Să fie dat matrice pătrată Ordin n. Matricea caracteristică a matricei A numită matrice
=
cu variabila λ luând orice valori numerice.
Determinantul ׀https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_113.gif" width="153" height="75 src="> al unei matrice este un polinom n-gradul de la λ. Acest polinom se numește polinomul caracteristic al matricei DAR, ecuația =0 este ecuația sa caracteristică, iar rădăcinile sale https://pandia.ru/text/78/250/images/image008_68.gif" width="15" height="17 src="> se numesc orice diferit de zero vector X, îndeplinind condiția https://pandia.ru/text/78/250/images/image010_64.gif" width="19" height="24 src="> este un număr.
Numărul se numește propria sa valoare de transformare https://pandia.ru/text/78/250/images/image011_63.gif" width="201" height="75"> (*)
Dacă valoarea proprie este cunoscută λ , apoi toți vectorii proprii ai matricei DAR aparținând acestei valori proprii se găsesc ca soluții nenule ale acestui sistem. Pe de altă parte, acest sistem omogen cu o matrice pătrată A–λE are soluții diferite de zero X dacă şi numai dacă determinantul matricei acestui sistem este egal cu zero şi λ aparține domeniului considerat R. Dar asta înseamnă că λ este rădăcina polinomului caracteristic și aparține câmpului R. Astfel, numerele caracteristice ale matricei aparținând câmpului principal, și numai ele, sunt valori proprii. Pentru a găsi toate valorile proprii ale unei matrice DAR trebuie să găsiți toate numerele sale caracteristice și să alegeți numai pe cele care aparțin câmpului principal R, și pentru a găsi toți vectorii proprii ai matricei DAR trebuie să găsești totul diferit de zero solutii de sistem (*) pentru fiecare valoare proprie λ matrici DAR.
Exemplul 1 Găsiți valori proprii și vectori proprii ai unei matrice reale 
.
Soluţie. Polinom caracteristic al unei matrice DAR se pare ca:
https://pandia.ru/text/78/250/images/image014_58.gif" width="144" height="75 src=">=(înmulțire (2) al-lea coloană pe număr (-2)
si adauga cu (1m coloană) =https://pandia.ru/text/78/250/images/image016_45.gif" width="172" height="75">=(înmulțire (1) al-lea coloană pe număr (-1)
si adauga cu (3m coloana) = 
=(înmulțire (1) al-lea rând cu număr (2)
si adauga cu (2) al-leașir) = 
=(înmulțire (2) al-lea coloană pe număr (-2)
si adauga cu (3m coloana) = 
.
Astfel, polinomul caracteristic are rădăcini λ1=6, λ2=λ3= – 3. Toate sunt reale și, prin urmare, sunt valori proprii ale matricei DAR.
Pentru λ=6 sistemul ( А–λЕ)Х=0 are forma https://pandia.ru/text/78/250/images/image021_35.gif" width="57" height="75 src=">..gif" width="153" height="75 src = ">.
Soluția sa generală este X=https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_28.gif" width="85" height="27 src=">, oferă forma generala vectori proprii matrici DAR aparținând valorii proprii λ= – 3.
Lasa DAR- matrice pătrată reală sau complexă de ordinul al n-lea. Matrice
cu variabila A luând orice valoare numerică, este numită matricea caracteristică matrici DAR. Determinantul ei
este un polinom în variabila L de grad P. Acest polinom se numește polinom caracteristic matrici DAR.
Că polinomul caracteristic este de fapt un polinom în variabila A rezultă direct din definiția determinantului. cel mai înalt grad egal cu n dintre toți termenii determinantului A - E are un produs
Termenii rămași ai determinantului nu conțin cel puțin două elemente ale matricei DAR- DAR E cu variabila A şi deci au un grad nu mai mare decât P - 2. Prin urmare, gradul polinomului este P. Rețineți că produsul (5.9) determină nu numai gradul polinomului caracteristic, ci și doi dintre termenii acestuia cu grade mai mari.
Termenul liber al polinomului caracteristic coincide cu valoarea lui la A = 0 și este egal cu | A - DAR E= |A|, adică determinant matriceal DAR.
Deci polinomul caracteristic al matricei DAR Ordin P are forma (vezi , p. 83 și , p. 55):
Unde pk- suma minorilor principali de ordinul A>-lea al matricei DAR,în special, Pi\u003d ats + "22 + - - + ftnn - suma elementelor diagonalei principale a matricei DAR, numita urma acestei matrice si notata cu Sp A, r p- determinant |L| matrici DAR.
Rădăcinile polinomului caracteristic |A - XE numit rădăcini caracteristice sau numere caracteristice matrici DAR. multiplicitate la g rădăcina caracteristică A* în polinomul caracteristic se numește multiplicitatea algebrică această rădăcină. Mulțimea tuturor rădăcinilor caracteristice ale unei matrice în care fiecare rădăcină caracteristică se repetă de câte ori se numește multiplicitatea ei. spectrul matricei A. Dacă toate rădăcinile caracteristice ale matricei sunt simple (adică au multiplicitate unitară), atunci spectrul matricei se numește simplu.
În conformitate cu formulele Vieta, coeficienții polinomului caracteristic sunt legați de rădăcinile caracteristice, după cum urmează:
Din aceste formule, în special, urmează relațiile frecvent utilizate
Conform ultimei egalități, polinomul caracteristic al unei matrice are zero rădăcini caracteristice dacă și numai dacă determinantul acestei matrice este egal cu zero, adică. când matricea este degenerată.
Exemplul 5.5. Calculați polinomul caracteristic al unei matrice
Soluţie. În conformitate cu definiția polinomului caracteristic, obținem:
Dacă folosim formula (5.10), atunci găsim mai întâi
si apoi scrie
Pentru metode de calcul al polinomului caracteristic, vezi anexa de la sfârșitul cărții.
Teorema 5.7.Polinoamele caracteristice ale matricelor similare coincid.
> Dacă matrice DARȘi ÎN similar, apoi pentru o matrice nedegenerată Q egalitate ÎN = Q ~ lAQ. Prin urmare,
într-un polinom arbitrar
în locul variabilei Λ, se poate înlocui matricea pătrată DAR Ordin P. Ca rezultat, obținem matricea P(A) \u003d în A p + a A p ~ 1 -
N----+ a n _ 1 A + a p E, care se numește valoarea polinomului R( L)
la L = DAR. Dacă pentru o matrice dată DAR egalitate adevărată P(A)= O (valoarea polinomului R( A) la L = DAR este matricea nulă), atunci DAR numit matricea, rădăcina polinomului Р( A), și polinomul P(A) însuși - polinom anihilat de matricea A.
Teorema 5.8. Fiecare matrice pătrată este o rădăcină a unui polinom diferit de zero.
> Mulțimea tuturor matricelor pătrate de ordine P cu elemente din teren R există un spațiu liniar deasupra R dimensiuni n 2 .În aia spațiu liniar orice sistem cu cel puțin p 2+1 elemente, este dependentă liniar. Prin urmare, sistemul A p , A p -1 , ..., DAR, E din n 2 + 1 matrice este dependentă liniar, adică există un astfel de set de numere ao, de la, ..., a p 2 , care nu dispar în același timp, ceea ce satisface egalitatea
Această egalitate înseamnă că matricea DAR este rădăcina polinomului
Teorema demonstrată rezultă de fapt din următoarea afirmație.
Teorema 5.9 (teorema lui Hamilton - Cayley).
Orice matrice pătrată este rădăcina polinomului său caracteristic.
Înainte de a demonstra această teoremă, introducem noțiunea Matrice X- o matrice ale cărei elemente sunt polinoame în variabila A. Orice matrice A poate fi reprezentată ca polinom în variabila A, ai căror coeficienți sunt matrici pătrate de ordinul corespunzător. De exemplu,
> Lasă DAR este o matrice pătrată de ordinul n. Luați în considerare matricea asociată DIN la matrice A - E. Elementele sale sunt complemente algebrice ale elementelor determinantului | DAR - E|, care sunt polinoame în A de grad nu mai mare decât P- 1. După cum sa menționat mai sus, matricea DIN poate fi reprezentat ca
unde Ci, С2, ..., C p - unele matrici numerice. Conform proprietății principale a matricei asociate (vezi Secțiunea 3.C, Corolarul 3.2), avem:
În această egalitate, înlocuim matricea C cu suma (5.11), iar polinomul caracteristic cu suma (5.10). Atunci obținem egalitatea
Deschizând parantezele în ambele părți ale egalității și echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui A, obținem un sistem din P+ 1 egalitate: 
Înmulțim prima egalitate a sistemului cu A p, al doilea - pe L p_1 etc., n-e egalitate - pe A, (pag+ 1)-a egalitate - activată A° = E:
Când adunăm aceste egalități în partea stângă, obținem o matrice zero, iar în partea dreaptă, expresia
De aceea fa) = 0. ?
5.6. Polinom caracteristic și minim
Polinomul 92(A) de grad minim având un coeficient de conducere egal cu unu și anihilat de matrice DAR, numit polinom minim această matrice.
Teorema 5 . 10 . Orice polinom anihilat de o matrice A este complet divizibil cu polinomul minim al acestei matrice. În special, polinomul caracteristic al unei matrice este divizibil cu polinomul său minim.
Despre Împărțirea polinomului R( K) la polinomul minim 9?(L) cu rest: R( A) = 99(A) g(A) + r(A), unde polinomul r(A) are un grad mai mic decât 92(A). Înlocuirea variabilei A cu matricea DAR, primim:
pentru că P(A)= p(A) = 0 , apoi și G (DAR) = 0 . Dar această egalitate este posibilă numai dacă polinomul g(A) nul. În caz contrar, apare o contradicție cu definiția unui polinom minim. Egalitate G = 0 înseamnă că polinomul R( A) este complet divizibil cu 92(A). ?
Consecinţă 5 .1 . Orice rădăcină a polinomului minim al unei matrice este rădăcina polinomului său caracteristic.
О După cum se stabilește în demonstrația teoremei, polinomul caracteristic /(A) este legat de polinomul minim 92(A) prin egalitatea /(A) = 99(A) q(). Din această egalitate rezultă afirmarea corolarului. ?
Să notăm câteva fapte mai utile (vezi [ 7 ], din. 100 ).
Polinom caracteristic | DAR - XE matricele A și polinomul său minim 92(A) sunt legate prin relație
Unde Dn- 1 este cel mai mare divizor comun al tuturor minorilor matricei DAR - DAR E, având (n - 1 )-a ordine.
Rădăcinile polinomului minim 92(A) sunt toate rădăcini diferite ale polinomului caracteristic | DAR- DAR E si daca
unde 1^ p la ^ t k: k = 1,2
Formula (5.12) permite găsirea polinomului minim al unei matrice. Un alt mod de a construi polinomul minim al unei matrice este discutat mai jos (a se vedea secțiunea 6.5).
Exemplul 5.6. Aflați polinomul minim al unei matrice
Soluţie. În exemplele anterioare pentru matrice DAR polinom caracteristic găsit A - E\u003d - A 3 + 2 L 2 + L - 2. Cel mai mare divizor comun D2 a tuturor minorilor de ordinul doi ai matricei
este egal cu unu, din moment ce minorii săi
reciproc simple. De aceea
Exemplul 5.7. Găsiți polinoame caracteristice și minime ale matricelor
Rezolvare.Pentru matrice DAR prin calculul direct al determinantului găsim polinomul caracteristic
Scriem toate minorii de ordinul doi al matricei DAR - DAR E:
Cel mai mare divizor comun D2 dintre toate aceste minore este A - 4. Prin urmare, polinomul minim al matricei DAR se pare ca:
observa asta D2 poate fi găsit altfel. Într-adevăr, dacă matricea A - Eînlocuiți L = 4, atunci obținem matricea
rang G - 1. Prin urmare, toți minorii de ordinul doi din această matrice sunt egali cu zero. Aceasta înseamnă că toți minorii de ordinul doi ai matricei DAR - L E sunt divizibile cu A - 4, iar toți acești minori nu pot fi împărțiți la un grad mare al binomul A - 4, deoarece, de exemplu, minorul
este divizibil numai cu prima putere a acestui binom. În consecință, în? > 2 include factorul A -4 până la gradul I. Alți multiplicatori din | DAR - A? ^ 1 în?> 2 nu intră, deoarece, de exemplu, minorul de ordinul doi tocmai scris nu este divizibil cu ele. Prin urmare, Dg \u003d A - 4.
Pentru matrice DAR2 tot prin calculul direct al determinantului găsim polinomul caracteristic
minori de ordinul doi
reciproc simple. De aceea D2 = 1 și
Exemplul luat în considerare arată că matrice diferite pot avea aceeași caracteristică, dar polinoame minime diferite.
Având în vedere că matricele unui operator liniar dat în baze diferite sunt similare și au același polinom caracteristic, este logic să numim acest polinom polinom caracteristic al unui operator liniar,și rădăcinile sale rădăcinile caracteristice ale operatorului liniar.
Rețineți, de asemenea, că matricea transpusă A T are aceeași matrice DAR polinoame caracteristice și numere caracteristice.
Luați în considerare o matrice pătrată
După cum sa arătat (6.1.), toate matricele sunt similare cu matricea DAR, adică toate matricele formei A*= T -1 LA, Unde T– orice matrice nesingulară (pătrat), au același determinant | A|=| A*|.
Astfel de matrici mai au o caracteristică comună tuturor.
Alături de matrice DAR luați în considerare matricea
,
care este format din DARînlocuirea elementelor diagonale A ij elemente 
, Unde 
– număr arbitrar. Determinantul acestei matrice
este un polinom de grad n relativ 
(coeficientul la 
este egal cu (-1)n). Polinom 
se numește polinomul caracteristic al matricei DAR.
Să arătăm că toate matricele similare au același polinom caracteristic, adică ce vrei sa spui unde A*=T -1 LA.
Pentru a face acest lucru, folosim identitatea E*= T -1
ET. Apoi, înlocuind în matrice 
matrici DAR*Și E respectiv pe T -1
LAȘi T -1
ET, primim:
Astfel, toate matricele similare au același polinom caracteristic 
.
Ecuație algebrică n gradul 
se numește ecuația caracteristică a matricei DAR, iar rădăcinile sale sunt numere caracteristice.
Ecuația caracteristică are forma
Unde 
- urmă k-matricea de ordinul al-lea DAR.
Ca urmare a k-a comanda 
numită suma posibilelor 
minori majori k-a comanda:
Ecuația caracteristică are n nu neapărat rădăcini diferite 
. Fiecare rădăcină caracteristică corespunde unui vector propriu până la un factor constant.
Suma rădăcinilor caracteristice este egală cu urma matricei DAR:
iar produsul rădăcinilor caracteristice este egal cu determinantul matricei DAR:
Numărul de rădăcini diferite de zero coincide cu rangul matricei operatorului liniar.
Una dintre metodele de găsire a coeficienților 
ecuația caracteristică este metoda Faddeev. Fie operatorul liniar 
dat de matrice DAR. Apoi coeficienții 
se calculează după următoarea schemă:
Exemplu. Găsiți valorile proprii ale unui operator liniar 
, dat de matrice
.
Soluţie. Ecuația caracteristică are forma
Ca rezultat, obținem următoarea ecuație caracteristică:
sau de unde sunt valorile proprii ale operatorului liniar 
.
Teorema Hamilton-Cayley. Fiecare matrice pătrată este rădăcina polinomului său caracteristic.
Dovada. Luați în considerare polinomul
Elemente de matrice ÎN sunt polinoame din 
nici un grad superior n-1
). Prin urmare, matricea ÎN poate fi prezentat sub următoarea formă:
Echivalarea coeficienților la aceleași puteri 
în ambele părți ale egalității (6.2.4), obținem
Înmulțim egalitățile (6.2.5), respectiv, cu 
si rezuma rezultatele:
de unde rezultă că 
. Teorema a fost demonstrată.
Exemplu. Operator liniar 
dat de matrice
.
A găsi 
si arata ca 
.
Soluţie. Să facem o matrice
Polinom 
are forma
.
6.3. Vectorul propriu și valoarea proprie a unui operator liniar
Lasă în spațiu 
operator liniar dat 
.
Definiție. Vector diferit de zero 
, satisfacand relatia 
, se numește vector propriu și numărul corespunzător 
– valoarea proprie a operatorului 
.
Din această definiție rezultă că imaginea vectorului propriu 
este un vector coliniar 
.
Notăm câteva proprietăți ale vectorilor proprii ai operatorului 
.
1. Fiecărui vector propriu îi corespunde o singură valoare proprie. Să presupunem contrariul: fie vectorul propriu 
operator 
corespund la două valori proprii 
. Înseamnă că
,
.
Dar de aici rezultă că
Întrucât după condiție 
este un vector diferit de zero, atunci 
.
2. Dacă 
Și 
sunt vectorii proprii ai operatorului 
cu aceeași valoare proprie 
, apoi suma lor 
este, de asemenea, un vector propriu al operatorului 
cu numar propriu 
. Într-adevăr, din moment ce 
Și 
, apoi
3. Dacă 
este vectorul propriu al operatorului 
cu numar propriu 
, apoi orice vector 
, coliniar cu vectorul 
, este, de asemenea, un vector propriu al operatorului 
cu aceeași valoare proprie 
.
Într-adevăr,
Astfel, fiecare valoare proprie 
corespunde unui set nenumărat de vectori proprii coliniari. Din proprietățile 2 și 3 rezultă că mulțimea de vectori proprii ai operatorului 
corespunzătoare aceleiași valori proprii formează un spațiu care este un subspațiu al spațiului 
.
Să demonstrăm teorema privind existența unui vector propriu.
Teorema.În spațiu liniar complex 
fiecare operator de linie 
are cel puțin un vector propriu.
Dovada. Lasa 
este un operator liniar definit în spațiu 
, dar 
este un vector propriu al acestui operator cu o valoare proprie 
, adică 
. Alegem o bază arbitrară 
și notează coordonatele vectorului 
în această bază prin 
. Atunci dacă 
este matricea operatorului 
în bază 
, apoi, scriind relația sub formă de matrice, obținem
|
Unde |
.În formă de coordonate, ecuația matriceală (6.3.1) are forma
|
|
Pentru a găsi vectorul propriu, este necesar să găsim soluții nenule ale sistemului (6.3.2), care există dacă și numai dacă determinantul sistemului este egal cu zero, i.e. când 
. Aceasta implică faptul că valoarea proprie a operatorului liniar 
este numărul său caracteristic, care există întotdeauna. Înlocuind acest număr în sistemul (6.3.2), el va găsi o soluție diferită de zero a acestui sistem, care determină vectorul propriu dorit. Teorema a fost demonstrată.
Din această teoremă rezultă că găsirea valorii proprii a unui operator liniar 
și vectorul propriu corespunzător 
se reduce la rezolvarea ecuaţiei caracteristice 
. Lasa 
sunt rădăcini diferite ale ecuației caracteristice. Înlocuirea unei rădăcini 
în sistemul (6.3.2), găsim toate soluțiile sale liniar independente, care determină vectorii proprii corespunzători valorii proprii. 
. Dacă rangul matricei 
egală rȘi r<
n, atunci există k=
n-
r vectori proprii liniar independenți corespunzători rădăcinii.
Exemplu. Găsiți vectori proprii ai unui operator liniar 
, dat de matrice
.
Soluţie. Compunem ecuația caracteristică
,
sau 
Unde 
.
Înlocuim rădăcinile 
în sistem (6.3.1). Să găsim vectorii proprii ai operatorului 
.
La 
avem
.
obține sistem omogen trei ecuații liniare, dintre care doar una (oricare) este liniar independentă. Soluția generală a sistemului are forma 
. Să găsim două soluții liniar independente:
Apoi vectorii proprii corespunzători valorilor proprii 
, au forma
,
Unde din este un număr real arbitrar, altul decât zero.
La 
avem
.
Soluția generală a acestui sistem are forma
Eigenvector corespunzător valorii proprii 
, este egal cu
.
Teorema. Lasă valorile proprii 
operator 
sunt diferite pe perechi. Apoi vectorii proprii corespunzători 
sunt liniar independente.
Dovada. Folosim metoda inducției asupra numărului de variabile. pentru că 
este un vector diferit de zero, atunci pentru p=1 afirmația teoremei este adevărată.
Fie adevărată afirmația teoremei pentru m<
p vectori 
. Să adăugăm la acești vectori vectorul 
și să presupunem că egalitatea
pentru că 
, -vectori proprii, atunci 
și, prin urmare, egalitatea (6.3.4) poate fi rescrisă după cum urmează:
Condiționat toate 
, sunt diferite, deci 
. Sistem vectorial 
este liniar independent. Prin urmare, din (6.3.6) rezultă că. Apoi din (6.3.3) și din condiția ca 
este vectorul propriu ( 
), primim 
. Înseamnă că 
este un sistem de vectori liniar independenți. Inducția făcută. Teorema a fost demonstrată.
Consecinţă: dacă toate valorile proprii 
sunt diferiți perechi, apoi vectorii proprii corespunzători 
formează baza spațiului 
.
Teorema. Dacă ca bază a spațiului 
Accept n vectori proprii liniar independenți, apoi operatorul 
în această bază corespunde matricea diagonală
.
Dovada. Luați în considerare un vector arbitrar 
și o bază compusă din vectori proprii 
acest spatiu. Atunci unde 
sunt coordonate vectoriale 
în bază 
.
Aplicarea unui vector 
operator 
, primim 
sau 
.
pentru că 
, este un vector propriu, atunci 
.
|
|
Din (6.3.7) avem
|
|
,
,
.Egalitățile (6.3.8) înseamnă că matricea operatorului liniar 
în bază 
are forma
.
Teorema a fost demonstrată.
Definiție. Operator liniar 
in spatiu R n se numește operator de structură simplă dacă are n vectori proprii liniar independenți.
În mod evident, operatorii de structură simplă, și numai ei, au matrici diagonale în anumite baze. Această bază poate fi compusă numai din vectorii proprii ai operatorului 
. Acțiunea oricărui operator al unei structuri simple se reduce întotdeauna la „întinderea” coordonatele unui vector într-o bază dată.
Continuăm studiul operatorilor liniari. Știm deja că fiecare operator A este asociat cu o matrice pătrată , care, la rândul ei, este asociată cu determinantul său . Valoarea determinantului este un scalar (număr). Prin urmare, este o funcție care atribuie un scalar operatorului A. Prin urmare, studiul proprietăților determinantului poate simplifica studiul proprietăților operatorului.
Definiție.Scalar l se numește o valoare proprie (valoare proprie) și un vector diferit de zero X este vectorul propriu al operatorului liniar A care acționează în n-dimensională spațiu vectorial L, dacă
Considerând ca vector , orice vector , , este coliniar X, va fi un vector propriu cu o valoare proprie l. Dacă valoarea proprie l corespunde la doi vectori, XȘi y, atunci orice vector diferit de zero de formă va fi, de asemenea, un vector propriu. Deoarece vectorul 0 nu este adecvat, setul M toți vectorii proprii ai operatorului A nu este un subspațiu. Dacă M complement cu un vector 0, atunci M devine un subspațiu. multiplicitate valoare proprie l se numește dimensiunea subspațiului M; valoare proprie l numit simplu dacă multiplicitatea sa este 1.
Exercitiul. Găsiți toate valorile proprii și vectorii operatorilor zero - O și identici - E. Determinați multiplicitatea acestora dacă operatorul liniar acționează în n-spaţiu liniar dimensional.
Teorema VI.1. Familia de vectori proprii ai operatorului A corespunzător unei familii similare de valori proprii, , este liniar independentă.
Dovada. Să aplicăm metoda inducție matematică. Pentru , teorema este adevărată prin definiția vectorului propriu ca fiind diferit de zero.
Fie pentru orice , de exemplu, pentru , teorema este adevărată, dar nu adevărată pentru . Atunci, dacă sistemul de vectori , , …, , este dependent liniar, adică există numere , , nu toate egale cu 0, de exemplu, , ceea ce este adevărat
Aplicând acestuia operatorul liniar A, ținând cont de (VI.5), obținem
Înmulțind (VI.6) cu și scăzând din (VI.7), obținem
Primit combinație liniară datorită ipotezei inductive, este liniar independentă, adică toți coeficienții la sunt egali cu 0, inclusiv , dar, prin ipoteză, , atunci , dar atunci , ceea ce este imposibil, conform ipotezei teoremei. ▼
Consecinţă. Operatorul liniar care acționează în n-spațiu liniar dimensional, nu poate avea mai mult de n valori proprii diferite perechi.
Din definiția vectorului propriu al unui operator liniar rezultă că imaginea și preimaginea X sunt coliniare. Aceasta înseamnă că nu orice operator liniar care acționează într-un spațiu liniar peste un câmp numere reale, are cel puțin un vector propriu. De exemplu, pentru orice rotație a axelor cu un unghi care nu este un multiplu al p, nu vom obține vectori coliniari.
Să trecem la derivarea ecuației, care este satisfăcută de toți vectorii proprii.
Lăsați operatorul liniar să acționeze în n-spațiu liniar real dimensional Lși fie , , o bază și, în final, matricea operatorului A din această bază. Un operator liniar este degenerat dacă și numai dacă matricea sa este degenerată, adică . De aici concluzionăm că multiplicitatea l coincide cu defectul operatorului liniar .
Rețineți că, dacă B este orice operator inversabil, atunci se poate demonstra că
adică dacă şi numai dacă 
, Unde . Aceasta înseamnă că toate conceptele spectrale (spectru, valori proprii, multiplicitate, dimensiune etc.) sunt invariante în cazul înlocuirii lui A cu un operator similar. Considerând că, prin definiție, un determinant este un polinom al elementelor sale, obținem
,
unde coeficienții sunt funcții ale elementelor determinantului (sau matricei) și nu depind de l. Grad maxim l este inclus într-un singur termen al determinantului, compus din produsul elementelor sale pe diagonala principală, deci . Astfel, obținem un polinom
Extinderea determinantului, avem
Care e numit polinom caracteristic operator Aîn spațiul liniar real L.
Pentru ca un număr să fie o valoare proprie a unui operator A este necesar si suficient ca sa satisfaca ecuatia , adica ar fi radacina polinomului caracteristic.
Exemplul VI.6. Coincidența polinoamelor caracteristice este un semn al egalității operatorilor?
Soluţie. Nu, nu este, deoarece polinomul caracteristic este același pentru o familie de matrici similare. Într-adevăr, operatorii liniari coincid dacă matricele lor coincid. Luați în considerare două baze și . Fie operatorul A, are o matrice în bază, iar în bază - . Atunci aceste matrici sunt similare, adică 
, Unde Q este o matrice nedegenerată. Pentru orice, având în vedere asta, avem
Definiție
Pentru această matrice , , unde E- matricea identității , este un polinom în , care se numește polinom caracteristic matrici A(uneori și „ecuație seculară” (ecuație seculară)).
Valoarea polinomului caracteristic este că valorile proprii ale matricei sunt rădăcinile acesteia. Într-adevăr, dacă ecuația are o soluție diferită de zero, atunci , atunci matricea este degenerată și determinantul său este egal cu zero.
Definiții înrudite
Proprietăți
.Legături
- V. Yu. Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina Matematică superioară. Algebră liniară . - Universitatea de Stat pentru Energie din Ivanovo.
Fundația Wikimedia. 2010 .
- Curba caracteristică de referință
- Harald al III-lea (regele Norvegiei)
Vedeți ce este „polinomul caracteristic al unei matrice” în alte dicționare:
Polinom caracteristic- În matematică, polinomul caracteristic poate însemna: polinomul caracteristic al unei matrice, polinomul caracteristic al unei secvenţe liniare recurente, polinomul caracteristic al unei matrici obişnuite. ecuație diferențială.… … Wikipedia
POLINOMIUL CARACTERISTICO- matrice peste câmpul K polinomul peste câmpul K Gradul X. m. este egal cu ordinul matricei pătrate A, coeficientul b1 este egal cu urma matricei.principale minore de ordin t, în special bn= detA… Enciclopedie matematică
Polinom minim al unei matrice- Acest termen are alte semnificații, vezi Polinom minim. Polinomul minim al unei matrice este polinomul unitar anihilator de grad minim. Proprietăți Polinomul minim împarte polinomul caracteristic al unei matrice ... ... Wikipedia
matrice lambda- Articolul principal: Funcțiile matricelor Matricea Lambda (matricea λ, matricea polinoamelor) este o matrice pătrată ale cărei elemente sunt polinoame peste un câmp numeric. Dacă există un element de matrice care este un polinom... Wikipedia
SPECTRU MATRICE- setul de valori proprii. Vezi și Polinomul caracteristic al unei matrice... Enciclopedie matematică
Numărul caracteristic al matricei- Vectorul propriu este marcat cu roșu. Acesta, spre deosebire de cel albastru, nu și-a schimbat direcția și lungimea în timpul deformării, prin urmare este un vector propriu corespunzător valorii proprii λ = 1. Orice vector paralel cu vectorul roșu ... ... Wikipedia
Matrici similare- Matricele pătrate A și B de același ordin se spune că sunt similare dacă există o matrice nesingulară P de același ordin astfel încât: Matrici similare se obțin prin specificarea aceluiași transformare liniară matrice în diferite ... ... Wikipedia
Matricea caracteristică
Ecuație caracteristică- Un polinom caracteristic este un polinom care definește valorile proprii ale unei matrice. O altă semnificație: polinomul caracteristic al unei recurențe liniare este un polinom. Cuprins 1 Definiție ... Wikipedia
teorema lui Hamilton- Teorema lui Hamilton Cayley este o teoremă celebră în teoria matricelor, numită după William Hamilton și Arthur Cayley. Teorema Hamilton Cayley Orice matrice pătrată își satisface ecuație caracteristică. Dacă... Wikipedia