Descărcați din Depositfiles

GEOMETRIE ANALITĂ

Prelegerea nr 7. Tema 1 : drepte pe un plan și ecuațiile lor

1.1. Liniile și ecuațiile lor în Sistemul cartezian coordonate

ÎN geometrie analitică liniile de pe un plan sunt considerate drept locul geometric al punctelor (g.m.t.) care au aceeași proprietate comună tuturor punctelor dreptei.

Definiție. Ecuația liniilor
este o ecuație cu două variabileXȘi la, care este satisfăcut de coordonatele oricărui punct de pe linie și nu este satisfăcut de coordonatele oricărui alt punct care nu se află pe această dreaptă.

Este adevărat și contrariul, adică. orice ecuațiela

formă, în general vorbind, în carteziană

sistemul de coordonate (DSC) definește linia

ca g.m.t., ale cărui coordonate satisfac

această ecuație. DESPRE X

Nota 1. Nu fiecare ecuație a formei definește o linie. De exemplu, pentru ecuație
nu există puncte ale căror coordonate ar satisface această ecuație. Nu vom lua în considerare astfel de cazuri în continuare.Acesta este cazul așa-numitelor linii imaginare.

P exemplu 1.Scrieți o ecuație pentru un cerc cu razăR centrat într-un punct
.

Pentru orice punct mințilaM

pe un cerc, prin definițieR

cercuri ca g.m.t., echidistante

din punct de vedere, obținem ecuațiaX

1.2. Ecuații parametrice linii

Există o altă modalitate de a defini o dreaptă pe un plan folosind ecuații numiteparametrice:

Exemplul 1. Linia este dată de ecuații parametrice

Este necesar să obțineți ecuația acestei linii în DSC.

Să excludem parametrult . Pentru a face acest lucru, să pătram ambele părți ale acestor ecuații și să adăugăm

Exemplul 2. Linia este dată de ecuații parametrice

Este necesar pentru a obține ecuația

această linie în DSK. —a a

Hai să facem la fel, apoi obținem

— A

Nota 2. Trebuie remarcat faptul că parametrult în mecanică este timpul.

1.3. Ecuația unei drepte într-un sistem de coordonate polare

DSC nu este singura modalitate de a determina poziția unui punct și, prin urmare, de a specifica ecuația unei drepte. Pe un avion este adesea recomandabil să se folosească așa-numitul sistem de coordonate polare (PCS).

P CS va fi determinat dacă specificați un punct O – stâlp și grindă OR emanând din acest punct, care se numeşte axa polară. Atunci poziția oricărui punct este determinată de două numere: raza polară
și unghiul polar – unghi între

axa polară și raza polară.

Direcție de referință pozitivă

unghi polar față de axa polară

numărat în sens invers acelor de ceasornic.

Pentru toate punctele avionului
, O R

iar pentru neechivocitatea unghiului polar se consideră
.

Dacă începutul DSC este combinat cu

pol și axa O X trimite prin

axa polară, este ușor de verificatla

în legătură între polar şi

coordonate carteziene:

DESPRE X R

Înapoi,

(1)

Dacă ecuația unei linii în DSC are forma , atunci în PSC - Atunci din această ecuație putem obține o ecuație sub forma

Exemplul 3. Scrieți o ecuație pentru un cerc în UCS dacă centrul cercului este la pol.

Folosind formulele de tranziție (1) de la DSC la PSC, obținem

P exemplu 4.Scrieți ecuația unui cerc,

dacă polul este pe cerc și pe axa polarăla

trece prin diametru.

Să facem la fel

O 2 R X

Această ecuație poate fi obținută și

din concepte geometrice (vezi figura).

P exemplu 5.Trasează o linie

Să trecem la PSK. Ecuația

va lua forma
DESPRE

Să construim un grafic cu liniiA

ținând cont de simetria acesteia și ODZ

Caracteristici:

Această linie se numeștelemniscata lui Bernoulli.

1.4. Transformarea sistemului de coordonate.

Ecuația dreaptă în sistem nou coordonate

1. Transferul paralel al DSC.la

Luați în considerare două DSC-uri care auM

aceeași direcție a axelor, dar

origini diferite.

În sistemul de coordonate DESPRE X y punct

raportat la sistem
DESPRE X

are coordonate
. Atunci noi avem

Și

În formă de coordonate, egalitatea vectorială rezultată are forma

sau
. (2)

Formulele (2) sunt formule pentru trecerea de la „vechiul” sistem de coordonate DESPRE X yla „noul” sistem de coordonate și invers.

Exemplul 5. Obțineți ecuația unui cerc făcând transfer paralel sisteme de coordonatespre centrul cercului.

ȘI formulele (2) implică
la DESPRE

O linie pe un plan poate fi definită folosind două ecuații

Unde XȘi y - coordonatele unui punct arbitrar M(X; la), întins pe această linie, și t- o variabilă numită parametru.

Parametru t determină poziția punctului ( X; la) la suprafață.

Astfel, dacă

apoi valoarea parametrului t= 2 corespunde punctului (4; 1) din plan, deoarece X = 2 + 2 = 4, y= 2 2 – 3 = 1.

Dacă parametrul t se schimbă, apoi punctul din plan se mișcă, descriind această linie. Această metodă de definire a unei curbe se numește parametrice, și ecuațiile (1) - ecuații de linii parametrice.

Să luăm în considerare exemple de curbe binecunoscute specificate sub formă parametrică.

1) Astroid:

Unde A> 0 – valoare constantă.

La A= 2 are forma:

Fig.4. Astroid

2) Cicloid: Unde A> 0 – constant.

La A= 2 are forma:

Fig.5. Cicloid

Ecuația liniei vectoriale

Se poate specifica o linie pe un plan ecuație vectorială

Unde t– parametru variabil scalar.

Valoarea fiecărui parametru t 0 corespunde unui anumit vector plan. La modificarea unui parametru t capătul vectorului va descrie o anumită linie (Fig. 6).

Ecuația vectorială a unei linii într-un sistem de coordonate Ohoo

corespund două ecuații scalare (4), adică. ecuații de proiecție

pe axa de coordonate a ecuației vectoriale a unei linii se află ecuațiile ei parametrice.

Fig.6. Ecuația liniei vectoriale

Ecuația vectorială și ecuațiile de linii parametrice au simțul mecanic. Dacă un punct se mișcă pe un plan, atunci se numesc ecuațiile indicate ecuațiile de mișcare, linie - traiectorie puncte, parametru t- timp.

Să luăm în considerare o relație de formă F(x, y)=0, variabile de conectare XȘi la. Vom numi egalitate (1) ecuație cu două variabile x, y, dacă această egalitate nu este adevărată pentru toate perechile de numere XȘi la. Exemple de ecuații: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0,

sin x + sin y – 1 = 0.

Dacă (1) este adevărată pentru toate perechile de numere x și y, atunci se numește identitate. Exemple de identități: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y)(x - y) - x 2 + y 2 = 0.

Vom numi ecuația (1) ecuația unui set de puncte (x; y), dacă această ecuaţie este satisfăcută de coordonate XȘi la orice punct al multimii si nu sunt satisfacute de coordonatele vreunui punct care nu apartine acestei multimi.

Un concept important în geometria analitică este conceptul de ecuație a unei linii. Să fie date pe plan un sistem de coordonate dreptunghiular și o anumită dreaptă α.

Definiție. Ecuația (1) se numește ecuație de linie α (în sistemul de coordonate creat), dacă această ecuație este satisfăcută de coordonate XȘi la orice punct situat pe linie α , și nu satisface coordonatele niciunui punct care nu se află pe această dreaptă.

Dacă (1) este ecuația dreptei α, atunci vom spune că ecuația (1) definește (setează) linia α.

Linia α poate fi determinat nu numai printr-o ecuație de forma (1), ci și printr-o ecuație de formă

F (P, φ) = 0 conţinând coordonate polare.

ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular;

Să fie dată o linie dreaptă, nu perpendiculară, pe axă OH. Hai sa sunăm unghi de înclinare dat linie dreaptă pe axă OH colţ α , la care trebuie rotită axa OH astfel încât direcția pozitivă să coincidă cu una dintre direcțiile dreptei. Tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axă OH numit pantă această linie și este notat cu litera LA.

K=tg α

(1)

Să derivăm ecuația acestei linii dacă o știm LAși valoarea din segment OB, pe care o taie pe ax OU.

(2)

y=kx+b

Să notăm prin M„punct plan (X y). Dacă desenăm drept BNȘi N.M., paralel cu axele, apoi se formează r BNM – dreptunghiular. T. MC C BM <=>, când valorile N.M.Și BN satisface condiția: . Dar NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> ținând cont de (1), obținem că punctul M(x;y)C pe această linie<=>, când coordonatele sale satisfac ecuația: =>

Ecuația (2) se numește ecuația unei drepte cu coeficient unghiular. Dacă K=0, atunci linia dreaptă este paralelă cu axa OH iar ecuația sa este y = b.

ecuația unei drepte care trece prin două puncte;

(4)

Să fie date două puncte M 1 (x 1; y 1)Și M2 (x 2; y 2). Luând la (3) punctul M(x;y) in spate M2 (x 2; y 2), primim y 2 -y 1 =k(x 2 - x 1). Definire k din ultima egalitate și înlocuind-o în ecuația (3), obținem ecuația dorită a dreptei:

. Aceasta este ecuația dacă y 1 ≠ y 2, poate fi scris ca:

Dacă y 1 = y 2, atunci ecuația dreptei dorite are forma y = y 1. În acest caz, linia dreaptă este paralelă cu axa OH. Dacă x 1 = x 2, apoi linia dreaptă care trece prin puncte M 1Și M 2, paralel cu axa OU, ecuația sa are forma x = x 1.

ecuația dreptei care trece prin punct dat cu o pantă dată;

(3)

Аx + Вy + С = 0

Teorema.Într-un sistem de coordonate dreptunghiular Ohoo orice linie dreaptă este dată de o ecuație de gradul întâi:

și, invers, ecuația (5) pentru coeficienți arbitrari A, B, C (AȘi B ≠ 0 simultan) definește o anumită linie dreaptă într-un sistem de coordonate dreptunghiular Ooh.

Dovada.

Mai întâi, să demonstrăm prima afirmație. Dacă linia nu este perpendiculară Oh, atunci este determinat de ecuația de gradul întâi: y = kx + b, adică ecuația de forma (5), unde

A = k, B = -1Și C = b. Dacă linia este perpendiculară Oh, atunci toate punctele sale au aceeași abscisă, egală cu valoarea α segment tăiat de o linie dreaptă pe axă Oh.

Ecuația acestei drepte are forma x = α, acestea. este, de asemenea, o ecuație de gradul I de forma (5), unde A = 1, B = 0, C = - α. Aceasta dovedește prima afirmație.

Să demonstrăm afirmația inversă. Să fie dată ecuația (5) și cel puțin unul dintre coeficienți AȘi B ≠ 0.

Dacă B ≠ 0, atunci (5) se poate scrie sub forma . Apartament , obținem ecuația y = kx + b, adică o ecuație de forma (2) care definește o dreaptă.

Dacă B = 0, Acea A ≠ 0și (5) ia forma . Indicând prin α, primim

x = α, adică ecuația unei drepte perpendiculare Oh.

Se numesc linii definite într-un sistem de coordonate dreptunghiular printr-o ecuație de gradul întâi linii de prim ordin.

Ecuația formei Ax + Wu + C = 0 este incompletă, adică Unii dintre coeficienți sunt egali cu zero.

1) C = 0; Ah + Wu = 0și definește o linie dreaptă care trece prin origine.

2) B = 0 (A ≠ 0); ecuația Ax + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0și definește o linie dreaptă paralelă Oh.

Ecuația (6) se numește ecuația unei linii drepte „în segmente”. Numerele AȘi b sunt valorile segmentelor pe care linia dreaptă le taie pe axele de coordonate. Această formă a ecuației este convenabilă pentru construcție geometrică Drept.

ecuația normală a unei linii;

Аx + Вy + С = 0 – ecuație generală o linie dreaptă și (5) X cos α + y sin α – p = 0(7)

ecuația sa normală.

Deoarece ecuațiile (5) și (7) definesc aceeași linie dreaptă, atunci ( A 1x + B 1y + C 1 = 0Și

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) coeficienții acestor ecuații sunt proporționali. Aceasta înseamnă că prin înmulțirea tuturor termenilor ecuației (5) cu un anumit factor M, obținem ecuația MA x + MV y + MS = 0, care coincide cu ecuația (7) adică

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

Pentru a afla factorul M, punem la patrat primele doua dintre aceste egalitati si adaugam:

M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

ecuații în care variabilele endogene sunt în stânga și numai cele exogene sunt în dreapta

149. Metoda indirectă a celor mai mici pătrate implică efectuarea următoarelor proceduri:

Structura de ieșire a sistemelor de ecuații este transformată într-un sistem de ecuații reduse și, folosind cele mai mici pătrate, găsim estimări imparțiale ale coeficienților sistemului redus de ecuații. Folosim relația dintre coeficienții dați în sistemul de ecuații și sistemul structural pentru a găsi coeficienții sistemului structural de ecuații.

150. Sistemul identificat de ecuații simultane are numărul de coeficienți:

numărul de coeficienți ai sistemului redus de ecuații este egal cu numărul de coeficienți ai sistemului structural original de ecuații

151. Un sistem neidentificabil de ecuații simultane are numărul de coeficienți:

numărul de coeficienți ai sistemului redus de ecuații număr mai mic coeficienții sistemului structural de ecuații

152. Un sistem supraidentificat de ecuații simultane are numărul de coeficienți:

numărul de coeficienți ai sistemului redus de ecuații mai mult număr coeficienții sistemului structural de ecuații

În dinamică model de echilibru intersectorial, un sistem de ecuații diferențiale liniare eterogene cu i=1,2,3,….n(numerele rândurilor),j=1,2,3….n(numerele coloanelor) аij-coeficienți tehnologici, -capital incremental coeficienții de intensitate are forma ..RĂSPUNS: Mai puțin Vol.

În dinamică model de echilibru intersectorial sistem de ecuații diferențiale liniare neomogene cu ; coeficienți tehnologici coeficienți incrementali de intensitate a capitalului Produsul brut al industriei Produsul final al industriei are forma: (
).

În dinamică coloana matricei a modelului de echilibru intersectorial coeficienții de intensitate incrementală a capitalului arată pentru j industria: mărimea și structura fondurilor necesare creșterii capacității de producție cu 1 unitate din capacitatea sa de producție, i.e. lansarea produsului.

În modelul clasiceconomie de piata, oferta de bani este M=20.000, banii reusesc sa faca 5 rotatii pe an, valoarea PIB-ului este de 100.000.Care este pretul stabilit al unei unitati de PIB? 1.

În clasică modelul economiei de piata, oferta de bunuri este determinata

În clasicămodelul economiei de piata, oferta de bunuri este determinata -nivelul de ocupare

pe piata muncii Y=Y(L), oferta de bunuri = cererea de bunuri.

În clasicămodelul unei economii de piață cu același PIB, o creștere a ofertei de bani va duce la - (preț și PIB) -cresterea preturilor, dacă pentru un PIB dat prețul p este mai mic decât p0 atunci există o ofertă de bani în exces . În acest caz, se crede că prețurile vor crește până la nivelul p0.

În clasică modelul unei economii de piata, functia de productie are forma X t =K t 0,5 ´L t 0,5 K=200 unitati, L=50 unitati. Care este salariul real la profit maxim? 1 sau 2.

În clasică modele de economie de piață cu rate ale dobânzii în creștere: cererea consumatorilor scade și cererea de investiții scade.

În inter-industrie bilanţ (modelul static al lui Leontiev) afirmaţia este adevărată. RĂSPUNS: V sistem economic produs, consumat, investit. Fiecare industrie este pură, adică produce doar 1 produs; în timpul procesului de producție, industria transformă unele tipuri de produse într-un alt tip, iar raportul dintre produsele cheltuite și produse de industrie într-un alt tip și raportul dintre produse cheltuită și produsă de industrie este constantă, cererea finală este din consumul final, exporturi și investiții.

În inter-industriebilanţ (modelul static al lui Leontiev) afirmaţia este adevărată.0

IntersectorialÎn bilanţul în ansamblu al economiei, valoarea consumului de producţie internă = 5000 de unităţi, produsul final total = 3000 de unităţi. ...3000Ce este ORP?8000.

În inter-industrieîn bilanțul în ansamblu pentru economie, valoarea consumului de producție internă = 7000 de unități, produsul final total = 3000 de unități. Volumul total al producției nete = 3000...Ce este ORP?10000.

În inter-industrie suma din bilanț a produselor finale și suma produselor nete condiționat: egale între ele.

În inter-industrieBilanțul produselor condiționat pur include:depreciere, salarii, venit net.

În modelul lui Keynes cererea de bunuri este determinată de cererea consumatorilor și cererea de investiții. Care afirmație, conform modelului lui Keynes, va fi adevărată: Când ratele dobânzilor cresc, cererea consumatorilor crește și cererea de investiții scade.

În modelul lui Keynes cererea de bunuri este determinată de cererea consumatorilor și cererea de investiții. Care afirmație, după modelul lui Keynes, va fi adevărată... RĂSPUNS: Cererea de bunuri de larg consum crește liniar odată cu creșterea ofertei de bunuri, cererea de bunuri de investiții scade liniar odată cu creșterea ratei dobânzii.

În modelPotrivit lui Keynes, cererea de bunuri este determinată de cererea consumatorilor și de cererea de investiții.

În modelul lui R. Solow, exprimați în unități relative, principalii indicatori macroeconomici se referă la: valori de bază, de exemplu, valoarea indicatorului la începutul perioadei studiate X(t), C(t),L(t), I(t), K(t).

În modelul Solowpentru a ajunge la o traiectorie de dezvoltare staționară este suficientastfel încât stoc-arme.=0onst.

În model Solow, modificarea numărului de oameni angajați în producția L(t) poate fi descrisă printr-o ecuație diferențială de forma , unde g este rata de creștere a numărului de angajați. În acest caz, mărimea numărului este egală cu: răspuns : L(t)=L(0)*e g * t .

În modelul Solow , unde g este rata de creștere a numărului de angajați. În acest caz, numărul de angajați L(t) este egal cu: răspuns: L(t)= .

În modelul Solowmodificarea numărului de oameni angajați în producție poate fi descrisă printr-o ecuație diferențială a formei , unde g este rata de creștere a numărului de angajați. În acest caz, numărul de angajați L(t) este egal cu:L(t)=L(0)*e g * t .

În modelul Solow procesul modificările activelor fixe de producție în timp pot fi descrise printr-o ecuație diferențială folosind notația: K(t) este costul activelor fixe de producție la un moment dat; m este rata de pensionare a fondurilor, I(t) este volumul investițiilor brute la momentul t: RĂSPUNS: dK(t)/dt= -m*K(t)+I(t).

În modelul Solow, exprimați în unități relative, principalii indicatori macroeconomici se referă la... de bază.

În modelul Solou, scris in unitati relative, valoarea consumului mediu pe cap de locuitor depinde de rata de acumulare...la ce valoare a phi se atinge maximul...α.

În model Costurile cu forța de muncă Harrod-Domar pentru producție sunt considerate: constantă în timp, sau producția nu depinde de forțele de muncă.

În modelRata de creștere continuă a venitului Harrord-Domar este egală cu dacă unde B este coeficientul de intensitate incrementală a capitalului; С(t) - volumul consumului; Y(t) - volumul veniturilor; În ce caz va fi maxim și în care caz va fi zero, dacă C(t)-const:maximul este atins la

În modelul X-D costurile forței de muncă pentru producție sunt considerate:Constant în timp, sau eliberare.

În model Evans, cererea pentru un produs este dependentă , și aprovizionarea cu produse , unde este prețul produsului, parametrii ecuaţiilor care sunt numere pozitive.În acest caz:. (a= > < ).

Într-o pânză de păianjen este o funcție crescătoare a prețului.În acest caz, procesul iterativ de căutare a prețului de echilibru poate fi afișat ca relație de recurență: lim f(p)=¥ pÞ0;Lim f(p)=0 pÞ¥;Limj( p)=0 pÞ0; Limj(p)= ¥; pÞ¥;.

Într-o pânză de păianjen modele ale funcției cererii agregate o funcție descrescătoare a prețului și funcția ofertei agregate este o funcție crescătoare a prețului. În acest caz, procesul iterativ de căutare a prețului de echilibru poate fi afișat ca o relație de recurență Ф(р t)=y(p t -1).

In productiefuncții de forma X=A*e*K*L, factorul timp este o variabilă substitutivă care reflectă influența...Progresul științific și tehnic.

In productie funcții de forma: X t =A 0 ´e pt ´K t a 1 ´L t a 2 , factorul timp este o variabilă de înlocuire care reflectă impactul asupra producției brute: progresul științific și tehnologic .

În staticModelul Leontiev (bilanțul intrări-industrie) afirmația este adevărată...0

Magnitudinea unde I este venitul consumatorului, p1p2 este prețul bunului, x2 este cantitatea celui de-al doilea bun. În acest caz există beneficii unu și doi:interschimbabile.

Alege-l pe cel potrivit afirmație în concordanță cu teoria keynesiană a economiei de piață 1) cazul general al echilibrului într-o economie de piață în prezența șomajului, iar ocuparea deplină este doar un caz special; 2) cererea de investiții scade odată cu creșterea ratelor dobânzilor.

Selectați drepturileafirmații puternice, a căror implementare crește fiabilitatea și acuratețea determinării parametrilor modelului economic și matematic. 1. Metodologia acceptată pentru determinarea parametrilor modelului trebuie să fie corectă din punctul de vedere al asigurării fiabilității, 2. Trebuie să existe o cantitate suficientă de informații inițiale despre indicatorii de intrare și de ieșire ai obiectului pentru a găsi modelul matematic, 3. vectorul indicatorilor de intrare trebuie să varieze foarte mult pe intervalul studiat, 4. Acceptat a priori, modelul trebuie să reflecte într-un mod semnificativ tiparele actuale ale obiectului studiat.

Ecuație eșantionadică regresia perechilor y=-3+2x, atunci coeficientul de corelație perechi de eșantion poate fi egal cu ..(-3,2,0.6,-2,-0.6) ...0,7 sau 0,6.

Selectiv Ecuația de regresie perechi are forma y=-3+2x. Atunci coeficientul de corelație al perechii de eșantioane poate fi egal cu: 0,7.

unde in - coeficient de intensitate incrementală a capitalului; C(t) - volumul consumului; Y(t) - volumul venitului; În ce caz va fi maxim și în ce caz va fi zero dacă C(t) = const: maximul este atins la , și este egal cu zero la Y(0)=C(0).

Ipoteze, utilizat în derivarea funcției cererii de muncă în modelul clasic al unei economii de piață: Firmele sunt complet competitive în furnizarea de bunuri și angajarea forței de muncă. În afară de asta condiţii egale produsul marginal al muncii scade pe măsură ce crește utilizarea forței de muncă.

Funcții date cerere și oferă S=2p+1,5, unde p este prețul produsului. atunci prețul de echilibru este . RĂSPUNS: x1= 0,34+0,18+340.....x2=0;25+0,53+280.

Funcții datecerere și oferă S=2p+1,5, unde p este prețul produsului. atunci prețul de echilibru =1 .

Funcții date cerere și oferă S=2p+1,5, unde p este prețul produsului. atunci prețul de echilibru = 5,5.

Funcții date cererea q=(p+6)/(p+2) și oferta s=2p-2, unde p este prețul produsului. Atunci prețul de echilibru este: 2.

Sunt date funcțiicererea q=p+6/p+2 și anterioară s=2p-2…..2.

Dacă este salvatcondiții egale, apoi cu o creștere a prețului cererea de bunuri Giffin: ...creştere.

Dacă în modelPentru a lua în considerare decalajul investițional sub forma unui decalaj concentrat, atunci legătura dintre investițiile I(t) și intrarea fondurilor V(t) poate fi reflectată sub forma ecuației...V(t)= I(t-t)().

Dacă de la brutprodusul intern scad taxele de amortizare, obținem:valoare nou creată (N.D.).

Dacă din brut intern produsul scade taxele de amortizare, obținem: produs pur intern.

Dacă cruce coeficientul elasticității prețului cererii >0, atunci...(produsul I înlocuiește j).

Dacă funcţia de producţiey=f(x 1;x 2), atunci proprietatea înseamnă că, odată cu creșterea utilizării unei resurse, eficiența marginală¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Dacă producţia funcția este o funcție omogenă de grad p > 0, apoi cu p = 2 și o creștere a scarii producției de 3 ori, de câte ori crește volumul producției... 9.

Dacă producţiafuncția este o funcție omogenă de gradul p > 0, apoi cu p = 2 și o creștere a scarii producției de 4 ori, de câte ori crește volumul producției...16.

Dacă se întâmplă o creștere a venitului consumatorului, apoi cererea se mișcă (indicați afirmația corectă): de la bunuri cu elasticitate scăzută la bunuri cu elasticitate mare. Volumul consumului de bunuri cu elasticitate scăzută este redus.

Dacă PF are vedere y=f(x 1 ;x 2), proprietatea în sensul că odată cu creșterea utilizării unei resurse crește eficiența marginală a unei alte resurse, exprimată prin formula: ¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Dacă este salvat condiții egale, apoi cu o creștere a prețului cererea de bunuri Giffin: creştere.

Dependenta intre costurile productiei iar volumul producţiei se exprimă prin funcţie sunt egale: 3.

Dependenta mîntre costurile de producţie şi volumul producţiei se exprimă prin funcţie .Atunci costul marginal de producţie este sunt egale:23.

Dependentaîntre costurile de producţie C şi volumul de producţie Q se exprimă prin funcţie . Atunci costurile marginale pentru volumul de producție Q = 10 sunt egale cu: .. 3 .

Dependenta intre costul de producție C și volumul de producție Q se exprimă ca C = 20-0,5*Q. Atunci elasticitatea c/c cu volumul de producție Q=10 este egală cu: -1/3.

Productie definitafunctie de forma: Y=3 K 0.5 *L 0.5 atunci produsul mediu al muncii este egal la K=25,L=100……1.5.

Sarcina consumatoruluialegerea este:Aflați numărul de bunuri dintr-un set dat la care utilitatea consumatorului este maximă.

Sarcina alegerea consumatorului este: Problema este de a alege un pachet de consumatori (x, x) care maximizează funcția de utilitate sub o constrângere bugetară dată.

Sarcina consumatorului alegerea este: găsiți numărul de bunuri dintr-o mulțime dată care maximizează funcția de utilitate a consumatorului.

Legea Scăderii eficiența producției se caracterizează prin faptul că odată cu creșterea cantității de resursă utilizată... RĂSPUNS: volum minim posibil de ieșire .

Legea Scăderii eficiența producției se caracterizează prin faptul că, odată cu creșterea cantității de resurse utilizate: Fiecare unitate suplimentară de resursă oferă o creștere din ce în ce mai mică a producției.

Legea Scăderii eficiența producției se caracterizează prin faptul că odată cu creșterea cantității de resurse utilizate.. RĂSPUNS: volumul maxim posibil de ieșire (y) este în creștere.

Din Eq. Slutsky poate fi obținut ( cantitate bunuri, prețul mărfurilor). Aceasta corespunde cu: (răspunsuri multiple posibile): 1) produs Giffin, 2) produs cu valoare redusă.

Care sunt ipotezele? sunt utilizate pentru a deriva funcția cererii de muncă în modelul clasic al unei economii de piață: firmele sunt pe deplin competitive atunci când oferă bunuri și angajează forță de muncă; alte lucruri fiind egale, produsul muncii scade pe măsură ce forța sclavilor crește.

Ce s. suplimentarfalsitățile fac dificilă construirea unui EMM.... dificultatea de a efectua un experiment activ în economie.În plus, practic fiecare obiect sau proces economic este unic, ceea ce face imposibilă simpla reproducere a modelelor odată construite.

Ce practicproblemele sunt rezolvate folosind EMM. 1. Analiza obiectelor și proceselor economice 2. Prognoza economică și anticiparea dezvoltării proceselor economice 3. Dezvoltarea deciziilor de management la toate nivelurile economiei.

Ce afirmațiecorespunde soluției problemei cutiei gri translucide: Există informații despre indicatorii de intrare și de ieșire, iar un model al unei anumite structuri este cunoscut sau acceptat ca bază. Sarcina de identificare în acest caz este de a găsi parametrii acestui model.

Ce afirmație corespunde soluției la problema casetei gri: Pe lângă parametrii de intrare și de ieșire, este specificat sistemul de operare al convertorului. să fie redus la anumite pagini parm-th.

Ce afirmație, conform modelului lui Keynes, va fi adevărat:Când ratele dobânzilor cresc, cererea consumatorilor crește și cererea de investiții scade(Cererea de bunuri de larg consum crește liniar odată cu creșterea ofertei de bunuri, Cererea de bunuri de investiții scade liniar odată cu creșterea ratei dobânzii).

Produs finalîntr-un model de echilibru dinamic comparativ cu produsul final într-un model de echilibru static nu include export.

Produs finalîntr-un model de echilibru dinamic în comparație cu produsul final într-un model de echilibru static nu include: investiții de capital intersectoriale.

Coeficient elasticitatea cererii la preț E ii p<-1. Это соответствует товару с: elasticitate mare a cererii.

Echilibrul macroeconomic modelele sunt considerate a fi acelea care descriu o stare a economiei când rezultanta tuturor forțelor care tind să scoată economia din această stare este egală cu 0.

model Leontiev(balanța statică) include o ecuație de forma: x i -Sa ij =y j .

Model inter-industrialbilanţul produselor fabricate de volumul X1 şi X2 cu o matrice de coeficienţi de cost direct iar produsul final într-un volum de 340, respectiv 280 de unități are forma: x 1 =0,34x 1 +0,18x 2 +340; x 2 =0,25x 2 +0,53x 2 +280..

Modelul Törnqvist n tip „cerere-venit”. (alte litere): răspuns : bunuri de lux (grupa 2).

Modelul Törnqvist, „cerere-venit” de forma Y=a 3 Z(Z-b 3)/Z+C 3:obiecte de lux.

Modelul Harrod-Domar sub forma unei ecuații diferențiale
are urmatoarea solutie: ).

Pe o izocuanta Funcția de producție Cobb-Douglas:

Pe net

Pe net trusele de consum indiferență au: aceleasi valori RĂSPUNS: V(t)= I(t-τ).

La productieCobb-Douglas funcţionează pe izocuanta: sunt prezentate combinații de valori ale capitalului și muncii, oferind aceeași producție.

De-a lungul linieisetul de consumator indiferență are:acelaşi nivel de satisfacţie a nevoilor individului.

Pe măsură ce cresc cererea de venit se deplasează (indicați afirmația corectă): RĂSPUNS: Pe măsură ce venitul crește, cererea trece de la bunuri din prima și a doua grupă la bunuri din a treia și a patra grupă, în timp ce consumul de bunuri din primul grup scade în termeni absoluti.

Pe măsură ce cresccererea de venit se deplasează (indicați afirmația corectă): De la mărfuri cu elasticitate scăzută la mărfuri cu elasticitate mare.Volumul de consum al mărfurilor cu elasticitate scăzută este redus.

Limită de utilitatePrimul produs u = 8 și al doilea produs u = 2. cu cât ar trebui un individ să mărească consumul de 2 produse dacă a redus consumul primului produs cu o unitate...4.

Utilități marginale primul produs , și al doilea produs . Cu cât ar trebui un individ să mărească consumul celui de-al doilea produs dacă a scăzut consumul primului produs cu o unitate? răspuns: nu sunt sigur: 3.

Folosindnotații: - ponderea investiției brute în PIB, a - ponderea produsului intermediar în producția brută, X (t) - producția brută în modelul Solow, valoarea fondului de consum neproductiv C (t) este determinată de formula :С(t)=(1- ) *(1-a)*X(t).

Când se analizeazăModelul lui Leontiev (balanța de intrare statistică) arată că suma produselor finale și suma produselor nete condiționat:…egale între ele.

Folosind notație: - ponderea investiției brute în produsul intern brut, A- ponderea produsului intermediar în producția brută, X(t) - producția brută în modelul R. Solow, valoarea fondului de consum neproductiv C(t) se află prin formula: C(t)=(1-j)*(1-a)*X(t) .

Cu putin creșterea volumului producției costuri variabile condiționat pentru 1 produs: rămâne neschimbat. (creștere, poate)

Când descrii Pentru studiul procesului cu ajutorul PFCD, efectele private au fost următoarele: pentru fonduri E k = 2, pentru muncă E l = 8. În acest caz, eficiența generalizată E este egală cu: 16.

Când descrii Răspuns: 3 (2 la puterea o.5 înmulțit cu 4,5 la puterea o.5).

Când descrii de 3 ori (2 nu exact)

Când descriiprocesul studiat folosind funcţia de producţie Cobb-Douglas a formei private…..eficientele au fost urmatoarele: pentru fonduri Ek=2, pentru munca EL=4,5. În acest caz, indicatorul generalizat de eficiență E este egal cu. .. 3( 2 la puterea o.5 înmulțit cu 4,5 la puterea o.5).

Când descriiprocesul studiat folosind funcţia de producţie Cobb-Douglas a formei private…..eficientele au fost urmatoarele: pentru fonduri Ek=2, pentru munca EL=8. În acest caz, indicatorul generalizat de eficiență E este egal cu:4 sau 16.

Când descrii procesul studiat folosind funcţia de producţie Cobb-Douglas a formei private…..eficientele au fost urmatoarele: pentru fonduri Ek=2, pentru munca EL=4,5. În acest caz, indicatorul generalizat de eficiență E este egal cu.

Când descrii al procesului studiat, folosind funcția de producție Cobb-Douglas, a devenit cunoscut faptul că indicatorul generalizat de eficiență a producției este E = 1,5, iar scara de producție este M = 2. În acest caz, producția brută a crescut De 3 ori.

La construireaEMM bazat pe indicatorii cunoscuți de intrare și ieșire ai unui obiect este cel mai adesea folosit ca criteriu pentru apropierea reflectării modelului a proprietăților de control...suma minimă a diferențelor pătrate.

Când este acceptatnotaţie...Retragerea capitalului și valoarea investiției brute.

Când este acceptatnotația f(Kо) - productivitatea muncii pe o traiectorie staționară, - raportul capital-muncă pe o traiectorie staționară se pare ca...().

Când este acceptat Notarea în modelul Solow, condiția ca economia să atingă o traiectorie staționară are răspunsul de formă: k(t)=k la puterea 0=const.

Cu notaţia acceptată…una dintre ecuațiile din modelul lui R. Solow în unități relative va avea forma: dk(t)/dt=(-(g+m)k(t)/(1)+j(1 -A)f/(2) În această ecuație, termenii (1) și (2) reflectă impactul asupra modificării raportului capital-muncă.

În afară de asta condiții egale cu creșterea prețurilor cererea pentru bunuri Giffin cererea pentru tot este în creștere .

La hotărâre ;p1x1+p2x2=I unde I=1000, p1=5, p2=10ed.. Care este cantitatea primului produs al celui de-al doilea produs….100 de unități - 1 produs și 50 de unități - a doua.

La hotărâreproblemele de alegere ale consumatorilor au primit un sistem de ecuații ;p1x1+p2x2=I unde I=1000, p1=10, p2=5ed.. Care este cantitatea din primul produs al celui de-al doilea produs? ….50, 100.

La cresterevenit, cererea pentru un produs la un preț constant de obicei...Creșteri (modificări conform legii sinusoidale).

Productie Sunt o funcție , atunci produsul marginal la Kt=4, Lt=25 este egal cu 2,5.

Funcția de producție , atunci produsul marginal la Kt=4, Lt=25 este egal cu...0.2.

Productie Kt=1100, Lt=9900. Care este rentabilitatea marginală a capitalului?...1,5 (sau 10)

Funcția de producție drăguț numit: Funcție de producție liniară, aditivă.

Funcția de producție este dat ca X t =K t 0.5 ´L t 0.5, unde K t este capitalul, L t este munca. Atunci produsul marginal al muncii ¶У/¶L la K t =16, L t =25 este egal cu: 0,4.

Funcția de producție Cobb-Douglas are aspectul unde Kt=4000, Lt=10. Care este productivitatea marginală a muncii? Răspuns: 10.

ProductieFuncția Cobb-Douglas are forma unde Kt=9000, Lt=10. Care este productivitatea marginală a muncii?...15.

Productie Funcția Cobb-Douglas arată ca așteptarea matematică a factorului de corecție este .. = 1.

Funcția de producție Cobb-Douglas are forma:X t =K t 0,5 ´L t 0,5;K t =900,L t =10. Care este productivitatea marginală a muncii ¶Х/¶L: 15.

Productie O funcție se numește dinamică dacă: 1) timpul t apare ca o variabilă independentă care afectează volumul de ieșire 2) Parametrii PF depind de timp 3) Caracteristicile PF depind de timp.

Funcția de producție Acest- o astfel de funcție, a cărei variabilă independentă ia valorile volumelor resursei utilizate (factor de producție), iar variabila dependentă ia valorile volumelor de ieșire y=f(x).

Productie-tion K-D are forma cu ce procent va crește producția Xt când capitalul Kt crește cu 1 % (0,4).

Productieo functie se numeste dinamica daca:Apare timpul t..Parametrii PF depind de timp …. Caracteristicile funcției de producție depind de timp.

Intermediarprodusul din schema care reflectă relația indicatorilor macroeconomici într-o economie închisă a țării este:mijloace de muncă şi bunuri de consum.

Procesul de constituirepreț de echilibru în modelul pânză de păianjen...Ramane neschimbat.

Lasă funcția utilitatea are forma , prețurile inițiale ale mărfurilor și . Venitul individului este de 2000 de unități, iar setul optim de bunuri ; Dacă prețul s-a dublat de patru ori, atunci care va fi venitul compensat al individului și valorile setului optim de bunuri? :I k =2000; x 1 =50; x 2 =40.

Lasă funcția utilitatea are forma u(x1;x2)=x1*x2, prețurile inițiale ale bunurilor P1 și P2. Venitul individual = 1000 de unități, iar setul optim de bunuri x1 = 100 de unități, x2 = 20 de unități. Dacă prețul a crescut de 4 ori, atunci cu ce vor fi egale venitul compensat al individului și valorile setului optim de bunuri (x1 x2)? 2000 50,40.

Modele de echilibrusunt considerate...Modele care descriu o astfel de stare de ek-ki, când rezultanta tuturor forțelor. (răspunsul este egal cu 0)

Poziţieîn ordinea corectă etapele construcției FUI: 1. Enunțarea problemei economice și analiza calitativă a acesteia 2. Construirea unui model matematic 3. Analiza matematică a modelului 4. Pregătirea informațiilor inițiale 5. Rezolvarea numerică 6. Analiza rezultatelor numerice și aplicarea acestora.

Poziţieîn ordinea corectă etapele construcției unui EMM: 1. Enunțarea problemei economice și analiza calitativă a acesteia 2. Construirea unui model matematic 3. Analiza matematică a modelului 4. Pregătirea informațiilor inițiale 5. Rezolvarea numerică 6. Analiza rezultatelor numerice și aplicarea acestora.

Cu ajutorul căruia model (sub forma unei formule) este posibil să reflecte producția brută, produsul intermediar, produsul intern brut la nivelul economiei țării: Modelul echilibrului lui Leontiev.

Prin utilizareace model poate reflecta dependența producției brute și a resurselor utilizate la nivelul economiei țării: ...Model Cobb-Douglas (PFKD)

Prin utilizareace model (sub forma unei formule).. relația dintre indicatorii VP, produs intermediar, PIB….Modelul echilibrului lui Leontiev.

Sistem de ecuații in modelul Leontiev se numeste productiv daca este rezolvabil. răspuns: în nenegativ Xi>0, cu i=1÷n.

ConformÎn modelul clasic al unei economii de piață, oferta de bunuri este determinată de: nivel de ocupare deplină.

Conformmodelul clasic al unei economii de piata, cu acelasi PIB, o crestere a masei monetare va duce la...O creștere a prețului unei unități de PIB.

Conform modeluluiRegula „de aur” a acumulării lui Solow corespunde unei rate de acumulare egală cu coeficientul de α-elasticitate pentru capitalul fizic.phi=1.

Conform modelului Harrord-Domar la ce…..creșterea volumului consumului va fi egală cu rata creșterii veniturilor: RĂSPUNS: r< 1/в, r=p .

Conform modelului Harrord-Domar, la ce…..r creștere a volumului consumului va fi egală cu rata de creștere a venitului: RĂSPUNS: dacă r = р0, р0 = а0 /В, а0 este rata de acumulare la începutul moment de timp.

Conform staticului Modelul Leontief, dacă produsul final al primei industrii este y1 = 1000 unități, iar producția brută x1 = 2500 unități, care este volumul de producție al primei industrii consumat de alte industrii? 1.5.(1500 sau 3500).

Conform staticului Modelul Leontief, dacă produsul final al primei industrii este y1 = 1500 unități, iar producția brută x1 = 3500 unități, care este volumul de producție al primei industrii consumat de alte industrii? 2000 de unitati .

Model staticLeontiev include ecuații de forma…. .

Condițional pur pproducția în balanța intersectorială include...Amortizarea, munca si venitul net.

Functie utilitara consumul are forma .Pretul pentru bunul x este egal cu 10, pentru bunul y este egal cu 5, venitul consumatorului este egal cu 200. Atunci setul optim de bunuri de consum are forma: 10,20.

Functie utilitaraconsumul are forma .Prețul pentru bunul x este 5, pentru bunul y este 10, venitul consumatorului este 200. Atunci setul optim de bunuri de consum are forma...20.10.(200 sau 400)

Functie utilitaraconsumatorul are proprietăți... utilitatea marginală scade dacă consumul scade; o creștere a consumului unui produs duce la o creștere a utilității; (utilitatea marginală a fiecărui produs crește dacă crește cantitatea altui produs).

Prețul de vânzare un produs este egal cu 7 unități. Costurile fixe sunt egale cu 8000 de unități. Costurile variabile sunt egale cu 5 unități. pentru 1 bucată Care este volumul de producție în pragul de rentabilitate? 4000 de unitati

Cu ce este egal în model Cererea Keynes de obligațiuni dacă masa monetară = 1000 de unități. , viteza de rotație a banilor pe piața reală este k=0,1, prețul unei unități de PIB este p=0,5 unități, valoarea PIB este de 10.000 de unități... 500.

Ce este egal cuîn modelul lui Keynes, cererea de obligațiuni dacă oferta de bani = 1000 de unități. , viteza de rotație a banilor pe piața reală este k=0,1, prețul unei unități de PIB este p=0,2 unități, valoarea PIB este de 10.000 de unități... 800.

Egalitatea formei F (x, y) = 0 numită ecuație în două variabile X, y, dacă nu este adevărat pentru toate perechile de numere X y. Ei spun două numere X = X 0 , y=y 0, satisface o ecuație a formei F(x, y)=0, dacă la înlocuirea acestor numere în loc de variabile XȘi laîn ecuație, partea stângă dispare.
Ecuația unei linii date (într-un sistem de coordonate desemnat) este o ecuație cu două variabile care este satisfăcută de coordonatele fiecărui punct aflat pe această dreaptă și nu este satisfăcută de coordonatele fiecărui punct care nu se află pe ea.
În cele ce urmează, în locul expresiei „se dă ecuația dreptei F(x, y) = 0" vom spune adesea pe scurt: dată o linie F (x, y) = 0.
Dacă sunt date ecuațiile a două drepte F(x, y) = 0Și Ф(x, y) = Q, apoi soluția comună a sistemului
oferă toate punctele lor de intersecție. Mai precis, fiecare pereche de numere care este o soluție comună a acestui sistem determină unul dintre punctele de intersecție.
*) În cazurile în care sistemul de coordonate nu este numit, se presupune că este dreptunghiular cartezian.
157. Se acordă puncte *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Determinați care puncte publicate se află pe linia definită de ecuație X+ y = 0,și care nu se întind pe el. Care linie este definită de această ecuație? (Desenează-l pe desen.)
158. Pe linia definită de ecuație X 2 +y 2 =25, aflați punctele ale căror abscise sunt egale cu următoarele numere: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; pe aceeași linie găsiți puncte ale căror ordonate sunt egale cu următoarele numere: e) 3, f) - 5, g) - 8. Care dreaptă este determinată de această ecuație? (Desenează-l pe desen.)
159. Stabiliți ce drepte sunt determinate de următoarele ecuații (construiți-le pe desen):
1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) X- 2 = 0; 4) X+ 3 = 0;
5) y - 5 = 0; 6) y+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;
9) X 2 - xy = 0; 10) X y+ y 2 = 0; unsprezece) X 2 - y 2 = 0; 12) X y= 0;
13) y 2 - 9 = 0; 14) X y 2 - 8X y+15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;
16) X 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y =|X|; 18) x =|la|; 19)y + |X|=0;
20) x +|la|= 0; 21)y =|X- 1|; 22) y = |X+ 2|; 23) X 2 + la 2 = 16;
24) (X-2) 2 +(y-1) 2 =16; 25) (X+ 5) 2 +(y- 1) 2 = 9;
26) (X - 1) 2 + y 2 = 4; 27) X 2 +(y + 3) 2 = 1; 28) (X -3) 2 + y 2 = 0;
29) X 2 + 2y 2 = 0; 30) 2X 2 + 3y 2 + 5 = 0
31) (X- 2) 2 + (y + 3) 2 + 1=0.
160.Linii date:
1)X+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) X 2 + y 2 - 36 = 0;
4) X 2 +y 2 -2X==0; 5) X 2 +y 2 + 4X-6y-1 =0.
Determinați care dintre ele trec prin origine.
161.Randurile date:
1) X 2 + y 2 = 49; 2) (X- 3) 2 + (y+ 4) 2 = 25;
3) (X+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( X + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;
5) X 2 +y 2 - 12x + 16y = 0; 6) X 2 +y 2 - 2x + 8la+ 7 = 0;
7) X 2 +y 2 - 6x + 4y + 12 = 0.
Aflați punctele lor de intersecție: a) cu axa Oh; b) cu o axă OU.
162.Aflați punctele de intersecție a două drepte;
1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;
2) X 2 +y 2 -16X+4la+18 = 0, x + y= 0;
3) X 2 +y 2 -2X+4la -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;
4) X 2 +y 2 -8X+10у+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.
163. Punctele sunt date în sistemul de coordonate polare
M 1 (1; ), M 2 (2; 0), M 3 (2; )
M 4 (
;) Și M 5 (1; )
Determinați care dintre aceste puncte se află pe dreapta definită de ecuație în coordonatele polare  = 2 cos  și care nu se află pe ea. Care linie este determinată de această ecuație? (Desenează-l pe desen:)
164. Pe dreapta definită de ecuaţia  = , găsiți puncte ale căror unghiuri polare sunt egale cu următoarele numere: a) ,b) - , c) 0, d) . Care linie este definită de această ecuație?
(Construiți-l pe desen.)
165.Pe dreapta definită de ecuaţia  = , găsiți puncte ale căror raze polare sunt egale cu următoarele numere: a) 1, b) 2, c)
. Care linie este definită de această ecuație? (Construiți-l pe desen.)
166. Stabiliți ce drepte sunt determinate în coordonate polare de următoarele ecuații (construiți-le pe desen):
1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;
6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) sin  = 9) sin  =
167. Construiți următoarele spirale lui Arhimede pe desen:
1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4)р = -1.
168. Construiți pe desen următoarele spirale hiperbolice:
1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .
169. Construiți următoarele spirale logaritmice pe desen:
,
.
170. Determinați lungimile segmentelor în care se taie spirala lui Arhimede
rază care iese din pol și înclinată în unghi față de axa polară
. Faceți un desen.
171. Pe spirala lui Arhimede
punct luat CU, a cărui rază polară este 47. Stabiliți câte părți taie această spirală raza polară a punctului CU, Faceți un desen.
172. Pe o spirală hiperbolică
găsi un punct R, a căror rază polară este de 12. Realizați un desen.
173. Pe o spirală logaritmică
găsiți punctul Q a cărui rază polară este 81. Faceți un desen.