/

Proiecție ortogonală a unui punct pe o dreaptă în spațiu. Proiectia unui punct pe o dreapta, coordonatele unei proiectii a unui punct pe o dreapta

1-12. Proiectia unui punct pe un plan sau o dreapta

FORMULAREA PROBLEMEI. Găsiți coordonatele proiecției P" ale punctului P(^PiURCHzp) pe planul Ax + By -\- Cz-\- D \u003d O,

PLAN DE SOLUȚIE. Proiecția P" a punctului P pe plan este baza perpendicularei căzute din punctul P pe acest plan.

1. Compunem ecuațiile unei drepte care trece prin punctul P perpendicular pe planul dat. Pentru a face acest lucru, luăm vectorul normal al planului ca vector de direcție al dreptei: a = n = (A, B, C). Atunci ecuațiile canonice ale dreptei au forma

X = At-\- xp, y = Bt-\-yp, Z = z Ct-\- Zp.

3. Substituind x^y^z în ecuația plană și rezolvând-o față de t, găsim valoarea parametrului t = la care se intersectează linia și planul.

4. Valoarea găsită a lui ^o este substituită în ecuațiile parametrice ale dreptei și obținem coordonatele necesare ale punctului R”.

COMETARIU. Problema găsirii coordonatelor proiecției unui punct pe o dreaptă se rezolvă în mod similar.

EXEMPLU. Găsiți coordonatele proiecției P "a punctului P (1,2, -1) pe planul ЗЖ - 2/4-22: - 4 \u003d 0.

1. Compunem ecuațiile unei drepte care trece prin punctul P perpendicular pe planul dat. Pentru a face acest lucru, luăm vectorul normal al planului ca vector de direcție al dreptei: a = n =

Ch. 1. Geometrie ansiitică

= (3, -1,2). Atunci ecuațiile canonice ale dreptei au forma

U-2 _ z-hl

2. Aflați coordonatele PUNCTULUI de intersecție P „a acestei drepte cu un dat

avion. Sa punem

x-~1 __ y-2 __ Z + 1 _

Atunci ecuațiile parametrice ale dreptei au forma

3. Înlocuind aceste expresii pentru x^ y și z în ecuația planului, găsim valoarea parametrului ^ la care se intersectează linia și planul:

3(3t + 1) - l(-t + 2) + 2(2t - 1) - 27 = O => to = 2.

4. Înlocuind valoarea găsită cu = 2 în ecuațiile parametrice ale dreptei, obținem x0 = 7, y0 = 0, y0 = 1.

Astfel, punctul de intersecție al dreptei cu planul și, în consecință, proiecția punctului P pe plan are coordonatele (7,0,1).

Răspuns. Proiecția P" are coordonatele (7,0,1).

CONDIȚII DE SARCINI. Găsiți coordonatele

proiectia punctului I^ pe plan

4x + boo -f 4z -

2x + 6y "-2g-\-11

4 x - 5 2 / - g - 7

f-f-42/+ Z2: 4-5 = 0.

2x -h Yuu + lOz -

2x -MO2 / -f- lOz -

Răspunsuri. 1.(2.3/2.2). 2. (-3/2,-3/2,-1/2). 3.(2,-1/2,-3/2). 4. (-1/2,1,1). 5.(1,-1/2,-1/2). 6.(3/2,-1/2,0). 7.(1/2,-1,-1/2). 8.(1/2,-1/2,1/2). 9.(1/2,-1/2,1/2). 10.(1,1/2,0).

1.13. Simetrie față de o dreaptă sau plan

FORMULAREA PROBLEMEI. Găsiți coordonatele punctului Q, simetrice

PLAN DE SOLUȚIE. Punctul dorit Q se află pe o dreaptă perpendiculară pe cea dată și intersectându-l în punctul P". Deoarece punctul P" împarte segmentul PQ la jumătate, coordonatele w, w și ZQ ale PUNCTULUI Q sunt determinate din condițiile

2 „^, ur” =

2 ~ ^ . ^P" =

unde xp,yp,zp

Coordonatele punctelor P și xp^^ypf^zp/ - coordonatele

proiecția sa P" pe linia dată.

1. Găsiți proiecția unui punctР la linia dreaptă dată, adică punctul P "(vezi problema 1.12). Pentru a face acest lucru:

a) alcătuiți ecuația planului care trece prin punctul P perpendicular pe dreapta dată. Ca vector normal p al acestui plan, putem lua vectorul de direcție al dreptei date, i.e. n = a = (l^m^n). Primim

1 (x - Xp) + m (y - UR) -f n (z - zp) \u003d 0;

b) găsiți coordonatele punctului de intersecție P" al acestui plan cu o dreaptă dată. Pentru aceasta, scriem ecuațiile dreptei în formă parametrică

X = H-\-jo, y = mt-\-yo, Z = nt-\- ZQ.

Substituind x^y^z în ecuația planului și rezolvând-o față de t, găsim valoarea parametrului t = to, la care se intersectează linia și planul;

c) substituim valoarea găsită în ecuațiile parametrice ale dreptei și obținem coordonatele dorite ale punctului Р".

2. Coordonatele punctului Q, care este simetric față de punctul Р față de dreapta dată, sunt determinate din condițiile (1). Primim

XQ = 2xp/ - Xp, yq = 2ur" - ur, ZQ = 22;p/ - zp.

COMETARIU. Problema găsirii coordonatelor unui punct simetric față de unul dat față de un plan se rezolvă în mod similar.

EXEMPLU. Aflați coordonatele punctului Q, simetric față de punctul P(2, -1,2) față de dreapta

X - 1 _ y __ Z -\-1

DECIZIE.

1. Găsiți proiecția unui punctР la linia dreaptă dată, adică punctul P". Pentru a face acest lucru:

a) alcătuiți ecuația planului care trece prin punctul P perpendicular pe dreapta dată. Ca vector normal p al acestui plan, putem lua vectorul de direcție al acestei drepte: n = a = (1,0,-2). Apoi

Înlocuind aceste expresii pentru x, y și z în ecuația planului, găsim valoarea parametrului t la care se intersectează linia și planul: to = -1;

c) substituind valoarea găsită la = -1 în ecuațiile parametrice ale dreptei, obținem

zhp/ = 0, g/p/ = 0, zpr = 1.

Astfel, punctul de intersecție al dreptei cu planul și, în consecință, proiecția punctului P pe dreaptă este P"(0,0,1).

2. Coordonatele punctului Q, care este simetric față de punctul Р față de dreapta dată, sunt determinate din condițiile (1):

XQ \u003d 2xp "- Xp \u003d -2,

VQ \u003d 2ur / - 2 / p \u003d 1,

ZQ = 2zpf - zp = 0.

Răspuns. Punctul Q are coordonate (-2,1,0).

CONDIȚII DE SARCINI. Aflați coordonatele unui punct simetric față de punctul P față de o dreaptă dată.

X - 1

Acest articol ia în considerare conceptul de proiecție a unui punct pe o dreaptă (axă). O vom defini folosind o figură explicativă; vom studia o metodă de determinare a coordonatelor proiecției unui punct pe o dreaptă (pe un plan sau în spatiu tridimensional); să ne uităm la exemple.

În articolul „Proiecția unui punct pe un plan, coordonate”, am menționat că proiecția unei figuri este un concept generalizat de proiecție perpendiculară sau ortogonală.

Toate figuri geometrice constau din puncte, respectiv, proiecția acestei figuri este mulțimea proiecțiilor tuturor punctelor sale. Prin urmare, pentru a putea proiecta o figură pe o linie dreaptă, este necesar să dobândești deprinderea de a proiecta un punct pe o dreaptă.

Definiția 1

Proiectia unui punct pe o dreapta- acesta este fie punctul însuși, dacă aparține unei drepte date, fie baza perpendicularei coborâte din acest punct la o dreaptă dată.

Luați în considerare figura de mai jos: punctul H 1 servește ca proiecție a punctului M 1 pe dreapta a, iar punctul M 2 aparținând dreptei este o proiecție a lui însuși.

Această definiție este valabilă pentru cazul în plan și în spațiul tridimensional.

Pentru a obține proiecția punctului M 1 pe dreapta a pe plan, se trasează o dreaptă b care trece prin punctul dat M 1 și perpendiculară pe dreapta a. Astfel, punctul de intersecție al dreptelor a și b va fi proiecția punctului M 1 pe dreapta a.

În spațiul tridimensional, punctul de intersecție al dreptei a și planul α care trece prin punctul M 1 și perpendicular pe dreapta a va servi drept proiecție a unui punct pe o dreaptă.

Aflarea coordonatelor proiecției unui punct pe o dreaptă

Considera această întrebareîn cazurile de proiecţie pe un plan şi în spaţiu tridimensional.

Să ne dăm un sistem de coordonate dreptunghiular O x y, un punct M 1 (x 1, y 1) și o dreaptă a. Este necesar să se găsească coordonatele proiecției punctului M 1 pe dreapta a.

Să punem printr-un punct dat M 1 (x 1, y 1) dreapta b perpendiculară pe dreapta a. Marcam punctul de intersecție ca H 1 . Punctul H 1 va fi punctul de proiecție al punctului M 1 pe dreapta a.

Din construcția descrisă, putem formula un algoritm care vă permite să găsiți coordonatele proiecției punctului M 1 (x 1, y 1) pe linia a:

Compunem ecuația unei drepte (dacă nu este setată). Pentru a efectua această acțiune, este necesară abilitățile de a compila ecuații de bază pe un plan;

Scriem ecuația dreptei b (care trece prin punctul M 1 și perpendiculară pe dreapta a). Un articol despre ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată va ajuta aici;

Definim coordonatele de proiecție dorite ca fiind coordonatele punctului de intersecție al dreptelor a și b. Pentru a face acest lucru, rezolvăm un sistem de ecuații, ale cărui componente sunt ecuațiile dreptelor a și b.

Exemplul 1

Punctele M 1 (1, 0) și o dreaptă a sunt date pe planul O x y (ecuația generală este 3 x + y + 7 = 0). Este necesar să se determine coordonatele proiecției punctului M 1 pe dreapta a.

Decizie

Ecuația dreptei date este cunoscută, prin urmare, conform algoritmului, trecem la pasul de scriere a ecuației dreptei b. Linia b este perpendiculară pe dreapta a, ceea ce înseamnă că vectorul normal al dreptei a servește ca vector de direcție al dreptei b. Atunci vectorul de direcție al dreptei b poate fi scris ca b → = (3 , 1) . De asemenea, scriem ecuația canonică a dreptei b, deoarece ni se dau și coordonatele punctului M 1 prin care trece dreapta b:

Pasul final este de a determina coordonatele punctului de intersecție a dreptelor a și b. Să trecem de la ecuații canonice dreapta b la ecuația sa generală:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Compunem un sistem de ecuații din ecuațiile generale ale dreptelor a și b și îl rezolvăm:

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

În final, am obținut coordonatele proiecției punctului M 1 (1, 0) pe dreapta 3 x + y + 7 = 0: (- 2, - 1) .

Răspuns: (- 2 , - 1) .

Să luăm în considerare mai detaliat cazul când este necesar să se determine coordonatele de proiecție punct dat pe drepte de coordonate și drepte paralele cu acestea.

Să fie date dreptele de coordonate O x și O y, precum și punctul M 1 (x 1 , y 1) . Este clar că proiecția punctului dat pe dreapta de coordonate O x de forma y = 0 va fi punctul cu coordonatele (x 1 , 0) . Deci proiecția unui punct dat pe dreapta de coordonate O y va avea coordonatele 0 , y 1 .

Orice linie arbitrară paralel cu axa abscisă, este posibilă setarea incompletă ecuație generală B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - C B și o linie dreaptă paralelă cu axa ordonatelor - A x + C \u003d 0 ⇔ x \u003d - C A.

Apoi proiecțiile punctului M 1 (x 1, y 1) pe liniile y \u003d - C B și x \u003d - C A vor fi puncte cu coordonatele x 1, - C B și - C A, y 1.

Exemplul 2

Determinați coordonatele proiecției punctului M 1 (7, - 5) pe dreapta de coordonate O y, precum și pe dreapta paralelă cu dreapta O y 2 y - 3 = 0.

Decizie

Să scriem coordonatele proiecției punctului dat pe dreapta O y: (0 , - 5) .

Scriem ecuația dreptei 2 y - 3 = 0 sub forma y = 3 2 . Devine clar că proiecția punctului dat pe dreapta y = 3 2 va avea coordonatele 7 , 3 2 .

Răspuns:(0 , - 5) și 7 , 3 2 .

Fie un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z , un punct M 1 (x 1 , y 1 , z 1) și o dreaptă a în spațiul tridimensional. Să găsim coordonatele proiecției punctului M 1 pe dreapta a.

Să construim un plan α care trece prin punctul M 1 și perpendicular pe dreapta a. Proiecția punctului dat pe dreapta a va fi punctul de intersecție al dreptei a și planul α. Pe baza acestuia, prezentăm un algoritm pentru găsirea coordonatelor proiecției punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe linia a:

Să notăm ecuația dreptei a (dacă nu este dată). Pentru a rezolva această problemă, trebuie să citiți articolul despre ecuațiile unei linii drepte în spațiu;

Să compunem ecuația planului α, care trece prin punctul M 1 și perpendicular pe dreapta a (vezi articolul „Ecuația planului care trece prin punctul dat perpendicular pe dreapta dată”);

Găsiți coordonatele dorite ale proiecției punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe dreapta a - acestea vor fi coordonatele punctului de intersecție al dreptei α și al planului α (pentru a ajuta - articolul „Coordonatele punctului de intersecție a dreptei și a planului”).

Exemplul 3

Este dat un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z, iar în el se află un punct M 1 (0, 1, - 1) și o dreaptă a. Linia a corespunde ecuațiilor canonice de forma: x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 . Să se determine coordonatele proiecției punctului M 1 pe dreapta a.

Decizie

Folosim algoritmul de mai sus. Ecuațiile liniei a sunt cunoscute, așa că sărim peste primul pas al algoritmului. Să scriem ecuația planului α . Pentru a face acest lucru, determinăm coordonatele vectorului normal al planului α . Din ecuațiile canonice date ale dreptei a, selectăm coordonatele vectorului de direcție al acestei drepte: (3 , - 4 , 1) , care va fi vectorul normal al planului α perpendicular pe dreapta a . Apoi n → = (3 , - 4 , 1) este vectorul normal al planului α . Astfel, ecuația planului α va arăta astfel:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Acum găsim coordonatele punctului de intersecție al dreptei a și planului α, pentru aceasta folosim două metode:

  1. Ecuațiile canonice date ne permit să obținem ecuațiile a două plane care se intersectează care definesc dreapta a:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

Pentru a găsi punctele de intersecție ale dreptei 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 și ale planului 3 x - 4 y + z + 5 = 0 , rezolvăm sistemul de ecuații:

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

În acest caz, folosim metoda Cramer, dar este posibil să aplicăm oricare dintre ele convenabile:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ z = ∆ 0 - 78 = 0

Astfel, proiecția punctului dat pe dreapta a este punctul cu coordonatele (1 , 2 , 0)

  1. Pe baza ecuațiilor canonice date, este ușor să scrieți ecuațiile parametrice ale unei linii drepte în spațiu:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Să substituim în ecuația planului, care are forma 3 x - 4 y + z + 5 = 0, în loc de x, y și z, expresiile lor prin parametrul:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

Să calculăm coordonatele dorite ale punctului de intersecție a dreptei a și a planului α folosind ecuații parametrice linia a pentru λ = 1:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Astfel, proiecția punctului dat pe linia a are coordonatele (1 , 2 , 0)

Răspuns: (1 , 2 , 0)

În final, observăm că proiecțiile punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe liniile de coordonate O x, O y și O z vor fi puncte cu coordonatele (x 1, 0, 0) , (0). , y 1 , 0 ) şi respectiv (0 , 0 , z 1).

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Proiecția unui punct pe o dreaptă se găsește destul de simplu, iar la efectuarea unor operații, aproximarea zero este calculată ca proiecția unui punct pe o dreaptă tangentă. Luați în considerare acest caz particular al problemei generale.

Să fie dată o linie dreaptă

și punct. Presupunem că vectorul linie w are o lungime arbitrară. Linia dreaptă trece prin punctul în care parametrul t este egal cu zero și are direcția vectorului w. Este necesar să se găsească proiecția unui punct pe o dreaptă. Această problemă are o soluție unică. Construim un vector dintr-un punct al unei drepte la un punct și calculăm produs scalar acest vector și vectorul linie w. Pe fig. 4.5.1 arată vectorul direcție al dreptei w, it punct de start Co și proiecție; punct dat. Dacă împărțim acest produs scalar la lungimea vectorului w, obținem lungimea proiecției vectorului pe o dreaptă.

Orez. 4.5.1. Proiectia unui punct pe o dreapta

Dacă împărțim acest produs scalar la pătratul lungimii vectorului w, atunci obținem lungimea proiecției vectorului pe linia dreaptă în unități de lungime a vectorului w, adică obținem parametrul t pentru proiecția unui punct pe o dreaptă.

Astfel, parametrul de proiecție al unui punct pe o dreaptă și vectorul rază al proiecției; calculate prin formule

(4.5.3)

Dacă lungimea vectorului w este egală cu unu, atunci în (4.5.2) nu este necesar să se împartă la Distanța de la un punct până la proiecția sa pe curbă se calculează în general ca lungimea vectorului . Distanța de la un punct până la proiecția acestuia pe o linie dreaptă poate fi determinată fără a calcula proiecția punctului, dar folosind formula

Cazuri speciale.

Proiecția unui punct pe curbele analitice poate fi găsită și fără a utiliza metode numerice. De exemplu, pentru a găsi proiecția unui punct pe o secțiune conică, trebuie să translați punctul proiectat în sistemul de coordonate local al secțiunii conice, să proiectați acest punct pe planul secțiunii conice și să găsiți parametrul celor două -proiecţia dimensională a punctului dat.

Caz general.

Să fie necesar să se găsească toate proiecțiile unui punct pe o linie curbă.Fiecare punct dorit al curbei satisface ecuația

(4.5.5)

Această ecuație conține o cantitate necunoscută - parametrul t. După cum am menționat deja, vom împărți soluția acestei probleme în două etape. În prima etapă, determinăm aproximațiile zero ale parametrilor proiecțiilor unui punct pe curbă, iar în a doua etapă, găsim valorile exacte ale parametrilor curbei care determină proiecțiile unui punct dat. pe linia curbă cu

Cu ajutorul acestuia calculator online găsiți proiecția unui punct pe o dreaptă. dat soluție detaliată cu explicatii. Pentru a calcula proiecția unui punct pe o dreaptă, specificați dimensiunea (2-dacă o dreaptă este considerată pe un plan, 3- dacă o dreaptă este considerată în spațiu), introduceți coordonatele punctului și elementele de ecuația din celule și faceți clic pe butonul „Rezolvare”.

×

Un avertisment

Ștergeți toate celulele?

Închide Clear

Instrucțiuni de introducere a datelor. Numerele sunt introduse ca numere întregi (exemple: 487, 5, -7623 etc.), numere zecimale (de ex. 67, 102,54 etc.) sau fracții. Fracția trebuie scrisă sub forma a/b, unde a și b (b>0) sunt numere întregi sau numere zecimale. Exemplele 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 etc.

Proiecția unui punct pe o dreaptă - teorie, exemple și soluții

Să luăm în considerare această problemă în spații bidimensionale și tridimensionale.

1. Fie dat un punct în spațiul bidimensional M 0 (X 0 , y 0) și direct L:

Algoritm pentru găsirea proiecției unui punct pe o dreaptă L conține următorii pași:

  • construiți o linie dreaptă L 1 trecând prin punct M 0 și perpendicular pe dreapta L,
  • găsiți intersecția liniilor Lși L 1 (punctul M 1)

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0 (X 0 , y 0) are următoarea formă:

Să deschidem parantezele

(5)

Înlocuiți valorile Xși y la 4):

Unde X 1 =mt"+X", y 1 =pt"+y".

Exemplul 1. Găsiți proiecția unui punct M 0 (1, 3) direct

Acestea. m=4, p=5. Din ecuația dreptei (6) se vede că trece prin punct M" (X", y")=(2, −3)(este ușor de verificat - înlocuind aceste valori în (6) obținem identitatea 0=0), adică. X"=2, y"=-3. Înlocuiți valorile m, p, x 0 , y 0 ,X y" la 5"):

2. Fie dat un punct în spațiul tridimensional M 0 (X 0 , y 0 , z 0) și direct L:

Găsirea proiecției unui punct pe o dreaptă L conține următorii pași:

  • construi un avion α trecând prin punct M 0 și perpendicular pe dreapta L,
  • găsiți intersecția planului α si direct L(punct M 1)

Ecuația unui plan care trece printr-un punct M 0 (X 0 , y 0 , z 0) are următoarea formă:

Să deschidem parantezele

(10)

Înlocuiți valorile Xși y la 9):

m(mt+X")+p(pct+y")+l(lt+z")−mX 0 −py 0 −lz 0 =0
m 2 t+mx"+p 2 t+py"+l 2 t+te iubesc"−mX 0 −py 0 −lz 0 =0
Acțiune