Matrice nesingulară este o matrice pătrată de ordinul al n-lea, al cărei determinant este diferit de zero. În caz contrar, se numește matricea degenerat.

Teorema ( unicitatea existenței unei matrice inverse): Dacă o matrice are o matrice inversă, atunci aceasta este unică.

Dovada.

Fie o matrice pentru care și o matrice pentru care .

Atunci , adică . Înmulțind ambele părți ale egalității cu matricea, obținem , unde și .

Prin urmare, ceea ce trebuia demonstrat.

12. Ecuații matriceale, rezolvarea lor folosind matricea inversă.

Ecuațiile matriceale pot arăta astfel:

AX = B, XA = B, AXB = C,

unde A, B, C sunt date matrice, X este matricea dorită.

Ecuațiile matriceale se rezolvă prin înmulțirea ecuației cu matrici inverse.

De exemplu, pentru a găsi matricea dintr-o ecuație, trebuie să înmulțiți această ecuație cu din stânga.

Prin urmare, pentru a găsi o soluție la ecuație, trebuie să găsiți matricea inversă și să o înmulțiți cu matricea din partea dreaptă a ecuației.

13. Sisteme pătrate ecuatii lineare. regula lui Cramer.

Un sistem de m ecuații liniare în n necunoscute (sau, un sistem liniar) în algebră liniară este un sistem de ecuații de forma

Metoda lui Cramer (regula lui Cramer) - o modalitate de a rezolva sisteme pătrate liniar ecuații algebrice cu un determinant diferit de zero al matricei principale (mai mult, pentru astfel de ecuații, soluția există și este unică). Numit după Gabriel Cramer (1704–1752), care a inventat metoda.

Pentru un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute (pe un câmp arbitrar)

cu determinantul matricei sistemului Δ diferit de zero, soluția se scrie ca

(coloana i-a a matricei sistemului este înlocuită cu o coloană de termeni liberi).

Într-o altă formă, regula lui Cramer este formulată după cum urmează: pentru orice coeficienți c 1 , c 2 , ..., c n egalitatea este adevărată:

Sistem de ecuații liniare:

Pentru fiecare numerele a¹0 există un invers a -1 astfel încât munca a × a -1 \u003d 1. Pentru matrici pătrate introduce un concept similar.

Definiție. Dacă există matrici pătrate X și A de același ordin care îndeplinesc condiția:

unde E este matricea de identitate de același ordin ca și matricea A, atunci se numește matricea X verso la matricea A și se notează cu A -1 .

Din definiție rezultă că numai o matrice pătrată are un invers; în acest caz, matricea inversă este, de asemenea, pătrat de același ordin.

Cu toate acestea, nu orice matrice pătrată are un invers. Dacă starea a¹0 este necesar şi suficient pentru existenţa unui număr a -1, atunci pentru existența matricei A -1 o astfel de condiție este cerința DA ¹0.

Definiție. matrice pătrată n se numește ordinul nedegenerat (nesingular), dacă determinantul său este DA ¹0.

Daca DA= 0 , atunci se numește matricea A degenerat (special).

Teorema(obligatoriu și condiție suficientă existenţa unei matrici inverse). Dacă o matrice pătrată nespecială(adică determinantul său nu este egal cu zero), atunci pentru el există singurul matrice inversă.

Dovada.

eu. Nevoie. Fie ca matricea A să aibă un invers A -1, adică. AA -1 \u003d A -1 A \u003d E. De proprietatea 3 determinanti ( § 11) avem D(AA -1)= D(A -1) D(A)= D(E)=1, i.e. DA ¹0 și DA-1 ¹0.

eu eu. Adecvarea. Fie matricea pătrată A nesingulară, adică. DA ¹0 . Să scriem matricea transpusă A T:

În această matrice, înlocuim fiecare element cu complementul său algebric, obținem matricea:

Se numește matricea A* atașat de la matrice la matricea A.

Găsiți produsul lui AA * (și A * A):

Unde diagonală elemente = DA,

DA.(formula 11.1 §unsprezece)

Și tot restul off-diagonală elementele matricei AA * sunt egale cu zero in proprietatea 10 §11, de exemplu:

etc. Prin urmare,

AA * = sau AA * = DA = DA×E.

În mod similar, se demonstrează că A * A = DA×E.

Împărțind ambele egalități obținute la DA, obținem: . Prin urmare, prin definiția unei matrice inversă, rezultă că există o matrice inversă

pentru că AA -1 \u003d A -1 A \u003d E.

Se dovedește existența matricei inverse. Să dovedim unicitatea. Să presupunem că există o altă matrice inversă F pentru matricea A, apoi AF \u003d E și FA \u003d E. Înmulțind ambele părți ale primei egalități cu A -1 în stânga și a doua cu A -1 în dreapta, vom obțineți: A -1 AF \u003d A - 1 E și FA A -1 = E A -1 , de unde EF = A -1 E și FE = E A -1 . Prin urmare, F \u003d A -1. Unicitatea este dovedită.

Exemplu. Având în vedere o matrice A = , găsiți A -1 .

Algoritm pentru calcularea matricei inverse:

Proprietățile matricelor inverse.

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

⇐ Anterior78910111213141516Următorul ⇒

⇐ AnteriorPagina 3 din 4Următorul ⇒

Luați în considerare matricele

Mai mult, sunt date elementele matricelor A și B, iar X 1, X 2, X 3 sunt necunoscute.

Atunci se numește ecuația A × X = B cea mai simplă ecuație matriceală.

Pentru a o rezolva, i.e. găsiți elementele matricei necunoscutelor X, procedați după cum urmează:

1. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu matricea A -1, invers pentru matricea A , stânga:

A -1 (A × X) \u003d A -1 × B

2. Folosind proprietatea înmulțirii matricei, scriem

(A -1 × A) X = A -1 × B

3. Din definirea matricei inverse

(A -1 × A = E) avem E × X = A -1 × B.

4. Folosind proprietatea matricei de identitate (E × X = X), obținem în final X = A -1 × B

cometariu. Dacă ecuația matriceală are forma X × C \u003d D, atunci pentru a găsi matricea necunoscută X, ecuația trebuie înmulțită cu C -1 pe dreapta.

Exemplu. Rezolvați ecuația matriceală

Soluţie. Să introducem notația

Definițiile lor de înmulțire a matricei, ținând cont de dimensiunile lui A și B, matricea necunoscutelor X va avea forma

Ținând cont de notația introdusă, avem

A × X = B de unde X = A -1 × B

Să găsim A -1 prin algoritmul de construire a matricei inverse

Calculați produsul

Apoi pentru X obținem

X \u003d de unde x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 2

Rangul matricei

Se consideră o matrice A de dimensiune (m x n)

Minorul de ordin k al matricei A este determinantul ordinului k, ale cărui elemente sunt elementele matricei A care se află la intersecția oricăror K rânduri și oricăror K coloane. Evident, k £ min (m, n).

Definiție. Rangul r(A) al unei matrice A este cea mai mare ordine o minoră diferită de zero a acestei matrice.

Definiție. Orice minor diferit de zero al unei matrice a cărei ordine este egală cu rangul său este numit minor de bază.

Defini e. Se numesc matrici care au aceleași ranguri echivalent.

Calcularea rangului unei matrice

Definiție. Matricea se numește călcat, dacă sub primul element non-nul al fiecăruia dintre rândurile sale există zerouri în rândurile subiacente.

Teorema. Rangul unei matrice de pas este egal cu numărul rândurilor sale diferite de zero.

Astfel, prin transformarea matricei într-o formă în trepte, este ușor de determinat rangul acesteia. Această operațiune se realizează folosind transformări matriceale elementare, care nu își schimbă rangul:

— înmulțirea tuturor elementelor rândului matricei cu numărul l ¹ 0;

- inlocuirea randurilor cu coloane si invers;

- permutarea rândurilor paralele;

- stergerea randului zero;

- adăugarea la elementele unei anumite serii a elementelor corespunzătoare din seria paralelă, înmulțită cu orice număr real.

Exemplu.

Teoremă (condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse).

Calculați rangul unei matrice

A =

Soluţie. Să transformăm matricea într-o formă în trepte. Pentru a face acest lucru, adăugați a doua linie înmulțită cu (-3) la a treia linie.

Ah~

Să adăugăm a treia linie la a patra linie.

Numărul de rânduri diferite de zero din matricea echivalentă rezultată este trei, deci r(A) = 3.

Sisteme de n ecuații liniare cu n necunoscute.

Metode de rezolvare a acestora

Să considerăm un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute.

A 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n \u003d b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n \u003d b 2 (1)

……………………………….

a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = b n

Definiție: Soluția sistemului (1) este o mulțime de numere (x 1, x 2, ..., x n), care transformă fiecare ecuație a sistemului într-o egalitate adevărată.

Se numește matricea A, compusă din coeficienții necunoscutelor matricea principală a sistemului (1).

A=

Matricea B, formată din elementele matricei A și coloana de membri liberi ai sistemului (1), se numește matrice extinsă.

B =

Metoda matricei

Luați în considerare matricele

X = - matricea necunoscutelor;

C = este matricea termenilor liberi ai sistemului (1).

Apoi, conform regulii înmulțirii matriceale, sistemul (1) poate fi reprezentat ca o ecuație matriceală

A × X = C (2)

Soluția ecuației (2) este menționată mai sus, adică X = A -1 × C, unde A -1 este matricea inversă pentru matricea principală a sistemului (1).

Metoda Cramer

Un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute, al cărui determinant principal este diferit de zero, are întotdeauna o soluție și, în plus, singura, care se găsește prin formulele:

unde D = det A este determinantul matricei principale A a sistemului (1), care se numește principală, Dх i se obțin din determinantul D prin înlocuirea coloanei i-a cu o coloană de membri liberi, adică.

Dх 1 = ;

Dх 2 = ; … ;

Exemplu.

Rezolvați sistemul de ecuații prin metoda lui Cramer

2x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 15

x 1 + x 2 + 5x 3 = 16

3x 1 - 2x 2 + x 3 = 1

Soluţie.

Să calculăm determinantul matricei principale a sistemului

D = det A = = 44 ¹ 0

Calculați determinanții auxiliari

Dх 3 = = 132.

Folosind formulele lui Cramer, găsim necunoscutele

; ; .

Astfel, x 1 \u003d 0; x 2 = 1; x 3 = 3.

metoda Gauss

Esența metodei Gauss este eliminarea succesivă a necunoscutelor din ecuațiile sistemului, i.e. în aducerea matricei principale a sistemului într-o formă triunghiulară, când există zerouri sub diagonala sa principală. Acest lucru se realizează folosind transformări elementare ale matricei peste rânduri. Ca urmare a unor astfel de transformări, echivalența sistemului nu este încălcată și capătă și o formă triunghiulară, adică. ultima ecuație conține o necunoscută, penultimele două și așa mai departe. Exprimând a n-a necunoscută din ultima ecuație și folosind mișcarea inversă, folosind o serie de substituții succesive, se obțin valorile tuturor necunoscutelor.

Exemplu. Rezolvați un sistem de ecuații folosind metoda Gauss

3x 1 + 2x 2 + x 3 = 17

2x 1 - x 2 + 2x 3 = 8

x 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

Soluţie. Să scriem matricea extinsă a sistemului și să reducem matricea A conținută în acesta la o formă triunghiulară.

Să schimbăm primul și al treilea rând al matricei, ceea ce este echivalent cu permutarea primei și a treia ecuații ale sistemului. Acest lucru ne va permite să evităm apariția expresii fracționaleîn calculele ulterioare

În ~

Înmulțim secvențial primul rând al matricei rezultate cu (-2) și (-3) și îl adăugăm la al doilea și, respectiv, al treilea rând, în timp ce B va arăta astfel:

După înmulțirea celui de al doilea rând cu și adăugarea acestuia la al treilea rând, matricea A va lua o formă triunghiulară. Cu toate acestea, pentru a simplifica calculele, puteți face următoarele: înmulțiți al treilea rând cu (-1) și adăugați-l la al doilea. Atunci obținem:

În ~

În ~

Restabiliți din matricea rezultată B un sistem de ecuații echivalent cu cel dat

X 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

x 2 - 2x 3 = 0

- 10x 3 = -10

Din ultima ecuație găsim Înlocuim valoarea găsită x 3 \u003d 1 în a doua ecuație a sistemului, din care x 2 \u003d 2x 3 \u003d 2 × 1 \u003d 2.

După înlocuirea x 3 \u003d 1 și x 2 \u003d 2 în prima ecuație pentru x 1, obținem x 1 \u003d 9 - 4x 2 + 3x 3 \u003d 9 - 4 × 2 + 3 × 1 \u003d 4.

Deci, x 1 = 4, x 2 = 2, x 3 = 1.

Cometariu. Pentru a verifica corectitudinea soluției unui sistem de ecuații, este necesar să înlocuiți valorile găsite ale necunoscutelor în fiecare dintre ecuațiile acestui sistem. Mai mult, dacă toate ecuațiile se transformă în identități, atunci sistemul este rezolvat corect.

Examinare:

3 x 4 + 2 x 2 + 1 = 17 este corect

2 × 4 - 2 + 2 × 1 = 8 adevărat

4 + 4 × 2 - 3 × 1 = 9 adevărat

Deci sistemul este corect.

⇐ Anterior1234Următorul ⇒

Citeste si:

Cele mai simple ecuații matriceale

unde sunt matrici de asemenea dimensiuni încât toate operațiile utilizate sunt posibile, iar părțile din stânga și din dreapta acestor ecuații matrice sunt matrice de aceeași dimensiune.

Rezolvarea ecuatiilor (1)-(3) este posibila cu ajutorul matricelor inverse in cazul nedegenerarii matricelor la X. In cazul general, matricea X se scrie element cu element si actiunile indicate in ecuația se efectuează pe matrice. Rezultatul este un sistem de ecuații liniare. După ce am rezolvat sistemul, găsiți elementele matricei X.

Metoda matricei inverse

Aceasta este o soluție a unui sistem de ecuații liniare în cazul unei matrice pătrate nesingulare a sistemului A. Se găsește din ecuația matriceală AX=B.

A -1 (AX) \u003d A -1 B, (A -1 A) X \u003d A -1 B, EX \u003d A -1 B, X \u003d A -1 B.

formulele lui Cramer

Teorema.Fie Δ — determinantul matricei sistemului A, iar Δ j este determinantul matricei obținute din matricea A prin înlocuirea coloanei j a termenilor liberi. Atunci dacă ∆≠ 0, atunci sistemul are o soluție unică determinată de formulele:

sunt formulele lui Cramer.

DZ 1. 2.23, 2.27, 2.51, 2.55, 2.62; DZ 2.2.19, 2.26, 2.40, 2.65

Tema 4. Numere complexe și polinoame

Numere complexe și operații pe ele

Definiții.

1. Un simbol de forma a + bi , unde a și b sunt numere reale arbitrare, vom fi de acord să numim un număr complex.

2. Vom fi de acord să considerăm numerele complexe a + bi și a 1 + b 1 i egale dacă a = a 1 și

b = b 1 .

3. Vom fi de acord să considerăm un număr complex de forma a + 0i egal cu un număr real a.

4. Suma a două numere complexe a + bi și a 1 + b 1 i este numărul complex (a + a 1) + (b + b 1)i.

Matrice inversă. Rangul matricei.

Produsul a două numere complexe este numărul complex aa 1 - bb 1 + (a b 1 + a 1 b)i.

Număr complex de forma 0 + bi numit pur număr imaginarși de obicei este scris astfel: bi; numărul 0 +1 i = i numit unitate imaginară.

După definiția 3, fiecare număr real dar corespunde unui număr complex „egal”. a + 0iși invers pentru orice număr complex a + 0i corespunde unui număr real „egal”. dar, adică există o corespondență unu-la-unu între aceste numere. Luând în considerare suma și produsul numerelor complexe un 1 + 0i și un 2 + 0i conform regulilor 4 și 5, obținem:

(a 1 + 0i) + (a 2 + 0i) = (a 1 + a 2) + 0i,

(a 1 + 0i) (a 2 + 0i) = (a 1 a 2 - 0) + (a 1 0+a 2 0) i = a 1 a 2 + 0i.

Vedem că suma (sau produsul) acestor numere complexe corespunde unui număr real „egal” cu suma (sau produsul) numerelor reale corespunzătoare. Deci corespondența dintre numere complexe drăguț a + 0iși numărul real dar este astfel încât ca urmare a operatii aritmetice pe componentele corespunzătoare se obțin rezultatele corespunzătoare. Este apelată o corespondență unu-la-unu care este păstrată atunci când se efectuează acțiuni izomorfism. Acest lucru ne permite să identificăm numărul a + 0i cu număr real darși considerați orice număr real ca un caz special al unuia complex.

Consecinţă. Numărul pătrat i este egal cu 1.

i 2 = i i = (0 +1i)(0 +1i) = (0 – 1) + (0 1 + 1 0)i =— 1.

Teorema.Pentru adunarea și înmulțirea numerelor complexe rămân valabile legile de bază ale operațiilor.

Definitii:

1. Numar real si se numeste parte reală număr complex z = a + bi. Rez=a

2. Numărul b se numește partea imaginară a numărului complex z, numărul b se numește coeficientul părții imaginare a lui z. Imz=b.

3. Numerele a + bi și a - bi se numesc conjugate.

Numărul conjugat z = a + bi notat cu simbolul

= a - bi.

Exemplu. z=3 + i ,= 3 - i.

Teorema.Suma și produsul a două numere complexe conjugate sunt reale.

Dovada. Avem

În mulțimea numerelor complexe, operațiile inverse adunării și înmulțirii sunt fezabile.

Scădere. Lasa z 1 = a 1 + b 1 iȘi z 2 = a 2 + b 2 i sunt numere complexe. diferență z1 – z2 există un număr z = x + y i, îndeplinind condiția z1 = z 2 + z sau

și 1 + b 1 i = (a 2 + x) + (b 2 + y)i.

Pentru determinare XȘi y obținem sistemul de ecuații a 2 + x = a 1Și b2 + y = b1, care are o soluție unică:

x \u003d a 1 - a 2, y \u003d b 1 - b 2,

z \u003d (a 1 + b 1 i) - (a 2 + b 2 i) \u003d a 1 - a 2 + (b 1 - b 2) i.

Scăderea poate fi înlocuită prin adunare cu numărul opus care trebuie scăzut:

z \u003d (a 1 + b 1 i) - (a 2 + b 2 i) \u003d (a 1 + b 1 i) + (- a 2 - b 2 i).

Divizia.

coeficientul de numere z1Și z2≠ 0 este un număr z = x + y i, îndeplinind condiția z 1 = z 2 z sau

a 1 + b 1 i = (a 2 + b 2 i) (x + yi),

Prin urmare,

a 1 + b 1 i = a 2 x - b 2 y+ (b 2 x + a 2 y)i,

de unde obținem sistemul de ecuații:

a 2 x - b 2 y \u003d a 1,

b 2 x + a 2 y = b 1 .

Decizia căreia va

Prin urmare,

În practică, pentru a găsi câtul, înmulțiți dividendul și divizorul cu conjugatul divizorului:

De exemplu,

În special, reciproca unui număr dat z, poate fi reprezentat ca

Notă.În setul de numere complexe rămâne valabil teorema: dacă produsul este egal cu zero, atunci cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Într-adevăr, dacă z 1 z 2 =0 si daca z 1 ≠ 0, apoi înmulțind cu , obținem

Q.E.D.

Când efectuați operații aritmetice pe numere complexe, trebuie respectată următoarea regulă generală: acțiunile sunt efectuate conform regulilor uzuale pentru acțiunile pe expresii algebrice, urmate de înlocuirea i 2 cu-1.

Teorema.Când înlocuiți fiecare dintre componente cu numărul său conjugat, rezultatul acțiunii este înlocuit și cu numărul conjugat.

Dovada constă într-o verificare directă. Deci, de exemplu, dacă fiecare termen z 1 = a 1 + b 1 iȘi z 2 = a 2 + b 2 iînlocuit cu un număr conjugat, apoi obținem un număr conjugat la sumă z 1 + z 2 .

prin urmare,

În mod similar, pentru produs avem:

Înapoi567891011121314151617181920Următorul

VEZI MAI MULT:

Ecuații matriceale

Catalin David

AX = B, unde matricea A este inversabilă

Deoarece înmulțirea matriceală nu este întotdeauna comutativă, înmulțim ambele părți ale ecuației din stânga cu $A^(-1)$.

$A^(-1)\cdot|A\cdot X = B$

$A^(-1)\cdot A\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$I_(n)\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$\culoare(roșu)(X =A^(-1)\cdot B)$

Exemplul 50
rezolva ecuația
$\begin(pmatrix) 1 și 3\\ 2 și 5 \end(pmatrix)\cdot X \begin(pmatrix) 3 și 5\\ 2 și 1 \end(pmatrix)$

Teorema 2. Criteriul de existență a unei matrici inverse.

Înmulțiți din stânga cu matricea sa inversă.
$\begin(pmatrix) 1 și 3\\ 2 și 5\\ \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 1 și 3\\ 2 și 5 \end(pmatrix)\cdot X= \begin(pmatrix) 1 și 3\\ 2 și 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 și 5\\ 2 și 1 \end(pmatrix)$

$I_(2)\cdot X = \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end( pmatrix)$

$X=\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\rightarrow X= \ begin(pmatrix) -5 și 3\\ 2 și -1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 3 și 5\\ 2 și 1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -9 și -22 \\ 4 și 9 \end(pmatrix)$

XA = B, unde matricea A este inversabilă

Deoarece înmulțirea matriceală nu este întotdeauna comutativă, înmulțim ambele părți ale ecuației din dreapta cu $A^(-1)$.

$X\cdot A = B |\cdot A^(-1)$

$X\cdot A\cdot A^(-1) = B\cdot A^(-1)$

$X \cdot I_(n) =B\cdot A^(-1)$

Soluția ecuației are forma generală
$\culoare(roșu)(X =B\cdot A^(-1))$

Exemplul 51
rezolva ecuația
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end(pmatrix)$

Să ne asigurăm că prima matrice este inversabilă.
$\left|A\right|=5-6=-1\neq 0$, prin urmare matricea este inversabilă.

Înmulțiți din dreapta cu matricea sa inversă.
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) ) 3 și 5\\ 2 și 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 și 3\\ 2 și 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$X\cdot I_(2)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(- 1)$

$X=\begin(pmatrix) 3 și 5\\ 2 și 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 și 3\\ 2 și 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\rightarrow X= \ begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix) \cdot \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -5 & 4\ \ -8 și 5 \end(pmatrix)$

Matrici Înmulțirea matricelorDeterminanți Rangul matriceiMatrici inverseSisteme de ecuații Calculatoare matrice

int. uimire, surprindere; bucurie, speranță; bruscă, frică; durere, disperare. Ah, ce bine! O, așa să fie! Oh, cât m-ai speriat! Da, fluturând mâinile. Ah, ah, dar nu este nimic de ajutor. Ah, judecător, judecător: patru etaje, opt buzunare.

| Uneori ah se transformă într-un substantiv. , soț. Ah, da, o, da, suspine de femeie. Ce a fost aici ahov, surpriză, bucurie. Ahti, ahti me, o exclamație de durere, tristețe; Vai; Ahti eu, toti camarazii din inchisoare - mi se va intampla ceva? Ohti-axmul sa se casatoreasca cumva? Nu fi atât de fierbinte cu mine, deloc surprinzător, deloc de bine. Akhanki pentru mine, ahakhanki, exprimă, parcă, compasiune pentru sine sau pentru altul. Akhanki, ca și copiii mici, acesta este un fel de salut. gâfâit, gâfâit, gâfâit, minunat; bucură-te de ceva, mâhnește, geme, exclamă ah! Ah, da, acasă, pe cont propriu. Unchiule Akhal, uită-te la tine, ai grijă de toată lumea despre tine, despre afacerea ta. Am gâfâit, speriat, uimit. Am gâfâit și noi, am văzut durere. Un bărbat singur geme uneori, iar cel căsătorit geme.

matrice inversă

Treci la ce. Am gâfâit când am auzit despre asta. Naahali, și hai să mergem. Eram uimit de aceste miracole. Sătul, nu? Oftă mai mult. Unul gâfâie, celălalt gâfâie. De ce s-a balansat? Fără tragere de inimă te entuziasmezi. Nu atât de gâfâit, din nou, o batjocură de apeluri inutile. Risipită toată ziua. O femeie a venit să gâfâie, dar a trebuit să gâfâie; Am venit să mă uit la bucuria sau tristețea altcuiva, dar s-a întâmplat propria mea nenorocire. Akhanye cf. o expresie nemoderată de bucurie, uimire, durere, disperare: un bărbat ahal este un soț. escroc de femeie ahala vol. care se minune de toate, laudă excesiv pe ale altcuiva, invidiază. Există șapte acordeoniști pentru fiecare acordeonist. Pentru fiecare bahar, șapte akhal. Ahovaya mai jos. penz uluitoare. încântător, incredibil de frumos, frumos, provocând o exclamație de uimire și aprobare. Ahh eșarfă. Ahva? Femeie , arh.-el. gaura, gaura; o gaură, o tăietură în piele, deteriorarea acesteia de la o lovitură neglijentă, o înțepătură sau o lovitură cu ceva. Ahovnya? Femeie piele stricat cu piele ahvoi, akhovaya sau ahvodnaya. Ahvit, ahvod ?, strică pielea cu o lovitură, o înțepătură, o tăietură. O sâmbătă groaznică, cu plăți, când cei cu defecte se gâfâie după bani.

Lema: Pentru orice matrice DAR produsul lui prin matricea de identitate a mărimii corespunzătoare este egal cu matricea DAR: AE=EA=A.

MatriceaÎN numit verso la matrice DAR, dacă AB=BA=E. matrice inversă la matrice DAR notat A -1 .

Matricea inversă există doar pentru o matrice pătrată.

Teorema: matrice pătrată DAR are inversă dacă și numai dacă determinantul acestei matrice este diferit de zero (|A|≠0).

Algoritm pentru găsirea matricei inverse A -1:

(pentru matrici de ordinul doi și trei)

„Dacă vrei să înveți să înoți, atunci intră cu îndrăzneală în apă și dacă vrei să înveți sa rezolve probleme, apoi rezolva-le.»
D. Poya (1887-1985)

(Matematician. A avut o mare contribuție la popularizarea matematicii. A scris mai multe cărți despre cum să rezolvi problemele și cum să înveți cum să rezolvi problemele.)

matrice inversă · Matricea B se numește inversă matricei dacă egalitatea este adevărată: . Desemnare: − Doar pătrat matricea poate avea o matrice inversă. − Nu fiecare pătrat matricea are o matrice inversă. Proprietăți: 1. ; 2. ; 3. , unde matricele sunt pătrate, de aceeași dimensiune. În general, dacă pentru matricele nepătrate este posibil un produs, care va fi o matrice pătrată, atunci este posibilă și existența unei matrici inverse , deși 3-proprietatea este încălcată în acest caz. Pentru a găsi matricea inversă, puteți utiliza metoda transformărilor elementare de rând: 1. Compuneți o matrice extinsă atribuind o matrice de identitate cu dimensiunea corespunzătoare în dreapta matricei originale: . 2. Transformări elementare de rând ale matricei G duce la forma: . − rangul matricei necesar · Un minor de ordinul k al unei matrice este un determinant compus din elemente ale matricei originale care se află la intersecția oricăror k rânduri și k coloane ( ). cometariu. Fiecare element al unei matrice este minorul său de ordinul 1. Teorema. Dacă în matrice toți minorii de ordinul k sunt egali cu zero, atunci toți minorii de ordin superior sunt egali cu zero. Extindem minorul (determinantul) ( k+1)-a ordine prin elementele rândului 1: . Adăugările algebrice sunt în esență minore k- de ordinul al-lea, care, prin presupunerea teoremei, sunt egale cu zero. Prin urmare, . · În matricea de ordine, un ordin minor se numește de bază dacă nu este egal cu zero și toate minorele de ordin și mai sus sunt egale cu zero sau nu există deloc, adică. se potrivește cu cea mai mică dintre numere sau . Coloanele și rândurile matricei care alcătuiesc minorul de bază se numesc de bază. Într-o matrice pot exista mai mulți minori de bază diferite care au aceeași ordine. · Ordinea bazei minore a unei matrice se numește rangul matriceiȘi notat: , . Este evident că. De exemplu. 1. , . 2. . Matricea ÎN conține singurul element diferit de zero care este minor de ordinul 1. Toți determinanții de ordin superior vor conține al 0-lea rând și, prin urmare, vor fi egali cu 0. Prin urmare, . matrice inversă 4. Sisteme de ecuații liniare. Noțiuni de bază. Sistemul de ecuații algebrice liniare ( sistem liniar, sunt folosite și abrevieri SLAU, SLN) este un sistem de ecuații, fiecare ecuație în care este o ecuație liniară - algebrică de gradul I. Forma generală sisteme de ecuații algebrice liniare: Aici este numărul de ecuații și este numărul de variabile, sunt necunoscutele de determinat, coeficienții și termenii liberi presupus a fi cunoscut. Sistemul este numit omogen, dacă toți membrii săi liberi sunt egali cu zero (), în caz contrar - eterogen. Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare este o mulțime de numere astfel încât din substituția corespunzătoare și nu în sistem transformă toate ecuațiile sale în identități. Un sistem se numește consistent dacă are cel puțin o soluție și inconsecvent dacă nu are soluții. Soluțiile sunt considerate diferite dacă cel puțin una dintre valorile variabilelor nu se potrivește. Un sistem comun cu o soluție unică se numește definit, dacă există mai multe soluții - subdeterminat. Forma matriceală Un sistem de ecuații algebrice liniare poate fi reprezentat sub formă de matrice ca: sau: . Aici, este matricea sistemului, este coloana de necunoscute și este coloana de termeni liberi. Dacă o coloană de termeni liberi este atribuită matricei din dreapta, atunci matricea rezultată se numește extinsă. Kronecker - teorema Capelli Kronecker - teorema Capelli stabilește o condiție necesară și suficientă pentru compatibilitatea unui sistem de ecuații algebrice liniare prin proprietățile reprezentărilor matriceale: sistemul este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sale coincide cu rangul matricei extinse. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare. Metoda matricei Să fie dat un sistem de ecuații liniare cu necunoscute (pe un câmp arbitrar): Să rescriem sub formă de matrice: Găsim soluția sistemului prin formula Găsim matricea inversă prin formula: , unde este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei . Dacă, atunci matricea inversă nu există și este imposibil să se rezolve sistemul prin metoda matricei. În acest caz, sistemul este rezolvat prin metoda Gauss. Metoda lui Cramer Metoda lui Cramer (regula lui Cramer) - o modalitate de a rezolva SLAE cu un număr de ecuații egală cu numărul necunoscute cu un determinant principal al matricei diferite de zero. Pentru un sistem de ecuații liniare cu necunoscute Înlocuiți coloana i-a a matricei cu o coloană de termeni liberi b Exemplu: Sistem de ecuații liniare cu coeficienți reali: Calificări: În determinanți, coloana de coeficienți pentru necunoscuta corespunzătoare este înlocuită cu coloana de termeni liberi ai sistemului. Soluţie: 5. Metoda Gauss Algoritm de rezolvare: 1. Notați matricea augmentată 2. Aduceți-o într-o formă în trepte prin transformări elementare 3. Mișcare inversă, în timpul căreia exprimăm termenii de bază în termeni de cei liberi. O matrice augmentată se obține prin adăugarea unei coloane de termeni liberi la matrice. Există următoarele transformări elementare: 1. Rândurile matricei pot fi rearanjate. 2. Dacă există (sau au apărut) rânduri proporționale (ca caz special - identice) în matrice, atunci toate aceste rânduri ar trebui să fie șterse din matrice, cu excepția unuia. 3. Dacă în matrice a apărut un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el șters. 4. Rândul matricei poate fi înmulțit (împărțit) cu orice număr, diferit de zero. 5. La rândul matricei, puteți adăuga un alt rând, înmulțit cu un alt număr decât zero. Transformări elementare nu modificați soluția sistemului de ecuații Mișcare inversă: De obicei, ca variabile de bază, se iau acele variabile care sunt situate pe primele locuri în rândurile nenule ale matricei transformate a sistemului, adică. pe trepte. În plus, termenii de bază sunt exprimați în termeni de cei liberi. Mergem „de jos în sus” pe parcurs exprimând termenii de bază și substituind rezultatele în ecuația superioară. Exemplu: variabilele de bază „stau” întotdeauna strict pe treptele matricei. În acest exemplu, variabilele de bază sunt și Variabilele libere sunt toate variabilele rămase care nu au primit un pas. În cazul nostru, sunt două dintre ele: – variabile libere. Acum este nevoie de tot variabile de bază exprima numai prin variabile libere. Mișcarea inversă a algoritmului gaussian funcționează în mod tradițional de la începutul secolului

Să fie o matrice pătrată de ordinul al n-lea

Se numește matricea A -1 matrice inversăîn raport cu matricea A, dacă A * A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea.

Matrice de identitate- o astfel de matrice pătrată, în care toate elementele de-a lungul diagonalei principale, care trec din colțul din stânga sus în colțul din dreapta jos, sunt unul, iar restul sunt zerouri, de exemplu:

matrice inversă poate exista numai pentru matrice pătrată acestea. pentru acele matrice care au același număr de rânduri și coloane.

Teorema condiției de existență a matricei inverse

Pentru ca o matrice să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca aceasta să fie nedegenerată.

Se numește matricea A = (A1, A2,...A n). nedegenerat dacă vectorii coloanei sunt liniar independenți. Numărul de vectori de coloană liniar independenți ai unei matrice se numește rangul matricei. Prin urmare, putem spune că pentru ca o matrice inversă să existe, este necesar și suficient ca rangul matricei să fie egal cu dimensiunea acesteia, adică. r = n.

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Scrieți matricea A în tabelul pentru rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda Gauss și în dreapta (în locul părților din dreapta ale ecuațiilor) atribuiți-i matricea E.
2. Folosind transformările Jordan, aduceți matricea A într-o matrice formată din coloane simple; în acest caz, este necesară transformarea simultană a matricei E.
3. Dacă este necesar, rearanjați rândurile (ecuațiile) ultimului tabel astfel încât matricea de identitate E să fie obținută sub matricea A a tabelului original.
4. Scrieți matricea inversă A -1, care se află în ultimul tabel sub matricea E a tabelului original.

Exemplul 1

Pentru matricea A, găsiți matricea inversă A -1

Rezolvare: Notam matricea A si in dreapta atribuim matricea de identitate E. Folosind transformarile Jordan, reducem matricea A la matricea de identitate E. Calculele sunt prezentate in Tabelul 31.1.

Să verificăm corectitudinea calculelor înmulțind matricea originală A și matricea inversă A -1.

Ca urmare a înmulțirii matricei, se obține matricea de identitate. Prin urmare, calculele sunt corecte.

Răspuns:

Rezolvarea ecuațiilor matriceale

Ecuațiile matriceale pot arăta astfel:

AX = B, XA = B, AXB = C,

unde A, B, C sunt date matrice, X este matricea dorită.

Ecuațiile matriceale se rezolvă prin înmulțirea ecuației cu matrici inverse.

De exemplu, pentru a găsi matricea dintr-o ecuație, trebuie să înmulțiți această ecuație cu din stânga.

Prin urmare, pentru a găsi o soluție la ecuație, trebuie să găsiți matricea inversă și să o înmulțiți cu matricea din partea dreaptă a ecuației.

Alte ecuații se rezolvă în mod similar.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația AX = B dacă

Soluţie: Deoarece inversul matricei este egal (vezi exemplul 1)

Metoda matriceală în analiza economică

Alături de alții, își găsesc și aplicație metode matriceale. Aceste metode se bazează pe algebră liniară și vector-matrice. Astfel de metode sunt utilizate în scopul analizării fenomenelor economice complexe și multidimensionale. Cel mai adesea, aceste metode sunt utilizate atunci când este necesar să se compare funcționarea organizațiilor și diviziunile lor structurale.

În procesul de aplicare a metodelor matriceale de analiză se pot distinge mai multe etape.

La prima etapă se realizează formarea unui sistem de indicatori economici și pe baza acestuia se întocmește o matrice de date inițiale, care este un tabel în care numerele sistemului sunt afișate în rândurile sale individuale (i = 1,2,....,n), iar de-a lungul graficelor verticale - numere de indicatori (j = 1,2,....,m).

La a doua etapă pentru fiecare coloană verticală, este dezvăluită cea mai mare dintre valorile disponibile ale indicatorilor, care este luată ca unitate.

După aceea, toate sumele reflectate în această coloană sunt împărțite la cea mai mare valoareși se formează o matrice de coeficienți standardizați.

La a treia etapă toate componentele matricei sunt la pătrat. Dacă au semnificații diferite, atunci fiecărui indicator al matricei i se atribuie un anumit coeficient de ponderare k. Valoarea acestuia din urmă este determinată de un expert.

Pe ultimul a patra etapă au găsit valori ale ratingurilor Rj grupate în ordinea crescătoare sau descrescătoare.

Metodele matriceale de mai sus ar trebui utilizate, de exemplu, când analiza comparativa diverse proiecte de investiții, precum și la evaluarea altor indicatori de performanță economică a organizațiilor.