Un grup O se numește ciclic dacă toate elementele sale sunt puteri ale aceluiași element.Acest element se numește generator al grupului ciclic O. Orice grup ciclic este evident abelian.

Un grup ciclic este, de exemplu, un grup de numere întregi prin adunare. Vom desemna acest grup prin simbolul 2. Generatorul său este numărul 1 (și, de asemenea, numărul - 1). Un grup ciclic este, de asemenea, un grup format dintr-un singur element (unul).

Într-un grup arbitrar O, puterile oricărui element g formează un subgrup ciclic cu generatorul g. Ordinea acestui subgrup coincide evident cu ordinea elementului g. De aici, în virtutea teoremei Lagrange (vezi p. 32), rezultă că ordinea oricărui element al grupului împarte ordinea grupului (rețineți că toate elementele grup finit sunt elemente de ordin finit).

Prin urmare, pentru orice element g al unui grup de ordin finit, egalitatea

Această remarcă simplă este adesea utilă.

Într-adevăr, dacă grupul O este ciclic și generatorul său, atunci ordinea elementului este . În schimb, dacă grupul O are un element de ordine, atunci printre puterile acestui element există altele diferite și, prin urmare, aceste grade epuizează întregul grup O.

Vedem, așadar, că un grup ciclic poate avea mai mulți generatori diferiți (și anume, orice element al ordinului este un generator).

O sarcină. Demonstrează că orice grup ordin primar este un grup ciclic.

O sarcină. Demonstrați că grupul ciclic de ordine are exact generatori, unde este numărul numere pozitive, mai mic și coprim cu .

Odată cu ordinea, oricărui grup finit i se poate atribui un număr - cel mai mic multiplu comun al ordinelor tuturor elementelor sale.

O sarcină. Demonstrați că pentru orice grup finit O numărul împarte ordinea grupului.

Evident, pentru un grup ciclic, numărul coincide cu ordinea. În general, invers nu este adevărat. Cu toate acestea, este valabilă următoarea afirmație, care caracterizează grupurile ciclice din clasa grupurilor abeliene finite:

un grup abelian finit O pentru care numărul este egal cu ordinea sa este un grup ciclic.

Într-adevăr, să

Ordinele tuturor elementelor posibile non-unu ale unui grup abelian finit O sunt de ordin și să fie cel mai mic multiplu comun al acestora.

Să extindem numărul într-un produs de puteri diferite numere prime:

Fie Întrucât un număr este, prin definiție, cel mai mic multiplu comun al numerelor (1), printre aceste numere există cel puțin un număr divizibil exact cu adică, având forma , unde b este copprim cu . Fie acest număr de ordinul elementului g. Atunci elementul are o ordine (vezi Corolarul 1) la p. 29).

Astfel, pentru oricare din grupa O există cel puțin un element de comandă.Alegând câte un astfel de element pentru fiecare, luați în considerare produsul lor. Conform afirmatiei dovedite la paginile 29-30, ordinea acestui produs este egala cu produsul comenzilor de , i.e. este egal cu numărul. Deoarece ultimul număr este prin condiție egal cu , aceasta demonstrează că există un element de ordin n în grupul O. Prin urmare, acest grup este un grup ciclic.

Fie acum O un grup ciclic arbitrar cu un generator și H să fie unele dintre subgrupurile sale. Deoarece orice element al subgrupului H este un element al grupului O, acesta poate fi reprezentat ca , unde d este un număr întreg pozitiv sau negativ (în general vorbind, nu este definit în mod unic). Luați în considerare mulțimea tuturor numerelor pozitive pentru care elementul aparține subgrupului H. Deoarece această mulțime este nevidă (de ce?), există în ea cel mai mic număr Rezultă că orice element h al subgrupului H este un grad al elementului . Într-adevăr, prin definiție, există un număr d astfel încât (numărul d poate fi și negativ). Împărțiți (cu rest) numărul d la număr

Din moment ce , atunci, din cauza minimalității numărului, restul trebuie să fie egal cu zero. În acest fel, .

Aceasta demonstrează că elementul este un generator al grupului H, adică că grupul H este ciclic. Deci, orice subgrup al unui grup ciclic este un grup ciclic.

O sarcină. Demonstrați că numărul este egal cu indicele subgrupului H și, prin urmare, împarte ordinea grupului O (dacă grupul O este finit).

De asemenea, observăm că pentru orice divizor de ordin al unui grup ciclic finit Q din grupul O există unul și un singur subgrup H de ordin (și anume, un subgrup cu generator

Acest lucru implică faptul că, dacă un grup ciclic finit este simplu, atunci ordinea sa este un număr prim (sau unul).

În cele din urmă, observăm că orice grup de coeficient, deci orice imagine omomorfă) a unui grup ciclic Q este un grup ciclic.

Pentru demonstrație, este suficient să rețineți că generatorul grupului este setul care conține generatorul grupului O.

În special, orice grup de factori ai grupului de numere întregi Z este un grup ciclic. Să studiem aceste grupuri ciclice mai detaliat.

Deoarece grupul Z este abelian, oricare dintre subgrupurile sale R este un divizor normal. Pe de altă parte, conform celor demonstrate mai sus, subgrupul H este un grup ciclic. Deoarece grupurile de coeficient pe subgrupuri triviale ne sunt cunoscute, putem considera subgrupul Η ca fiind nebanal. Fie un număr un generator al subgrupului H. Putem considera acest număr pozitiv (de ce?) și, prin urmare, mai mare decât unu.

Subgrupul H. constă în mod evident din toate numerele întregi divizibile cu . Prin urmare, două numere aparțin aceleiași clase în raport cu subgrupul H dacă și numai dacă diferența lor este divizibilă cu , adică atunci când sunt comparabile ca modul (vezi Curs, p. 277). Astfel, clasele cu privire la subgrupul H nu sunt altceva decât clase de numere care sunt comparabile modulo .

Cu alte cuvinte, grupul de factori al grupului Z în raport cu subgrupul H este un grup (prin adăugare) de clase de numere care sunt comparabile modulo . Vom desemna acest grup prin Generatorul său este clasa care conține numărul 1.

Rezultă că orice grup ciclic este izomorf fie cu grupul Z (dacă este infinit), fie cu unul dintre grupuri (dacă ordinea sa este finită).

Într-adevăr, să fie un generator al grupului O. Definim o mapare a grupului 2 în grupul O prin setarea

Definiția 1.22. Lasa R- Număr prim. grup G numit grupa p, dacă ordinea oricărui element al grupului este egală cu o anumită putere a unui număr prim R.

Definiția 1.23. Subgrupul p Sylow grup finit G se numește un p-subgrup al acestui grup care nu este conținut într-un p-subgrup mai mare al grupului dat.

Teorema 1.25. Un grup abelian finit este egal cu produsul direct al subgrupurilor sale Sylow p.

Dovada. Luați în considerare un grup abelian finit G ordona n si lasa n = R"! p 2 2 p*1 k - extinderea numărului Pîn produsul puterilor diferitelor numere prime. Pentru 1, 2,..., la notăm cu λ, subgrupul Sylow rg, iar cu λ, subgrupul generat de toate λ; pentru; * i. Este ușor de demonstrat că I, n I, = (e). Prin urmare, eu \u003d (H 1, H 2, ..., H la) \u003d H 1 xH 2 x ... xH la. Să presupunem că există un element g e g, astfel încât g g H. Prin corolarul 2 al teoremei lui Lagrange, |G| : |g|. De aici rezultă că

|g| = pf "pjf 2 pk k > g D e Pi - un i Pentru orice i = 1, 2, la. După un corolar al teoremei 1.23, există elemente g 1; g2, ..., gk e g, astfel încât = x x... x (g k) și | g,-1 = pf 1 pentru i = 1, 2, ..., /s. Dacă presupunem că g, g R, pentru un r, atunci obținem un p,-subgrup (gi, eu,) F I, care contrazice definiția unui p,-subgrup Sylow. Astfel, pentru orice i = 1, 2,..., /eg, e e eu sunt de unde g e H. Prin urmare, H = G iar teorema este demonstrată.

Teorema 1.26. Un grup p abelian finit este egal cu produsul direct al subgrupurilor ciclice.

Dovada. Să fie dat un p-grup abelian finit G. Să selectăm un element dar de ordin maxim p“, și fie H un subgrup maxim astfel încât (a) n H = (e). Atunci (a, R) = (a) x R. Notați Gj = (a) x R.

Să ne prefacem că G F G y Din toate elementele care nu aparțin lui G x , alegem un element g de ordin minim pP. Dacă presupunem că gPg Gb atunci de când |gp| = pP- 1, ajungem la o contradicție cu alegerea elementului g. Prin urmare, gP e G x = (a) x I și există un întreg /c și un element h e I, astfel încât gP = a fc /i. De aici un k= gp/i -1 . Dacă mcd(/c, p) = 1, atunci mcd(/c, p°9 = 1 și există numere întregi u, v astfel încât /u + p a v = 1. Apoi

Datorită maximului | | a = p a avem gP" = eși e Departe„ _1 = = (gP"/i _u)P“ _1 =gP“h~ u P a~1=/i _u p““ 1 e R, care contrazice condiția (a) p R = (e). Prin urmare, /s: r.

Lasa la= r/s x. Apoi aP fc i \u003d a k \u003d g Ph ~ 1, Unde h = a~P k igP == (a _fc ig)P. Notați gj=a _/c ig. Apoi gf -heH. Presupunând că gj =ar fc "geG] \u003d (a) xH, atunci g e G x , ceea ce contrazice alegerea elementului g. Prin urmare, g x g G x și, prin urmare, gj g I. Deoarece I este subgrupul maxim cu condiția (dar) n I = (e), apoi (a) n (g x , I) ^ (e). Prin urmare, există t, p e Zși elementul hj e i astfel încât e * un t= gf

Dacă presupunem că n:r,top=rp 1 la unii n,eZși e g a m = gf/ij = gf ni /ii e I, ceea ce contrazice condiția (a) n I = = (e). Prin urmare, gcd(p, p) = 1 Hgf =am /if 1 . Dacă |g x | =pY, atunci mcd(n, p'0 = 1 și există u x , v x g Z, astfel încât gsh x -t-pYv x = 1. Prin urmare g, =gf u i + P Yv i = gf Ul gf Yvi = gf Ul =(a m /i 1 - 1) u i Am ajuns din nou la o contradicție. Astfel, rămâne de acceptat asta G - (a) x I. Acum, în subgrupul I, desemnăm în mod similar printr-un factor direct subgrupul ciclic al maximului în H ordine etc., până când obținem descompunerea grupului Gîntr-un produs direct al subgrupurilor ciclice. Teorema a fost demonstrată.

Teorema 1.27. Un grup abelian finit este egal cu produsul direct al subgrupurilor p ciclice.

Demonstrarea rezultă din teoremele 1.25 și 1.26.

În încheierea capitolului despre grupuri, observăm că un grup poate fi considerat ca o mulțime cu o operație binară, care este asociativă, și pentru orice elemente. darȘi Kommersant ecuațiile sunt rezolvabile în mod unic ax = b uya-b. Această viziune asupra grupului conduce la două generalizări. Pe de o parte, se poate concentra pe studierea semnificației asociativității unei operații, iar acest lucru duce la conceptul de semigrup ca mulțime cu o operație asociativă (vezi lucrarea). Pe de altă parte, cerința asociativității poate fi ignorată, iar acest lucru duce la conceptul unui cvasigrup ca o mulțime cu o operație binară, în raport cu care ecuațiile numite sunt soluționabile în mod unic. Un cvasigrup cu identitate se numește buclă (vezi lucrarea). Teoria semigrupurilor și teoria cvasigrupurilor s-au transformat în două teorii substantive care se dezvoltă independent. Nu le menționăm în textul principal din motive de volum „minim maxim posibil”.

grupuri finite

Se numește un grup (semigrup). final dacă este format dintr-un număr finit de elemente. Numărul de elemente ale unui grup finit se numește al său pentru a. Orice subgrup al unui grup finit este finit. Si daca HÍ G– subgrupul unui grup G, apoi pentru orice element darÎ G Multe Pe={X: X=h◦A, pentru orice hÎ H) se numește clasa de adiacenta stânga pentru G relativ H. Este clar că numărul de elemente din Pe egal cu ordinea H. (În mod similar, se poate formula definiția un N– clasa corectă cu privire la H).

Este important ca pentru orice subgrup H grupuri G oricare două clase din stânga (dreapta). H fie coincid, fie nu se intersectează, deci orice grup poate fi reprezentat ca o uniune de seturi disjunse din stânga (dreapta) prin H.

Într-adevăr, dacă două clase N / AȘi Hb, Unde A, bÎ G, au un element comun X, atunci există tÎ H astfel încât X = t◦A. Și apoi clasa din stânga pentru X: H x={y: y=h◦X= h◦(t◦A) = (h◦t)◦A} Í H a, dar A=t ‑1 ◦XȘi N / A={y: y=h◦A= h◦(t ‑1 ◦X) = (h◦t ‑1)◦X} Í H x. De aici H x=N / A. În mod similar, se poate arăta asta H x=H b. Prin urmare N / A=H b. Dacă clasele N / AȘi Hb Nu Aveți elemente comune, atunci nu se intersectează.

Se numește o astfel de împărțire a unui grup în seturi din stânga (dreapta). descompunerea grupului în termenii subgrupului H.

Teorema 2.6.1. Ordinea unui grup finit este divizibil cu ordinea oricăreia dintre subgrupurile sale.

Dovada. pentru că G este un grup finit, apoi oricare dintre subgrupurile sale H are o ordine finită. Luați în considerare descompunerea unui grup în subgrupe H. În fiecare grupă din această descompunere, numărul de elemente este același și egal cu ordinea H. Prin urmare, dacă n- ordine de grup G, dar k- ordinea subgrupelor H, apoi n=m× k, Unde m este numărul de clase de Hîn descompunerea grupului G.

Dacă pentru orice element AÎ G Þ N / A=un N(cosetele din stânga și din dreapta pe subgrup H meci), atunci H numit divizor normal grupuri G.

Afirmație: dacă G este un grup comutativ, apoi oricare dintre subgrupurile sale H este un divizor normal G.

Având în vedere asociativitatea unei acțiuni într-un grup (semigrup), putem vorbi de un „produs” din trei elemente ( dar◦b◦c) =(dar◦b)◦c = dar◦(b◦c). Notiunea munca complexa din n elemente: dar 1 ◦dar 2 ◦…◦un n = ◦ un n = = ◦.

Muncă n elemente identice ale unui grup se numesc gradul elementuluiși notat un n=. Această definiție are sens pentru orice natură n. Pentru orice element de grup AÎ G desemna dar 0 =e este elementul neutru al grupului G. Și puterile negative ale unui element A ‑ n definit ca ( A ‑1)n sau ( un n) -1 , unde A-1 - element invers la dar. Ambele definiții A ‑ n meci, pentru că un n◦(A ‑1)n = (dar◦dar◦ ¼◦ dar)◦(A ‑1 ◦A-1◦ ¼◦ A ‑1) = dar◦dar◦¼◦( dar◦A ‑1)◦A-1 ◦¼◦ A ‑1 =e n =e. În acest fel, ( A ‑1)n = (un n) ‑1 .

Într-un grup de aditivi, un analog al gradului unui element un n voi n-multiplu din acesta, de obicei notat n / A, care nu trebuie luat ca produs n pe dar, în măsura în care nÎℕ și eventual nÏ G. Acea. n / A⇋ unde nнℕ și 0 dar=e⇋0 și (- n)A = ‑(n / A) = n(‑A) pentru orice natural n, Unde (- A) este inversă AÎ G.

Este ușor să arăți că sub notația aleasă pentru orice numere întregi mȘi n si pentru orice AÎ G sunt îndeplinite proprietăți binecunoscute: dar) cu notaţie multiplicativă un n ◦a m = un n + mȘi ( un n)m = un nm; b) cu notație aditivă n / A+ma = (n+m)AȘi n(ma)=(nm)A.

Luați în considerare un subset al grupului G, compus din toate puterile unui element arbitrar gÎ G. Să o notăm A g. În acest fel, A g ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g-2,¼). Evident, A g este un subgrup al grupului G, deoarece pentru orice elemente X,laÎ A g rezultă că ( X◦la)Î A g, și pentru orice element XÎ A g va fi X-1 О A g, In afara de asta, g 0 =eÎ A g.

Subgrup A g numit subgrup ciclic grupuri G generat de element g. Acest subgrup este întotdeauna comutativ, chiar dacă este el însuși G nu comutativ. Dacă grupul G coincide cu una dintre subgrupurile sale ciclice, atunci se numește grup ciclic generat de element g.

Dacă toate puterile unui element g diferit, apoi grupul G numit fără sfârşit grupul ciclic și elementul g- element ordine infinită.

Dacă printre elementele grupului ciclic sunt egale, de exemplu, g k=g m la k>m, apoi gk-m=e; si denotand k-m peste n, primim gn=e, nÎℕ.

Cel mai puţin indicator natural n astfel încât gn=e, se numește ordinea elementului g, și elementul în sine g numit element de ordin finit.

Un astfel de element poate fi întotdeauna găsit într-un grup finit, dar poate fi și într-un grup infinit.

Sunt numite grupuri ale căror elemente sunt de ordin finit periodic.

Deoarece orice element al unui grup finit are o ordine finită, toate grupurile finite sunt periodice. În plus, toate subgrupurile ciclice ale unui grup finit sunt periodice, deoarece sunt finite și fiecare element de ordin finit n generează un grup ciclic de același ordin n, format din elemente ( g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-unu ). Într-adevăr, dacă numărul de elemente ar fi egal cu unele k<n, apoi g k=e=gn, ceea ce este contrar alegerii n, ca cel mai mic grad astfel încât gn=e; pe de altă parte, k>n este de asemenea imposibil, pentru că în acest caz, ar exista elemente identice.

Afirmație: 1) toate gradele g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-1 sunt diferite pentru că dacă ar fi egale, de exemplu, gi=gj (i>j), apoi g i-j=e, dar ( i‑j)<n, și prin definiție n- cel mai mic grad astfel încât gn=e.

2) Orice alt grad g, pozitiv sau negativ, este egal cu unul dintre elemente g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-1 pentru că orice număr întreg k poate fi reprezentat prin expresia: k=nq+r, Unde q,rÎℤ și 0£ r<n, r- restul si g k=gnq + r= gnq° r= (gn)q° r= e q° r= r.

1) Fiecare grup are un element unic de ordinul întâi ( e) generând un subgrup ciclic de ordinul întâi format dintr-un element e.

2) Luați în considerare grupul de permutare S 3 , format din elementele: , , , , , . Ordin S 3=6. Ordinea elementelor dar este egal cu 2, deoarece . Ordinea elementelor b este de asemenea egal cu 2, deoarece . Ordinea elementelor din este egal cu 3, deoarece Și . Ordinea elementelor f este de asemenea egal cu 3, deoarece Și . Și în sfârșit comanda d este egal cu 2, deoarece . Astfel, subgrupurile ciclice S 3 generate de elemente e, A, b, d, cȘi f, respectiv, sunt egale: ( e}, {e, A}, {e, b}, {e, d}, {e, c, f) Și ( e, f, c), unde ultimele două coincid. De asemenea, rețineți că ordinea fiecărui subgrup ciclic împarte ordinea grupului fără rest. Următoarea teoremă este adevărată.

Teorema 2.7.1. (Lagrange) Ordinea unui grup finit este divizibil cu ordinea oricăruia dintre elementele sale (deoarece ordinea unui element și ordinea subgrupului ciclic generat de acesta coincid).

De asemenea, rezultă din aceasta că orice element al unui grup finit, atunci când este ridicat la o putere de ordinul grupului, dă identitatea grupului. (Pentru că g m=gnk=e k=e, Unde m- ordine de grup n- ordinea elementelor g, k este un număr întreg).

Există 3 subgrupe în grupa S H={e, c, f) este un divizor normal, în timp ce subgrupurile de ordinul 2 nu sunt divizori normali. Acest lucru este ușor de verificat prin găsirea claselor din stânga și din dreapta H pentru fiecare element al grupului. De exemplu, pentru un element dar clasa de adiacenta stânga Pe={e ◦ a, din◦ dar, f◦ A} = {dar, b, d) și setul potrivit un N={a ◦ e, dar◦ c, dar◦ f} = {dar, d, b) Meci. La fel pentru toate celelalte elemente S 3 .

3) Mulțimea tuturor numerelor întregi cu adunare formează un grup ciclic infinit cu un element generator 1 (sau -1), deoarece orice număr întreg care este multiplu de 1.

4) Luați în considerare mulțimea rădăcinilor n- gradul de la unitate: E n=. Acest set este un grup în ceea ce privește operația de înmulțire a rădăcinilor. Într-adevăr, produsul a oricăror două elemente e kȘi e m din E n, Unde k, m £ n-1 va fi, de asemenea, un element E n, deoarece = = , unde r=(k+m)mod nȘi r £ n-unu; înmulțirea este un element asociativ, neutru e=e 0 =1 și pentru orice element e k există un invers și . Acest grup este ciclic, elementul său generator este rădăcina primitivă. Este ușor de observat că toate gradele sunt diferite: , mai departe pentru k³ n rădăcinile încep să se repete. Pe planul complex, rădăcinile sunt situate pe un cerc cu raza unitară și îl împart în n arce egale, așa cum se arată în Figura 11.

Ultimele două exemple epuizează în esență toate grupurile ciclice. Deoarece următoarea teoremă este adevărată.

Teorema 2.7.2. Toate grupurile ciclice infinite sunt izomorfe între ele. Toate grupurile ciclice finite de ordine n izomorfe între ele.

Dovada. Lasa ( G, ∘) este un grup ciclic infinit cu generator g. Apoi există o mapare bijectivă f: ℤ ® G astfel încât pentru orice numere întregi kȘi m imaginile lor f(k) Și f(m), egal, respectiv g kȘi g m, sunt elemente G. Și în care f(k+m)=f(k)∘f(m), în măsura în care g k + m=g k∘ g m.

Lasă acum ( G, ∘) este un grup ciclic finit de ordin n cu element părinte g. Apoi fiecare element g kÎ G singura modalitate este de a potrivi elementul e kÎ E n(0£ k<n), conform regulii f(g k)=e k. Și totuși, pentru orice g kȘi g mÎ G urmează că f(g k∘ g m)=f(g k) ∘f(g m), în măsura în care f(g k∘ g m)=f(g k + m)=f(r), Unde r=(k+m)mod n, Și f(r)=er=e k× e m. Este clar că o astfel de comparație este o mapare bijectivă.

• 1. Grup Z numere întregi cu operație de adunare.
• 2. Grupul tuturor rădăcinilor complexe ale gradului n din unitate cu operaţia de înmulţire. Deoarece numărul ciclic este un izomorfism

grupul este ciclic iar elementul este generator.

Vedem că grupurile ciclice pot fi fie finite, fie infinite.

3. Fie un grup arbitrar și un element arbitrar. Mulțimea este un grup ciclic cu generator g . Se numește subgrupul ciclic generat de elementul g, iar ordinea sa este ordinea elementului g. După teorema lui Lagrange, ordinea unui element este un divizor al ordinii unui grup. Afişa

actionand dupa formula:

este evident un homomorfism iar imaginea lui coincide cu . O mapare este surjectivă dacă și numai dacă grupul G- ciclic şi g elementul său constitutiv. În acest caz, vom numi homomorfismul standard pentru un grup ciclic G cu generatoarea aleasă g.

Aplicând teorema homomorfismului în acest caz, obținem o proprietate importantă a grupurilor ciclice: fiecare grup ciclic este o imagine homomorfă a grupului. Z .

În orice grup G poate fi definit grad element cu exponenți întregi:

Există o proprietate

Acest lucru este evident dacă . Luați în considerare cazul când . Apoi

Alte cazuri sunt luate în considerare în mod similar.

Din (6) rezultă că

De asemenea, prin definiție. Astfel puterile unui element formează un subgrup în grup G. Se numeste subgrup ciclic generat de un element,și este notat cu .

Sunt posibile două cazuri fundamental diferite: fie toate gradele unui element sunt diferite, fie nu. În primul caz, subgrupul este infinit. Să luăm în considerare al doilea caz mai detaliat.

Lasa ,; apoi. Cel mai mic număr natural T, pentru care, se numește în acest caz pentru a element și este notat cu .

Sugestie 1. Dacă , apoi

Dovada. 1) Împărțiți m pe P cu restul:

Apoi, după definiția ordinului

În virtutea precedentului

Consecinţă. Dacă, mo subgrup conține n elemente.

Dovada.Într-adevăr,

și toate elementele enumerate sunt diferite.

Dacă nu există un astfel de firesc T, că (adică are loc primul dintre cazurile descrise mai sus), presupunem . Rețineți că; ordinele tuturor celorlalte elemente ale grupului sunt mai mari decât 1.

Într-un grup de aditivi, ei nu vorbesc despre puterile unui element , ci despre el multipli, care sunt notate cu . În conformitate cu aceasta, ordinea elementului grupului de aditivi G este cel mai mic număr natural T(dacă există) pentru care

EXEMPLUL 1. Caracteristica unui câmp este ordinea oricărui element diferit de zero din grupul său aditiv.

EXEMPLUL 2. Evident, într-un grup finit, ordinea oricărui element este finită. Să arătăm cum se calculează ordinele elementelor unui grup.Se numește substituție ciclu lungime și se notează cu dacă permutează ciclic

și lasă toate celelalte numere la locul lor. Evident, ordinea ciclului de lungime este R. Ciclurile sunt numite independent dacă printre numerele efectiv rearanjate de ei nu există unele comune; în acest caz . Orice permutare se descompune în mod unic într-un produs de cicluri independente. De exemplu,

care este arătat clar în figură, unde acțiunea de substituție este reprezentată de săgeți. Dacă permutarea se descompune într-un produs de cicluri independente de lungimi , apoi

EXEMPLUL 3. Ordinea unui număr complex c într-un grup este finită dacă și numai dacă acest număr este o rădăcină a unei puteri a unității, care, la rândul său, are loc dacă și numai dacă, a este comensurabil cu, i.e. .

EXEMPLUL 4. Să găsim elemente de ordin finit în grupul mișcărilor plane. Lasa. Pentru orice punct punct

sunt rearanjate ciclic prin mişcare , deci centrul lor de greutate despre relativ imobil. Prin urmare, - fie rotație prin unghiul de vizualizare în jurul punctului despre, sau reflecție despre o linie dreaptă care trece prin despre.

EXEMPLUL 5. Să găsim ordinea matricei

ca parte a unui grup. Avem

asa de. Desigur, acest exemplu este ales special: probabilitatea ca ordinea unei matrice alese aleatoriu să fie finită este zero.

Sugestie 2. Dacă , apoi

Dovada. Lasa

asa de. Avem

Prin urmare, .

Definiția 1 . grup G numit ciclic, dacă există un astfel de element , ce . Fiecare astfel de element este numit element generator grupuri G.

EXEMPLUL 6. Grupul aditiv de numere întregi este ciclic, deoarece este generat de elementul 1.

EXEMPLUL 7. Grupul de reziduuri de aditivi Modulo n este ciclic, deoarece este generat de elementul .

EXEMPLUL 8. Grupul multiplicativ al rădăcinilor a n-a complexe ale lui 1 este ciclic. Într-adevăr, aceste rădăcini sunt numerele

Este clar că . Prin urmare, grupul este generat de element.

Este ușor de observat că doar într-un grup ciclic infinit și sunt elemente generatoare. Deci, în grupul Z, singurele elemente generatoare sunt 1 și -- 1.

Numărul de elemente de grup finite G a sunat-o pentru ași notat cu. Ordinea unui grup ciclic finit este egală cu ordinea elementului său generator. Prin urmare, Propunerea 2 implică

Sugestie 3 . Element de grup ciclic de ordinul n este generatoare dacă și numai dacă

EXEMPLUL 9. Elementele generatoare ale unui grup sunt numite rădăcini primitive n puterea din 1. Acestea sunt rădăcinile formei , Unde. De exemplu, rădăcinile primitive de gradul 12 de 1 sunt.

Grupurile ciclice sunt cele mai simple grupuri imaginabile. (În special, sunt abelieni.) Următoarea teoremă oferă o descriere completă a acestora.

Teorema 1. Fiecare grup ciclic infinit este izomorf cu un grup. Fiecare grup ciclic finit de ordinul n este izomorf cu un grup.

Dovada. Dacă este un grup ciclic infinit, atunci prin formula (4) maparea este un izomorfism.

Fie un grup ciclic finit de ordin P. Luați în considerare maparea

atunci maparea este bine definită și bijectivă. Proprietate

rezultă din aceeaşi formulă (1). Astfel, este un izomorfism.

Teorema a fost demonstrată.

Pentru a înțelege structura unui grup, cunoașterea subgrupurilor sale joacă un rol important. Toate subgrupurile unui grup ciclic pot fi descrise cu ușurință.

Teorema 2. 1) Fiecare subgrup al unui grup ciclic este ciclic.

2)În grupul de ordine ciclică n ordinea oricărui subgrup se împarte n iar pentru orice divizor q al numărului n există exact un subgrup de ordinul q.

Dovada. 1) Fie un grup ciclic și H-- subgrupul său distinct de (Subgrupul de identitate este în mod evident ciclic.) Rețineți că dacă pentru oricare, atunci . Lasa T este cel mai mic număr natural pentru care . Să demonstrăm asta . Lasa . Să împărțim la pe T cu restul:

de unde, în virtutea definiţiei numărului T rezultă că și, prin urmare, .

2) Dacă , apoi raționamentul anterior aplicat la (în acest caz ), arată că . în care

Și H este singurul subgrup de ordine qîntr-un grup G.În schimb, dacă q-- orice divizor de număr PȘi , apoi submultimea H, definit de egalitate (9) este un subgrup de ordine q. Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă . Într-un grup ciclic de ordin prim, orice subgrup netrivial coincide cu întregul grup.

EXEMPLUL 10.Într-un grup, fiecare subgrup are forma unde.

EXEMPLUL 11.În a n-a grupă de rădăcină a lui 1, orice subgrup este un grup de rădăcină q- gradul din 1, unde.