Una dintre cele mai cunoscute funcții exponențiale din matematică este exponentul. Reprezintă numărul Euler ridicat la puterea specificată. În Excel există un operator separat care vă permite să îl calculați. Să vedem cum poate fi folosit în practică.

Exponentul este numărul Euler ridicat la o putere dată. Numărul Euler în sine este de aproximativ 2,718281828. Uneori este numit și numărul Napier. Funcția exponent arată astfel:

unde e este numărul Euler și n este gradul de ridicare.

Pentru a calcula acest indicator în Excel, se folosește un operator separat - EXP. În plus, această funcție poate fi afișată sub formă de grafic. Vom vorbi în continuare despre lucrul cu aceste instrumente.

Metoda 1: Calculați exponentul introducând manual funcția

EXP(număr)

Adică această formulă conține un singur argument. Este tocmai puterea la care trebuie ridicat numărul Euler. Acest argument poate fi fie o valoare numerică, fie o referință la o celulă care conține un exponent.

Metoda 2: Utilizarea Expertului Funcție

Deși sintaxa pentru calcularea exponentului este extrem de simplă, unii utilizatori preferă să o folosească Expertul de funcții. Să vedem cum se face acest lucru cu un exemplu.

Dacă o referință de celulă care conține un exponent este folosită ca argument, atunci trebuie să plasați cursorul în câmp "Număr"și pur și simplu selectați acea celulă de pe foaie. Coordonatele sale vor fi afișate imediat în câmp. După aceasta, pentru a calcula rezultatul, faceți clic pe butonul "BINE".

Metoda 3: complot

În plus, în Excel este posibil să construiți un grafic folosind ca bază rezultatele obținute din calcularea exponentului. Pentru a construi un grafic, foaia trebuie să aibă deja valori calculate ale exponentului diferitelor puteri. Ele pot fi calculate folosind una dintre metodele descrise mai sus.

The material metodologic este doar pentru referință și se aplică unei game largi de subiecte. Articolul oferă o prezentare generală a graficelor funcțiilor elementare de bază și ia în considerare cea mai importantă problemă - cum să construiți un grafic corect și RAPID. În timpul studiului matematică superioară Fără a cunoaște graficele funcțiilor elementare de bază, va fi dificil, așa că este foarte important să ne amintim cum arată graficele unei parabole, hiperbole, sinus, cosinus etc. și amintiți-vă câteva dintre valorile funcției. De asemenea vom vorbi despre unele proprietăţi ale funcţiilor de bază.

Nu pretind completitudinea și temeinicia științifică a materialelor; accentul va fi pus, în primul rând, pe practică - acele lucruri cu care se întâlnește literalmente la fiecare pas, în orice subiect de matematică superioară. Grafice pentru manechine? S-ar putea spune așa.

Datorită numeroaselor solicitări din partea cititorilor cuprins pe care se poate face clic:

În plus, există un rezumat ultra-scurt pe această temă
– stăpânește 16 tipuri de diagrame studiind șase pagini!

Serios, șase, chiar și eu am fost surprins. Acest rezumat conține grafică îmbunătățită și este disponibil pentru o taxă nominală; o versiune demo poate fi vizualizată. Este convenabil să imprimați fișierul, astfel încât graficele să fie întotdeauna la îndemână. Vă mulțumim pentru susținerea proiectului!

Și să începem imediat:

Cum se construiesc corect axele de coordonate?

În practică, testele sunt aproape întotdeauna finalizate de către elevi în caiete separate, aliniate într-un pătrat. De ce ai nevoie de marcaje în carouri? La urma urmei, munca, în principiu, se poate face pe coli A4. Și cușca este necesară doar pentru proiectarea de înaltă calitate și precisă a desenelor.

Orice desen al unui grafic de funcții începe cu axe de coordonate.

Desenele pot fi bidimensionale sau tridimensionale.

Să luăm mai întâi în considerare cazul bidimensional Sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare:

1) Desenați axele de coordonate. Axa se numește axa x , iar axa este axa y . Întotdeauna încercăm să le desenăm îngrijită și nu strâmbă. De asemenea, săgețile nu ar trebui să semene cu barba lui Papa Carlo.

2) Semnăm axele cu litere mari „X” și „Y”. Nu uitați să etichetați axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor: trageți un zero și doi uni. Când faceți un desen, scara cea mai convenabilă și folosită frecvent este: 1 unitate = 2 celule (desen din stânga) - dacă este posibil, rămâneți de ea. Totuși, din când în când se întâmplă ca desenul să nu încapă pe foaia caietului - atunci reducem scara: 1 unitate = 1 celulă (desen din dreapta). Este rar, dar se întâmplă ca scara desenului să fie redusă (sau mărită) și mai mult

NU ESTE NEVOIE să „mitralieră” …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Pentru plan de coordonate nu este un monument al lui Descartes, iar studentul nu este un porumbel. Am pus zeroȘi două unități de-a lungul axelor. Uneori în loc de unități, este convenabil să „marcați” alte valori, de exemplu, „două” pe axa absciselor și „trei” pe axa ordonatelor - și acest sistem (0, 2 și 3) va defini, de asemenea, în mod unic grila de coordonate.

Este mai bine să estimați dimensiunile estimate ale desenului ÎNAINTE de a construi desenul. Deci, de exemplu, dacă sarcina necesită desenarea unui triunghi cu vârfuri , , , atunci este complet clar că scara populară de 1 unitate = 2 celule nu va funcționa. De ce? Să ne uităm la punctul - aici va trebui să măsurați cincisprezece centimetri mai jos și, evident, desenul nu se va potrivi (sau abia se va potrivi) pe o foaie de caiet. Prin urmare, selectăm imediat o scară mai mică: 1 unitate = 1 celulă.

Apropo, despre centimetri și celule de notebook. Este adevărat că 30 de celule de notebook conțin 15 centimetri? Pentru distracție, măsurați 15 centimetri în caiet cu o riglă. În URSS, s-ar putea să fi fost adevărat... Este interesant de observat că dacă măsurați acești centimetri pe orizontală și pe verticală, rezultatele (în celule) vor fi diferite! Strict vorbind, caietele moderne nu sunt în carouri, ci dreptunghiulare. Acest lucru poate părea o prostie, dar desenarea, de exemplu, a unui cerc cu o busolă în astfel de situații este foarte incomod. Sincer să fiu, în astfel de momente începi să te gândești la corectitudinea tovarășului Stalin, care a fost trimis în lagăre pentru muncă de hack în producție, ca să nu mai vorbim de industria auto autohtonă, căderea avioanelor sau exploziile centralelor electrice.

Apropo de calitate, sau o scurtă recomandare despre papetărie. Astăzi, majoritatea caietelor aflate în vânzare sunt, cel puțin, o porcărie completă. Din motivul că se udă, și nu numai de la pixurile cu gel, ci și de la pixurile cu bilă! Economisesc bani pe hârtie. Pentru înregistrare teste Recomand să folosiți caiete de la Fabrica de celuloză și hârtie din Arkhangelsk (18 coli, grilă) sau „Pyaterochka”, deși este mai scump. Este recomandabil să alegeți un pix cu gel; chiar și cea mai ieftină umplutură de gel chinezească este mult mai bună decât un pix, care fie pătează, fie rupe hârtia. Singurul pix „competitiv” pe care mi-l amintesc este Erich Krause. Ea scrie clar, frumos și consecvent – ​​fie cu miezul plin, fie cu unul aproape gol.

În plus: Văzând un sistem de coordonate dreptunghiular cu ochii geometrie analitică tratate în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor, informații detaliate despre sferturile de coordonate pot fi găsite în al doilea paragraf al lecției Inegalități liniare.

carcasă 3D

Aici este aproape la fel.

1) Desenați axele de coordonate. Standard: axa aplicată – îndreptată în sus, axa – îndreptată spre dreapta, axa – îndreptată în jos spre stânga strict la un unghi de 45 de grade.

2) Etichetați axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor. Scara de-a lungul axei este de două ori mai mică decât scara de-a lungul celorlalte axe. De asemenea, rețineți că în desenul din dreapta am folosit o „crestătură” non-standard de-a lungul axei (această posibilitate a fost deja menționată mai sus). Din punctul meu de vedere, acest lucru este mai precis, mai rapid și mai plăcut din punct de vedere estetic - nu este nevoie să căutați mijlocul celulei la microscop și să „sculptați” o unitate apropiată de originea coordonatelor.

Când faceți un desen 3D, acordați din nou prioritate la scară
1 unitate = 2 celule (desen din stânga).

Pentru ce sunt toate aceste reguli? Regulile sunt facute pentru a fi incalcate. Asta voi face acum. Cert este că desenele ulterioare ale articolului vor fi făcute de mine în Excel, iar axele de coordonate vor arăta incorect din punctul de vedere al designului corect. Aș putea desena toate graficele manual, dar este de fapt înfricoșător să le desenezi, deoarece Excel este reticent să le deseneze mult mai precis.

Grafice și proprietăți de bază ale funcțiilor elementare

Funcție liniară este dat de ecuație. Graficul funcțiilor liniare este direct. Pentru a construi o linie dreaptă este suficient să cunoaștem două puncte.

Exemplul 1

Construiți un grafic al funcției. Să găsim două puncte. Este avantajos să alegeți zero ca unul dintre puncte.

Daca atunci

Să luăm un alt punct, de exemplu, 1.

Daca atunci

La finalizarea sarcinilor, coordonatele punctelor sunt de obicei rezumate într-un tabel:

Și valorile însele sunt calculate oral sau pe o schiță, un calculator.

Au fost găsite două puncte, să facem desenul:

Când pregătim un desen, semnăm întotdeauna grafica.

Ar fi util să amintim cazuri speciale ale unei funcții liniare:

Observați cum am pus semnăturile, semnăturile nu trebuie să permită discrepanțe la studierea desenului. În acest caz, a fost extrem de nedorit să se pună o semnătură lângă punctul de intersecție al liniilor sau în dreapta jos între grafice.

1) O funcție liniară de forma () se numește proporționalitate directă. De exemplu, . Un grafic de proporționalitate directă trece întotdeauna prin origine. Astfel, construirea unei linii drepte este simplificată - este suficient să găsiți doar un punct.

2) O ecuație de formă specifică o linie dreaptă, paralel cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției este reprezentat imediat, fără a găsi niciun punct. Adică, intrarea trebuie înțeleasă după cum urmează: „y este întotdeauna egal cu –4, pentru orice valoare a lui x”.

3) O ecuație de formă specifică o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției este de asemenea trasat imediat. Intrarea ar trebui să fie înțeleasă după cum urmează: „x este întotdeauna, pentru orice valoare a lui y, egal cu 1”.

Unii se vor întreba, de ce să-ți amintești de clasa a VI-a?! Așa este, poate așa este, dar de-a lungul anilor de practică am întâlnit o duzină de studenți care au fost derutați de sarcina de a construi un grafic ca sau.

Construirea unei linii drepte este cea mai comună acțiune la realizarea desenelor.

Linia dreaptă este discutată în detaliu în cursul geometriei analitice, iar cei interesați se pot referi la articol Ecuația unei drepte pe un plan.

Graficul unei funcții pătratice, cubice, graficul unui polinom

Parabolă. Programa funcţie pătratică () reprezintă o parabolă. Sa luam in considerare celebru incident:

Să ne amintim câteva proprietăți ale funcției.

Deci, soluția ecuației noastre: – în acest punct se află vârful parabolei. De ce este așa poate fi învățat din articolul teoretic despre derivată și din lecția despre extremele funcției. Între timp, să calculăm valoarea „Y” corespunzătoare:

Astfel, vârful este în punct

Acum găsim alte puncte, în timp ce folosim cu nerăbdare simetria parabolei. Trebuie remarcat faptul că funcția – nu este chiar, dar, cu toate acestea, nimeni nu a anulat simetria parabolei.

În ce ordine să găsim punctele rămase, cred că va fi clar din masa finală:

Acest algoritm de construcție poate fi numit în mod figurat „navetă” sau principiul „înainte și înapoi” cu Anfisa Cehova.

Să facem desenul:

Din graficele examinate, îmi vine în minte o altă caracteristică utilă:

Pentru o funcție pătratică () următoarele este adevărată:

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

Cunoștințe aprofundate despre curbă pot fi obținute în lecția Hiperbola și parabolă.

O parabolă cubică este dată de funcție. Iată un desen cunoscut de la școală:

Să enumerăm principalele proprietăți ale funcției

Graficul unei funcții

Reprezintă una dintre ramurile unei parabole. Să facem desenul:

Principalele proprietăți ale funcției:

În acest caz, axa este asimptotă verticală pentru graficul unei hiperbole la .

Ar fi o greșeală GRAVE dacă, atunci când întocmești un desen, ai permite neglijent ca graficul să se intersecteze cu o asimptotă.

De asemenea, limitele unilaterale ne spun că hiperbola nelimitat de susȘi nelimitat de jos.

Să examinăm funcția la infinit: , adică dacă începem să ne mișcăm de-a lungul axei la stânga (sau la dreapta) la infinit, atunci „jocurile” vor fi într-un pas ordonat infinit de aproape se apropie de zero și, în consecință, de ramurile hiperbolei infinit de aproape se apropie de ax.

Deci axa este asimptotă orizontală pentru graficul unei funcții, dacă „x” tinde spre plus sau minus infinit.

Funcția este ciudat, și, prin urmare, hiperbola este simetrică față de origine. Acest lucru evident din desen, în plus, se verifică ușor analitic: .

Graficul unei funcții de forma () reprezintă două ramuri ale unei hiperbole.

Dacă , atunci hiperbola este situată în primul și al treilea trimestru de coordonate(vezi poza de mai sus).

Dacă , atunci hiperbola este situată în al doilea și al patrulea trimestru de coordonate.

Modelul indicat al rezidenței hiperbolei este ușor de analizat din punctul de vedere al transformărilor geometrice ale graficelor.

Exemplul 3

Construiți ramura dreaptă a hiperbolei

Folosim metoda de construcție punctuală și este avantajos să selectăm valorile astfel încât să fie divizibile cu un întreg:

Să facem desenul:

Nu va fi dificil să construiți ramura stângă a hiperbolei; ciudatenia funcției va ajuta aici. Aproximativ, în tabelul de construcție punctual, adăugăm mental un minus fiecărui număr, punem punctele corespunzătoare și desenăm a doua ramură.

Informații geometrice detaliate despre linia luată în considerare pot fi găsite în articolul Hiperbolă și parabolă.

Graficul unei funcții exponențiale

În această secțiune, voi lua în considerare imediat funcția exponențială, deoarece în problemele de matematică superioară în 95% din cazuri apare exponențialul.

Vă reamintesc că asta este număr irațional: , acest lucru va fi necesar la construirea unui grafic, pe care, de fapt, îl voi construi fără ceremonie. Trei puncte sunt probabil suficiente:

Să lăsăm graficul funcției deocamdată, mai multe despre el mai târziu.

Principalele proprietăți ale funcției:

Graficele de funcții etc., arată fundamental la fel.

Trebuie să spun că al doilea caz apare mai rar în practică, dar apare, așa că am considerat necesar să îl includ în acest articol.

Graficul unei funcții logaritmice

Luați în considerare o funcție cu un logaritm natural.
Să facem un desen punct cu punct:

Dacă ați uitat ce este un logaritm, vă rugăm să consultați manualele școlare.

Principalele proprietăți ale funcției:

Domeniu:

Interval de valori: .

Funcția nu este limitată de mai sus: , deși încet, dar ramura logaritmului urcă până la infinit.
Să examinăm comportamentul funcției aproape de zero din dreapta: . Deci axa este asimptotă verticală deoarece graficul unei funcții ca „x” tinde spre zero din dreapta.

Trebuie să știți și să vă amintiți valoare tipica logaritm: .

În principiu, graficul logaritmului la bază arată la fel: , , (logaritmul zecimal la baza 10), etc. Mai mult, cu cât baza este mai mare, cu atât graficul va fi mai plat.

Nu vom lua în considerare cazul; nu-mi amintesc ultima dată când am construit un grafic pe o astfel de bază. Iar logaritmul pare a fi un invitat foarte rar în problemele de matematică superioară.

La sfârșitul acestui paragraf voi mai spune un fapt: Funcția exponențială și funcţie logaritmică – acestea sunt două funcții reciproc inverse. Dacă te uiți îndeaproape la graficul logaritmului, poți vedea că acesta este același exponent, doar că este situat puțin diferit.

Grafice ale funcțiilor trigonometrice

De unde începe chinul trigonometric la școală? Dreapta. Din sinus

Să diagramăm funcția

Această linie numit sinusoid.

Permiteți-mi să vă reamintesc că „pi” este un număr irațional: , iar în trigonometrie vă face ochii orbitori.

Principalele proprietăți ale funcției:

Această funcție este periodic cu punct . Ce înseamnă? Să ne uităm la segment. În stânga și în dreapta acestuia, exact aceeași bucată a graficului se repetă la nesfârșit.

Domeniu: , adică pentru orice valoare a lui „x” există o valoare sinus.

Interval de valori: . Funcția este limitat: , adică toate „jocurile” stau strict în segmentul .
Acest lucru nu se întâmplă: sau, mai exact, se întâmplă, dar aceste ecuații nu au o soluție.

y (x) = e x, a cărei derivată este egală cu funcția însăși.

Exponentul este notat ca , sau .

Numărul e

Baza gradului de exponent este numărul e. Acesta este un număr irațional. Este aproximativ egal
e ≈ 2,718281828459045...

Numărul e este determinat prin limita secvenței. Acesta este așa-numitul a doua limită minunată:
.

Numărul e poate fi reprezentat și ca o serie:
.

Graficul exponențial

Grafic exponențial, y = e x .

Graficul arată exponențialul eîntr-o măsură X.
y (x) = e x
Graficul arată că exponentul crește monoton.

Formule

Formulele de bază sunt aceleași ca pentru functie exponentiala cu bază de putere e.

;
;
;

Exprimarea unei funcții exponențiale cu o bază arbitrară de gradul a printr-o exponențială:
.

Valori private

Lasă y (x) = e x. Apoi
.

Proprietățile exponentului

Exponentul are proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază de putere e > 1 .

Domeniu, set de valori

Exponentul y (x) = e x definit pentru toate x.
Domeniul său de definiție:
- ∞ < x + ∞ .
Multele sale semnificații:
0 < y < + ∞ .

Extreme, în creștere, în scădere

Exponențialul este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.

Funcție inversă

Inversa exponentului este logaritmul natural.
;
.

Derivată a exponentului

Derivat eîntr-o măsură X egal cu eîntr-o măsură X :
.
Derivată de ordin al n-lea:
.
Formule derivate > > >

Integral

Numere complexe

Acțiuni cu numere complexe efectuat folosind formulele lui Euler:
,
unde este unitatea imaginară:
.

Expresii prin funcții hiperbolice

; ;
.

Expresii folosind funcții trigonometrice

; ;
;
.

Extinderea seriei de putere

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Pe domeniul de definire al funcției de putere y = x p avem următoarele formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Proprietățile funcțiilor de putere și graficele acestora

Funcția de putere cu exponent egal cu zero, p = 0

Dacă exponentul funcției de putere y = x p este egal cu zero, p = 0, atunci funcția de putere este definită pentru toate x ≠ 0 și este o constantă egală cu unu:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Funcția de putere cu exponent natural impar, p = n = 1, 3, 5, ...

Considerăm o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural impar n = 1, 3, 5, ... . Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k + 1, unde k = 0, 1, 2, 3, ... este un întreg nenegativ. Mai jos sunt proprietățile și graficele unor astfel de funcții.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, ....

Domeniu: -∞ < x < ∞
Sensuri multiple: -∞ < y < ∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la -∞< x < 0 выпукла вверх
la 0< x < ∞ выпукла вниз
Puncte de inflexiune: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 1, funcția este inversul ei: x = y
pentru n ≠ 1, funcție inversă este rădăcina gradului n:

Funcția de putere cu exponent natural par, p = n = 2, 4, 6, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural par n = 2, 4, 6, ... . Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... - natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....

Domeniu: -∞ < x < ∞
Sensuri multiple: 0 ≤ y< ∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
pentru x ≤ 0 scade monoton
pentru x ≥ 0 crește monoton
Extreme: minim, x = 0, y = 0
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 2, Rădăcină pătrată:
pentru n ≠ 2, rădăcină de grad n:

Funcția de putere cu exponent întreg negativ, p = n = -1, -2, -3, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent negativ întreg n = -1, -2, -3, ... . Dacă punem n = -k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural, atunci acesta poate fi reprezentat ca:

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ... .

Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....

Domeniu: x ≠ 0
Sensuri multiple: y ≠ 0
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: scade monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вверх
pentru x > 0: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
când n = -1,
la n< -2 ,

Exponent par, n = -2, -4, -6, ...

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu exponent negativ par n = -2, -4, -6, ....

Domeniu: x ≠ 0
Sensuri multiple: y > 0
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно возрастает
pentru x > 0: scade monoton
Extreme: Nu
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn: y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
la n = -2,
la n< -2 ,

Funcția de putere cu exponent rațional (fracțional).

Considerăm o funcție de putere y = x p cu un exponent rațional (fracțional), unde n este un număr întreg, m > 1 este un număr natural. Mai mult, n, m nu au divizori comuni.

Numitorul indicatorului fracționar este impar

Fie numitorul exponentului fracționar impar: m = 3, 5, 7, ... . În acest caz, funcția de putere x p este definită atât pentru pozitiv, cât și pentru valori negative argumentul x. Să luăm în considerare proprietățile unor astfel de funcții de putere atunci când exponentul p este în anumite limite.

Valoarea p este negativă, p< 0

Fie exponentul rațional (cu numitor impar m = 3, 5, 7, ...) să fie mai mic decât zero: .

Grafice ale funcțiilor de putere cu un exponent negativ rațional pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... - impar.

Numător impar, n = -1, -3, -5, ...

Prezentăm proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent negativ rațional, unde n = -1, -3, -5, ... este un număr întreg negativ impar, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar.

Domeniu: x ≠ 0
Sensuri multiple: y ≠ 0
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: scade monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вверх
pentru x > 0: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = -2, -4, -6, ...

Proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional negativ, unde n = -2, -4, -6, ... este un întreg negativ par, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar .

Domeniu: x ≠ 0
Sensuri multiple: y > 0
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно возрастает
pentru x > 0: scade monoton
Extreme: Nu
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn: y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:

Valoarea p este pozitivă, mai mică de unu, 0< p < 1

Graficul unei funcții de putere cu indicator rațional (0 < p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Numător impar, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeniu: -∞ < x < +∞
Sensuri multiple: -∞ < y < +∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вниз
pentru x > 0: convex în sus
Puncte de inflexiune: x = 0, y = 0
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = 2, 4, 6, ...

Sunt prezentate proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional în 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeniu: -∞ < x < +∞
Sensuri multiple: 0 ≤ y< +∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно убывает
pentru x > 0: crește monoton
Extreme: minim la x = 0, y = 0
Convex: convex în sus pentru x ≠ 0
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Semn: pentru x ≠ 0, y > 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = 1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Indicele p este mai mare decât unu, p > 1

Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (p > 1) pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... - impar.

Numător impar, n = 5, 7, 9, ...

Proprietăţi ale funcţiei de putere y = x p cu un exponent raţional mai mare de unu: . Unde n = 5, 7, 9, ... - impar natural, m = 3, 5, 7 ... - impar natural.

Domeniu: -∞ < x < ∞
Sensuri multiple: -∞ < y < ∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la -∞< x < 0 выпукла вверх
la 0< x < ∞ выпукла вниз
Puncte de inflexiune: x = 0, y = 0
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = 4, 6, 8, ...

Proprietăţi ale funcţiei de putere y = x p cu un exponent raţional mai mare de unu: . Unde n = 4, 6, 8, ... - natural par, m = 3, 5, 7 ... - natural impar.

Domeniu: -∞ < x < ∞
Sensuri multiple: 0 ≤ y< ∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 монотонно убывает
pentru x > 0 crește monoton
Extreme: minim la x = 0, y = 0
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = 1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numitorul indicatorului fracționar este par

Fie numitorul exponentului fracționar par: m = 2, 4, 6, ... . În acest caz, funcția de putere x p nu este definită pentru valorile negative ale argumentului. Proprietățile sale coincid cu proprietățile unei funcții de putere cu un exponent irațional (vezi secțiunea următoare).

Funcția de putere cu exponent irațional

Se consideră o funcție de putere y = x p cu un exponent irațional p. Proprietățile unor astfel de funcții diferă de cele discutate mai sus prin faptul că nu sunt definite pentru valorile negative ale argumentului x. Pentru valorile pozitive ale argumentului, proprietățile depind numai de valoarea exponentului p și nu depind de dacă p este întreg, rațional sau irațional.

y = x p pentru diferite valori ale exponentului p.

Funcția de putere cu exponent negativ p< 0

Domeniu: x > 0
Sensuri multiple: y > 0
Monoton: scade monoton
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Limite: ;
Sens privat: Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Funcția de putere cu exponent pozitiv p > 0

Indicator mai mic de unu 0< p < 1

Domeniu: x ≥ 0
Sensuri multiple: y ≥ 0
Monoton: crește monoton
Convex: convex în sus
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Limite:
Valori private: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indicatorul este mai mare decât un p > 1

Domeniu: x ≥ 0
Sensuri multiple: y ≥ 0
Monoton: crește monoton
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Limite:
Valori private: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Vezi si:

Funcția de construire

Oferim atentiei dumneavoastra un serviciu de realizare a graficelor de functii online, toate drepturile asupra carora apartin companiei Desmos. Utilizați coloana din stânga pentru a introduce funcții. Puteți introduce manual sau folosind tastatura virtuală din partea de jos a ferestrei. Pentru a mări fereastra cu graficul, puteți ascunde atât coloana din stânga, cât și tastatura virtuală.

Beneficiile graficelor online

• Afișarea vizuală a funcțiilor introduse
• Construirea de grafice foarte complexe
• Construcția graficelor specificate implicit (de exemplu, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Posibilitatea de a salva diagrame și de a primi un link către ele, care devine disponibil pentru toată lumea pe Internet
• Controlul scalei, culoarea liniei
• Posibilitatea de a trasa grafice pe puncte, folosind constante
• Trasarea mai multor grafice de funcții simultan
• Trasarea în coordonate polare (utilizați r și θ(\theta))

Cu noi este ușor să construiți grafice de complexitate variată online. Construcția se face instantaneu. Serviciul este solicitat pentru găsirea punctelor de intersecție ale funcțiilor, pentru reprezentarea graficelor pentru a le muta în continuare într-un document Word ca ilustrații atunci când rezolvați probleme și pentru analiza caracteristicilor comportamentale ale graficelor de funcții. Browserul optim pentru lucrul cu diagrame pe această pagină de site este Google Chrome. Funcționarea corectă nu este garantată atunci când utilizați alte browsere.