Se propune o metodă de frecvență pentru rezolvarea problemei vibrațiilor longitudinale ale barelor cu secțiune transversală variabilă în trepte, cu sau fără luarea în considerare a disipării energiei la impactul cu un obstacol rigid. Ecuația vibrațiilor longitudinale ale tijei este transformată conform lui Laplace în prezența unor condiții inițiale diferite de zero. Se rezolvă o problemă cu valoarea limită, care constă în găsirea forțelor longitudinale ale muchiei transformate la Laplace în funcție de deplasările muchiilor. Apoi se alcătuiește un sistem de ecuații pentru echilibrul nodurilor, rezolvând care, caracteristicile amplitudine-fază-frecvență (APFC) sunt construite pentru secțiunile de interes ale tijei. Efectuând transformarea Laplace inversă, se construiește un proces tranzitoriu. Ca exemplu de testare, este considerată o bară de secțiune constantă de lungime finită. Se oferă o comparație cu soluția de undă cunoscută. Metoda propusă de calcul dinamic al unei tije în ciocnire cu un obstacol rigid permite generalizări la un sistem de tije arbitrar în prezența unui număr nelimitat de mase atașate elastic, cu o forță arbitrară aplicată la capete și pe lungimea tijei. .
metoda frecvenței
vibratii longitudinale ale tijei
1. Biderman, V.L. Teoria aplicata vibratii mecanice/ V.L. Biderman. – M.: liceu, 1972. - 416 p.
2. Lavrentiev, M.A. Metode ale teoriei funcţiilor unei variabile complexe / M.A. Lavrentiev, B.V. Shabat. – M.: Nauka, 1973. – 736 p.
3. Sankin, Yu.N. Caracteristicile dinamice ale sistemelor vâscoelastice cu parametri distribuiți / Yu.N. Sankin. - Saratov: Editura Sarat. un-ta, 1977. - 312 p.
4. Sankin, Yu.N. Vibrații non-staționare ale sistemelor de tije în coliziune cu un obstacol / Yu.N. Sankin, N.A. Yuganova; sub total ed. Yu.N. Sankin. - Ulyanovsk: UlGTU, 2010. - 174 p.
5. Sankin, Y.N. Vibrații longitudinale ale tijelor elastice de secțiune transversală variabilă în trepte care se ciocnesc cu un obstacol rigid \ Yu. N. Sankin și N.A. Yuganova, J. Appl. Maths Mechs, Vol. 65, nr 3, pp. 427-433, 2001.
Să luăm în considerare metoda frecvenței pentru rezolvarea problemei vibrațiilor longitudinale ale barelor cu secțiune transversală variabilă în trepte, cu sau fără luarea în considerare a disipării energiei la impactul cu un obstacol rigid, pe care o vom compara cu soluția cunoscută a valului și soluția. sub forma unei serii de moduri de vibraţie (14) .
Ecuația diferențială a vibrațiilor longitudinale ale tijei, ținând cont de forțele de rezistență internă, are forma:
Să stabilim următoarea limită și condiții inițiale:
. (2)
Să transformăm ecuația (1) și condițiile la limită (2) conform lui Laplace pentru condițiile inițiale date (2). Atunci ecuația (2) și condițiile la limită (2) se vor scrie după cum urmează:
; (3)
,
unde sunt deplasările transformate Laplace ale punctelor tijei; p este parametrul transformării Laplace.
Ecuația (3) fără a lua în considerare disiparea energiei (la = 0) va lua forma:
. (4)
Pentru ecuația diferențială neomogenă rezultată se rezolvă o problemă a valorii la limită, care constă în găsirea forțelor longitudinale ale muchiei transformate la Laplace în funcție de deplasările muchiilor.
Pentru aceasta, avem în vedere ecuația omogenă a vibrațiilor longitudinale ale tijei, ținând cont de disiparea energiei
(5)
denotând
și trecând la o nouă variabilă, obținem în loc de (5)
(6)
Dacă, unde este parametrul de frecvență, atunci
.
Soluţie ecuație omogenă(6) are forma:
Constantele de integrare c1 și c2 se găsesc din condițiile inițiale:
u = u0 ; N = N0,
Acestea. 
;
Această soluție corespunde următoarei matrice de transfer:
. (7)
Inlocuind expresiile obtinute pentru elementele matricei de transfer in formulele metodei deplasarii se obtine:
;
(8)
;
Indicii n și k indică începutul și, respectiv, sfârșitul secțiunii tijei. Iar constantele geometrice și fizice cu indicii nk și kn se referă la o secțiune specifică a tijei.
Rupând tija în elemente, folosind formulele (8), vom compune ecuațiile de echilibru dinamic al nodurilor. Aceste ecuații sunt un sistem de ecuații pentru deplasări nodale necunoscute. Deoarece coeficienții corespunzători se obțin prin integrare exactă, lungimea secțiunilor tijei nu este limitată.
Rezolvând sistemul de ecuații rezultat pentru , construim caracteristicile amplitudine-fază-frecvență pentru secțiunile tijei care ne interesează. Aceste AFC-uri pot fi privite ca o imagine grafică a unei transformări Fourier unilaterale, care coincide cu transformarea Laplace sub acțiuni impulsive. Deoarece toate punctele singulare ale expresiilor corespunzătoare se află la stânga axei imaginare, transformarea inversă poate fi efectuată prin stabilirea , i.e. folosind AFC construit. Sarcina de a construi AFC, unde câmpul vitezelor inițiale înmulțit cu densitatea tijei apare ca o forță, este auxiliară. De obicei, AFC sunt construite din influența forțelor perturbatoare, apoi transformarea Laplace inversă este realizată prin integrare numerică sau într-un alt mod.
Ca exemplu simplu, luăm în considerare o tijă dreaptă de lungimea l, care se ciocnește longitudinal cu un obstacol rigid cu o viteză V0 (Fig. 1).
Să determinăm deplasarea punctelor tijei după impact. Presupunem ca dupa impact contactul dintre obstacol si tija se mentine, i.e. nu are loc revenirea tijei. Dacă conexiunea este nereținătoare, atunci problema poate fi considerată liniară pe bucăți. Criteriul de trecere la o altă soluție este schimbarea semnului vitezei în punctul de contact.
În monografia lui Lavrentiev M.A., Shabat B.V. soluția ondulatorie a ecuației (4) este dată:
și și-a găsit originalul
, (9)
unde este funcția pas de unitate.
O altă abordare pentru rezolvarea acestei probleme poate fi efectuată prin metoda frecvenței descrisă în . Pentru această problemă, vom avea:
; 
;
; ;
; 
;
. (10)
Să găsim originalul (11)
Să rezolvăm aceeași problemă într-un mod de frecvență. Din ecuația de echilibru a primului nod:
(12)
obţinem o formulă de deplasare a capătului tijei .
Acum, dacă tija de testare cu secțiune transversală constantă este împărțită în două secțiuni arbitrare de lungime l1 și l2 (vezi Fig. 1), atunci condițiile pentru echilibrul nodurilor vor fi următoarele:
(13)
Ca rezultat al soluționării sistemului (13), obținem grafice ale AFC pentru deplasări în secțiunile 1 și 2 (U1 și, respectiv, U2). Deci, imaginea pentru deplasarea marginii într-o formă închisă, ținând cont de disiparea energiei, în cazul (12) și (13) coincide și are forma:
. (14)
Să verificăm coincidența rezultatelor la capătul tijei. Pe fig. Figura 2 prezintă graficele soluției (10) pentru x = l0.1 și ca rezultat al rezolvării sistemului (13). Se potrivesc perfect.
Transformarea Fourier discretă poate fi utilizată pentru a obține procesul tranzitoriu. Rezultatul poate fi obținut efectuând integrarea numerică la t=0... prin formula
. (15)
Pe AFC (vezi Fig. 2), doar o bobină vizibilă se manifestă semnificativ. Prin urmare, ar trebui luat un termen din seria (15). Din graficele din Figura 3, se poate observa cât de precise coincid soluția (9) și soluția conform modurilor de oscilații (11) cu soluția de frecvență propusă. Eroarea nu depășește 18%. Discrepanța rezultată se explică prin faptul că soluțiile (9) și (11) nu iau în considerare disiparea energiei în materialul tijei.
Orez. 3. Proces tranzitoriu pentru capatul tijei; 1, 2, 3 - grafice construite conform formulelor (9), (11), (15), respectiv.
mai mult exemplu complex Să luăm în considerare problema vibrațiilor longitudinale ale unei tije în trepte (Fig. 4) cu o sarcină la capăt, care se ciocnește cu un obstacol rigid la o viteză V0 și să fie masa sarcinii egală cu masa secțiunii adiacente. a tijei:.
Orez. 4. Schema de calcul a vibrațiilor longitudinale ale unei tije trepte cu o sarcină la capăt
Introducem sectiunile caracteristice 1,2,3 ale tijei, in care vom calcula deplasarile. Compunem un sistem de rezolvare a ecuațiilor:
(16)
Ca rezultat al rezolvării sistemului (16), se obțin graficele AFC (Fig. 5) pentru deplasările în secțiunile a doua și a treia (U2 () și, respectiv, U3 (). Calculele au fost efectuate cu următoarele valori ale constantelor: l = 2 m; E = 2,1 x 1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. Pe AFC-urile obținute, doar două viraj vizibile se arată semnificativ. Prin urmare, atunci când construim procesul tranzitoriu în secțiunile selectate, luăm doi termeni ai seriei (16). Pentru a face acest lucru, mai întâi trebuie să definiți
Orez. Fig. 5. AFC a deplasărilor în a doua și a treia secțiune a unei tije în trepte (vezi Fig. 4)
În mod similar, conform formulei (15), este construit un proces tranzitoriu.
Concluzie: a fost dezvoltată o metodă pentru calcularea vibrațiilor longitudinale ale tijelor la impactul cu un obstacol.
Recenzători:
Lebedev A.M., doctor în științe tehnice, profesor asociat, profesor la Universitatea Ulyanovsk scoala de aviatie(Institut), Ulyanovsk.
Antonets I.V., doctor în științe tehnice, profesor al statului Ulyanovsk universitate tehnica, Ulianovsk.
Link bibliografic
Yuganova N.A. VIBRAȚII LONGITUDINALE ALE TIJEI ÎN COLISION CU OBSTACULE RIGIDE // Probleme contemporaneștiință și educație. - 2014. - Nr 2.;URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (data accesului: 15/01/2020). Vă aducem la cunoștință jurnale publicate de editura „Academia de Istorie Naturală”
DEFINIȚIE
Undă longitudinală- aceasta este o undă, în timpul propagării căreia are loc deplasarea particulelor mediului în direcția de propagare a undei (Fig. 1, a).
Cauza apariției unei unde longitudinale este compresia/extensia, adică. rezistența unui mediu la modificarea volumului său. În lichide sau gaze, o astfel de deformare este însoțită de rarefacția sau compactarea particulelor mediului. Undele longitudinale se pot propaga în orice mediu - solid, lichid și gazos.
Exemple unde longitudinale sunt unde într-o tijă elastică sau unde sonore în gaze.
unde transversale
DEFINIȚIE
val transversal- aceasta este o undă, în timpul propagării căreia deplasarea particulelor de mediu are loc în direcția perpendiculară pe propagarea undei (Fig. 1b).
Cauza unei unde transversale este deformarea prin forfecare a unui strat al mediului în raport cu altul. Când o undă transversală se propagă într-un mediu, se formează creste și jgheaburi. Lichide și gaze, spre deosebire de solide, nu au elasticitate în raport cu forfecarea straturilor, adică. nu rezista la schimbarea formei. Prin urmare, undele transversale se pot propaga numai în solide.
Exemple de unde transversale sunt undele care călătoresc de-a lungul unei frânghii întinse sau de-a lungul unei sfori.
Undele de pe suprafața unui lichid nu sunt nici longitudinale, nici transversale. Dacă arunci un plutitor la suprafața apei, poți vedea că se mișcă, legănându-se pe valuri, într-un mod circular. Astfel, o undă pe o suprafață lichidă are atât componente transversale, cât și longitudinale. Pe suprafața unui lichid pot apărea și valuri de un tip special - așa-numitele undele de suprafață. Ele apar ca urmare a acțiunii și forței tensiunii superficiale.
Exemple de rezolvare a problemelor
EXEMPLUL 1
| Sarcina | Determinați direcția de propagare a undei transversale dacă plutitorul la un moment dat în timp are direcția vitezei indicată în figură. |
| Soluţie | Să facem un desen. Să desenăm suprafața valului în apropierea plutitorului după un anumit interval de timp, având în vedere că în acest timp plutitorul a coborât, deoarece era îndreptat în jos în momentul de timp. Continuând linia la dreapta și la stânga, arătăm poziția undei la timp. Comparând poziția undei în momentul inițial al timpului (linia continuă) și în momentul timpului (linia întreruptă), concluzionăm că unda se propagă spre stânga. |
Să considerăm o tijă uniformă de lungime, adică un corp de formă cilindrică sau de altă formă, pentru întindere sau îndoire, căruia trebuie aplicată o anumită forță. Ultima împrejurare distinge chiar și cea mai subțire tijă de sfoară, care, după cum știm, se îndoaie liber.
În acest capitol, vom aplica metoda caracteristicilor la studiul vibrațiilor longitudinale ale unei tije și ne vom restrânge la studierea doar a vibrațiilor în care secțiunile transversale, deplasându-se de-a lungul axei tijei, rămân plate și paralele cu unul pe altul (fig. 6). O astfel de presupunere este justificată dacă dimensiunile transversale ale tijei sunt mici în comparație cu lungimea acesteia.
Dacă tija este oarecum întinsă sau comprimată de-a lungul axei longitudinale și apoi lăsată la sine, atunci vor apărea vibrații longitudinale în ea. Să direcționăm axa de-a lungul axei tijei și să presupunem că în repaus capetele tijei sunt în puncte Fie abscisa unei secțiuni a tijei când aceasta din urmă este în repaus. Se notează prin deplasarea acestei secțiuni în momentul de timp, atunci deplasarea secțiunii cu abscisa va fi egală cu
De aici este clar că alungirea relativă a tijei în secțiunea cu abscisa x se exprimă prin derivată
Presupunând acum că tija efectuează vibrații mici, putem calcula tensiunea Reală în această secțiune, aplicând legea lui Hooke, constatăm că
unde este modulul de elasticitate al materialului tijei, aria secțiunii transversale a acestuia. Luați elementul tijei, închis
între două secțiuni, ale căror abscise în repaus sunt, respectiv, egale. Acest element este afectat de forțele de întindere aplicate în aceste secțiuni și direcționate de-a lungul axei. Rezultanta acestor forțe are valoarea
și, de asemenea, direcționat de-a lungul . Pe de altă parte, accelerația elementului este egală, deci putem scrie egalitatea
unde este densitatea în vrac a tijei. Punând
iar reducând cu obținem ecuația diferențială a vibrațiilor longitudinale ale unei tije omogene
Forma acestei ecuații arată că oscilațiile longitudinale ale tijei sunt de natură ondulatorie, iar viteza a de propagare a undelor longitudinale este determinată de formula (4).
Dacă asupra tijei acționează și o forță externă calculată pe unitatea de volum, atunci în loc de (3) obținem
Aceasta este ecuația vibrațiilor longitudinale forțate ale tijei. Ca și în dinamică în general, o ecuație a mișcării (6) nu este suficientă pentru definiție completă mișcarea tijei. Este necesar să se stabilească condițiile inițiale, adică să se stabilească deplasările secțiunilor tijei și vitezele acestora în momentul inițial de timp.
unde si funcții predefiniteîn interval (
În plus, trebuie specificate condițiile de limită la capetele barei. De exemplu.
O tijă este un corp, una dintre dimensiunile căruia, numită longitudinală, își depășește semnificativ dimensiunile într-un plan perpendicular pe direcția longitudinală, adică. dimensiunile crucii. Proprietatea principală a tijei este rezistența la compresiune longitudinală (tensionare) și încovoiere. Această proprietate distinge fundamental tija de sfoară, care nu se întinde și nu rezistă la îndoire. Dacă densitatea materialului tijei este aceeași în toate punctele sale, atunci tija se numește omogenă.
De obicei, corpurile extinse delimitate de o suprafață cilindrică închisă sunt considerate tije. În acest caz, aria secțiunii transversale rămâne constantă. Vom studia comportamentul unei astfel de tije omogene de lungime l, presupunând că este supus doar compresiunii sau tensiunii, respectând în același timp legea lui Hooke. Când se studiază deformațiile longitudinale mici ale unei tije, așa-numitele ipoteza secţiunilor plate. Constă în faptul că secțiunile transversale, care se deplasează sub compresie sau tensiune de-a lungul tijei, rămân plate și paralele între ele.
Să direcționăm axa X de-a lungul axei longitudinale a tijei (Fig. 19) și vom presupune că la momentul inițial de timp capetele tijei sunt în punctele x=0Și x=l. Să luăm o secțiune arbitrară a tijei cu coordonatele X. Notează prin u(X,t) deplasarea în timp a acestei secțiuni t, apoi offset-ul secțiunii cu coordonatele în acelaşi timp va fi egal cu
Apoi alungirea relativă a tijei în secțiune X va fi egal cu
Forța de rezistență la această alungire, conform legii lui Hooke, va fi egală cu
Unde E este modulul de elasticitate al materialului tijei (modulul Young) și S- arie a secțiunii transversale. La limitele unei secțiuni ale unei tije cu o lungime dx asupra ei acţionează forţele T xȘi T x + dx, îndreptată de-a lungul axei X. Rezultanta acestor forțe va fi egală cu
,
iar accelerația secțiunii tijei luate în considerare este , atunci ecuația de mișcare a acestei secțiuni a tijei va arăta astfel:
, (67)
Unde ρ – densitatea materialului tijei. Dacă această densitate și modulul lui Young sunt constante, atunci puteți introduce valoarea prin și împărțind ambele părți ale ecuației la sdx, în sfârșit obține ecuația vibrațiilor longitudinale ale unei tije in lipsa forțe externe
(68)
Această ecuație este similară ca formă cu ecuaţia vibraţiilor transversale ale coardei iar metodele de rezolvare sunt aceleași, totuși, după coeficient A aceste ecuații reprezintă cantități diferite. În ecuația șirurilor, cantitatea a 2 reprezintă o fracție, în numărătorul căreia există o forță constantă de tensiune a coardei - T, iar la numitor densitatea liniară ρ , iar în ecuația șirurilor modulul lui Young este în numărători și în numitor – volumetrice densitatea materialului tijei ρ . Prin urmare și sens fizic cantități Aîn aceste ecuații este diferit. Dacă pentru o coardă acest coeficient este viteza de propagare a unei mici deplasări transversale, atunci pentru o tijă este viteza de propagare a unei mici tensiuni sau compresii longitudinale și se numește viteza de propagare a sunetului, deoarece cu această viteză se vor propaga mici vibrații longitudinale reprezentând sunetul de-a lungul tijei.
Pentru ecuația (68), sunt stabilite condițiile inițiale, care determină deplasarea și viteza de deplasare a oricărei secțiuni a tijei în momentul inițial de timp:
Pentru o tijă limitată, condițiile pentru fixarea sau aplicarea unei forțe la capete sunt date în formular Condiții de frontieră Tipul 1, 2 și 3.
Condițiile limită de primul fel definesc deplasarea longitudinală la capetele tijei:
Dacă capetele tijei sunt fixate nemișcate, atunci în condițiile (6) 
. În acest caz, la fel ca în problema vibrației unei coarde prinse, aplicăm metoda de separare a variabilelor.
În condiții la limită de al doilea fel, la capetele tijei sunt stabilite forțe elastice, care se formează ca urmare a deformării conform legii lui Hooke în funcție de timp. Conform formulei (66), aceste forțe, până la un factor constant, sunt egale cu derivata u x, prin urmare, aceste derivate sunt date la capete în funcție de timp:
Dacă unul dintre capetele tijei este liber, atunci la acest capăt u x = 0.
Condițiile limită de al treilea fel pot fi reprezentate ca condiții în care un arc este atașat la fiecare capăt al tijei, celălalt capăt al căruia se mișcă de-a lungul axei în conformitate cu o lege a timpului dată. θ (t), așa cum se arată în fig. 20. Aceste condiții pot fi scrise după cum urmează
, (72)
Unde k 1 și k 2 - rigiditatea arcurilor.
Dacă asupra tijei de-a lungul axei acţionează şi o forţă externă p(X,t) calculat pe unitate de volum, apoi în loc de ecuația (50) ar trebui să scrieți ecuație neomogenă
,
Care, după împărțirea la , va lua forma
, (73)
Unde 
. Ecuația (73) este o ecuație pentru vibrațiile longitudinale forțate ale unei tije, care se rezolvă prin analogie cu ecuația vibratii fortate siruri de caractere.
Cometariu. De remarcat că atât sfoara cât și tija sunt modele de corpuri reale, care în realitate pot prezenta atât proprietățile sfoarului, cât și ale tijei, în funcție de condițiile în care se află. În plus, ecuațiile obținute nu țin cont de forțele de rezistență mediu inconjuratorși forțele de frecare internă, în urma cărora aceste ecuații descriu oscilații neamortizate. Pentru a ține cont de efectul de amortizare, în cel mai simplu caz, se folosește o forță disipativă, care este proporțională cu viteza și îndreptată în direcția opusă mișcării, adică. viteză. Ca rezultat, ecuația (73) ia forma
(74)
MECANICA
UDC 531.01/534.112
VIBRAȚIILE LONGITUDINALE ALE UNUI PACHET DE LANE
A.M. Pavlov, A.N. Temnov
MSTU im. N.E. Bauman, Moscova, Federația Rusă e-mail: [email protected]; [email protected]
În chestiunile legate de dinamica rachetelor lichide rol important joacă problema stabilității mișcării rachetei în cazul oscilațiilor elastice longitudinale. Apariția unor astfel de oscilații poate duce la stabilirea unor auto-oscilații, care, dacă racheta este instabilă pe direcția longitudinală, pot duce la distrugerea ei rapidă. Se formulează problema oscilațiilor longitudinale ale unei rachete pachet; un pachet de tije este folosit ca model de calcul. Se presupune că lichidul din rezervoarele rachetei este „înghețat”, adică. nu sunt luate în considerare mișcările adecvate ale fluidelor. Se formulează legea bilanțului energetic total pentru problema luată în considerare și se dă declarația operatorului acesteia. Este dat un exemplu numeric, pentru care se determină frecvențele și se construiesc și se analizează modurile proprii.
Cuvinte cheie: vibrații longitudinale, frecvența și forma vibrațiilor, pachet de tije, legea echilibrului energetic total, operator auto-adjunct, spectru de vibrații, POGO.
SISTEM DE TIJE VIBRATII LONGITUDINALE A.M. Pavlov, Al. Temnov
Universitatea Tehnică de Stat Bauman din Moscova, Moscova, Federația Rusă e-mail: [email protected]; [email protected]
În problemele de dinamică a rachetelor cu combustibil lichid problema stabilității mișcării pentru această rachetă are un rol important cu apariția vibrațiilor elastice longitudinale. Apariția unui astfel de tip de vibrații poate evoca auto-vibrații care pot provoca distrugerea rapidă a rachetei în cazul instabilității rachetei în direcția longitudinală. Problema vibrațiilor longitudinale ale rachetei cu combustibil lichid pe baza schemei de pachete a fost formulată folosind tije de pachet ca model de calcul. Se presupune că lichidul din rezervoarele rachetei este „înghețat”, adică. mișcările corespunzătoare ale lichidului nu sunt incluse. Pentru această problemă a fost formulat principiul de conservare a energiei și este dată operatorul acestuia. Există un exemplu numeric, pentru care s-au determinat frecvențele, au fost construite și analizate forme de vibrație Eigen.
Cuvinte cheie: vibrații în moduri longitudinale, moduri și frecvențe proprii, model tije, principiul conservării energiei, operator autoadjunct, spectru de vibrații, POGO.
Introducere. În prezent, în Rusia și în străinătate, pentru a lansa o sarcină utilă pe orbita necesară, sunt adesea folosite vehicule de lansare (LV) cu un aspect de pachet cu blocuri laterale identice distribuite uniform în jurul blocului central.
Studiile oscilațiilor structurilor pachetelor întâmpină anumite dificultăți asociate cu acțiunea dinamică a blocurilor laterale și centrale. În cazul simetriei aspectului vehiculului de lansare, interacțiunea complexă, spațială a blocurilor dintr-un design de pachet poate fi împărțită într-un număr finit de tipuri de vibrații, dintre care unul este vibrațiile longitudinale ale blocurilor centrale și laterale. Modelul matematic al vibrațiilor longitudinale design similar sub forma unui pachet de tije cu pereți subțiri este luată în considerare în detaliu în lucrare. Orez. 1. Schema centralei
vibratii semnificative ale unui pachet de tije, completand studiul realizat de A.A. jalnic.
Formularea problemei. Luați în considerare alte vibrații longitudinale ale unui pachet de tije, format dintr-o tijă centrală de lungime l0 și N tije laterale de aceeași lungime j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, fixate la punctul A (xA = l) (Fig. 1) cu elemente arc centrale de rigiditate k.
Să introducem un cadru de referință fix OX și să presupunem că rigiditatea tijelor EFj (x), masa distribuită mj (x) și perturbația q (x,t) sunt funcții limitate coordonatele x:
0 0 < mj < mj (x) < Mj; (1) 0 Fie deplasările Uj (x, t) să apară în secțiunile transversale ale tijelor cu coordonata x, care sunt determinate de ecuații mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2) condiţii la limită pentru absenţa forţelor normale la capetele tijelor 3 \u003d 0, x \u003d 0, ^ \u003d 1, 2, 0, x = 0, x = l0; condiții de egalitate a forțelor normale care apar în tije, EF-3 = F x = l forțele elastice ale elementelor elastice FпPJ = k (u (ha) - u (¡,)); (4) EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa; condiţia de egalitate a deplasărilor în punctul xa al tijei centrale W (ha-o) \u003d W (ha + o) și condițiile inițiale W y (x, 0) - W (x); , _ u(x, 0) = u(x), unde u(x, 0) = „q^1(x, 0). Legea echilibrului energetic total. Înmulțim ecuația (2) cu u(x, t), integrăm pe lungimea fiecărei tije și adunăm rezultatele utilizând condițiile la limită (3) și condiția de potrivire (4). Drept urmare, obținem (( 1 ^ [ (diL 2 tz (x) „BT” (x + dt | 2 ^ J 3 w V dt N x „ h 2 .. N „ i. 1 ⩽ Г „„ , f dn3\ , 1 ⩽ Гj 1 N /* i dpl 2 1 N fl j EF3 dx +2^Yo N (x - -)(nu - Uj)2 dx = / ^ (x, t) ux y (x, t) (x, (6) unde 8(x - y) este funcția delta Dirac. În ecuația (6), primul termen dintre paranteze este energia cinetică T (¿) a sistemului, al doilea este energia potențială Pr (£) datorată deformării tijelor, iar al treilea este energia potențială Pk (£) a elementelor elastice, care în prezența deformațiilor elastice tije pot fi scrise ca Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Ey. Ecuația (6) arată că modificarea energiei totale pe unitatea de timp a sistemului mecanic considerat este egală cu puterea influenta externa. În absența unei perturbații externe q (x,t), obținem legea de conservare a energiei totale: T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0). Setarea operatorului. Legea echilibrului energetic arată că pentru orice moment t funcțiile Uj (x, t) pot fi considerate elemente ale spațiului Hilbert L2j(; m3 (x)), definite pe lungimea ¡i prin produsul scalar (us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0 si regulamentul relevant. Să introducem spațiul Hilbert H, care este egal cu suma ortogonală L2j, H = L20 Φ L21 Φ... Φ L2N, funcția vectorială U = (uo, Ui,..., uN)m și operatorul A acţionând în spaţiul H conform relaţiei AU = diag(A00U0, A11U1, ..., Annun). mj(x)dx\jdx" operatori definiţi pe setați B (A33) CH de funcții care îndeplinesc condițiile (3) și (4). Problema inițială (1)-(5) împreună cu condițiile inițiale pot fi scrise ca Au = f(*), u(0) = u0, 17(0) = u1, (7) unde f (*) = (la (*) ,51 (*),..., Yam (¿)) adică Lema. 1. Dacă primele două condiții (1) sunt îndeplinite, atunci operatorul A din problema evoluției (7) este un operator nemărginit, autoadjunct, pozitiv-definit în spațiul H (Au, K)n = (u, AK)n, (Au, u)n > c2 (u, u)n. 2. Operatorul A generează un spațiu energetic HA cu o normă egală cu de două ori valoarea energiei potențiale de oscilații a pachetului de tije. 3 \ ^ I h)2 = 2n > 0. (8) IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0. < Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно: (AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+ +£ jm(x) (- jx) | (ef-(x) dndxa))v-(x) dx=... = EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x) J E Fo (x) uo (x) vo (x) dx - E Fo (x) uo (x) ?o (x) + ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x) J E Fo (x) uo (x) v" (x) dx - E Fo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0 EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) + J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100 + £ / EF.,- (x) u- (x) r?- (x) dx+ o O(xa)- £ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10 + £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 - + £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H (AU, U)H \u003d ... \u003d I EF0 (x) u "2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) J EF0 (x) u "0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) + ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x) "J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx Y^k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) = EF0 (x) u "2 (x) dx + / EF0 (x) u" 0 (x) dx + S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H Din rezultatele de mai sus rezultă că norma energetică a operatorului A se exprimă prin formula (8). Rezolvarea problemei evolutive. Formulăm următoarea teoremă. Teorema 1. Fie condițiile U0 £ D (A1/2) , U0 £ H, f (t) £ C (; H), atunci problema (7) are o soluție slabă unică U (t) pe segmentul definit de formulă U (t) = U0 cos (tA1/2) + U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds. 5 în absența unei perturbații externe f (£), legea conservării energiei este îndeplinită 1 II A 1/2UИ2 = 1 1 II A1/2U 0|H. < Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости . Vibrații naturale ale unui pachet de tije. Să presupunem că câmpul de forțe exterioare nu acționează asupra sistemului de tije: f (t) = 0. În acest caz, mișcarea tijelor va fi numită liberă. Mișcările libere ale tijelor, care depind de timpul t conform legii exp (iwt), vor fi numite auto-oscilații. Luând în ecuația (7) U (x, t) = U (x) eiWU, obținem problema spectrală pentru operatorul A: AU - AEU \u003d 0, L \u003d w2. (nouă) Proprietățile operatorului A ne permit să formulăm o teoremă asupra spectrului și proprietăților funcțiilor proprii. Teorema 2. Problema spectrală (9) privind oscilațiile naturale ale unui pachet de tije are un spectru pozitiv discret 0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то și un sistem de funcții proprii (Uk (x))^=0, complet și ortogonal în spațiile H și HA, în timp ce următoarele formule ortogonalitate: (Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0 (Uk= £/U^) d*+ K ("feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i Investigarea problemei spectrale în cazul unui pachet omogen de tije. Reprezentând funcția de deplasare m-(x, t) sub forma m-(x, t) = m-(x), după separarea variabilelor, obținem probleme spectrale pentru fiecare tijă: ^0u + LM = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10) pe care o scriem sub formă de matrice 4 £ + Li = 0, A = -,-,-,...,- \ t0 t1 t2 t« u = (u0, u1, u2,..., u') adică. Rezolvarea si analiza rezultatelor obtinute. Să desemnăm funcțiile de deplasare pentru tija centrală în secțiune ca u01 și în secțiune ca u02 (g). În acest caz, pentru funcția u02, mutăm originea coordonatelor în punctul cu coordonata /. Pentru fiecare tijă, reprezentăm soluția ecuației (10) sub forma Pentru a găsi constantele necunoscute din (11), folosim condițiile la limită formulate mai sus. Din condiții la limită omogene se pot determina unele constante și anume: C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0. Ca urmare, rămâne de găsit N + 3 constante: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Pentru a face acest lucru, rezolvăm N + 3 ecuații pentru N + 3 necunoscute. Scriem sistemul rezultat sub formă de matrice: (A) (C) = (0) . Aici (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)m este vectorul necunoscutelor; (A) - matricea caracteristică, cos (L1) EF0 L sin (L1) + L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000 0 și 00 00 0 000Y a \u003d k coe ^ ^A-L^; c \u003d -k co8 ((.40-01L) 1 / 2 ^; 7 \u003d (A4 "-1 l) 1/2 ap ((A" 1l) 1/2 + la bufnițe ((A "1l) 1/2; (~ \ 1/2 ~ A = ^ A] ; A-- : 3 = 0. Pentru a găsi o soluție netrivială, luăm ca variabilă constanta C01 € M. Avem două opțiuni: C01 = 0; C01 = 0. Fie С01 = 0, apoi С03 = С04 = 0. În acest caz, o soluție netrivială poate fi obținută dacă 7 = 0 din (12) în condiția suplimentară £ c-1 = 0, (13) care poate fi obținută din a treia ecuație a sistemului (12). Ca rezultat, obținem o ecuație simplă a frecvenței EP (A „1 L) 1/2 w ((A” 1 ^ 1/2 P + zz y \ V zz K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G , coincide cu ecuația de frecvență pentru o tijă fixată elastic la un capăt, care poate fi considerată ca fiind primul sistem parțial. În acest caz, toate combinațiile posibile de mișcări ale tijelor laterale care îndeplinesc condiția (13) pot fi împărțite condiționat în grupuri corespunzătoare diferitelor combinații de faze (în cazul în cauză, faza este determinată de semnul S.d). Dacă luăm tijele laterale identice, atunci avem două opțiuni: 1) Cd \u003d 0, atunci numărul de astfel de combinații n pentru N diferit poate fi calculat prin formula n \u003d N 2, unde este funcția de divizare fără rest; 2) oricare (sau oricare) dintre constantele C- este egală cu 0, apoi numărul de combinații posibile crește și poate fi determinat prin formula £ [(N - m) div 2]. Fie Coi = 0, atunci Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = C01 (-v/t), unde c și y sunt complecși în (12). Din sistemul (12) mai avem: C03 = C01 cos (L/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), i.e. toate constantele sunt exprimate prin C01. Ecuația frecvenței ia forma EFo U-o1 L tg A-1 L) "(lo - l)) - K2 cos | ía!-,1 L Ca exemplu, luați în considerare un sistem cu patru tije laterale. Pe lângă metoda descrisă mai sus, pentru acest exemplu, puteți scrie ecuația de frecvență pentru întregul sistem, calculând determinantul matricei A și echivalând-o cu zero. Vă prezentăm forma Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoL+ L cos (L (/ o - /)) (EFoL sin (L /) + 4v)) - 4avt3L cos (L(/0 - /)) = 0. Grafice ale ecuațiilor de frecvență transcendentale pentru cazurile considerate mai sus sunt prezentate în fig. 2. Au fost luate ca date inițiale următoarele date: EF = 2109 N; EF0 = 2,2 109 N; k = 7 107 N/m; m = 5900 kg/m; mo = 6000 kg/m; /=23; /o = 33 m. Valorile primelor trei frecvențe de oscilație ale schemei luate în considerare sunt prezentate mai jos: n.......................................... și, rad/s...................... 1 2 3 20,08 31,53 63,50 Orez. 2. Grafice ale ecuațiilor de frecvență transcendentale pentru Coi = 0 (i) și Coi = 0 (2) Să prezentăm modurile de vibrație corespunzătoare soluțiilor obținute (în cazul general, modurile de vibrație nu sunt normalizate). Formele de undă corespunzătoare primei, a doua, a treia, a patra, a 13-a și a 14-a frecvențe sunt prezentate în fig. 3. La prima frecventa de oscilatie tijele laterale oscileaza cu aceeasi forma, dar in perechi in antifaza Fig.3. Moduri de vibrație ale tijelor laterale (1) și centrale (2) corespunzătoare primei V = 3,20 Hz (a), a doua V = 5,02 Hz (b), a treia V = 10,11 Hz (c), a patra V = 13,60 Hz (d), al 13-lea V = 45,90 Hz (d) și al 14-lea V = 50,88 Hz (e) frecvențe (Fig. 3, a), la a doua - tija centrală oscilează, iar cele laterale oscilează în aceeași formă în fază (Fig. 3, b). Trebuie remarcat faptul că prima și a doua frecvență de oscilație ale sistemului de tije considerat corespund oscilațiilor unui sistem format din corpuri solide. Când sistemul oscilează cu a treia frecvență naturală, apar pentru prima dată nodurile (Fig. 3c). A treia și frecvențele ulterioare (Fig. 3d) corespund oscilațiilor deja elastice ale sistemului. Odată cu o creștere a frecvenței oscilațiilor asociată cu o scădere a influenței elementelor elastice, frecvențele și formele de oscilații tind să fie parțiale (Fig. 3, e, f). Curbele de funcții, ale căror puncte de intersecție cu axa absciselor sunt soluții de ecuații transcendentale, sunt prezentate în fig. 4. Conform figurii, frecvențele naturale de oscilație ale sistemului sunt situate în apropierea frecvențelor parțiale. După cum sa menționat mai sus, pe măsură ce frecvența crește, convergența frecvențelor naturale cu cele parțiale crește. Ca urmare, frecvențele la care oscilează întregul sistem sunt împărțite condiționat în două grupe: cele apropiate de frecvențele parțiale ale tijei laterale și frecvențele apropiate de frecvențele parțiale ale tijei centrale. Concluzii. Se ia în considerare problema vibrațiilor longitudinale ale unui pachet de tije. Proprietățile livrate problema valorii la limităși spectrul acestuia valori proprii. O soluție a problemei spectrale pt număr arbitrar bare laterale uniforme. Pentru un exemplu numeric, se găsesc valorile primelor frecvențe de oscilație și se construiesc formele corespunzătoare. Au fost de asemenea relevate unele proprietăți caracteristice ale modurilor de vibrații construite. Orez. 4. Curbele de funcții ale căror puncte de intersecție cu axa absciselor sunt soluții de ecuații transcendentale, pentru Cox = 0 (1), Cox = 0 (2) coincid cu primul sistem parțial (tijă laterală fixată pe elementul elastic). în punctul x = I) și a celui de-al doilea sistem parțial (5) (tijă centrală fixată pe patru elemente elastice în punctul A) LITERATURĂ 1. Kolesnikov K.S. Dinamica rachetei. M.: Mashinostroenie, 2003. 520 p. 2. Rachete balistice și vehicule de lansare / O.M. Alifanov, A.N. Andreev, V.N. Gushchin și colab., M.: Drofa, 2004. 511 p. 3. Rabinovici B.I. Introducere în dinamica rachetelor de transport nave spațiale. M.: Mashinostroenie, 1974. 396 p. 4. Studiu de parametri privind stabilitatea POGO a rachetelor lichide / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011 Vol. 48. Este. 3. P. 537-541. 5. Balakirev Yu.G. Metode de analiză a oscilațiilor longitudinale ale rachetelor purtătoare cu motor lichid // Cosmonautică și Inginerie Rachete. 1995. Nr 5. S. 50-58. 6. Balakirev Yu.G. Particularități model matematic rachetă ambalată cu combustibil lichid ca obiect de control // Probleme alese ale rezistenței ingineriei mecanice moderne. 2008. S. 43-55. 7. Dokuchaev L.V. Îmbunătățirea metodelor de studiere a dinamicii unui vehicul de lansare cu design de pachet, ținând cont de simetria acestora // Cosmonautică și Inginerie Rachete. 2005. Nr 2. S. 112-121. 8. Pozhalostin A.A. Dezvoltarea metodelor analitice aproximative pentru calcularea vibrațiilor naturale și forțate ale carcasei elastice cu fluid: Cand. ... Dr. tech. Științe. M., 2005. 220 p. 9. Kerin S.G. Liniar ecuatii diferentialeîn spaţiile Banach. M.: Nauka, 1967. 464 p. 10. Kopachevsky I.D. Metode operator de fizică matematică. Simferopol: OOO „Forma”, 2008. 140 p. Kolesnikov K.S. Rachetă Dinamika. Moscova, Publ. Mashinostroenie, 2003. 520 p. Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., eds. Ballisticheskie rakety și rakety-nositeli. Moscova, Drofa Publ., 2003. 511 p. Rabinovici B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh aparatov. Moscova, Publ. Mashinostroenie, 1974. 396 p. Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Studiul parametrilor privind stabilitatea POGO a rachetei cu combustibil lichid. J. Spacecraft and Rockets, 2011, vol. 48, iss. 3, pp. 537-541. Balakirev Yu.G. Metode de analiză a vibrațiilor longitudinale ale vehiculelor de lansare cu motor cu propulsie lichidă. Kosm. i rockettostr. , 1995, nr. 5, pp. 50-58 (în rus.). Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob "ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya" . Moscova, Fizmatlit Publ., 2008. 204 p. (4355) . Dokuchaev L.V. Îmbunătățirea metodelor de studiere a dinamicii vehiculelor de lansare grupate având în vedere simetria acestora. Kosm. i rockettostr. , 2005, nr. 2, pp. 112-121 (în rus.). Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost "yu. Diss. doct. tekhn. nauk . Kreyn S.G. Lineynye differentsial "nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh. Moscova, Nauka Publ., 1967. 464 p. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 p. Articolul a fost primit de redactori pe 28 aprilie 2014 Pavlov Arseniy Mikhailovici - student al departamentului „Vehicule spațiale și vehicule de lansare” a Universității Tehnice de Stat din Moscova. N.E. Bauman. Specializată în domeniul rachetelor și tehnologiei spațiale. MSTU im. N.E. Baumash, Federația Rusă, 105005, Moscova, str. Baumanskaya 2, 5. Pavlov A.M. - student la departamentul „Vehicule spațiale și vehicule de lansare” al Universității Tehnice de Stat Bauman din Moscova. Specialist în domeniul tehnologiei rachete și spațiale. Universitatea Tehnică de Stat Bauman din Moscova, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscova, 105005 Federația Rusă. Temnov Alexandru Nikolaevici - Ph.D. Fiz.-Matematică. Sci., profesor asociat, Departamentul de nave spațiale și vehicule de lansare, Universitatea Tehnică de Stat din Moscova. N.E. Bauman. Autor a peste 20 lucrări științificeîn domeniul mecanicii fluidelor și gazelor și al tehnologiei rachetelor și spațiale. MSTU im. N.E. Baumash, Federația Rusă, 105005, Moscova, str. Baumanskaya 2, 5. Temnov A.N. - Cand. sci. (Fiz.-Mat.), conf. profesor la departamentul „Venile spațiale și vehicule de lansare” al Universității Tehnice de Stat Bauman din Moscova. Autor a peste 20 de publicații în domeniul mecanicii fluidelor și gazelor și al tehnologiei rachetelor și spațiale. Universitatea Tehnică de Stat Bauman din Moscova, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscova, 105005 Federația Rusă.