Def.: Funcția este numită infinitezimal la , dacă .

În notația " ", vom presupune că x0 poate lua ca valoare finală: x0= Const, și infinit: x0= ∞.

Proprietățile funcțiilor infinitezimale:

1) Suma algebrică a unui număr finit de infinit de mici pentru funcții este infinit de mică pentru o funcție.

2) Produsul unui număr finit de infinit mic pentru funcții este o infinit mic pentru funcție.

3) Produsul dintre o funcție mărginită și o funcție infinitezimală este o funcție infinitezimală.

4) Coeficientul împărțirii unui infinit mic la o funcție la o funcție a cărei limită este diferită de zero este infinit mic la o funcție.

Exemplu: Funcţie y = 2 + X este infinitezimal la , deoarece .

Def.: Funcția este numită infinit de mare la , dacă .

Proprietățile funcțiilor infinit de mari:

1) Suma infinitului de mari pentru funcții este infinit de mare pentru o funcție.

2) Produsul unui infinit de mare pentru o funcție cu o funcție a cărei limită este diferită de zero este infinit de mare pentru o funcție.

3) Suma unei funcții infinit de mare și a unei funcții mărginite este o funcție infinit de mare.

4) Coeficientul împărțirii unui infinit de mare pentru o funcție la o funcție care are o limită finită este infinit de mare pentru o funcție.

Exemplu: Funcţie y= este infinit mare pentru , deoarece .

Teorema.Relația dintre cantități infinitezimale și infinit de mari. Dacă o funcție este infinitezimală la , atunci funcția este infinit de mare la . În schimb, dacă o funcție este infinit de mare la , atunci funcția este infinit de mică la .

Raportul dintre două infinitezimale este de obicei notat prin simbol, două infinit de mari - prin simbol. Ambele relații sunt nedefinite în sensul că limita lor poate sau nu să existe, să fie egală cu un anumit număr sau să fie infinită, în funcție de tipul de funcții specifice cuprinse în expresiile nedefinite.

În plus față de nedeterminate de formă și nedefinite sunt următoarele expresii:

Diferența celor infinit de mari de același semn;

Produsul unui infinitezimal cu un infinit mare;

O funcție de putere exponențială, a cărei bază tinde la 1, iar indicatorul - la;

O funcție de putere exponențială, a cărei bază este infinitezimală, iar exponentul este infinit de mare;

O funcție exponențială a cărei bază și exponent sunt infinitezimale;

O funcție exponențială a cărei bază este infinit de mare și al cărei exponent este infinit de mic.

Se spune că există o incertitudine de tipul corespunzătoare. În aceste cazuri se numește calculul limitei dezvăluirea incertitudinii. Pentru a dezvălui incertitudinea, expresia de sub semnul limită este convertită într-o formă care nu conține incertitudine.

La calcularea limitelor se folosesc proprietățile limitelor, precum și proprietățile funcțiilor infinitezimale și infinit de mari.

Luați în considerare exemple de calcule ale diferitelor limite.

1) . 2) .

4) , deoarece munca este infinită funcție mică pentru funcția mărginită este infinit de mic.

5) . 6) .

7) = =

. În acest caz, a existat o nedeterminare a tipului, care a fost rezolvată prin factorizarea polinoamelor și reducerea cu un factor comun.

= .

În acest caz, a existat o nedeterminare de tip , care a fost rezolvată prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu expresia , folosind formula , și apoi reducând fracția cu (+1).

9)
. În acest exemplu, incertitudinea tipului a fost dezvăluită prin împărțirea termen cu termen a numărătorului și numitorului fracției cu cel mai înalt grad.

Limite remarcabile

Prima limită minunată : .

Dovada. Luați în considerare un cerc unitar (Fig. 3).

Fig.3. cerc unitar

Lasa X este măsura în radian a unghiului central MOA(), apoi OA = R= 1, MK= păcat X, LA=tg X. Compararea ariilor triunghiurilor OMA, OTA si sectoare OMA, primim:

,

.

Împărțiți ultima inegalitate la păcat X, primim:

.

Deoarece pentru , apoi prin proprietatea 5) a limitelor

De unde și reciproca lui at , care urma să fie dovedită.

Cometariu: Dacă funcția este infinitezimală la , i.e. , atunci prima limită remarcabilă are forma:

.

Luați în considerare exemple de calcule de limită folosind prima limită remarcabilă.

Când am calculat această limită, am folosit formula trigonometrică: .

.

Luați în considerare exemple de calcule de limită folosind a doua limită remarcabilă.

2) .

3) . Există o ambiguitate de tip. Să facem un înlocuitor, atunci ; la .

Funcții infinit de mici

Este apelată funcția %%f(x)%% infinitezimal(b.m.) pentru %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, dacă limita funcției este egală cu zero când argumentul tinde către aceasta.

Conceptul de b.m. funcția este indisolubil legată de o indicație a unei schimbări în argumentul său. Putem vorbi despre b.m. funcții pentru %%a \to a + 0%% și pentru %%a \to a - 0%%. De obicei b.m. funcțiile sunt notate cu primele litere ale alfabetului grecesc %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Exemple

1. Funcția %%f(x) = x%% este b.m. la %%x \to 0%%, deoarece limita sa la %%a = 0%% este zero. Conform teoremei privind legătura dintre limita cu două laturi și limita unilaterală, această funcție este b.m. atât cu %%x \to +0%% cât și cu %%x \to -0%%.
2. Funcția %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. cu %%x \to \infty%% (precum și cu %%x \to +\infty%% și cu %%x \to -\infty%%).

Un număr constant diferit de zero, oricât de mic în valoare absolută, nu este un b.m. funcţie. Pentru numere constante, singura excepție este zero, deoarece funcția %%f(x) \equiv 0%% are o limită zero.

Teorema

Funcția %%f(x)%% are o limită de sfârșit în punctul %%a \in \overline(\mathbb(R))%% al liniei numerice extinse, egală cu numărul%%b%%, dacă și numai dacă această funcție este egală cu suma acestui număr %%b%% și b.m. funcțiile %%\alpha(x)%% cu %%x \to a%% sau $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Leftrightarrow \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

Proprietăți ale funcțiilor infinitezimale

Conform regulilor de trecere la limită, pentru %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, urmează următoarele afirmații:

1. Suma numărului final b.m. funcții pentru %%x \to a%% este f.m. cu %%x \la a%%.
2. Produsul oricărui număr de b.m. funcții pentru %%x \to a%% este f.m. cu %%x \la a%%.

Produsul b.m. funcții la %%x \to a%% și o funcție delimitată într-o zonă perforată %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% din punctul a, este b.m. cu funcția %%x \to a%%.

Este clar că produsul unei funcții constante și b.m. la %%x \to a%% există b.m. funcția la %%x \la a%%.

Funcții infinitezimale echivalente

Sunt numite funcții infinit de mici %%\alpha(x), \beta(x)%% pentru %%x \to a%% echivalentși se scriu %%\alpha(x) \sim \beta(x)%% dacă

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

Teorema privind înlocuirea b.m. funcții echivalente

Fie %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% b.m. funcţionează la %%x \to a%%, şi %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, apoi $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ limite_(x \la a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Echivalent b.m. funcții.

Fie %%\alpha(x)%% b.m. funcția la %%x \la a%%, atunci

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Exemplu

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(array) $$

Funcții infinit de mari

Este apelată funcția %%f(x)%% infinit de mare(b.b.) pentru %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, dacă funcția are o limită infinită, deoarece argumentul tinde să o facă.

Ca b.m. funcţionează conceptul de b.b. funcția este indisolubil legată de o indicație a unei schimbări în argumentul său. Putem vorbi despre b.b. funcţionează la %%x \to a + 0%% şi %%x \to a - 0%%. Termenul „infinit de mare” nu înseamnă valoarea absolută a funcției, ci natura modificării acesteia în vecinătatea punctului considerat. Nici un număr constant, oricât de mare ca valoare absolută, nu este infinit de mare.

Exemple

1. Funcția %%f(x) = 1/x%% - b.b. la %%x \la 0%%.
2. Funcția %%f(x) = x%% - b.b. la %%x \to \infty%%.

Dacă condițiile definițiilor $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)( f( x)) = -\infty, \end(array) $$

apoi vorbesc despre pozitiv sau negativ b.b. la funcţia %%a%%.

Exemplu

Funcția %%1/(x^2)%% este un b.b pozitiv. la %%x \la 0%%.

Legătura dintre b.b. și b.m. funcții

Dacă %%f(x)%% este b.b. dacă %%x \to a%% este o funcție, atunci %%1/f(x)%% este b.m.

cu %%x \la a%%. Dacă %%\alpha(x)%% este b.m. pentru %%x \to a%% este o funcție diferită de zero într-o zonă perforată a punctului %%a%%, atunci %%1/\alpha(x)%% este b.b. cu %%x \la a%%.

Proprietăți ale funcțiilor infinit de mari

Să prezentăm câteva proprietăți ale lui b.b. funcții. Aceste proprietăți rezultă direct din definiția lui b.b. funcții și proprietăți ale funcțiilor care au limite finite, precum și din teorema de legătură dintre b.b. și b.m. funcții.

1. Produsul unui număr finit b.b. funcțiile pentru %%x \to a%% sunt b.b. funcția la %%x \la a%%. Într-adevăr, dacă %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% este b.b. funcționează la %%x \la a%%, apoi într-o zonă perforată a punctului %%a%% %%f_k(x) \ne 0%% și prin teorema conexiunii b.b. și b.m. funcțiile %%1/f_k(x)%% - b.m. funcția la %%x \la a%%. Se dovedește că %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% este o funcție b.m pentru %%x \to a%% și %%\displaystyle\prod^( n )_(k = 1)f_k(x)%% — b.b. funcția la %%x \la a%%.
2. Produsul b.b. funcții la %%x \to a%% și o funcție a cărei valoare absolută este mai mare decât o constantă pozitivă într-o vecinătate perforată a punctului %%a%% este a b.b. funcția la %%x \la a%%. În special, produsul b.b. funcții la %%x \to a%% și o funcție care are o limită finită diferită de zero în punctul %%a%% va fi b.b. funcția la %%x \la a%%.

Suma unei funcții mărginită într-o vecinătate perforată a punctului %%a%% și b.b. funcțiile la %%x \to a%% sunt b.b. funcția la %%x \la a%%.

De exemplu, funcțiile %%x - \sin x%% și %%x + \cos x%% sunt b.b. la %%x \to \infty%%.

3. Suma a doi b.b. funcţionează la %%x \la a%% există incertitudine. În funcție de semnul termenilor, natura modificării unei astfel de sume poate fi foarte diferită.

   Exemplu

   Fie funcțiile %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% - b.b. funcţionează la %%x \to \infty%%. Apoi:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. funcția la %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. funcția la %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% nu are limită la %%x \to \infty%%.

Definiții și proprietăți ale funcțiilor infinit de mici și infinit de mari într-un punct. Demonstrații de proprietăți și teoreme. Relația dintre funcțiile infinitezimale și infinit de mari.

Conţinut

Vezi si: Secvențe infinit de mici - definiție și proprietăți
Proprietăți ale unor secvențe infinit de mari

Definiția funcției infinitezimale și infinit de mari

Fie x 0 este un punct finit sau infinit: ∞ , -∞ sau +∞ .

Definiția unei funcții infinitezimale
Funcția α (X) numit infinitezimal deoarece x tinde spre x 0 0 , și este egal cu zero:
.

Definiția este infinită mare functie
funcția f (X) numit infinit de mare deoarece x tinde spre x 0 , dacă funcția are o limită ca x → x 0 , și este egal cu infinit:
.

Proprietăți ale funcțiilor infinitezimale

Proprietatea sumei, diferenței și produsului funcțiilor infinitezimale

Sumă, diferență și produs un număr finit de funcții infinit de mici ca x → x 0 este o funcție infinitezimală ca x → x 0 .

Această proprietate este o consecință directă a proprietăților aritmetice ale limitelor unei funcții.

Teoremă asupra produsului unei funcții mărginite de un infinitezimal

Produsul unei funcții mărginite pe vreo vecinătate perforată a punctului x 0 , la un infinitezimal, ca x → x 0 , este o funcție infinitezimală ca x → x 0 .

Proprietate privind reprezentarea unei funcții ca sumă a unei constante și a unei funcții infinitezimale

Pentru ca funcția f (X) are o limită finită, este necesar și suficient ca
,
unde este o funcție infinitezimală ca x → x 0 .

Proprietăți ale funcțiilor infinit de mari

Teoremă asupra sumei unei funcții mărginite și a uneia infinit de mari

Suma sau diferența unei funcții mărginite, pe o vecinătate perforată a punctului x 0 , și o funcție infinit de mare, ca x → x 0 , este o funcție infinită ca x → x 0 .

Teorema coeficientului pentru o funcție mărginită de una infinit de mare

Dacă funcția f (X) este infinit ca x → x 0 , iar funcția g (X)- mărginit pe vreo vecinătate perforată a punctului x 0 , apoi
.

Teoremă asupra coeficientului de împărțire a unei funcții mărginite mai jos de una infinitezimală

Dacă funcția , pe o vecinătate perforată a punctului , este mărginită de jos de un număr pozitiv în valoare absolută:
,
iar funcția este infinitezimală ca x → x 0 :
,
și există o vecinătate perforată a punctului pe care , atunci
.

Proprietatea inegalităților funcțiilor infinit de mari

Dacă funcția este infinit de mare pentru:
,
iar funcțiile și , pe o vecinătate perforată a punctului satisfac inegalitatea:
,
atunci funcția este, de asemenea, infinit de mare pentru:
.

Această proprietate are două cazuri speciale.

Fie, pe o vecinătate perforată a punctului , funcțiile și satisfac inegalitatea:
.
Atunci dacă , atunci și .
Dacă , atunci și .

Relația dintre funcțiile infinit de mari și infinit de mici

Legătura dintre funcțiile infinit de mari și infinit de mici rezultă din cele două proprietăți anterioare.

Dacă o funcție este infinit de mare la , atunci funcția este infinit de mică la .

Dacă funcția este infinit de mică pentru , și , atunci funcția este infinit de mare pentru .

Legătura dintre o funcție infinitezimală și o funcție infinit de mare poate fi exprimată simbolic:
, .

Dacă o funcție infinitezimală are un semn definit la , adică este pozitivă (sau negativă) pe o vecinătate perforată a punctului , atunci poate fi scrisă după cum urmează:
.
În același mod, dacă o funcție infinit de mare are un anumit semn la , atunci ei scriu:
, sau .

Atunci legătura simbolică dintre funcțiile infinit de mici și infinit de mari poate fi completată de următoarele relații:
, ,
, .

Formule suplimentare referitoare la simbolurile infinitului pot fi găsite pe pagină
„Punctele la infinit și proprietățile lor”.

Demonstrarea proprietăților și teoremelor

Demonstrarea teoremei asupra produsului unei funcții mărginite de un infinitezimal

Pentru a demonstra această teoremă, vom folosi . De asemenea, folosim proprietatea șirurilor infinitezimale, conform căreia

Fie funcția infinitezimală la , iar funcția să fie mărginită într-o vecinătate perforată a punctului:
la .

Deoarece există o limită, există o vecinătate perforată a punctului pe care este definită funcția. Să existe o intersecție de cartiere și . Apoi funcțiile și sunt definite pe el.

.
,
o secvență este infinitezimală:
.

Folosim faptul că produsul unei secvențe mărginite de una infinitezimală este o secvență infinitezimală:
.
.

Teorema a fost demonstrată.

Dovada unei proprietăți asupra reprezentării unei funcții ca sumă a unei constante și a unei funcții infinitezimale

Nevoie. Fie ca funcția să aibă o limită finită într-un punct
.
Luați în considerare o funcție:
.
Folosind proprietatea limitei diferenței de funcții, avem:
.
Adică, există o funcție infinitezimală pentru .

Adecvarea. Lasă și . Să aplicăm proprietatea limită a sumei funcțiilor:
.

Proprietatea a fost dovedită.

Demonstrarea teoremei asupra sumei unei funcții mărginite și a uneia infinit de mari

Pentru a demonstra teorema, vom folosi definiția Heine a limitei unei funcții

la .

Deoarece există o limită, atunci există o vecinătate perforată a punctului pe care este definită funcția. Să existe o intersecție de cartiere și . Apoi funcțiile și sunt definite pe el.

Să existe o secvență arbitrară care converge către , ale cărei elemente aparțin vecinătății:
.
Apoi secvențele și sunt definite. Și secvența este limitată:
,
o secvență este infinită:
.

Deoarece suma sau diferența unei secvențe mărginite și a unui infinit de mare
.
Apoi, conform definiției lui Heine a limitei unei secvențe,
.

Teorema a fost demonstrată.

Demonstrarea teoremei coeficientului pentru o funcție mărginită de una infinit de mare

Pentru demonstrație, vom folosi definiția lui Heine a limitei unei funcții. De asemenea, folosim proprietatea unor secvențe infinit de mari, conform căreia este o secvență infinit de mică.

Fie funcția să fie infinit de mare la , iar funcția să fie mărginită într-o vecinătate perforată a punctului:
la .

Deoarece funcția este infinit de mare, există o vecinătate perforată a punctului pe care este definită și nu dispare:
la .
Să existe o intersecție de cartiere și . Apoi funcțiile și sunt definite pe el.

Să existe o secvență arbitrară care converge către , ale cărei elemente aparțin vecinătății:
.
Apoi secvențele și sunt definite. Și secvența este limitată:
,
o secvență este infinită cu termeni diferiti de zero:
, .

Deoarece coeficientul de împărțire a unei secvențe mărginite la una infinit de mare este o secvență infinitezimală, atunci
.
Apoi, conform definiției lui Heine a limitei unei secvențe,
.

Teorema a fost demonstrată.

Demonstrarea teoremei asupra coeficientului de împărțire a unei funcții mărginite mai jos de una infinitezimală

Pentru a demonstra această proprietate, vom folosi definiția lui Heine a limitei unei funcții. De asemenea, folosim proprietatea secvențelor infinit de mari, conform căreia este o secvență infinit de mare.

Fie funcția infinitezimală la , iar funcția să fie mărginită în valoare absolută de jos de un număr pozitiv, pe o vecinătate perforată a punctului:
la .

Prin presupunere, există o vecinătate perforată a punctului pe care funcția este definită și nu dispare:
la .
Să existe o intersecție de cartiere și . Apoi funcțiile și sunt definite pe el. Si si.

Să existe o secvență arbitrară care converge către , ale cărei elemente aparțin vecinătății:
.
Apoi secvențele și sunt definite. În plus, șirul este mărginit de jos:
,
iar succesiunea este infinitezimală cu termeni non-zero:
, .

Deoarece coeficientul de împărțire a unei secvențe mărginite mai jos de una infinitezimală este o secvență infinit de mare, atunci
.
Și să fie o vecinătate perforată a punctului pe care
la .

Luați o secvență arbitrară care converge către . Apoi, pornind de la un număr N , elementele șirului vor aparține acestei vecinătăți:
la .
Apoi
la .

Conform definiției lui Heine a limitei unei funcții,
.
Apoi, prin proprietatea inegalităților unor secvențe infinit de mari,
.
Deoarece succesiunea este arbitrară, convergând la , atunci, prin definirea limitei unei funcții conform Heine,
.

Proprietatea a fost dovedită.

Referinte:
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.

Vezi si:

Funcţie y=f(x) numit infinitezimal la x→a sau când X→∞ dacă sau , adică O funcție infinitezimală este o funcție a cărei limită într-un punct dat este zero.

Exemple.

1. Funcție f(x)=(X-1) 2 este infinit mic pentru X→1, deoarece (vezi Fig.).

2. Funcția f(x)=tg X este infinit de mic la X→0.

3. f(x)= log(1+ X) este infinit mic la X→0.

4. f(x) = 1/X este infinit de mic la X→∞.

Să stabilim următoarea relație importantă:

Teorema. Dacă funcţia y=f(x) reprezentabil la x→a ca sumă a unui număr constant bși infinit de mici α(x): f(x)=b+ α(x) apoi .

În schimb, dacă , atunci f(x)=b+α(x), Unde topor) este infinit de mic la x→a.

Dovada.

1. Să demonstrăm prima parte a aserției. Din egalitate f(x)=b+α(x) ar trebui să |f(x) – b|=| α|. Dar de atunci topor) este infinitezimal, atunci pentru ε arbitrar există δ, o vecinătate a punctului A, pentru toți X din care, valori topor) satisface relația |α(x)|< ε. Apoi |f(x) – b|< ε. Și asta înseamnă că .

2. Dacă , atunci pentru orice ε >0 pentru toți X din unele δ este o vecinătate a punctului A voi |f(x) – b|< ε. Dar dacă denotăm f(x) – b= α, apoi |α(x)|< ε, ceea ce înseamnă că A- infinit de mici.

Să luăm în considerare principalele proprietăți ale funcțiilor infinitezimale.

Teorema 1. Suma algebrică a doi, trei și, în general, orice număr finit de infinitezimale este o funcție infinitezimală.

Dovada. Să dăm o dovadă pentru doi termeni. Lasa f(x)=α(x)+β(x), unde și . Trebuie să demonstrăm că pentru ε arbitrar arbitrar mic > 0 acolo δ> 0, astfel încât pt X satisfacerea inegalitatii |x – a|<δ , efectuat |f(x)|< ε.

Astfel, fixăm un număr arbitrar ε > 0. Deoarece, conform ipotezei teoremei, α(x) este o funcție infinitezimală, atunci există δ 1 > 0, care la |x – a|< δ 1 avem |α(x)|< ε / 2. La fel, din moment ce β(x) este infinitezimal, atunci există un astfel de δ 2 > 0, care la |x – a|< δ 2 avem | β(x)|< ε / 2.

Hai sa luam δ=min(δ1 , δ2 } .Apoi într-o vecinătate a punctului A rază δ fiecare dintre inegalităţi va fi satisfăcută |α(x)|< ε / 2 și | β(x)|< ε / 2. Prin urmare, în acest cartier va exista

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

acestea. |f(x)|< ε, care trebuia demonstrat.

Teorema 2. Produsul unei funcții infinitezimale topor) pentru o funcție limitată f(x) la x→a(sau când x→∞) este o funcție infinitezimală.

Dovada. Din moment ce functia f(x) este limitat, atunci există un număr M astfel încât pentru toate valorile X dintr-o vecinătate a punctului a|f(x)|≤M.În plus, din moment ce topor) este o funcție infinitezimală pentru x→a, atunci pentru ε arbitrar > 0 există o vecinătate a punctului A, în care inegalitatea |α(x)|< ε /M. Apoi, în cel mai mic dintre aceste cartiere avem | αf|< ε /M= ε. Și asta înseamnă că af- infinit de mici. Pentru cazul x→∞ dovada se realizează în mod similar.

Din teorema demonstrată rezultă:

Consecința 1. Dacă și , atunci .

Consecința 2. Dacă c= const, atunci .

Teorema 3. Raportul unei funcții infinitezimale α(x) per functie f(x), a cărei limită este diferită de zero, este o funcție infinitezimală.

Dovada. Lasa . Apoi 1 /f(x) există funcție limitată. Prin urmare, o fracție este un produs al unei funcții infinitezimale și al unei funcții mărginite, i.e. funcția este infinitezimală.

Având în vedere definiția la nesfârșit secvență mare. Sunt luate în considerare conceptele de vecinătăți de puncte infinit îndepărtate. Este dată o definiție universală a limitei unei secvențe, care se aplică atât limitelor finite, cât și limitelor infinite. Sunt luate în considerare exemple de aplicare a definiției unei secvențe infinit de mari.

Conţinut

Vezi si: Determinarea limitei unei secvențe

Definiție

Urmare (βn) se numește șir infinit, dacă este cazul, în mod arbitrar un numar mare M, există numar natural N M în funcție de M astfel încât pentru toate numerele întregi pozitive n > N M inegalitatea
|β n | >M.
În acest caz, scrieți
.
Sau la .
Ei spun că tinde spre infinit, sau converge spre infinit.

Dacă, pornind de la un număr N 0 , apoi
( converge spre plus infinit).
Daca atunci
( converge spre minus infinit).

Scriem aceste definiții folosind simbolurile logice ale existenței și universalității:
(1) .
(2) .
(3) .

Secvențele cu limite (2) și (3) sunt cazuri speciale ale unei secvențe infinit de mare (1). Din aceste definiții rezultă că, dacă limita unei secvențe este plus sau minus infinit, atunci este, de asemenea, egală cu infinit:
.
Reversul, desigur, nu este adevărat. Membrii secvenței pot avea caractere alternative. În acest caz, limita poate fi egală cu infinitul, dar fără un semn definit.

Rețineți, de asemenea, că dacă o anumită proprietate este valabilă pentru o secvență arbitrară cu o limită egală cu infinitul, atunci aceeași proprietate este valabilă pentru o secvență a cărei limită este plus sau minus infinitul.

În multe manuale de calcul, definiția unei secvențe infinit de mari afirmă că numărul M este pozitiv: M > 0 . Cu toate acestea, această cerință este redundantă. Dacă este anulat, atunci nu apar contradicții. Doar valorile mici sau negative nu ne interesează. Suntem interesați de comportamentul secvenței pentru valori pozitive arbitrar mari ale lui M. Prin urmare, dacă este nevoie, atunci M poate fi limitat de jos de orice număr dat a, adică să presupunem că M > a.

Când am definit ε - vecinătatea punctului final, atunci cerința ε > 0 este un important. Pentru valori negative, inegalitatea nu poate fi valabilă deloc.

Vecinătăți de puncte la infinit

Când am considerat limite finite, am introdus conceptul de vecinătate a unui punct. Amintiți-vă că vecinătatea unui punct final este un interval deschis care conține acest punct. De asemenea, putem introduce conceptul de vecinătăți de puncte la infinit.

Fie M un număr arbitrar.
Vecinătatea punctului „infinit”, , se numește mulțime .
Apropierea punctului „plus infinit”, , se numește mulțime .
Apropierea punctului „minus infinit”, , se numește mulțime .

Strict vorbind, vecinătatea punctului „infinit” este multimea
(4) ,
unde M 1 si m 2 sunt numere pozitive arbitrare. Vom folosi prima definiție, , pentru că este mai simplă. Deși, tot ceea ce se spune mai jos este adevărat și atunci când se folosește definiția (4).

Putem da acum o definiție unificată a limitei unei secvențe care se aplică atât limitelor finite, cât și limitelor infinite.

Definiția universală a limitei secvenței.
Un punct a (finit sau la infinit) este limita unei secvențe dacă pentru orice vecinătate a acestui punct există un număr natural N astfel încât toate elementele șirului cu numere aparțin acestei vecinătăți.

Astfel, dacă limita există, atunci în afara vecinătății punctului a nu poate exista decât un număr finit de membri ai șirului sau o mulțime goală. Această condiție este necesară și suficientă. Dovada acestei proprietăți este exact aceeași ca pentru limitele finite.

Proprietatea de vecinătate a unei secvențe convergente
Pentru ca punctul a (finit sau la infinit) să fie limita șirului , este necesar și suficient ca în afara oricărei vecinătăți a acestui punct să existe un număr finit de membri ai șirului sau o mulțime goală.
Dovada .

De asemenea, se introduc uneori conceptele de ε - vecinătăți de puncte infinit îndepărtate.
Reamintim că vecinătatea ε a punctului final a este mulţimea.
Să introducem următoarea notație. Fie denotă ε - vecinătatea unui punct a . Apoi, pentru punctul final,
.
Pentru puncte la infinit:
;
;
.
Folosind conceptele de ε - vecinătăți, se poate da o definiție mai universală a limitei unei secvențe:

Un punct a (finit sau la infinit) este limita unei secvențe dacă există număr pozitiv ε > 0 există un număr natural N ε care depinde de ε astfel încât pentru toate numerele n > N ε termenii x n aparțin vecinătății ε a punctului a :
.

Cu ajutorul simbolurilor logice ale existenței și universalității, această definiție poate fi scrisă după cum urmează:
.

Exemple de secvențe infinit de mari

Exemplul 1

.

.
Scriem definiția unei secvențe infinit de mari:
(1) .
În cazul nostru
.

Introducem numere și , legându-le cu inegalități:
.
Conform proprietăților inegalităților , dacă și , atunci
.
Rețineți că atunci când această inegalitate este valabilă pentru orice n . Deci, puteți alege astfel:
la ;
la .

Deci, pentru oricine poate găsi un număr natural care satisface inegalitatea. Apoi pentru toți
.
Înseamnă că . Adică, succesiunea este infinit de mare.

Exemplul 2

Folosind definiția unei secvențe infinit de mare, arătați că
.

(2) .
Termenul comun al șirului dat are forma:
.

Introduceți numere și:
.
.

Atunci pentru oricine poate găsi un număr natural care satisface inegalitatea, astfel încât pentru toți,
.
Înseamnă că .

.

Exemplul 3

Folosind definiția unei secvențe infinit de mare, arătați că
.

Să notăm definiția limitei unei secvențe egale cu minus infinit:
(3) .
Termenul comun al șirului dat are forma:
.

Introduceți numere și:
.
Aceasta arată că dacă și , atunci
.

Deoarece pentru oricine poate găsi un număr natural care satisface inegalitatea , atunci
.

Având în vedere , ca N, puteți lua orice număr natural care satisface următoarea inegalitate:
.

Exemplul 4

Folosind definiția unei secvențe infinit de mare, arătați că
.

Să scriem termenul comun al șirului:
.
Să notăm definiția limitei unei secvențe egale cu plus infinitul:
(2) .

Deoarece n este un număr natural, n = 1, 2, 3, ... , apoi
;
;
.

Introducem numerele și M , relaționându-le prin inegalități:
.
Aceasta arată că dacă și , atunci
.

Deci, pentru orice număr M, puteți găsi un număr natural care satisface inegalitatea . Apoi pentru toți
.
Înseamnă că .

Referinte:
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.

Vezi si: