În acest articol, vom înțelege ce este gradul de. Aici vom da definiții ale gradului unui număr, luând în considerare în detaliu toți exponenții posibili ai gradului, începând cu un exponent natural, terminând cu unul irațional. În material veți găsi o mulțime de exemple de grade care acoperă toate subtilitățile care apar.

Navigare în pagină.

Gradul cu exponent natural, pătratul unui număr, cubul unui număr

Sa incepem cu . Privind în viitor, să presupunem că definiția gradului a cu exponent natural n este dată pentru a , pe care o vom numi baza gradului, și n , pe care le vom numi exponent. De asemenea, menționăm că gradul cu indicator natural este determinat prin produs, așa că pentru a înțelege materialul de mai jos, trebuie să aveți o idee despre înmulțirea numerelor.

Definiție.

Puterea numărului a cu exponent natural n este o expresie de forma a n , a cărei valoare este egală cu produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a , adică .
În special, gradul unui număr a cu exponentul 1 este numărul a însuși, adică a 1 =a.

Imediat merită menționat regulile de citire a gradelor. Modul universal de a citi intrarea a n este: „a la puterea lui n”. În unele cazuri, sunt acceptabile și astfel de opțiuni: „a la a n-a putere” și „a n-a putere a numărului a”. De exemplu, să luăm gradul 8 12, acesta este „opt la puterea a doisprezece”, sau „opt la puterea a douăsprezecea”, sau „puterea a douăsprezecea a opt”.

A doua putere a unui număr, precum și a treia putere a unui număr, au propriile nume. Se numește a doua putere a unui număr pătratul unui număr, de exemplu, 7 2 se citește ca „șapte pătrat” sau „pătrat al numărului șapte”. Se numește a treia putere a unui număr numărul cubului, de exemplu, 5 3 poate fi citit ca „cinci cuburi” sau spune „cubul numărului 5”.

E timpul să aduci exemple de grade cu indicatori fizici. Să începem cu puterea lui 5 7 , unde 5 este baza puterii și 7 este exponentul. Să dăm un alt exemplu: 4,32 este baza și numar natural 9 - exponent (4,32) 9 .

Vă rugăm să rețineți că în ultimul exemplu baza gradului 4,32 este scrisă între paranteze: pentru a evita discrepanțe, vom lua între paranteze toate bazele gradului care sunt diferite de numerele naturale. Ca exemplu, oferim următoarele grade cu indicatori naturali , bazele lor nu sunt numere naturale, deci sunt scrise între paranteze. Ei bine, pentru o claritate completă în acest punct, vom arăta diferența conținută în înregistrările de forma (−2) 3 și −2 3 . Expresia (−2) 3 este puterea lui −2 cu exponent natural 3, iar expresia −2 3 (se poate scrie ca −(2 3) ) corespunde numărului, valoarea puterii 2 3 .

Rețineți că există o notație pentru gradul lui a cu un exponent n de forma a^n . Mai mult, dacă n este un număr natural cu mai multe valori, atunci exponentul este luat între paranteze. De exemplu, 4^9 este o altă notație pentru puterea lui 4 9 . Și aici sunt mai multe exemple de scriere a grade folosind simbolul „^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . În cele ce urmează, vom folosi în principal notația gradului formei a n .

Una dintre probleme, inversul exponențiației cu un exponent natural, este problema găsirii bazei gradului dintr-o valoare cunoscută a gradului și un exponent cunoscut. Această sarcină duce la .

Se știe că mulți numere rationale este format din numere întregi și numere fracționale, fiecare un număr fracționar poate fi reprezentat ca o fracție comună pozitivă sau negativă. Am definit gradul cu un exponent întreg în paragraful anterior, prin urmare, pentru a completa definiția gradului cu un exponent rațional, trebuie să dăm semnificația gradului numărului a cu un exponent fracționar m / n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. S-o facem.

Să considerăm un grad cu un exponent fracționar de forma . Pentru ca proprietatea de grad într-un grad să rămână valabilă, egalitatea trebuie să fie valabilă . Dacă luăm în considerare egalitatea rezultată și modul în care am definit , atunci este logic să acceptăm, cu condiția ca pentru m, n și a dat expresia să aibă sens.

Este ușor de verificat că toate proprietățile unui grad cu exponent întreg sunt valabile pentru ca (acest lucru se face în secțiunea despre proprietățile unui grad cu exponent rațional).

Raționamentul de mai sus ne permite să facem următoarele ieșire: dacă pentru m, n și a dat expresia are sens, atunci puterea numărului a cu exponent fracționar m / n se numește rădăcina gradului al n-lea de la a la puterea m.

Această afirmație ne aduce aproape de definiția unui grad cu exponent fracționar. Rămâne doar să descriem pentru care m, n și a expresia are sens. În funcție de restricțiile impuse asupra m , n și a, există două abordări principale.

Cel mai simplu mod de a constrânge a este să presupunem a≥0 pentru m pozitiv și a>0 pentru m negativ (deoarece m≤0 nu are o putere de 0 m). Apoi obținem următoarea definiție a gradului cu un exponent fracționar.

Definiție.

Puterea unui număr pozitiv a cu exponent fracționar m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural, se numește rădăcină a n-a a numărului a la puterea lui m, adică .

Gradul fracționar de zero este, de asemenea, definit cu singura avertizare că exponentul trebuie să fie pozitiv.

Definiție.

Puterea lui zero cu exponent pozitiv fracționar m/n, unde m este un întreg pozitiv și n este un număr natural, este definit ca .
Când gradul nu este definit, adică gradul numărului zero cu un exponent negativ fracționar nu are sens.

De remarcat că, cu o astfel de definiție a gradului cu exponent fracționar, există o nuanță: pentru unele negative a și unele m și n, expresia are sens și am înlăturat aceste cazuri introducând condiția a≥0 . De exemplu, are sens să scrii sau , iar definiția de mai sus ne obligă să spunem că grade cu un exponent fracționar al formei sunt lipsite de sens, deoarece baza nu trebuie să fie negativă.

O altă abordare pentru determinarea gradului cu un exponent fracționar m / n este de a lua în considerare separat exponenții pari și impari ai rădăcinii. Această abordare necesită o condiție suplimentară: gradul numărului a, al cărui exponent este , este considerat gradul numărului a, al cărui exponent este fracția ireductibilă corespunzătoare (importanța acestei condiții va fi explicată mai jos). Adică, dacă m/n este o fracție ireductibilă, atunci pentru orice număr natural k gradul este mai întâi înlocuit cu .

Pentru n par și m pozitiv, expresia are sens pentru orice a nenegativ (rădăcina unui grad par dintr-un număr negativ nu are sens), pentru m negativ, numărul a trebuie să fie în continuare diferit de zero (altfel există va fi o împărțire cu zero). Și pentru n impar și m pozitiv, numărul a poate fi orice (rădăcina unui grad impar este definită pentru orice numar real), iar pentru negativ m, numărul a trebuie să fie diferit de zero (astfel încât să nu existe împărțire la zero).

Raționamentul de mai sus ne conduce la o astfel de definiție a gradului cu exponent fracționar.

Definiție.

Fie m/n o fracție ireductibilă, m un număr întreg și n un număr natural. Pentru orice fracție ordinară reductibilă, gradul este înlocuit cu . Puterea lui a cu un exponent fracționar ireductibil m / n este pentru



Să explicăm de ce un grad cu un exponent fracționar reductibil este mai întâi înlocuit cu un grad cu un exponent ireductibil. Dacă am defini pur și simplu gradul ca , și nu am face o rezervă cu privire la ireductibilitatea fracției m / n , atunci am întâlni situații similare cu următoarele: deoarece 6/10=3/5 , atunci egalitatea , dar , dar .

Vă rugăm să rețineți că în aceasta sectiuneînțelege conceptul grade numai cu un indicator naturalși zero.

Conceptul și proprietățile grade cu indicatori raționali(cu negativ și fracționar) vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a 8-a.

Deci, să ne dăm seama ce este gradul unui număr. Pentru a scrie produsul unui număr în sine, notația prescurtată este folosită de mai multe ori.

În loc să înmulțească șase factori identici 4 4 4 4 4 4, ei scriu 4 6 și spun „patru la a șasea putere”.

4 4 4 4 4 4 = 4 6

Expresia 4 6 se numește puterea unui număr, unde:

• 4 — baza gradului;
• 6 — exponent.

ÎN vedere generala gradul cu baza „a” și exponentul „n” se scrie folosind expresia:

Tine minte!

Gradul numărului „a” cu un exponent natural „n”, mai mare decât 1, este produsul” n” Factori identici, fiecare dintre care este egal cu numărul"A".

Înregistrarea „a n”Se citește astfel:” și la puterea n „sau” a n-a putere a numărului a”.

Excepții sunt intrările:

• a 2 - poate fi pronunțat ca „un pătrat”;
• a 3 - poate fi pronunțat ca „a într-un cub”.

• a 2 - „și la gradul al doilea”;
• a 3 - „a până la gradul al treilea”.

Apar cazuri speciale dacă exponentul este egal cu unu sau zero (n = 1; n = 0).

Tine minte!

Gradul numărului „a” cu exponentul n \u003d 1 este acest număr în sine:
a 1 = a

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.
a 0 = 1

Zero față de orice putere naturală este egal cu zero.
0 n = 0

Unu la orice putere este egal cu 1.
1n=1

Expresia 0 0 ( putere de la zero la zero) este considerată lipsită de sens.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

Când rezolvați exemple, trebuie să vă amintiți că creșterea la o putere se numește găsirea unei valori numerice sau literale după ce o ridicați la o putere.

Exemplu. Ridicați-vă la putere.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

Exponentiarea unui numar negativ

Baza exponentului (numărul care este ridicat la o putere) poate fi orice număr - pozitiv, negativ sau zero.

Tine minte!

Ridicarea unui număr pozitiv la o putere are ca rezultat număr pozitiv.

La ridicarea zero la grad natural se dovedește zero.

Când ridicați un număr negativ la o putere, rezultatul poate fi fie un număr pozitiv, fie un număr negativ. Depinde dacă exponentul a fost un număr par sau impar.

Luați în considerare exemple de ridicare a numerelor negative la o putere.

Din exemplele luate în considerare, se poate observa că dacă un număr negativ este ridicat la o putere impară, atunci se obține un număr negativ. Deoarece produsul unui număr impar de factori negativi este negativ.

Dacă un număr negativ este ridicat la o putere pară, atunci se obține un număr pozitiv. Deoarece produsul unui număr par de factori negativi este pozitiv.

Tine minte!

Un număr negativ ridicat la o putere pară este un număr pozitiv.

Un număr negativ ridicat la o putere impară este un număr negativ.

Pătratul oricărui număr este un număr pozitiv sau zero, adică:

a 2 ≥ 0 pentru orice a .

• 2 (−3) 2 = 2 (−3) (−3) = 2 9 = 18
• −5 (−2) 3 = −5 (−8) = 40

Notă!

La rezolvarea exemplelor de exponențiere, se comit adesea greșeli, uitând că intrările (−5) 4 și −5 4 sunt expresii diferite. Rezultatele ridicării la o putere a acestor expresii vor fi diferite.

Calculați (−5) 4 înseamnă să găsiți valoarea celei de-a patra puteri a unui număr negativ.

(−5) 4 = (−5) (−5) (−5) (−5) = 625

În timp ce găsirea „-5 4” înseamnă că exemplul trebuie rezolvat în 2 pași:

1. Ridicați numărul pozitiv 5 la a patra putere.
   5 4 = 5 5 5 5 = 625
2. Puneți un semn minus în fața rezultatului obținut (adică efectuați o acțiune de scădere).
   −5 4 = −625

Exemplu. Calculați: −6 2 − (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. 6 2 = 6 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) (−1) (−1) (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

Procedura pentru exemple cu grade

Calcularea unei valori se numește acțiune de exponențiere. Aceasta este a treia etapă de acțiune.

Tine minte!

În expresiile cu grade care nu conțin paranteze, executați mai întâi exponentiare, apoi înmulțirea și împărțirea, iar la final adunare si scadere.

Dacă există paranteze în expresie, atunci mai întâi, în ordinea indicată mai sus, se execută acțiunile dintre paranteze, iar apoi acțiunile rămase în aceeași ordine de la stânga la dreapta.

Exemplu. Calculati:

Pentru a facilita rezolvarea exemplelor, este util să cunoașteți și să utilizați tabelul de grade, pe care îl puteți descărca gratuit de pe site-ul nostru.

Pentru a vă verifica rezultatele, puteți utiliza calculatorul de pe site-ul nostru "

„Grad comparativ” - Un dihor locuia într-o gaură. N.f. Smart + MAI MULT - mai inteligent N.f. Smart + LESS - mai puțin inteligent. rol în propunere. Câinii noștri mai puțin ageri merg la curse pentru a încuraja șoarecii. Municipal instituție educațională„Școala generală de bază Elgai”. Un hamster este mai agil decât un cățel. Cumva, pantoful nostru a fost târât de cățelușul unui vecin mai puțin agil.

„Grad cu un indicator natural” - Gradul cu un indicator natural și întreg. (-1)2k=1, (-1)2k-1= -1. Proprietăți ale unui grad cu exponent natural. Determinarea gradului cu un indicator natural. 1 la orice putere este egal cu 1 1n=1. Ce este o diplomă? Cum se scrie mai scurt Înmulțirea puterilor cu aceeași bază. N termeni. 10n=100000…0.

„Grad cu un exponent întreg” - Calculați. Exprimați expresia ca o putere. Exprimați x-12 ca produs a două puteri cu baza x dacă se cunoaște un factor. Aranjați în ordine descrescătoare. Simplifica. Pentru ce valori ale lui x este adevărată ecuația?

„Ecuații de gradul al treilea” - (În al treilea caz - un minim, în al patrulea - un maxim). În primul și al doilea caz, se spune că funcția este monotonă în punctul x =. Formula noastră oferă: „Mare artă”. Așa că Tartaglia s-a lăsat convins. Lema. În al treilea și al patrulea caz, se spune că funcția are un extrem în punctul x =. Deschidem parantezele.

„Proprietățile gradului” - Generalizarea cunoștințelor și abilităților privind aplicarea proprietăților gradului cu un indicator natural. Proprietăți ale unui grad cu exponent natural. Brainstorming. Cubul al cărui număr este 64? Pauza de calcul. Proprietăți ale unui grad cu exponent natural. Dezvoltarea perseverenței, a activității mentale și a activității creative.

„Rădăcina gradului al n-lea” - Definiția 2: A). Să cubăm ambele părți ale ecuației: - Expresie radicală. Luați în considerare ecuația x? = 1. Să ridicăm ambele părți ale ecuației la a patra putere: Să reprezentăm graficele funcțiilor y = x? și y = 1. Conceptul rădăcinii a n-a a unui număr real. Dacă n este impar, atunci o rădăcină: Să construim grafice ale funcțiilor y = x? și y=1.