Cursul 6
4.6 Determinant al produsului a două matrici pătrate.
Produsul a două matrici pătrate n ordinea este întotdeauna definită. Aici următoarea teoremă este de mare importanță.
Teorema. Determinantul matricei produsului este egal cu produsul determinanților matricei factorilor:
Dovada. Lasa
Și 
,
.
Compuneți un determinant auxiliar
.
După corolarul teoremei lui Laplace, avem:
.
Asa de, 
, vom arăta asta 
. Pentru a face acest lucru, transformăm determinantul după cum urmează. primul primul P
, adaugă la 
-a coloană. Apoi primul P coloane multiplicate respectiv cu 
, adaugă la 
-a coloană etc. La ultimul pas spre 
-a coloană va fi adăugată prima P coloane multiplicate respectiv cu 
. Ca rezultat, obținem determinantul
.
Extinderea determinantului rezultat folosind teorema Laplace în termenii ultimului P coloane, găsim:
Deci am dovedit egalitățile 
Și 
, din care rezultă că 
.
4.7 Matricea inversă
Definiția 1
.
Să fie dată o matrice pătrată DAR P-a comanda. Matrice pătrată 
de aceeași ordine sunt numite verso la matrice DAR, dacă , unde E-matrice de identitate P-a comanda.
Afirmație. Dacă există o matrice inversă matricei DAR, atunci o astfel de matrice este unică.
Dovada. Să presupunem că matricea 
nu este singura matrice inversă matricei DAR. Luați o altă matrice inversă B. Apoi condițiile
Luați în considerare produsul 
. Are egalități
din care rezultă că 
. Astfel, se dovedește unicitatea matricei inverse.
La demonstrarea teoremei existenţei matrice inversă avem nevoie de notiunea de „matrice adjunta”.
Definiția 2 . Lasă matricea
.
ale căror elemente sunt complemente algebrice 
elemente 
matrici DAR, se numește atașat
matrice la matrice DAR.
Rețineți că pentru a construi matricea adjunctă DIN elemente de matrice DAR trebuie să le înlocuiți cu complemente algebrice și apoi să transpuneți matricea rezultată.
Definiția 3.
matrice pătrată DAR numit nedegenerat
, dacă 
.
Teorema.
Pentru ca matricea DAR avea o matrice inversă 
, este necesar și suficient ca matricea DAR a fost negenerat. În acest caz, matricea 
este determinat de formula
,
(1)
Unde 
- complemente algebrice ale elementelor matriceale DAR.
Dovada. Lasă matricea DAR are o matrice inversă 
. Atunci sunt îndeplinite condiţiile care presupun . Din ultima egalitate rezultă că determinanții 
Și 
. Acești determinanți sunt legați prin relație 
. matrici DARȘi 
nedegenerate, deoarece determinanții lor sunt nenuli.
Acum lăsați matricea DAR nedegenerat. Să demonstrăm că matricea DAR are o matrice inversă 
și se determină prin formula (1). Pentru aceasta, luați în considerare munca
matrici DARși matricea atașată acestuia DIN.
După regula înmulțirii matriceale, elementul 
lucrări 
matrici DARȘi DIN are forma: . Deoarece suma produselor elementelor i-a linie pe complementele algebrice ale elementelor corespondente j-
al-lea rând este zero la 
iar determinantul la 
. Prin urmare,
Unde E- matrice de identitate P-a comanda. Egalitatea 
. În acest fel, 
, ceea ce înseamnă că 
și matrice 
este inversul matricei DAR. Prin urmare, matricea nesingulară DAR are o matrice inversă, care este determinată de formula (1).
Corolarul 1
.
Determinanți matrici DARȘi 
legate de raport 
.
Consecința 2 . Proprietatea principală a matricei asociate DIN la matrice DAR exprimat
egalităților 
.
Corolarul 3 . Determinant al unei matrice nedegenerate DARși matricea atașată acestuia
DIN legat de egalitate 
.
Corolarul 3 rezultă din egalitate 
și proprietățile determinanților, conform cărora, atunci când sunt înmulțite cu P- puterea acestui număr. În acest caz
de unde rezultă că 
.
Exemplu. DAR:
.
Soluţie. Determinant de matrice
diferit de zero. Prin urmare, matricea DAR are reversul. Pentru a-l găsi, mai întâi calculăm complementele algebrice:
,
,
,
,
,
,
,
.
Acum, folosind formula (1), scriem matricea inversă
.
4.8. Transformări elementare peste matrici. Algoritmul Gauss.
Definiție
1.
Sub transformări elementare
deasupra matricei de dimensiuni 
înțelegeți următorii pași.
Înmulțirea oricărui rând (coloană) a unei matrice cu orice număr diferit de zero.
în plus față de oricare i--lea rând al matricei oricăreia dintre ele j- a linia, înmulțită cu un număr arbitrar.
în plus față de oricare i-a coloană a unei matrice a oricăreia dintre ei j- a-a coloană înmulțită cu un număr arbitrar.
Permutarea rândurilor (coloanelor) unei matrice.
Definiția 2.
matrici DARȘi ÎN vom suna echivalent
,
dacă unul dintre ele poate fi transformat în celălalt prin transformări elementare. Va scrie 
.
Echivalența matricei are următoarele proprietăți:
Definiția 3 . călcat numită matrice DAR având următoarele proprietăți:
1) dacă i- al-lea rând este zero, adică constă numai din zerouri, atunci 
--lea șir este, de asemenea, nul;
2) dacă primele elemente nenule
i-lea și 
-lele linii sunt aranjate în coloane cu numere kȘi l, apoi 
.
Exemplu. matrici
Și 
sunt trepte, iar matricea
nu este un pas.
Să arătăm cum, folosind transformări elementare, putem reduce matricea DAR la o vedere în trepte.
Algoritmul Gauss
.
Luați în considerare matricea DAR mărimea 
. Fără a pierde generalitatea, putem presupune că 
. (Dacă se află în matrice DAR există cel puțin un element diferit de zero, apoi prin interschimbarea rândurilor și apoi a coloanelor, vă puteți asigura că acest element cade la intersecția primului rând și a primei coloane.) Să adăugăm la al doilea rând al matricei. DAR mai întâi înmulțit cu 
, la a treia linie - prima, înmulțită cu 
etc.
Drept urmare, obținem
.
Articole recente 
liniile sunt definite de formulele:
,
,
.
Luați în considerare matricea
.
Dacă toate elementele matricei 
atunci sunt egale cu zero
și matricea etapelor echivalente. Dacă printre elementele matricei 
cel puțin unul este diferit de zero, atunci putem presupune fără pierderi de generalitate că 
(acest lucru se poate realiza prin rearanjarea rândurilor și coloanelor matricei 
). În acest caz, transformarea matricei 
la fel ca matricea DAR, primim
respectiv,
.
Aici 
,
,
.
și 
,
,
… ,
. În matrice DAR T rânduri și pentru a o reduce la o formă în trepte în modul indicat, nu va dura mai mult de T trepte. Procesul se poate încheia apoi k-al-lea pas dacă și numai dacă toate elementele matricei
sunt egale cu zero. În acest caz
și 
,
,
… ,
.
4.9. Aflarea matricei inverse folosind transformări elementare.
Pentru o matrice mare, este convenabil să găsiți matricea inversă folosind transformări elementare peste matrice. Această metodă este după cum urmează. Scrieți o matrice compozită 
iar conform schemei metodei Gauss, acestea se efectuează pe rândurile acestei matrice (adică simultan în matrice DAR iar în matrice E) transformări elementare. Ca rezultat, matricea DAR se transformă în matricea de identitate, iar matricea E- într-o matrice 
.
Exemplu. Găsiți matricea inversă matricei
.
Soluţie. Să scriem o matrice compozită 
și transformați-l folosind transformări elementare de șiruri în conformitate cu metoda Gauss. Ca rezultat, obținem:
.
Din aceste transformări concluzionăm că
.
4.10 Rangul matricei.
Definiție.
Întreg r numit rang
matrici DAR, daca are un minor de ordine r, diferit de zero și toți minorii de ordin mai mare r sunt egale cu zero. Rangul unei matrice va fi notat cu simbolul 
.
Rangul matricei este calculat prin metoda marginea minorilor .
Exemplu. Calculați rangul unei matrice folosind metoda minorului de franjuri
.
Soluţie.
Metoda de mai sus nu este întotdeauna convenabilă, deoarece. asociat cu calculul unui mare
numarul de determinanti.
Afirmație. Rangul unei matrice nu se modifică în cazul transformărilor elementare ale rândurilor și coloanelor sale.
Declarația menționată indică a doua modalitate de a calcula rangul unei matrice. Se numeste metoda transformărilor elementare . Pentru a găsi rangul unei matrice, este necesar să o aduceți într-o formă în trepte folosind metoda Gaussiană și apoi selectați minorul maxim diferit de zero. Să explicăm acest lucru cu un exemplu.
Exemplu. Folosind transformări elementare, calculați rangul unei matrice
.
Soluţie. Să efectuăm un lanț de transformări elementare în conformitate cu metoda Gauss. Ca rezultat, obținem un lanț de matrici echivalente.
Definiție. Produsul a două matrici DARȘi ÎN numită matrice DIN, al cărui element, situat la intersecție i-a linia și j-a coloană, este egală cu suma produselor elementelor i- al-lea rând al matricei DAR asupra elementelor corespunzătoare (în ordine). j-a coloană a matricei ÎN.
Această definiție implică formula pentru elementul matricei C:
Produs Matrix DAR la matrice ÎN notat AB.
Exemplul 1 Aflați produsul a două matrici DARȘi B, dacă
,
.
Soluţie. Este convenabil să găsiți produsul a două matrici DARȘi ÎN scrieți ca în fig. 2:
În diagramă, săgețile gri arată elementele pe care rând al matricei DAR pe elementele cărei coloană a matricei ÎN trebuie să se înmulțească pentru a obține elementele matricei DIN, și culorile elementului de matrice C elementele corespunzătoare ale matricelor sunt legate AȘi B, ale căror produse se adaugă pentru a obține un element de matrice C.
Ca rezultat, obținem elementele produsului de matrice:
Acum avem totul pentru a scrie produsul a două matrici:
.
Produsul a două matrice AB are sens numai atunci când numărul de coloane ale matricei DAR se potrivește cu numărul de rânduri ale matricei ÎN.
Această caracteristică importantă va fi mai ușor de reținut dacă utilizați mai des următoarele mementouri:
Există o altă caracteristică importantă a produsului matricelor în ceea ce privește numărul de rânduri și coloane:
În produsul matricelor AB numărul de rânduri este egal cu numărul de rânduri de matrice DAR, iar numărul de coloane este egal cu numărul de coloane ale matricei ÎN .
Exemplul 2 Aflați numărul de rânduri și coloane ale unei matrice C, care este produsul a două matrici AȘi B urmatoarele dimensiuni:
a) 2 X 10 și 10 X 5;
b) 10 X 2 şi 2 X 5;
Exemplul 3 Găsiți produsul matricelor AȘi B, dacă:
.
A B- 2. Prin urmare, dimensiunea matricei C = AB- 2 X 2.
Calculați elementele matricei C = AB.
Produsul găsit al matricelor: .
Puteți verifica soluția acestei probleme și a altor probleme similare pe calculator de produse matrice online .
Exemplul 5 Găsiți produsul matricelor AȘi B, dacă:
.
Soluţie. Numărul de rânduri din matrice A- 2, numărul de coloane din matrice B C = AB- 2 X 1.
Calculați elementele matricei C = AB.
Produsul matricelor se va scrie ca o matrice coloană: .
Puteți verifica soluția acestei probleme și a altor probleme similare pe calculator de produse matrice online .
Exemplul 6 Găsiți produsul matricelor AȘi B, dacă:
.
Soluţie. Numărul de rânduri din matrice A- 3, numărul de coloane din matrice B- 3. Prin urmare, dimensiunea matricei C = AB- 3 X 3.
Calculați elementele matricei C = AB.
Produsul găsit al matricelor: 
.
Puteți verifica soluția acestei probleme și a altor probleme similare pe calculator de produse matrice online .
Exemplul 7 Găsiți produsul matricelor AȘi B, dacă:
.
Soluţie. Numărul de rânduri din matrice A- 1, numărul de coloane din matrice B- 1. În consecință, dimensiunea matricei C = AB- 1 X 1.
Calculați elementul matricei C = AB.
Produsul matricelor este o matrice a unui element: .
Puteți verifica soluția acestei probleme și a altor probleme similare pe calculator de produse matrice online .
Implementare software produsul a două matrice în C++ este analizat în articolul corespunzător din blocul „Calculatoare și programare”.
Exponentiarea matriceiRidicarea unei matrice la o putere este definită ca înmulțirea unei matrice cu aceeași matrice. Deoarece produsul matricelor există numai atunci când numărul de coloane din prima matrice este același cu numărul de rânduri din a doua matrice, numai matricele pătrate pot fi ridicate la o putere. n a-a putere a unei matrice prin înmulțirea matricei cu ea însăși n o singura data:
Exemplul 8 Dată o matrice. A găsi A² și A³ .
Găsiți singur produsul matricelor și apoi vedeți soluția
Exemplul 9 Dată o matrice 
Aflați produsul dintre matricea dată și matricea transpusă, produsul dintre matricea transpusă și matricea dată.
Proprietățile produsului a două matriciProprietatea 1. Produsul oricărei matrice A și matricea de identitate E de ordinul corespunzător atât în dreapta cât și în stânga coincide cu matricea A, i.e. AE = EA = A.
Cu alte cuvinte, rolul matricei identitare în înmulțirea matricelor este același cu rolul unităților în înmulțirea numerelor.
Exemplul 10 Asigurați-vă că proprietatea 1 este adevărată găsind produsele matricei
la matricea de identitate din dreapta și din stânga.
Soluţie. Din moment ce matricea DAR conține trei coloane, atunci trebuie să găsiți produsul AE, Unde
-
matricea identitară de ordinul trei. Să găsim elementele lucrării DIN = AE :
Se pare că AE = DAR .
Acum să găsim de lucru EA, Unde E este matricea de identitate de ordinul doi, deoarece matricea A conține două rânduri. Să găsim elementele lucrării DIN = EA :
14. Teorema asupra determinantului produsului matricelor.
Teorema:
Dovada: Fie date matrice pătrate de ordinul n. 
Și 
. Pe baza teoremei asupra determinantului unei matrici cvasitriunghiulare ( 
) avem: 
ordinea acestei matrice este 2n. Fără a modifica determinantul, efectuăm următoarele transformări pe o matrice de ordinul 2n: se adaugă la primul rând . Ca urmare a unei astfel de transformări, primele n poziții ale primului rând vor fi toate 0, iar a doua (în al doilea bloc) va conține suma produselor primului rând al matricei A și primei coloane a matricei. B. După ce am făcut aceleași transformări cu 2 ... n rânduri, obținem următoarea egalitate: 
Pentru a aduce determinantul drept într-o formă cvasi-triunghiulară, să schimbăm 1 și 1+ n coloane, 2 și 2+ n … n și 2 n coloane în el. Ca rezultat, obținem egalitatea: 
Cometariu: Este clar că teorema este valabilă pentru orice număr finit de matrici. În special 
.
15. Teorema privind existența unei matrici inverse.
Definiție: Dacă 
matricea se numește non-non-singular (non-singular). Dacă 
atunci matricea se numește degenerată (specială).
Considerăm o matrice pătrată arbitrară A. Din complementele algebrice ale elementelor acestei matrice, compunem o matrice și o transpunem. Obtinem matricea C: 
matricea C se numește atașată față de matricea A. Calculând produsul dintre A*C și B*C, obținem 
prin urmare 
, prin urmare 
dacă 
.
Astfel, existența lui A -1 decurge din nesingularitatea matricei A. Pe de altă parte, dacă A are A -1 atunci ecuația matriceală AX=E este rezolvabilă. prin urmare 
Și. Combinând rezultatele obținute obținem afirmația:
Teorema: O matrice pătrată peste un câmp P are inversă dacă și numai dacă nu este singulară. Dacă matricea inversă există, atunci aceasta se găsește prin formula: 
, unde C este matricea asociată.
Cometariu:
16. Determinarea rangului unei matrice. Teorema minoră de bază și corolarul ei.
Definiție: Minorul de ordin k al unei matrice A este determinantul de ordinul k cu elemente care se află la intersecția oricăror k rânduri și oricăror k coloane.
Definiție: Se numește rangul unei matrice A ordinul cel mai înalt altele decât 0 minori din această matrice. Notat r(A). clar 0<=r(A)<=min(m,n). Таким образом еслиr(A)=rто среди миноров матрицы А есть минорr-го порядка отличны от 0, а все минорыr+1 порядка и выше равны 0.
Definiție: Orice matrice minoră, alta decât 0, a cărei ordine este egală cu rangul matricei, se numește baza minoră a acestei matrice. Este clar că o matrice poate avea mai multe minore de bază. Coloanele și rândurile care formează bazele minore se numesc bază.
Teorema:În matricea derivată A=(a i) m , n fiecare coloană este o combinație liniară a coloanelor de bază în care se află baza minoră (la fel pentru rânduri).
Dovada: Fie r(A)=r. Alegem un minor de bază din matrice. Pentru simplitate, să presupunem că baza minoră este situată în colțul din stânga sus al matricei, i.e. pe primele r rânduri și primele r coloane. Apoi, minorul de bază Mr va arăta astfel: 
. Trebuie să demonstrăm că orice coloană a matricei A este o combinație liniară a primelor coloane ale acestei matrice în care se află baza minoră, adică este necesar să se demonstreze că există numere λ j astfel încât pentru orice k-a coloană a matricei A are loc egalitatea: unde 
…
.
Să adăugăm niște k-a coloană și s-a rând la minorul de bază: 
deoarece dacă linia adăugată sau
coloana sunt printre de bază, apoi determinantul 
, ca determinant cu două rânduri (coloane) identice. Dacă se adaugă un rând (coloană), atunci 
conform definiţiei rangului unei matrice. Extindeți determinantul 
prin elementele rândului de jos, obținem: de aici obținem: 
unde λ 1 … λ r nu depind de numărul S, deoarece Și Sj nu depind de elementele rândului S-lea adăugat. Egalitatea (1) este egalitatea de care avem nevoie. (p.t.d.)
Consecinţă: Dacă A este o matrice pătrată și determinantul A=0, atunci una dintre coloanele matricei este o combinație liniară a coloanelor rămase, iar unul dintre rânduri este o combinație liniară a rândurilor rămase.
Dovada: Dacă determinantul unei matriceA=0, atunci rangul acestei matrice<=n-1,n-порядок матрицы. Поэтому, по крайней мере одна строка или один столбец не входят в число базисных. Эта строка (столбец) линейно выраженная через строки (столбцы) в которой расположен базисный минор, а значит линейно выраженная через остальные строки (столбцы).
Pentru [A] =0 este necesar și suficient ca cel puțin un rând (coloană) să fie o combinație liniară a celorlalte rânduri (coloane).
Cometariu. Operația de înmulțire a matricei este necomutativă, adică. Într-adevăr, dacă produsul AB există, atunci BA poate să nu existe deloc din cauza unei nepotriviri în dimensiuni (vezi exemplul anterior). Dacă atât AB cât și BA există, atunci ele pot avea dimensiuni diferite (dacă).
Pentru matrice pătrată de același ordin, produsele AB și BA există și au aceeași dimensiune, dar elementele lor corespunzătoare nu sunt în general egale.
Cu toate acestea, în unele cazuri produsele AB și BA coincid.
Se consideră produsul dintre o matrice pătrată A și o matrice de identitate E de același ordin:
Obținem același rezultat pentru produsul EA. Deci, pentru orice matrice pătrată A AE = EA = A.
Matrice inversă.
Definiție 3.7. O matrice pătrată A se numește degenerată dacă și nedegenerată dacă.
Definiție 3.8. O matrice pătrată B se numește inversa unei matrice pătrate A de același ordin dacă AB = BA = E. În acest caz, se notează B.
Să considerăm condiția existenței unei matrice inverse celei date și metoda de calcul a acesteia.
Teorema 3.2. Pentru ca matricea inversă să existe, este necesar și suficient ca matricea originală să fie nesingulară.
Dovada.
1) Necesitate: de atunci (Teorema 3.1), prin urmare
2) Suficiență: setați matricea în următoarea formă:
Atunci orice element al produsului (sau) care nu se află pe diagonala principală este egal cu suma produselor elementelor unui rând (sau coloanei) matricei A și adunărilor algebrice la elementele unei alte coloane și , prin urmare, este egal cu 0 (ca determinant cu două coloane egale). Elementele de pe diagonala principală sunt egale. Astfel,
*=. Teorema a fost demonstrată.
Cometariu. Să formulăm încă o dată metoda de calcul a matricei inverse: elementele acesteia sunt complementele algebrice ale elementelor matricei transpuse A, împărțite la determinantul ei.
Teorema. Fie A și B două matrici pătrate de ordinul n. Atunci determinantul produsului lor este egal cu produsul determinanților, adică.
| AB | = | A| | B|.
< Пусть A = (aij) (n x n), B = (bij) (n x n). Рассмотрим определитель (d) (2n) порядка 2n
(d) (2n) = | A | | b | (-1)(^1+...+n+1+...+n) = | A | | B|.
Dacă arătăm că determinantul (d) (2n) este egal cu determinantul matricei C=AB, atunci se va demonstra teorema.
În (d) (2n) vom face următoarele transformări: la 1 rând se adună (n + 1) rând înmulțit cu a11; (n+2) șir înmulțit cu a12 etc. (2n) șir înmulțit cu (a) (1n) . În determinantul rezultat, primele n elemente ale primului rând vor fi zero, iar celelalte n elemente vor deveni astfel:
a11* b11 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (1n) = c11 ;
a11* b12 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (2n) = c12 ;
a11* (d) (1n) + a12 * (d) (2n) + ... + (a) (1n) * (d) (nn) = (c) (1n) .
În mod similar, obținem zerouri în 2, ..., n rânduri ale determinantului (d) (2n) , iar ultimele n elemente din fiecare dintre aceste rânduri vor deveni elementele corespunzătoare ale matricei C. Ca urmare, determinantul (d) (2n) se transformă într-un determinant egal:
(d) (2n) = | c | (-1))(^1+...+n+...+2n) = |AB|. >
Consecinţă. Determinantul produsului unui număr finit de matrici pătrate este egal cu produsul determinanților lor.
< Доказательство проводится индукцией: | A1 ... (A) (j+1) | = | A1... Aj | | (A) (j+1) | = ... = | A 1 | ... | A i +1 | . Эта цепочка равенств верна по теореме.>
MATRICE INVERSA.
Fie A = (aij) (n x n) o matrice pătrată peste câmpul P.
Definiție 1. Matricea A va fi numită degenerată dacă determinantul său este egal cu 0. Matricea A va fi numită nedegenerată în caz contrar.
Definiţia 2. Fie А н Pn. O matrice B Î Pn va fi numită inversă cu A dacă AB = BA=E.
Teoremă (criteriul inversibilității matricei).Matricea A este inversabilă dacă și numai dacă este nedegenerată.
< Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА(^-1) = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A(^-1) | = | E | или | A | | A(^-1) | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0.
Lasă, înapoi, | A | ¹ 0. Trebuie să arătăm că există o matrice B astfel încât AB = BA = E. Ca B luăm următoarea matrice:
unde A ij este complementul algebric al elementului a ij . Apoi
De remarcat că rezultatul va fi o matrice de identitate (este suficient să folosim Corolarele 1 și 2 din teorema lui Laplace), adică. AB \u003d E. În mod similar, se arată că BA \u003d E. >
Exemplu. Pentru matricea A, găsiți matricea inversă sau demonstrați că nu există.
det A = -3 Þ matricea inversă există. Acum luăm în considerare adunările algebrice.
A 11 \u003d -3 A 21 \u003d 0 A 31 \u003d 6
A 12 \u003d 0 A 22 \u003d 0 A 32 \u003d -3
A 13 \u003d 1 A 23 \u003d -1 A 33 \u003d -1
Deci, matricea inversă arată astfel: B = =
Algoritm pentru găsirea matricei inverse pentru o matrice
1. Calculați det A.
2. Dacă este egal cu 0, atunci matricea inversă nu există. Dacă det A nu este egal
0, considerăm adunări algebrice.
3. Punem adunările algebrice în locurile potrivite.
4. Împărțiți toate elementele matricei rezultate la det A.
SISTEME DE ECUATII LINEARE.
Definiție 1. O ecuație de forma a1x1+ ....+an xn=b , unde a, ... ,an sunt numere; x1, ... ,xn sunt necunoscute, se numește ecuație liniară cu n necunoscut.
s ecuatii cu n necunoscut se numește sistem s ecuatii lineare din n necunoscut, adică
(1)
Matricea A, compusă din coeficienții necunoscutelor sistemului (1), se numește matricea sistemului (1). .
Dacă adăugăm o coloană de termeni liberi la matricea A, atunci obținem matricea extinsă a sistemului (1).
X = - coloana de necunoscute. - coloana de membri liberi.
Sub formă de matrice, sistemul are forma: AX=B (2).
Soluția sistemului (1) este mulțimea ordonată n numere (α1 ,…, αn) astfel încât dacă substituim în (1) x1 = α1, x2 = α2 ,…, xn = αn , atunci obținem identități numerice.
Definiția 2. Sistemul (1) se numește consistent dacă are soluții, iar inconsecvent în caz contrar.
Definiție 3. Două sisteme se numesc echivalente dacă mulțimile soluțiilor lor sunt aceleași.
Există o modalitate universală de a rezolva sistemul (1) - metoda Gauss (metoda eliminării succesive a necunoscutelor)
Să luăm în considerare mai detaliat cazul când s = n. Există o metodă Cramer pentru rezolvarea unor astfel de sisteme.
Fie d = det ,
dj - determinantul lui d, în care coloana j este înlocuită cu o coloană de membri liberi.
REGULA LUI CRAMER
Teoremă (regula lui Cramer). Dacă determinantul sistemului este d ¹ 0, atunci sistemul are o soluție unică obținută din formulele:
x1 = d1 / d …xn = dn / d
<Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим
și considerăm ecuația AX = B (2) cu matricea coloanei necunoscută X. Deoarece A, X, B sunt matrici de dimensiuni n x n, n x 1, n x 1în consecință, produsul matricelor dreptunghiulare AX este definit și are aceleași dimensiuni ca și matricea B. Astfel, ecuația (2) are sens.
Legătura dintre sistemul (1) și ecuația (2) este care este soluția acestui sistem dacă și numai dacă
coloana este soluția ecuației (2).
Într-adevăr, această afirmație înseamnă că egalitatea
Ultima egalitate, ca egalitate de matrice, este echivalentă cu sistemul de egalități
ceea ce înseamnă că este o soluție pentru sistemul (1).
Astfel, soluția sistemului (1) se reduce la soluția ecuației matriceale (2). Deoarece determinantul d al matricei A este diferit de zero, acesta are o matrice inversă A -1 . Atunci AX = B z A(^-1)(AX) = A(^-1)B z (A(^-1)A)X = A(^-1)B z EX = A(^-1) În z X = A(^-1)B (3). Prin urmare, dacă ecuația (2) are o soluție, atunci aceasta este dată de formula (3). Pe de altă parte, A(A(^-1)B) = (A A(^-1))B = EB = B.
Prin urmare, X \u003d A (^-1) B este singura soluție a ecuației (2).
Pentru că ,
unde A ij este complementul algebric al elementului a ij în determinantul d, atunci
de unde (4).
În egalitatea (4) între paranteze se scrie expansiunea cu elemente a coloanei j a determinantului dj, care se obține din determinantul d după înlocuirea în acesta.
j-a coloană de o coloană de membri liberi. De aceea, xj = dj/ d.>
Consecinţă. Dacă sistem omogen n ecuații liniare din n de necunoscute are o soluție diferită de zero, atunci determinantul acestui sistem este egal cu zero.