Modulul numărului introduce un nou concept în matematică. Să analizăm în detaliu care este modulul unui număr și cum să lucrăm cu el?

Luați în considerare un exemplu:

Am plecat din casă pentru magazin. Au trecut 300 m, matematic această expresie poate fi scrisă ca +300, semnificația numărului 300 din semnul „+” nu se va schimba. Distanța sau modulul unui număr la matematică este aceeași și se poate scrie și astfel: |300|=300. Semnul modulului unui număr este indicat prin două linii verticale.

Și apoi în direcție inversă mers 200 m. Din punct de vedere matematic, putem scrie calea de întoarcere ca -200. Dar nu spunem „am mers pe minus două sute de metri” așa, deși ne-am întors, pentru că distanța ca cantitate rămâne pozitivă. Pentru aceasta, conceptul de modul a fost introdus în matematică. Puteți scrie distanța sau modulul de -200 după cum urmează: |-200|=200.

Proprietățile modulului.

Definiție:
Modulul unui număr sau valoarea absolută a unui număr este distanța de la punctul de plecare la destinație.

Modulul unui întreg nu este egal cu zero, întotdeauna număr pozitiv.

Modulul este scris astfel:

1. Modulul unui număr pozitiv este egal cu numărul însuși.
| a|=A

2. Modulul unui număr negativ este egal cu numărul opus.
|- a|=A

3. Modulul zero, egal cu zero.
|0|=0

4. Modulele de numere opuse sunt egale.
| a|=|-a|=A

Întrebări înrudite:
Care este modulul unui număr?
Răspuns: Modulul este distanța de la punctul de plecare la destinație.

Dacă puneți semnul „+” în fața unui număr întreg, ce se întâmplă?
Răspuns: numărul nu își va schimba sensul, de exemplu, 4=+4.

Dacă puneți semnul „-” în fața unui număr întreg, ce se întâmplă?
Răspuns: numărul se va schimba, de exemplu, în 4 și -4.

Ce numere au același modul?
Răspuns: numerele pozitive și zero vor avea același modul. De exemplu, 15=|15|.

Ce numere au modulul - numărul opus?
Răspuns: pentru numerele negative, modulul va fi egal cu numărul opus. De exemplu, |-6|=6.

Exemplul #1:
Aflați modulul numerelor: a) 0 b) 5 c) -7?

Soluţie:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Exemplul #2:
Sunt două diverse numere ai cui module sunt egali?

Soluţie:
|10|=10
|-10|=10

Modulele numerelor opuse sunt egale.

Exemplul #3:
Ce două numere opuse au modulo 9?

Soluţie:
|9|=9
|-9|=9

Răspuns: 9 și -9.

Exemplul #4:
Faceți următoarele: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Soluţie:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Exemplul #5:
Aflati: a) modulul numarului 2 b) modulul numarului 6 c) modulul numarului 8 d) modulul numarului 1 e) modulul numarului 0.
Soluţie:

a) modulul numărului 2 se notează cu |2| sau |+2| Asta e lafel.
|2|=2

b) modulul numărului 6 se notează cu |6| sau |+6| Asta e lafel.
|6|=6

c) modulul numărului 8 se notează cu |8| sau |+8| Asta e lafel.
|8|=8

d) modulul numărului 1 se notează cu |1| sau |+1| Asta e lafel.
|1|=1

e) modulul numărului 0 se notează cu |0|, |+0| sau |-0| Asta e lafel.
|0|=0

Instruire

Dacă modulul este în formular functie continua, atunci valoarea argumentului său poate fi fie pozitivă, fie negativă: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Modulul este zero, iar modulul oricărui număr pozitiv este modulul său. Dacă argumentul este negativ, atunci după deschiderea parantezelor, semnul său se schimbă de la minus la plus. Pe baza acesteia rezultă concluzia că modulele opusului sunt egale: |-x| = |x| = x.

Modul număr complex se află prin formula: |a| = √b ² + c ² și |a + b| ≤ |a| + |b|. Dacă argumentul conține un număr pozitiv ca multiplicator, atunci acesta poate fi scos din semnul parantezei, de exemplu: |4*b| = 4*|b|.

Dacă argumentul este prezentat ca număr complex, atunci pentru comoditatea calculelor, este permisă ordinea termenilor expresiei cuprinse între paranteze drepte: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 deoarece (2-3) este mai mic decât zero.

Argumentul ridicat la putere se află simultan sub semnul rădăcinii de același ordin - se rezolvă cu: √a² = |a| = ±a.

Dacă aveți o sarcină în care nu este indicată condiția de extindere a parantezelor modulului, atunci nu trebuie să scăpați de ele - aceasta va fi rezultat final. Și dacă doriți să le deschideți, atunci trebuie să specificați semnul ±. De exemplu, trebuie să găsiți valoarea expresiei √(2 * (4-b)) ². Soluția lui arată astfel: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Deoarece semnul expresiei 4-b este necunoscut, acesta trebuie lăsat între paranteze. Dacă adăugați o condiție suplimentară, de exemplu, |4-b| >

Modulul lui zero este egal cu zero, iar modulul oricărui număr pozitiv este egal cu el însuși. Dacă argumentul este negativ, atunci după deschiderea parantezelor, semnul său se schimbă de la minus la plus. Pe baza acesteia rezultă concluzia că modulele numerelor opuse sunt egale: |-x| = |x| = x.

Modulul unui număr complex se găsește prin formula: |a| = √b ² + c ² și |a + b| ≤ |a| + |b|. Dacă argumentul conține un număr întreg pozitiv ca multiplicator, atunci acesta poate fi scos din semnul parantezei, de exemplu: |4*b| = 4*|b|.

Modulul nu poate fi negativ, astfel încât orice număr negativ este convertit într-unul pozitiv: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Dacă argumentul este prezentat ca număr complex, atunci pentru comoditatea calculelor, este permisă modificarea ordinii termenilor expresiei cuprinse între paranteze drepte: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 deoarece (2-3) este mai mic decât zero.

Dacă aveți o sarcină în fața dvs. care nu specifică condiția pentru extinderea parantezelor modulului, atunci nu trebuie să scăpați de ele - acesta va fi rezultatul final. Și dacă doriți să le deschideți, atunci trebuie să specificați semnul ±. De exemplu, trebuie să găsiți valoarea expresiei √(2 * (4-b)) ². Soluția lui arată astfel: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Deoarece semnul expresiei 4-b este necunoscut, acesta trebuie lăsat între paranteze. Dacă adăugați o condiție suplimentară, de exemplu, |4-b| > 0, atunci rezultatul este 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). Elementul necunoscut poate fi de asemenea dat număr specific, de care ar trebui luată în considerare, deoarece va afecta semnul expresiei.

Termenul (modul) în traducere literală din latină înseamnă „măsură”. Acest concept a fost introdus în matematică de omul de știință englez R. Cotes. Și matematicianul german K. Weierstrass a introdus semnul modulului - simbol prin care acest concept este notat la scriere.

In contact cu

Pentru prima dată acest concept a studiat la matematică în cadrul programului de clasa a VI-a liceu. Conform unei definiții, modulul este valoarea absolută a unui număr real. Cu alte cuvinte, pentru a afla modulul unui număr real, trebuie să renunți la semnul acestuia.

Valoarea grafică absolută dar notat ca |a|.

Principala trăsătură distinctivă a acestui concept este că este întotdeauna o valoare nenegativă.

Numerele care diferă între ele doar prin semn se numesc numere opuse. Dacă valoarea este pozitivă, atunci opusul său este negativ, iar zero este propriul său opus.

valoare geometrică

Dacă luăm în considerare conceptul de modul din punct de vedere al geometriei, atunci acesta va desemna distanța, care se măsoară în segmente unitare de la origine la punct dat. Această definiție dezvăluie pe deplin sens geometric termenul studiat.

Grafic, aceasta poate fi exprimată astfel: |a| = O.A.

Proprietăți de valoare absolută

Mai jos vom lua în considerare toate proprietățile matematice ale acestui concept și modalitățile de scriere sub formă de expresii literale:

Caracteristici ale rezolvării ecuațiilor cu un modul

Dacă vorbim despre rezolvarea ecuațiilor și inegalităților matematice care conțin modul, atunci trebuie să vă amintiți că pentru a le rezolva, va trebui să deschideți acest semn.

De exemplu, dacă semnul valorii absolute conține o expresie matematică, atunci înainte de a deschide modulul, este necesar să se țină cont de definițiile matematice curente.

|A + 5| = A + 5 dacă A este mai mare sau egal cu zero.

5-A dacă A este mai mic decât zero.

În unele cazuri, semnul poate fi extins fără ambiguitate pentru orice valoare a variabilei.

Să luăm în considerare încă un exemplu. Să construim o linie de coordonate, pe care marchem toate valorile numerice, a căror valoare absolută va fi 5.

Mai întâi trebuie să desenați o linie de coordonate, să desemnați originea coordonatelor pe ea și să setați dimensiunea un singur segment. În plus, linia trebuie să aibă o direcție. Acum pe această linie dreaptă este necesar să se aplice marcaje care vor fi egale cu valoarea unui singur segment.

Astfel, putem observa că pe această linie de coordonate vor exista două puncte de interes pentru noi cu valorile 5 și -5.

a este numărul în sine. Numărul din modul:

|a| = a

Modulul unui număr complex.

Să presupunem că există număr complex, care este scris în forma algebrică z=x+i y, Unde XȘi y- numerele reale, care sunt părțile reale și imaginare ale unui număr complex z, a este unitatea imaginară.

Modulul unui număr complex z=x+i y este rădăcina pătrată aritmetică a sumei pătratelor părților reale și imaginare ale numărului complex.

Modulul unui număr complex z se notează după cum urmează, ceea ce înseamnă că definiția modulului unui număr complex poate fi scrisă după cum urmează: .

Proprietățile modulului de numere complexe.

• Domeniul de definire: întregul plan complex.
• Interval de valori: }