Suma pătratelor cosinusurilor direcției este egală cu unu.

Dacă cosinusurile de direcție ale vectorului sunt cunoscute, atunci coordonatele acestuia pot fi găsite prin formulele: Formule similare au loc și în cazul tridimensional - dacă sunt cunoscute cosinusurile de direcție ale vectorului, atunci coordonatele acestuia pot fi găsite prin formule:

9 Dependență liniarăși independență liniară vectori. Bazat pe plan și în spațiu

Mulțimea vectorilor se numește sistem vectorial.

dependent liniar, dacă există numere , nu toate egale cu zero în același timp, astfel încât

Sistemul de vectori se numește liniar independent, dacă egalitatea este posibilă numai pentru , i.e. când combinație liniarăîn partea stângă a egalității este banal.

1. Un vector formează și un sistem: at - dependent liniar și at - independent liniar.

2. Se numește orice parte a sistemului de vectori subsistem.

1. Dacă sistemul de vectori include un vector zero, atunci acesta este dependent liniar

2. Dacă un sistem de vectori are doi vectori egali, atunci este dependent liniar.

3. Dacă un sistem de vectori are doi vectori proporționali, atunci este dependent liniar.

4. Un sistem de vectori este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectori este o combinație liniară a celorlalți.

5. Orice vectori incluși într-un sistem liniar independent formează un subsistem liniar independent.

6. Un sistem de vectori care conține un subsistem dependent liniar este dependent liniar.

7. Dacă un sistem de vectori este independent liniar și, după adăugarea unui vector la el, se dovedește a fi dependent liniar, atunci vectorul poate fi extins în vectori și, în plus, singura cale, adică coeficienții de expansiune se găsesc în mod unic.

Bază pe plan și spațiu se numește sistemul maxim liniar independent de vectori pe plan sau în spațiu (adăugarea unui alt vector la sistem îl face dependent liniar).

Astfel, o bază în plan este oricare doi vectori necoliniari luați într-o anumită ordine, iar o bază în spațiu este oricare trei vectori necoplanari luați într-o anumită ordine.

Fie o bază în spațiu, atunci, conform lui T. 3, orice vector spațial este descompus într-un mod unic din punct de vedere al vectorilor de bază: . Coeficienții de expansiune se numesc coordonatele vectorului din bază

Scrierea operațiilor liniare pe vectori în termeni de coordonate:

a) adunare si scadere: - baza

b) înmulțirea cu numărul R:

Formulele decurg din proprietatea operațiilor liniare.

10 Coordonatele vectoriale relativ la bază. Horts

Bazăîn spaţiul vectorilor liberi V 3 se numește orice triplu ordonat al vectorilor necoplanari.

Lăsa LA :a 1,a 2,a 3 este o bază fixă ​​în V 3.

Coordonatele vector b raportat la bază LA se numește triplu ordonat de numere ( x, y, z), incl. b=X· a 1 +ya 2 +za 3 .

Desemnare:b={x, y, z} B Notă: Coordonatele unui vector fix sunt coordonatele vectorului liber corespunzător.

Teorema 1: Corespondența dintre V 3 și R 3 pentru o bază fixă ​​este unu-la-unu, adică. b V 3 ! {x, y, z) R 3 și ( x, y, z) R 3 ! b V 3 , inclusiv b={x, y, z} B

Corespondența dintre un vector și coordonatele sale în această bază are urmatoarele proprietati:

1. Lăsa b 1 ={x1, y1, z1} B , b 2 ={x2, y2, z2} B b1 + b2 ={x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2} B

2. Lăsa b={x, y, z} B , λR λ· b={ λ· X, λ· y, λ· z} B

3. Lasă b 1 || b 2 , b 1 = {x1, y1, z1} B , b 2 ={x2, y2, z2} B
(Aici: orice număr).

Vector unitar, îndreptat de-a lungul axei X, este notat i, vector unitar, îndreptată de-a lungul axei Y, se notează j, A vector unitar, îndreptat de-a lungul axei Z, este notat k. Vectori i, j, k numit orts– au module unice, adică
i = 1, j = 1, k = 1

11 produs scalar vectori. Unghiul dintre vectori. Condiția de ortogonalitate a vectorilor

Acest număr este egal cu produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei.

Produsul scalar al vectorilor în funcție de coordonatele lor

Produsul punctual al vectorilor X, Y, Z și:

unde este unghiul dintre vectorii si ; dacă oricare, atunci

Din definiția produsului scalar rezultă că unde, de exemplu, este valoarea proiecției vectorului pe direcția vectorului.

Pătratul scalar al unui vector:

Proprietățile produsului punct:

Unghiul dintre vectori

Condiții de ortogonalitate a vectorilor.

Două vector a și b ortogonal (perpendicular), dacă produsul lor scalar este egal cu zero a b= 0

Deci în caz problema cu avionul vector

a= (a x ;a y )și b= (b x ;b y )

sunt ortogonale dacă a b= a x b x + a y b y = 0

12 produs vectorial al vectorilor, proprietățile sale. Starea vectorilor coliniari

Produsul încrucișat al unui vector cu un vector este un vector notat cu simbol și definit de următoarele trei condiții:

unu). Modulul vectorului este , unde este unghiul dintre vectori și ;

2). Vectorul este perpendicular pe fiecare dintre vectori și ;

3). Direcția vectorului corespunde „regula mâinii drepte”. Aceasta înseamnă că, dacă vectorii și sunt aduși la un început comun, atunci vectorul ar trebui să fie direcționat în același mod în care este direcționat degetul mijlociu al mâinii drepte, al cărui degetul mare este îndreptat de-a lungul primului factor (adică, de-a lungul vectorului), iar degetul arătător de-a lungul celui de-al doilea (adică de-a lungul vectorului). Produsul vectorial depinde de ordinea factorilor și anume: .

Modulul produsului încrucișat este egal cu aria S a paralelogramului construit pe vectori și : .

Produsul vectorial în sine poate fi exprimat prin formula,

unde este produsul vectorial vector.

Produsul vectorial dispare dacă și numai dacă vectorii și sunt coliniari. În special, .

Dacă sistemul de axe de coordonate este drept și vectorii și sunt dați în acest sistem prin coordonatele lor:

atunci produsul încrucișat al unui vector cu un vector este determinat de formula

Un vector este coliniar cu un vector diferit de zero dacă și numai dacă coordonatele

vectorii sunt proporționali cu coordonatele corespunzătoare ale vectorului , i.e.

Operațiile liniare pe vectori dați de coordonatele lor în spațiu sunt efectuate în mod similar.

13 produs mixt vectori. Proprietățile sale. Condiție de complementaritate pentru vectori

Produs mixt a trei vectori, , este un număr egal cu produsul scalar al unui vector de un vector :

Proprietăți mixte ale produsului:

3° Trei vectori sunt coplanari dacă și numai dacă

4° Un triplu de vectori este corect dacă și numai dacă . Dacă , atunci vectorii , și formează un triplet stâng de vectori.

10° identitate Jacobi:

Dacă vectorii , și sunt dați de coordonatele lor, atunci produsul lor mixt este calculat prin formula

Se numesc vectori care sunt paraleli cu același plan sau care se află pe același plan vectori coplanari.

Condiții de complementaritate pentru vectori

Trei vectorii sunt coplanari dacă produsul lor amestecat este zero.

Trei vectorii sunt coplanari dacă sunt dependente liniar.

15 diverse tipuri de ecuații ale unei drepte și ale unui plan

Orice dreaptă din plan poate fi dată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ah + Wu + C = 0,

iar constantele A, B nu sunt egale cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte. In functie de valori constanta A, Bși C, sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - linia trece prin origine

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Prin + C \u003d 0) - linia este paralelă cu axa Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - linia este paralelă cu axa Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - linia dreaptă coincide cu axa Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - linia dreaptă coincide cu axa Ox

Ecuația unei linii drepte poate fi prezentată în diferite forme în funcție de orice condiții inițiale date.

Def. 1.5.6. Cosinusuri de direcție vector A să numim cosinusurile acelor unghiuri pe care le formează acest vector cu vectorii de bază, respectiv, i , j , k .

Cosinusuri de direcție vectorială A = (X, la, z) se gasesc prin formulele:

Suma pătratelor cosinusurilor direcției este egală cu unu:

Cosinusuri de direcție vectorială A sunt coordonatele ortei sale: .

Fie vectorii de bază i , j , k trase dintr-un punct comun O. Vom presupune că ortele stabilesc direcțiile pozitive ale axelor Oh, OU, Oz. colectarea punctelor O (origine) și o bază ortonormală i , j , k numit Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu. Lăsa DAR este un punct arbitrar în spațiu. Vector A = OA= X i + y j + z k numit vector rază puncte DAR, coordonatele acestui vector ( X, y, z) sunt numite și coordonate punctuale DAR(simbol: DAR(X, y, z)). Axele de coordonate Oh, OU, Oz numita si, respectiv, axa abscisă, axa ordonată, axa aplica.

Dacă vectorul este dat de coordonatele punctului său de plecare LA 1 (X 1 , y 1 , z 1) și punctul final LA 2 (X 2 , y 2 , z 2), atunci coordonatele vectorului sunt egale cu diferența dintre coordonatele sfârșitului și începutului: (deoarece ).

Sisteme de coordonate carteziene dreptunghiulare pe plan și pe linie sunt definite exact în același mod cu modificările cantitative corespunzătoare (în funcție de dimensiune).

Rezolvarea sarcinilor tipice.

Exemplul 1 Aflați lungimea și cosinusurile direcției unui vector A = 6i – 2j -3k .

Soluţie. Lungimea vectorului: . Cosinus de directie: .

Exemplul 2 Găsiți coordonatele vectoriale A , formând unghiuri ascuțite egale cu axele de coordonate, dacă lungimea acestui vector este egală cu .

Soluţie. Deoarece , înlocuind apoi în formula (1.6), obținem . Vector A formează unghiuri ascuțite cu axele de coordonate, deci orto . Prin urmare, găsim coordonatele vectorului .

Exemplul 3 Sunt dați trei vectori necoplanari e 1 = 2i – k , e 2 = 3i + 3j , e 3 = 2i + 3k . Descompune Vector d = i + 5j - 2k bază e 1 , e 2 , e 3 .

acestea sunt cosinusurile unghiurilor pe care le face vectorul cu semiaxele pozitive ale coordonatelor. Cosinusurile direcției definesc în mod unic direcția vectorului. Dacă un vector are lungimea 1, atunci cosinusurile direcției sale sunt egale cu coordonatele sale. În general, pentru un vector cu coordonate ( A; b; c) cosinusurile direcției sunt egale:

unde a, b, g sunt unghiurile formate de vectorul cu axele X, y, z respectiv.

21) Descompunerea unui vector în termeni de vectori. Orth a axei de coordonate se notează cu , axele - cu , axele - cu (Fig. 1).

Pentru orice vector care se află în plan are loc următoarea descompunere:

Dacă vectorul este situat în spațiu, atunci expansiunea în termeni de vectori unitari a axelor de coordonate are forma:

22)Produs punctual doi vectori nenuli și numărul egal cu produsul lungimilor acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei se numește:

23) Unghiul dintre doi vectori

Dacă unghiul dintre doi vectori este acut, atunci produsul lor punctual este pozitiv; dacă unghiul dintre vectori este obtuz, atunci produsul scalar al acestor vectori este negativ. Produsul scalar a doi vectori nenuli este zero dacă și numai dacă acești vectori sunt ortogonali.

24) Condiția de paralelism și perpendicularitate a doi vectori.

Condiția de perpendicularitate a vectorilor
Vectorii sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor interior este zero. Sunt dați doi vectori a(xa;ya) și b(xb;yb). Acești vectori vor fi perpendiculari dacă expresia xaxb + yayb = 0.

25) Produs vectorial al doi vectori.

Un produs vectorial al doi vectori necoliniari este un vector c=a×b care îndeplinește următoarele condiții: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Vectorii a, b, c formează triplul drept al vectorilor.

26) Vectori coliniari și coplanari..

Vectorii sunt coliniari dacă abscisa primului vector este legată de abscisa celui de-al doilea în același mod în care ordonata primului este legată de ordonata celui de-al doilea. Sunt dați doi vectori A (xa;da) și b (xb;yb). Acești vectori sunt coliniari dacă x a = xbși y a = yb, Unde R.

Vectori −→ A,−→bși −→ c numit coplanare dacă există un plan cu care sunt paralele.

27) Produs mixt a trei vectori. Produs mixt al vectorilor- produsul scalar al vectorului a și produsul vectorial al vectorilor b și c. Aflați produsul mixt al vectorilor a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).

Soluţie:

1 1 1 + 1 1 2 + 1 2 3 - 1 1 3 - 1 1 2 - 1 1 2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) Distanța dintre două puncte dintr-un plan. Distanța dintre două puncte date este egală cu rădăcina pătrată a sumei diferențelor pătrate ale acelorași coordonate ale acestor puncte.

29) Împărțirea segmentului în acest respect. Dacă punctul M(x; y) se află pe o dreaptă care trece prin două puncte date ( , ) și ( , ), și este dată o relație în care punctul M împarte segmentul , atunci se determină coordonatele punctului M prin formule

Dacă punctul M este punctul de mijloc al segmentului, atunci coordonatele acestuia sunt determinate de formule

30-31. Panta unei drepte se numește tangenta pantei acestei drepte. Panta unei linii drepte este de obicei indicată prin literă k. Apoi, prin definiție

Ecuația dreptei cu panta are forma unde k- coeficientul unghiular al dreptei, b este un număr real. Ecuația unei drepte cu o pantă poate defini orice linie dreaptă, nu paralel cu axa Oi(pentru o linie dreaptă paralelă cu axa y, panta nu este definită).

33. Ecuația generală a unei drepte pe un plan. Tip ecuație există ecuația generală a unei drepte Oxy. În funcție de valorile constantelor A, B și C, sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - linia trece prin origine

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Prin + C \u003d 0) - linia este paralelă cu axa Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - linia este paralelă cu axa Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - linia dreaptă coincide cu axa Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - linia dreaptă coincide cu axa Ox

34.Ecuația unei drepte în segmente pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxy are forma unde Ași b- altele decât zero numere reale. Acest nume nu este întâmplător, deoarece valorile absolute ale numerelor Ași b egală cu lungimile segmentelor la care se taie linia dreaptă axele de coordonate Bouși Oi respectiv (segmentele se numără de la origine). Astfel, ecuația unei linii drepte în segmente facilitează construirea acestei linii drepte într-un desen. Pentru a face acest lucru, marcați punctele cu coordonate și într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și utilizați o riglă pentru a le conecta cu o linie dreaptă.

35. Ecuația normală a unei drepte are forma

unde este distanța de la linia dreaptă până la origine;  este unghiul dintre normala la dreapta și axă.

Ecuația normală se poate obține din ecuația generală (1) prin înmulțirea acesteia cu factorul de normalizare , semnul lui  este opus semnului lui , astfel încât .

Cosinusurile unghiurilor dintre linie și axele de coordonate se numesc cosinus de direcție,  este unghiul dintre linie și axă,  este între linie și axă:

Astfel, ecuația normală poate fi scrisă ca

Distanța de la punct spre drept este determinat de formula

36. Distanţa dintre un punct şi o dreaptă se calculează prin următoarea formulă:

unde x 0 și y 0 sunt coordonatele punctului, iar A, B și C sunt coeficienții din ecuația generală a dreptei

37. Aducerea ecuației generale a unei drepte la una normală. Ecuația și planul în acest context nu diferă între ele în altceva decât în ​​numărul de termeni din ecuații și dimensiunea spațiului. Prin urmare, la început voi spune totul despre avion, iar la final voi face o rezervare despre linia dreaptă.
Să fie dată ecuația generală a planului: Ax + By + Cz + D = 0.
;. obținem sistemul: g;Mc=cosb, MB=cosa Să-l aducem la forma normală. Pentru a face acest lucru, înmulțim ambele părți ale ecuației cu factorul de normalizare M. Obținem: Max + Mvu + MSz + MD = 0. În acest caz, МА=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa obținem sistemul:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Adăugând toate ecuațiile sistemului, obținem M * (A2 + B2 + C2) \u003d 1 Acum rămâne doar să exprimăm M de aici pentru a ști cu ce factor de normalizare particular trebuie înmulțită ecuația generală inițială pentru a o aduce. la forma normala:
M \u003d - + 1 / ROOT KV A2 + B2 + C2
MD trebuie să fie întotdeauna mai mic decât zero, prin urmare semnul numărului M este luat opus semnului numărului D.
Cu ecuația unei linii drepte, totul este la fel, doar termenul C2 ar trebui pur și simplu eliminat din formula pentru M.

Topor + De + cz + D = 0,

38. Ecuație generală avion în spațiu se numește ecuație de formă

Unde A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

LA spatiu tridimensionalîn Sistemul cartezian coordonate, orice plan este descris printr-o ecuație de gradul I (ecuație liniară). Și invers, oricare ecuație liniară definește un plan.

40.Ecuația unui plan în segmente.Într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyzîn spațiul tridimensional, o ecuație a formei , Unde A, bși c numerele reale altele decât zero se numesc ecuație plană în segmente. Valorile absolute ale numerelor A, bși c egală cu lungimile segmentelor pe care planul le decupează pe axele de coordonate Bou, Oiși Oz respectiv, numărând de la origine. Semnul numărului A, bși c arată în ce direcție (pozitivă sau negativă) sunt trasate segmentele pe axele de coordonate

41) Ecuația normală a planului.

Ecuația normală a unui plan este ecuația acestuia, scrisă sub forma

unde , , sunt cosinusurile de direcție ale normalei planului, e

p este distanța de la origine la plan. Atunci când se calculează cosinusurile direcției normalei, trebuie luat în considerare că aceasta este îndreptată de la origine către plan (dacă planul trece prin origine, atunci alegerea direcției pozitive a normalei este indiferentă).

42) Distanța de la un punct la un plan.Fie planul dat de ecuație și dat un punct. Apoi, distanța de la un punct la un plan este determinată de formula

Dovada. Distanța de la un punct la un plan este, prin definiție, lungimea perpendicularei coborâte de la un punct la un plan

Unghiul dintre planuri

Fie planele și să fie date de ecuațiile și, respectiv. Este necesar să se găsească unghiul dintre aceste planuri.

Planele, intersectându-se, formează patru unghiuri diedrice: două obtuze și două acute sau patru drepte, iar ambele unghiuri obtuze sunt egale între ele, iar ambele acute sunt, de asemenea, egale între ele. Vom căuta întotdeauna un unghi ascuțit. Pentru a-i determina valoarea, luăm un punct pe linia de intersecție a planurilor și în acest punct în fiecare dintre

plane trasăm perpendiculare pe dreapta de intersecție.

Cosinusuri de direcție vectorială.

Cosinusurile de direcție ale vectorului a sunt cosinusurile unghiurilor pe care le formează vectorul cu semiaxele pozitive ale coordonatelor.

Pentru a găsi cosinusurile de direcție ale vectorului a, este necesar să se împartă coordonatele corespunzătoare ale vectorului la modulul vectorului.

Proprietate: Suma pătratelor cosinusurilor direcției este egală cu unu.

Asa de în cazul unei probleme cu avionul cosinusurile de direcție ale vectorului a = (ax; ay) se găsesc prin formulele:

Un exemplu de calcul al cosinusului direcției unui vector:

Aflați cosinusurile de direcție ale vectorului a = (3; 4).

Rezolvare: |a| =

Deci in cazul unei probleme spațiale Cosinusurile de direcție ale vectorului a = (ax; ay; az) se găsesc prin formulele:

Un exemplu de calcul al cosinusului direcției unui vector

Aflați cosinusurile de direcție ale vectorului a = (2; 4; 4).

Rezolvare: |a| =

Direcția vectorului în spațiu este determinată de unghiurile pe care le formează vectorul cu axele de coordonate (Fig. 12). Cosinusurile acestor unghiuri se numesc cosinusuri de direcție ale vectorului: , , . Din proprietăţile proiecţiilor:, , . Prin urmare, Este ușor să arăți asta 2) coordonatele oricărui vector unitar coincid cu cosinusurile de direcție: .

„Cum să găsiți cosinusurile direcției unui vector”

Notați cu alfa, beta și gamma unghiurile formate de vectorul a cu direcția pozitivă a axelor de coordonate (vezi Fig. 1). Cosinusurile acestor unghiuri se numesc cosinus de direcție ale vectorului a.

Deoarece coordonatele a din sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian sunt egale cu proiecțiile vectorului pe axele de coordonate, atunci a1 = |a|cos(alfa), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (gamma). De aici: cos (alfa)=a1||a|, cos(beta)=a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. Mai mult, |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Deci cos(alpha)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Trebuie remarcată proprietatea principală a cosinusurilor de direcție. Suma pătratelor cosinusurilor de direcție ale vectorului este egală cu unu. Într-adevăr, cos^2(alfa)+cos^2(beta)+cos^2(gamma)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

Prima cale

Exemplu: dat: vector a=(1, 3, 5). Găsiți cosinusurile de direcție. Soluţie. În conformitate cu ceea ce am găsit, scriem: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5,91. Astfel, răspunsul poate fi scris sub următoarea formă: (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0,16; 0,5; 0,84).

A doua cale

Când găsiți cosinusurile de direcție ale vectorului a, puteți utiliza tehnica de determinare a cosinusurilor unghiurilor folosind produsul scalar. În acest caz, ne referim la unghiurile dintre a și vectorii unitar de direcție ai dreptunghiului coordonate carteziene i, j și k. Coordonatele lor sunt (1, 0, 0), (0, 1, 0), respectiv (0, 0, 1). Trebuie reamintit că produsul scalar al vectorilor este definit după cum urmează.

Dacă unghiul dintre vectori este φ, atunci produsul scalar a două vânturi (prin definiție) este un număr egal cu produsul modulelor vectorilor prin cosφ. (a, b) = |a||b|cos f. Atunci, dacă b=i, atunci (a, i) = |a||i|cos(alfa), sau a1 = |a|cos(alfa). În plus, toate acțiunile sunt efectuate în mod similar cu metoda 1, ținând cont de coordonatele j și k.

DEFINIȚIE

Vector se numește pereche ordonată de puncte și (adică se știe exact care dintre punctele din această pereche este primul).

Primul punct se numește începutul vectorului, iar al doilea este al lui Sfârşit.

Se numește distanța dintre începutul și sfârșitul unui vector lungime sau modul vectorial.

Se numește un vector al cărui început și sfârșit sunt același zeroși se notează cu ; lungimea sa se presupune a fi zero. În caz contrar, dacă lungimea vectorului este pozitivă, atunci se numește diferit de zero.

cometariu. Dacă lungimea unui vector este egală cu unu, atunci se numește ortom sau vector unitar si se noteaza.

EXEMPLU

Exercițiu	Verificați dacă vectorul este singur.
Soluţie	Să calculăm lungimea vectorului dat, este egală cu rădăcina pătrată a sumei coordonatelor pătrate: Deoarece lungimea vectorului este egală cu unu, atunci vectorul este un vector.
Răspuns	Vectorul este unic.

Un vector diferit de zero poate fi definit și ca un segment direcționat.

cometariu. Direcția vectorului nul nu este definită.

Cosinusuri de direcție vectorială

DEFINIȚIE

Cosinusuri de direcție unii vector se numesc cosinus ale unghiurilor pe care le formează vectorul cu direcțiile pozitive ale axelor de coordonate.

cometariu. Direcția unui vector este determinată în mod unic de cosinusurile sale de direcție.

Pentru a găsi cosinusurile direcției unui vector, este necesar să normalizați vectorul (adică să împărțiți vectorul la lungimea sa):

cometariu. Coordonatele vectorului unitar sunt egale cu cosinusurile direcției acestuia.

TEOREMA

(Proprietatea cosinusurilor de direcție). Suma pătratelor cosinusurilor direcției este egală cu unu: