Ecuația caracteristică este compilată pentru circuit după comutare. Poate fi obținut în următoarele moduri:

• direct pe baza unei ecuații diferențiale de forma (2) (vezi prelegerea nr. 24), adică. prin excluderea din sistemul de ecuații care descriu starea electromagnetică a circuitului pe baza primei și a doua legi Kirchhoff a tuturor mărimilor necunoscute, cu excepția uneia, față de care se scrie ecuația (2);
• prin utilizarea expresiei pentru rezistența de intrare a circuitului pe un curent sinusoidal;
• pe baza expresiei determinantului principal.

Conform primei metode, în prelegerea anterioară, a fost obținută o ecuație diferențială pentru tensiunea pe condensator pentru un circuit serie R-L-C, pe baza căreia este scrisă ecuația caracteristică.

Trebuie remarcat faptul că, deoarece circuitul liniar este acoperit de un singur proces tranzitoriu, rădăcinile ecuație caracteristică sunt comune tuturor componentelor libere ale tensiunilor și curenților ramurilor circuitului, ai căror parametri sunt incluși în ecuația caracteristică. Prin urmare, conform primei metode de compilare a ecuației caracteristice, orice variabilă poate fi aleasă ca variabilă în raport cu care este scrisă.

Aplicarea celei de-a doua și a treia metode de compilare a ecuației caracteristice va fi luată în considerare folosind exemplul circuitului din Fig. unu.

Compilarea ecuației caracteristice conform metodei rezistenței de intrare este următoarea:

se înregistrează impedanța de intrare a circuitului pe curent alternativ;

jw este înlocuit cu operatorul p;

expresia rezultată este setată la zero.

Ecuația

se potrivește cu caracteristica.

Trebuie subliniat faptul că rezistența de intrare poate fi scrisă relativ la punctul de rupere a oricărei ramuri a circuitului. În acest caz, rețeaua activă cu două terminale este înlocuită cu una pasivă, prin analogie cu metoda generatorului echivalent. Aceasta metodaîntocmirea ecuaţiei caracteristice presupune absenţa ramurilor cuplate magnetic în circuit; dacă există, este necesar să se efectueze dezlegarea lor prealabilă.

Pentru circuitul din fig. 1 în ceea ce privește terminalele sursă

.

Înlocuind jw cu p și echivalând expresia rezultată cu zero, scriem

.

(1)

La compilarea unei ecuații caracteristice pe baza expresiei determinantului principal, numărul de ecuații algebrice pe baza cărora este scrisă este egal cu numărul de componente de curent liber necunoscute. Algebrizarea sistemului original de integrare ecuatii diferentiale, compilat, de exemplu, pe baza legilor lui Kirchhoff sau prin metoda curenților de buclă, se realizează prin înlocuirea simbolurilor de diferențiere și, respectiv, de integrare cu înmulțirea și împărțirea de către operatorul p. Ecuația caracteristică se obține prin echivalarea determinantului scris cu zero. Deoarece expresia pentru determinantul principal nu depinde de părțile corecte ale sistemului de ecuații neomogene, ea poate fi compilată pe baza unui sistem de ecuații scris pentru curenții totali.

Pentru circuitul din fig. 1, sistemul algebrizat de ecuații bazat pe metoda curenților de buclă are forma

De aici și expresia pentru principalul determinant al acestui sistem

Echivalând D cu zero, obținem un rezultat similar cu (1).

Metodologie generală de calcul a tranzitorilor prin metoda clasică

În cazul general, metoda de calcul al proceselor tranzitorii prin metoda clasică include următorii pași:

Exemple de calcul al proceselor tranzitorii prin metoda clasică

1. Procesele de tranziție în Lanțuri R-L atunci când este conectat la o sursă de tensiune

Astfel de procese au loc, de exemplu, atunci când electromagneții, transformatoarele, motoarele electrice etc. sunt conectate la o sursă de energie.

Luați în considerare două cazuri:

Conform metodei considerate pentru curentul din circuit din fig. 2 poate fi scris

Ecuație caracteristică

de unde şi constantă de timp .

În acest fel,

.

(5)

Înlocuind (4) și (5) în relația (3), scriem

.

În conformitate cu prima lege de comutare. Apoi

,

Astfel, curentul din circuit în procesul tranzitoriu este descris de ecuație

,

iar tensiunea pe inductor - prin expresie

.

Forma calitativă a curbelor și corespunzătoare soluțiilor obținute este prezentată în Fig. 3.

Cu al doilea tip de sursă, componenta forțată este calculată folosind metoda simbolică:

,

Expresia pentru componenta liberă nu depinde de tipul sursei de tensiune. Prin urmare,

.

De atunci

Astfel, ajungem în sfârșit

.

(6)

Analiza expresiei rezultate (6) arată:

Dacă este semnificativă ca magnitudine, atunci componenta liberă nu scade semnificativ în jumătate de perioadă. În acest caz, valoarea maximă a curentului tranzitoriu poate depăși semnificativ amplitudinea curentului în stare staționară. După cum se poate observa din fig. 4, unde

, curentul maxim apare aproximativ după . În limita la .

Astfel, pentru un circuit liniar, valoarea maximă a curentului tranzitoriu nu poate depăși de două ori amplitudinea curentului forțat: .

În mod similar pentru un circuit liniar cu un condensator: dacă în momentul comutării tensiunea forțată este egală cu valoarea sa de amplitudine și constanta de timp a circuitului este suficient de mare, atunci după aproximativ jumătate din perioadă tensiunea de pe condensator atinge valoarea maximă. , care nu poate depăși de două ori amplitudinea tensiunii forțate: .

2. Tranzitorii atunci când inductorul este deconectat de la sursa de alimentare

Când cheia este deschisă în circuitul din fig. 5 este componenta forțată a curentului prin inductor.

Ecuație caracteristică

,

Unde și .

Conform primei legi de comutare

.

Astfel, expresia curentului în modul tranzitoriu

și tensiunea pe inductor

.

(7)

Analiza (7) arată că la deschiderea circuitelor care conțin elemente inductive pot apărea supratensiuni mari, care, fără a lua măsuri speciale, pot deteriora echipamentul. Într-adevăr, la modulul de tensiune de pe inductor în momentul comutării va fi de multe ori mai mare decât tensiunea sursei: . În absența unui rezistor de stingere R, tensiunea specificată este aplicată contactelor de deschidere ale cheii, în urma căreia apare un arc între ele.

3. Încărcarea și descărcarea condensatorului

Când cheia este rotită în poziția 1 (vezi Fig. 6), procesul de încărcare a condensatorului începe:

.

Componenta forțată a tensiunii pe condensator.

Din ecuația caracteristică

rădăcina este determinată . De aici constanta de timp.

Ecuația caracteristică este compilată pentru circuit după comutare. Poate fi obținut în următoarele moduri:

Direct pe baza unei ecuații diferențiale de forma (1.2), i.e. prin excluderea din sistemul de ecuații care descriu starea electromagnetică a circuitului pe baza legilor lui Kirchhoff, a tuturor mărimilor necunoscute, cu excepția uneia, în raport cu care se scrie ecuația;

Prin utilizarea expresiei pentru rezistența de intrare a circuitului pe un curent sinusoidal;

Pe baza expresiei determinantului principal.

Conform primei metode din 1.4.1, a fost obținută o ecuație diferențială în raport cu tensiunea u C pe un condensator pentru serie r-L-C-lanturi (vezi fig. 1.6):

pe baza cărora se scrie ecuaţia caracteristică

.

Trebuie remarcat faptul că, deoarece circuitul liniar este acoperit de un singur proces tranzitoriu, rădăcinile ecuației caracteristice sunt comune tuturor componentelor libere ale tensiunilor și curenților ramurilor circuitului, ai căror parametri sunt incluși în ecuația caracteristică. . Prin urmare, conform primei metode de compilare a ecuației caracteristice, orice valoare poate fi aleasă ca mărime în raport cu care este scrisă.

Compilarea ecuației caracteristice conform metodei rezistenței de intrare este următoarea:

1. Se scrie o expresie pentru rezistența de intrare a circuitului la curent alternativ în formă complexă ;

2. În expresia rezultată jω este înlocuit de operator R;

3. Expresia rezultată este setată la zero.

Ecuația coincide cu cea caracteristică.

Trebuie subliniat faptul că rezistența de intrare poate fi scrisă relativ la punctul de rupere a oricărei ramuri a circuitului. În acest caz, sursele de energie sunt excluse din circuit, iar rezistențele lor interne rămân la locul lor.

Această metodă de compilare a ecuației caracteristice presupune absența ramurilor cuplate magnetic în circuitul electric. Dacă există, este necesar să se efectueze o decuplare magnetică.

Pentru circuitul luat în considerare (vezi Fig. 1.6), conform metodei rezistenței de intrare, avem:

;

;

.

La compilarea unei ecuații caracteristice pe baza expresiei determinantului principal, numărul de ecuații algebrice pe baza cărora este scrisă este egal cu numărul de componente de curent liber necunoscute.

Algebrizarea sistemului original de ecuații integro-diferențiale, compilat, de exemplu, pe baza legilor lui Kirchhoff sau prin metoda curenților de buclă, se realizează prin înlocuirea operațiilor de diferențiere și, respectiv, de integrare, prin înmulțirea și împărțirea la operator R. Ecuația caracteristică se obține prin echivalarea determinantului scris cu zero.

Deoarece expresia pentru determinantul principal nu depinde de părțile corecte ale sistemului de ecuații neomogene, ea poate fi compilată pe baza unui sistem de ecuații scris pentru curenții totali.

Pentru schema luată în considerare (vezi Fig. 1.6) pentru modul liber avem:

.

Înlocuind derivata și integrala în ecuație, așa cum sa menționat mai sus, obținem ecuație algebrică

sau .

Unde ajungem

sau .

) DAR = ||aik||n 1 prin scăderea valorii λ din elementele diagonale. Acest determinant este un polinom în X - polinomul caracteristic. În forma deschisă X. la. este scris asa:

Unde S1 = un 11 + un 22 +... Ann- așa-zisul. matrice de urme, S2- suma tuturor minorilor principali de ordinul 2, adică minorii de forma i k), etc., și S n- determinant matriceal DAR. Rădăcini H. u. A1, A2,..., A n sunt numite valori proprii ale matricei DAR. Pentru o matrice simetrică reală, precum și pentru o matrice hermitiană, toate λ k sunt reale, o matrice asimetrică reală are toate λ k pur numere imaginare; în cazul unei matrice ortogonale reale, precum și a unei matrice unitare, toate |λ k| = 1.

H. u. găsit într-o mare varietate de domenii ale matematicii, mecanicii, fizicii, tehnologiei. În astronomie, atunci când se determină perturbațiile seculare ale planetelor, ele ajung și la X. la .; de unde și al doilea nume pentru H. u. - ecuația seculară.

2) X. y. ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți

un 0λ y (n) + un 1 y (n-1) +... + a n-1 y" + orice = 0

Ecuația algebrică care rezultă din ecuația diferențială dată după o schimbare de funcție lași derivatele sale prin puterile corespunzătoare ale lui λ, adică ecuația

un 0λ n + a 1λ n-1 + ... + un n-1 y" + orice = 0.

La această ecuație se ajunge la găsirea unei anumite soluții a formei la = se λ X pentru o ecuație diferențială dată. Pentru un sistem de ecuații diferențiale liniare

H. u. scris folosind determinantul

H. u. matrici A =

Mare enciclopedia sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

Vedeți ce este „Ecuația caracteristică” în alte dicționare:

În multe cazuri procese fizice, care apar în sisteme, sunt descrise printr-un sistem de ecuații diferențiale liniare obișnuite cu coeficienți constanți, care într-un caz destul de general poate fi redus la o ecuație diferențială... Enciclopedia tehnologiei

Ecuația algebrică de forma Determinant din această formulă se obține din determinantul matricei prin scăderea x din elementele diagonale; este un polinom în x și se numește polinom caracteristic... Dicţionar enciclopedic mare

ecuație caracteristică- - [V.A. Semenov. Dicționar engleză rusă de protecție a releului] Subiecte protecția releului EN ecuație caracteristică ... Manualul Traducătorului Tehnic

Ecuația algebrică a formei. Determinantul din această formulă se obține din determinantul matricei x a elementelor diagonale; este un polinom în x și se numește polinom caracteristic. * * * CARACTERISTICA… … Dicţionar enciclopedic

ecuație caracteristică- būdingoji lygtis statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. ecuația caracteristică; ecuația de performanță vok. characteristische Gleichung, f; Stammgleichung, f rus. ecuatie caracteristica, npranc. équation caractéristique, f … Automatikos terminų žodynas

ecuație caracteristică- būdingoji lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. ecuația caracteristică; ecuația de performanță vok. characteristische Gleichung, f rus. ecuatie caracteristica, npranc. équation caractéristique, f … Fizikos terminų žodynas

ecuație caracteristică Enciclopedia „Aviație”

ecuație caracteristică- ecuaţia caracteristică. În multe cazuri, procesele fizice care au loc în sisteme sunt descrise printr-un sistem de ecuații diferențiale liniare obișnuite cu coeficienți constanți, care într-un caz destul de general poate fi redus la... Enciclopedia „Aviație”

Ecuația veche, a se vedea art. Polinom caracteristic … Enciclopedie matematică

Un polinom caracteristic este un polinom care definește valorile proprii ale unei matrice. O altă semnificație: polinomul caracteristic al unei recurențe liniare este un polinom. Cuprins 1 Definiție ... Wikipedia

Cărți

• Inele de minciună caracteristice și ecuații integrabile neliniare, Zhiber A.V.