Definirea geometrică a modulului unui număr. Care este modulul unui număr în matematică

Modulul numărului introduce un nou concept în matematică. Să analizăm în detaliu care este modulul unui număr și cum să lucrăm cu el?

Luați în considerare un exemplu:

Am plecat din casă pentru magazin. Au trecut 300 m, matematic această expresie poate fi scrisă ca +300, semnificația numărului 300 din semnul „+” nu se va schimba. Distanța sau modulul unui număr la matematică este aceeași și se poate scrie și astfel: |300|=300. Semnul modulului unui număr este indicat prin două linii verticale.

Și apoi în direcție inversă mers 200m. Din punct de vedere matematic, putem scrie calea de întoarcere ca -200. Dar nu spunem „am mers pe minus două sute de metri” așa, deși ne-am întors, pentru că distanța ca cantitate rămâne pozitivă. Pentru aceasta, conceptul de modul a fost introdus în matematică. Puteți scrie distanța sau modulul de -200 după cum urmează: |-200|=200.

Proprietățile modulului.

Definiție:
Modulul unui număr sau valoarea absolută a unui număr este distanța de la punctul de plecare la destinație.

Modulul unui întreg nu este egal cu zero, întotdeauna număr pozitiv.

Modulul este scris astfel:

1. Modulul unui număr pozitiv este egal cu numărul însuși.
| a|=A

2. Modulul unui număr negativ este egal cu numărul opus.
|- a|=A

3. Modulul zero, egal cu zero.
|0|=0

4. Modulele de numere opuse sunt egale.
| a|=|-a|=A

Întrebări înrudite:
Care este modulul unui număr?
Răspuns: Modulul este distanța de la punctul de plecare la destinație.

Dacă puneți semnul „+” în fața unui număr întreg, ce se întâmplă?
Răspuns: numărul nu își va schimba sensul, de exemplu, 4=+4.

Dacă puneți semnul „-” în fața unui număr întreg, ce se întâmplă?
Răspuns: numărul se va schimba, de exemplu, în 4 și -4.

Ce numere au același modul?
Răspuns: numerele pozitive și zero vor avea același modul. De exemplu, 15=|15|.

Ce numere au modulul - numărul opus?
Răspuns: pentru numerele negative, modulul va fi egal cu numărul opus. De exemplu, |-6|=6.

Exemplul #1:
Aflați modulul numerelor: a) 0 b) 5 c) -7?

Soluţie:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Exemplul #2:
Sunt două diverse numere ai cui module sunt egali?

Soluţie:
|10|=10
|-10|=10

Modulele numerelor opuse sunt egale.

Exemplul #3:
Ce două numere opuse au modulo 9?

Soluţie:
|9|=9
|-9|=9

Răspuns: 9 și -9.

Exemplul #4:
Faceți următoarele: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Soluţie:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Exemplul #5:
Aflati: a) modulul numarului 2 b) modulul numarului 6 c) modulul numarului 8 d) modulul numarului 1 e) modulul numarului 0.
Soluţie:

a) modulul numărului 2 se notează cu |2| sau |+2| Asta e lafel.
|2|=2

b) modulul numărului 6 se notează cu |6| sau |+6| Asta e lafel.
|6|=6

c) modulul numărului 8 se notează cu |8| sau |+8| Asta e lafel.
|8|=8

d) modulul numărului 1 se notează cu |1| sau |+1| Asta e lafel.
|1|=1

e) modulul numărului 0 se notează cu |0|, |+0| sau |-0| Asta e lafel.
|0|=0

Obiectivele lecției

Să prezinte elevilor un astfel de concept matematic precum modulul unui număr;
Să-i învețe pe școlari abilitățile de a găsi module de numere;
Consolidarea materialului studiat prin realizarea diverselor sarcini;

Sarcini

Consolidarea cunoștințelor copiilor despre modulul numărului;
Cu Soluție itemii de testare să verifice modul în care elevii au învățat materialul studiat;
Continuați să treziți interesul pentru lecțiile de matematică;
Educați de la școlari gandire logica, curiozitate și perseverență.

Planul lecției

1. Concepte generaleși determinarea modulului numărului.
2. sens geometric modul.
3. Modulul numărului proprietăților sale.
4. Rezolvarea ecuaţiilor şi inegalităţilor care conţin modulul unui număr.
5. Referință istorică despre termenul „modul unui număr”.
6. Sarcina de consolidare a cunoștințelor despre subiectul abordat.
7. Tema pentru acasă.

Concepte generale despre modulul unui număr

Modulul unui număr se numește de obicei numărul însuși, dacă nu are valoare negativă, sau același număr este negativ, dar cu semnul opus.

Adică, modulul unui număr real nenegativ a este numărul însuși:

Și, modulul unui număr real negativ x va fi numărul opus:

În scris, va arăta astfel:

Pentru o mai bună înțelegere, să luăm un exemplu. Deci, de exemplu, modulul numărului 3 este 3 și, de asemenea, modulul numărului -3 este 3.

De aici rezultă că modulul unui număr înseamnă o valoare absolută, adică valoarea lui absolută, dar fără a lua în considerare semnul său. Pentru a spune și mai simplu, este necesar să aruncați semnul din număr.

Modulul unui număr poate fi desemnat și arată astfel: |3|, |x|, |a| etc.

Deci, de exemplu, modulul numărului 3 este notat cu |3|.

De asemenea, rețineți că modulul unui număr nu este niciodată negativ: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 etc.

Sensul geometric al modulului

Modulul unui număr este distanța, care se măsoară în segmente unitare de la origine la punct. Această definiție dezvăluie modulul din punct de vedere geometric.

Să luăm o linie de coordonate și să notăm două puncte pe ea. Fie că aceste puncte corespund numerelor precum -4 și 2.

Acum să aruncăm o privire la această imagine. Vedem că punctul A indicat pe linia de coordonate corespunde numărului -4, iar dacă te uiți cu atenție, vei vedea că acest punct este situat la o distanță de 4 segmente unitare de punctul de referință 0. Rezultă că lungimea segmentului OA este egală cu patru unități. În acest caz, lungimea segmentului OA, adică numărul 4 va fi modulul numărului -4.

În acest caz, modulul numărului se notează și se scrie astfel: |−4| = 4.

Acum luați, iar pe linia de coordonate, notați punctul B.

Acest punct B va corespunde numărului +2 și, după cum putem vedea, este situat la o distanță de două segmente unitare de la origine. De aici rezultă că lungimea segmentului OB este egală cu două unități. În acest caz, numărul 2 va fi modulul numărului +2.

În scris, va arăta astfel: |+2| = 2 sau |2| = 2.

Și acum să rezumam. Dacă luăm un număr necunoscut a și îl notăm pe linia de coordonate prin punctul A, atunci în acest caz distanța de la punctul A la origine, adică lungimea segmentului OA, este tocmai modulul numărului „a”. ".

În scris va arăta astfel: |a| = O.A.

Modulul numărului proprietăților sale

Și acum să încercăm să evidențiem proprietățile modulului, să luăm în considerare toate cazurile posibile și să le scriem folosind expresii literale:

În primul rând, modulul unui număr este un număr nenegativ, ceea ce înseamnă că modulul unui număr pozitiv este egal cu numărul însuși: |a| = a dacă a > 0;

În al doilea rând, modulele care constau din numere opuse sunt egale: |a| = |–a|. Adică această proprietate ne spune că numerele opuse au întotdeauna module egale, adică pe linia de coordonate, deși au numere opuse, se află la aceeași distanță de punctul de referință. De aici rezultă că modulele acestor numere opuse sunt egale.

În al treilea rând, modulul lui zero este egal cu zero dacă acest număr este zero: |0| = 0 dacă a = 0. Aici putem spune cu certitudine că modulul lui zero este zero prin definiție, deoarece corespunde originii dreptei de coordonate.

A patra proprietate a modulului este că modulul produsului a două numere este egal cu produsul modulelor acestor numere. Acum să aruncăm o privire mai atentă la ce înseamnă asta. Dacă urmați definiția, atunci tu și cu mine știm că modulul produsului numerelor a și b va fi egal cu ab, sau − (ab), dacă, a în ≥ 0 sau - (a în), dacă, a in este mai mare decât 0. În înregistrări va arăta astfel: |a b| = |a| |b|.

A cincea proprietate este că modulul coeficientului de numere este egal cu raportul modulelor acestor numere: |a: b| = |a| : |b|.

Și următoarele proprietăți ale modulului numărului:

Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților care conțin modulul unui număr

Când începeți să rezolvați probleme care au un modul numeric, trebuie amintit că, pentru a rezolva o astfel de sarcină, este necesar să dezvăluiți semnul modulului folosind cunoașterea proprietăților cărora le corespunde această sarcină.

Exercitiul 1

Deci, de exemplu, dacă sub semnul modulului există o expresie care depinde de o variabilă, atunci modulul ar trebui extins în conformitate cu definiția:

Desigur, la rezolvarea problemelor, există cazuri când modulul este dezvăluit fără ambiguitate. Dacă, de exemplu, luăm

, aici vedem că o astfel de expresie sub semnul modulului este nenegativă pentru orice valoare a lui x și y.

Sau, de exemplu, luați

, vedem că această expresie a modulului nu este pozitivă pentru nicio valoare a lui z.

Sarcina 2

În fața ta este o linie de coordonate. Pe această linie, este necesar să se marcheze numerele, al căror modul va fi egal cu 2.

Soluţie

În primul rând, trebuie să trasăm o linie de coordonate. Știți deja că pentru aceasta, mai întâi pe o linie dreaptă, trebuie să selectați originea, direcția și un singur segment. Apoi, trebuie să punem puncte de la origine care sunt egale cu distanța a două segmente de unitate.

După cum puteți vedea, există două astfel de puncte pe linia de coordonate, dintre care unul corespunde numărului -2, iar celălalt numărului 2.

Informații istorice despre modulul numărului

Termenul „modulus” provine de la numele latin modulus, care înseamnă cuvântul „măsură” în traducere. Termenul a fost inventat de matematicianul englez Roger Cotes. Dar semnul modulului a fost introdus datorită matematicianului german Karl Weierstrass. La scriere, un modul este notat cu următorul simbol: | |.

Întrebări pentru consolidarea cunoștințelor despre material

În lecția de astăzi, ne-am familiarizat cu un astfel de concept precum modulul unui număr, iar acum haideți să verificăm cum ați învățat acest subiect răspunzând la întrebările puse:

1. Care este numele numărului care este opusul unui număr pozitiv?
2. Care este numele numărului care este opusul unui număr negativ?
3. Numiți numărul care este opusul zero. Există un astfel de număr?
4. Numiți numărul care nu poate fi modulul numărului.
5. Definiți modulul unui număr.

Teme pentru acasă

1. Înainte de a fi numere pe care trebuie să le aranjați în ordinea descrescătoare a modulelor. Dacă finalizați corect sarcina, veți recunoaște numele persoanei care a introdus prima dată termenul „modul” în matematică.

2. Desenați o linie de coordonate și găsiți distanța de la M (-5) și K (8) până la origine.

Subiecte > Matematică > Matematică Clasa a VI-a

Mai întâi, definim semnul expresiei sub semnul modulului, apoi extindem modulul:

dacă valoarea expresiei este mai mare decât zero, atunci pur și simplu o scoatem de sub semnul modulului,
dacă expresia este mai mică decât zero, atunci o scoatem de sub semnul modulului, schimbând semnul, așa cum am făcut mai devreme în exemple.

Ei bine, să încercăm? Să estimăm:

(Am uitat, repetați.)

Dacă da, care este semnul? Ei bine, desigur,!

Și, prin urmare, dezvăluim semnul modulului prin schimbarea semnului expresiei:

Am înțeles? Atunci încearcă singur:

Raspunsuri:

Ce alte proprietăți are modulul?

Dacă trebuie să înmulțim numerele din interiorul semnului modulo, putem înmulți în siguranță modulul acestor numere!!!

În termeni matematici, modulul produsului numerelor este egal cu produsul modulelor acestor numere.

De exemplu:

Dar dacă trebuie să împărțim două numere (expresii) sub semnul modulo?

Da, la fel ca cu inmultirea! Să-l împărțim în două numere (expresii) separate sub semnul modulului:

cu condiția ca (din moment ce nu poți împărți la zero).

Merită să ne amintim încă o proprietate a modulului:

Modulul sumei numerelor este întotdeauna mai mic sau egal cu suma modulelor acestor numere:

De ce este asta? Totul este foarte simplu!

După cum ne amintim, modulul este întotdeauna pozitiv. Dar sub semnul modulului poate fi orice număr: atât pozitiv, cât și negativ. Să presupunem că numerele și sunt ambele pozitive. Atunci expresia din stânga va fi egală cu expresia din dreapta.

Să ne uităm la un exemplu:

Dacă sub semnul modulului un număr este negativ și celălalt este pozitiv, expresia din stânga va fi întotdeauna mai mică decât cea din dreapta:

Se pare că totul este clar cu această proprietate, să mai luăm în considerare câteva proprietăți utile modul.

Dacă avem această expresie:

Ce putem face cu această expresie? Nu știm valoarea lui x, dar știm deja ce, ceea ce înseamnă.

Numărul este mai mare decât zero, ceea ce înseamnă că puteți scrie pur și simplu:

Așa că am ajuns la o altă proprietate, care în general poate fi reprezentată astfel:

Care este sensul acestei expresii:

Deci, trebuie să definim semnul sub modul. Este necesar să definim un semn aici?

Bineînțeles că nu, dacă vă amintiți că orice număr la pătrat este întotdeauna mai mare decât zero! Dacă nu vă amintiți, vedeți subiectul. Și ce se întâmplă? Și iată ce:

E grozav, nu? Destul de convenabil. Acum, pentru un exemplu specific:

Ei bine, de ce să te îndoiești? Să acționăm cu îndrăzneală!

ai inteles totul? Apoi mergeți mai departe și exersați cu exemple!

1. Găsiți valoarea expresiei if.

2. Ce numere au modulul egal?

3. Găsiți semnificația expresiilor:

Dacă nu totul este încă clar și există dificultăți în luarea deciziilor, atunci să ne dăm seama:

Soluția 1:

Deci, să înlocuim valorile din expresie

Soluția 2:

După cum ne amintim, numerele opuse sunt modulo egale. Aceasta înseamnă că valoarea modulului este egală cu două numere: și.

Soluția 3:

dar)
b)
în)
G)

Ai prins totul? Atunci este timpul să trecem la ceva mai complex!

Să încercăm să simplificăm expresia

Soluţie:

Deci, ne amintim că valoarea modulului nu poate fi mai mică de zero. Dacă numărul de sub semnul modulului este pozitiv, atunci putem elimina pur și simplu semnul: modulul numărului va fi egal cu acest număr.

Dar dacă sub semnul modulului este un număr negativ, atunci valoarea modulului este egală cu numărul opus (adică numărul luat cu semnul „-”).

Pentru a găsi modulul oricărei expresii, mai întâi trebuie să aflați dacă aceasta ia o valoare pozitivă sau una negativă.

Se pare că valoarea primei expresii de sub modul.

Prin urmare, expresia sub semnul modulului este negativă. A doua expresie sub semnul modulului este întotdeauna pozitivă, deoarece adunăm două numere pozitive.

Deci, valoarea primei expresii sub semnul modulului este negativă, a doua este pozitivă:

Aceasta înseamnă că, la extinderea semnului modulului primei expresii, trebuie să luăm această expresie cu semnul „-”. Asa:

În al doilea caz, aruncăm pur și simplu semnul modulo:

Să simplificăm această expresie în întregime:

Modulul unui număr și proprietățile acestuia (definiții și dovezi stricte)

Definiție:

Modulul (valoarea absolută) unui număr este numărul însuși dacă și numărul dacă:

De exemplu:

Exemplu:

Simplificați expresia.

Soluţie:

Proprietățile de bază ale modulului

Pentru toți:

Exemplu:

Demonstrați proprietatea #5.

Dovada:

Să presupunem că există

Să punem la pătrat părțile din stânga și din dreapta ale inegalității (acest lucru se poate face, deoarece ambele părți ale inegalității sunt întotdeauna nenegative):

iar acest lucru contrazice definiția unui modul.

În consecință, nu există așa ceva, ceea ce înseamnă că pentru toată inegalitatea

Exemple pentru o soluție independentă:

1) Demonstrați proprietatea #6.

2) Simplificați expresia.

Raspunsuri:

1) Să folosim proprietatea nr. 3: , iar de atunci

Pentru a simplifica, trebuie să extindeți modulele. Și pentru a extinde modulele, trebuie să aflați dacă expresiile de sub modul sunt pozitive sau negative?

A. Să comparăm numerele și și:

b. Acum să comparăm:

Adunăm valorile modulelor:

Valoarea absolută a unui număr. Pe scurt despre principalul lucru.

Modulul (valoarea absolută) unui număr este numărul însuși dacă și numărul dacă:

Proprietățile modulului:

Modulul unui număr este un număr nenegativ: ;
Modulele de numere opuse sunt egale: ;
Modulul produsului a două (sau mai multe) numere este egal cu produsul modulelor lor: ;
Modulul coeficientului a două numere este egal cu câtul modulelor lor: ;
Modulul sumei numerelor este întotdeauna mai mic sau egal cu suma modulelor acestor numere: ;
Un factor pozitiv constant poate fi scos din semnul modulului: at;

Un modul este unul dintre acele lucruri despre care toată lumea pare să fi auzit, dar în realitate nimeni nu le înțelege cu adevărat. Prin urmare, astăzi va exista o mare lecție dedicată rezolvării ecuațiilor cu module.

Vă spun imediat: lecția va fi simplă. În general, modulele sunt în general un subiect relativ simplu. „Da, desigur, este ușor! Îmi face creierul să explodeze!” – vor spune mulți studenți, dar toate aceste rupturi de creier se datorează faptului că majoritatea oamenilor nu au cunoștințe în cap, ci un fel de porcărie. Și scopul acestei lecții este de a transforma prostiile în cunoștințe. :)

Un pic de teorie

Deci să mergem. Să începem cu cel mai important: ce este un modul? Permiteți-mi să vă reamintesc că modulul unui număr este pur și simplu același număr, dar luat fără semnul minus. Adică, de exemplu, $\left| -5 \right|=5$. Sau $\left| -129,5\right|=129,5$.

Este atât de simplu? Da, simplu. Care este atunci modulul unui număr pozitiv? Aici este și mai simplu: modulul unui număr pozitiv este egal cu acest număr însuși: $\left| 5\right|=5$; $\stânga| 129,5 \right|=129,5$ etc.

\[\stanga| -a \right|=\stanga| a\dreapta|\]

Încă una fapt important: modulul nu este niciodată negativ. Orice număr luăm - chiar și pozitiv, chiar negativ - modulul său se dovedește întotdeauna a fi pozitiv (sau, în cazuri extreme, zero). De aceea, modulul este adesea numit valoarea absolută a unui număr.

În plus, dacă combinăm definiția modulului pentru un număr pozitiv și negativ, obținem o definiție globală a modulului pentru toate numerele. Și anume: modulul unui număr este egal cu acest număr însuși, dacă numărul este pozitiv (sau zero), sau egal cu numărul opus, dacă numărul este negativ. Puteți scrie asta ca o formulă:

Există și un modul de zero, dar este întotdeauna egal cu zero. De asemenea, zero este singurul număr care nu are un opus.

Astfel, dacă luăm în considerare funcția $y=\left| x \right|$ și încercați să-i desenați graficul, veți obține un astfel de „daw”:

Exemplu de soluție pentru graficul modulului și ecuația

Din această imagine puteți vedea imediat acel $\left| -m \right|=\stânga| m \right|$, iar graficul modulului nu scade niciodată sub axa x. Dar asta nu este tot: linia roșie marchează linia dreaptă $y=a$, care, cu $a$ pozitiv, ne dă două rădăcini deodată: $((x)_(1))$ și $((x) _(2)) $, dar despre asta vom vorbi mai târziu. :)

Pe lângă o definiție pur algebrică, există una geometrică. Să presupunem că există două puncte pe dreapta numerică: $((x)_(1))$ și $((x)_(2))$. În acest caz, expresia $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ este doar distanța dintre punctele specificate. Sau, dacă doriți, lungimea segmentului care leagă aceste puncte:

Modulul este distanța dintre punctele de pe dreapta numerică

De asemenea, din această definiție rezultă că modulul este întotdeauna nenegativ. Dar destule definiții și teorie - să trecem la ecuații reale. :)

Formula de bază

Bine, ne-am dat seama de definiție. Dar nu a devenit mai ușor. Cum se rezolvă ecuațiile care conțin acest modul?

Calm, doar calm. Să începem cu cele mai simple lucruri. Luați în considerare ceva de genul acesta:

\[\stanga| x\dreapta|=3\]

Deci modulo$x$ este 3. Cu ce poate fi egal $x$? Ei bine, judecând după definiție, $x=3$ ne va potrivi foarte bine. Într-adevăr:

\[\stanga| 3\dreapta|=3\]

Mai sunt si alte numere? Cap pare să sugereze că există. De exemplu, $x=-3$ — $\left| -3 \right|=3$, adică egalitatea cerută este îndeplinită.

Deci poate dacă căutăm, gândim, vom găsi mai multe numere? Și iată o pauză: mai multe numere Nu. Ecuația $\left| x \right|=3$ are doar două rădăcini: $x=3$ și $x=-3$.

Acum să complicăm puțin sarcina. Să fie, în locul variabilei $x$, funcția $f\left(x \right)$ să atârne sub semnul modulului, iar în dreapta în loc de triplu punem număr arbitrar$a$. Obtinem ecuatia:

\[\stanga| f\stânga(x\dreapta) \dreapta|=a\]

Ei bine, cum te decizi? Permiteți-mi să vă reamintesc: $f\left(x \right)$ este o funcție arbitrară, $a$ este orice număr. Acestea. oricare! De exemplu:

\[\stanga| 2x+1 \dreapta|=5\]

\[\stanga| 10x-5 \dreapta|=-65\]

Să ne uităm la a doua ecuație. Poți spune imediat despre el: nu are rădăcini. De ce? Așa este: pentru că necesită ca modulul să fie egal cu un număr negativ, ceea ce nu se întâmplă niciodată, deoarece știm deja că modulul este întotdeauna un număr pozitiv sau, în cazuri extreme, zero.

Dar cu prima ecuație, totul este mai distractiv. Există două opțiuni: fie există o expresie pozitivă sub semnul modulului și apoi $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, sau această expresie este încă negativă, caz în care $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. În primul caz, ecuația noastră va fi rescrisă astfel:

\[\stanga| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

Și dintr-o dată se dovedește că expresia submodulului $2x+1$ este într-adevăr pozitivă - este egală cu numărul 5. Adică, putem rezolva în siguranță această ecuație - rădăcina rezultată va fi o parte din răspuns:

Cei care sunt deosebit de neîncrezători pot încerca să înlocuiască rădăcina găsită în ecuația originală și să se asigure că va exista într-adevăr un număr pozitiv sub modul.

Acum să ne uităm la cazul unei expresii submodulului negativ:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Săgeată la dreapta 2x+1=-5\]

Hopa! Din nou, totul este clar: am presupus că $2x+1 \lt 0$ și, ca rezultat, am obținut că $2x+1=-5$ - într-adevăr, această expresie este mai mică decât zero. Rezolvăm ecuația rezultată, în timp ce știm deja cu siguranță că rădăcina găsită ne va potrivi:

În total, am primit din nou două răspunsuri: $x=2$ și $x=3$. Da, cantitatea de calcule s-a dovedit a fi puțin mai mare decât în ecuația foarte simplă $\left| x \right|=3$, dar în principiu nimic nu s-a schimbat. Deci poate că există un fel de algoritm universal?

Da, un astfel de algoritm există. Și acum o vom analiza.

A scăpa de semnul modulului

Să ne dăm ecuația $\left| f\left(x \right) \right|=a$ și $a\ge 0$ (altfel, așa cum știm deja, nu există rădăcini). Apoi puteți scăpa de semnul modulo conform următoarei reguli:

\[\stanga| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Astfel, ecuația noastră cu modulul se împarte în două, dar fără modul. Asta e toată tehnologia! Să încercăm să rezolvăm câteva ecuații. Să începem cu asta

\[\stanga| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Vom lua în considerare separat când există un zece cu un plus în dreapta și separat când este cu un minus. Avem:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\end(align)\]

Asta e tot! Avem două rădăcini: $x=1.2$ și $x=-2.8$. Întreaga soluție a luat literalmente două rânduri.

Ok, fără îndoială, hai să ne uităm la ceva mai serios:

\[\stanga| 7-5x \right|=13\]

Din nou, deschideți modulul cu un plus și un minus:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end(align)\]

Din nou câteva rânduri - și răspunsul este gata! După cum am spus, nu este nimic complicat în module. Trebuie doar să vă amintiți câteva reguli. Prin urmare, mergem mai departe și continuăm cu sarcini cu adevărat mai dificile.

Carcasa variabila pe partea dreapta

Acum luați în considerare această ecuație:

\[\stanga| 3x-2 \right|=2x\]

Această ecuație este fundamental diferită de toate precedentele. Cum? Și faptul că expresia $2x$ se află în dreapta semnului egal - și nu putem ști dinainte dacă este pozitivă sau negativă.

Cum să fii în acest caz? În primul rând, trebuie să înțelegem asta odată pentru totdeauna dacă partea dreaptă a ecuației este negativă, atunci ecuația nu va avea rădăcini- știm deja că modulul nu poate fi egal cu un număr negativ.

Și în al doilea rând, dacă partea dreaptă este încă pozitivă (sau egală cu zero), atunci puteți proceda exact în același mod ca înainte: deschideți modulul separat cu semnul plus și separat cu semnul minus.

Astfel, formulăm o regulă pentru funcțiile arbitrare $f\left(x \right)$ și $g\left(x \right)$ :

\[\stanga| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

În ceea ce privește ecuația noastră, obținem:

\[\stanga| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Ei bine, ne putem ocupa cumva de cerința $2x\ge 0$. În cele din urmă, putem înlocui prostește rădăcinile pe care le obținem din prima ecuație și putem verifica dacă inegalitatea este valabilă sau nu.

Deci, să rezolvăm ecuația în sine:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end(align)\]

Ei bine, care dintre aceste două rădăcini satisface cerința $2x\ge 0$? Da, ambele! Prin urmare, răspunsul va fi două numere: $x=(4)/(3)\;$ și $x=0$. asta e solutia. :)

Bănuiesc că unul dintre elevi a început deja să se plictisească? Ei bine, luați în considerare o ecuație și mai complexă:

\[\stanga| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Deși pare rău, de fapt este aceeași ecuație de forma „modulul este egal cu funcția”:

\[\stanga| f\stanga(x \dreapta) \dreapta|=g\stanga(x \dreapta)\]

Și se rezolvă în același mod:

\[\stanga| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Ne vom ocupa de inegalitatea mai târziu - este cumva prea vicios (de fapt simplu, dar nu o vom rezolva). Deocamdată, să aruncăm o privire la ecuațiile rezultate. Luați în considerare primul caz - acesta este momentul în care modulul este extins cu un semn plus:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Ei bine, iată că trebuie să adunați totul din stânga, să aduceți altele similare și să vedeți ce se întâmplă. Și iată ce se întâmplă:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(align)\]

Punând factorul comun $((x)^(2))$ din paranteză, obținem o ecuație foarte simplă:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(aliniere) \dreapta.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Aici am folosit o proprietate importantă a produsului, de dragul căreia am factorizat polinomul original: produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Acum, în același mod, ne vom ocupa de a doua ecuație, care se obține prin extinderea modulului cu semnul minus:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end(align)\]

Din nou, același lucru: produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. Avem:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Ei bine, avem trei rădăcini: $x=0$, $x=1.5$ și $x=(2)/(3)\;$. Ei bine, ce va intra în răspunsul final din acest set? Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că avem o constrângere suplimentară de inegalitate:

Cum să ținem cont de această cerință? Să înlocuim doar rădăcinile găsite și să verificăm dacă inegalitatea este valabilă pentru acești $x$ sau nu. Avem:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-(((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(align)\]

Astfel, rădăcina $x=1,5$ nu ni se potrivește. Și doar două rădăcini vor merge ca răspuns:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

După cum puteți vedea, chiar și în acest caz nu a fost nimic dificil - ecuațiile cu module sunt întotdeauna rezolvate conform algoritmului. Trebuie doar să înțelegeți bine polinoamele și inegalitățile. Prin urmare, trecem la sarcini mai complexe - vor exista deja nu unul, ci două module.

Ecuații cu două module

Până acum, am studiat doar cele mai simple ecuații - a existat un singur modul și altceva. Am trimis acest „altceva” unei alte părți a inegalității, departe de modul, astfel încât în final totul să fie redus la o ecuație de genul $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ sau chiar mai simplu $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Dar Grădiniţă peste - este timpul să luăm în considerare ceva mai serios. Să începem cu ecuații ca aceasta:

\[\stanga| f\left(x \right) \right|=\left| g\stanga(x \dreapta) \dreapta|\]

Aceasta este o ecuație de forma „modulul este egal cu modulul”. Un punct fundamental este absența altor termeni și factori: un singur modul în stânga, încă un modul în dreapta - și nimic mai mult.

S-ar crede acum că astfel de ecuații sunt mai greu de rezolvat decât ceea ce am studiat până acum. Dar nu: aceste ecuații se rezolvă și mai ușor. Iată formula:

\[\stanga| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Tot! Pur și simplu echivalăm expresiile submodulelor prefixând una dintre ele cu un semn plus sau minus. Și apoi rezolvăm cele două ecuații rezultate - și rădăcinile sunt gata! Fără restricții suplimentare, fără inegalități etc. Totul este foarte simplu.

Să încercăm să rezolvăm această problemă:

\[\stanga| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \dreapta|\]

Primar Watson! Deschiderea modulelor:

\[\stanga| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Să luăm în considerare fiecare caz separat:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end(align)\]

Prima ecuație nu are rădăcini. Pentru că când este $3=-7$? Pentru ce valori de $x$? „Ce dracu este $x$? Esti drogat? Nu există $x$ deloc”, spuneți. Și vei avea dreptate. Am obținut o egalitate care nu depinde de variabila $x$ și, în același timp, egalitatea în sine este incorectă. De aceea nu există rădăcini.

Cu a doua ecuație, totul este puțin mai interesant, dar și foarte, foarte simplu:

După cum puteți vedea, totul a fost decis literalmente în câteva rânduri - nu ne așteptam la nimic altceva de la o ecuație liniară. :)

Ca rezultat, răspunsul final este: $x=1$.

Ei bine, cum? Dificil? Desigur că nu. Să încercăm altceva:

\[\stanga| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \dreapta|\]

Din nou avem o ecuație ca $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Prin urmare, îl rescriem imediat, dezvăluind semnul modulului:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Poate că cineva va întreba acum: „Hei, ce fel de prostii? De ce este plus-minus pe partea dreaptă și nu pe partea stângă? Calmează-te, o să explic totul. Într-adevăr, într-un mod bun, ar fi trebuit să ne rescriem ecuația după cum urmează:

Apoi trebuie să deschideți parantezele, să mutați toți termenii într-o singură direcție din semnul egal (deoarece ecuația, evident, va fi pătrată în ambele cazuri) și apoi să găsiți rădăcinile. Dar trebuie să recunoașteți: când „plus sau minus” este în fața a trei termeni (mai ales când unul dintre acești termeni este expresie pătrată), acest lucru pare cumva mai complicat decât situația în care „plus sau minus” este doar în fața a doi termeni.

Dar nimic nu ne împiedică să rescriem ecuația originală după cum urmează:

Ce s-a întâmplat? Da, nimic special: am schimbat doar partea stângă și cea dreaptă. Un fleac, care până la urmă ne va simplifica puțin viața. :)

În general, rezolvăm această ecuație, luând în considerare opțiunile cu plus și minus:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(align)\]

Prima ecuație are rădăcini $x=3$ și $x=1$. Al doilea este, în general, un pătrat exact:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Prin urmare, are o singură rădăcină: $x=1$. Dar am primit deja această rădăcină mai devreme. Astfel, doar două numere vor intra în răspunsul final:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Misiune indeplinita! Poți să-l iei de pe raft și să mănânci o plăcintă. Sunt 2, media ta. :)

Notă importantă. Prezența acelorași rădăcini pentru diferite versiuni ale extinderii modulului înseamnă că polinoamele originale sunt descompuse în factori, iar printre acești factori va fi neapărat unul comun. Într-adevăr:

\[\begin(align)&\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\&\stânga| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(align)\]

Una dintre proprietățile modulului: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (adică modulul produsului este egal cu produsul modulelor), deci ecuația originală poate fi rescrisă ca

\[\stanga| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \dreapta|\]

După cum puteți vedea, avem într-adevăr un factor comun. Acum, dacă colectați toate modulele pe o singură parte, atunci puteți scoate acest multiplicator din paranteză:

\[\begin(align)&\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \dreapta|; \\&\stânga| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\&\stânga| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(align)\]

Ei bine, acum ne amintim că produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(aliniere) \dreapta.\]

Astfel, ecuația originală cu două module a fost redusă la cele mai simple două ecuații despre care am vorbit chiar la începutul lecției. Astfel de ecuații pot fi rezolvate în doar câteva rânduri. :)

Această remarcă poate părea inutil de complicată și inaplicabilă în practică. Cu toate acestea, în realitate, puteți întâlni sarcini mult mai complexe decât cele pe care le analizăm astăzi. În ele, modulele pot fi combinate cu polinoame, rădăcini aritmetice, logaritmi etc. Și în astfel de situații, capacitatea de a scădea gradul general al ecuației prin scoaterea a ceva din paranteză poate fi foarte, foarte utilă. :)

Acum aș vrea să analizez o altă ecuație, care la prima vedere poate părea o nebunie. Mulți studenți se „lipesc” de el - chiar și cei care cred că au o bună înțelegere a modulelor.

Cu toate acestea, această ecuație este chiar mai ușor de rezolvat decât ceea ce am considerat mai devreme. Și dacă înțelegeți de ce, veți obține un alt truc pentru rezolvarea rapidă a ecuațiilor cu module.

Deci ecuația este:

\[\stanga| x-((x)^(3)) \dreapta|+\stânga| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar: este un plus între module. Și trebuie să aflăm pentru care $x$ suma a două module este egală cu zero. :)

Care este problema? Și problema este că fiecare modul este un număr pozitiv sau, în cazuri extreme, zero. Ce se întâmplă când adunăm două numere pozitive? Evident, din nou un număr pozitiv:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Ultima linie vă poate da o idee: singurul caz în care suma modulelor este zero este dacă fiecare modul este egal cu zero:

Când este modulul egal cu zero? Doar într-un caz - când expresia submodulului este egală cu zero:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Astfel, avem trei puncte la care primul modul este setat la zero: 0, 1 și −1; precum și două puncte în care al doilea modul este pus la zero: −2 și 1. Totuși, avem nevoie ca ambele module să fie puse la zero în același timp, așa că dintre numerele găsite, trebuie să le alegem pe cele care sunt incluse în ambele mulțimi. Evident, există un singur astfel de număr: $x=1$ - acesta va fi răspunsul final.

metoda de divizare

Ei bine, am acoperit deja o grămadă de sarcini și am învățat o mulțime de trucuri. Crezi că asta este? Dar nu! Acum vom lua în considerare tehnica finală - și, în același timp, cea mai importantă. Vom vorbi despre împărțirea ecuațiilor cu un modul. Ce se va discuta? Să ne întoarcem puțin și să luăm în considerare o ecuație simplă. De exemplu, aceasta:

\[\stanga| 3x-5\right|=5-3x\]

În principiu, știm deja cum să rezolvăm o astfel de ecuație, deoarece este un $\left| standard f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Dar să încercăm să privim această ecuație dintr-un unghi ușor diferit. Mai precis, luați în considerare expresia de sub semnul modulului. Permiteți-mi să vă reamintesc că modulul oricărui număr poate fi egal cu numărul în sine sau poate fi opus acestui număr:

\[\stanga| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

De fapt, această ambiguitate este întreaga problemă: deoarece numărul de sub modul se modifică (depinde de variabilă), nu ne este clar dacă este pozitiv sau negativ.

Dar ce se întâmplă dacă inițial solicităm ca acest număr să fie pozitiv? De exemplu, să cerem că $3x-5 \gt 0$ - în acest caz, suntem garantați să obținem un număr pozitiv sub semnul modulului și putem scăpa complet de acest modul:

Astfel, ecuația noastră se va transforma într-una liniară, care se rezolvă ușor:

Adevărat, toate aceste considerații au sens numai în condiția $3x-5 \gt 0$ - noi înșine am introdus această cerință pentru a dezvălui fără ambiguitate modulul. Deci, să înlocuim $x=\frac(5)(3)$ găsit în această condiție și să verificăm:

Se pare că pentru valoarea specificată de $x$, cerința noastră nu este îndeplinită, deoarece expresia sa dovedit a fi egală cu zero și trebuie să fie strict mai mare decât zero. Trist. :(

Dar este în regulă! La urma urmei, există o altă opțiune $3x-5 \lt 0$. Mai mult: există și cazul $3x-5=0$ - trebuie luat în considerare și acest lucru, altfel soluția va fi incompletă. Deci, luați în considerare cazul $3x-5 \lt 0$:

Este evident că modulul se va deschide cu semnul minus. Dar atunci apare o situație ciudată: aceeași expresie va ieși atât în stânga, cât și în dreapta în ecuația originală:

Mă întreb pentru ce astfel de $x$ va fi expresia $5-3x$ egală cu expresia $5-3x$? Din astfel de ecuații, chiar și Căpitanul s-ar îneca evident cu salivă, dar știm că această ecuație este o identitate, adică. este valabil pentru orice valoare a variabilei!

Și asta înseamnă că orice $x$ ne va potrivi. Cu toate acestea, avem o limitare:

Cu alte cuvinte, răspunsul nu va fi un singur număr, ci un întreg interval:

În cele din urmă, mai rămâne un caz de luat în considerare: $3x-5=0$. Totul este simplu aici: va fi zero sub modul, iar modulul lui zero este, de asemenea, egal cu zero (acest lucru decurge direct din definiție):

Dar apoi ecuația originală $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ va fi rescris astfel:

Am obținut deja această rădăcină mai sus când am luat în considerare cazul $3x-5 \gt 0$. Mai mult, această rădăcină este o soluție a ecuației $3x-5=0$ - aceasta este restricția pe care noi înșine am introdus-o pentru a anula modulul. :)

Astfel, pe lângă interval, vom fi mulțumiți și de numărul care se află la sfârșitul acestui interval:

Combinarea rădăcinilor în ecuații cu modul

Răspuns final total: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Nu este foarte obișnuit să vezi o astfel de prostie în răspunsul la o ecuație destul de simplă (în esență liniară) cu modul Ei bine, obișnuiește-te cu asta: complexitatea modulului constă în faptul că răspunsurile în astfel de ecuații pot fi complet imprevizibile.

Mult mai important este altceva: tocmai am demontat un algoritm universal pentru rezolvarea unei ecuații cu un modul! Și acest algoritm constă din următorii pași:

Echivalați fiecare modul din ecuație cu zero. Să obținem câteva ecuații;
Rezolvați toate aceste ecuații și marcați rădăcinile pe dreapta numerică. Drept urmare, linia dreaptă va fi împărțită în mai multe intervale, pe fiecare dintre acestea toate modulele sunt extinse în mod unic;
Rezolvați ecuația inițială pentru fiecare interval și combinați răspunsurile.

Asta e tot! Rămâne o singură întrebare: ce să faci cu rădăcinile în sine, obținute la primul pas? Să presupunem că avem două rădăcini: $x=1$ și $x=5$. Ei vor sparge linia numerică în 3 bucăți:

Împărțirea unei linii numerice în intervale folosind puncte

Deci care sunt intervalele? Este clar că sunt trei dintre ele:

Cel mai din stânga: $x \lt 1$ - unitatea în sine nu este inclusă în interval;
Central: $1\le x \lt 5$ - aici unul este inclus în interval, dar cinci nu este inclus;
Cea din dreapta: $x\ge 5$ — cele cinci sunt incluse doar aici!

Cred că ai înțeles deja modelul. Fiecare interval include capătul din stânga și nu include capătul din dreapta.

La prima vedere, o astfel de înregistrare poate părea incomodă, ilogică și, în general, un fel de nebunească. Dar credeți-mă: după puțină practică, veți descoperi că această abordare este cea mai fiabilă și, în același timp, nu interferează cu dezvăluirea fără ambiguitate a modulelor. Este mai bine să folosiți o astfel de schemă decât să vă gândiți de fiecare dată: dați capătul din stânga/dreapta intervalului curent sau „aruncați-l” celui următor.

Aici se termină lecția. Descărcați sarcini pentru auto-rezolvare, exersați, comparați cu răspunsurile - și ne vedem în lecția următoare, care va fi dedicată inegalităților cu module. :)

În acest articol, vom analiza în detaliu valoarea absolută a unui număr. Vom da diverse definiții ale modulului unui număr, vom introduce notația și vom oferi ilustrații grafice. Făcând acest lucru, luați în considerare diverse exemple găsirea modulului unui număr prin definiție. După aceea, enumerăm și justificăm principalele proprietăți ale modulului. La sfârșitul articolului, vom vorbi despre modul în care este definit și localizat modulul. număr complex.

Navigare în pagină.

Modulul numărului - definiție, notație și exemple

Mai întâi vă prezentăm desemnarea modulului. Modulul numărului a se va scrie ca , adică în stânga și în dreapta numărului vom pune linii verticale care formează semnul modulului. Să dăm câteva exemple. De exemplu, modulo -7 poate fi scris ca ; modulul 4.125 este scris ca , iar modulul este scris ca .

Următoarea definiție a unui modul se aplică la , și, prin urmare, la , și la numere întregi și la cele raționale și la numere irationale, în ceea ce privește părțile constitutive ale ansamblului numere reale. Vom vorbi despre modulul unui număr complex în.

Definiție.

Modulul de a este fie numărul a însuși, dacă a este un număr pozitiv, fie numărul −a, opusul numărului a, dacă a este un număr negativ, fie 0, dacă a=0 .

Definiția vocală a modulului unui număr este adesea scrisă în forma următoare , această notație înseamnă că dacă a>0 , dacă a=0 și dacă a<0 .

Înregistrarea poate fi reprezentată într-o formă mai compactă . Această notație înseamnă că dacă (a este mai mare sau egal cu 0) și dacă a<0 .

Există și un record . Aici, cazul când a=0 ar trebui explicat separat. În acest caz, avem , dar −0=0 , deoarece zero este considerat un număr care este opus lui însuși.

Să aducem exemple de găsire a modulului unui număr cu o definitie data. De exemplu, să găsim module ale numerelor 15 și . Să începem cu găsirea. Deoarece numărul 15 este pozitiv, modulul său este, prin definiție, egal cu acest număr însuși, adică . Care este modulul unui număr? Deoarece este un număr negativ, atunci modulul său este egal cu numărul opus numărului, adică numărul . În acest fel, .

În încheierea acestui paragraf, dăm o concluzie, care este foarte convenabilă de aplicat în practică atunci când găsim modulul unui număr. Din definirea modulului unui număr rezultă că modulul unui număr este egal cu numărul de sub semnul modulului, indiferent de semnul acestuia, iar din exemplele discutate mai sus, acest lucru este foarte clar vizibil. Declarația vocală explică de ce se numește și modulul unui număr valoarea absolută a numărului. Deci modulul unui număr și valoarea absolută a unui număr sunt unul și același.

Modulul unui număr ca distanță

Geometric, modulul unui număr poate fi interpretat ca distanţă. Să aducem determinarea modulului unui număr în termeni de distanță.

Definiție.

Modulul de a este distanța de la origine pe linia de coordonate până la punctul corespunzător numărului a.

Această definiție este în concordanță cu definiția modulului unui număr dată în primul paragraf. Să explicăm acest punct. Distanța de la origine până la punctul corespunzător unui număr pozitiv este egală cu acest număr. Zero corespunde originii, deci distanța de la origine până la punctul cu coordonata 0 este zero (nici un singur segment și nici un segment care alcătuiește vreo fracțiune din segmentul unității nu trebuie amânat pentru a ajunge de la punctul O la punctul cu coordonata 0). Distanța de la origine la un punct cu coordonată negativă este egală cu numărul opus coordonatei punctului dat, deoarece este egală cu distanța de la origine până la punctul a cărui coordonată este numărul opus.

De exemplu, modulul numărului 9 este 9, deoarece distanța de la origine până la punctul cu coordonata 9 este nouă. Să luăm un alt exemplu. Punctul cu coordonata −3,25 se află la o distanță de 3,25 de punctul O, deci .

Definiția sonoră a modulului unui număr este un caz special de definire a modulului diferenței a două numere.

Definiție.

Modulul de diferență a două numere a și b este egală cu distanța dintre punctele dreptei de coordonate cu coordonatele a și b .

Adică, dacă sunt date puncte de pe linia de coordonate A(a) și B(b), atunci distanța de la punctul A la punctul B este egală cu modulul diferenței dintre numerele a și b. Dacă luăm punctul O (punctul de referință) drept punct B, atunci vom obține definiția modulului numărului dat la începutul acestui paragraf.

Determinarea modulului unui număr prin rădăcina pătrată aritmetică

Uneori găsit determinarea modulului prin rădăcina pătrată aritmetică.

De exemplu, să calculăm modulele numerelor -30 și pe baza acestei definiții. Avem . În mod similar, calculăm modulul de două treimi: .

Definiția modulului unui număr în termeni de rădăcină pătrată aritmetică este, de asemenea, în concordanță cu definiția dată în primul paragraf al acestui articol. Să o arătăm. Fie a un număr pozitiv, iar −a negativ. Apoi Și , dacă a=0 , atunci .

Proprietățile modulului

Modulul are o serie de rezultate caracteristice - proprietățile modulului. Acum vom prezenta principalele și cele mai frecvent utilizate dintre ele. La fundamentarea acestor proprietăți, ne vom baza pe definiția modulului unui număr în termeni de distanță.

Să începem cu cea mai evidentă proprietate a modulului − modulul unui număr nu poate fi un număr negativ. În formă literală, această proprietate are forma pentru orice număr a . Această proprietate este foarte ușor de justificat: modulul unui număr este distanța, iar distanța nu poate fi exprimată ca număr negativ.

Să trecem la următoarea proprietate a modulului. Modulul unui număr este egal cu zero dacă și numai dacă acest număr este zero. Modulul lui zero este zero prin definiție. Zero corespunde originii, niciun alt punct de pe linia de coordonate nu corespunde cu zero, deoarece fiecare număr real este asociat cu un singur punct de pe linia de coordonate. Din același motiv, orice număr altul decât zero corespunde unui alt punct decât originea. Iar distanța de la origine la orice alt punct decât punctul O nu este egală cu zero, deoarece distanța dintre două puncte este egală cu zero dacă și numai dacă aceste puncte coincid. Raționamentul de mai sus demonstrează că numai modulul lui zero este egal cu zero.

Mergi mai departe. Numerele opuse au module egale, adică pentru orice număr a . Într-adevăr, două puncte de pe linia de coordonate, ale căror coordonate sunt numere opuse, sunt la aceeași distanță de origine, ceea ce înseamnă că modulele numerelor opuse sunt egale.

Următoarea proprietate a modulului este: modulul produsului a două numere este egal cu produsul modulelor acestor numere, adică . Prin definiție, modulul produsului numerelor a și b este fie a b dacă , fie −(a b) dacă . Din regulile înmulțirii numerelor reale rezultă că produsul modulelor numerelor a și b este egal fie cu a b , , fie cu −(a b) , dacă , ceea ce demonstrează proprietatea considerată.

Modulul coeficientului de împărțire a lui a la b este egal cu câtul de împărțire a modulului lui a la modulul lui b, adică . Să justificăm această proprietate a modulului. Deoarece coeficientul este egal cu produsul, atunci . În virtutea proprietății anterioare, avem . Rămâne doar să folosiți egalitatea , care este valabilă datorită definiției modulului numărului.

Următoarea proprietate a modulului este scrisă ca o inegalitate: , a , b și c sunt numere reale arbitrare. Inegalitatea scrisă nu este altceva decât inegalitatea triunghiulară. Pentru a clarifica acest lucru, să luăm punctele A(a), B(b) , C(c) de pe dreapta de coordonate și să considerăm triunghiul degenerat ABC, ale cărui vârfuri se află pe aceeași dreaptă. Prin definiție, modulul diferenței este egal cu lungimea segmentului AB, - lungimea segmentului AC și - lungimea segmentului CB. Deoarece lungimea oricărei laturi a unui triunghi nu depășește suma lungimilor celorlalte două laturi, inegalitatea , prin urmare, este valabilă și inegalitatea.

Inegalitatea tocmai dovedită este mult mai comună în formă . Inegalitatea scrisă este de obicei considerată o proprietate separată a modulului cu formularea: „ Modulul sumei a două numere nu depășește suma modulelor acestor numere". Dar inegalitatea rezultă direct din inegalitatea , dacă punem −b în loc de b în ea și luăm c=0 .

Modulul numărului complex

Să dăm determinarea modulului unui număr complex. Să ni se dea număr complex, scris sub formă algebrică , unde x și y sunt niște numere reale, reprezentând, respectiv, părțile reale și imaginare ale unui număr complex dat z, și este o unitate imaginară.