O linie dreaptă relativ la un cerc poate fi în următoarele trei poziții:

1. Distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mare decât raza.În acest caz, toate punctele liniei se află în afara cercului.


2. Distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mică decât raza.În acest caz, linia are puncte aflate în interiorul cercului și, deoarece linia este infinită în ambele direcții, intersectează cercul în 2 puncte.


3. Distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este egală cu raza. Linie dreaptă - tangentă.

Se numește o dreaptă care are un singur punct în comun cu un cerc tangentă la cerc.

Punctul comun este numit în acest caz punct de atingere.

Posibilitatea existenței unei tangente, și, în plus, trasată prin orice punct al cercului, ca punct de contact, este demonstrată de următoarea teoremă.

Teorema. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe o rază la capătul ei situat pe un cerc, atunci această linie este tangentă.

Fie O (orez) centrul unui cerc și OA o parte din raza acestuia. Desenați MN ^ OA prin capătul său A.

Este necesar să se demonstreze că dreapta MN este tangentă, i.e. că această dreaptă are un singur punct comun A cu cercul.

Să presupunem contrariul: să fie MN să aibă încă un punct comun cu cercul, de exemplu B.

Atunci linia OB ar fi o rază și, prin urmare, egală cu OA.

Dar acest lucru nu poate fi, deoarece dacă OA este o perpendiculară, atunci OB trebuie să fie oblic față de MN, iar oblicul este mai mare decât perpendiculara.

Teorema inversă. Dacă o dreaptă este tangentă la un cerc, atunci raza trasată la punctul tangent este perpendiculară pe acesta.

Fie MN tangenta la cerc, A punctul tangent și O centrul cercului.

Se cere să se demonstreze că OA^MN.

Presupunem contrariul, i.e. să presupunem că perpendiculara coborâtă de la O la MN nu este OA, ci o altă linie, cum ar fi OB.

Să luăm BC = AB și să desenăm OC.

Atunci OA și OS vor fi oblice, echidistante de perpendiculara OB și, în consecință, OS = OA.

De aici rezultă că cercul, ținând cont de ipoteza noastră, va avea două puncte comune cu dreapta MN: A și C, adică. MN nu va fi tangent, ci secant, ceea ce contrazice condiția.

Consecinţă. Prin orice punct dat dintr-un cerc, se poate desena o tangentă la acest cerc, și numai una, deoarece prin acest punct se poate trage o perpendiculară și, în plus, doar una, la raza trasă în el.

Teorema. O tangentă paralelă cu o coardă bisectează arcul scăzut de coardă în punctul de contact.

Lăsați linia AB (fig.) să atingă cercul în punctul M și să fie paralelă cu coarda CD.

Trebuie să demonstrăm că ÈCM = ÈMD.

Trasând diametrul ME prin punctul de contact, obținem: EM ^ AB și, prin urmare, EM ^ CB.

Prin urmare, CM=MD.

O sarcină. Desenați o tangentă la un cerc dat printr-un punct dat.

Dacă punct dat este pe un cerc, apoi este trasată o rază prin el și o linie perpendiculară prin capătul razei. Această linie va fi tangenta dorită.

Luați în considerare cazul când punctul este dat în afara cercului.

Să fie necesar (fig.) să trasăm o tangentă la un cerc cu centrul O prin punctul A.

Pentru a face acest lucru, din punctul A, ca din centru, descriem un arc cu raza AO, iar din punctul O, ca centru, intersectăm acest arc în punctele B și C cu o deschidere a compasului egală cu diametrul acestui cerc. .

După desenarea acordurilor OB și OC, conectăm punctul A cu punctele D și E, la care aceste acorduri se intersectează cu cercul dat.

Dreptele AD și AE sunt tangente la cercul O.

Într-adevăr, din construcție se poate observa că tuburile AOB și AOC sunt isoscele (AO = AB = AC) cu bazele OB și OS egale cu diametrul cercului O.

Deoarece OD și OE sunt raze, atunci D este punctul de mijloc al lui OB și E este punctul de mijloc al OS, ceea ce înseamnă că AD și AE sunt mediane trase pe bazele pistelor isoscele și, prin urmare, sunt perpendiculare pe aceste baze. Dacă liniile DA și EA sunt perpendiculare pe razele OD și OE, atunci ele sunt tangente.

Consecinţă. Două tangente trase din același punct la cerc sunt egale și formează unghiuri egale cu linia care leagă acest punct cu centrul.

Deci AD=AE și ÐOAD = ÐOAE (fig.), deoarece tuburile dreptunghiulare AOD și AOE, având o ipotenuză comună AO și catetele egale OD și OE (ca raze), sunt egale.

Rețineți că aici cuvântul „tangentă” înseamnă „segmentul tangent” efectiv de la punctul dat la punctul de tangență.

O sarcină. Desenați o tangentă la un cerc dat O paralelă cu o dreaptă AB dată (fig.).

Coborâm perpendiculara OC pe AB din centrul O și desenăm EF || AB.

Tangenta dorită va fi EF.

Într-adevăr, din moment ce OS ^ AB și EF || AB, apoi EF ^ OD, iar linia perpendiculară pe raza de la capătul ei situat pe cerc este o tangentă.

O sarcină. Desenați o tangentă comună la două cercuri O și O 1 (Fig.).

Analiză. Să presupunem că problema este rezolvată.

Fie AB tangenta comună, A și B punctele tangente.

Evident, dacă găsim unul dintre aceste puncte, de exemplu, A, atunci îl putem găsi cu ușurință și pe celălalt.

Să desenăm razele OA și O 1 B. Aceste raze, fiind perpendiculare pe tangenta comună, sunt paralele între ele.

Prin urmare, dacă din O 1 tragem O 1 С || BA, atunci calea către OCO 1 va fi dreptunghiulară la vârful C.

Ca urmare, dacă descriem din O, ca centru, un cerc cu raza OS, atunci acesta va atinge linia O 1 C în punctul C.

Raza acestui cerc auxiliar este cunoscută: este egală cu OA - SA = OA - O 1 B, adică. este egală cu diferența dintre razele cercurilor date.

Constructie. Din centrul O descriem un cerc cu raza, egal cu diferenta date de rază.

Din O 1 trasăm o tangentă O 1 C la acest cerc (în modul indicat în problema anterioară).

Prin punctul tangent C trasăm raza OS și o continuăm până când întâlnește cercul dat în punctul A. În final, din A desenăm AB paralel cu CO 1.

Exact în același mod, putem construi o altă tangentă comună A 1 B 1 (Fig.). Liniile AB și A 1 B 1 se numesc extern tangente comune.

Mai poți face două intern tangente după cum urmează:

Analiză. Să presupunem că problema este rezolvată (Fig.). Fie AB tangenta cerută.

Să desenăm razele OA și O 1 B în punctele de contact A și B. Deoarece aceste raze sunt ambele perpendiculare pe tangenta comună, sunt paralele între ele.

Prin urmare, dacă din O 1 tragem O 1 С || BA și continuați OA până la punctul C, apoi OS va fi perpendicular pe O 1 C.

Ca rezultat, cercul descris de raza OS din punctul O, ca centru, va atinge linia O 1 C în punctul C.

Raza acestui cerc auxiliar este cunoscută: este egală cu OA+AC = OA+O 1 B, adică. este egal cu suma razelor cercurilor date.

Constructie. Din O ca centru, descriem un cerc cu o rază egală cu suma acestor raze.

Din O 1 trasăm o tangentă O 1 C la acest cerc.

Conectăm punctul tangent C cu O.

În cele din urmă, prin punctul A, în care OC se intersectează cu cercul dat, desenăm AB = O 1 C.

Într-un mod similar, putem construi o altă tangentă internă A 1 B 1 .

Definiția generală a tangentei

Să fie trasate tangenta AT și o secantă AM la cercul cu centrul (Fig.) prin punctul A.

Să rotim această secantă în jurul punctului A, astfel încât celălalt punct de intersecție B să se apropie din ce în ce mai mult de A.

Atunci perpendiculara OD, coborâtă de la centru spre secantă, se va apropia din ce în ce mai mult de raza OA, iar unghiul AOD poate deveni mai mic decât orice unghi mic.

Unghiul MAT format de secanta si tangenta este egal cu unghiul AOD (datorita perpendicularitatii laturilor lor).

Prin urmare, pe măsură ce punctul B se apropie de A la nesfârșit, unghiul MAT poate deveni, de asemenea, arbitrar mic.

Aceasta este exprimată cu alte cuvinte după cum urmează:

tangenta este poziția limită la care tinde secanta trasă prin punctul de contact atunci când al doilea punct de intersecție se apropie de punctul de contact la nesfârșit.

Această proprietate este luată ca definiție a unei tangente atunci când vine vorba de orice fel de curbă.

Deci, tangenta la curba AB (Fig.) este poziția limită MT, spre care tinde secanta MN atunci când punctul de intersecție P se apropie de M nelimitat.

Rețineți că tangenta definită în acest fel poate avea mai mult de un punct comun cu curba (după cum se poate vedea în Fig.).

puncte $x\_0\backslash în\; \backslash mathbb(R)$, și este diferențiabilă în el: $f\; \backslash in\; \backslash mathcal(D)(x\_0)$. Tangenta la graficul unei functii $f$ la punct $x\_0$ se numește graficul unei funcții liniare, dat de ecuație $y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"(x\_0)(x-x\_0),\backslash quad\; x\backslash in\; \backslash mathbb(R)$.

Dacă funcţia $f$ are la punct $x\_0$ derivat infinit $f"(x\_0)\; =\; \backslash pm\backslash infty,$ atunci linia tangentă în acest punct este linia verticală dată de ecuație $x\; =\; x\_0.$

cometariu

Rezultă direct din definiție că graficul dreptei tangente trece prin punct $(x\_0,f(x\_0))$. Injecţie $\backslash alfa$între tangenta la curbă și axa x satisface ecuația

$\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0)=k,$

Unde $\backslash operatorname(tg)$ reprezintă tangentă și $\backslash operatorname\; (k)$- coeficientul pantei tangentei. Derivată la un punct $x\_0$ egală cu panta tangentei la graficul funcției $y\; =\; f(x)$ in acest punct.

Tangenta ca pozitie limitatoare a unei secante

Lasa $f\backslash colon\; U(x\_0)\; \backslash to\; \backslash R$Și $x\_1\backslash în\; U(x\_0).$ Apoi o linie dreaptă care trece prin puncte $(x\_0,f(x\_0))$Și $(x\_1,f(x\_1))$ dat de ecuaţie

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; \backslash frac(f(x\_1)\; -\; f(x\_0))(x\_1\; -\; x\_0)(x-x\_0).$

Această linie trece prin punct $(x\_0,f(x\_0))$ pentru oricine $x\_1\backslash în\; U(x\_0),$și unghiul său de înclinare $\backslash alpha(x\_1)$ satisface ecuația

$\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; \backslash frac(f(x\_1)\; -\; f(x\_0))(x\_1\; -\; x\_0).$

Datorită existenţei derivatei funcţiei $f$ la punct $x\_0,$ trecand la limita la $x\_1\backslash la\; x\_0,$înțelegem că există o limită

$\backslash lim\backslash limits\_(x\_1\; \backslash to\; x\_0)\; \backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; f"(x\_0),$

iar datorită continuităţii arc-tangentei şi unghiului limitator

$\backslash alpha\; =\; \backslash operatorname(arctg)\backslash ,f"(x\_0).$

Linie care trece printr-un punct $(x\_0,f(x\_0))$şi având un unghi limită de înclinare care satisface $\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0),$ este dat de ecuația tangentei:

$y\; \backslash u003d\; f\; (x\_0)\; +\; f\; "(x\_0)\; (x-x\_0).$

Tangenta la cerc

O dreaptă care are un punct comun cu un cerc și se află în același plan cu acesta se numește tangentă la cerc.

Proprietăți

1. Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact.
2. Segmentele tangentelor la cerc desenate dintr-un punct sunt egale și formează unghiuri egale cu linia care trece prin acest punct și centrul cercului.
3. Lungimea segmentului tangentei trasat la un cerc de rază unitară, luată între punctul de tangență și punctul de intersecție al tangentei cu raza trasă din centrul cercului, este tangentea unghiului dintre această rază. și direcția de la centrul cercului până la punctul de tangență. „Tangens” din lat. tangente- „tangentă”.

Variații și generalizări

Semi-tangente unilaterale

• Dacă există o derivată de drept apoi semitangenta dreapta la graficul funcției $f$ la punct $x\_0$ numită grindă

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_+(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash geqslant\; x\_0.$

• Dacă există o derivată stângă apoi semitangentă stângă la graficul funcției $f$ la punct $x\_0$ numită grindă

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_-(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash leqslant\; x\_0.$

• Dacă există o derivată dreaptă infinită $f"\_+(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ $f$ la punct $x\_0$ numită grindă

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash geqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\backslash leqslant\; f(x\_0)).$

• Dacă există o derivată stângă infinită $f"\_-(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ apoi semitangenta dreapta la graficul functiei $f$ la punct $x\_0$ numită grindă

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash leqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\backslash geqslant\; f(x\_0)).$

Vezi si

• Normal, binormal

Scrieți o recenzie la articolul „Linia tangentă”

Literatură

• Toponogov V. A. Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
• // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron: în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - St.Petersburg. , 1890-1907.

Un fragment care caracterizează linia tangentă

- In locuri! – strigă un tânăr ofițer către soldații adunați în jurul lui Pierre. Acest tânăr ofițer, se pare, și-a îndeplinit funcția pentru prima sau a doua oară și, prin urmare, i-a tratat atât pe soldați, cât și pe comandant cu deosebită distincție și uniformitate.
Tragerile neregulate ale tunurilor și puștilor s-au intensificat pe tot terenul, mai ales spre stânga, unde erau fulgerele lui Bagration, dar din cauza fumului de focuri din locul unde se afla Pierre, era aproape imposibil să se vadă ceva. Mai mult decât atât, observațiile despre cum, parcă, un cerc familial (separat de toate celelalte) de oameni care se aflau pe baterie, au absorbit toată atenția lui Pierre. Prima sa emoție inconștient de veselă, produsă de vederea și sunetele câmpului de luptă, a fost acum înlocuită, mai ales după vederea acestui soldat singuratic întins pe pajiște, cu un alt sentiment. Așezat acum pe panta șanțului, el urmărea fețele din jurul lui.
Până la ora zece, douăzeci de persoane fuseseră deja duse din baterie; două pistoale au fost sparte, tot mai multe obuze au lovit bateria și au zburat, bâzâind și șuierând, gloanțe cu rază lungă de acțiune. Dar oamenii care erau pe baterie nu păreau să observe acest lucru; s-au auzit conversații vesele și glume din toate părțile.
- Chinenko! - a strigat soldatul la grenada care se apropia, fluieratoare. - Nu aici! La infanterie! adăugă un altul râzând, observând că grenada a zburat peste și a lovit rândurile copertei.
- Ce prieten? – râse un alt soldat de țăranul ghemuit sub ghiulele zburătoare.
Câțiva soldați s-au adunat la metereze, privind ce se întâmpla în față.
„Și au scos lanțul, vezi, s-au întors”, au spus ei, arătând peste ax.
„Uitați-vă la afacerea voastră”, le strigă bătrânul subofițer. - S-au întors, ceea ce înseamnă că e de lucru înapoi. - Iar subofiţerul, luând de umăr pe unul dintre soldaţi, l-a împins cu genunchiul. S-au auzit râsete.
- Treci la a cincea armă! strigă dintr-o parte.
„Împreună, mai amiabil, în burlatski”, s-au auzit strigătele vesele ale celor care au schimbat pistolul.
„Da, aproape că i-am dat jos pălăria stăpânului nostru”, a râs de Pierre, arătându-și dinții. — O, neîndemânatic, adăugă el cu reproș la mingea care căzuse în roata și piciorul unui bărbat.
- Ei bine, vulpi! altul a râs de milițienii care se zvârcoliau care intrau în bateria pentru răniți.
- Al nu este terci delicios? Ah, corbi, legănat! – au strigat la miliție, care a ezitat în fața unui soldat cu piciorul tăiat.
„Așa ceva, micuțule”, mimau țăranii. - Nu le place pasiunea.
Pierre a observat cum, după fiecare lovitură, după fiecare înfrângere, o revigorare generală a izbucnit din ce în ce mai mult.
Ca dintr-un nor de tunete înaintat, din ce în ce mai des, din ce în ce mai strălucitoare fulgerau pe fețele tuturor acestor oameni (parcă în respingere față de ceea ce se întâmpla) fulgere de foc ascuns, aprins.
Pierre nu privea înainte pe câmpul de luptă și nu era interesat să știe ce se întâmplă acolo: era complet absorbit de contemplarea acestui foc, din ce în ce mai aprins, care în același fel (simțea) se aprindea în sufletul său.
La ora zece soldații infanteriei, care se aflau înaintea bateriei în tufișuri și de-a lungul râului Kamenka, s-au retras. Din baterie se vedea cum alergau înapoi pe lângă ea, purtând răniții pe arme. Un general cu alaiul său a intrat în movilă și, după ce a vorbit cu colonelul, privind furios la Pierre, a coborât din nou, ordonând capacului de infanterie, care stătea în spatele bateriei, să se întindă pentru a fi mai puțin expus la împușcături. În urma acesteia, în rândurile infanteriei, în dreapta bateriei, s-a auzit o tobă, strigăte de comandă, iar din baterie se vedea cum înaintează rândurile infanteriei.
Pierre se uită peste puț. O față în special i-a atras atenția. Era un ofițer care, cu o față palidă, tânără, mergea cu spatele, purtând o sabie coborâtă și privind neliniștit în jur.
Rândurile soldaților de infanterie au dispărut în fum, s-au auzit strigătele lor lungi și tragerile dese de arme. Câteva minute mai târziu, de acolo au trecut mulțimi de răniți și brancardieri. Obuzele au început să lovească bateria și mai des. Mai mulți oameni zăceau necurățați. Lângă tunuri, soldații se mișcau mai ocupați și mai vioi. Nimeni nu i-a mai dat atenție lui Pierre. O dată sau de două ori a fost strigat la el pentru că era pe drum. Ofițerul superior, încruntat pe față, se mișca cu pași mari și rapizi de la o armă la alta. Tânărul ofițer, înroșit și mai mult, a poruncit soldaților și mai sârguincios. Soldații au tras, s-au întors, au încărcat și și-au făcut treaba cu strălucire intensă. Au sărit pe drum, ca pe izvoare.

Să ne amintim cazurile poziție relativă linie dreaptă și cerc.

Dat un cerc cu centrul O și raza r. Linia P, distanța de la centru la linie, adică perpendiculara OM, este egală cu d.

Cazul 1- distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mică decât raza cercului:

Am demonstrat că în cazul în care distanța d este mai mică decât raza cercului r, linia și cercul au doar două puncte comune (Fig. 1).

Orez. 1. Ilustrația cazului 1

Cazul doi- distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este egală cu raza cercului:

Am demonstrat că în acest caz punctul comun este unic (Fig. 2).

Orez. 2. Ilustrația cazului 2

Cazul 3- distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mare decât raza cercului:

Am demonstrat că în acest caz cercul și dreapta nu au puncte comune (Fig. 3).

Orez. 3. Ilustrația cazului 3

În această lecție, ne interesează al doilea caz, când linia și cercul au un singur punct comun.

Definiție:

O linie care are un singur punct comun cu un cerc se numește tangentă la cerc, un punct comun se numește punct de contact între linie și cerc.

Linia dreaptă p este o tangentă, punctul A este punctul de contact (fig. 4).

Orez. 4. Tangenta

Teorema:

Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact (fig. 5).

Orez. 5. Ilustrație pentru teoremă

Dovada:

Dimpotrivă, să nu fie OA perpendicular pe dreapta p. În acest caz, să aruncăm perpendiculara de la punctul O la dreapta p, care va fi distanța de la centrul cercului la linie:

Dintr-un triunghi dreptunghic putem spune că ipotenuza OH este mai mică decât catetul OA, adică linia și cercul au două puncte comune, dreapta p este o secantă. Astfel, am obținut o contradicție, ceea ce înseamnă că teorema este demonstrată.

Orez. 6. Ilustrație pentru teoremă

Teorema inversă este de asemenea adevărată.

Teorema:

Dacă o linie dreaptă trece prin capătul unei raze situate pe un cerc și este perpendiculară pe această rază, atunci este o tangentă.

Dovada:

Deoarece linia este perpendiculară pe rază, distanța OA este distanța de la linie la centrul cercului și este egală cu raza: . Adică și în acest caz, așa cum am demonstrat anterior, linia și cercul au singurul punct comun - acesta este punctul A, deci linia p este tangentă la cerc prin definiție (Fig. 7).

Orez. 7. Ilustrație pentru teoremă

Teoremele directe și inverse pot fi combinate după cum urmează (Fig. 8):

Dat un cerc cu centrul O, dreapta p, raza OA

Orez. 8. Ilustrație pentru teoremă

Teorema:

O linie este tangentă la un cerc dacă și numai dacă raza trasată la punctul de contact este perpendiculară pe acesta.

Această teoremă înseamnă că dacă linia este tangentă, atunci raza trasată la punctul de contact este perpendiculară pe aceasta și invers, din perpendicularitatea lui OA și p rezultă că p este tangentă, adică linia și cercul. au un singur punct comun.

Luați în considerare două tangente trase din același punct la cerc.

Teorema:

Segmentele tangentelor la un cerc desenate dintr-un punct sunt egale și formează unghiuri egale cu o dreaptă trasă prin acest punct și centrul cercului.

Dat un cerc, centrul O, punctul A în afara cercului. Două tangente sunt trase din punctul A, punctele B și C sunt puncte tangente. Este necesar să se demonstreze că și că unghiurile 3 și 4 sunt egale.

Orez. 9. Ilustrație pentru teoremă

Dovada:

Dovada se bazează pe egalitatea triunghiurilor . Explicați egalitatea triunghiurilor. Sunt dreptunghiulare, deoarece raza trasată la punctul de contact este perpendiculară pe tangente. Prin urmare, unghiurile și sunt drepte și egale în . Catoanele OB și OS sunt egale, deoarece sunt raza cercului. Hipotenuza AO - comun.

Astfel, triunghiurile sunt egale din punct de vedere al egalității catetei și ipotenuzei. Din aceasta este evident că catetele AB și AC sunt de asemenea egale. De asemenea, unghiurile opuse laturi egale, sunt egale, deci unghiurile și , sunt egale.

Teorema a fost demonstrată.

Deci, ne-am familiarizat cu conceptul de tangentă la un cerc, în lecția următoare vom lua în considerare măsura gradului unui arc de cerc.

Bibliografie

1. Aleksandrov A.D. etc Geometrie Clasa 8. - M.: Educație, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometrie 8. - M.: Iluminismul, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrie nota 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Univer.omsk.su ().
2. Oldskola1.narod.ru ().
3. Scoala6.aviel.ru ().

Teme pentru acasă

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al., Geometrie 7-9, nr.634-637, p. 168.

direct ( MN) care are un singur punct comun cu cercul ( A), se numește tangentă la cerc.

Punctul comun este numit în acest caz punct de atingere.

Posibilitatea existenței tangentă, și, în plus, trasă prin orice punct cercuri, ca punct de contact, este dovedit de următoarele teorema.

Să se ceară cercuri centrat O tangentă printr-un punct A. Pentru asta, din punct de vedere A, ca din centru, descrie arc rază AO, iar din punct de vedere O, ca centru, intersectăm acest arc în puncte BȘi DIN soluție de busolă egală cu diametrul cercului dat.

După ce a petrecut atunci acorduri OBȘi OS, conectați punctul A cu puncte DȘi E unde aceste acorduri intersectează cercul dat. Direct ANUNȚȘi AE - tangentă la cerc O. Într-adevăr, din construcție reiese clar că triunghiuri AOBȘi AOC isoscel(AO = AB = AC) cu baze OBȘi OS, egal cu diametrul cercului O.

pentru că ODȘi OE sunt razele, atunci D - mijloc OB, dar E- mijloc OS, mijloace ANUNȚȘi AE - mediane atras de baze triunghiuri isoscele, și, prin urmare, sunt perpendiculare pe aceste baze. Dacă direct DAȘi EA perpendicular pe raze ODȘi OE, atunci sunt tangente.

Consecinţă.

Două tangente trase din același punct la cerc sunt egale și formează unghiuri egale cu linia care leagă acest punct cu centrul.

Asa de AD=AEși ∠ OAD = ∠OAE deoarece triunghiuri dreptunghiulare AODȘi AOE având un comun ipotenuză AO si egali picioare ODȘi OE(ca raze) sunt egale. Rețineți că aici cuvântul „tangentă” înseamnă adevăratul „ segment tangent” de la punctul dat până la punctul de contact.

Articolul oferă o explicație detaliată a definițiilor, sens geometric derivat cu simboluri grafice. Se va lua în considerare ecuația dreptei tangente cu exemple, se vor găsi ecuațiile tangentei la curbe de ordinul 2.

Definiția 1

Unghiul de înclinare al dreptei y \u003d k x + b se numește unghiul α, care se măsoară de la direcția pozitivă a axei x la linia dreaptă y \u003d k x + b în direcția pozitivă.

În figură, direcția bou este indicată printr-o săgeată verde și un arc verde, iar unghiul de înclinare printr-un arc roșu. Linia albastră se referă la o linie dreaptă.

Definiția 2

Panta dreptei y \u003d k x + b se numește coeficient numeric k.

Panta este egală cu panta dreptei, cu alte cuvinte k = t g α .

• Panta dreptei este 0 numai atunci când o x este paralelă și panta este egală cu zero, deoarece tangenta lui zero este 0. Deci, forma ecuației va fi y = b.
• Dacă unghiul de înclinare al dreptei y = k x + b este ascuțit, atunci condițiile sunt 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается număr pozitiv, deoarece valoarea tangentei satisface condiția t g α > 0, iar graficul are o creștere.
• Dacă α \u003d π 2, atunci locația dreptei este perpendiculară pe x. Egalitatea este specificată de egalitatea x = c, valoarea c fiind un număr real.
• Dacă unghiul de înclinare al dreptei y = k x + b este obtuz, atunci corespunde condițiilor π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Definiția 3

O secantă este o dreaptă care trece prin 2 puncte ale funcției f (x). Cu alte cuvinte, o secanta este o linie dreaptă care trece prin oricare două puncte de pe grafic. funcţie dată.

Figura arată că A B este o secante, iar f (x) este o curbă neagră, α este un arc roșu, indicând unghiul de înclinare al secantei.

Când panta unei drepte este egală cu tangentei unghiului de înclinare, este clar că tangenta dintr-un triunghi dreptunghic A B C poate fi găsită în raport cu catetul opus celui alăturat.

Definiția 4

Obținem formula pentru găsirea secantei formei:

k = tg α = BCAC = f (x B) - fx A x B - x A , unde abscisele punctelor A și B sunt valorile x A , x B și f (x A) , f (x B) sunt funcțiile de valori în aceste puncte.

În mod evident, panta secantei este definită folosind egalitatea k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A sau k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B, iar ecuația trebuie scrisă ca y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) sau
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Secanta împarte vizual graficul în 3 părți: la stânga punctului A, de la A la B, la dreapta lui B. Figura de mai jos arată că există trei secante care sunt considerate a fi aceleași, adică sunt setați folosind o ecuație similară.

Prin definiție, este clar că linia și secanta ei coincid în acest caz.

O secanta poate intersecta graficul unei anumite funcții de mai multe ori. Dacă există o ecuație de forma y \u003d 0 pentru secante, atunci numărul de puncte de intersecție cu sinusoida este infinit.

Definiția 5

Tangenta la graficul functiei f (x) in punctul x 0 ; f (x 0) se numește dreptă care trece printr-un punct dat x 0; f (x 0) , cu prezența unui segment care are multe x valori apropiate de x 0 .

Exemplul 1

Să aruncăm o privire mai atentă la exemplul de mai jos. Atunci se poate observa că linia dată de funcția y = x + 1 este considerată a fi tangentă la y = 2 x în punctul cu coordonatele (1 ; 2) . Pentru claritate, este necesar să luați în considerare graficele cu valori apropiate de (1; 2). Funcția y = 2 x este marcată cu negru, linia albastră este tangenta, punctul roșu este punctul de intersecție.

Evident, y \u003d 2 x se îmbină cu linia y \u003d x + 1.

Pentru a determina tangentei, luați în considerare comportamentul tangentei A B pe măsură ce punctul B se apropie la infinit de punctul A. Pentru claritate, prezentăm o figură.

Secanta A B, indicată de linia albastră, tinde spre poziția tangentei însăși, iar unghiul de înclinare al secantei α va începe să tinde spre unghiul de înclinare al tangentei însăși α x.

Definiția 6

Tangenta la graficul funcției y \u003d f (x) în punctul A este poziția limită a secantei A B la B care tinde spre A, adică B → A.

Acum ne întoarcem la considerarea semnificației geometrice a derivatei unei funcții într-un punct.

Să trecem la considerarea secantei AB pentru funcția f (x), unde A și B cu coordonatele x 0, f (x 0) și x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) și ∆ x este notat ca o creștere a argumentului . Acum funcția va lua forma ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Pentru claritate, să facem o poză ca exemplu.

Luați în considerare rezultatul triunghi dreptunghic A B C. Folosim definiția tangentei pentru soluție, adică obținem raportul ∆ y ∆ x = t g α . Din definirea unei tangente rezultă că lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Conform regulii derivatei într-un punct, avem că derivata f (x) în punctul x 0 se numește limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, unde ∆ x → 0, atunci notată f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Rezultă că f „(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, unde k x este notat ca panta tangentei.

Adică, obținem că f ' (x) poate exista în punctul x 0 și, la fel ca tangenta la graficul dat al funcției în punctul de contact egal cu x 0 , f 0 (x 0) , unde valoarea a pantei tangentei în punctul este egală cu derivata în punctul x 0 . Atunci obținem că k x = f "(x 0) .

Sensul geometric al derivatei unei funcții într-un punct este că este dat conceptul existenței unei tangente la graficul în același punct.

Pentru a scrie ecuația oricărei drepte în plan, este necesar să existe o pantă cu punctul prin care trece. Desemnarea sa este luată ca x 0 la intersecție.

Ecuația tangentei la graficul funcției y \u003d f (x) în punctul x 0, f 0 (x 0) ia forma y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Înseamnă că valoarea finală a derivatei f „(x 0) poate determina poziția tangentei, adică vertical în condiția lim x → x 0 + 0 f” (x) = ∞ și lim x → x 0 - 0 f „(x ) = ∞ sau absență deloc în condiția lim x → x 0 + 0 f „(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f „(x) .

Locația tangentei depinde de valoarea pantei sale kx \u003d f "(x 0). Când este paralel cu axa x, obținem acel kk \u003d 0, când este paralel cu aproximativ y - kx \u003d ∞ și forma ecuației tangente x \u003d x 0 crește cu kx > 0, scade pe măsură ce kx< 0 .

Exemplul 2

Compilați ecuația tangentei la graficul funcției y \u003d ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 într-un punct cu coordonatele (1; 3) cu definiția unghiului de înclinare.

Soluţie

Prin presupunere, avem că funcția este definită pentru toți numere reale. Obținem că punctul cu coordonatele specificate de condiția (1 ; 3) este punctul de contact, atunci x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Este necesar să găsim derivata în punctul cu valoarea - 1 . Înțelegem asta

y "= ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" == ex + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = ex + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Valoarea lui f ’ (x) în punctul de contact este panta tangentei, care este egală cu tangentei pantei.

Atunci k x = t g α x = y „(x 0) = 3 3

Rezultă că α x = a r c t g 3 3 = π 6

Răspuns: ecuația tangentei ia forma

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Pentru claritate, dăm un exemplu într-o ilustrație grafică.

Culoarea neagră este folosită pentru graficul original al funcției, culoarea albastră este imaginea tangentă, punctul roșu este punctul de atingere. Figura din dreapta arată o vedere mărită.

Exemplul 3

Aflați existența unei tangente la graficul unei funcții date
y = 3 x - 1 5 + 1 în punctul cu coordonatele (1 ; 1) . Scrieți o ecuație și determinați unghiul de înclinare.

Soluţie

Prin presupunere, avem că domeniul funcției date este mulțimea tuturor numerelor reale.

Să trecem la găsirea derivatei

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Dacă x 0 = 1 , atunci f ' (x) nu este definit, dar limitele sunt scrise ca lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ și lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , ceea ce înseamnă existență tangentă verticală la punctul (1; 1) .

Răspuns: ecuația va lua forma x \u003d 1, unde unghiul de înclinare va fi egal cu π 2.

Să-l graficăm pentru claritate.

Exemplul 4

Aflați punctele graficului funcției y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , unde

1. Tangenta nu există;
2. Tangenta este paralelă cu x;
3. Tangenta este paralelă cu dreapta y = 8 5 x + 4 .

Soluţie

Este necesar să se acorde atenție domeniului definiției. Prin presupunere, avem că funcția este definită pe mulțimea tuturor numerelor reale. Extindeți modulul și rezolvați sistemul cu intervale x ∈ - ∞ ; 2 și [-2; +∞). Înțelegem asta

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Funcția trebuie diferențiată. Avem asta

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Când x = - 2, atunci derivata nu există deoarece limitele unilaterale nu sunt egale în acel punct:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Calculăm valoarea funcției în punctul x \u003d - 2, de unde obținem asta

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, adică tangenta la punctul (- 2; - 2) nu va exista.
2. Tangenta este paralelă cu x când panta este zero. Apoi kx \u003d tg α x \u003d f "(x 0). Adică, este necesar să se găsească valorile unui astfel de x atunci când derivata funcției o transformă la zero. Adică, valorile ​​​\u200b\u200de f '(x) și vor fi puncte de atingere, unde tangenta este paralelă cu x .

Când x ∈ - ∞ ; - 2 , atunci - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , iar pentru x ∈ (- 2 ; + ∞) obținem 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Calculăm valorile corespunzătoare ale funcției

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Prin urmare - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 sunt considerate a fi punctele dorite ale graficului funcției.

Luați în considerare o reprezentare grafică a soluției.

Linia neagră este graficul funcției, punctele roșii sunt punctele de atingere.

1. Când liniile sunt paralele, pantele sunt egale. Apoi este necesar să căutați punctele graficului funcției, unde panta va fi egală cu valoarea 8 5 . Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați o ecuație de forma y "(x) = 8 5. Atunci, dacă x ∈ - ∞; - 2, obținem că - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, iar dacă x ∈ ( - 2 ; + ∞) , atunci 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Prima ecuație nu are rădăcini deoarece discriminantul este mai mic decât zero. Să scriem asta

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

O altă ecuație are două rădăcini reale, deci

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Să trecem la găsirea valorilor funcției. Înțelegem asta

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Puncte cu valori - 1; 4 15, 5; 8 3 sunt punctele în care tangentele sunt paralele cu dreapta y = 8 5 x + 4 .

Răspuns: linie neagră - graficul funcției, linie roșie - graficul y \u003d 8 5 x + 4, linie albastră - tangente în puncte - 1; 4 15, 5; 8 3 .

Existența unui număr infinit de tangente pentru funcții date este posibilă.

Exemplul 5

Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor disponibile ale funcției y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , care sunt perpendiculare pe dreapta y = - 2 x + 1 2 .

Soluţie

Pentru a întocmi ecuația tangentei, este necesar să se găsească coeficientul și coordonatele punctului de contact, pe baza condiției de perpendicularitate a dreptelor. Definiția sună așa: produsul pantelor care sunt perpendiculare pe drepte este egal cu - 1, adică se scrie ca k x · k ⊥ = - 1. Din condiția avem că panta este perpendiculară pe dreapta și este egală cu k ⊥ = - 2, atunci k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Acum trebuie să găsim coordonatele punctelor de atingere. Trebuie să găsiți x, după care valoarea sa pentru o funcție dată. Rețineți că din sensul geometric al derivatei la punct
x 0 obținem acel k x \u003d y "(x 0) . Din această egalitate, găsim valorile x \u200b\u200bpentru punctele de atingere.

Înțelegem asta

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ kx \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Acest ecuație trigonometrică va fi folosit pentru a calcula ordonatele punctelor de atingere.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk sau 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk sau 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk sau x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z este mulțimea numerelor întregi.

S-au găsit x puncte de contact. Acum trebuie să mergeți la căutarea valorilor y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 sau y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 sau y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 sau y 0 = - 4 5 + 1 3

De aici obținem că 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 sunt puncte de atingere.

Răspuns: ecuaţiile necesare se vor scrie ca

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + arc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Pentru o reprezentare vizuală, luați în considerare funcția și tangenta pe linia de coordonate.

Figura arată că locația funcției este pe intervalul [ - 10 ; 10 ] , unde linia neagră este graficul funcției, liniile albastre sunt tangente care sunt perpendiculare pe dreapta dată de forma y = - 2 x + 1 2 . Punctele roșii sunt puncte de atingere.

Ecuațiile canonice ale curbelor de ordinul 2 nu sunt funcții cu o singură valoare. Ecuațiile tangente pentru ele sunt compilate conform schemelor binecunoscute.

Tangenta la cerc

A seta un cerc centrat într-un punct x c e n t e r ; y c e n t e r și raza R, se utilizează formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

Această egalitate poate fi scrisă ca unirea a două funcții:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Prima funcție este în partea de sus și a doua în partea de jos, așa cum se arată în figură.

Să se întocmească o ecuație a unui cerc într-un punct x 0 ; y 0 , care este situat în semicercul superior sau inferior, ar trebui să găsiți ecuația graficului funcției de forma y \u003d R 2 - x - xcenter 2 + ycenter sau y \u003d - R 2 - x - xcenter 2 + ycenter în punctul specificat.

Când în punctele x c ​​e n t e r ; y c e n t e r + R și x ce n t e r ; Tangentele y c e n t e r - R pot fi date de ecuațiile y = y c e n t e r + R și y = y c e n t e r - R , iar în punctele x c ​​e n t e r + R ; y c e n t e r şi
x c e n t e r - R ; y c e n t e r va fi paralel cu y, atunci vom obține ecuații de forma x = x c e n t e r + R și x = x c e n t e r - R .

Tangenta la elipsa

Când elipsa este centrată pe x ce n t e r ; y c e n t e r cu semiaxele a și b , atunci poate fi dat folosind ecuația x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

O elipsă și un cerc pot fi notate prin combinarea a două funcții, și anume, semielipsa superioară și inferioară. Atunci obținem asta

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Dacă tangentele sunt situate la vârfurile elipsei, atunci ele sunt paralele cu x sau despre y. Pentru claritate, luați în considerare figura de mai jos.

Exemplul 6

Scrieți ecuația tangentei la elipsa x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 în punctele cu valorile x egale cu x = 2 .

Soluţie

Este necesar să găsiți puncte de atingere care să corespundă valorii x = 2. Facem o substituție în ecuația existentă a elipsei și obținem asta

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Apoi 2; 5 3 2 + 5 și 2 ; - 5 3 2 + 5 sunt punctele tangente care aparțin semielipsei superioare și inferioare.

Să trecem la găsirea și rezolvarea ecuației unei elipse în raport cu y. Înțelegem asta

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Este evident că semielipsa superioară este specificată folosind o funcție de forma y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , iar cea inferioară y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Aplicam algoritmul standard pentru a formula ecuatia tangentei la graficul unei functii intr-un punct. Scriem că ecuația pentru prima tangentă la punctul 2 ; 5 3 2 + 5 vor arăta ca

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Obținem că ecuația celei de-a doua tangente cu valoarea din punct
2; - 5 3 2 + 5 devine

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafic, tangentele sunt notate după cum urmează:

Tangenta la hiperbola

Când hiperbola are un centru în punctul x c e n t e r ; y c e n t e r şi vârfuri x c e n t e r + α ; y c e n t e r şi x c e n t e r - α ; y c e n t e r , inegalitatea x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 este dată dacă cu vârfuri x c e n t e r ; y c e n t e r + b și x c e n t e r ; y c e n t e r - b este dat atunci de inegalitatea x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

O hiperbolă poate fi reprezentată ca două funcții combinate ale formei

y = ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycenter = - ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycenter sau y = ba (x - xcenter) 2 + a 2 + ycenter = - ba (x - xcenter) ) 2 + a 2 + ycenter

În primul caz, avem că tangentele sunt paralele cu y, iar în al doilea, sunt paralele cu x.

Rezultă că pentru a găsi ecuația unei tangente la o hiperbolă este necesar să se afle cărei funcție îi aparține punctul tangentei. Pentru a determina acest lucru, este necesar să faceți o înlocuire în ecuații și să le verificați pentru identitate.

Exemplul 7

Scrieți ecuația tangentei la hiperbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 la punctul 7; - 3 3 - 3 .

Soluţie

Este necesar să se transforme înregistrarea soluției de găsire a hiperbolei folosind 2 funcții. Înțelegem asta

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 sau y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Este necesar să se determine cărei funcție îi aparține punct dat cu coordonatele 7 ; - 3 3 - 3 .

Evident, pentru a verifica prima funcție, este necesar y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , atunci punctul nu aparține graficului, întrucât egalitatea nu este satisfăcută.

Pentru a doua funcție, avem că y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , ceea ce înseamnă că punctul aparține graficului dat. De aici ar trebui să găsiți coeficientul de pantă.

Înțelegem asta

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ kx = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Răspuns: ecuaţia tangentei poate fi reprezentată ca

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Este vizualizat astfel:

Tangenta la parabolă

Pentru a compune ecuația tangentei la parabola y \u003d ax 2 + bx + c în punctul x 0, y (x 0) , trebuie să utilizați algoritmul standard, apoi ecuația va lua forma y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) O astfel de tangentă la vârf este paralelă cu x.

Parabola x = a y 2 + b y + c ar trebui definită ca unirea a două funcții. Prin urmare, trebuie să rezolvăm ecuația pentru y. Înțelegem asta

x = ay 2 + by + c ⇔ ay 2 + by + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 ay = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Să o reprezentam grafic ca:

Pentru a afla dacă un punct x 0 , y (x 0) aparține unei funcții, urmați ușor algoritmul standard. O astfel de tangentă va fi paralelă cu y față de parabolă.

Exemplul 8

Scrieți ecuația tangentei la graficul x - 2 y 2 - 5 y + 3 când avem o pantă tangentei de 150 °.

Soluţie

Începem soluția reprezentând parabola ca două funcții. Înțelegem asta

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 xy = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Valoarea pantei este egală cu valoarea derivatei în punctul x 0 al acestei funcții și este egală cu tangentei pantei.

Primim:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

De aici determinăm valoarea lui x pentru punctele de contact.

Prima funcție va fi scrisă ca

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Evident, nu există rădăcini reale, deoarece am primit o valoare negativă. Concluzionam că nu există o tangentă cu un unghi de 150 ° pentru o astfel de funcție.

A doua funcție va fi scrisă ca

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Avem că punctele de atingere - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Răspuns: ecuația tangentei ia forma

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Să o reprezentam grafic astfel:

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter