de-a lungul jgheabului (sub actiunea fortelor interne) conform legii s = CD = F(t).
Dat: m 1 \u003d 16 kg, t 2= 10 kg, l\u003d 0,5 m, \u003d 2, s \u003d 0,4t 2 (s - în metri, t - în secunde), M= kt, Unde k=6 Nm/s. Determinaţi: - legea modificării vitezei unghiulare a platformei.
Soluţie. Luați în considerare un sistem mecanic format dintr-o platformă și o sarcină D. Pentru a determina w, aplicăm teorema privind modificarea momentului unghiular al sistemului în jurul axei z:
(1)
Să descriem forțele externe care acționează asupra sistemului: forțele de gravitație ale reacției și cuplul M. Deoarece forțele și sunt paralele cu axa z, iar reacțiile intersectează această axă, momentele lor în jurul axei z sunt egale cu zero. Apoi, luând în considerare direcția pozitivă pentru moment (adică, în sens invers acelor de ceasornic), obținem 
iar ecuația (1) va lua această formă.
Luați în considerare un sistem format din puncte materiale. Să compunem ecuații diferențiale de mișcare (13) pentru acest sistem și să le adăugăm termen cu termen. Apoi primim
Ultima sumă după proprietatea forțelor interne este egală cu zero. In afara de asta,
In sfarsit gasim
Ecuația (20) exprimă teorema privind modificarea impulsului sistemului în formă diferențială: derivata în timp a impulsului sistemului este egală cu suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului. În proiecţii pe axele de coordonate voi:
Să găsim o altă expresie a teoremei. Fie în momentul de timp impulsul sistemului este egal cu și în momentul devine egal cu . Apoi, înmulțind ambele părți ale egalității (20) cu și integrând, obținem
întrucât integralele din dreapta dau impulsurile forţelor externe.
Ecuația (21) exprimă teorema privind modificarea impulsului sistemului în formă integrală: modificarea impulsului sistemului într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma impulsurilor care acționează asupra sistemului de forțe externe peste aceeași perioadă de timp.
În proiecțiile pe axele de coordonate va fi:
Să subliniem legătura dintre teorema demonstrată și teorema asupra mișcării centrului de masă. Din moment ce , atunci, înlocuind această valoare în egalitatea (20) și ținând cont că obținem , adică ecuația (16).
Prin urmare, teorema privind mișcarea centrului de masă și teorema privind modificarea impulsului sistemului sunt, în esență, două forme diferite aceeași teoremă. În cazurile în care se studiază mișcarea unui corp rigid (sau a unui sistem de corpuri), oricare dintre aceste forme poate fi utilizată în mod egal, iar ecuația (16) este de obicei mai convenabil de utilizat. Pentru un mediu continuu (lichid, gaz), atunci când rezolvă probleme, se utilizează de obicei teorema privind modificarea impulsului sistemului. Această teoremă are aplicații importante și în teoria impactului (vezi cap. XXXI) și în studiul propulsie cu reacție(vezi § 114).
Lăsați punctul material să se miște sub acțiunea forței F. Este necesar să se determine mișcarea acestui punct în raport cu sistemul în mișcare Oxyz(cm. mișcare complexă punct material), care se deplasează într-un mod cunoscut în raport cu un sistem fix O 1 X 1 y 1 z 1 .
Ecuația de bază a dinamicii într-un sistem staționar
Scriem accelerația absolută a unui punct conform teoremei Coriolis
Unde A abs– accelerație absolută;
A rel– accelerație relativă;
A bandă– accelerație portabilă;
A miez este accelerația Coriolis.
Să rescriem (25) ținând cont de (26)
Să introducem notația 
- forța de inerție portabilă, 
este forța de inerție Coriolis. Atunci ecuația (27) ia forma
Ecuația de bază a dinamicii de studiat mișcare relativă(28) se scrie la fel ca pentru mișcarea absolută, la forțele care acționează asupra punctului trebuie adăugate doar forțele de translație și Coriolis de inerție.
Teoreme generale ale dinamicii punctelor materiale
Când rezolvați multe probleme, puteți utiliza spații prefabricate obținute pe baza celei de-a doua legi a lui Newton. Astfel de metode de rezolvare a problemelor sunt combinate în această secțiune.
Teorema privind modificarea impulsului unui punct material
Să introducem următoarele caracteristici dinamice:
1. Cantitatea de mișcare a unui punct material este o mărime vectorială egală cu produsul dintre masa unui punct și vectorul vitezei acestuia
.
(29)
2. Impulsul de forta
Impulsul de forță elementară- o mărime vectorială egală cu produsul vectorului forță cu un interval de timp elementar
(30).
Apoi impuls deplin
.
(31)
La F=const obținem S=ft.
Impulsul total pe o perioadă finită de timp poate fi calculat doar în două cazuri, când forța care acționează asupra punctului este constantă sau depinde de timp. În alte cazuri, este necesar să se exprime forța în funcție de timp.
Egalitatea dimensiunilor impulsului (29) și impulsului (30) face posibilă stabilirea unei relații cantitative între ele.
Luați în considerare mișcarea unui punct material M sub acțiune forță arbitrară F pe o cale arbitrară.
DESPRE 
UD: 
.
(32)
Separăm variabilele în (32) și integrăm
.
(33)
Ca urmare, ținând cont de (31), obținem
.
(34)
Ecuația (34) exprimă următoarea teoremă.
Teorema: Modificarea impulsului unui punct material într-o anumită perioadă de timp este egală cu impulsul forței care acționează asupra punctului în același interval de timp.
La rezolvarea problemelor, ecuația (34) trebuie proiectată pe axele de coordonate
Este convenabil să folosiți această teoremă atunci când printre mărimile date și necunoscute există masa punctuală, viteza inițială și finală, forțele și timpul de mișcare.
Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui punct material
M 
momentul impulsului unui punct material relativ la centru este egal cu produsul dintre modulul de impuls al punctului și al brațului, i.e. cea mai scurtă distanță (perpendiculară) de la centru la o linie care coincide cu vectorul viteză
,
(36)
.
(37)
Relația dintre momentul forței (cauză) și momentul impulsului (efectul) se stabilește prin următoarea teoremă.
Fie punctul M de masă dată m deplasându-se sub influența forței F.
,
,
,
(38)
.
(39)
Să calculăm derivata lui (39)
.
(40)
Combinând (40) și (38), obținem în final
.
(41)
Ecuația (41) exprimă următoarea teoremă.
Teorema: Derivata în timp a vectorului moment unghiular al unui punct material relativ la un centru este egală cu momentul forței care acționează asupra punctului relativ la același centru.
La rezolvarea problemelor, ecuația (41) trebuie proiectată pe axele de coordonate
În ecuațiile (42), momentele impulsului și forței sunt calculate în raport cu axele de coordonate.
Din (41) rezultă legea conservării momentului unghiular (legea lui Kepler).
Dacă momentul forței care acționează asupra unui punct material relativ la orice centru este egal cu zero, atunci momentul unghiular al punctului față de acest centru își păstrează mărimea și direcția.
Dacă 
, apoi 
.
Teorema și legea conservării sunt utilizate în problemele pe mișcare curbilinie, mai ales sub acţiunea forţelor centrale.