Lăsa l- o linie de spațiu. Ca și în planimetrie, orice vector

A =/= 0, linie dreaptă coliniară l, se numește vector ghid această linie dreaptă.

Poziția unei drepte în spațiu este complet determinată prin specificarea unui vector de direcție și a unui punct aparținând dreptei.

Lasă linia l cu vector ghid A trece prin punctul M 0 , iar M este un punct arbitrar în spațiu. Evident, punctul M (Fig. 197) aparține dreptei l dacă și numai dacă vectorul \(\overrightarrow(M_0 M)\) este coliniar cu vectorul A , adică

\(\overrightarrow(M_0 M)\) = t A , t\(\în\) R. (1)

Dacă punctele M şi M 0 sunt date de vectorii lor cu rază r și r 0 (Fig. 198) în raport cu un punct O al spațiului, atunci \(\overrightarrow(M_0 M)\) = r - r 0 , iar ecuația (1) ia forma

r = r 0 + t A , t\(\în\) R. (2)

Se numesc ecuațiile (1) și (2). ecuații vector-parametrice ale unei linii drepte. Variabil tîn ecuațiile vector-parametrice se numește linie dreaptă parametru.

Fie punctul M 0 o dreaptă lși vectorul de direcție a sunt date de coordonatele lor:

M 0 ( X 0 ; la 0 , z 0), A = (A 1 ; A 2 ; A 3).

Atunci dacă ( X; y; z) - coordonatele unui punct arbitrar M al dreptei l, apoi

\(\overrightarrow(M_0 M) \) = ( x - x 0 ; u - u 0 ; Z Z 0)

iar ecuația vectorială (1) este echivalentă cu următoarele trei ecuații:

x - x 0 = ta 1 , u - u 0 = ta 2 , Z Z 0 = ta 3

$$ \begin(cases) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end(cases) (3)$$

Ecuațiile (3) se numesc ecuații parametrice ale dreptei in spatiu.

Sarcina 1. Scrieți ecuațiile parametrice ale unei drepte care trece printr-un punct

M0 (-3; 2; 4) şi având un vector de direcţie A = (2; -5; 3).

În acest caz X 0 = -3, la 0 = 2, z 0 = 4; A 1 = 2; A 2 = -5; A 3 = 3. Înlocuind aceste valori în formulele (3), obținem ecuațiile parametrice ale acestei drepte

$$ \begin(cases) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, ​​​​\;\;t\in R\end(cases) $$

Excludeți parametrul t din ecuațiile (3). Acest lucru se poate face pentru că A =/= 0 și, prin urmare, una dintre coordonatele vectorului A evident diferită de zero.

În primul rând, toate coordonatele să fie diferite de zero. Apoi

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

și, prin urmare

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$

Aceste ecuații se numesc ecuații canonice ale dreptei .

Rețineți că ecuațiile (4) formează un sistem de două ecuații cu trei variabile X yși z.

Dacă în ecuaţiile (3) una dintre coordonatele vectorului A , de exemplu A 1 este egal cu zero, atunci, excluzând parametrul t, obținem din nou un sistem de două ecuații cu trei variabile X yși z:

\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Aceste ecuații sunt numite și ecuații canonice ale dreptei. Pentru uniformitate, acestea sunt scrise condiționat și sub forma (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

având în vedere că dacă numitorul este egal cu zero, atunci numărătorul corespunzător este egal cu zero. Aceste ecuații sunt ecuații ale unei linii drepte care trece prin punctul M 0 ( X 0 ; la 0 , z 0) în paralel plan de coordonate yOz, deoarece acest plan este paralel cu vectorul său de direcție (0; A 2 ; A 3).

În fine, dacă în ecuațiile (3) două coordonate ale vectorului A , de exemplu A 1 și A 2 sunt egale cu zero, atunci aceste ecuații iau forma

X = X 0 , y = la 0 , z = z 0 + t A 3 , t\(\în\) R.

Acestea sunt ecuațiile unei drepte care trece prin punctul M 0 ( X 0 ; la 0 ; z 0) paralel cu axa Oz. Pentru un astfel de direct X = X 0 , y = la 0, a z- orice număr. Și în acest caz, pentru uniformitate, ecuațiile unei linii drepte pot fi scrise (cu aceeași rezervă) sub forma (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Astfel, pentru orice spațiu drept se poate scrie ecuații canonice(4) și invers, orice ecuație de forma (4) cu condiția ca cel puțin unul dintre coeficienți A 1 , A 2 , A 3 nu este egal cu zero, definește o linie de spațiu.

Sarcina 2. Scrieți ecuațiile canonice ale unei drepte care trece prin punctul M 0 (- 1; 1, 7) paralel cu vectorul A = (1; 2; 3).

Ecuațiile (4) în acest caz sunt scrise după cum urmează:

\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)

Să derivăm ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date M 1 ( X 1 ; la 1 ; z 1) și

M2( X 2 ; la 2 ; z 2). Este evident că vectorul de direcție al acestei drepte poate fi luat ca vector A = (X 2 - X 1 ; la 2 - la 1 ; z 2 - z 1), dar dincolo de punctul M 0 prin care trece linia, de exemplu, punctul M 1. Atunci ecuațiile (4) se vor scrie după cum urmează:

\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)

Acestea sunt ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte M 1 ( X 1 ; la 1 ; z 1) și

M2( X 2 ; la 2 ;z 2).

Sarcina 3. Scrieți ecuațiile unei drepte care trece prin punctele M 1 (-4; 1; -3) și M 2 (-5; 0; 3).

În acest caz X 1 = -4, la 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, la 2 = 0, z 2 = 3. Înlocuind aceste valori în formulele (5), obținem

\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)

Sarcina 4. Scrieți ecuațiile unei drepte care trece prin punctele M 1 (3; -2; 1) și

M2 (5; -2; 1/2).

După înlocuirea coordonatelor punctelor M 1 și M 2 în ecuațiile (5), obținem

\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)

Prelegerea nr. 7

Plan și linie în spațiu

prof. Dymkov M.P.

1. Ecuație parametrică Drept

Fie dat un punct M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) pe o dreaptă și un vector s = (l ,m ,n ) situat pe

această linie (sau paralelă cu ea). Se mai numește vectorul s vector de ghidare drept.

Aceste condiții definesc în mod unic o linie dreaptă în spațiu. Să o găsim

ecuația. Luați un punct arbitrar M (x, y, z) pe linie. Este clar că vectorii

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) și s sunt coliniare.

Prin urmare, M 0 M = t s − este o ecuație vectorială a unei drepte.

În notația de coordonate, ultima ecuație are următoarea reprezentare parametrică

x = x0 + t l ,

y = y0 + tm ,

z = z0 + tn ,

−∞ < t < +∞,

unde t - "trece prin"

interval (−∞ ,∞ ) ,

(deoarece punctul M (x, y, z) trebuie

"alerga prin"

întreaga linie).

2. Ecuația canonică a unei linii drepte

Eliminând parametrul t din ecuațiile anterioare, avem

x − x

y − y

z - z

T-

ecuația canonică a unei linii drepte.

3. Unghiul dintre linii. Condițiile „ ” și „ ” a două linii

Să fie date două linii

x − xi

y − yi

z−zi

i = 1,2.

Definiție.

Unghiul dintre liniile drepte L 1 și L 2

să numim orice unghi din

două unghiuri formate din două drepte, respectiv, paralele cu cea dată și care trec printr-un punct (pentru care poate fi necesar să se facă transfer paralel una dintre rânduri).

Din definiție rezultă că unul dintre unghiuri este egal cu unghiul ϕ dintre

vectori de direcție ai liniilor

= (l 1 ,m 1 ,n 1 )

= (l 2 ,m 2 ,n 2 ) , [și al doilea unghi

atunci va fi egal cu (π − φ ) ]. Apoi unghiul este determinat din relație

cosφ =

l 1 2 + m 1 2 + n 1 2

l 2 2 + m 2 2 + n 2 2

Liniile drepte sunt paralele dacă s și s

coliniare

Dreptele sunt perpendiculare pe s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 .

4. Unghiul dintre o linie și un plan. Condițiile « » și « » direct și

avion

Fie ca dreapta L să fie dată de ecuația sa canonică x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

iar planul P prin ecuație

Ax + By + Cz + D = 0.

Definiție. Unghiul dintre linia L

iar planul p este unghiul ascuțit dintre dreapta L și proiecția acesteia pe plan.

Din definiție (și figură) rezultă că unghiul necesar ϕ este suplimentar (până la unghi drept) la unghiul dintre vectorul normal n (A , B ,C ) si

vector de direcție s (l ,m ,n ) .

Al + Bm + Cn

−φ

Sin φ =

A 2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n 2

(. se ia pentru a obține un unghi ascuțit).

Dacă L Р, atunci s n (s, n) = 0

Al + Bm + Cn = 0 −					condiție " ".
Dacă L P , atunci s este coliniar cu n
				C-	condiție " ".
5. Puncte de intersecție a unei drepte și a unui plan
L : x = x0 + l , t ,					y = y0 + m t , z = z0 + n t ;
P : Ax + By + Cz + D = 0 .
Înlocuind expresiile pentru x, y, z în ecuația planului și transformând,
		t = − Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D .
				Al + Bm + Cn

Acum, dacă înlocuim „t” găsit în ecuațiile parametrice ale dreptei, atunci vom găsi punctul de intersecție dorit

Prelegerea nr. 8-9

Bazele analiză matematică

prof. Dymkov M.P.

Una dintre principalele operații ale analizei matematice este operația de trecere la limită, care are loc în curs sub diferite forme. Vom începe cu cea mai simplă formă a operației de trecere la limită, bazată pe noțiunea de limită, așa-numita succesiune de numere. Aceasta va facilita introducerea unei alte forme foarte importante de trecere la operația limită, limita unei funcții. In cele ce urmeaza, constructiile de treceri la limita vor fi folosite in constructia calculului diferential si integral.



 Secvențe infinitezimale și infinit de mari

 Relația dintre secvențe infinit de mari și infinit de mici.

 Cele mai simple proprietăți ale secvențelor infinitezimale

 Limită de secvență.

 Proprietăţi ale secvenţelor convergente

 Operații aritmetice pe secvențe convergente

 Secvențe monotone

 Criteriul de convergență Cauchy

 Numărul e și ilustrația sa economică.

 Aplicarea limitelor în calculele economice

§ 1. Secvențe numerice și proprietăți simple

1. Conceptul de succesiune numerică. Operații aritmetice pe secvențe

Secvențele de numere sunt seturi infinite de numere. Exemple de secvențe sunt cunoscute de la școală:

1) succesiunea tuturor membrilor unei progresii aritmetice și geometrice infinite;

2) succesiune de perimetre regulate n-gonuri înscrise într-un cerc dat;

	3) succesiunea de numere							aproximând numărul

va fi numită secvența de numere (sau doar o secvență).

Numerele separate x 3 , x 5 , x n vor fi numite elemente sau membri ai succesiunii (1). Simbolul x n este numit membru comun sau al n-lea al acestei secvențe. Dând valoarea n = 1, 2, … în termenul comun x n obținem, respectiv, primul x 1 , al doilea x 2 și așa mai departe. membrii.

O secvență este considerată dată (vezi Def.) dacă este specificată o metodă pentru obținerea oricăruia dintre elementele sale. Adesea, o secvență este dată de o formulă pentru termenul comun al șirului.

Pentru a scurta notația, șirul (1) se scrie uneori ca

( x n ) . De exemplu,			înseamnă secvența 1,
( 1+ (− 1)n ) avem			0, 2, 0, 2, … .

Structura termenului comun (formula sa) poate fi complexă. De exemplu,

							n N.
x n =					n-ciudat

Uneori succesiunea este dată de așa-numitul formule recurente, adică formule care vă permit să găsiți membrii ulterioare ai secvenței din cei anterioare cunoscuți.

Exemplu (numerele Fibonacci). Fie x 1 = x 2 = 1 și formula recurentă x n = x n − 1 + x n − 2 pentru n = 3, 4, … este dată. Atunci avem șirul 1, 1,

2, 3, 5, 8, ... (numerele lui Leonardo din Pisa, supranumit Fibonacci). Geometric, o secvență numerică poate fi reprezentată pe un număr

axă sub forma unei succesiuni de puncte ale căror coordonate sunt egale cu cele corespunzătoare

membrii corespunzători ai secvenței. De exemplu, ( x n ) = 1 n .

Curs № 8-9 Fundamentele analizei matematice prof. Dymkov M.P. 66

Considerăm împreună cu șirul ( x n ) o altă secvență ( y n ): y 1 , y 2 , y ,n (2).

Definiție. Suma (diferența, produsul, coeficientul) secvenței

valorile ( xn ) și ( yn ) se numește o secvență ( zn ) ai cărei membri sunt

format conform

z n = x n + y n

X y

≠ 0

Produsul unei secvențe ( xn ) și un număr c R este o secvență ( c xn ) .

Definiție. Secvența ( xn ) se numește mărginită

de sus (de jos), dacă există un număr real M (m) astfel încât fiecare element al acestei secvențe xn satisface inegalul

xn ≤ M (xn ≥ m) . O secvență se numește mărginită dacă este mărginită atât deasupra cât și sub m ≤ xn ≤ M . Se numește șirul xn

este nelimitat dacă pt număr pozitiv A (mai mult) exista cel putin un element al secvenței xn , satisface

care dă inegalitatea xn > A.

( x n ) = ( 1n ) 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − este mărginită de jos de 1, dar este nemărginită.

( x n ) = ( − n ) − mărginit de sus (–1), dar și nemărginit.

Definiție. Se numește șirul ( x n ). infinitezimal,

dacă pentru orice număr real pozitiv ε (oricât de mic este luat) există un număr N , care depinde, în general, de ε , (N = N (ε )) astfel încât pentru tot n ≥ N inegalitatea x n< ε .

Exemplu. ( x n ) = 1 n .

Definiție. Se numește șirul ( xn ). durere nesfârșită-

nu dacă pentru un număr real pozitiv A (indiferent cât de mare este acesta) există un număr N (N = N(A)) astfel încât pentru toți n ≥ N

se obţine inegalitatea xn > A.

Să treacă dreapta prin punctul M1 (x1, y1, z1) și să fie paralelă cu vectorul (m ,n, l). Să scriem o ecuație pentru această dreaptă.

Să luăm un punct arbitrar M (x, y, z) pe această dreaptă și să găsim relația dintre x, y, z. Să construim un vector

Vectorii sunt coliniari.

- ecuația canonică a unei drepte în spațiu.

44 Ecuații parametrice ale unei drepte

pentru că această ecuație este satisfăcută de coordonatele oricărui punct de pe linie, atunci ecuația rezultată este o ecuație parametrică a dreptei.

Această ecuație vectorială poate fi reprezentată sub formă de coordonate:

Transformând acest sistem și echivalând valorile parametrului t, obținem ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu:

Definiție. Cosinusurile de direcție ale dreptei sunt cosinusurile de direcție ale vectorului, care pot fi calculate prin formulele:

De aici obținem: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

Numerele m, n, p se numesc panta dreptei. Deoarece este un vector diferit de zero, atunci m, n și p nu pot fi egali cu zero în același timp, dar unul sau două dintre aceste numere pot fi egale cu zero. În acest caz, în ecuația unei linii drepte, numărătorii corespunzători ar trebui să fie egalați cu zero.

45 Ecuația unei drepte în spațiu care trece prin două puncte diferite date.

Geometrie analitică

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.

Fie M1(x1y1) și M2(x2y2) date în plan. Să compunem ecuația canonică a dreptei care trece prin aceste două puncte, ca vector de direcție S luăm M1M2

troica.

Aceasta este ecuația unei drepte care trece prin două puncte date (x1 y1) și (x2, y2)

Să ne întoarcem acum la ecuațiile dreptei și ale planului în spațiu.

Geometrie analitică în spațiul tridimensional

În mod similar cu cazul bidimensional, orice ecuație de gradul I în raport cu trei variabile x, y, z este ecuația unui plan în planurile spațiului Оxyz. Ecuația canonică a planului care trece prin punctul M(x0,y0,z0) și având normala N(A,B,C) A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =0 – care este această ecuație?

Valorile x-x0, y-y0 și z-z0 sunt diferențele dintre coordonatele punctului curent și ale punctului fix. Prin urmare, vectorul a (x-x 0, y-y0, z-z0) este un vector situat în planul descris, iar vectorul N este un vector perpendicular pe plan, ceea ce înseamnă că sunt perpendiculari unul pe celălalt.

Atunci ei produs scalar ar trebui să fie egal cu zero.

În forma de coordonate (N,a)=0 arată astfel:

A (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0)=0

În spațiu, se disting triplele de vectori dreapta și stânga. Un triplu de vectori necoplanari a, b, c se numește drept dacă, din originea lor comună, parcurgerea capetelor vectorilor a, b, c în ordinea indicată pare observatorului în sensul acelor de ceasornic. In caz contrar cazul a,b,c- stânga.

46 Unghiul dintre liniile din spațiu

Un unghi între linii drepte în spațiu este oricare dintre unghiurile adiacente formate din două linii drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și. Deoarece, conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Condițiile de paralelism și perpendicularitate a două drepte sunt echivalente cu condițiile de paralelism și perpendicularitate ale vectorilor lor de direcție și:

Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor respectivi sunt proporționali, i.e. l1 este paralel cu l2 dacă și numai dacă este paralel .

Două drepte sunt perpendiculare dacă și numai dacă suma produselor coeficienților corespunzători este egală cu zero: .

Aflați ecuațiile dreptei care trece prin punctul М1(1;2;3) paralel cu dreapta l1:

Deoarece linia dorită l este paralelă cu l1, atunci ca vector de direcție al dreptei dorite l, putem lua vectorul de direcție al dreptei l1.

Ecuațiile parametrice ale unei drepte sunt obținute elementar din ecuația canonică a acestei drepte, care are forma . Să luăm ca parametru valoarea cu care se pot înmulți părțile din stânga și din dreapta ecuației canonice.

Deoarece unul dintre numitori este în mod necesar diferit de zero, iar numărătorul corespunzător poate lua orice valoare, întreaga axă numere reale: .

Vom primi sau în sfârșit

Ecuațiile (1) sunt ecuațiile parametrice dorite ale dreptei. Aceste ecuații permit interpretarea mecanică. Dacă presupunem că parametrul este timpul măsurat dintr-un moment inițial, atunci ecuațiile parametrice determină legea mișcării punct materialîn linie dreaptă cu viteză constantă (o astfel de mișcare are loc prin inerție).

Exemplul 1 Compuneți pe un plan ecuațiile parametrice ale unei drepte care trece printr-un punct și având un vector de direcție.

Soluţie. Înlocuim datele punctului și ale vectorului direcție din (1) și obținem:

Adesea în sarcini este necesară transformarea ecuațiilor parametrice ale unei linii drepte în alte tipuri de ecuații și din ecuații de alte tipuri pentru a obține ecuații parametrice ale unei linii drepte. Să ne uităm la câteva astfel de exemple. Pentru a transforma ecuațiile parametrice ale unei linii drepte în ecuația generală a unei drepte mai întâi trebuie aduse la forma canonică, iar apoi din ecuația canonică obținem ecuație generală Drept

Exemplul 2 Scrieți ecuația unei drepte

în general.

Soluţie. În primul rând, aducem ecuațiile parametrice ale dreptei la ecuația canonică:

Transformări ulterioare aduc ecuația la forma generală:

Este ceva mai dificil să convertiți o ecuație generală în ecuații parametrice ale unei linii drepte, dar se poate elabora și un algoritm clar pentru această acțiune. În primul rând, putem transforma ecuația generală în ecuația panteiși găsiți din el coordonatele unui punct aparținând dreptei, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Când se cunosc coordonatele punctului și ale vectorului direcție (din ecuația generală), se pot scrie ecuațiile parametrice ale dreptei.

Exemplul 3 Scrieți ecuația unei linii drepte sub formă de ecuații parametrice.

Soluţie. Aducem ecuația generală a unei drepte într-o ecuație cu pantă:

Găsim coordonatele unui punct aparținând dreptei. Dați uneia dintre coordonatele punctului o valoare arbitrară

Din ecuația unei drepte cu pantă, obținem o altă coordonată a punctului:

Astfel, cunoaștem punctul și vectorul direcție. Substituim datele lor în (1) și obținem ecuațiile parametrice dorite ale dreptei:

Exemplul 4 Aflați panta unei drepte dată de ecuații parametrice

Soluţie. Ecuațiile parametrice ale unei linii drepte trebuie mai întâi convertite în ecuația canonică, apoi în generală și, în final, în ecuația pantei.

Astfel, panta unei drepte date:

Exemplul 5 Alcătuiți ecuații parametrice ale unei drepte care trece printr-un punct și o dreaptă perpendiculară

Asigurați-vă că citiți acest paragraf! Ecuațiile parametrice, desigur, nu sunt alfa și omega ale geometriei spațiale, ci furnica de lucru a multor probleme. Mai mult, acest tip de ecuații este adesea aplicat pe neașteptate, și aș spune, elegant.

Dacă punctul aparținând dreptei și vectorul direcție al acestei drepte sunt cunoscute, atunci ecuațiile parametrice ale acestei drepte sunt date de sistemul:

Am vorbit despre însuși conceptul de ecuații parametrice în lecții Ecuația unei drepte pe un planși Derivată a unei funcții definite parametric.

Totul este mai simplu decât un nap aburit, așa că trebuie să condimentezi sarcina:

Exemplul 7

Soluţie: Dreptele sunt date prin ecuații canonice și la prima etapă ar trebui să găsim un punct aparținând dreptei și vectorului său de direcție.

a) Îndepărtați vectorul punct și direcția din ecuații: . Puteți alege un alt punct (cum să faceți acest lucru este descris mai sus), dar este mai bine să luați cel mai evident. Apropo, pentru a evita greșelile, înlocuiți întotdeauna coordonatele sale în ecuații.

Să compunem ecuațiile parametrice ale acestei drepte:

Comoditatea ecuațiilor parametrice este că, cu ajutorul lor, este foarte ușor să găsiți alte puncte ale dreptei. De exemplu, să găsim un punct ale cărui coordonate, să zicem, corespund valorii parametrului:

În acest fel:

b) Se consideră ecuațiile canonice . Alegerea unui punct aici este simplă, dar insidioasă: (ai grijă să nu amesteci coordonatele!!!). Cum să scoți un vector de ghidare? Puteți argumenta cu ce este paralelă această linie dreaptă sau puteți folosi un truc formal simplu: proporția este „y” și „z”, așa că scriem vectorul de direcție și punem zero în spațiul rămas: .

Compunem ecuațiile parametrice ale dreptei:

c) Să rescriem ecuațiile sub forma , adică „Z” poate fi orice. Și dacă există, atunci să fie, de exemplu, . Astfel, punctul aparține acestei linii. Pentru a găsi vectorul direcție, folosim următoarea tehnică formală: în ecuațiile inițiale sunt „x” și „y”, iar în vectorul direcție în aceste locuri scriem zerouri: . În locul rămas punem unitate: . În loc de unul, orice număr, cu excepția zero, va fi potrivit.

Scriem ecuațiile parametrice ale dreptei:

Pentru antrenament:

Exemplul 8

Scrieți ecuații parametrice pentru următoarele linii:

Soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției. Răspunsurile tale pot diferi ușor de răspunsurile mele, adevărul este că ecuațiile parametrice pot fi scrise în mai multe moduri. Este important ca vectorii dvs. de direcție și ai mei să fie coliniari și că punctul dvs. „se potrivește” cu ecuațiile mele (bine, sau invers, punctul meu cu ecuațiile voastre).

Cum altfel poți defini o linie dreaptă în spațiu? Aș dori să vin cu ceva cu vectorul normal. Cu toate acestea, numărul nu va funcționa, pentru o linie de spațiu, vectorii normali pot arăta în direcții complet diferite.

O altă metodă a fost deja menționată în lecție Ecuația plană iar la începutul acestui articol.