Figura prezintă curbe (și linii drepte) care descriu una dintre cele mai importante caracteristici din astronomie - funcția de masă inițială a stelelor.

După cum se știe, cel mai important parametru pentru stele este masa lor. În general, aproape totul se poate spune despre o singură stea, cunoscându-i vârsta, masa și compoziție chimică. Vârsta acestei stele este în continuă creștere - steaua evoluează. Evoluția unei singure stele poate fi prezisă prin cunoașterea celor doi parametri rămași - masa și compoziția. Compoziția inițială a stelelor este aproximativ aceeași (în sensul că nu există stele din kerosen sau ciocolată - toate sunt compuse în principal din hidrogen și heliu). Diferența constă în „condimente” - până la câteva procente de elemente mai grele decât heliul. Dar, să spunem, acum în Galaxia noastră stelele se nasc cu aproximativ compoziția chimică solară, așa că chiar și „supa de stele” este asezonată aproximativ la fel. Rămâne o masă.

Pentru a modela populații mari de stele, trebuie să știți care sunt proprietățile lor medii. Cel mai important lucru este distribuția în masă. Masa unei stele se poate modifica în timpul vieții sale (din cauza vântului stelar, din cauza ejectării cochiliei, din cauza schimbului de masă într-un sistem binar). Acest lucru poate fi simulat. Principalul lucru este să știi care a fost masa la început. Aceasta este funcția de masă inițială.

Funcția de masă inițială (IMF) poate fi specificată în diferite moduri. Acestea. esența va fi aceeași - câte stele din ce mase - dar formula poate fi scrisă în mai multe versiuni. Acest lucru este important de înțeles pentru a înțelege ceea ce este arătat în imagine. Și pe el autorii prezintă câteva dintre cele mai populare funcții de masă. Cu toate acestea, aici nu vom scrie formule (și, prin urmare, nu vom explica în detaliu ceea ce este reprezentat de-a lungul axei verticale). Masa stelelor este reprezentată de-a lungul axei orizontale. Verticală - proporția de masă în bin-ul logaritmic (interval) de masă. Dacă am trasa numărul de stele într-un interval de masă unitar, atunci curbele s-ar ridica mai abrupt în direcția maselor mai mici.

Cea mai populară funcție de masă printre astrofizicieni este funcția Salpeter. În 1955, Salpeter a stabilit că distribuția de masă este bine descrisă printr-o linie dreaptă pe o scară logaritmică. Acestea. functie de putere. Desigur, cu cât masa este mai mică, cu atât sunt mai numeroase astfel de stele. Funcția de masă Salpeter se aplică obiectelor cu mase de la 0,1 la 120 de mase solare (linia punctată din figură).

În comparație cu cea a lui Salpeter, alte funcții de masă au blocaje fie la mase mici, fie la cele mari (sau ambele). Cei mai cunoscuți autori sunt Skala și Krupa (vezi poza). Funcția de masă poate fi determinată în diferite moduri: de la numărarea directă a stelelor până la utilizarea caracteristicilor globale (plus un fel de model). De exemplu, puteți măsura luminozitatea unei galaxii în diferite intervale și puteți vedea ce distribuții ale stelelor în funcție de masă (prin stabilirea unui model de radiație pentru fiecare masă în fiecare etapă de evoluție) pot fi descrise. Este posibil să se determine funcția de masă (în special la capătul cu masă scăzută) din datele de microlensare. În cele din urmă, se poate încerca să construiască o curbă teoretică prin simularea procesului de naștere a stelelor pe un computer.

Care este adevărul, nu știm. Dacă nu vorbim despre obiecte cu masă foarte mică sau, dimpotrivă, despre cele mai masive stele, atunci funcția Salpeter descrie totul bine. Apropo, Baldry și Glazebrook scriu în lucrarea lor că, în intervalul de masă de la 0,5 la 120 de mase solare, totul este în concordanță rezonabilă cu funcția Salpeter (cel puțin totul poate fi descris printr-o linie dreaptă cu o pantă apropiată de cea indicată în lucrarea lui Salpeter din 1955). Se pare că vor apărea multă vreme lucrări, unde vor găsi din ce în ce mai multe dovezi noi în favoarea funcției de masă salpeteriană sau în favoarea lui Miller-Scalo, sau vor oferi noi opțiuni. O privire de ansamblu bună (dar mai degrabă ad-hoc) poate fi găsită în lucrarea lui Chabrier

Funcții de comparație

Compară șiruri.

Sintaxă:

int strcmp(șir str1, șir str2)

Compară începuturile șirurilor.

Sintaxă:

int strncmp(șir str1, șir str2, int len)

Această funcție este diferită de strcmp() prin aceea că nu compară întregul cuvânt, ci primul len octeți Dacă len este mai mică decât lungimea celui mai mic șir, apoi se compară șirurile întregi.

Această funcție compară două șiruri caracter cu caracter (mai precis, octet octet) și returnează:

Deoarece comparația este octet-cu-octet, cazul caracterelor afectează rezultatele comparațiilor.

strcasecmp

Compară șirurile de caractere fără a ține seama de majuscule și minuscule.

Sintaxă:

int strcasecmp(șir str1, șir str2)

La fel ca strcmp(), doar cazul literelor nu este luat în considerare în timpul funcționării.

$str1 = "Bună ziua!";

$str2 = „bună ziua!”;

dacă(!strcesecmp($str1, $str2))

echo "$str1 == $str2 când se compară șirurile care nu țin cont de majuscule și minuscule";

strncasecmp

Compară începuturile șirurilor de caractere fără a ține seama de majuscule și minuscule.

Sintaxă:

int strncasecmp(șir str1, șir str2, int len)

Funcţie strncasecmp() este o combinație de funcții strcasecmp()Și strncmp().

strnatcmp

Efectuează o comparație „naturală” de șiruri.

Sintaxă:

int strnatcmp(șir str1, șir str2)

Această funcție simulează comparația șirurilor pe care ar folosi-o un om.

$arr1 = $arr2 = matrice ("img12.png", "img10.png", "img2.png", "img1.png");

ecou "Sortare normală";

usort($arr1, "strcmp");

echo „nsortare naturală”;

usort($arr2, "strnatcmp");

Acest script va scoate următoarele:

Matrice de sortare normală( => img1.png => img10.png => img12.png => img2.png)Matrice de sortare naturală ( => img1.png => img2.png => img10.png => img12.png)

strnatcasecmp

Efectuează o comparație „naturală” de șiruri care nu ține seama de majuscule și minuscule.

Sintaxă:

int strnatcasecmp(șir str1, șir str2)

La fel ca strnatcmp(), ignoră doar majuscule.

text_similar

Determină asemănarea a două șiruri.

Sintaxă:

int text_similar(șir primul, șir al doilea [, procent dublu])

Funcţie text_similar() calculează asemănarea a două șiruri folosind algoritmul descris de Oliver (Oliver). Dar în loc de o stivă (ca în pseudocodul lui Oliver), folosește apeluri recursive.

Complexitatea algoritmului face ca funcția să încetinească, iar viteza sa este proporțională cu (N^3), unde N este lungimea celui mai mare șir.

Funcția returnează numărul de caractere care s-au potrivit în ambele șiruri. Când trece al treilea parametru opțional prin referință, acesta stochează procentul de potriviri ale șirurilor.

levenshtein

Determinarea diferenței Levenshtein a două șiruri.

Sintaxă:

int levenshtein(șir str1, șir str2)int levenshtein(șir str1, șir str2, int cost_ins, int cost_rep, int cost_del)int levenshtein(șir str1, șir str2, costul funcției)

Diferența Levenshtein este numărul minim de caractere care ar trebui înlocuite, inserate sau șterse pentru a face un șir str1 V str2. Complexitatea algoritmului este proporțională cu produsul lungimilor șirurilor str1Și str2, ceea ce face ca funcția să fie mai rapidă decât text_similar().

Prima formă a funcției returnează numărul de operații necesare pe șir de caractere pentru transformare str1 V str2.

A doua formă are trei parametri suplimentari: costul operațiunilor de inserare, înlocuire și ștergere, ceea ce o face mai potrivită pentru calcul, dar în același timp mai puțin rapidă. Indicatorul integral al complexității transformării este returnat.

A treia opțiune vă permite să specificați funcția utilizată pentru a calcula complexitatea transformării.

Funcţie cost apelat cu următoarele argumente:

Funcția apelată va trebui să returneze costul acestei operațiuni.

Dacă unul dintre șiruri are mai mult de 255 de caractere, funcția levenshtein() returnează -1, dar această lungime este mai mult decât suficientă.

Din cartea Ghidul bibliotecii standard de șabloane (STL). de Li Meng

Comparații Biblioteca oferă clase de obiecte cu funcție de bază pentru toți operatorii de comparare a limbii șablon ‹clasa T›struct equal_to: binary_function‹T, T, bool› ( bool operator())(const T& x, const T& y) const (return x == y;));șablon ‹clasa T›struct nu_egal_cu: funcție_binară‹T, T, bool› ( operator bool())(const T& x, const T& y) const

Din cartea Delphi. Învățând prin exemplu autor Parizhsky Serghei Mihailovici

Operatori de comparare Operatorii de comparare returnează o valoare booleană: = - egal;<>- nu este egal;< - меньше; >- Mai mult;<= - меньше или равно; >= - mai mult sau

Din cartea Utilizarea eficientă a STL de Meyers Scott

Sfat 21: Asigurați-vă că funcțiile de comparație revin false în caz de egalitate. Acum vă voi arăta ceva interesant. Creați un container set cu tip de comparație less_equal și introduceți numărul 10:set în el > s; // Containerul este sortat după criteriu "<="s.insert(10); // Вставка

Din cartea HTML 5, CSS 3 și Web 2.0. Dezvoltarea de site-uri web moderne. autor Dronov Vladimir

Din cartea HTML 5, CSS 3 și Web 2.0. Dezvoltarea de site-uri web moderne autor Dronov Vladimir

Operatori de comparație Operatorii de comparație compară doi operanzi în funcție de o anumită condiție și produc (sau, după cum spun programatorii, returnează) o valoare booleană. Dacă condiția de comparație este îndeplinită, se returnează true, dacă nu, se returnează false

Din cartea XSLT Technology autor Valikov Alexey Nikolaevici

Din cartea Fundamental Algorithms and Data Structures in Delphi autor Bucknell Julian M.

Proceduri de comparare Însuși actul de căutare a unui element într-un set de elemente necesită abilitatea de a distinge elementele unele de altele. Dacă nu putem distinge între două elemente, atunci nu are rost să căutăm unul dintre astfel de elemente. Deci prima dificultate de care avem nevoie

Din cartea Firebird DATABASE DEVELOPER'S GHIDE de Borri Helen

Comparații Când o coloană indexată este comparată pentru a determina dacă valoarea ei este mai mare decât, egală cu sau mai mică decât o valoare constantă, valoarea indexului este utilizată în comparație și rândurile care nu se potrivesc nu sunt selectate. Dacă nu există index, totul

Din cartea The Art of Shell Scripting Language Programming de Cooper Mendel

Din cartea Linux și UNIX: programare shell. Ghidul dezvoltatorului. de Tainsley David

7.3. Operații de comparare compararea numerelor întregi -eqequalif [ "$a" -eq "$b" ] -nenot equalif [ "$a" -ne "$b" ] -gtgreaterif [ "$a" -gt "$b" ] -gegreater sau equalif [ "$a" -ge "$b" ]-ltlessif [ "$a" -lt "$b" ]-leless decât sau egalif [ "$a" -le "$b" ]<меньше (внутри двойных круглых скобок)(("$a" < "$b"))<=меньше или равно (внутри двойных

Din cartea Ajutor SQL a autorului

Din cartea C++ pentru începători de Lippman Stanley

Din cartea HTML, XHTML și CSS 100% autorul Kvint Igor

12.5.7. Algoritmi de comparare Șapte algoritmi oferă modalități diferite de a compara un container cu altul (algoritmii min() și max() compară două elemente). Algoritmul lexicographical_compare() realizează ordonarea lexicografică (dicționar) (vezi și discuția despre permutări și

Din cartea Holy Wars of the World FOSS autor Fedorciuk Alexey Viktorovich

Operatori de comparație Operatorii de comparație sunt utilizați pentru a compara operanzi. În aceste operații, operanzii pot fi nu numai numere, ci și șiruri de caractere, valori logice și obiecte. În tabel Tabelul 11.8 prezintă toate operațiunile de comparare Tabelul 11.8. Operații de comparare în listare 11.10

Din cartea Descrierea limbajului PascalABC.NET autor Echipa RuBoard

Criterii de comparare Din punctul de vedere al utilizatorului, distribuțiile pot fi comparate din punct de vedere al caracteristicilor tehnologice și din punct de vedere umanitar. Întregul ciclu a fost scris de dragul acestuia din urmă și ne vom întoarce la el la jumătatea drumului. Între timp, să vorbim despre criteriile tehnologice. Printre ele principalele

Din cartea autorului

Operaţii de comparare Operaţii de comparare<, >, <=, >=, =, <>returnează o valoare booleană și se aplică operanzilor și șirurilor de caractere de tip simplu. Operatorii = și<>se aplică și tuturor tipurilor. Pentru tipurile de dimensiuni, valorile sunt comparate implicit, pentru tipurile de referință -

Sunt date definițiile funcțiilor mici, mari, echivalente (asimptotic egale), funcțiilor de același ordin și proprietățile lor. Se oferă o demonstrație a proprietăților și teoremelor. Aceste proprietăți și teoreme sunt folosite pentru a compara funcții și pentru a calcula limite pe măsură ce argumentul se apropie de un punct finit sau infinit.

Conţinut

Definiții

Definiţia small
Simbol oh mic notează orice funcție infinitezimală o (f(x))în comparație cu o funcție dată f (X) cu un argument care tinde către un număr finit sau infinit x 0 .

Se numește funcția α infinitezimal în comparație cu funcția f la:
la
(se citește: „există cam mic de când”),
dacă există o vecinătate perforată a punctului pe care
la ,
unde este o funcție infinitezimală la:
.

Proprietăți ale micului utilizat în seriile de putere
Aici m și n sunt numere naturale, .
;
;
, Dacă ;
;
;
;
, Unde ;
, unde c ≠ 0 - constant;
.

Pentru a demonstra aceste proprietăți, trebuie să exprimați mic printr-o funcție infinitezimală:
, Unde .

Proprietățile funcțiilor echivalente


3) Dacă , atunci la .

Teoremă privind legătura dintre funcțiile echivalente și mici
.

Această proprietate este adesea scrisă astfel:
.
În același timp, ei spun că este parte principală la . În același timp, partea principală nu este definită în mod unic. Orice funcție echivalentă este o parte principală a celei originale.
Datorită proprietății de simetrie:
.

Teorema de inlocuire a functiilor cu altele echivalente in limita catului
Dacă, pentru , și și există o limită
, atunci există o limită
.

Datorită proprietății de simetrie a funcțiilor echivalente, dacă una dintre aceste limite nu există, atunci nici cealaltă nu există.

Deoarece orice funcție definită pe o vecinătate perforată a punctului este echivalentă cu ea însăși, atunci există limite
.

Înlocuirea funcțiilor g și g 1 pe 1/gȘi 1/g 1, obținem o teoremă similară pentru produs.
Dacă, pentru , și , atunci
.
Aceasta înseamnă că dacă o limită există, atunci există și cealaltă. Dacă una dintre aceste limite nu există, atunci a doua nu există.

Lema. Semnul funcțiilor de aceeași ordine
(L1.1) ,
atunci funcțiile f și g sunt de același ordin pentru:
la .

Demonstrarea proprietăților și teoremelor

Teorema. Proprietăți despre mici

1) Dacă , atunci la .

Dovada

Lăsa . Aceasta înseamnă că există o vecinătate perforată a punctului pe care este definită relația și deci . Apoi în acest cartier
,
Unde . După condiție
.
Apoi .
Proprietatea 1) a fost dovedită.

2) Dacă pe o vecinătate perforată de puncte,
și apoi
.

Dovada

Deoarece , atunci pe vecinătatea punctată considerată a punctului,
.
De atunci
.
Proprietatea 2) a fost dovedită.

3.1) , unde c ≠ 0 - constant.
3.2) ;
3.3) .

Dovada

3.1).
,
Unde . Să introducem funcția. Apoi
.
De atunci
.
Proprietatea 3.1) a fost dovedită.

3.2). Să demonstrăm că.
Lăsa . Conform definiției micului,
,
Unde .
Apoi ,
Unde . Deoarece
, Acea
.
Proprietatea 3.2) a fost dovedită.

3.3). Să demonstrăm că.
Lăsa . Conform definiției micului,
,
Unde ,
.
Conform proprietăților aritmetice ale limitei unei funcții,
.
Apoi .
Proprietatea 3.3) a fost dovedită.

Funcții echivalente

Proprietățile funcțiilor echivalente

1) Proprietatea simetriei. Dacă, la , atunci .

Dovada

Deoarece pentru , , atunci conform definiției unei funcții echivalente, există o vecinătate perforată a punctului pe care
,
Unde .
Deoarece o funcție are o limită diferită de zero, atunci după teorema privind mărginirea de jos a unei funcții având o limită diferită de zero, există o vecinătate perforată a punctului pe care . Prin urmare, în această vecinătate. Prin urmare, funcția este definită pe el. Apoi
.
Conform teoremei privind limita coeficientului a două funcții,
.
Proprietatea a fost dovedită.

2) Proprietatea tranzitivității. Dacă, pentru , și , atunci .

Dovada

3) Dacă , atunci la .

Dovada

Deoarece există o limită, există o vecinătate perforată a punctului pe care este definit coeficientul și, prin urmare, . Apoi în acest cartier
. Pentru că atunci . Datorită proprietății de simetrie, .
Proprietatea a fost dovedită.

Teoremă privind legătura dintre funcțiile echivalente și mici

Pentru ca două funcții să fie echivalente (sau asimptotic egale), este necesar și suficient ca următoarea condiție să fie îndeplinită:
.

Dovada

1. Necesitatea. Fie funcțiile și să fie echivalente pentru . Apoi
.
De atunci
.
Apoi .
Necesitatea a fost dovedită.

2. Suficiență. Lasă la ,
.
Atunci unde. De aici
.
De atunci
.
Teorema a fost demonstrată.

Teorema de inlocuire a functiilor cu altele echivalente in limita catului

. Apoi
, Unde
.
Deoarece există o limită, atunci există o vecinătate perforată a punctului în care funcția este definită și diferită de zero. Deoarece , deci, prin teorema privind mărginirea de jos a unei funcții cu limită diferită de zero, există o vecinătate perforată a punctului pe care și, prin urmare, . Apoi există o vecinătate perforată a punctului pe care funcția este definită și diferită de zero și, prin urmare, coeficientul este definit:
.
Aplicăm proprietățile aritmetice ale limitei unei funcții:
.

Teorema a fost demonstrată.

Semnul funcțiilor de aceeași ordine

Lema
Dacă există o limită finită diferită de zero
(L1.1) ,
atunci funcțiile f și g sunt de același ordin la , pe care
la .

Să transformăm inegalitatea și să înlocuim:
;
;
(L1.2) .
Din a doua inegalitate:
,
sau .
Din prima inegalitate (L1.2):
,
sau .

Lema este dovedită.

Referințe.
O.I. Besov. Prelegeri de analiză matematică. Partea 1. Moscova, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.