Exprimarea formei numit combinație liniară de vectori A 1 , A 2 ,...,A n cu coeficienți λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Determinarea dependenței liniare a unui sistem de vectori

Sistem vectorial A 1 , A 2 ,...,A n numit dependent liniar, dacă există un set de numere diferit de zero λ 1, λ 2 ,...,λ n, sub care combinație liniară vectori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n egal cu vectorul zero, adică sistemul de ecuații: are o soluție diferită de zero.
Set de numere λ 1, λ 2 ,...,λ n este diferit de zero dacă cel puțin unul dintre numere λ 1, λ 2 ,...,λ n diferit de zero.

Determinarea independenței liniare a unui sistem de vectori

Sistem vectorial A 1 , A 2 ,...,A n numit liniar independent, dacă combinația liniară a acestor vectori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n este egal cu vectorul zero numai pentru un set zero de numere λ 1, λ 2 ,...,λ n , adică sistemul de ecuații: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ are o soluție unică zero.

Exemplul 29.1

Verificați dacă un sistem de vectori este dependent liniar

Soluţie:

1. Compunem un sistem de ecuații:

2. O rezolvăm folosind metoda Gauss. Transformările iordaniene ale sistemului sunt prezentate în Tabelul 29.1. La calcul, părțile corecte ale sistemului nu sunt notate, deoarece sunt egale cu zero și nu se modifică în cazul transformărilor Jordan.

3. Din ultimele trei rânduri ale tabelului scriem sistemul permis echivalent cu cel original sistem:

4. Obținem soluția generală a sistemului:

5. După ce ați stabilit la propria discreție valoarea variabilei libere x 3 =1, obținem o anumită soluție diferită de zero X=(-3,2,1).

Răspuns: Astfel, cu o mulțime de numere nenule (-3,2,1), combinația liniară de vectori este egală cu vectorul zero -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Prin urmare, sistem de vectori dependenti liniar.

Proprietățile sistemelor vectoriale

Proprietate (1)
Dacă sistemul de vectori este dependent liniar, atunci cel puțin unul dintre vectori este descompunebil în rest, și invers, dacă cel puțin unul dintre vectorii sistemului este descompus în rest, atunci sistemul de vectori este liniar dependent .

Proprietate (2)
Dacă orice subsistem de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este dependent liniar.

Proprietate (3)
Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este liniar independent.

Proprietate (4)
Orice sistem de vectori care conține un vector zero este dependent liniar.

Proprietate (5)
Un sistem de vectori m-dimensionali este întotdeauna dependent liniar dacă numărul de vectori n este mai mare decât dimensiunea lor (n>m)

Baza sistemului vectorial

Baza sistemului de vectori A 1 , A 2 ,..., A n este un astfel de subsistem B 1 , B 2 ,...,B r(fiecare dintre vectorii B 1 ,B 2 ,...,B r este unul dintre vectorii A 1 , A 2 ,..., A n) care îndeplinește următoarele condiții:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r sistem liniar independent de vectori;
2. orice vector A j a sistemului A 1 , A 2 ,..., A n se exprimă liniar în termeni de vectori B 1 ,B 2 ,...,B r

r este numărul de vectori incluși în bază.

Teorema 29.1 Pe baza unitară a unui sistem de vectori.

Dacă un sistem de vectori m-dimensionali conține m distincti vectori unitari E 1 E 2 ,..., E m , atunci ele formează baza sistemului.

Algoritm pentru găsirea bazei unui sistem de vectori

Pentru a afla baza sistemului de vectori A 1 ,A 2 ,...,A n este necesar:

• Alcătuiți sistemul corespunzător de vectori sistem omogen ecuații A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• aduce acest sistem

Sistemul de vectori se numește dependent liniar, dacă există astfel de numere , printre care cel puțin unul este diferit de zero, că egalitatea https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Dacă această egalitate este valabilă numai dacă toți , atunci sistemul de vectori este numit liniar independent.

Teorema. Sistemul de vectori va dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a celorlalți.

Exemplul 1 Polinom este o combinație liniară de polinoame https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. sistem dependent, deoarece polinomul https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Exemplul 2 Sistemul matricial , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> este liniar independent, deoarece combinația liniară este egală cu matrice zero numai atunci când https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> dependent liniar.

Soluţie.

Compuneți o combinație liniară a acestor vectori https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" înălțime =" 22">.

Echivalând coordonatele cu același nume ale vectorilor egali, obținem https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

În sfârșit, obținem

Și

Sistemul are o soluție trivială unică, astfel încât combinația liniară a acestor vectori este zero numai dacă toți coeficienții sunt zero. De aceea acest sistem vectori este liniar independent.

Exemplul 4 Vectorii sunt liniar independenți. Care vor fi sistemele de vectori

A).;

b).?

Soluţie.

A). Compuneți o combinație liniară și egalați-o cu zero

Folosind proprietățile operațiilor cu vectori într-un spațiu liniar, rescriem ultima egalitate în formă

Deoarece vectorii sunt independenți liniar, coeficienții pentru trebuie să fie egali cu zero, adică gif" width="12" height="23 src=">

Sistemul de ecuații rezultat are o soluție trivială unică .

De la egalitate (*) executat doar la https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – liniar independent;

b). Compuneți egalitatea https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Aplicând un raționament similar, obținem

Rezolvând sistemul de ecuații prin metoda Gauss, obținem

sau

Ultimul sistem are un număr infinit de soluții https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Astfel, există o non- set zero de coeficienți pentru care egalitatea (**) . Prin urmare, sistemul de vectori este dependent liniar.

Exemplul 5 Sistemul vectorial este liniar independent, iar sistemul vectorial este dependent liniar..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

În egalitate (***) . Într-adevăr, pentru , sistemul ar fi dependent liniar.

Din relatie (***) primim sau Denota .

obține

Sarcini pentru rezolvare independentă (în sala de clasă)

1. Un sistem care conține un vector zero este dependent liniar.

2. Sistem vectorial unic dar, este dependent liniar dacă și numai dacă, a=0.

3. Un sistem format din doi vectori este dependent liniar dacă și numai dacă vectorii sunt proporționali (adică unul dintre ei se obține din celălalt prin înmulțirea cu un număr).

4. Dacă un vector este adăugat la un sistem liniar dependent, atunci se obține un sistem liniar dependent.

5. Dacă un vector este îndepărtat dintr-un sistem liniar independent, atunci sistemul de vectori rezultat este liniar independent.

6. Dacă sistemul S liniar independent, dar devine liniar dependent atunci când se adaugă un vector b, apoi vectorul b exprimată liniar în termeni de vectori ai sistemului S.

c). Sistemul de matrice , , în spațiul matricelor de ordinul doi.

10. Fie sistemul de vectori A,b,c spațiu vectorial liniar independent. Demonstrați independența liniară a următoarelor sisteme de vectori:

A).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– număr arbitrar

c).a+b, a+c, b+c.

11. Lasa A,b,c sunt trei vectori în plan care pot fi folosiți pentru a forma un triunghi. Vor fi acești vectori dependenți liniar?

12. Dați doi vectori a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Mai ridicați doi vectori 4D a3 șia4 astfel încât sistemul a1,a2,a3,a4 a fost liniar independent .

Lasa L este spațiul liniar peste câmp R . Lasa A1, a2, ... , an (*) un sistem finit de vectori din L . Vector ÎN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un (16) chemat O combinație liniară de vectori ( *), sau spune vector ÎN exprimată liniar printr-un sistem de vectori (*).

Definiția 14. Sistemul de vectori (*) este numit dependent liniar , dacă și numai dacă există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, … , astfel încât a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0. Dacă a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, atunci se apelează sistemul (*) liniar independent.

Proprietăți ale dependenței și independenței liniare.

10. Dacă un sistem de vectori conține un vector zero, atunci acesta este dependent liniar.

Într-adevăr, dacă în sistem (*) vectorul A1 = 0, Apoi 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Dacă un sistem de vectori conține doi vectori proporționali, atunci este dependent liniar.

Lasa A1 = L×a2. Apoi 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× DAR N= 0.

30. Un sistem finit de vectori (*) pentru n ³ 2 este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a celorlalți vectori ai acestui sistem.

Þ Fie (*) dependent liniar. Apoi există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, … , astfel încât a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 . Fără pierderea generalității, putem presupune că a1 ¹ 0. Atunci există A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× DAR N. Deci, vectorul A1 este o combinație liniară a vectorilor rămași.

Ü Fie ca unul dintre vectori (*) să fie o combinație liniară a celorlalți. Putem presupune că acesta este primul vector, adică A1 = B2 A2+ … + mld DAR N, deci (–1)× A1 + b2 A2+ … + mld DAR N= 0 , adică (*) este dependent liniar.

Cometariu. Folosind ultima proprietate, se poate defini dependența liniară și independența unui sistem infinit de vectori.

Definiția 15. Sistem vectorial A1, a2, ... , an , … (**) se numește dependent liniar, Dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a unui număr finit de alți vectori. În caz contrar, sistemul (**) este apelat liniar independent.

40. Un sistem finit de vectori este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii săi nu poate fi exprimat liniar în termenii celorlalți vectori ai săi.

50. Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este, de asemenea, liniar independent.

60. Dacă un subsistem al unui sistem dat de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este, de asemenea, dependent liniar.

Să fie date două sisteme de vectori A1, a2, ... , an , … (16) și В1, в2, … , вs, … (17). Dacă fiecare vector al sistemului (16) poate fi reprezentat ca o combinație liniară a unui număr finit de vectori ai sistemului (17), atunci spunem că sistemul (17) este exprimat liniar prin sistemul (16).

Definiția 16. Cele două sisteme de vectori se numesc echivalent , dacă fiecare dintre ele este exprimat liniar în termenii celuilalt.

Teorema 9 (teorema de bază a dependenței liniare).

Lasă și sunt două sisteme finite de vectori din L . Dacă primul sistem este liniar independent și liniar exprimat în termenii celui de-al doilea, atunci N£s.

Dovada. Să ne prefacem că N> S. Conform teoremei

(21)

Deoarece sistemul este liniar independent, egalitatea (18) w X1=x2=…=xN=0. Să substituim aici expresii ale vectorilor: …+=0 (19). Prin urmare (20). Condițiile (18), (19) și (20) sunt în mod evident echivalente. Dar (18) este satisfăcută numai atunci când X1=x2=…=xN=0. Să aflăm când egalitatea (20) este adevărată. Dacă toți coeficienții săi sunt egali cu zero, atunci este în mod evident adevărat. Echivalându-le cu zero, obținem sistemul (21). Deoarece acest sistem are zero, acesta

comun. Deoarece numărul de ecuații este mai mare decât numărul de necunoscute, sistemul are infinite de soluții. Prin urmare, are un non-zero x10, x20, …, xN0. Pentru aceste valori, egalitatea (18) va fi adevărată, ceea ce contrazice faptul că sistemul de vectori este liniar independent. Deci presupunerea noastră este greșită. Prin urmare, N£s.

Consecinţă. Dacă două sisteme echivalente de vectori sunt finite și liniar independenți, atunci ele conțin același număr de vectori.

Definiția 17. Sistemul de vectori se numește Sistemul maxim liniar independent de vectori spațiu liniar L , dacă este liniar independent, dar adăugând la acesta orice vector din L neinclus în acest sistem, acesta devine liniar dependent.

Teorema 10. Orice două sisteme maxime finite liniar independente de vectori din L Conțin același număr de vectori.

Dovada rezultă din faptul că oricare două sisteme de vectori maxime liniar independente sunt echivalente .

Este ușor de demonstrat că orice sistem liniar independent de vectori spațiali L poate fi completat până la sistemul maxim liniar independent de vectori ai acestui spațiu.

Exemple:

1. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici coliniari, orice sistem format dintr-un vector diferit de zero este independent liniar maximal.

2. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici coplanari, oricare doi vectori necoliniari constituie un sistem liniar independent maxim.

3. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici posibili ai spațiului euclidian tridimensional, orice sistem de trei vectori necoplanari este maximul liniar independent.

4. În mulțimea tuturor polinoamelor, gradul este cel mult N Cu coeficienți reali (complexi), un sistem de polinoame 1, x, x2, …, xn Este independent liniar maxim.

5. În mulțimea tuturor polinoamelor cu coeficienți reali (complexi), exemple de sistem maximal independent liniar sunt

dar) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N,…

6. Mulțimea matricelor de dimensiune M´ N este un spațiu liniar (verificați-l). Un exemplu de sistem independent liniar maxim în acest spațiu este sistemul de matrici E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Să fie dat un sistem de vectori C1, c2, ... , cf (*). Se numește subsistemul de vectori din (*) Maxim liniar independent Subsistemul sisteme ( *) , dacă este liniar independent, dar când i se adaugă orice alt vector al acestui sistem, acesta devine liniar dependent. Dacă sistemul (*) este finit, atunci oricare dintre subsistemele sale maxime liniar independente conține același număr de vectori. (Dovada de unul singur.) Se numește numărul de vectori din subsistemul maxim liniar independent al sistemului (*) rang Acest sistem. Evident, sistemele echivalente de vectori au aceleași ranguri.

Vectorii, proprietățile lor și acțiunile cu ei

Vectori, acțiuni cu vectori, spațiu vectorial liniar.

Vectorii sunt o colecție ordonată a unui număr finit de numere reale.

Acțiuni: 1. Înmulțirea unui vector cu un număr: lambda * vector x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * xn). (3.4, 0. 7) * 3 \u003d (9, 12.0.21 )

2. Adunarea vectorilor (aparțin aceluiași spațiu vectorial) vector x + vector y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vector 0=(0,0…0)---n E n – vector n-dimensional (spațiu liniar) x + vector 0 = vector x

Teorema. Pentru un sistem de n vectori, n-dimensional spațiu liniar este dependent liniar, este necesar și suficient ca unul dintre vectori să fie o combinație liniară a celorlalți.

Teorema. Orice set de n+ primul vector al spațiului liniar n-dimensional yavl. dependent liniar.

Adunarea vectorilor, înmulțirea vectorilor cu numere. Scăderea vectorilor.

Suma a doi vectori este vectorul direcționat de la începutul vectorului până la sfârșitul vectorului, cu condiția ca începutul să coincidă cu sfârșitul vectorului. Dacă vectorii sunt dați de expansiunile lor în termeni de vectori de bază, atunci prin adăugarea vectorilor se adună coordonatele lor respective.

Să luăm în considerare exemplul sistemului de coordonate carteziene. Lasa

Să arătăm asta

Figura 3 arată că

Suma oricărui număr finit de vectori poate fi găsită folosind regula poligonului (Fig. 4): pentru a construi suma unui număr finit de vectori, este suficient să potriviți începutul fiecărui vector următor cu sfârșitul celui anterior. și construiți un vector care leagă începutul primului vector cu sfârșitul ultimului.

Proprietățile operației de adunare vectorială:

În aceste expresii m, n sunt numere.

Diferența de vectori se numește vector.Al doilea termen este un vector opus vectorului ca direcție, dar egal cu acesta ca lungime.

Astfel, operația de scădere vectorială este înlocuită cu operația de adunare

Vectorul, al cărui început se află la originea coordonatelor, iar sfârșitul în punctul A (x1, y1, z1), se numește vectorul rază al punctului A și se notează sau pur și simplu. Deoarece coordonatele sale coincid cu coordonatele punctului A, expansiunea sa în termeni de vectori unitari are forma

Un vector care începe în punctul A(x1, y1, z1) și se termină în punctul B(x2, y2, z2) poate fi scris ca

unde r 2 este vectorul rază al punctului B; r 1 - vectorul rază a punctului A.

Prin urmare, expansiunea vectorului în termeni de orte are forma

Lungimea sa este egală cu distanța dintre punctele A și B

MULTIPLICARE

Deci in caz problema cu avionul produsul unui vector prin a = (ax; ay) și un număr b se găsește prin formula

a b = (ax b; ay b)

Exemplul 1. Aflați produsul vectorului a = (1; 2) cu 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Deci in caz problema spatiala produsul vectorului a = (ax; ay; az) și numărul b se află prin formula

a b = (ax b; ay b; az b)

Exemplul 1. Aflați produsul vectorului a = (1; 2; -5) cu 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Produsul scalar al vectorilor și unde este unghiul dintre vectorii si ; dacă fie, atunci

Din definiția produsului scalar rezultă că

unde, de exemplu, este valoarea proiecției vectorului pe direcția vectorului.

Pătratul scalar al unui vector:

Proprietățile produsului punct:

Punctați produsul în coordonate

Dacă apoi

Unghiul dintre vectori

Unghiul dintre vectori - unghiul dintre direcțiile acestor vectori (unghiul cel mai mic).

Produs vectorial (Produsul vectorial al doi vectori.)- este un pseudo-vector perpendicular pe planul construit de doi factori, care este rezultatul operației binare „înmulțire vectorială” pe vectori din spațiul euclidian tridimensional. Produsul nu este nici comutativ, nici asociativ (este anticomutativ) și este diferit de produsul scalar al vectorilor. În multe probleme de inginerie și fizică, este necesar să se poată construi un vector perpendicular pe două existente - produsul vectorial oferă această oportunitate. Produsul încrucișat este util pentru „măsurarea” perpendicularității vectorilor - lungimea produsului încrucișat a doi vectori este egală cu produsul lungimii lor dacă sunt perpendiculari și scade la zero dacă vectorii sunt paraleli sau antiparaleli.

Produsul vectorial este definit numai în spații tridimensionale și șapte-dimensionale. Rezultatul unui produs vectorial, ca un produs scalar, depinde de metrica spațiului euclidian.

Spre deosebire de formula pentru calcularea produsului scalar din coordonatele vectorilor dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular tridimensional, formula pentru produsul vectorial depinde de orientarea sistemului de coordonate dreptunghiulare sau, cu alte cuvinte, de „chiralitatea” acestuia.

Coliniaritatea vectorilor.

Doi vectori nenuli (nu egali cu 0) sunt numiți coliniari dacă se află pe drepte paralele sau pe aceeași linie. Permitem, dar nu recomandam, un sinonim - vectori „paraleli”. Vectorii coliniari pot fi dirijați în aceeași direcție („co-direcționați”) sau direcționați opus (în acest din urmă caz ​​sunt uneori numiți „anticoliniari” sau „antiparaleli”).

Produsul mixt al vectorilor ( a,b,c)- produsul scalar al vectorului a și produsul vectorial al vectorilor b și c:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

numit uneori triplu produs scalar vectori, aparent datorită faptului că rezultatul este un scalar (mai precis, un pseudoscalar).

sens geometric: Modulul produsului mixt este numeric egal cu volumul paralelipipedului format de vectori (a,b,c) .

Proprietăți

produs mixt skew-simetric în raport cu toate argumentele sale: adică e. o permutare a oricăror doi factori modifică semnul produsului. Rezultă că produsul mixt în sistemul de coordonate carteziene drept (în bază ortonormală) este egal cu determinantul matricei compuse din vectori și:

Produsul mixt din sistemul de coordonate carteziene din stânga (în bază ortonormală) este egal cu determinantul unei matrice compusă din vectori și luată cu semnul minus:

În special,

Dacă oricare doi vectori sunt paraleli, atunci cu oricare al treilea vector formează un produs mixt egal cu zero.

Dacă trei vectori sunt dependenți liniar (adică, coplanari, se află în același plan), atunci produsul lor mixt este zero.

Sensul geometric - Produsul mixt în valoare absolută este egal cu volumul paralelipipedului (vezi figura) format din vectori și; semnul depinde dacă acest triplu de vectori este dreapta sau stânga.

Complanaritatea vectorilor.

Trei vectori (sau Mai mult) se numesc coplanare dacă, reducându-se la o origine comună, se află în același plan

Proprietăți de complementaritate

Dacă cel puțin unul dintre cei trei vectori este zero, atunci cei trei vectori sunt de asemenea considerați coplanari.

Un triplu de vectori care conțin o pereche de vectori coliniari este coplanar.

Produs mixt al vectorilor coplanari. Acesta este un criteriu pentru coplanaritatea a trei vectori.

Vectorii coplanari sunt dependenți liniar. Acesta este, de asemenea, un criteriu de coplanaritate.

În spațiul tridimensional, 3 vectori necoplanari formează o bază

Vectori liniar dependenți și liniar independenți.

Sisteme de vectori liniar dependente și independente.Definiție. Sistemul de vectori se numește dependent liniar, dacă există cel puțin o combinație liniară netrivială a acestor vectori egală cu vectorul zero. Altfel, i.e. dacă doar o combinație liniară trivială de vectori dați este egală cu vectorul nul, vectorii sunt numiți liniar independent.

Teoremă (criteriul dependenței liniare). Pentru ca un sistem de vectori dintr-un spațiu liniar să fie dependent liniar, este necesar și suficient ca cel puțin unul dintre acești vectori să fie o combinație liniară a celorlalți.

1) Dacă există cel puțin un vector zero printre vectori, atunci întregul sistem de vectori este dependent liniar.

Într-adevăr, dacă, de exemplu, , atunci, presupunând , avem o combinație liniară netrivială .▲

2) Dacă unii dintre vectori formează un sistem dependent liniar, atunci întregul sistem este dependent liniar.

Într-adevăr, fie vectorii , , dependenți liniar. Prin urmare, există o combinație liniară netrivială egală cu vectorul zero. Dar apoi, presupunând , obținem și o combinație liniară netrivială egală cu vectorul zero.

2. Baza și dimensiunea. Definiție. Sistem de vectori liniar independenți se numește spațiu vectorial bază acest spațiu, dacă orice vector din poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori ai acestui sistem, i.e. pentru fiecare vector există numere reale astfel încât egalitatea este valabilă.Această egalitate se numește descompunere vectorialăîn funcție de bază și de numere numit coordonate vectoriale relativ la bază(sau în bază) .

Teorema (cu privire la unicitatea expansiunii din punct de vedere al bazei). Fiecare vector spațial poate fi extins din punct de vedere al bazei singura cale, adică coordonatele fiecărui vector din bază sunt definite fără ambiguitate.

În acest articol, vom acoperi:

• ce sunt vectorii coliniari;
• care sunt condițiile pentru vectorii coliniari;
• care sunt proprietățile vectorilor coliniari;
• care este dependența liniară a vectorilor coliniari.

Definiția 1

Vectorii coliniari sunt vectori care sunt paraleli cu aceeași linie sau se află pe aceeași linie.

Exemplul 1

Condiții pentru vectorii coliniari

Doi vectori sunt coliniari dacă oricare dintre următoarele condiții este adevărată:

• starea 1 . Vectorii a și b sunt coliniari dacă există un număr λ astfel încât a = λ b ;
• starea 2 . Vectorii a și b sunt coliniari cu un raport egal de coordonate:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• starea 3 . Vectorii a și b sunt coliniari cu condiția ca produsul vectorial și vectorul zero să fie egali:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Observație 1

Condiția 2 nu se aplică dacă una dintre coordonatele vectoriale este zero.

Observația 2

Condiția 3 aplicabil numai acelor vectori care sunt dați în spațiu.

Exemple de probleme pentru studiul coliniarității vectorilor

Exemplul 1

Examinăm vectorii a \u003d (1; 3) și b \u003d (2; 1) pentru coliniaritate.

Cum să decizi?

În acest caz, este necesar să se folosească a doua condiție de coliniaritate. Pentru vectori dați, arată astfel:

Egalitatea este greșită. Din aceasta putem concluziona că vectorii a și b sunt necoliniari.

Răspuns : a | | b

Exemplul 2

Ce valoare m a vectorului a = (1 ; 2) și b = (- 1 ; m) este necesară pentru ca vectorii să fie coliniari?

Cum să decizi?

Folosind a doua condiție coliniară, vectorii vor fi coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale:

Aceasta arată că m = - 2 .

Răspuns: m = - 2 .

Criterii de dependență liniară și independență liniară a sistemelor de vectori

Teorema

Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial este dependent liniar numai dacă unul dintre vectorii sistemului poate fi exprimat în termeni de restul vectorilor sistemului.

Dovada

Fie sistemul e 1 , e 2 , . . . , e n este dependent liniar. Să notăm combinația liniară a acestui sistem egală cu vectorul zero:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

în care cel puţin unul dintre coeficienţii combinaţiei nu este egal cu zero.

Fie a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Împărțim ambele părți ale egalității cu un coeficient diferit de zero:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Denota:

A k - 1 a m , unde m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

În acest caz:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

sau e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Rezultă că unul dintre vectorii sistemului este exprimat în termenii tuturor celorlalți vectori ai sistemului. Ceea ce se cerea să fie dovedit (p.t.d.).

Adecvarea

Fie ca unul dintre vectori să fie exprimat liniar în termenii tuturor celorlalți vectori ai sistemului:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Transferăm vectorul e k în partea dreaptă a acestei egalități:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Deoarece coeficientul vectorului e k este egal cu - 1 ≠ 0 , obținem o reprezentare netrivială a zero printr-un sistem de vectori e 1 , e 2 , . . . , e n , iar aceasta, la rândul său, înseamnă că sistemul dat de vectori este dependent liniar. Ceea ce se cerea să fie dovedit (p.t.d.).

Consecinţă:

• Un sistem de vectori este liniar independent atunci când niciunul dintre vectorii săi nu poate fi exprimat în termenii tuturor celorlalți vectori ai sistemului.
• Un sistem vectorial care conține un vector nul sau doi vectori egali este dependent liniar.

Proprietăți ale vectorilor liniar dependenți

1. Pentru vectorii 2- și 3-dimensionali, condiția este îndeplinită: doi vectori dependenți liniar sunt coliniari. Doi vectori coliniari sunt dependenți liniar.
2. Pentru vectorii tridimensionali este îndeplinită condiția: trei liniare vectori dependenți- coplanare. (3 vectori coplanari - dependenti liniar).
3. Pentru vectorii n-dimensionali este îndeplinită condiția: n + 1 vectori sunt întotdeauna dependenți liniar.

Exemple de rezolvare a problemelor pentru dependența liniară sau independența liniară a vectorilor

Exemplul 3

Să verificăm vectorii a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 pentru independența liniară.

Soluţie. Vectorii sunt dependenți liniar deoarece dimensiunea vectorilor este mai mică decât numărul de vectori.

Exemplul 4

Să verificăm vectorii a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 pentru independența liniară.

Soluţie. Găsim valorile coeficienților la care combinația liniară va fi egală cu vectorul zero:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Scriem ecuația vectorială sub forma uneia liniare:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Rezolvăm acest sistem folosind metoda Gauss:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Din a 2-a linie scădem prima, din a 3-a - prima:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Scădeți al 2-lea din prima linie, adăugați al 2-lea la a 3-a:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Din soluție rezultă că sistemul are multe soluții. Aceasta înseamnă că există o combinație diferită de zero a valorilor unor astfel de numere x 1 , x 2 , x 3 pentru care combinația liniară a , b , c este egală cu vectorul zero. Prin urmare, vectorii a , b , c sunt dependent liniar. ​​​​​​​

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter