Se consideră grupul multiplicativ al tuturor puterilor întregi a două (2Z, ), unde 2Z= (2 n | P e Z). Analogul de limbaj aditiv al acestui grup este grupul aditiv al numerelor întregi pare (2Z, +), 2Z = (2n | p e Z). Să dăm definiție generală grupuri, dintre care aceste grupuri sunt exemple particulare.
Definiția 1.8. Grup multiplicativ (G,) (grupul aditiv (G, +)) se numește ciclic, dacă este format din toate puterile întregi (respectiv, toți multiplii întregi) ale unui element a e G, acestea. G=(a p | p e Z) (respectiv, G - (pa | p e Z)). Denumirea: (a), citește: grupul ciclic generat de elementul a.
Luați în considerare exemple.
- 1. Un exemplu de grup ciclic infinit multiplicativ este grupul tuturor puterilor întregi ale unui număr întreg fix un F±1, se notează iar dl.În acest fel, și d - (a).
- 2. Un exemplu de grup ciclic finit multiplicativ este grupul Cn de rădăcini gradul al n-lea dintr-o unitate. Amintiți-vă că rădăcinile a n-a ale unității sunt
conform formulei e k= cos---hisin^-, unde k = 0, 1, ..., P - 1. Urmăriți- p p
Important, С „ \u003d (e x) \u003d (e x \u003d 1, e x, ef \u003d e 2, ..., e "-1 \u003d? „_ x). Amintiți-vă că numere complexe e k, k = 1, ..., P - 1, reprezentată de punctele de pe cercul unitar care îl împart în P părti egale.
- 3. Un exemplu caracteristic de grup aditiv ciclic infinit este grupul aditiv al numerelor întregi Z, este generat de numărul 1, adică. Z = (1). Geometric, este reprezentat ca puncte întregi ale unei linii numerice. În esență, grupul multiplicativ este reprezentat în același mod 2 7 - = (2), în general a z \u003d (a), unde este un număr întreg un F±1 (vezi fig. 1.3). Această asemănare a imaginilor va fi discutată în Secțiunea 1.6.
- 4. Să alegem în mod arbitrar grup multiplicativ G vreun element dar. Atunci toate puterile întregi ale acestui element formează un subgrup ciclic (a) = (a p p e Z)G.
- 5. Să demonstrăm că grupul aditiv al numerelor raționale Q nu este el însuși ciclic, dar oricare dintre elementele sale se află într-un subgrup ciclic.
A. Să demonstrăm că grupul aditiv Q nu este ciclic. Presupunem contrariul: fie Q = (-). Există un număr întreg b,
nedivizând T. Deoarece - eQ = (-) = sn-|neZ>, atunci există
b t/ ( t J
există un întreg rc 0 astfel încât - = n 0 -. Dar apoi m = n 0 kb,
Unde t:b- a ajuns la o contradicție.
B. Să demonstrăm că două arbitrare numere rationale -
din „ /1
și - aparțin subgrupului ciclic (-), unde T este un d t/
multiplu comun mai mic al numerelor bȘi d.Într-adevăr, să t-bu
, și ai 1 /1 din cv 1/1
și m = av, u, v e Z, atunci - = - = ai-e(-)u - = - = cv-e(-).
b dar t/ a dv t t/
Teorema 1.3. Ordinea unui grup ciclic este egală cu ordinea elementului generator al acestui grup, i.e.|(a)| = |a|.
Dovada. 1. Fie |a| = ">. Să demonstrăm că totul grade naturale element dar diferit. Presupune contrariul: lasa a k = a tși de la 0 la Apoi T - la - numar naturalȘi a t ~ k = e. Dar acest lucru contrazice faptul că | | a =°°. Astfel, toate puterile naturale ale unui element dar sunt diferite, de unde rezultă că grupul (a) este infinit. Prin urmare, | (a)| = °° = |a |.
2. Fie | a | = n. Să demonstrăm că (a) \u003d (e - a 0, a, a 2,..., a "-1). Includerea (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) c (a) rezultă din definiția unui grup ciclic. Să demonstrăm includerea inversă. Un element arbitrar al unui grup ciclic (dar) are forma un t, Unde acestea Z. Împărțiți rachiul la restul: m-nq + r, unde 0 p. Din moment ce a n = e, apoi un t = a p i + g \u003d a p h? a r = a r e(a 0, a, a 2,..., a "- 1). Prin urmare (a) c (a 0, a, a 2, ..., Astfel, (a) \u003d (a 0, a, a 2, ..., a" -unu ).
Rămâne de demonstrat că toate elementele mulţimii (a 0 , a, a 2,..., a” -1 ) sunt diferite. Presupunem contrariul: fie 0 i P, dar un" = dar). Apoi el - e iar 0 j - i - a ajuns la o contradicție cu condiția | a | = P. Teorema a fost demonstrată.
Cosets, teorema lui Lagrange
Lasa H subgrup de grup G. Setul din stânga al elementului A pe subgrup H numită un set de elemente Ah, Unde h aparține H. Se notează setul din stânga Ah. În mod similar, este introdusă setul drept al elementului A pe subgrup H, care înseamnă Ha.
Deoarece un subgrup are întotdeauna un element neutru, fiecare element A cuprinse într-o clasă alăturată Ah (Ha).
Proprietatea 2.7. Elemente AȘi b aparțin aceleiași clase din stânga după subgrup H dacă și numai dacă
Dovada. Daca atunci b=Ah, prin urmare, b aparține clasei din stânga Ah. În schimb, fie , atunci există că , și .
Teorema 2.2. Dacă la stânga (dreapta) seturi de elemente AȘi b de subgrupul H au un element comun, atunci coincid.
Dovada. Lasa . Apoi va exista. Element arbitrar din clasa adiacentă din stânga Ah cuprinse în setul din stânga bH.Într-adevăr, pentru , și, prin urmare, . Includerea este dovedită în mod similar. Astfel se demonstrează teorema.
Corolarul 2.1. Seturile din stânga fie nu se intersectează, fie coincid.
Dovada evident.
Corolarul 2.2. Setul din stânga (dreapta) este echicardinal cu H.
Dovada. Stabiliți o corespondență între elementele subgrupului Hși elemente ale clasei adiacente Ah conform formulei . Corespondența este unu-la-unu. Astfel afirmația este dovedită.
Teorema 2.3 (Lagrange). Ordinea unui grup finit este divizibil cu ordinea subgrupului său.
Dovada. Lasa G- grup de comandă n, dar H- subgrup G Ordin k.Egalitatea este valabilă. Să eliminăm termenii care se repetă din partea dreaptă a egalității. Ca urmare, clasele adiacente care nu se intersectează vor rămâne. Deoarece numărul de elemente din clasa adiacentă este , atunci , unde m numărul de clase distincte. Aceasta stabilește egalitatea n=mk, care este ceea ce s-a cerut.
Numărul de clase distincte se numește indice de subgrup Hîntr-un grup G.
Un set de elemente dintr-un grup G se numește generator dacă G se obține prin închiderea acestei mulțimi în cadrul unei operații de grup.
Un grup generat de un element se numește ciclic.
Corolarul 2.3. Orice grup conține un subgrup ciclic.
Dovada. Lasa A-element de grup G. Mulțimea este un subgrup ciclic.
Ordinea unui subgrup ciclic generat de un element A, se numește ordinea elementului.
Proprietatea 2.8. Dacă elementul A are ordine n, apoi un n=e.
Dovada. Să luăm în considerare o secvență. Deoarece numărul de termeni din șir este infinit și pentru puterile unui element A există un număr finit de posibilități, atunci aceiași termeni vor apărea în succesiune. Lasă unde k<jȘi k primul termen care se repetă. Apoi , și de aici membrul k-j+ 1 se repetă. Prin urmare, j=1 (în caz contrar). Astfel, succesiunea constă din seturi repetate ale formei și în ea k- 1 articole diferite. Prin urmare, k=n+1. De atunci .
Ordinea oricărui element este un divizor al ordinii grupului, deci A | G | =e pentru orice element al grupului.
Corolarul 2.4. Ordinea grupului este divizibilă egal cu ordinea oricărui element al grupului.
Dovada evident.
Teorema 2.4 (pe grupuri ciclice)
I. Pentru orice firesc n există un grup de ordine ciclică n.
II. Grupurile ciclice de același ordin sunt izomorfe între ele.
III. Grupul ciclic de ordin infinit este izomorf cu grupul de numere întregi.
IV. Orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic.
V. Pentru fiecare divizor m numerele n(și numai pentru ei) în grupul ciclic n Ordinul există un subgrup unic de ordine m.
Dovada. Set de rădăcini complexe ale gradului n de la 1 în raport cu operația de înmulțire formează un grup ciclic de ordin n. Astfel, prima afirmație este dovedită.
Fie grupul ciclic G Ordin n generate de element A, și grupul ciclic H, de aceeași ordine, este generat de element b. Corespondența este unu-la-unu și păstrează operațiunea. A doua afirmație este dovedită
Grup ciclic de ordine infinită generat de un element A, este format din elemente. Corespondența este unu-la-unu și păstrează operațiunea. Astfel, a treia afirmație este dovedită.
Lasa H este un subgrup al unui grup ciclic G generate de element A. Elemente H sunt grad A. Să alegem înăuntru H A. Să fie acesta un element. Să arătăm că acest element este generator în subgrup H. Luați un element arbitrar din H. Lucrarea este cuprinsă în H pentru orice r. Să alegem r egal cu câtul de diviziune k pe j, apoi k-rj există un rest după împărțire k pe j si deci mai putin j. Pentru că în H fără elemente care sunt puteri diferite de zero A, mai puțin decât j, apoi k-rj= 0 și . A patra afirmație este dovedită.
Fie grupul ciclic G Ordin n generate de element A. Subgrupul generat de element are ordinea m. Luați în considerare subgrupul H Ordin m. Să alegem înăuntru H element care este cea mai mică putere diferită de zero în valoare absolută A. Să fie acesta un element. Să arătăm asta j=n/m. Articolul aparține H. Prin urmare, un număr diferit de zero al formularului rj-nv nu mai puțin decât în valoare absolută j, ceea ce este posibil doar dacă n impartit de j fără urmă. Subgrupul generat de are ordinea n/j=m, Prin urmare, j=n/m. Deoarece elementul generator al unui subgrup este determinat în mod unic de ordinea sa, a cincea afirmație este dovedită.
se numește subgrup subgrup ciclic. Termen exponentiare aici înseamnă aplicare multiplă la elementul operației de grup:Mulțimea rezultată în urma acestui proces este notă în text ca . De asemenea, rețineți că a 0 = e .
Exemplul 5.7
Din grupa G =< Z 6 , +>pot fi obţinute patru subgrupe ciclice. Acest H1 =<{0},+>, H2 =<{0, 2, 4}, +>, H3 =<{0, 3}, +> și H4=G. Rețineți că atunci când operația este adunarea, atunci a n înseamnă înmulțirea lui n cu a . Rețineți, de asemenea, că în toate aceste grupuri operația este adiție modulo 6. Următoarele arată cum găsim elementele acestor subgrupuri ciclice.
A. Subgrupul ciclic generat din 0 este H 1 și are un singur element (elementul neutru).
b. Subgrupul ciclic generat din 1 este H4, care este grupul G însuși.
1 0 mod 6 = 0 1 1 mod 6 = 1 1 2 mod 6 = (1 + 1) mod 6 = 2 1 3 mod 6 = (1 + 1 + 1) mod 6 = 3 1 4 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 4 1 5 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 5 (oprire, apoi procesul se repetă)
în. Subgrupul ciclic generat din 2 este H 2 , care are trei elemente: 0 , 2 și 4 .
2 0 mod 6 = 0 2 1 mod 6 = 2 2 2 mod 6 = (2 + 2) mod 6 = 4 (oprire, apoi procesul se repetă)
d. Subgrupul ciclic generat din 3 este H 3 , care are două elemente: 0 şi 3 .
e. Subgrup ciclic generat din 4,-H2; acesta nu este un subgrup nou.
4 0 mod 6 = 0 4 1 mod 6 = 4 4 2 mod 6 = (4 + 4) mod 6 = 2 (oprire, apoi procesul se repetă)
e. Subgrupul ciclic generat din 5 este H4, care este grupul G însuși.
5 0 mod 6 = 0 5 1 mod 6 = 5 5 2 mod 6 = 4 5 3 mod 6 = 3 5 4 mod 6 = 2 5 5 mod 6 = 1 (oprire, repeta proces)
Exemplul 5.8
Din grup pot fi obținute trei subgrupe ciclice. G are doar patru elemente: 1, 3, 7 și 9. Subgrupuri ciclice - 
Și . Următoarele arată cum găsim elementele acestor subgrupuri.
A. Subgrupul ciclic generat din 1 este H1. Subgrupul are un singur element, și anume cel neutru.
b. Subgrupul ciclic generat din 3 este H3, care este grupul G.
3 0 mod 10 = 1 3 1 mod 10 = 3 3 2 mod 10 = 9 3 3 mod 10 = 7 (oprire, apoi procesul se repetă)
în. Subgrupul ciclic generat din 7 este H3, care este grupul G.
7 0 mod 10 = 1 7 1 mod 10 = 7 7 2 mod 10 = 9 7 3 mod 10 = 3 (oprire, apoi procesul se repetă)
d. Subgrupul ciclic generat din 9 este H2. Subgrupul are doar două elemente.
9 0 mod 10 = 1 9 1 mod 10 = 9 (oprire, apoi procesul se repetă)
Grupuri ciclice
Grup ciclic este un grup care este un subgrup propriu ciclic al . În Exemplul 5.7, grupul G are o subgrupă ciclică H5 = G. Aceasta înseamnă că grupul G este un grup ciclic. În acest caz, elementul care generează subgrupul ciclic poate genera și grupul însuși. Acest element este denumit în continuare „generator”. Dacă g este un generator, elementele dintr-un grup ciclic finit pot fi scrise ca
(e,g,g 2 ,….., g n-1 ) , unde g n = e .
Rețineți că un grup ciclic poate avea mulți generatori.
Exemplul 5.9
dar. Grupa G =
b. Grupul este un grup ciclic cu doi generatori, g = 3 și g = 7 .
teorema lui Lagrange
teorema lui Lagrange arată relația dintre ordinea unui grup și ordinea subgrupului său. Să presupunem că G este un grup și H este un subgrup al lui G. Dacă ordinea lui G și H este |G| și |H| , respectiv, atunci conform acestei teoreme |H| împarte |G| . În Exemplul 5.7 |G| = 6 . Ordinea subgrupului - |H1| = 1, | H2| = 3, |H3| = 2 și |H4| = 6 . Evident, toate aceste ordine sunt divizori ai lui 6.
Teorema lui Lagrange are o aplicație foarte interesantă. Când un grup G și ordinea sa |G| , ordinele subgrupurilor potențiale pot fi ușor determinate dacă se pot găsi divizori. De exemplu, ordinea grupului G =
Ordinea elementelor
Ordinea elementelorîntr-un grup ord(a) (ordin(a)) este cel mai mic număr întreg n astfel încât a n = e . Cu alte cuvinte: ordinea unui element este ordinea grupului pe care îl generează.
Exemplul 5.10
A. În grupul G =
b. În grupul G =
Un grup O se numește ciclic dacă toate elementele sale sunt puteri ale aceluiași element.Acest element se numește generator al grupului ciclic O. Orice grup ciclic este evident abelian.
Un grup ciclic este, de exemplu, un grup de numere întregi prin adunare. Vom desemna acest grup prin simbolul 2. Generatorul său este numărul 1 (și, de asemenea, numărul - 1). Un grup ciclic este, de asemenea, un grup format dintr-un singur element (unul).
Într-un grup arbitrar O, puterile oricărui element g formează un subgrup ciclic cu generatorul g. Ordinea acestui subgrup coincide evident cu ordinea elementului g. Prin urmare, în virtutea teoremei lui Lagrange (vezi p. 32), rezultă că ordinea oricărui element al unui grup împarte ordinea grupului (rețineți că toate elementele unui grup finit sunt elemente de ordin finit).
Prin urmare, pentru orice element g al unui grup de ordin finit, egalitatea
Această remarcă simplă este adesea utilă.
Într-adevăr, dacă grupul O este ciclic și generatorul său, atunci ordinea elementului este . În schimb, dacă grupul O are un element de ordine, atunci printre puterile acestui element există altele diferite și, prin urmare, aceste grade epuizează întregul grup O.
Vedem, așadar, că un grup ciclic poate avea mai mulți generatori diferiți (și anume, orice element al ordinului este un generator).
O sarcină. Demonstrează că orice grup ordin primar este un grup ciclic.
O sarcină. Demonstrați că grupul ciclic de ordine are exact generatori, unde este numărul numere pozitive, mai mic și coprim cu .
Odată cu ordinea, oricărui grup finit i se poate atribui un număr - cel mai mic multiplu comun al ordinelor tuturor elementelor sale.
O sarcină. Demonstrați că pentru orice grup finit O numărul împarte ordinea grupului.
Evident, pentru un grup ciclic, numărul coincide cu ordinea. În general, invers nu este adevărat. Cu toate acestea, este valabilă următoarea afirmație, care caracterizează grupurile ciclice din clasa grupurilor abeliene finite:
un grup abelian finit O pentru care numărul este egal cu ordinea sa este un grup ciclic.
Într-adevăr, să
Ordinele tuturor elementelor posibile non-unu ale unui grup abelian finit O sunt de ordin și să fie cel mai mic multiplu comun al acestora.
Să extindem numărul într-un produs al puterilor diferitelor numere prime:
Fie Întrucât un număr este, prin definiție, cel mai mic multiplu comun al numerelor (1), printre aceste numere există cel puțin un număr divizibil exact cu adică, având forma , unde b este copprim cu . Fie acest număr de ordinul elementului g. Atunci elementul are o ordine (vezi Corolarul 1) la p. 29).
Astfel, pentru oricare din grupa O există cel puțin un element de comandă.Alegând câte un astfel de element pentru fiecare, luați în considerare produsul lor. Conform afirmatiei dovedite la paginile 29-30, ordinea acestui produs este egala cu produsul comenzilor de , i.e. este egal cu numărul. Deoarece ultimul număr este egal cu , aceasta demonstrează că grupul O conține un element de ordin n. Prin urmare, acest grup este un grup ciclic.
Fie acum O un grup ciclic arbitrar cu un generator și H să fie unele dintre subgrupurile sale. Deoarece orice element al subgrupului H este un element al grupului O, acesta poate fi reprezentat ca , unde d este un număr întreg pozitiv sau negativ (în general vorbind, nu este definit în mod unic). Luați în considerare mulțimea tuturor numerelor pozitive pentru care elementul aparține subgrupului H. Deoarece această mulțime este nevidă (de ce?), există în ea cel mai mic număr Rezultă că orice element h al subgrupului H este un grad al elementului . Într-adevăr, prin definiție, există un număr d astfel încât (numărul d poate fi și negativ). Împărțiți (cu rest) numărul d la număr
Din moment ce , atunci, din cauza minimalității numărului, restul trebuie să fie egal cu zero. În acest fel, .
Aceasta demonstrează că elementul este un generator al grupului H, adică că grupul H este ciclic. Deci, orice subgrup al unui grup ciclic este un grup ciclic.
O sarcină. Demonstrați că numărul este egal cu indicele subgrupului H și, prin urmare, împarte ordinea grupului O (dacă grupul O este finit).
De asemenea, observăm că pentru orice divizor de ordin al unui grup ciclic finit Q din grupul O există unul și un singur subgrup H de ordin (și anume, un subgrup cu generator
Aceasta implică faptul că, dacă un grup ciclic finit este simplu, atunci ordinea lui este număr prim(sau unitate).
În cele din urmă, observăm că orice grup de coeficient, deci orice imagine omomorfă) a unui grup ciclic Q este un grup ciclic.
Pentru demonstrație, este suficient să rețineți că generatorul grupului este setul care conține generatorul grupului O.
În special, orice grup de factori ai grupului de numere întregi Z este un grup ciclic. Să studiem aceste grupuri ciclice mai detaliat.
Deoarece grupul Z este abelian, oricare dintre subgrupurile sale R este un divizor normal. Pe de altă parte, conform celor demonstrate mai sus, subgrupul H este un grup ciclic. Deoarece grupurile de coeficient pe subgrupuri triviale ne sunt cunoscute, putem considera subgrupul Η ca fiind nebanal. Fie un număr un generator al subgrupului H. Putem considera acest număr pozitiv (de ce?) și, prin urmare, mai mare decât unu.
Subgrupul H. constă în mod evident din toate numerele întregi divizibile cu . Prin urmare, două numere aparțin aceleiași clase în raport cu subgrupul H dacă și numai dacă diferența lor este divizibilă cu , adică atunci când sunt comparabile ca modul (vezi Curs, p. 277). Astfel, clasele cu privire la subgrupul H nu sunt altceva decât clase de numere care sunt comparabile modulo .
Cu alte cuvinte, grupul de factori al grupului Z în raport cu subgrupul H este un grup (prin adăugare) de clase de numere care sunt comparabile modulo . Vom desemna acest grup prin Generatorul său este clasa care conține numărul 1.
Rezultă că orice grup ciclic este izomorf fie cu grupul Z (dacă este infinit), fie cu unul dintre grupuri (dacă ordinea sa este finită).
Într-adevăr, să fie un generator al grupului O. Definim o mapare a grupului 2 în grupul O prin setarea
grupuri finite
Un grup (semigrup) este numit final dacă este format dintr-un număr finit de elemente. Numărul de elemente ale unui grup finit se numește al său pentru a. Orice subgrup al unui grup finit este finit. Si daca HÍ G– subgrup al unui grup G, apoi pentru orice element darÎ G Multe Pe={X: X=h◦A, pentru orice hÎ H) se numește clasa de adiacenta stânga pentru G relativ H. Este clar că numărul de elemente din Pe egal cu ordinea H. (În mod similar, se poate formula definiția un N– clasa corectă cu privire la H).
Este important ca pentru orice subgrup H grupuri G oricare două clase din stânga (dreapta). H fie coincid, fie nu se intersectează, deci orice grup poate fi reprezentat ca o uniune de seturi disjunse din stânga (dreapta) prin H.
Într-adevăr, dacă două clase N / AȘi Hb, Unde A, bÎ G, au un element comun X, atunci există tÎ H astfel încât X = t◦A. Și apoi clasa din stânga pentru X: H x={y: y=h◦X= h◦(t◦A) = (h◦t)◦A} Í H a, dar A=t ‑1 ◦XȘi N / A={y: y=h◦A= h◦(t ‑1 ◦X) = (h◦t ‑1)◦X} Í H x. De aici H x=N / A. În mod similar, se poate arăta asta H x=H b. Prin urmare N / A=H b. Dacă clasele N / AȘi Hb Nu Aveți elemente comune, atunci nu se intersectează.
Se numește o astfel de împărțire a unui grup în seturi din stânga (dreapta). descompunerea grupului în termenii subgrupului H.
Teorema 2.6.1. Ordinea unui grup finit este divizibil cu ordinea oricăreia dintre subgrupurile sale.
Dovada. pentru că G este un grup finit, apoi oricare dintre subgrupurile sale H are o ordine finită. Luați în considerare descompunerea unui grup în subgrupe H. În fiecare grupă din această descompunere, numărul de elemente este același și egal cu ordinea H. Prin urmare, dacă n- ordine de grup G, dar k- ordinea subgrupelor H, apoi n=m× k, Unde m este numărul de clase de Hîn descompunerea grupului G.
Dacă pentru orice element AÎ G Þ N / A=un N(cosetele din stânga și din dreapta pe subgrup H meci), atunci H numit divizor normal grupuri G.
Afirmație: dacă G este un grup comutativ, apoi oricare dintre subgrupurile sale H este un divizor normal G.
Având în vedere asociativitatea unei acțiuni într-un grup (semigrup), putem vorbi de un „produs” din trei elemente ( dar◦b◦c) =(dar◦b)◦c = dar◦(b◦c). Notiunea munca complexa din n elemente: dar 1 ◦dar 2 ◦…◦un n = ◦ un n = = ◦.
Muncă n elemente identice ale unui grup se numesc gradul elementuluiși notat un n=. Această definiție are sens pentru orice natură n. Pentru orice element de grup AÎ G desemna dar 0 =e este elementul neutru al grupului G. Și puterile negative ale unui element A ‑ n definit ca ( A ‑1)n sau ( un n) -1 , unde A-1 - element invers la dar. Ambele definiții A ‑ n meci, pentru că un n◦(A ‑1)n = (dar◦dar◦ ¼◦ dar)◦(A ‑1 ◦A-1◦ ¼◦ A ‑1) = dar◦dar◦¼◦( dar◦A ‑1)◦A-1 ◦¼◦ A ‑1 =e n =e. În acest fel, ( A ‑1)n = (un n) ‑1 .
Într-un grup de aditivi, un analog al gradului unui element un n voi n-multiplu din acesta, de obicei notat n / A, care nu trebuie luat ca produs n pe dar, în măsura în care nÎℕ și eventual nÏ G. Acea. n / A⇋ unde nнℕ și 0 dar=e⇋0 și (- n)A = ‑(n / A) = n(‑A) pentru orice natural n, Unde (- A) este inversă AÎ G.
Este ușor să arăți că sub notația aleasă pentru orice numere întregi mȘi n si pentru orice AÎ G sunt îndeplinite proprietăți binecunoscute: dar) cu notaţie multiplicativă un n ◦a m = un n + mȘi ( un n)m = un nm; b) cu notație aditivă n / A+ma = (n+m)AȘi n(ma)=(nm)A.
Luați în considerare un subset al grupului G, compus din toate puterile unui element arbitrar gÎ G. Să o notăm A g. În acest fel, A g ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g-2,¼). Evident, A g este un subgrup al grupului G, deoarece pentru orice elemente X,laÎ A g rezultă că ( X◦la)Î A g, și pentru orice element XÎ A g va fi X-1 О A g, In afara de asta, g 0 =eÎ A g.
Subgrup A g numit subgrup ciclic grupuri G generate de element g. Acest subgrup este întotdeauna comutativ, chiar dacă este el însuși G nu comutativ. Dacă grupul G coincide cu una dintre subgrupurile sale ciclice, atunci se numește grup ciclic generate de element g.
Dacă toate puterile unui element g diferit, apoi grupul G numit fără sfârşit grupul ciclic și elementul g- element ordine infinită.
Dacă printre elementele grupului ciclic sunt egale, de exemplu, g k=g m la k>m, apoi gk-m=e; si denotand k-m peste n, primim gn=e, nÎℕ.
Cel mai puţin indicator natural n astfel încât gn=e, se numește ordinea elementului g, și elementul în sine g numit element de ordin finit.
Un astfel de element poate fi întotdeauna găsit într-un grup finit, dar poate fi și într-un grup infinit.
Sunt numite grupuri ale căror elemente sunt de ordin finit periodic.
Deoarece orice element al unui grup finit are o ordine finită, toate grupurile finite sunt periodice. În plus, toate sunt periodice. subgrupuri ciclice grup finit, deoarece sunt finiți, și fiecare element de ordin finit n generează un grup ciclic de același ordin n, format din elemente ( g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-unu ). Într-adevăr, dacă numărul de elemente ar fi egal cu unele k<n, apoi g k=e=gn, ceea ce este contrar alegerii n, ca cel mai mic grad astfel încât gn=e; pe de altă parte, k>n este de asemenea imposibil, pentru că în acest caz, ar exista elemente identice.
Afirmație: 1) toate gradele g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-1 sunt diferite pentru că dacă ar fi egale, de exemplu, gi=gj (i>j), apoi g i-j=e, dar ( i‑j)<n, și prin definiție n- cel mai mic grad astfel încât gn=e.
2) Orice alt grad g, pozitiv sau negativ, este egal cu unul dintre elemente g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-1 pentru că orice număr întreg k poate fi reprezentat prin expresia: k=nq+r, Unde q,rÎℤ și 0£ r<n, r- restul si g k=gnq + r= gnq° r= (gn)q° r= e q° r= r.
1) Fiecare grup are un element unic de ordinul întâi ( e) generând un subgrup ciclic de ordinul întâi format dintr-un element e.
2) Luați în considerare grupul de permutare S 3 , format din elementele: , , , , , . Ordin S 3=6. Ordinea elementelor dar este egal cu 2, deoarece . Ordinea elementelor b este de asemenea egal cu 2, deoarece . Ordinea elementelor din este egal cu 3, deoarece Și . Ordinea elementelor f este de asemenea egal cu 3, deoarece Și . Și în sfârșit comanda d este egal cu 2, deoarece . Astfel, subgrupurile ciclice S 3 generate de elemente e, A, b, d, cȘi f, respectiv, sunt egale: ( e}, {e, A}, {e, b}, {e, d}, {e, c, f) Și ( e, f, c), unde ultimele două coincid. De asemenea, rețineți că ordinea fiecărui subgrup ciclic împarte ordinea grupului fără rest. Următoarea teoremă este adevărată.
Teorema 2.7.1. (Lagrange) Ordinea unui grup finit este divizibil cu ordinea oricăruia dintre elementele sale (deoarece ordinea unui element și ordinea subgrupului ciclic generat de acesta coincid).
De asemenea, rezultă din aceasta că orice element al unui grup finit, atunci când este ridicat la o putere de ordinul grupului, dă identitatea grupului. (Pentru că g m=gnk=e k=e, Unde m- ordine de grup n- ordinea elementelor g, k este un număr întreg).
Există 3 subgrupe în grupa S H={e, c, f) este un divizor normal, în timp ce subgrupurile de ordinul 2 nu sunt divizori normali. Acest lucru este ușor de verificat prin găsirea claselor din stânga și din dreapta H pentru fiecare element al grupului. De exemplu, pentru un element dar clasa de adiacenta stânga Pe={e ◦ a, din◦ dar, f◦ A} = {dar, b, d) și setul potrivit un N={a ◦ e, dar◦ c, dar◦ f} = {dar, d, b) Meci. La fel pentru toate celelalte elemente S 3 .
3) Mulțimea tuturor numerelor întregi cu adunare formează un grup ciclic infinit cu un element generator 1 (sau -1), deoarece orice număr întreg care este multiplu de 1.
4) Luați în considerare mulțimea rădăcinilor n- gradul de la unitate: E n=. Acest set este un grup în ceea ce privește operația de înmulțire a rădăcinilor. Într-adevăr, produsul a oricăror două elemente e kȘi e m din E n, Unde k, m £ n-1 va fi, de asemenea, un element E n, deoarece = = , unde r=(k+m)mod nȘi r £ n-unu; înmulțirea este un element asociativ, neutru e=e 0 =1 și pentru orice element e k există un invers și . Acest grup este ciclic, elementul său generator este rădăcina primitivă. Este ușor de observat că toate gradele sunt diferite: , mai departe pt k³ n rădăcinile încep să se repete. Pe planul complex, rădăcinile sunt situate pe un cerc cu raza unitară și îl împart în n arce egale, așa cum se arată în Figura 11.
Ultimele două exemple epuizează în esență toate grupurile ciclice. Deoarece următoarea teoremă este adevărată.
Teorema 2.7.2. Toate grupurile ciclice infinite sunt izomorfe între ele. Toate grupurile ciclice finite de ordine n izomorfe între ele.
Dovada. Lasa ( G, ∘) este un grup ciclic infinit cu generator g. Apoi există o mapare bijectivă f: ℤ ® G astfel încât pentru orice numere întregi kȘi m imaginile lor f(k) Și f(m), egal, respectiv g kȘi g m, sunt elemente G. Și în care f(k+m)=f(k)∘f(m), în măsura în care g k + m=g k∘ g m.
Lasă acum ( G, ∘) este un grup ciclic finit de ordin n cu element părinte g. Apoi fiecare element g kÎ G singura modalitate este de a potrivi elementul e kÎ E n(0£ k<n), conform regulii f(g k)=e k. Și totuși, pentru orice g kȘi g mÎ G urmează că f(g k∘ g m)=f(g k) ∘f(g m), în măsura în care f(g k∘ g m)=f(g k + m)=f(r), Unde r=(k+m)mod n, Și f(r)=er=e k× e m. Este clar că o astfel de comparație este o mapare bijectivă.