Derivatele parțiale ale funcțiilor mai multor variabile sunt funcții ale acelorași variabile. Aceste funcții, la rândul lor, pot avea derivate parțiale, pe care le vom numi derivate parțiale a doua (sau derivate parțiale de ordinul doi) ale funcției originale.
Deci, de exemplu, o funcție a două variabile are patru derivate parțiale de ordinul doi, care sunt definite și notate după cum urmează:
O funcție de trei variabile are nouă derivate parțiale de ordinul doi:
Derivatele parțiale ale treilea și mai mult ordin înalt funcții ale mai multor variabile: derivata parțială de ordin a unei funcții a mai multor variabile este derivata parțială de ordinul întâi a derivatei parțiale de ordin a aceleiași funcții.
De exemplu, derivata parțială de ordinul trei a unei funcții este derivata parțială de ordinul întâi în raport cu y a derivatei parțiale de ordinul doi
O derivată parțială a doua sau mai mare luată în raport cu mai multe variabile diferite se numește derivată parțială mixtă.
De exemplu, derivate parțiale
sunt derivate parțiale mixte ale unei funcții a două variabile.
Exemplu. Găsiți derivate parțiale mixte de ordinul doi ale unei funcții
Decizie. Găsirea derivatelor parțiale de ordinul întâi
Apoi găsim derivatele parțiale mixte de ordinul doi
Vedem că derivatele parțiale mixte și care diferă doar în ordinea diferențierii, adică în succesiunea în care se realizează diferențierea față de diferite variabile, s-au dovedit a fi identic egale. Acest rezultat nu este întâmplător. În ceea ce privește derivatele parțiale mixte, este valabilă următoarea teoremă, pe care o acceptăm fără demonstrație.
Să fie dată o funcție a două variabile. Să creștem argumentul și să lăsăm argumentul neschimbat. Apoi funcția va primi un increment, care se numește increment parțial față de variabilă și se notează:
În mod similar, fixând argumentul și acordând argumentului un increment, obținem o creștere parțială a funcției în raport cu variabila:
Valoarea se numește increment complet al funcției în punctul respectiv.
Definiție 4. Derivata parțială a unei funcții a două variabile în raport cu una dintre aceste variabile este limita raportului dintre incrementul parțial corespunzător al funcției și incrementul variabilei date atunci când aceasta din urmă tinde spre zero (dacă această limită există). Derivata parțială se notează ca: sau, sau.
Astfel, prin definiție, avem:
Derivatele parțiale ale unei funcții se calculează după aceleași reguli și formule ca o funcție a unei variabile, ținând cont de faptul că la diferențierea față de o variabilă se consideră constantă, iar la diferențierea față de o variabilă se consideră constant.
Exemplul 3. Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor:
Decizie. a) Pentru a găsi, presupunem o valoare constantă și diferențiam în funcție de o variabilă:
În mod similar, presupunând o valoare constantă, găsim:
Definiţie 5. Diferenţialul total al unei funcţii este suma produselor derivatelor parţiale ale acestei funcţii şi a incrementelor variabilelor independente corespunzătoare, i.e.
Având în vedere că diferențele variabilelor independente coincid cu incrementele acestora, i.e. , formula diferenţialului total poate fi scrisă ca
Exemplul 4. Aflați diferența totală a unei funcții.
Decizie. Deoarece, atunci prin formula diferenţialului total găsim
Derivate parțiale de ordin superior
Derivatele parțiale mai sunt numite și derivate parțiale de ordinul întâi sau derivate parțiale primare.
Definiție 6. Derivatele parțiale de ordinul doi ale unei funcții sunt derivate parțiale ale derivatelor parțiale de ordinul întâi.
Există patru derivate parțiale de ordinul doi. Acestea sunt desemnate după cum urmează:
Derivatele parțiale ale ordinului 3, 4 și superior sunt definite în mod similar. De exemplu, pentru o funcție avem:
Derivatele parțiale de ordinul doi sau mai mari luate în raport cu diferite variabile se numesc derivate parțiale mixte. Pentru o funcție, acestea sunt derivate. Rețineți că, în cazul în care derivatele mixte sunt continue, atunci are loc egalitatea.
Exemplul 5. Găsiți derivate parțiale de ordinul doi ale unei funcții
Decizie. Derivatele parțiale de ordinul întâi pentru această funcție se găsesc în exemplul 3:
Diferențiând și în raport cu variabilele x și y, obținem
Și nu trebuie să căutați nimic: în articolul nostru separat, am pregătit deja totul, astfel încât să puteți face acest lucru. Acum să vorbim despre derivate parțiale.
Bun venit pe canalul nostru Telegram pentru buletine informative utile și știri actuale pentru studenți.
Funcția a două sau mai multe variabile
Înainte de a vorbi despre derivate parțiale, trebuie să atingem conceptul de funcție a mai multor variabile, fără de care nu are niciun rost o derivată parțială. La școală, suntem obișnuiți să ne ocupăm de funcțiile unei variabile:
Am considerat derivatele unor astfel de funcții înainte. Graficul unei funcții a unei variabile este o dreaptă pe un plan: o dreaptă, o parabolă, o hiperbolă etc.
Dacă adăugăm o altă variabilă? Obțineți o funcție ca aceasta:
Aceasta este o funcție a două variabile independente Xși y. Graficul unei astfel de funcții este o suprafață în spatiu tridimensional: o sferă, hiperboloid, paraboloid sau vreun alt cal sferic în vid. Funcții derivate parțiale z pentru x și respectiv y, se scriu după cum urmează:
Există, de asemenea, funcții a trei sau mai multe variabile. Adevărat, este imposibil să desenezi un grafic al unei astfel de funcție: acest lucru ar necesita cel puțin spațiu cu patru dimensiuni, care nu poate fi reprezentat.
Derivată parțială de ordinul întâi
Amintiți-vă regula principală:
La calcularea derivatei parțiale față de una dintre variabile, a doua variabilă este luată ca constantă. În caz contrar, regulile de calcul al derivatului nu se modifică.
Adică, derivata parțială nu este în esență diferită de cea obișnuită. Așadar, ține tabelul derivatelor în fața ochilor tăi functii elementareși reguli pentru calcularea derivatelor obișnuite. Să ne uităm la un exemplu pentru a fi destul de clar. Să presupunem că doriți să calculați derivatele parțiale de ordinul întâi ale următoarei funcții:
În primul rând, luăm derivata parțială față de x, considerând y ca un număr obișnuit:
Acum considerăm derivata parțială față de y, luând x ca constantă:
După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în asta și succes cu mai mult exemple complexe este doar o chestiune de practică.
Derivată parțială de ordinul doi
Care este derivata parțială de ordinul doi? La fel ca primul. Pentru a găsi derivate parțiale de ordinul doi, trebuie doar să luați derivata derivatei de ordinul întâi. Să revenim la exemplul de mai sus și să calculăm derivatele parțiale de ordinul doi.
După joc:
Derivatele parțiale de ordinul trei și de ordinul superior nu diferă în principiul calculului. Să organizăm regulile:
- La diferențierea față de o variabilă independentă, a doua este considerată constantă.
- Derivata de ordinul doi este derivata de ordinul întâi. Al treilea ordin este derivata celui de-al doilea ordin etc.
Derivate parțiale și diferența totală a unei funcții
O întrebare frecventă în sarcinile practice este găsirea diferenţialului total al unei funcţii. Pentru o funcție de mai multe variabile, diferența totală este definită ca partea liniară principală a micului increment total al funcției în raport cu incrementele argumentelor.
Definiția sună greoaie, dar cu litere totul este mai ușor. Diferenţialul total de ordinul întâi al unei funcţii a mai multor variabile arată astfel:
Știind cum se calculează derivatele parțiale, nu există nicio problemă de a calcula diferența totală.
Derivatele parțiale nu sunt un subiect atât de inutil. De exemplu, ecuatii diferentialeîn derivate parțiale de ordinul doi sunt utilizate pe scară largă pentru descrierea matematică a proceselor fizice reale.
Aici am oferit doar o idee generală, superficială, a derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Sunteți interesat de acest subiect sau aveți întrebări specifice? Întrebați-i în comentarii și contactați experții serviciului pentru studenți profesioniști pentru ajutor calificat și rapid în studiile dumneavoastră. Cu noi nu vei ramane singur cu problema!
Exemplu. Găsiți derivate parțiale ale funcției y x yxz
Decizie. Fixând y = const , găsim xy x z
Punând x =const , găsim 2 2) 1 (1 y x x y xx y z
Exemplu. Găsiți valorile derivatelor parțiale ale funcției în punctul M (1, - 1, 0). xyzyxu)ln(
Decizie. Fixând y = const , z = const , găsim 10 11 22 1)02(1 22 22 , Ì czy yz yx x yzx yxx u
În mod similar, găsim 10 11 22 1)20(1 22 22 , M czx xz yx y xzy yxy u 110 , M cyx xyxy z u
Semnificația geometrică a derivatei parțiale (de exemplu) este tangenta pantei tangentei desenate în punctul M 0 (x 0, y 0, z 0) la secțiunea suprafeței de către planul y \u003d y 0. xz
Să presupunem că funcția z = f (x , y) are derivate parțiale continue), (yxf x z x), (yxf y z y
Aceste derivate, la rândul lor, sunt funcții ale variabilelor independente x și y. Vom numi și derivate parțiale de ordinul I.), (yxf x), (yxf y
Derivatele parțiale de ordinul 2 se numesc derivate parțiale ale derivatelor parțiale de ordinul 1. Pentru o funcție z \u003d f (x, y) a două variabile, pot fi găsite patru derivate parțiale de ordinul al 2-lea, care sunt notate cu următorul mod:
În cazul general, derivatele parțiale mixte pot să nu coincidă, dar următoarea teoremă este adevărată pentru ele: Teorema. Dacă derivatele parțiale mixte și sunt continue la un punct M (x, y), atunci ele sunt egale, adică xyfyxf), (yxfyxf yxxy
Derivatele parțiale de ordinul n sunt derivate parțiale ale derivatelor parțiale de ordinul (n-1). Se notează etc. 221 , yx z x z n n n
Exemplu. Găsiți derivate parțiale de ordinul 2 al funcției)1 sin(23 xyyxz
Decizie. găsi succesiv); 1 cos(3 22 xyyyx x z cy); 1 cos(2 3 xyxyx y z cx
); 1 sin(6)1 cos(3 22 22 2 2 xyyxy xyyyx xx z cy cy); 1 sin()1 cos(6)1 cos(3 2 22 2 xyyx xyyyx z cx cx
)1 sin()1 cos(6 1 cos(2 2 3 2 xyyx xyxyx xxy z cy cy)1 sin(2)1 cos(2 23 3 2 2 xyxx xyxyx yy z cx cx
Se consideră funcția z = f(x, y). Să dăm argumentului x un increment Δ x , iar argumentului y un increment Δ y. Atunci z va primi un increment care se numește increment total al funcției z.), (yxfyyxxfz
Să presupunem că f(x, y) în punctul M(x, y) are derivate parțiale continue.
Definiție. Diferenţiala de ordinul 1 a funcţiei z \u003d f (x, y) este partea principală a incrementului total Δ z a acestei funcţii, liniară în raport cu Δ x şi Δ y , notat cu simbolul dz sau df şi este calculată prin formula y y z x x z zd
Deoarece diferențele variabilelor independente coincid cu incrementele lor, adică dx = Δ x , dy = Δ y , această formulă poate fi scrisă ca: dy y z dx x z zd
Sensul geometric al diferenţialului total al unei funcţii a două variabile f (x, y) în punctul (x 0, y 0) este incrementul aplicatei (coordonata z) a planului tangent la suprafaţă în timpul tranziţiei. de la punctul (x 0, y 0) la punctul (x 0 + x, y 0 + y).
Sensul geometric al diferenţialului total al unei funcţii a două variabile este analogul spaţial sens geometric diferenţialul unei funcţii a unei variabile.
Diferenţiala de ordinul 2 a unei funcţii z \u003d f (x, y) este diferenţa diferenţială de ordinul 1 şi se notează) (zzddd)
Dacă toate derivatele parțiale de ordinul 2 ale funcției z \u003d f (x, y) sunt continue, atunci are loc formula: 2 2 2 y y z yx yx z x x z zddddd
Exemplu. Găsiți diferențiale de ordinul 1 și 2 ale funcției y x yz 2 x
Decizie. Găsiți derivate parțiale de ordinul 1 și 2: y yx x z 1 2 2 2 y x x y z
; 202 1 2 2 2 yy y xy xx z cy ; 1 2 2 2 y xy yyx z cx 33 22 22 2)2(0 y x yx y x x y y z cy
Prin urmare, diferențialele de ordinul 1 și 2 se vor scrie astfel: dy y x xdx y xyz)() 1 2(d 2 2 2 32 222) 1 2(22 y y x yx y xxyzddddd
Fie funcția f(x, y) diferențiabilă în punctul (x, y). Sa gasim increment complet această funcție :), (yxfyyxxfz zyxfyyxxf), (
Dacă substituim o expresie în această formulă, obținem o formulă aproximativă: y yf x xf dzz y y yxf x x yxf yyxxf), (
Exemplu. Calculați o valoare aproximativă pe baza valorii funcției la x = 1, y = 2, z = 102, 1 ln 04, 1 99, 1 zxu y ln
Decizie. Din expresia dată, determinăm x \u003d 1, 04 - 1 \u003d 0,04, y \u003d 1,99 - 2 \u003d -0,01, z \u003d 1,02 - 1 \u003d 0,02. Găsiți valoarea funcției u (x, funcția u y, z) = 11 ln
Găsiți derivate parțiale: 1 12 12 ln 2 1 zx xy x u y y 0 ln 2 ln zx xx y u y y
Diferenţialul total al funcţiei u este: 2 1 ln 2 1 zx z z u y
05, 001, 004, 0 02, 0 21 01, 0004, 01 02, 001, 004, 0 zu yu xudu
Valoarea exactă a acestei expresii este: 1, 049275225687319176. 05, 105, 01)1, 2, 1(02, 1 ln 04, 1 99, 1 duu
Planul tangent la suprafața în punctul său M 0 este planul care conține toate tangentele la curbele trasate pe suprafață prin acest punct.
Normala la suprafata in punctul M 0 este dreapta care trece prin acest punct si perpendiculara pe planul tangent trasat in punctul dat.
Dacă suprafața este dată de ecuația F (x, y, z) \u003d 0, atunci ecuația planului tangent în punctul M 0 (x 0, y 0, z 0) are forma: 0)) ( (00 0000 zz. MF aa. MFxx. MF z yx
Ecuațiile normalei trasate la suprafață în punctul M 0 (x 0 , y 0 , z 0) se vor scrie astfel:)()()(0 0 0 MF zz MF yy MF xx zyx
Dacă suprafața este dată de ecuația z \u003d f (x, y), atunci ecuația planului tangent în punctul M 0 (x 0, y 0, z 0) are forma :)) (, (000) 0000 yyyxf xxxyxfzz y x
iar ecuațiile normale se vor scrie astfel: 1), (0 00 0 zz yxf yy yxf xx yx
Exemplu. Compuneți ecuațiile planului tangent și normala la suprafață în punctul M 0 (x 0, y 0, z 0) dacă 01332 22 yzxzxyyx. 1, 200yx
Decizie. Substituind x 0 și y 0 în ecuația suprafeței, găsim valoarea lui z 0: de unde găsim z 0 = 1. Prin urmare, M 0 (2, - 1, 1) este punctul de contact. 01)1(32)1(23)1(2400 2zz
După starea problemei, suprafața este dată implicit. Notați și găsiți derivatele parțiale în punctul M 0 (2, – 1, 1) : 1332), (22 yzxzxyyxzyx.
, 32 zyx. F x 21)1(322)(0 MF x , 334 zxy. F y 51323)1(4)(0 MF y , 3 yx. F z 1)1(32)(0 MF z
Înlocuim valorile găsite ale derivatelor parțiale în ecuația planului tangent 0))((00 0000 zz. MF yy. MFxx. MF z yx
Ecuațiile normale au forma 1 1 5 1 2 2 zyx
Definiție. Funcția z = f (x , y) are un maxim în punctul M 0 (x 0 , y 0) dacă există o astfel de vecinătate a acestui punct încât pentru orice puncte M (x , y) din această vecinătate inegalitatea să fie valabilă. ), (00 yxfyxf
Conceptul de funcție a mai multor variabile
Fie n-variabile și fiecărui x 1, x 2 ... x n dintr-o anumită mulțime x i se atribuie o definiție. numărul Z, apoi pe mulțimea x este dată funcția Z \u003d f (x 1, x 2 ... x n) a multor variabile.
X - zona de funcții definite
x 1, x 2 ... x n - variabilă independentă (argumente)
Z - funcție Exemplu: Z \u003d P x 2 1 * x 2 (Volumul cilindrului)
Luați în considerare Z \u003d f (x; y) - f-țiunea a 2 variabile x (x 1, x 2 înlocuite cu x, y). Rezultatele sunt transferate prin analogie la alte funcții ale multor variabile. Aria de definire a funcției a 2 variabile este întregul cordon al pătratului (ooh) sau o parte a acestuia. Mn-în valoarea celei de-a doua funcții a 2 variabile - suprafața într-un spațiu tridimensional.
Tehnici de construire a graficelor: - Secțiune Rassm-t peste suprafața pătratului || pătrate de coordonate.
Exemplu: x \u003d x 0, zn. pătratul X || 0yz y \u003d y 0 0xz Tip de funcție: Z \u003d f (x 0, y); Z=f(x, y 0)
De exemplu: Z=x 2 +y 2 -2y
Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1
Cercul parabolă(centrul(0;1)
Limitele și continuitatea funcțiilor a două variabile
Fie dat Z = f (x; y), atunci A este limita f-ției în m. (x 0, y 0), dacă pentru orice put arbitrar mic. număr E>0 substantiv-t număr pozitiv b>0, că pentru toate x,y satisface |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z \u003d f (x; y) este continuă în t. (x 0, y 0), dacă: - este definit în acest t .; - are un finit limită la x, tinde spre x 0 și y spre y 0; - această limită = valoare funcții în t. (x 0, y 0), adică. limf (x; y) \u003d f (x 0, y 0) Dacă funcţia este continuă în fiecare. t. mn-va X, atunci este continuu in aceasta zona Funcția diferențială, geosemnificația ei. Utilizarea lui dif-la în valori aproximative. dy=f’(x)∆x – funcție diferențială dy=dx, adică dy=f '(x)dx dacă y=x Din punctul de vedere al unui geolog, o funcție diferențială este o creștere a ordonatei tangentei trasate la graficul funcției într-un punct cu abscisa x 0 Dif-l este utilizat în calculul a cca. valorile funcției conform formulei: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x Cu cât ∆x este mai aproape de x, cu atât rezultatul este mai precis. Derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea Derivată de ordinul întâi (care se numește privat) O. Fie x, y incrementele variabilelor independente x și y la un anumit punct din regiunea X. Atunci valoarea egală cu z = f(x + x, y + y) = f(x, y) se numește increment total în punctul x 0, y 0. Dacă variabila x este fixă, iar variabila y este incrementată cu y, atunci obținem zу = f(x, y, + y) – f(x, y) Derivata parțială a variabilei y este definită în mod similar, i.e. Derivata parțială a unei funcții de 2 variabile se găsește după aceleași reguli ca și pentru funcțiile unei variabile. Diferența este că la diferențierea unei funcții față de variabila x, y este considerat const, iar la diferențierea față de y, x este considerat const. Constantele izolate sunt conectate la funcție cu operații de adunare/scădere. Constantele asociate sunt conectate la funcția cu operații de înmulțire/împărțire. Derivată a const izolat = 0 1.4.Diferenţialul total al unei funcţii de 2 variabile şi aplicaţiile acesteia
Fie z = f(x,y), atunci tz = Derivată parțială de ordinul 2 Pentru funcții continue a 2 variabile, derivatele parțiale mixte de ordinul 2 și coincid. Utilizarea derivatelor parțiale pentru a determina derivatele parțiale ale funcțiilor max și min se numește extreme. A. Punctele se numesc max sau min z = f(x,y) dacă există unele segmente astfel încât pentru toate x și y din această vecinătate f(x,y) T. Dacă este dat un punct extremum al unei funcții de 2 variabile, atunci valoarea derivatelor parțiale în acest punct este egală cu 0, i.e. , Punctele în care derivatele parțiale de ordinul întâi sunt numite staționare sau critice. Prin urmare, pentru a găsi punctele extreme ale unei funcții de 2 variabile, sunt utilizate condiții extreme suficiente. Fie funcția z = f(x,y) să fie de două ori diferențiabilă și fie punctul staționar, 1) și maxA<0, minA>0. 1.4.(*)diferenţial complet. Sensul geometric al diferenţialului. Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative
O. Fie definită funcția y = f(x) într-o vecinătate în punctele . O funcție f(x) se numește diferențiabilă într-un punct dacă crește în acest punct Unde A este o valoare constantă independentă de , la un punct fix x, - infinit mic la . O funcție relativ liniară A se numește diferența funcției f(x) într-un punct și se notează cu df() sau dy. Astfel, expresia (1) poate fi scrisă ca Funcția diferențială în expresia (1) are forma dy = A . Ca orice funcție liniară, este definită pentru orice valoare Pentru comoditatea notării diferenţialului, incrementul este notat cu dx şi se numeşte diferenţialul variabilei independente x. Prin urmare, diferența se scrie ca dy = Adx. Dacă funcția f(x) este diferențiabilă în fiecare punct al unui interval, atunci diferența sa este o funcție a două variabile - punctul x și variabila dx: T. Pentru ca funcția y = g(x) să fie diferențiabilă la un moment dat, este necesar și suficient ca ea să aibă o derivată în acest punct, în timp ce (*) Dovada. Nevoie. Fie funcția f(x) diferențiabilă în punctul , adică Prin urmare, derivata f'() există și este egală cu A. Prin urmare, dy = f'()dx Adecvarea. Să existe o derivată f'(), adică. = f'(). Atunci curba y = f(x) este un segment tangent. Pentru a calcula valoarea unei funcții într-un punct x, luați un punct din vecinătatea acestuia, astfel încât să nu fie dificil să găsiți f() și f’()/
- se numește increment complet
, unde este reprezentat sub forma (1)
().
în timp ce creșterea funcției trebuie luată în considerare numai pentru cele pentru care + aparține domeniului funcției f(x).. Apoi